On the Chebyshev subspaces in normed space of Lipschitz functions

Costica Mustata
(original), Approximation Theory, best approximation, paper

Original title (in Romanian)

Asupra unor subspații cebâșeviene din spațiul normat al funcțiilor lipschitziene

Abstract

Authors

Costica Mustata
“Tiberiu Popoviciu” Institute of Numerical Analysis, Romanian Academy, Romania

Keywords

Paper coordinates

C. Mustăţa, On the Chebyshev subspaces in normed space of Lipschitz functions, Rev. Anal. Numer. Teoria Approximatiei, 2 (1973) no. 1, 81-87 (MR 52 # 8758) (in Romanian).

PDF

https://ictp.acad.ro/wp-content/uploads/2025/07/1973-Mustata-RANTA-On-the-Chebyshev-subspaces-in-normed-space-of-Lipschitz-functions.pdf

About this paper

Journal

Rev. Anal Numer. Theoria Approximatiei

Publisher Name

Romanian Academy

DOI

https://ictp.acad.ro/ranta-ro-72-74/journal/article/view/22

Print ISSN

?

Online ISSN

?

MR 52 # 8758

google scholar link

[1] Czipser J.,  and Geher, L., Extension of functions satisfiyng a Lipschitz condition, Acta Math,. Acad. Sci. Hungar 6, 213-220, 1955.
[2] Kolumban I., Ob edinstvenosti prodoljenia lineinîh funcționalov, Mathematica, Cluj.
[3] Phelps, R.P., Uniqueness of Hahn-Banach extension and unique best approximation, Trans. Amer. Math. Soc. 95, 238-255, 1960.

Paper (preprint) in HTML form

1973-Mustata-RANTA-On-the-Chebyshev-subspaces-in-normed-space-of-Lipschitz-functions

ASUPRA UNOR SUBSPATII CEBIŞEVIENE DIN SPAŢIUL NORMAT AL FUNCTIILOR LIPSCHITZIENE

de
COSTICA MUSTĂTA
(Cluj)
  1. În această lucrare se arată că singurul subspațiu cebîșevian de forma Y ⊥ Y ⊥ Y^(_|_)Y^{\perp}Y⊥ al spatiului normat X 0 # X 0 # X_(0)^(#)X_{0}^{\#}X0# al functiilor lipschitziene cu valori reale, definite pe un spatiu metric X X XXX este subspațiul { Φ } 1 ) { Φ } 1 ) {Phi}^(1))\{\Phi\}^{1)}{Φ}1), dacă submulțimea nevidă Y ⊆ X Y ⊆ X Y sube XY \subseteq XY⊆X satisface anumite condiții.
Fie X X XXX un spatiu metric care are cel puțin două puncte distincte şi d d ddd metrica lui. Pe X X XXX definim următoarele multimi de functii:
(1) X # = { f : X → R , sup x ≠ y x , y ∈ X | f ( x ) − f ( y ) | d ( x , y ) < ∞ } (1) X # = f : X → R , sup x ≠ y x , y ∈ X   | f ( x ) − f ( y ) | d ( x , y ) < ∞ {:(1)X^(#)={f:X rarr R,s u p_({:[x!=y],[x","y in X]:})(|f(x)-f(y)|)/(d(x,y)) < oo}:}\begin{equation*} X^{\#}=\left\{f: X \rightarrow R, \sup _{\substack{x \neq y \\ x, y \in X}} \frac{|f(x)-f(y)|}{d(x, y)}<\infty\right\} \tag{1} \end{equation*}(1)X#={f:X→R,supx≠yx,y∈X|f(x)−f(y)|d(x,y)<∞}
şi
(2) X 0 # = { f ∈ X # , f ( 0 ) = 0 } , (2) X 0 # = f ∈ X # , f ( 0 ) = 0 , {:(2)X_(0)^(#)={f inX^(#),f(0)=0}",":}\begin{equation*} X_{0}^{\#}=\left\{f \in X^{\#}, f(0)=0\right\}, \tag{2} \end{equation*}(2)X0#={f∈X#,f(0)=0},
unde „"o" este un anumit element fixat din X X XXX.
Multimea X # X # X^(#)X^{\#}X# se poate inzestra cu o structură de spațiu liniar real, definind suma a două funcţii din X # X # X^(#)X^{\#}X# și înmulțirea unei functii din X # X # X^(#)X^{\#}X# cu un scalar real in mod obişnuit. Evident, X 0 # X 0 # X_(0)^(#)X_{0}^{\#}X0# este un subspatiu liniar al lui X # X # X^(#)X^{\#}X#.
Dacă Y ⊆ X Y ⊆ X Y sube XY \subseteq XY⊆X este nevidă, atunci pentru orice f ∈ X # f ∈ X # f inX^(#)f \in X^{\#}f∈X# notăm
(3) K Y ( f ) = sup x ≠ y x , y ∈ Y | f ( x ) − f ( y ) | d ( x , y ) (3) K Y ( f ) = sup x ≠ y x , y ∈ Y   | f ( x ) − f ( y ) | d ( x , y ) {:(3)K_(Y)(f)=s u p_({:[x!=y],[x","y in Y]:})(|f(x)-f(y)|)/(d(x,y)):}\begin{equation*} K_{Y}(f)=\sup _{\substack{x \neq y \\ x, y \in Y}} \frac{|f(x)-f(y)|}{d(x, y)} \tag{3} \end{equation*}(3)KY(f)=supx≠yx,y∈Y|f(x)−f(y)|d(x,y)
Dacă Y Y YYY este format dintr-un singur punct, punem K Y ( f ) = 0 K Y ( f ) = 0 K_(Y)(f)=0K_{Y}(f)=0KY(f)=0. In particular, dacă Y = X Y = X Y=XY=XY=X, functionala K X K X K_(X)K_{X}KX este o normă pe X 0 # X 0 # X_(0)^(#)X_{0}^{\#}X0#, de aceea, pentru orice f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0# notăm
(4)
K Y ( f ) = ‖ f ‖ X . K Y ( f ) = ‖ f ‖ X . K_(Y)(f)=||f||_(X).K_{Y}(f)=\|f\|_{X} .KY(f)=‖f‖X.
Spațiul liniar real X 0 # X 0 # X_(0)^(#)X_{0}^{\#}X0#, înzestrat cu norma dată de egalitatea (3) îl numim spatiul normat al functiilor lipschitziene care se aulează în o ∈ X o ∈ X o in Xo \in Xo∈X.
2. Are loc
teorema 1. Fie Y Y YYY o submultime nevidă a lui X X XXX. Atunci există pentru orice f ∈ X # f ∈ X # f inX^(#)f \in X^{\#}f∈X# o functie F ∈ X # F ∈ X # F inX^(#)F \in X^{\#}F∈X# astfel incît:
a) F | Y = f | Y F Y = f Y F|_(Y)=f|_(Y)\left.\mathbf{F}\right|_{Y}=\left.f\right|_{Y}F|Y=f|Y
b) K X ( F ) = K Y ( f ) K X ( F ) = K Y ( f ) K_(X)(F)=K_(Y)(f)K_{X}(F)=K_{Y}(f)KX(F)=KY(f).
Demonstrația acestei teoreme se găseşte în lucrarea [1].
Dacă f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0#, în general nu rezultă că funcția F F FFF cu proprietățile a) şi b) din teorema 1 este tot din X 0 # X 0 # X_(0)^(#)X_{0}^{\#}X0#. Următorul exemplu dovedeşte acest fapt:
Fie X = R X = R X=RX=RX=R. Definim functia :
f ( x ) = { | x | dacă − 1 ≦ x ≦ + 1 1 dacă x ∈ R − [ − 1 , + 1 ] f ( x ) = | x |       dacă       − 1 ≦ x ≦ + 1 1       dacă       x ∈ R − [ − 1 , + 1 ] f(x)={[|x|," dacă ",-1 <= x <= +1],[1," dacă ",x in R-[-1","+1]]:}f(x)=\left\{\begin{array}{lll} |x| & \text { dacă } & -1 \leqq x \leqq+1 \\ 1 & \text { dacă } & x \in R-[-1,+1] \end{array}\right.f(x)={|x| dacă −1≦x≦+11 dacă x∈R−[−1,+1]
Această funcție este lipschitziană ; ea aparţine lui R 0 # R 0 # R_(0)^(#)R_{0}^{\#}R0#, unde ,,o" este originea axei reale R R RRR şi ‖ f ‖ X = 1 ‖ f ‖ X = 1 ||f||_(X)=1\|f\|_{X}=1‖f‖X=1. Dacă considerăm submultimea Y = [ 2 , 3 ] Y = [ 2 , 3 ] Y=[2,3]Y=[2,3]Y=[2,3], atunci ‖ f ‖ Y = K Y ( f ) = 0 ‖ f ‖ Y = K Y ( f ) = 0 ||f||_(Y)=K_(Y)(f)=0\|f\|_{Y}=K_{Y}(f)=0‖f‖Y=KY(f)=0, deci F ( x ) = 1 F ( x ) = 1 F(x)=1F(x)=1F(x)=1 pentru orice x ∈ R x ∈ R x in Rx \in Rx∈R, de unde rezultă că F ∉ X 0 # F ∉ X 0 # F!inX_(0)^(#)F \notin X_{0}^{\#}F∉X0#.
O consecinfă imediată a Teoremei 1 este
teorema 2. Fie Y ⊆ X Y ⊆ X Y sube XY \subseteq XY⊆X care contine o ∈ X o ∈ X o in Xo \in Xo∈X. Atunci pentru orice f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0# există o funcţie F ∈ X 0 # F ∈ X 0 # F inX_(0)^(#)F \in X_{0}^{\#}F∈X0# astfel încît:
a) F | Y = f | Y F Y = f Y F|_(Y)=f|_(Y)\left.F\right|_{Y}=\left.f\right|_{Y}F|Y=f|Y
b) ‖ F ‖ X = ‖ f ‖ X ‖ F ‖ X = ‖ f ‖ X ||F||_(X)=||f||_(X)\|F\|_{X}=\|f\|_{X}‖F‖X=‖f‖X
Functia F F FFF din teoremele 1 şi 2 se numeşte o prelungire a functiei f f fff de pe submulţimea nevidă Y Y YYY pe întreg spațiul metric X X XXX.
3. Problema de care ne vom ocupa în continuare este problema unicității prelungirii în cazul TEOREMEI 2. Problema unicității unor prelungiri de functii a fost tratată şi în alte lucrări. Astfel în lucrările [2] și [3] se studiază unicitatea prelungirii în cazul Teoremei lui hahn-banach. Fie Y ⊆ X Y ⊆ X Y sube XY \subseteq XY⊆X. Notăm
(5)
Y ⊥ = { f ∈ X 0 # , f | Y = 0 } . Y ⊥ = f ∈ X 0 # , f Y = 0 . Y^(_|_)={f inX_(0)^(#),f|_(Y)=0}.Y^{\perp}=\left\{f \in X_{0}^{\#},\left.f\right|_{Y}=0\right\} .Y⊥={f∈X0#,f|Y=0}.
Evident, Y ⊥ Y ⊥ Y^(_|_)Y^{\perp}Y⊥ este un subspatiu liniar al lui X 0 # X 0 # X_(0)^(#)X_{0}^{\#}X0#.
De asemeni notăm
(6)
inf g ∈ Y ⊥ ‖ f − g ‖ X = d ( f , Y ⊥ ) inf g ∈ Y ⊥   ‖ f − g ‖ X = d f , Y ⊥ i n f_(g inY^(_|_))||f-g||_(X)=d(f,Y^(_|_))\inf _{g \in Y^{\perp}}\|f-g\|_{X}=d\left(f, Y^{\perp}\right)infg∈Y⊥‖f−g‖X=d(f,Y⊥)
pentru orice f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0# şi
(7) inf y ∈ Y d ( x , y ) = d ( x , Y ) (7) inf y ∈ Y   d ( x , y ) = d ( x , Y ) {:(7)i n f_(y in Y)d(x","y)=d(x","Y):}\begin{equation*} \inf _{y \in Y} d(x, y)=d(x, Y) \tag{7} \end{equation*}(7)infy∈Yd(x,y)=d(x,Y)
pentru orice x ∈ X x ∈ X x in Xx \in Xx∈X.
lema 1. Fie Y ⊆ X Y ⊆ X Y sube XY \subseteq XY⊆X cu o ∈ Y o ∈ Y o in Yo \in Yo∈Y. Atunci are loc pentru orice f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0#, următoarea egalitate
(8)
‖ f ‖ Y = d ( f , Y ⊥ ) ‖ f ‖ Y = d ( f , Y ⊥ ) ||f||_(Y)=d(f,Y _|_)\|f\|_{Y}=d(f, Y \perp)‖f‖Y=d(f,Y⊥)
Demonstratic. Fie f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0#. Pentru orice g ∈ Y ⊥ g ∈ Y ⊥ g inY^(_|_)g \in Y^{\perp}g∈Y⊥ avem
‖ f ‖ Y = sup x ≠ y x , y ∈ Y | f ( x ) − f ( y ) | d ( x , y ) = sup x ≠ y x , y ∈ Y | ( f − g ) ( x ) − ( f − g ) ( y ) | d ( x , y ) ⩽ ⩽ sup x ≠ y x , y ∈ X | ( f − g ) ( x ) − ( f − g ) ( y ) | d ( x , y ) = ‖ f − g ‖ X . ‖ f ‖ Y = sup x ≠ y x , y ∈ Y   | f ( x ) − f ( y ) | d ( x , y ) = sup x ≠ y x , y ∈ Y   | ( f − g ) ( x ) − ( f − g ) ( y ) | d ( x , y ) ⩽ ⩽ sup x ≠ y x , y ∈ X   | ( f − g ) ( x ) − ( f − g ) ( y ) | d ( x , y ) = ‖ f − g ‖ X . {:[||f||_(Y)=s u p_({:[x!=y],[x","y in Y]:})(|f(x)-f(y)|)/(d(x,y))=s u p_({:[x!=y],[x","y in Y]:})(|(f-g)(x)-(f-g)(y)|)/(d(x,y)) <= ],[ <= s u p_({:[x!=y],[x","y in X]:})(|(f-g)(x)-(f-g)(y)|)/(d(x,y))=||f-g||_(X).]:}\begin{aligned} \|f\|_{Y}= & \sup _{\substack{x \neq y \\ x, y \in Y}} \frac{|f(x)-f(y)|}{d(x, y)}=\sup _{\substack{x \neq y \\ x, y \in Y}} \frac{|(f-g)(x)-(f-g)(y)|}{d(x, y)} \leqslant \\ & \leqslant \sup _{\substack{x \neq y \\ x, y \in X}} \frac{|(f-g)(x)-(f-g)(y)|}{d(x, y)}=\|f-g\|_{X} . \end{aligned}‖f‖Y=supx≠yx,y∈Y|f(x)−f(y)|d(x,y)=supx≠yx,y∈Y|(f−g)(x)−(f−g)(y)|d(x,y)⩽⩽supx≠yx,y∈X|(f−g)(x)−(f−g)(y)|d(x,y)=‖f−g‖X.
De aici deducem
(9)
‖ f ‖ Y ⩽ d ( f , Y ⊥ ) ‖ f ‖ Y ⩽ d ( f , Y ⊥ ) ||f||_(Y) <= d(f,Y _|_)\|f\|_{Y} \leqslant d(f, Y \perp)‖f‖Y⩽d(f,Y⊥)
Pe de altă parte, pentru f f fff există, în baza teoremei 2, o funcţie F ∈ X 0 # F ∈ X 0 # F inX_(0)^(#)F \in X_{0}^{\#}F∈X0# astfel ca F | Y = f | Y F Y = f Y F|_(Y)=f|_(Y)\left.F\right|_{Y}=\left.f\right|_{Y}F|Y=f|Y sid ‖ F ‖ X = ‖ f ‖ Y ′ ‖ F ‖ X = ‖ f ‖ Y ′ ||F||_(X)=||f||_(Y^('))\|F\|_{X}=\|f\|_{Y^{\prime}}‖F‖X=‖f‖Y′ deci f − F ∈ Y ⊥ f − F ∈ Y ⊥ f-F in Y _|_f-F \in Y \perpf−F∈Y⊥. Atunci ‖ f ‖ Y == ‖ f − ( f − F ) ‖ X ⩾ inf ‖ f − g ‖ X = d ( f , Y ⊥ ) ‖ f ‖ Y == ‖ f − ( f − F ) ‖ X ⩾ inf ‖ f − g ‖ X = d ( f , Y ⊥ ) ||f||_(Y)==||f-(f-F)||_(X) >= i n f||f-g||_(X)=d(f,Y _|_)\|f\|_{Y}= =\|f-(f-F)\|_{X} \geqslant \inf \|f-g\|_{X}=d(f, Y \perp)‖f‖Y==‖f−(f−F)‖X⩾inf‖f−g‖X=d(f,Y⊥).
g ∈ Y ⊥ g ∈ Y ⊥ g inY^(_|_)g \in Y^{\perp}g∈Y⊥
De aici deducem
(10)
‖ f ‖ Y ⩾ d ( f , Y ⊥ ) ‖ f ‖ Y ⩾ d ( f , Y ⊥ ) ||f||_(Y) >= d(f,Y _|_)\|f\|_{Y} \geqslant d(f, Y \perp)‖f‖Y⩾d(f,Y⊥)
Din (9) şi (10) rezultă (8).
Definiția 1. Un subspațiu liniar G G GGG al lui X 0 # X 0 # X_(0)^(#)X_{0}^{\#}X0# se numeşte cebîşevian, dacă pentru orice f ∈ X 0 # ∖ G f ∈ X 0 # ∖ G f inX_(0)^(#)\\Gf \in X_{0}^{\#} \backslash Gf∈X0#∖G există un singur element g 0 ∈ G g 0 ∈ G g_(0)in Gg_{0} \in Gg0∈G astfel încît inf s ∈ C ‖ f − g ‖ X = ‖ f − g 0 ‖ X inf s ∈ C   ‖ f − g ‖ X = f − g 0 X i n f_(s in C)||f-g||_(X)=||f-g_(0)||_(X)\inf _{s \in C}\|f-g\|_{X}=\left\|f-g_{0}\right\|_{X}infs∈C‖f−g‖X=‖f−g0‖X.
g ∈ G g ∈ G g in Gg \in Gg∈G
lema 2. Fie Y ⊆ X Y ⊆ X Y sube XY \subseteq XY⊆X cu o ∈ Y o ∈ Y o in Yo \in Yo∈Y. Atunci următoarele afirmaţii sînt echivalente:
1 ∘ Y ⊥ 1 ∘ Y ⊥ 1^(@)Y _|_1^{\circ} Y \perp1∘Y⊥ este cebîşevian
2 ∘ 2 ∘ 2^(@)2^{\circ}2∘ Oricare ar fi f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0#, există un singur F ∈ X 0 # F ∈ X 0 # F inX_(0)^(#)F \in X_{0}^{\#}F∈X0# cu F | Y = f | Y F Y = f Y F|_(Y)=f|_(Y)\left.F\right|_{Y}=\left.f\right|_{Y}F|Y=f|Y şi ‖ F ‖ X = ‖ f ‖ Y ‖ F ‖ X = ‖ f ‖ Y ||F||_(X)=||f||_(Y)\|F\|_{X}=\|f\|_{Y}‖F‖X=‖f‖Y.
Demonstratie. Demonstrafia este analogă cu cea a teoremei 1.1 din lucrarea [3].
1 ∘ ⇒ 2 ∘ 1 ∘ ⇒ 2 ∘ 1^(@)=>2^(@)1^{\circ} \Rightarrow 2^{\circ}1∘⇒2∘. Să presupunem că 2 ∘ 2 ∘ 2^(@)2^{\circ}2∘ nu are loc, adică există f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0# şi F 1 , F 2 din X 0 # , F 1 ≠ F 2 F 1 , F 2 din X 0 # , F 1 ≠ F 2 F_(1),F_(2)dinX_(0)^(#),F_(1)!=F_(2)F_{1}, F_{2} \operatorname{din} X_{0}^{\#}, F_{1} \neq F_{2}F1,F2dinX0#,F1≠F2 cu f | Y = F 1 | Y = F 2 | Y f Y = F 1 Y = F 2 Y f|_(Y)=F_(1)|_(Y)=F_(2)|_(Y)\left.f\right|_{Y}=\left.F_{1}\right|_{Y}=\left.F_{2}\right|_{Y}f|Y=F1|Y=F2|Y și ‖ f ‖ Y = ‖ F 1 ‖ X = ‖ F 2 ‖ X ‖ f ‖ Y = F 1 X = F 2 X ||f||_(Y)=||F_(1)||_(X)=||F_(2)||_(X)\|f\|_{Y}=\left\|F_{1}\right\|_{X}=\left\|F_{2}\right\|_{X}‖f‖Y=‖F1‖X=‖F2‖X, Atunci F 1 − F 2 ∈ Y ⊥ F 1 − F 2 ∈ Y ⊥ F_(1)-F_(2)in Y _|_F_{1}-F_{2} \in Y \perpF1−F2∈Y⊥ si ‖ F 1 ‖ X = ‖ F 1 − ( F 1 − F 2 ) ‖ X = d ( F 1 , Y ⊥ ) = ‖ F 1 ‖ Y == ‖ f ‖ Y = ‖ F 1 ‖ X F 1 X = F 1 − F 1 − F 2 X = d F 1 , Y ⊥ = F 1 Y == ‖ f ‖ Y = F 1 X ||F_(1)||_(X)=||F_(1)-(F_(1)-F_(2))||_(X)=d(F_(1),Y _|_)=||F_(1)||_(Y)==||f||_(Y)=||F_(1)||_(X)\left\|F_{1}\right\|_{X}=\left\|F_{1}-\left(F_{1}-F_{2}\right)\right\|_{X}=d\left(F_{1}, Y \perp\right)=\left\|F_{1}\right\|_{Y}= =\|f\|_{Y}=\left\|F_{1}\right\|_{X}‖F1‖X=‖F1−(F1−F2)‖X=d(F1,Y⊥)=‖F1‖Y==‖f‖Y=‖F1‖X. De aici deducem că
‖ F 1 ‖ X = ‖ F 1 − ( F 1 − F 2 ) ‖ X = d ( F 1 , Y ⊥ ) , F 1 X = F 1 − F 1 − F 2 X = d F 1 , Y ⊥ , ||F_(1)||_(X)=||F_(1)-(F_(1)-F_(2))||_(X)=d(F_(1),Y _|_),\left\|F_{1}\right\|_{X}=\left\|F_{1}-\left(F_{1}-F_{2}\right)\right\|_{X}=d\left(F_{1}, Y \perp\right),‖F1‖X=‖F1−(F1−F2)‖X=d(F1,Y⊥),
adică F 1 F 1 F_(1)F_{1}F1 are două cele mai bune aproximante, pe Φ Φ Phi\PhiΦ și F 1 − F 2 F 1 − F 2 F_(1)-F_(2)F_{1}-F_{2}F1−F2, ceea ce contrazice faptul că Y ⊥ Y ⊥ Y _|_Y \perpY⊥ este cebîşevian.
2 ∘ ⇒ 1 ∘ 2 ∘ ⇒ 1 ∘ 2^(@)=>1^(@)2^{\circ} \Rightarrow 1^{\circ}2∘⇒1∘. Mai întîi observăm că Y ⊥ Y ⊥ Y _|_Y \perpY⊥ este proximinal, adică pentru orice f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0# există cel puţin un g ∈ Y ⊥ g ∈ Y ⊥ g inY^(_|_)g \in Y^{\perp}g∈Y⊥ astfel încît infimumul din formula (6) să fie atins.
Intr-adevăr, conform teoremei 2 și lemei 1, pentru orice f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0#. există F ∈ X F ∈ X F in XF \in XF∈X astfel ca
‖ f − ( f − F ) ‖ X = ‖ f ‖ Y = d ( f , Y ⊥ ) . ‖ f − ( f − F ) ‖ X = ‖ f ‖ Y = d ( f , Y ⊥ ) . ||f-(f-F)||_(X)=||f||_(Y)=d(f,Y _|_).\|f-(f-F)\|_{X}=\|f\|_{Y}=d(f, Y \perp) .‖f−(f−F)‖X=‖f‖Y=d(f,Y⊥).
Să presupunem acum că Y ⊥ Y ⊥ Y _|_Y \perpY⊥ nu este cebîşevian. Atunci există f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0# şi există g 1 , g 2 ∈ Y ⊥ , g 1 ≠ g 2 g 1 , g 2 ∈ Y ⊥ , g 1 ≠ g 2 g_(1),g_(2)in Y _|_,g_(1)!=g_(2)g_{1}, g_{2} \in Y \perp, g_{1} \neq g_{2}g1,g2∈Y⊥,g1≠g2 astfel încît să avem ‖ f − g 1 ‖ X = ‖ f − g 2 ‖ X == d ( f , Y ⊥ ) f − g 1 X = f − g 2 X == d ( f , Y ⊥ ) ||f-g_(1)||_(X)=||f-g_(2)||_(X)==d(f,Y _|_)\left\|f-g_{1}\right\|_{X}=\left\|f-g_{2}\right\|_{X}= =d(f, Y \perp)‖f−g1‖X=‖f−g2‖X==d(f,Y⊥). Tinînd seama de Lema 1 şi de faptul că ( f − g 1 ) | Y = ( f − g 2 ) | Y = f | Y f − g 1 Y = f − g 2 Y = f Y (f-g_(1))|_(Y)=(f-g_(2))|_(Y)=f|_(Y)\left.\left(f-g_{1}\right)\right|_{Y}=\left.\left(f-g_{2}\right)\right|_{Y}=\left.f\right|_{Y}(f−g1)|Y=(f−g2)|Y=f|Y rezultă atunci că prelungirea lui f f fff nu este unică.
4. corolarul 1. Fie Y ⊆ X c u o ∈ Y Y ⊆ X c u o ∈ Y Y sube X quad cu quad o in YY \subseteq X \quad c u \quad o \in YY⊆Xcuo∈Y. Dacă Y ⊥ Y ⊥ Y _|_Y \perpY⊥ este cebîşevian atunci pentru orice f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0# are loc egalitatea
(11) sup y ∈ Y [ f ( y ) − ‖ f ‖ Y ⋅ d ( x , y ) ] = inf y ∈ Y [ f ( y ) + ‖ f ‖ Y ⋅ d ( x , y ) ] sup y ∈ Y   f ( y ) − ‖ f ‖ Y ⋅ d ( x , y ) = inf y ∈ Y   f ( y ) + ‖ f ‖ Y ⋅ d ( x , y ) quads u p_(y in Y)[f(y)-||f||_(Y)*d(x,y)]=i n f_(y in Y)[f(y)+||f||_(Y)*d(x,y)]\quad \sup _{y \in Y}\left[f(y)-\|f\|_{Y} \cdot d(x, y)\right]=\inf _{y \in Y}\left[f(y)+\|f\|_{Y} \cdot d(x, y)\right]supy∈Y[f(y)−‖f‖Y⋅d(x,y)]=infy∈Y[f(y)+‖f‖Y⋅d(x,y)],
oricare ar fi x ∈ X x ∈ X x in Xx \in Xx∈X.
Demonstratie. În lucrarea [1] se arată că, fiind dată o funcţie f ∈ X # f ∈ X # f inX^(#)f \in X^{\#}f∈X#, functiile
F 1 ( x ) = inf y ∈ Y [ f ( y ) + K Y ( f ) d ( x , y ) ] , F 2 ( x ) = sup y ∈ Y [ f ( y ) − K Y ( f ) d ( x , y ) ] . F 1 ( x ) = inf y ∈ Y   f ( y ) + K Y ( f ) d ( x , y ) , F 2 ( x ) = sup y ∈ Y   f ( y ) − K Y ( f ) d ( x , y ) . {:[F_(1)(x)=i n f_(y in Y)[f(y)+K_(Y)(f)d(x,y)]","],[F_(2)(x)=s u p_(y in Y)[f(y)-K_(Y)(f)d(x,y)].]:}\begin{aligned} & F_{1}(x)=\inf _{y \in Y}\left[f(y)+K_{Y}(f) d(x, y)\right], \\ & F_{2}(x)=\sup _{y \in Y}\left[f(y)-K_{Y}(f) d(x, y)\right] . \end{aligned}F1(x)=infy∈Y[f(y)+KY(f)d(x,y)],F2(x)=supy∈Y[f(y)−KY(f)d(x,y)].
sînt prelungiri ale lui f f fff. In particular, dacă f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0#, atunci aceste două prelungiti se scriu
F 1 ( x ) = inf y ∈ Y [ f ( y ) + ‖ f ‖ Y ⋅ d ( x , y ) ] (12) F 2 ( x ) = sup y ∈ Y [ f ( y ) − ‖ f ‖ Y ⋅ d ( x , y ) ] . F 1 ( x ) = inf y ∈ Y   f ( y ) + ‖ f ‖ Y ⋅ d ( x , y ) (12) F 2 ( x ) = sup y ∈ Y   f ( y ) − ‖ f ‖ Y ⋅ d ( x , y ) . {:[F_(1)(x)=i n f_(y in Y)[f(y)+||f||_(Y)*d(x,y)]],[(12)F_(2)(x)=s u p_(y in Y)[f(y)-||f||_(Y)*d(x,y)].]:}\begin{align*} & F_{1}(x)=\inf _{y \in Y}\left[f(y)+\|f\|_{Y} \cdot d(x, y)\right] \\ & F_{2}(x)=\sup _{y \in Y}\left[f(y)-\|f\|_{Y} \cdot d(x, y)\right] . \tag{12} \end{align*}F1(x)=infy∈Y[f(y)+‖f‖Y⋅d(x,y)](12)F2(x)=supy∈Y[f(y)−‖f‖Y⋅d(x,y)].
In baza lemei 2 are loc relatia (11).
corolarux, 2. Fie Y ⊆ X Y ⊆ X Y sube XY \subseteq XY⊆X cu o ∈ Y o ∈ Y o in Yo \in Yo∈Y. Dacă Y ⊥ Y ⊥ Y _|_Y \perpY⊥ este cebîşevian, atunci oricare ar fi f ∈ X 0 # , f ≠ Φ f ∈ X 0 # , f ≠ Φ f inX_(0)^(#),f!=Phif \in X_{0}^{\#}, f \neq \Phif∈X0#,f≠Φ şi oricare ar f i x ∈ X f i x ∈ X fi quad x in Xf i \quad x \in Xfix∈X are loc inegalitatea
(13) d ( x , Y ) ≦ sup y ∈ Y f ( y ) − inf y ∈ Y f ( y ) 2 ‖ f ‖ Y . (13) d ( x , Y ) ≦ sup y ∈ Y   f ( y ) − inf y ∈ Y   f ( y ) 2 ‖ f ‖ Y . {:(13)d(x","Y) <= (s u p_(y in Y)f(y)-i n f_(y in Y)f(y))/(2||f||_(Y)).:}\begin{equation*} d(x, Y) \leqq \frac{\sup _{y \in Y} f(y)-\inf _{y \in Y} f(y)}{2\|f\|_{Y}} . \tag{13} \end{equation*}(13)d(x,Y)≦supy∈Yf(y)−infy∈Yf(y)2‖f‖Y.
Demonstratie. Avem
sup y ∈ Y [ f ( y ) − ‖ f ‖ Y d ( x , y ) ] ≦ sup y ∈ X f ( y ) − ‖ f ‖ Y inf y ∈ Y d ( x , y ) sup y ∈ Y   f ( y ) − ‖ f ‖ Y d ( x , y ) ≦ sup y ∈ X   f ( y ) − ‖ f ‖ Y inf y ∈ Y   d ( x , y ) s u p_(y in Y)[f(y)-||f||_(Y)d(x,y)] <= s u p_(y in X)f(y)-||f||_(Y)i n f_(y in Y)d(x,y)\sup _{y \in Y}\left[f(y)-\|f\|_{Y} d(x, y)\right] \leqq \sup _{y \in X} f(y)-\|f\|_{Y} \inf _{y \in Y} d(x, y)supy∈Y[f(y)−‖f‖Yd(x,y)]≦supy∈Xf(y)−‖f‖Yinfy∈Yd(x,y)
şi
inf y ∈ Y [ f ( y ) + ‖ f ‖ Y d ( x , y ) ] ≥ y ∈ Y inf y ∈ Y f ( y ) + ‖ f ‖ Y inf y ∈ Y d ( x , y ) . inf y ∈ Y   f ( y ) + ‖ f ‖ Y d ( x , y ) ≥ y ∈ Y inf y ∈ Y   f ( y ) + ‖ f ‖ Y inf y ∈ Y   d ( x , y ) . i n f_(y in Y)[f(y)+||f||_(Y)d(x,y)] >= _(y in Y)i n f_(y in Y)f(y)+||f||_(Y)i n f_(y in Y)d(x,y).\inf _{y \in Y}\left[f(y)+\|f\|_{Y} d(x, y)\right] \geq_{y \in Y} \inf _{y \in Y} f(y)+\|f\|_{Y} \inf _{y \in Y} d(x, y) .infy∈Y[f(y)+‖f‖Yd(x,y)]≥y∈Yinfy∈Yf(y)+‖f‖Yinfy∈Yd(x,y).
Avînd în vedere egalităţile (7) şi (11) rezultă (13).
5. Definiția 2. Spunem că o submultime Y ⊆ X Y ⊆ X Y sube XY \subseteq XY⊆X are proprietatea C C CCC dacă ea are cel puțin un punct de acumulare şi contine pe o ∈ X o ∈ X o in Xo \in Xo∈X.
corolarul 3. Dacă Y ⊆ X Y ⊆ X Y sube XY \subseteq XY⊆X are proprietatea C C CCC şi Y ⊥ Y ⊥ Y _|_Y \perpY⊥ este cebîşevian, atunci Y ¯ = X Y ¯ = X bar(Y)=X\bar{Y}=XY¯=X.
Demonstratie. Fie x 0 ∈ X x 0 ∈ X x_(0)in Xx_{0} \in Xx0∈X un punct de acumulare al lui Y Y YYY. Atunci există un şir ( x n x n x_(n)x_{n}xn ) de puncte din Y Y YYY, convergent către x 0 x 0 x_(0)x_{0}x0 şi cu x n = 1 1 x 0 x n = 1 1 x 0 x_(n)=(1)/(1)x_(0)x_{n}=\frac{1}{1} x_{0}xn=11x0 pentru orice n ∈ N n ∈ N n in Nn \in Nn∈N. Definim functia f : X → R f : X → R f:X rarr Rf: X \rightarrow Rf:X→R prin
f ( x ) = d ( x , x 0 ) − d ( 0 , x 0 ) . f ( x ) = d x , x 0 − d 0 , x 0 . f(x)=d(x,x_(0))-d(0,x_(0)).f(x)=d\left(x, x_{0}\right)-d\left(0, x_{0}\right) .f(x)=d(x,x0)−d(0,x0).
Această funcţie este lipschitziană și apartine lui X 0 # X 0 # X_(0)^(#)X_{0}^{\#}X0#. Cînd n n nnn tinde la infinit avem
f ( x n ) = d ( x n ; x 0 ) − d ( 0 , x 0 ) → − d ( 0 , x 0 ) = f ( x 0 ) f x n = d x n ; x 0 − d 0 , x 0 → − d 0 , x 0 = f x 0 f(x_(n))=d(x_(n);x_(0))-d(0,x_(0))rarr-d(0,x_(0))=f(x_(0))f\left(x_{n}\right)=d\left(x_{n} ; x_{0}\right)-d\left(0, x_{0}\right) \rightarrow-d\left(0, x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)f(xn)=d(xn;x0)−d(0,x0)→−d(0,x0)=f(x0)
Putem presupune de la început că pentru toți n ∈ N n ∈ N n in Nn \in Nn∈N avem f ( x n ) < 0 f x n < 0 f(x_(n)) < 0f\left(x_{n}\right)<0f(xn)<0; în caz contrar găsim n 0 ∈ N n 0 ∈ N n_(0)in Nn_{0} \in Nn0∈N astfel ca pentru toţi n > n 0 n > n 0 n > n_(0)n>n_{0}n>n0 să avem f ( x n ) < 0 f x n < 0 f(x_(n)) < 0f\left(x_{n}\right)<0f(xn)<0.
Fie φ n : R → [ 0 , 1 ] φ n : R → [ 0 , 1 ] varphi_(n):R rarr[0,1]\varphi_{n}: R \rightarrow[0,1]φn:R→[0,1] dată de
(14) φ n ( t ) = { 1 t < f ( x 0 ) f ( x n ) − t f ( x n ) − f ( x 0 ) t ∈ [ f ( x 0 ) , f ( x n ) ] 0 t > f ( x n ) (14) φ n ( t ) = 1 t < f x 0 f x n − t f x n − f x 0 t ∈ f x 0 , f x n 0 t > f x n {:(14)varphi_(n)(t)={[1,t < f(x_(0))],[(f(x_(n))-t)/(f(x_(n))-f(x_(0))),t in[f(x_(0)),f(x_(n))]],[0,t > f(x_(n))]:}:}\varphi_{n}(t)=\left\{\begin{array}{cl} 1 & t<f\left(x_{0}\right) \tag{14}\\ \frac{f\left(x_{n}\right)-t}{f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{0}\right)} & t \in\left[f\left(x_{0}\right), f\left(x_{n}\right)\right] \\ 0 & t>f\left(x_{n}\right) \end{array}\right.(14)φn(t)={1t<f(x0)f(xn)−tf(xn)−f(x0)t∈[f(x0),f(xn)]0t>f(xn)
Pentru fiecare n ∈ N n ∈ N n in Nn \in Nn∈N, funcţia φ n φ n varphi_(n)\varphi_{n}φn este lipschitziană pe X X XXX şi φ n ( 0 ) = 0 φ n ( 0 ) = 0 varphi_(n)(0)=0\varphi_{n}(0)=0φn(0)=0 deci φ n ∈ X 0 # φ n ∈ X 0 # varphi_(n)inX_(0)^(#)\varphi_{n} \in X_{0}^{\#}φn∈X0#. Avem
(15) ‖ φ n ‖ Y ≧ ∣ φ n ( f ( x n ) ) − ( φ n ( f ( x 0 ) ) ∣ d ( x n , x 0 ) = 1 d ( x n , x 0 ) (15) φ n Y ≧ ∣ φ n f x n − φ n f x 0 ∣ d x n , x 0 = 1 d x n , x 0 {:(15)||varphi_(n)||_(Y) >= (∣varphi_(n)(f(x_(n)))-(varphi_(n)(f(x_(0)))∣)/(d(x_(n),x_(0)))=(1)/(d(x_(n),x_(0))):}\begin{equation*} \left\|\varphi_{n}\right\|_{Y} \geqq \frac{\mid \varphi_{n}\left(f\left(x_{n}\right)\right)-\left(\varphi_{n}\left(f\left(x_{0}\right)\right) \mid\right.}{d\left(x_{n}, x_{0}\right)}=\frac{1}{d\left(x_{n}, x_{0}\right)} \tag{15} \end{equation*}(15)‖φn‖Y≧∣φn(f(xn))−(φn(f(x0))∣d(xn,x0)=1d(xn,x0)
Pe de altă parte, conform COROLARULUI 2 are loc inegalitatea
d ( x , Y ) ≦ sup y ∈ Y φ n ( y ) − inf y ∈ Y φ n ( y ) 2 ‖ φ n ‖ Y = 1 2 ‖ φ n ‖ Y d ( x , Y ) ≦ sup y ∈ Y   φ n ( y ) − inf y ∈ Y   φ n ( y ) 2 φ n Y = 1 2 φ n Y d(x,Y) <= (s u p_(y in Y)varphi_(n)(y)-i n f_(y in Y)varphi_(n)(y))/(2||varphi_(n)||_(Y))=(1)/(2||varphi_(n)||_(Y))d(x, Y) \leqq \frac{\sup _{y \in Y} \varphi_{n}(y)-\inf _{y \in Y} \varphi_{n}(y)}{2\left\|\varphi_{n}\right\|_{Y}}=\frac{1}{2\left\|\varphi_{n}\right\|_{Y}}d(x,Y)≦supy∈Yφn(y)−infy∈Yφn(y)2‖φn‖Y=12‖φn‖Y
pentru orice n ∈ N n ∈ N n in Nn \in Nn∈N. În baza relației (15) rezultă că
d ( x , Y ) ≦ d ( x n , x 0 ) 2 d ( x , Y ) ≦ d x n , x 0 2 d(x,Y) <= (d(x_(n),x_(0)))/(2)d(x, Y) \leqq \frac{d\left(x_{n}, x_{0}\right)}{2}d(x,Y)≦d(xn,x0)2
pentru orice n ∈ N n ∈ N n in Nn \in Nn∈N și pentru orice x ∈ X x ∈ X x in Xx \in Xx∈X. Trecînd la limită găsim d ( x , Y ) = 0 d ( x , Y ) = 0 d(x,Y)=0d(x, Y)=0d(x,Y)=0 pentru orice x ∈ X x ∈ X x in Xx \in Xx∈X. Deci X ⊆ Y X ⊆ Y X sube YX \subseteq YX⊆Y. Deoarece Y ¯ ⊆ X Y ¯ ⊆ X bar(Y)sube X\bar{Y} \subseteq XY¯⊆X rezultă că Y ¯ = X Y ¯ = X bar(Y)=X\bar{Y}=XY¯=X.
teorema 3. Fie Y ⊆ X Y ⊆ X Y sube XY \subseteq XY⊆X cu o ∈ Y ∈ Y in Y\in Y∈Y. Pentru ca pentru orice f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0# să existe o singură prelungire F ∈ X 0 # F ∈ X 0 # F inX_(0)^(#)F \in X_{0}^{\#}F∈X0# cu proprietățile a) şi b) din TEOREMA 2 este suficient, iar dacă Y Y YYY are PROPRIETATEA C C CCC și necesar ca Y ˙ ⊥= { Φ } Y ˙ ⊥= { Φ } Y^(˙)⊥={Phi}\dot{Y} \perp=\{\Phi\}Y˙⊥={Φ}, sau, echivalent Y ¯ = X Y ¯ = X bar(Y)=X\bar{Y}=XY¯=X.
Demonstratie. Necesitate. Să presupunem că prelungirea oricărui f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0# în sensul teoremei 2 este unică. Atunci, conform lamei 2, Y ⊥ Y ⊥ Y _|_Y \perpY⊥ este cebîșevian. Dacă Y Y YYY are propriétatea C , conform COROLARUl, 3 avem Y ¯ = X Y ¯ = X bar(Y)=X\bar{Y}=XY¯=X sau, echivalent Y ⊥= { Φ } Y ⊥= { Φ } Y⊥={Phi}Y \perp=\{\Phi\}Y⊥={Φ}.
Suficiența. Să presupunem că Y ¯ = X Y ¯ = X bar(Y)=X\bar{Y}=XY¯=X. Fie f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0#. Functia f f fff fiind lipschitziană, ea este uniform continuă şi o putem prelungi în mod unic
de pe Y Y YYY pe Y ¯ Y ¯ bar(Y)\bar{Y}Y¯ prin uniform continuitate. Fie F F FFF această prelungire a lui f f fff pe Y ¯ = X Y ¯ = X bar(Y)=X\bar{Y}=XY¯=X. Este un fapt banal că ‖ F ‖ X = ‖ f ‖ Y ‖ F ‖ X = ‖ f ‖ Y ||F||_(X)=||f||_(Y)\|F\|_{X}=\|f\|_{Y}‖F‖X=‖f‖Y.
teorema 4. Fie Y ⊆ X Y ⊆ X Y sube XY \subseteq XY⊆X cu o ∈ Y ∈ Y in Y\in Y∈Y. Dacă pentru orice f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0# există unic F ∈ X 0 # F ∈ X 0 # F inX_(0)^(#)F \in X_{0}^{\#}F∈X0# astfel ca F | Y = f | Y F Y = f Y F|_(Y)=f|_(Y)\left.F\right|_{Y}=\left.f\right|_{Y}F|Y=f|Y si ‖ F ‖ X = ‖ f ‖ Y ‖ F ‖ X = ‖ f ‖ Y ||F||_(X)=||f||_(Y)\|F\|_{X}=\|f\|_{Y}‖F‖X=‖f‖Y, atunci pentru orice h ∈ X # h ∈ X # h inX^(#)h \in X^{\#}h∈X# există unic H ∈ X # H ∈ X # H inX^(#)H \in X^{\#}H∈X# astfel ca H | Y = h | Y H Y = h Y H|_(Y)=h|_(Y)\left.H\right|_{Y}=\left.h\right|_{Y}H|Y=h|Y şi K X ( H ) = K Y ( h ) K X ( H ) = K Y ( h ) K_(X)(H)=K_(Y)(h)K_{X}(H)=K_{Y}(h)KX(H)=KY(h).
Demonstrație. Să presupunem că există h ∈ X # h ∈ X # h inX^(#)h \in X^{\#}h∈X# astfel încît H 1 H 1 H_(1)H_{1}H1 și H 2 H 2 H_(2)H_{2}H2, H 1 = H 2 H 1 = H 2 H_(1)=H_(2)H_{1}=H_{2}H1=H2 din X # X # X^(#)X^{\#}X# să fie prelungiti ale lui h h hhh în sensul teoremen 1. Atunci functiile H 1 − h ( o ) H 1 − h ( o ) H_(1)-h(o)H_{1}-h(\mathrm{o})H1−h(o) şi H 2 − h ( o ) H 2 − h ( o ) H_(2)-h(o)H_{2}-h(\mathrm{o})H2−h(o) sînt prelungiri ale lui h − h ( o ) ∈ X 0 # h − h ( o ) ∈ X 0 # h-h(o)inX_(0)^(#)h-h(\mathrm{o}) \in X_{0}^{\#}h−h(o)∈X0#. Cum prelungirea lui h − h ( 0 ) h − h ( 0 ) h-h(0)h-h(0)h−h(0) este unică, rezultă că H 1 − h ( 0 ) = H 2 − h ( 0 ) H 1 − h ( 0 ) = H 2 − h ( 0 ) H_(1)-h(0)=H_(2)-h(0)H_{1}-h(0)=H_{2}-h(0)H1−h(0)=H2−h(0) pe X X XXX, adică H 1 = H 2 H 1 = H 2 H_(1)=H_(2)H_{1}=H_{2}H1=H2 pe X X XXX.
În consecință rezultă că afirmațiile teoremei 3 rămîn valabile și pentru funcțiile din X # X # X^(#)X^{\#}X#, cînd prelungirea unui f ∈ X # f ∈ X # f inX^(#)f \in X^{\#}f∈X# se face de pe Y Y YYY 曰o pe X X XXX.
ON THE CHEBYSHEV SUBSPACES OF THE SPACES
OF REAL-VALUED LIPSCHITZ FUNCTIONS

SUMMARY

In this paper is shown that the subspace { Φ } { Φ } {Phi}\{\Phi\}{Φ} ( Φ Φ Phi\PhiΦ is the zero function on X X XXX ) is the only Chebyshev subspace of the form Y ⊥ Y ⊥ Y _|_Y \perpY⊥ of the space X 0 # X 0 # X_(0)^(#)X_{0}^{\#}X0# of the real-valued Lipschitz functions defined on the metric space X X XXX, if the subset Y ⊂ X Y ⊂ X Y sub XY \subset XY⊂X has a cluster point.

BIBIIOGRAFIE

[1] Czipser J. şi Gehér L., Extension of functions satisfiyng a Lipschitz condition, Acta [ 2 ] [ 2 ] [2][2][2] K Math. Acad. Sci. Hungar 6, 213-220 (1955)
[2] Kolumban I. Ob edinstvenosti prodoljenia lineinih functionalov, Mathematica, Cluj, [3] 4 (27), 267-270 (1962).
[3] Phelps R. P., Uniqueness of Hanh-Banach extension and unique best approvimation, Trans. Amer. Math. Soc. 95, 238-255, (1960).
Primit ka 27. X. 1972.
Institutul de Calcul din Cluj
al Academiei Republicii Socialiste România
    1. Ảici { Φ } { Φ } {Phi}\{\Phi\}{Φ} este subspațiul format din functia identic nulă pe X X X\mathbf{X}X,
1973

Related Posts