Sur une inégalité de N. Levinson

Tiberiu Popoviciu
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Abstrait

Traduction en anglais du titre

On an inequality of N. Levinson

Auteur(s)

T. Popoviciu
Institutul de Calcul

Mots-clés

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1964 a -Popoviciu- Mathematica – Sur une inegalite de N. Levinson

Pour citer ce travail

T. Popoviciu, Sur une inégalité de N. Levinson, Mathematica (Cluj), 6(29) (1964), pp. 301-306 (in French). [Zbl 0138.27303]

Sur ce travail

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Mathematica Cluj

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SUR UNE INÉGALITÉ DE N. LEVINSON

par
TIBERIU POPOVICIU
à Cluj

  1. 1.

    Nous supposerons connues la définition et les principales propriétés des différences divisées. Nous désignerons par [ x1,x2,…,xm+1;fx_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1};f ] la différence divisée d’ordre mm, de la fonction ff sur les points, ou les noeuds, x1,x2,…,xm+1x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}. Les noeuds peuvent être distincts ou non. Dans le cas où les noeuds ne sont pas tous distincts (ou simples), dans les différences divisées interviennent aussi les dérivées successives de la fonction (sur les noeuds multiples). Dans la suite n’interviendrons, d’ailleurs, que des différences divisees sur des noeuds distincts.

Une fonction est dite non-concave respectivement (≧−1)(\geqq-1) sur l’intervalle II, si sa différence divisée d’onvexe d’ordre mm non-négative respectivement positive sur tout reste distincts de II.
e m+2m+2 points tinue si m≥1m\geq 1 et a une ourdre mm sur un intervalle ouvert est con-non-concave respectivement conction ff est concave respectivement conce d’ est non-
2. L’inégalité classique de Jéproquement. vexes (habituelles) est la suivante 2 relativement aux fonctions con-

f​(∑α=1npα​xα∑α=1npα)≦∑α=1npα​f​(xα)∑α=1npαf\left(\frac{\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}x_{\alpha}}{\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}}\right)\leqq\frac{\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}f\left(x_{\alpha}\right)}{\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}} (1)

et est vérifiée quels que soient le nombre naturel nn, les points xα∈Ix_{\alpha}\in I, α=1,2,…,n\alpha=1,2,\ldots,n et les nombres positifs pα,α=1,2,…,np_{\alpha},\alpha=1,2,\ldots,n, pour toute fonction ff non-concave d ordre 1 sur l’intervalle II.

Si n>1n>1 et si la fonction ff est convexe d’ordre 1 sur II, l’égalité dans (1) a lieu si et seulement si les points xα,α=1,2,…,nx_{\alpha},\alpha=1,2,\ldots,n sont tous confondus.

On connait plusieurs démonstrations de ces propriétés. Remarquons qu’il suffit de démontrer l’inégalité (1) dans le cas où les points xα,α==1,2,…,nx_{\alpha},\alpha==1,2,\ldots,n sont distincts, la fonction ff étant non-concave d’ordre 1 sur II et de montrer que si n>1n>1 et ff est convexe d’ordre 1 sur II, alors l’égalité dans (1) n’est pas possible.

Soit n>1n>1 et choisissons les notations de manière que l’on ait
(2)

x1<x2<…<xnx_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}

Si pα>0,α=1,2,…,np_{\alpha}>0,\alpha=1,2,\ldots,n et si nous posons

ξα=p1​x1+p2​x2+⋯+pα​xαp1+p2+⋯+pα,α=1,2,…,n\xi_{\alpha}=\frac{p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\cdots+p_{\alpha}x_{\alpha}}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{\alpha}},\quad\alpha=1,2,\ldots,n (3)

nous avons alors

ξ1=x1,ξn=∑α=1npα​xα∑α=1npα​ et ​ξα<ξα+1<xα+1,α=1,2,…,n−1\xi_{1}=x_{1},\quad\xi_{n}=\frac{\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}x_{\alpha}}{\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}}\text{ et }\xi_{\alpha}<\xi_{\alpha+1}<x_{\alpha+1},\alpha=1,2,\ldots,n-1 (4)

L’égalité

∑α=1npα​f​(xα)−f​(ξn)​∑α=1npα=\displaystyle\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}f\left(x_{\alpha}\right)-f\left(\xi_{n}\right)\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}= (5)
=∑α=1n−1pα+1​(p1+p2+…+pα)​(ξα−xα+1)2p1+p2+…+pα+1​[ξα,ξα+1,xα+1;f]\displaystyle=\sum_{\alpha=1}^{n-1}\frac{p_{\alpha+1}\left(p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{\alpha}\right)\left(\xi_{\alpha}-x_{\alpha+1}\right)^{2}}{p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{\alpha+1}}\left[\xi_{\alpha},\xi_{\alpha+1},x_{\alpha+1};f\right]

démontre alors l’inégalité (1) de Jensen.
Nous pouvons énoncer les propriétés exprimées par cette inégalité aussi sous la forme du

THÉORÈME 1. Pour que l’inégalité (1) soit vérifiée pour tout nombre naturel nn, pour tout groupe de nn points xα∈I,α=1,2,…,nx_{\alpha}\in I,\alpha=1,2,\ldots,n, et pour tout groupe de nn nombres positifs pα,α=1,2,…,np_{\alpha},\alpha=1,2,\ldots,n, il faut et il suffit que la fonction ff soit non-concave d’ordre 1 sur l’intervalle II.

Pour que l’inégalité stricte (avec le signe <) (1) soit vérifiée pour tout nombre naturel n>1n>1, tout groupe de nn points xα∈I​α=1,2,…,nx_{\alpha}\in I\alpha=1,2,\ldots,n, non tous confondus et tout groupe de nn nombres positifs pα,α=1,2,…,np_{\alpha},\alpha=1,2,\ldots,n, il faut et il suffit que la fonction ff soit convexe d’ordre 1 sur l’intervalle II.

La nécessité des conditions de l’énoncé résulte de la formule (5), en remarquant que si x1<x2<x3x_{1}<x_{2}<x_{3} sont trois points quelconques de II (soumis aux inégalités signalées), on peut toujours trouver deux nombres positifs p,qp,q de manière que x2=p​x1+q​x3p+qx_{2}=\frac{px_{1}+qx_{3}}{p+q} (par exemple, p=x3−x2,q==x2−x1)p=x_{3}-x_{2},q=\left.=x_{2}-x_{1}\right)
3. Considérons nn nombres positifs pα,α=1,2,…,np_{\alpha},\alpha=1,2,\ldots,n et deux groupes, chacun de nn points, xα,xα′,α=1,2,…,nx_{\alpha},x_{\alpha}^{\prime},\alpha=1,2,\ldots,n. Posons (3) et

ξα′=p1​x1′+p2​x2′+⋯+pα​xα′p1+p2+⋯+pα,α=1,2,…,n\xi_{\alpha}^{\prime}=\frac{p_{1}x_{1}^{\prime}+p_{2}x_{2}^{\prime}+\cdots+p_{\alpha}x_{\alpha}^{\prime}}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{\alpha}},\alpha=1,2,\ldots,n (6)

L’inégalité de Levinson s’écrit

∑α=1npd​f​(xα)∑α=1npα−f​(∑α=1npα​xα∑α=1npα)≦∑α=1npα​(xα′)∑α=1npα−f​(∑α=1npα​xα′∑α=1npα)\frac{\sum_{\alpha=1}^{n}p_{d}f\left(x_{\alpha}\right)}{\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}}-f\left(\frac{\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}x_{\alpha}}{\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}}\right)\leqq\frac{\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}\left(x_{\alpha}^{\prime}\right)}{\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}}-f\left(\frac{\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}x_{\alpha}^{\prime}}{\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}}\right) (7)

où les points xα,xα′x_{\alpha},x_{\alpha}^{\prime} et la fonction ff vérifient les conditions qui vont suivre. Supposons que n>1n>1, que l’on ait (2) et que

x1+x1′=x2+x2′=…=xn+xn′,xn≦xn′x_{1}+x_{1}^{\prime}=x_{2}+x_{2}^{\prime}=\ldots=x_{n}+x_{n}^{\prime},x_{n}\leqq x_{n}^{\prime} (8)

Nous en déduisons xn′<xn−1′<…<x1′x_{n}^{\prime}<x_{n-1}^{\prime}<\ldots<x_{1}^{\prime} et ξα<ξα+1<xα+1≦\xi_{\alpha}<\xi_{\alpha+1}<x_{\alpha+1}\leqq
≦xα+1′<ξα+1′<ξα′,α=1,2,…,n−1\leqq x_{\alpha+1}^{\prime}<\xi_{\alpha+1}^{\prime}<\xi_{\alpha}^{\prime},\quad\alpha=1,2,\ldots,n-1, et
(9)

ξα−xα+1=xα+1′−ξα′,α=1,2,…,n−1\xi_{\alpha}-x_{\alpha+1}=x_{\alpha+1}^{\prime}-\xi_{\alpha}^{\prime},\alpha=1,2,\ldots,n-1

Les égalités (9) sont équivalentes aux n−1n-1 égalités (8).
Remarquons aussi que nous avons

[ξα′,ξα+1′,xα+1′;f]−[ξα,ξα+1,xα+1;f]=\displaystyle{\left[\xi_{\alpha}^{\prime},\xi_{\alpha+1}^{\prime},x_{\alpha+1}^{\prime};f\right]-\left[\xi_{\alpha},\xi_{\alpha+1},x_{\alpha+1};f\right]=} (10)
=(ξα′−xα+1)​[ξα,ξα+1,xα+1,ξα′;f]+\displaystyle\quad=\left(\xi_{\alpha}^{\prime}-x_{\alpha+1}\right)\left[\xi_{\alpha},\xi_{\alpha+1},x_{\alpha+1},\xi_{\alpha}^{\prime};f\right]+
+(ξα+1′−ξα+1)​[ξα,ξα+1,ξα′,ξα+1′;f]+\displaystyle\quad+\left(\xi_{\alpha+1}^{\prime}-\xi_{\alpha+1}\right)\left[\xi_{\alpha},\xi_{\alpha+1},\xi_{\alpha}^{\prime},\xi_{\alpha+1}^{\prime};f\right]+
+(xα+1′−ξα)​[ξα,ξα′​ξα+1′,xα+1′;f]\displaystyle\quad+\left(x_{\alpha+1}^{\prime}-\xi_{\alpha}\right)\left[\xi_{\alpha},\xi_{\alpha}^{\prime}\xi_{\alpha+1}^{\prime},x_{\alpha+1}^{\prime};f\right]

et il en résulte que, sous les hypothèses n>1n>1, (2) et (8), nous avons [ξα′,ξα+1′,xα+1′;f]≧\left[\xi_{\alpha}^{\prime},\xi_{\alpha+1}^{\prime},x_{\alpha+1}^{\prime};f\right]\geqq respectivement >[ξα,ξα+1,xα+1;f],α=1,2,…,n−1>\left[\xi_{\alpha},\xi_{\alpha+1},x_{\alpha+1};f\right],\alpha=1,2,\ldots,n-1, suivant que la fonction ff est non-concave respectivement convexe d’ordre 2 sur un intervalle contenant les points xα,xα′,α=1,2,…,nx_{\alpha},x_{\alpha}^{\prime},\alpha=1,2,\ldots,n.

Compte tenant de (5) et (10), nous avons

[∑α=1npα​f​(xα′)−f​(ξn′)​∑α=1npα]−[∑α=1npα​f​(xα)−f​(ξn)​∑α=1npα]=\displaystyle{\left[\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}f\left(x_{\alpha}^{\prime}\right)-f\left(\xi_{n}^{\prime}\right)\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}\right]-\left[\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}f\left(x_{\alpha}\right)-f\left(\xi_{n}\right)\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}\right]=} (11)
=∑α=1npα+1​(p1+p2+…+pα)​(ξα−xα+1)2p1+p2+…+pα+1\displaystyle=\sum_{\alpha=1}^{n}\frac{p_{\alpha+1}\left(p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{\alpha}\right)\left(\xi_{\alpha}-x_{\alpha+1}\right)^{2}}{p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{\alpha+1}}
⋅{(ξα′−xα+1)​[ξα,ξα+1,xα+1,ξα′;f]++(ξα+1′−ξα+1)​[ξα,ξα+1,ξα′,ξα+1′;f]++(xα+1′−ξα)​[ξα,ξα,ξα+1′,xα+1′;f]}\displaystyle\cdot\left\{\begin{array}[]{l}\left(\xi_{\alpha}^{\prime}-x_{\alpha+1}\right)\left[\xi_{\alpha},\xi_{\alpha+1},x_{\alpha+1},\xi_{\alpha}^{\prime};f\right]+\\ +\left(\xi_{\alpha+1}^{\prime}-\xi_{\alpha+1}\right)\left[\xi_{\alpha},\xi_{\alpha+1},\xi_{\alpha}^{\prime},\xi_{\alpha+1}^{\prime};f\right]+\\ +\left(x_{\alpha+1}^{\prime}-\xi_{\alpha}\right)\left[\xi_{\alpha},\xi_{\alpha},\xi_{\alpha+1}^{\prime},x_{\alpha+1}^{\prime};f\right]\end{array}\right\}
  1. 4.

    De l’analyse précédente il résulte que l’inégalité (7) de Levinson est vérifiée quels que soient, le nombre naturel nn, les points xα,xα′∈Ix_{\alpha},x_{\alpha}^{\prime}\in I, α=1,2,…,n\alpha=1,2,\ldots,n tels que l’on ait

{x1+x1′=x2+x2′=…=xn+xn′max⁡(x1,x2,…,xn)≦min⁡(x1′,x2′,…,xn′)\left\{\begin{array}[]{l}x_{1}+x_{1}^{\prime}=x_{2}+x_{2}^{\prime}=\ldots=x_{n}+x_{n}^{\prime}\\ \max\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)\leqq\min\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime}\right)\end{array}\right.

et les nombres positifs pα,α=1,2,…,np_{\alpha},\alpha=1,2,\ldots,n, pour toute fonction ff nonconcave d’ordre 2 sur l’intervalle II.

Si n>1n>1 et si la fonction ff est convexe d’ordre 2 sur II, l’égalité dans (7) a lieu si et seulement si les points xα,α=1,2,…,nx_{\alpha},\alpha=1,2,\ldots,n (donc aussi les points xα′,α=1,2,…,nx_{\alpha}^{\prime},\alpha=1,2,\ldots,n ) sont tous confondus.
N. LEVINSON a obtenu [1] les résultats précédents, en supposant que la fonction ff ait une dérivée troisième f′′f^{\prime\prime}. Nous avons donc obtenu une généralisation de l’inégalité de Levinson.

Nous pouvons énoncer ces propriétés aussi sous la forme du
théorème 2. Pour que l’inégalité (7) soit vérifiée, pour tout nombre naturel nn, pour tout groupe de 2​n2n points xα​xα′∈I​α=1,2,…,nx_{\alpha}x_{\alpha}^{\prime}\in I\alpha=1,2,\ldots,n, tels que l’on ait (12) et pour tout groupe de nn nombres positifs pα,α=1,2,…,np_{\alpha},\alpha=1,2,\ldots,n, il suffit que la fonction ff et il faut que la fonction continue ff soit non-concave d’ordre 2 sur l’intervalle II.

Pour que l’inégalité stricte (avec le signe < ) (7) soit vérifiée pour tout nombre naturel n>1n>1, pour tout groupe de 2​n2n points xα,xα′∈I​α=1,2,…,nx_{\alpha},x_{\alpha}^{\prime}\in I\alpha=1,2,\ldots,n, tels que l’on ait (12), les xαx_{\alpha} non pas tous confondus et pour tout groupe de nn nombres positifs pα,α=1,2,…,np_{\alpha},\alpha=1,2,\ldots,n, il suffit que la fonction ff et il faut que la fonction continue ff soit convexe d’ordre 2 sur l’intervalle II.

Dans la démonstration la restriction que les points xα,α=1,2,…,nx_{\alpha},\alpha=1,2,\ldots,n soient distincts ne retreint pas la généralité puisque en vertu de (12), si xα=xβx_{\alpha}=x_{\beta} nous avons xα′=xβ′x_{\alpha}^{\prime}=x_{\beta}^{\prime} et réciproquement.

La nécessité des conditions de l’énoncé résulte de la formule (7). Si nous posons n=2,x1=x,x2=x2′=x+32h,x1′=x+3h,p1=1,p2==2n=2,x_{1}=x,x_{2}=x_{2}^{\prime}=x+\frac{3}{2}h,x_{1}^{\prime}=x+3h,p_{1}=1,p_{2}==2, nous avons ξ2=x+h,ξ2′=x+2​h\xi^{2}=x+h,\xi_{2}^{\prime}=x+2h, le premier membre de la formule (11) devient Δh3f(x)=f(x+3h)−3f(x+2h)+3f(x+h)−f(x)==6h3[x,x+h,x+2h,x+3h;f]\Delta_{h}^{3}f(x)=f(x+3h)-3f(x+2h)+3f(x+h)-f(x)==6h^{3}[x,x+h,x+2h,x+3h;f]. Mais, on sait [2], que si Δh3​f​(x)≧0\Delta_{h}^{3}f(x)\geqq 0 respectivemt >0>0, pour tout x,x+3​h∈I,h>0x,x+3h\in I,h>0, la fonction ff, supposée continue, est non-concave, respectivement convexe d’ordre 2 sur II.

Dans la nécessité de la condition du théorème l’hypothése de la continuité de la fonction peut, en général, être remplacée par une hypothèse moins restrictive (mesurabilité, d’être bornée sur II, etc.).
5. La démonstration que nous avons donnée plus haut à l’inégalité de Levinson est basée sur le fait que les moyennes successives (3) et (6) des points xαx_{\alpha} et des points xα′x_{\alpha}^{\prime} sont formées avec les mêmes poids et que
ces points sont liés par les égalités (9). En réalité pour pouvoir utiliser une formule telle que (10) il suffit seulement que l’on ait

(ξα−xα+1)2=(xα+1′−ξα′)2,α=1,2,…,n−1\left(\xi_{\alpha}-x_{\alpha+1}\right)^{2}=\left(x_{\alpha+1}^{\prime}-\xi_{\alpha}^{\prime}\right)^{2},\quad\alpha=1,2,\ldots,n-1 (13)

et non pas nécessairement (9). En imposant aux points xα,xα′x_{\alpha},x_{\alpha}^{\prime} la restriction (13), sans que les égalités (9) soient toutes vérifiées, on peut obtenir d’autres théorèmes, analogues au théorème 2 .
6. A titre d’exemple, supposons que l’on ait

ξα−xα+1=ξα′−xα+1′,α=1,2,…,n−1\xi_{\alpha}-x_{\alpha+1}=\xi_{\alpha}^{\prime}-x_{\alpha+1}^{\prime},\quad\alpha=1,2,\ldots,n-1 (14)

en supposant toujours que les moyennes ξα,ξα′\xi_{\alpha},\xi_{\alpha}^{\prime} sont données par (3) et (6). Nous en déduisons que

x1′−x1=x2′−x2=…=xn′−xn=y.x_{1}^{\prime}-x_{1}=x_{2}^{\prime}-x_{2}=\ldots=x_{n}^{\prime}-x_{n}=y. (15)

Si les inégalités (2) sont vérifiées on a aussi x1′<x2′<…<xn′,ξα′−−ξα=y,α=1,2,…,nx_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{n}^{\prime},\xi_{\alpha}^{\prime}--\xi_{\alpha}=y,\alpha=1,2,\ldots,n et on a toujours ξα<ξα+1<xα+1,α=1,2,…\xi_{\alpha}<\xi_{\alpha+1}<x_{\alpha+1},\alpha=1,2,\ldots, …,n−1\ldots,n-1. Nous avons la formule

[ξα′,ξα+1′,ξn+1′;f]−[ξα,ξα+1,xα+1;f]=\displaystyle{\left[\xi_{\alpha}^{\prime},\xi_{\alpha+1}^{\prime},\xi_{n+1}^{\prime};f\right]-\left[\xi_{\alpha},\xi_{\alpha+1},x_{\alpha+1};f\right]=} (16)
=y{[ξα,ξα′,ξα+1′,xα+1′;f]+[ξα,ξα+1,ξα+1′,xα+1′;f]+\displaystyle=y\left\{\left[\xi_{\alpha},\xi_{\alpha}^{\prime},\xi_{\alpha+1}^{\prime},x_{\alpha+1}^{\prime};f\right]+\left[\xi_{\alpha},\xi_{\alpha+1},\xi_{\alpha+1}^{\prime},x_{\alpha+1}^{\prime};f\right]+\right.
+[ξα,ξα+1,xα+1,xα+1′;f]}\displaystyle\left.+\left[\xi_{\alpha},\xi_{\alpha+1},x_{\alpha+1},x_{\alpha+1}^{\prime};f\right]\right\}

et il en résulte que, sous les hypothèses (2), (15) (ou (14)) et y>0y>0, 1a différence (10) (ou (16)) vérifie encore la propriété de non-concavité d’ordre 2 signalée plus haut.

Comme plus haut nous déduisons 1e
théorème 3. Pour que l’inégalité (7) soit vérifiée pour tout nombre naturel nn, pour tout groupe de 2​n2n points xα,xα′∈I,α=1,2,…,nx_{\alpha},x_{\alpha}^{\prime}\in I,\alpha=1,2,\ldots,n, tels que l’on ait (15) avec y>0y>0 et pour tout groupe de nn nombres positifs pα,α==1,2,…,np_{\alpha},\alpha==1,2,\ldots,n, il suffit que la fonction ff et il est nécessaire que la fonction continue (ou mesurable, ou bornée etc.) ff soit non-concave d’ordre 2 sur l’intervalle II.

Pour que l’inégalité stricte (avec le signe < ) (7) soit vérifiée pour tout nombre naturel n>1n>1, pour tout groupe de 2​n2n points xα,xα′∈I,α=1,2x_{\alpha},x_{\alpha}^{\prime}\in I,\alpha=1,2, …,n\ldots,n, les xαx_{\alpha} non pas tous confondus, tels que l’on ait (15) avec y>0y>0 et pour tout groupe de nn nombres positifs pα,α=1,2,…,np_{\alpha},\alpha=1,2,\ldots,n, il suffit que la fonction ff et il faut que la fonction continue (mesurable, bornée, etc.) soit convexe d’ordre 2 sur l’intervalle II.

Pour la nécessité des conditions de l’énoncé il suffit de prendre n=3n=3 et x1=x,x2=x1′=x+h,x3=x2′=x+2​h,x3′=x+3​hx_{1}=x,x_{2}=x_{1}^{\prime}=x+h,x_{3}=x_{2}^{\prime}=x+2h,x_{3}^{\prime}=x+3h et l’inégalité (7) devient encore Δn3​f​(x)≧0\Delta_{n}^{3}f(x)\geqq 0 avec h>0h>0.
7. L’inégalité (7), sous les hypothèses du théorème 3 ( II étant un intervalle ouvert) peut être démontrée pour une fonction ff non-concave (respectivement convexe) d’ordre 2 , en remarquant que cette fonction a une
dérivée non-concave (respectivement convexe) d’ordre 1. En vertu de l’inégalité de Jensen, la fonction de yy,

∑α=1npα​f​(xα+y)−f​(ξn+y)​∑α=1npα\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}f\left(x_{\alpha}+y\right)-f\left(\xi_{n}+y\right)\sum_{\alpha=1}^{n}p_{\alpha}

est, non-décroissante (respectivement croissante si n>1n>1 et les x1,x2,…,xnx_{1},x_{2},\ldots,x_{n} ne coïncident pas tous), sa dérivée étant non-négative (respectivement positive).

BIBLIOGRAPHIE
[1] Levinson N., Generalization of an Inequality of Ky Fan, Journal of Math. Analysis and Afplication, 8, 133, 134 (1964).
[2] Popoviciu T., Sur quelques propriétés des fonctions d’une ou de deux variables réelles, Mathematica, 8, 1-85 (1934).

Reçu le 12. III. 1963

1964

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