Sur une équation fonctionnelle

6 months ago

D.V. Ionescu

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Abstrait

Traduction en anglais du titre

On a functional equation

Auteur(s)

D.V. Ionescu
Institutul de Calcul

Mots-clés

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https://ictp.acad.ro/wp-content/uploads/2025/11/1959-DVIonescu-Sur-un-equation.pdf

Pour citer ce travail

D.V. Ionescu, Sur une équation fonctionnelle. (French) Mathematica (Cluj) 1 (24) 1959 11–26.

Sur ce travail

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Mathematica Cluj

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Publié par la Maison d’édition de l’Académie roumaine

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1959-DVIonescu-Sur-un-equation

Le rédacteur responsable
TIBERIU POPOVICIU

SUR UNE ÉQUATION FONCTIONNELLE

par

D. V. IONESCU
à Cluj

En analysant un mémoire de H. LÖwner [1] sur les fonctions de matrices. T. popoviciu a attiré l'attention sur l'équation fonctionnelle

\begin{matrix} (1) & Δ_{n, h} | f (x) | = | \begin{array}{lllll} f (x) & f (x + h) & \cdot & f (x + n h) \\ f (x + h) & f (x + 2 h) & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & ⋱ & \cdot & \cdot & \cdot \\ f (x + n h) & f (x + (n + 1) h) & \cdot & \cdot & \cdot \end{array} (x + 2 n h) \end{matrix}

pour laquelle on cherche des solutions

f (x)

réelles et continues quel que soit

x

, et telles que l'équation fonctionnelle soit vérifiée quels que soient

x

et

h

, réels.

L'intégration de l'équation fonctionnelle (1) présente des difficultés assez grandes pour

n

quelconque. Nous avons pu surmonter ces difficultés dans le cas

n = 2

et dans ce travail nous donnons la solution de ce cas particulier.

§ 1. Le cas $n = 1$

Il est évident que la fonction identiquement nulle est une solution de l'équation fonctionnelle (1). Écartant cette solution banale, nous allons considérer l'équation (1), correspondant à $n = 1$

\begin{matrix} (2) & Δ_{1, h} [f (x)] = | \begin{array}{ll} f (x) & f (x + h) \\ f (x + h) & f (x + 2 h) \end{array} | = 0 \end{matrix}

Remarquons que si la solution

f (x)

de l'équation fonctionnelle (2) a un zéro

x_{0}

elle se réduit à la solution banale.

En effet, l'équation fonctionnelle (2) donne pour

x = x_{0}

f (x_{0} + h) = 0

quel que soit

h

, et par suite

f (x) ≐ 0

.
Il résulte alors qu'une solution de l'équation fonctionnelle (2) qui n'est pas banale ne s'annule pas et garde son signe quel que soit

x

.

En posant

x = p h, f (p h) = t_{p}

où

h

est un nombre fixe, et

p

un entier quelconque, l'équation fonctionnelle devient
ou
(3')

\begin{matrix} (3) & | \begin{array}{ll} f_{p} & f_{p + 1} \\ f_{p + 1} & f_{p + 2} \end{array} | = 0 \\ f_{p} f_{p + 2} = f_{p + 1}^{2} \end{matrix}

Il résulte alors que

g_{p} = \log | f_{p} |

vérifie l'équation de récurrence
dont la solution est

g_{p + 2} - 2 g_{p + 1} + g_{p} = 0

g_{p} = g_{0} + (g_{1} - g_{0}) p

L'équation (3) a donc pour solution
(4)

\log | f_{p} | = \log | f_{0} | + p \log | \frac{f_{1}}{f_{0}} |

Déterminons cette solution telle que
(5)

f (0) = f_{0}, f (h) = f_{1}

où

f_{0}

et

f_{1}

sont des nombres donnés.
En posant
(6)
nous avons

C_{1} = f_{0}

C_{1} e^{a_{1} h} = f_{1}

et l'équation (4) nous donne

α_{1} h = \log \frac{f_{1}}{f_{0}}

(7)

f (p h) = C_{1} e^{a_{1} p h}

Cette formule est valable quel que soit l'entier

p

. Elle este vraie aussi lorsqu'on remplace

p

par un nombre rationnel

r

quelconque.

Reprenons en effet les considérations qui nous ont conduit à la formule (7), en partant de

h_{1} = \frac{h}{s}

, où

s

est un nombre naturel quelconque. Nous aurons

\begin{matrix} (8) & f (p h_{1}) = C_{1}^{'} e^{a_{1}^{'} p h_{1}} \end{matrix}

quel que soit l'entier

p

.
On peut déterminer les constantes

C_{1}^{'}

et

α_{1}^{'}

par les conditions

f (0) = f_{h}, f (s h_{1}) = f (h) = f_{1}

Nous aurons les équations

\begin{matrix} C_{1}^{'} = f_{0} \\ C_{1}^{'} e^{a_{1}^{'} h} = f_{1} \end{matrix}

qui coïncident avec les équations (6), d'où il résulte que

C_{1}^{'} = C_{1}, α_{1}^{'} = α_{1} .

et par suite la formule (8) devient
ou

\begin{matrix} f (\frac{p}{s} h) = C_{1} e^{a_{1} \frac{p}{s} h} \\ (9) & f (r h) = C_{1} e^{a_{r} r h} \end{matrix}

r

étant un nombre rationnel quelconque.
La fonction

f (x)

étant continue quel que soit

x

, de l'équation (9) on déduit que la solution de l'équation fonctionnelle (2) non identiquement nulle, est

\begin{matrix} (10) & f (x) = C_{1} e^{α_{1} x} \end{matrix}

où

C_{1}

et

α_{1}

sont des constantes qu'on peut déterminer par les conditions (5).

§ 2. Le cas $n = 2$ . Considérations sur les zéros d'une solution $f (x)$ .

En écartant la solution banale, nous remarquons que toute solution de l'équation fonctionnelle $Δ_{1, h} [f (x)] = 0$ , est aussi une solution de l'équation fonctionnelle $Δ_{2, h} [f (x)] = 0$ . Il suffit de vérifier que

Δ_{2, h} [C_{1} e^{a_{1} x}] = 0

En écartant aussi ces solutions, nous chercherons des solutions de l'équation fonctionnelle

\begin{matrix} (11) & Δ_{2, h} [f (x)] = | \begin{array}{lll} f (x) & f (x + h) & f (x + 2 h) \\ f (x + h) & f (x + 2 h) & f (x + 3 h) \\ f (x + 2 h) & f (x + 3 h) & f (x + 4 h) \end{array} | = 0 \end{matrix}

qui ne sont pas des solutions de l'équation fonctionnelle

Δ_{1, h} [f (x)] = 0

.
Il est indispensable pour l'intégration de l'équation fonctionnelle (11) de faire une analyse des zéros d'une solution continue de cette équation qui n'est pas identiquement nulle.

Soit

x_{0}

un point où

f (x_{0}) \neq 0

. On peut alors entourer

x_{0}

d'un intervalle

(α, β)

où

f (x) \neq 0

. Il peut se présenter plusieurs cas :

1^{\circ}

L'intervalle

(α, β)

est l'intervalle

(- \infty, + \infty)

. Alors nous avons

f (x) \neq 0

, quel que soit

x

.

2^{\circ}

L'intervalle

(α, β)

est l'intervalle

(α, + \infty)

et

f (α) = 0

. Dans ce cas, la solution

f (x)

ne peut pas avoir d'autres zéros

α_{0} < α

.

Supposons le contraire, c'est à dire

f (α_{0}) = 0

, avec

α_{0} < α

. En choisissant dans l'équation fonctionnelle (11),

x = α_{0}

et

h = α - α_{0}

nous avons

| \begin{array}{lll} 0 & 0 & f (2 α - α_{0}) \\ 0 & f (2 α - α_{0}) & f (3 α - 2 α_{0}) \\ f (2 α - α_{0}) & f (3 α - 2 α_{0}) & f (4 α - 3 α_{0}) \end{array} | = 0

d'où il résulte que

f (α - α_{0}) = 0; f (x)

a donc un zéro

2 α - α_{0} > α

, ce qui est impossible puisque dans l'intervalle (

α, + \infty

) nous avons

f (x) \neq 0

.

La solution

f (x)

a donc dans ce cas un seul zéro

α

et nous avons

f (x) \neq 0

, pour

x \neq α

.

3^{\circ}

L'intervalle

(α, β)

est fini

α

et

β

sont deux zéros de la solution

f (x)

que nous appellerons zéros consécutifs. Dans ce cas la solution

f (x)

a une infinité de zéros

x_{p} = α + p h

., où

h = β - α

, et

p

est un entier quelconque.

En effet faisons

x = α + p h

dans l'équation fonctionnelle (11), où

h = β - α

et posons

Nous aurons

f (α + p h) = f_{p}

En faisant

p = 0

, nous avons

f_{0} = 0, f_{1} = 0

, et par suite

f_{2} = 0

; ensuite en faisant

p = 1

, nous aurons

f_{3} = 0, \dots

, et ainsi de suite.

De même en faisant

p = - 3

, nous avons

f_{0} = 0, f_{1} = 0

. et par suite

j_{- 1} = 0

; ensuite en faisant

p = - 4

, nous avons

f_{- 2} = 0, \dots

et ainsi de suite.

Il résulte donc que la solution

f (x)

a une infinité de zéros

x_{p} = α + p h

. Ce sont les seuls zéros de

f (x)

.

Pour l'intégration de l'équation fonctionnelle (11) nous avons besoin de quelques théorèmes auxiliaires.
3. théorème A. Si f(x) est une solution de l'équation fonctionnelle (11) qui n'est pas solution de l'équation fonctionnelle (2), il existe un nombre h tel que

f (r h)

et

F (\frac{h}{s})

soient différents de zéro pour tout nombre rationnel

r

et pour tout nombre naturel

s

, où

\begin{matrix} (13) & F (h) = | \begin{array}{ll} f (0) & f (h) \\ f (h) & f (2 h) \end{array} | \end{matrix}

Nous démontrerons ce théorème, en examinant successivement les cas où la solution

f (x)

a une infinité de zéros, un seul zéro, ou n'a pas dezéro.

1^{\circ}

La solution

f (x)

a une infinité de zéros. Les zéros étant

x_{0} + p h

, où

p

est un entier quelconque, plaçons l'origine au point

x_{0}

.

I'ensemble

M = {r h}

où

r

est un nombre rationnel quelconque, est dénombrable. L'ensemble complémentaire de l'ensemble

M

ne contient aucun zéro de la solution

f (x)

. Si

h^{'}

est un élément de l'ensemble complémentaire et

r^{'}

est un nombre rationnel quelconque non nul,

r^{'} h^{'}

est aussi un élément de l'ensemble complémentaire, car dans le cas contraire on aurait

h^{'} r^{'} = r h

, ou

h^{'} = r^{''} h

ce qui est impossible,

h^{'}

n'appartenant pas à l'ensemble

M

.

Le nombre

h^{'}

étant ainsi choisi, nous avons

f (r^{'} h^{'}) \neq 0

, quel que soit le nombre rationnel

r^{'}

.

Nous pouvons ajouter que

F (r^{'} h^{'}) = | \begin{array}{ll} f (0) & f (r^{'} h^{'}) \\ f (r^{'} h^{'}) & f {(2 r^{'} h)}^{'} \end{array} | = - f^{2} (r^{'} h^{'}) \neq 0

et par suite

F (\frac{h^{'}}{s}) \neq 0

quel que soit le nombre naturel

s

.
Le théorème A est donc démontré dans ce cas.

2^{\circ}

La solution

f (x)

a un seul zéro

x_{0}

. En plaçant 1'origine au point

x_{0}

, et

h^{'}

étant un nombre quelconque non nul, nous avons

f (r^{'} h^{'}) \neq 0

quel que soit le nombre rationnel

r^{'}

.

Nous aurons comme plus haut

F (r^{'} h^{'}) \neq 0

, ou

F (\frac{h^{'}}{s}) \neq 0

quel que soit le nombre naturel

s

.

Le théorème A est donc démontré dans ce cas.

3^{\circ}

La solution

f (x) n^{'}

a pas de zéros. Nous avons

f (x) \neq 0

quel que soit

x

. Il reste à choisir le nombre

h^{'}

tel que

F (r^{'} h^{'}) \neq 0

pour tout nombre rationnel

r^{'}

.

Faisons dans l'équation fonctionnelle (11)

x = p h

et posons

f_{p} = f (p h)

.

Nous aurons

\begin{matrix} (14) & | \begin{array}{lll} f_{p} & f_{p + 1} & f_{p + 2} \\ f_{p + 1} & f_{p + 2} & f_{p + 3} \\ f_{p + 2} & f_{p + 3} & f_{p + 4} \end{array} | = 0 \end{matrix}

On en déduit aisément les équations

\begin{matrix} (15) & | \begin{array}{ll} f_{p} & f_{p + 1} \\ f_{p + 1} & f_{p + 2} \end{array} | | \begin{array}{ll} f_{p} & f_{p + 1} \\ f_{p + 2} & f_{p + 3} \end{array} | = 0 \end{matrix}

et

\begin{matrix} (16) & | \begin{array}{ll} f_{p + 2} & f_{p + 3} \\ f_{p + 3} & f_{p + 4} \end{array} | | \begin{array}{ll} f_{p + 1} & f_{p + 2} \\ f_{p + 3} & f_{p + 4} \end{array} | = 0 \end{matrix}

quel que soit le nombre entier

p

.
Démontrons maintenant que si

h_{1}

est un zéro non nul de

F (h)

, la fonction

F (h)

a une infinité de zéros

h = p h_{1}

, où

p

est un entier quelconque.

Posons

f (p h_{1}) = {\bar{f}}_{p}

Ayant

\begin{matrix} (17) & | \begin{array}{ll} \overset{―}{f_{0}} & \overset{―}{f_{1}} \\ \overset{―}{f_{1}} & \overset{―}{f_{2}} \end{array} | = 0, \end{matrix}

les équations (15) et (16) donnent pour

p = 0

et

p = - 2

\begin{matrix} (18) & | \begin{array}{ll} {\bar{f}}_{0} & {\bar{f}}_{1} \\ {\bar{f}}_{2} & {\bar{f}}_{3} \end{array} | = 0, | \begin{array}{ll} {\bar{f}}_{- 1} & {\bar{f}}_{0} \\ {\bar{f}}_{1} & {\bar{f}}_{2} \end{array} | = 0 \end{matrix}

On peut déterminer, le nombre

λ \neq 0

, par l'équation

{\bar{f}}_{1} = λ {\bar{f}}_{0}

et alors les équations (17) et (18) nous donnent. -

\begin{aligned} \overset{―}{f_{2}} = λ {\bar{f}}_{1} \\ {\bar{f}}_{3} = λ {\bar{f}}_{2} \\ {\bar{f}}_{0} = λ {\bar{f}}_{- 1} \end{aligned}

De ces rélations on déduit que

| \begin{array}{ll} {\bar{f}}_{1} & {\bar{f}}_{2} \\ {\bar{f}}_{2} & {\bar{f}}_{3} \end{array} | = 0, | \begin{array}{ll} {\bar{f}}_{- 1} & {\bar{f}}_{0} \\ {\bar{f}}_{0} & {\bar{f}}_{1} \end{array} | = 0 .

D'une manière analogue on démontre qu'en général on a

{\bar{f}}_{p} = λ {\bar{f}}_{p - 1}

quel que soit l'entier

p

.
Il résulte alors les identités

\begin{aligned} (19) & | \begin{array}{ll} {\bar{f}}_{0} & {\bar{f}}_{p + 1} \\ {\bar{f}}_{p + 1} & {\bar{f}}_{2 p + 2} \end{array} | & = λ^{2} | \begin{array}{ll} {\bar{f}}_{0} & {\bar{f}}_{p} \\ {\bar{f}}_{p} & {\bar{f}}_{2 p} \end{array} | \\ (20) & | \begin{array}{ll} {\bar{f}}_{0} & {\bar{f}}_{- p - 1} \\ {\bar{f}}_{- p - 1} & {\bar{f}}_{- 2 p - 2} \end{array} | & = \frac{1}{λ^{2}} | \begin{array}{ll} {\bar{f}}_{0} & {\bar{f}}_{- p} \\ {\bar{f}}_{- p} & {\bar{f}}_{- 2 p} \end{array} | \end{aligned}

pour

p \neq 0

.

Pous

p = 1

, le second membre de la formule (19) est nul,

h_{1}

étant un zéro de

F (h)

. Il résulte alors que

2 h_{1}

est aussi un zéro de

F (h), \dots

et, ainsi de suite, on démontre que les

p h_{1}

sont des zéros de

F (h), p

étant un nombre naturel quelconque.

Nous avons aussi l'identité

| \begin{array}{ll} {\bar{f}}_{0} & {\bar{f}}_{- 1} \\ {\bar{f}}_{- 1} & {\bar{f}}_{- 2} \end{array} | = \frac{1}{λ^{4}} | \begin{array}{cc} {\bar{f}}_{0} & {\bar{f}}_{1} \\ {\bar{f}}_{1} & {\bar{f}}_{2} \end{array} |

qui montre que -

h_{1}

est un zéro de

F (h)

et si nous faisons dans l'identité (20)

p = 1, 2, \dots

nous déduisons que les

- p h_{1}

sont des zéros de

F (h)

,

p

étant un nombre naturel quelconque.
zéros.
Revenons à la fonction

F (h)

et remarquons que

h = 0

est un de ses
Il peut arriver que pour

h > 0

, on ait

F (h) \neq 0

. Dans ce cas nous prendrons un nombre quelconque

h^{'} > 0

et nous aurons

F (h^{'}) \neq 0

et aussi

F (\frac{h^{'}}{s}) \neq 0

, quel soit le nombre naturel

s

. Le théorème A est démontré dans ce cas.

Il peut arriver aussi que

F (h)

soit différent de zéro dans l'intervalle

(0, h_{1})

où

h_{1}

est un nombre fini et

F (h_{1}) = 0

. Nous prendrons alors un nombre

h^{'}

quelconque de l'intervalle (

0, h_{1}

) et nous aurons

F (h^{'}) \neq 0

, ainsi que

F (\frac{h^{'}}{s}) \neq\neq 0

, quel que soit le nombre rationnel

s

. Le théorème A est démontré aussi dans ce cas.

Mais il peut se faire que l'origine soit un point d'accumulation de zéros de la fonction continue

F (h)

. Nous allons démontrer que dans ce cas, la fonction

F (h)

est nulle quel que soit h et que

f (x)

est une solution de l'équation fonctionnelle (2).

En effet, soit

h

un point quelconque et

ε

un nombre positif quelconque. La fonction

F (h)

étant continue au point

h

, on peut déterminer le nombre positif

η

, tel que
(21)

| F (\bar{h}) - F (h) | < ε

pour
(

21^{'}

)

| \bar{h} - h | < η .

Le nombre η étant ainsi déterminé, soit

h_{1}, 0 < h_{1} < η

, un zéro de

F (h)

. Mais alors tous les nombres

p h_{1}

sont des zéros de

F (h), p

étant un entier quelconque. Il peut arriver que

h

soit de la forme

h = p h_{1}

et dans ce cas on a

F (h) = 0

. Si non, le nombre

h

appartiendra à un intervalle

(p h_{1}, (p + 1) h_{1})

de longueur

h_{1} < η

. En prenant

\bar{h} = p h_{1}

dans l'inégalité (21) nous déduisons que

| F (h) | < ε

, ce qui montre que la fonction

F (h)

est identiquement nulle.

Tenant compte de l'équation

| \begin{array}{ll} f_{0} & f_{1} \\ f_{1} & f_{2} \end{array} | = 0

quel que soit

h

, les équations (15) et (16) nous donnent

| \begin{array}{ll} f_{0} & f_{1} \\ f_{2} & f_{3} \end{array} | = 0, | \begin{array}{ll} f_{- 1} & f_{0} \\ f_{1} & f_{2} \end{array} | = 0

et en procédant comme plus haut, on démontre que

| \begin{array}{ll} f_{1} & f_{2} \\ f_{2} & f_{3} \end{array} | = 0, | \begin{array}{ll} f_{- 1} & f_{0} \\ f_{0} & f_{1} \end{array} | = 0

et en général

\begin{matrix} (21) & | \begin{array}{ll} f_{p} & f_{p + 1} \\ f_{p + 1} & f_{p + 2} \end{array} | = 0 \end{matrix}

quel que soit l'entier

p

.
Mais alors, cette équation est identique à l'équation (3) et par suite il résulte que

\begin{matrix} (22) & f (p h) = C_{1} e^{α_{1} p h} \end{matrix}

L'équation (21) étant valable quel que soit

h

, on peut remplacer dans la formule (22)

h

par

\frac{h}{s}

, d'où il résulte qu'on a

f (r h) = C_{1} e^{a_{1} r h}

r

étant un nombre rationnel quelconque.
La fonction

f (x)

étant continue, en tout point

x

, on en déduit que

f (x) = C_{1} e^{ε_{1} x}

ce qui montre que la solution

f (x)

est aussi une solution de l'équation foncti-
onnelle (2). Ce cas a été exclu dès le début (nr. 2) et par conséquent le théorème A est complétement démontré.
4. théorème B. En supposant que le nombre h a été choisi selon les exigences du théorème A , tous les déterminants

\begin{matrix} (23) & | \begin{array}{ll} f_{p} & f_{p + 1} \\ f_{p + 1} & f_{p + 2} \end{array} | \end{matrix}

où

f_{p} = f (p h)

, sont différents de zéro quel que soit le nombre entier

p

.
Pour le démontrer, reprenons les équations (15) et (16) que nous écrivons sous la forme

\begin{matrix} (') & | \begin{array}{ll} | \begin{array}{ll} f_{p - 2} & f_{p - 1} \\ f_{p - 1} & f_{p} \end{array} | & | \begin{array}{ll} f_{p - 2} & f_{p - 1} \\ f_{p} & f_{p + 1} \end{array} | \\ | \begin{array}{ll} f_{p - 2} & f_{p - 1} \\ f_{p} & f_{p + 1} \end{array} | & | \begin{array}{ll} f_{p - 2} & f_{p} \\ f_{p} & f_{p + 2} \end{array} | = 0 \end{array} | = 0 \end{matrix}

et

| \begin{array}{ll} | \begin{array}{ll} f_{p} & f_{p + 1} \\ f_{p + 1} & f_{p + 2} \end{array} | & | \begin{array}{ll} f_{p - 1} & f_{p} \\ f_{p + 1} & f_{p + 2} \end{array} | \\ | \begin{array}{ll} f_{p - 1} & f_{p} \\ f_{p + 1} & f_{p + 2} \end{array} | & | \begin{array}{ll} f_{p - 2} & f_{p} \\ f_{p} & f_{p + 2} \end{array} | = 0 \end{array} | = 0

et supposons que le déterminant

\begin{matrix} (24) & | \begin{array}{ll} f_{p - 1} & f_{p} \\ f_{p} & f_{p + 1} \end{array} | \end{matrix}

soit différent de zéro, ce qui a lieu pour

p = 1

.
Supposons que le déterminant (23) soit nul. Alors l'équation (16') nous montre que

| \begin{array}{ll} f_{p - 1} & f_{p} \\ f_{p + 1} & f_{p + 2} \end{array} | = 0

et, en développant le déterminant,

| \begin{array}{lll} f_{p - 2} & f_{p - 1} & f_{p} \\ f_{p - 1} & f_{p} & f_{p + 1} \\ f_{p} & f_{p + 1} & f_{p + 2} \end{array} | = 0

suivant les éléments de la première colonne, nous aurons

f_{p} | \begin{array}{ll} f_{p - 1} & f_{p} \\ f_{p} & f_{p + 1} \end{array} | = 0

ce qui est impossible puisque les deux facteurs sont différents de zéro. Les déterminants (23) sont donc différents de zéro pour

p = 1, 2, 3, \dots

En reprenant l'hypothèse que le déterminant (24) est différent de zéro, ce qui a lieu pour

p = 1

, démontrons que le déterminant

\begin{matrix} (25) & | \begin{array}{ll} f_{p - 2} & f_{p - 1} \\ f_{p - 1} & f_{p} \end{array} | \end{matrix}

est aussi différent de zéro.
Supposons au contraire que le déterminant (25) soit nul. I'équation (15') nous montre alors qu'on a aussi

| \begin{array}{ll} f_{p - 2} & f_{p - 1} \\ f_{p} & f_{p + 1} \end{array} | = 0

En développant le déterminant

| \begin{array}{lll} f_{p - 2} & f_{p - 1} & f_{p} \\ f_{p - 1} & f_{p} & f_{p + 1} \\ f_{p} & f_{p + 1} & f_{p + 2} \end{array} | = 0

suivant les éléments de la dernière colonne on obtient

f_{p} | \begin{array}{ll} f_{p - 1} & f_{p} \\ f_{p} & f_{p + 1} \end{array} | = 0

ce qui est impossible. Donc les déterminants (23) sont différents de z éro, pour

p = 0, - 1, - 2, - 3, \dots

et par suite le théorème B est complétement démontré.

§ 3. Intégration de l'équation fonctionnelle (11).

Reprenons l'équation fonctionnelle (11) et remplaçons $x$ par ph, où $h$ est un nombre choisi selon les exigenees du théorème A. Nous aurons

\begin{matrix} (26) & | \begin{array}{lll} f_{p} & f_{p + 1} & f_{p + 2} \\ f_{p + 1} & f_{p + 2} & f_{p + 3} \\ f_{p + 2} & f_{p + 3} & f_{p + 4} \end{array} | = 0 \end{matrix}

quel que soit le nombre entier

p

et d'après le théorème B , le déterminant

\begin{matrix} (27) & Δ_{p} = | \begin{array}{ll} f_{p} & f_{p + 1} \\ f_{p + 1} & f_{p + 2} \end{array} | \end{matrix}

qui est différent de zéro, quel que soit le nombre entier

p

.

On détermine les nombres

λ_{0}

et

λ_{1}

par les équations

\begin{aligned} (28) & λ_{0} f_{0} + λ_{1} f_{1} = f_{2} \\ λ_{0} f_{1} + λ_{1} f_{2} = f_{3} \end{aligned}

ce qui est possible puisque le déterminant du système est

Δ_{0} \neq 0

.

En faisant

p = 0

dans l'équation (26) et en tenant compte des équations (28), on déduit aussi

\begin{matrix} (') & λ_{0} f_{2} + λ_{1} f_{3} = f_{4} \end{matrix}

En faisant ensuite dans l'équation (26)

p = 1

, et en tenant compte des équations (28) et (28') et du fait que

Δ_{1} \neq 0

, on en déduit
et....ainsi de suite.

λ_{0} f_{3} + λ_{1} f_{4} = f_{5}

En général on a l'équation de récurrence

\begin{matrix} (29) & λ_{0} f_{n} + λ_{1} f_{n + 1} = f_{n + 2} \end{matrix}

valable pour

n = 0, 1, 2, \dots

Si nous considérons maintenant l'équation

| \begin{array}{ccc} f_{- 1} & f_{0} & f_{1} \\ f_{0} & f_{1} & f_{2} \\ f_{1} & f_{2} & f_{3} \end{array} | = 0

et si nous tenons compte des équations (28), on en déduit

λ_{0} f_{- 1} + λ_{1} f_{0} = f_{1}

ce qui prouve que l'équation (29) est valable aussi pour

n = - 1

. On démontre de proche en proche qu'elle est valable aussi pour

n = - 2, - 3, \dots

, c'est à dire qu'elle est valable quel que soit le nombre entier

n

.

L'équation caractéristique de l'équation de récurrence (29) est

\begin{matrix} (30) & ρ^{2} - λ_{1} ρ - λ_{0} = 0 \end{matrix}

En éliminant

λ_{0}

et

λ_{1}

entre les équations (28) et (30) on trouve que l'équation caractéristique est

\begin{matrix} (') & | \begin{array}{ccc} 1 & ρ & ρ^{2} \\ f_{0} & f_{1} & f_{2} \\ f_{1} & f_{2} & f_{3} \end{array} | = 0 \end{matrix}

On rencontre aussi cette équation dans la détermination des nombres

C_{1}, C_{2}, α_{1}, α_{2}

par les équations

\begin{aligned} C_{1} + C_{2} = f_{0} \\ (31) & C_{1} e^{a_{1} h} + C_{2} e^{a_{2} h} = f_{1} \\ C_{1} e^{2 a_{1} h} + C_{2} e^{2 a_{2} h} = f_{2} \\ C_{1} e^{3 a_{1} h} + C_{2} e^{3 a_{2} h} = f_{3} \end{aligned}

Supposons pour un moment que les nombres

α_{1}

et

α_{2}

soient différents et éliminons

C_{1}

et

C_{2}

entre ces équations. Nous aurons les équations

| \begin{array}{lll} 1 & 1 & f_{0} \\ e^{a_{1} h} & e^{a_{2} h} & f_{1} \\ e^{2 a_{1} h} & e^{2 a_{3} h} f_{2} \end{array} | = 0, | \begin{array}{ccc} 1 & 1 & f_{1} \\ e^{a_{1} h} & e^{a_{2} h} & f_{2} \\ e^{2 a_{1} h} & e^{2 a_{3} h} f_{3} \end{array} | = 0

ou

\begin{aligned} f_{0} e^{(α_{1} + α_{2}) h} - f_{1} (e^{a_{5} h} + e^{a_{3} h}) + f_{2} = 0 \\ (32) & f_{1} e^{(a_{1} + a_{5}) h} - f_{2} (e^{a_{1} h} + e^{a_{3} h}) + f_{3} = 0 \end{aligned}

En posant
(33)

μ_{1} = e^{a_{1} h}, μ_{2} = e^{a_{2} h}

nous voyons que

μ_{1}

et

μ_{2}

sont les racines de l'équation

\begin{matrix} (34) & e^{(a_{1} + a_{2}) h} - (e^{a_{1} h} + e^{a_{2} h}) μ + μ^{2} = 0 \end{matrix}

En éliminant

e^{(a_{1} + a_{2}) h}, e^{a_{1} h} + e^{a_{2} h}

entre les équations (32) et (34) on obtient l'équation en

μ

\begin{matrix} (35) & | \begin{array}{ccc} 1 & μ & μ^{2} \\ f_{0} & f_{1} & f_{2} \\ f_{1} & f_{2} & f_{3} \end{array} | = 0 \end{matrix}

qui est identique à l'équation caractéristique (

30^{'}

).
Il résulte que les racines de l'équation caractéristique

(30^{'})

sont

ρ_{1} = e^{a_{1} h}, ρ_{2} = e^{a_{2} h}

dans l'hypothèse qu'elle a des racines distinctes.
La solution de l'équation de récurrence (29) est alors
ou

t_{n} = A_{1} ρ_{1}^{n} + A_{2} ρ_{2}^{n}

f_{n} = A_{1} e^{a_{1} n h} + A_{2} e^{a_{2} n h}

où les constantes

A_{1}

et

A_{2}

sont données par les équations

\begin{aligned} A_{1} + A_{2} = f_{0} \\ A_{1} e^{a_{1} h} + A_{2} e^{a_{2} h} = f_{1} \end{aligned}

En comparant ce système avec les deux premières équations (31), on en déduit que
de sorte que

A_{1} = C_{1}, A_{2} = C_{2}

\begin{matrix} (36) & f (n h) = C_{1} e^{a_{1} n h} + C_{2} e^{a_{2} n h} \end{matrix}

quel que soit le nombre entier

n

.

Si l'équation caractéristique (30') a des racines confondues, égales à

ρ_{1}

, la solution de l'équation de récurrence (29) est

\begin{matrix} (37) & f_{n} = ρ_{1}^{n} (A + B n) \end{matrix}

où

A

et

B

sont des constantes.
On rencontre l'équation caractéristique avec les racines confondues. aussi dans la détermination des nombres

C_{1}, C_{2}, α_{1}

par les équations

\begin{matrix} (38) & \begin{array}{cc} C_{1} & = f_{0} \\ e^{α_{1} h} (C_{1} + C_{2} h) & = f_{1} \\ e^{2 α_{1} h} (C_{1} + 2 C_{2} h) & = f_{2} \\ e^{3 α_{1} h} (C_{1} + 3 C_{2} h) & = f_{3} \end{array} \end{matrix}

analogues aux équations (31).
En effet, en éliminant

C_{1}

entre ces équations, on trouve les équations

\begin{aligned} e^{a_{1} h} C_{2} h = f_{1} - f_{0} e^{a_{1} h} \\ e^{2 a_{1} h} C_{2} h = f_{2} - f_{1} e^{a_{1} h} \\ e^{3 a_{1} h} C_{2} h = f_{3} - f_{2} e^{a_{1} h} \end{aligned}

En éliminant ensuite

C_{2}

, on trouve les équations
ou

\begin{matrix} f_{2} - f_{1} e^{a_{1} h} - e^{a_{1} h} (f_{1} - f_{0} e^{a_{1} h}) = 0 \\ f_{3} - f_{2} e^{a_{1} h} - e^{a_{1} h} (f_{2} - f_{1} e^{a_{1} h}) = 0 \\ f_{2} - 2 e^{a_{1} h} f_{1} + e^{2 a_{1} h} f_{0} = 0 \\ f_{3} - 2 e^{2 a_{1} h} f_{2} + e^{2 a_{1} h} f_{1} = 0 \end{matrix}

Ces deux équations montrent que

e^{a_{1} h}

est une racine double de l'équation caractéristique (

30^{'}

) car les deux équations

| \begin{array}{lll} 1 & ρ & ρ^{2} \\ f_{0} & f_{1} & f_{2} \\ f_{1} & f_{2} & f_{3} \end{array} | = 0, | \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 ρ \\ f_{0} & f_{1} & f_{2} \\ f_{1} & f_{2} & f_{3} \end{array} | = 0

sont vérifiées par

ρ = e^{α_{1} h}

.
Nous pouvons donc remplacer dans l'équation (37)

ρ_{1}

par

e^{a_{2} h}

et nous aurons

f_{n} = e^{n a_{1} h} (A + B n) .

Les constantes

A

et

B

sont déterminées par les équations

\begin{matrix} A = f_{0} \\ e^{α_{3} h} (A + B) = f_{1} \end{matrix}

En comparant ces équations avec les deux premières équations (38) on en déduit

A = C_{1}, B = C_{2} h .

et par suite la solution de l'équation de récurrence (29) est

\begin{matrix} (39) & f (n h) = e^{a_{1} n h} (C_{1} + C_{2} n h) \end{matrix}

où

α_{1}, C_{1}

et

C_{2}

sont donnés par les équations (38).
6. Démontrons que les formules (36) et (39) sont valables aussi lorsqu'on remplace

n

par un nombre rationnel

r

quelconque.

En effet si nous remplaçons

h

par

h_{1} = \frac{h}{s}

, où

s

est un nombre naturel quelconque, tous les calculs précédents sont valables. Nous aurons

\begin{matrix} (40) & f (p h_{1}) = C_{1}^{'} e^{α_{1}^{'} p h_{1}} + C_{2}^{'} e^{α_{2}^{'} p h_{1}} \end{matrix}

ou

\begin{matrix} (41) & f {(p h_{1})}^{'} = e^{α_{1}^{'} p h_{1}} (C_{1}^{'} + C_{2}^{'} p h_{1}) \end{matrix}

selon que l'équation caractéristique correspondante a des racines distinctes, ou confondues, et où.

p

est un entier quelconque.

Pour déterminer les constantes

C_{1}^{'}, C_{2}^{'}, α_{1}^{'} α_{2}^{'}

de la formule (40), ou

C_{1}^{'}, C_{2}^{'}, α_{1}^{'}

de la formule (41) on peut se servir des systèmes d'équations (31) ou (38) où l'on remplace

h

par

h_{1}

. Mais comme il s'agit de la solution

f (x)

de l'équation fonctionnelle (11) déterminée par les conditions

f (0) = f_{0}, f (h) = f_{1}, f (2 h) = f_{2}, f (3 h) = f_{3}

et comme les équations (40) et (41) sont valables quel que soit l'entier

p

, on peut former quatre équations successives pour déterminer les constantes, en donnant à

p

les valeurs

0, s, 2 s, 3 s

.

Puisque

s h_{1} = h

, ces équations sont
et

\begin{matrix} C_{1}^{'} + C_{2}^{'} = f (0) = f_{0} \\ C_{1}^{'} e^{α_{1}^{'} h} + C_{2}^{'} e^{α_{2}^{'} h} = f (h) = f_{1} \\ C_{1}^{'} e^{2 α_{1}^{'} h} + C_{2}^{'} e^{2 α_{2}^{'} h} = f (2 h) = f_{2} \\ C_{1}^{'} e^{3 α_{1}^{'} h} + C_{2}^{'} e^{3 α_{2}^{'} h} = f (3 h) = f_{3} \\ C_{1}^{'} = f (0) = f_{0} \\ e_{1}^{α_{1}^{'} h} (C_{1}^{'} + C_{2}^{'} h) = f (h) = f_{1} \\ e^{2 α_{1}^{'} h} (C_{1}^{'} + 2 C_{2}^{'} h) = f (2 h) = f_{2} \\ e^{3 α_{1}^{'} h} (C_{1}^{'} + 3 C_{2}^{'} h) = f (3 h) = f_{3} \end{matrix}

Ces systèmes d'équations sont identiques aux équations (31) et (38); on en déduit alors pour le premier système

C_{1}^{'} = C_{1}, C_{2}^{'} = C_{2}, α_{1}^{'} = α_{1}, α_{2}^{'} = α_{2}

et pour le second système

C_{1}^{'} = C_{1}, C_{2}^{'} = C_{2}, α_{1}^{'} = α_{1}

Il résulte que dans les formules (40) et (41) on peut remplacer

C_{1}^{'}, C_{2}^{'}

,

α_{1}^{'}, α_{2}^{'} par C_{1}, C_{2}, α_{1}, α_{2}

et

C_{1}^{'}, C_{2}^{'}, α_{1}^{'} par C_{1}, C_{2}, α

. En remplaçant aussi

h_{1}

par

\frac{h}{s}

, et ensuite

\frac{p}{s}

par

r

, nous pouvons écrire les équations (40) et (41) sous la forme

\begin{matrix} (42) & f (r h) = C_{1} e^{a_{1} r h} + C_{2} e^{a_{2} r h} \end{matrix}

ou

\begin{matrix} (43) & f (r h) == e^{a_{1} r h} (C_{1} + C_{2} r h) . \end{matrix}

Les fonctions

f (x), e^{a_{1} x}, e^{a_{2} x}, x e^{a_{1} x}

étant continues quel que soit

x

, nous déduisons que, pour

x

quelconque, nous avons

\begin{matrix} (44) & f (x) = C_{1} e^{a_{1} x} + C_{2} e^{a_{2} x} \end{matrix}

ou

\begin{matrix} (45) & f (x) = e^{a_{1} x} (C_{1} + C_{2} x) \end{matrix}

Dans l'équation (44),

e^{α_{1} h}

et

e^{α_{2} h}

sont les racines de l'équation caractéristique (

30^{'}

). Ces racines peuvent être réelles ou complexes conjuguées. Dans ce dernier cas les deux premières équations (31) donnent pour

C_{1}

et

C_{2}

des valeurs complexes conjuguées.

En posant

\begin{array}{ll} α_{1} = β_{1} + i β_{2}, & α_{2} = β_{1} - i β_{2} \\ C_{1} = \frac{K_{1} - i K_{2}}{2}, & C_{2} = \frac{K_{1} + i K_{2}}{2} \end{array}

la formule (44) devient
ou

f (x) = e^{β_{1} x} [\frac{K_{1} - i K_{2}}{2} (\cos β_{2} x + i \sin β_{2} x) + \frac{K_{1} + i K_{2}}{2} (\cos β_{2} x - i \sin β_{2} x)]]

\begin{matrix} (') & f (x) = e^{β_{1} x} [K_{1} \cos β_{2} x + K_{2} \sin β_{2} x] \end{matrix}

En résumé, les solutions réelles, continues quel que soit

x

, de l'équation fonctionnelle (11) sont de la forme

\begin{aligned} f (x) = C_{1} e^{a_{1} x} + C_{2} e^{a_{2} x} \\ (46) & f (x) = e^{β_{1} x} (K_{1} \cos β_{2} x + K_{2} \sin β_{2} x) \\ f (x) = e^{a_{1} x} (C_{1} + C_{2} x) \end{aligned}

Les résultats de ce travail ont été communiqués à l'Académie de la République Populaire Roumaine. [2].

H. Löwner, Über monotone Matrixfunctionen Mat. Zeit. 38. 1934. p. 177-216 2. D. V. Ionescu, Integrarea ecuației funcționale

| \begin{array}{lll} f (x) & f (x + h) & f (x + 2 h) \\ f (x + h) & f (x + 2 h) & f (x + 3 h) \\ f (x + 2 h) & f (x + 3 h) & f (x + 4 h) \end{array} | = 0

Sesiunea științifică a Academiei R.P.R. Filiala Cluj
Reçu le 15 mars 1958.

SUR UN PROBLÈME AUX LIMITES QUI INTERVIENT DANS UN PROJET D'UNE CHAUDIÉRE À VAPEUR

par

C. KALIK

à Cluj

Dans son travail [1] L. NÉMETI s'occupe d'un problème qui se pose lorsqu'on veut établir le projet d'une chaudière tubulaire à vapeur ayant un passage forcé. L'auteur propose une méthode de calcul de la tension thermique dans les murs du tube. Cependant, pour calculer la tension thermique il est nécessaire de connaître la température, ce qui exige la résolution d'un problème aux limites. Le but du présent travail est de donner la résolution de ce problème aux limites.

D'abord, nous introduisons les signes ci-dessous utilisés et formulons le problème aux limites. Soit

r, φ, z

des coordonnées cylindriques dans l'espace à trois dimensions. Le tube de la chaudière est déterminé par les inégalités suivantes:

r_{0} ⩽ r ⩽ r_{0} + s; 0 ⩽ φ ⩽ 2 π; - L ⩽ x ⩽ + L

où

r_{0}

est le rayon intérieur,

s

l'épaisseur et

2 L

la longueur du tube. Le champ thermique peut être considéré comme étant le même dans chaque section du tube avec le plan

φ =

constante. Le phénomène devient statique à un moment donné, donc la fonction

u

qui nous donne les valeurs de la température doit satisfaire à l'équation aux dérivées partielles suivante :

\begin{matrix} (1.1) & A (u) = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = 0 \end{matrix}

à chaque point du mur du tube.
Les conditions aux limites sont déterminées par les données suivantes : à l'extérieur du tube on maintient un régime constant de telle manière que le flux de chaleur soit la constante

Q

Supposons que la chaleur ne passe pas par les extrémités

z = \pm L

du tube, ce qui signifie qu'ici le

1959

Sur une équation fonctionnelle

Abstrait

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SUR UNE ÉQUATION FONCTIONNELLE

D. V. IONESCU
à Cluj

§ 1. Le cas $n = 1$

§ 2. Le cas $n = 2$ . Considérations sur les zéros d'une solution $f (x)$ .

§ 3. Intégration de l'équation fonctionnelle (11).

SUR UN PROBLÈME AUX LIMITES QUI INTERVIENT DANS UN PROJET D'UNE CHAUDIÉRE À VAPEUR

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SUR UNE ÉQUATION FONCTIONNELLE

D. V. IONESCU à Cluj

§ 1. Le cas n = 1 n = 1 n=1n=1

§ 2. Le cas n = 2 n = 2 n=2n=2. Considérations sur les zéros d'une solution f ( x ) f ( x ) f(x)f(x).

§ 3. Intégration de l'équation fonctionnelle (11).

SUR UN PROBLÈME AUX LIMITES QUI INTERVIENT DANS UN PROJET D'UNE CHAUDIÉRE À VAPEUR

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à Cluj

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§ 2. Le cas $n = 2$ . Considérations sur les zéros d'une solution $f (x)$ .