On the Convergence of Sequences of Linear Positive Operators

Tiberiu Popoviciu
(original), approximation of univariate functions, Approximation Theory, Linear and positive approximation operators, paper

Abstract

Authors

Tiberiu Popoviciu
Institutul de Calcul

Keywords

?

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T. Popoviciu, Über die Konvergenz von Folgen linearer positiver Operatoren, An. Sti. Univ. “Al. I. Cuza” Iaşi Secţ. I a Mat. (N.S.) 17 (1971), pp. 123-132 (in German)

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1971 c -Popoviciu- An. Sti. Univ. Al. I. Cuza Iasi – Uber die Konvergenz von Folgen linearer positiver Operatoren

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An. Sti. Univ. “Al. I. Cuza” Iaşi Secţ. I a Mat. (N.S.)

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published by Universitatea “Alexandru Ioan Cuza” din Iaşi

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1971 c -Popoviciu- An. Sti. Univ. Al. I. Cuza Iasi - Uber die Konvergenz von Folgen linearer positiv
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ANALELE ŞTIINŢIFICE ALE UNIVERSITÃTII "AL. I. CUZA" DIN IAȘI (SERIE NOUĂ)

SECTION I

ON THE CONVERGENCE OF SEQUENCES OF LINEAR POSITIVE OPERATORS

FROMTIBERIU POPOVICIU(Cluj)

  1. It is F F FFFan operator that assigns to any continuous function f f fff, which are based on a bounded closed interval [ a , b ] ( a < b ) [ a , b ] ( a < b ) [a,b](a < b)[a, b](a<b)[a,b](a<b)is defined as a function of x x xxxwhich has the same definition domain and which we can use F [ f ∣ x ] F [ f ∣ x ] F[f∣x]F[f \mid x]F[f∣x]The function f f fffis the argument, x x xxxis the parameter and the function F [ f ∣ x ] F [ f ∣ x ] F[f∣x]F[f \mid x]F[f∣x]is the value of the operator. The operator itself can be F [ f ∣ x ] F [ f ∣ x ] F[f∣x]F[f \mid x]F[f∣x]and it always follows from the accompanying text whether it is the operator itself or its value for the element f f fffits domain of definition. To emphasize that f f fffa function of the variables t t tttwe also denote this operator with F [ f ( t ) ∣ x ] F [ f ( t ) ∣ x ] F[f(t)∣x]F[f(t) \mid x]F[f(t)∣x]. In our discussion, we only consider linear (additive and homogeneous) operators, which, if necessary, satisfy some additional conditions. An operator that corresponds to every function f f fffa polynomial, i.e. whose value is a polynomial, we call it a polynomial operator.
As is well known, the interval [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b]by means of a linear transformation into an interval [ c , d ] ( c < d ) [ c , d ] ( c < d ) [c,d](c < d)[c, d](c<d)[c,d](c<d)of the same type, which does not affect the continuity of a function and by which a polynomial is transformed into a polynomial of the same degree. If the function f f fffon [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b]defines and sets x = [ ( b − a ) y + a d − b c ] / ( d − c ) x = [ ( b − a ) y + a d − b c ] / ( d − c ) x=[(b-a)y+ad-bc]//(d-c)x=[(b-a) y+a d-b c] /(d-c)x=[(b−a)y+ad−bc]/(d−c)This gives us a function f 1 ( ν ) = f ( ( b − a ) y + a d − b c ) d − c ) f 1 ( ν ) = f ( b − a ) y + a d − b c ) d − c f_(1)(nu)=f(((b-a)y+ad-bc))/(d-c))f_{1}(\nu)=f\left(\frac{(b-a) y+a d-b c)}{d-c}\right)f1(n)=f((b−a)y+ad−bc)d−c)which on [ c , d ] [ c , d ] [c,d][c, d][c,d]is defined. Denotes ω ( δ ) ω ( δ ) omega(delta)\omega(\delta)ω(δ)the continuity modulus of f f fffand ω 1 ( δ ) ω 1 ( δ ) omega_(1)(delta)\omega_{1}(\delta)ω1(δ)those of f 1 f 1 f_(1)f_{1}f1, then ω 1 ( δ ) = ω ( b − a d − c δ ) ω 1 ( δ ) = ω b − a d − c δ omega_(1)(delta)=omega((b-a)/(d-c)delta)\omega_{1}(\delta)=\omega\left(\frac{b-a}{d-c} \delta\right)ω1(δ)=ω(b−ad−cδ)This equality shows
that when estimating the absolute approximation error using the continuity modulus, the order of magnitude does not change due to the given transformation. Therefore, one can use oBdA instead of the interval [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b], the interval [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1]or [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ] [-1,1][-1,1][−1,1]which also simplifies some formulas and calculations.
2. Is f f fffone on the interval [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1]declared function, the problem arises as a sequence of (linear) operators
(1) ( F n [ f ∣ x ] ) n = 0 + ∞ (1) F n [ f ∣ x ] n = 0 + ∞ {:(1)(F_(n)[f∣x])_(n=0)^(+oo):}\begin{equation*} \left(F_{n}[f \mid x]\right)_{n=0}^{+\infty} \tag{1} \end{equation*}(1)(Fn[f∣x])n=0+∞
to construct so that the sequence of functions ( F n [ f ∣ x ] ) n = 0 + ∞ F n [ f ∣ x ] n = 0 + ∞ (F_(n)[f∣x])_(n=0)^(+oo)\left(F_{n}[f \mid x]\right)_{n=0}^{+\infty}(Fn[f∣x])n=0+∞in the interval [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1]evenly against f f fffThis problem is one of the most important in constructive function theory and is based on investigations by SN Berare.
B n [ f ∣ x ] = ∑ ν = 0 n ( n ν ) f ( ν n ) x ν ( 1 − x ) n − ν ( n ≧ 1 ) B n [ f ∣ x ] = ∑ ν = 0 n   ( n ν ) f ν n x ν ( 1 − x ) n − ν ( n ≧ 1 ) B_(n)[f∣x]=sum_(nu=0)^(n)((n)/( nu))f((nu )/(n))x^(nu)(1-x)^(n-nu)quad(n >= 1)B_{n}[f \mid x]=\sum_{\nu=0}^{n}\binom{n}{\nu} f\left(\frac{\nu}{n}\right) x^{\nu}(1-x)^{n-\nu} \quad(n \geqq 1)Bn[f∣x]=∑n=0n(nn)f(nn)xn(1−x)n−n(n≧1)
introduced.
SN Bernstein showed that*)
(2) B n [ f ∣ x ] ⇉ f ( x ) auf [ 0 , 1 ] (2) B n [ f ∣ x ] ⇉ f ( x )  auf  [ 0 , 1 ] {:(2)B_(n)[f∣x]⇉f(x)" auf "[0","1]:}\begin{equation*} B_{n}[f \mid x] \rightrightarrows f(x) \text { auf }[0,1] \tag{2} \end{equation*}(2)Bn[f∣x]⇉f(x) on [0,1]
if f f fffone on [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1]continuous function. In this way, a new and particularly simple proof of Weierstrass's famous theorem on the possibility of uniform and arbitrarily good approximation of a continuous function by polynomials was given.
For a long time, however, the question of estimating and determining the magnitude of the error remained f ( x ) − B n [ f ∣ x ] f ( x ) − B n [ f ∣ x ] f(x)-B_(n)[f∣x]f(x)-B_{n}[f \mid x]f(x)−Bn[f∣x]in the approximation f ( x ) ≈ B n [ f ∣ x ] f ( x ) ≈ B n [ f ∣ x ] f(x)~~B_(n)[f∣x]f(x) \approx B_{n}[f \mid x]f(x)≈Bn[f∣x]open.
I solved this problem in 1934 [3] and showed that the inequality
(3) | f ( x ) − B n [ f ∣ x ] | ≦ 3 2 ω ( 1 n ) auf [ 0 , 1 ] (3) f ( x ) − B n [ f ∣ x ] ≦ 3 2 ω 1 n  auf  [ 0 , 1 ] {:(3)|f(x)-B_(n)[f∣x]| <= (3)/(2)omega((1)/(sqrtn))" auf "[0","1]:}\begin{equation*} \left|f(x)-B_{n}[f \mid x]\right| \leqq \frac{3}{2} \omega\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \text { auf }[0,1] \tag{3} \end{equation*}(3)|f(x)−Bn[f∣x]|≦32ω(1n) on [0,1]
applies, where ω ( δ ) ω ( δ ) omega(delta)\omega(\delta)ω(δ)the continuity modulus of the function f f fffis there ω ( δ ) → 0 ω ( δ ) → 0 omega(delta)rarr0\omega(\delta) \rightarrow 0ω(δ)→0for δ → 0 δ → 0 delta rarr0\delta \rightarrow 0δ→0, if f f fffis continuous, Bernstein's formula (2) and consequently Weierstrass's theorem follow from (3).
Later, in 1942 [4], I gave a particularly simple proof of inequality (3).
Bernstein's polynomials have proven particularly useful in solving many problems in analysis and functional analysis. They are among the "wonderful" polynomials of mathematical analysis.
Es wurde auf verschiedene Weise versucht die Formel (3) zu verbessern. Mehrere Autoren, insbesonders G. G. Lorentz [1], I. G. Sokolov [7] und P. C. Sikkema, beschäftigten sich mit der Frage den (universalen) konstanten Faktor 3 2 3 2 (3)/(2)\frac{3}{2}32 der rechten Seite der Ungleichung (3) durch einen kleineren zu ersetzen. P. C. Sikkema [6] hat sogar den kleinsten Faktor (für n ≧ 1 n ≧ 1 n >= 1n \geqq 1n≧1 ) erhalten. Wir werden weiter unten noch auf die Approximationsordnung ω ( 1 n ) ω 1 n omega((1)/(sqrtn))\omega\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)ω(1n) zurückkehren.
3. Die erwähnten Beweise der Ungleichung (3) beruhen hauptsächlich auf zwei Eigenschaften des Bernsteinschen Operators B n [ f ∣ x ] B n [ f ∣ x ] B_(n)[f∣x]B_{n}[f \mid x]Bn[f∣x], u.zw. darauf, dass er die Funktion 1 in sich abbildet und dass er ein nichtnegativer Operator ist, d.h. dass er die Nichtnegativität der Funktion f f fff bewahrt.
Es sei nun F [ f ∣ x ] F [ f ∣ x ] F[f∣x]F[f \mid x]F[f∣x] ein Operator mit diesen beiden Eigenschaften d.h. es gelte
I. F [ 1 ∣ x ] = 1 F [ 1 ∣ x ] = 1 F[1∣x]=1F[1 \mid x]=1F[1∣x]=1,
II. ∀ x f ( x ) ≧ 0 ⇒ ∀ x F [ f ∣ x ] ≧ 0 ∀ x f ( x ) ≧ 0 ⇒ ∀ x F [ f ∣ x ] ≧ 0 AA _(x)f(x) >= 0=>AA _(x)F[f∣x] >= 0\underset{x}{\forall} f(x) \geqq 0 \Rightarrow \underset{x}{\forall} F[f \mid x] \geqq 0∀xf(x)≧0⇒∀xF[f∣x]≧0.
Beachtet man die Linearität des Operators, so ergibt sich aus Eigenschaft II:
II'. ∀ x f ( x ) ≧ g ( x ) ⇒ ∀ x F [ f ∣ x ] ≧ F [ g ∣ x ] ∀ x f ( x ) ≧ g ( x ) ⇒ ∀ x F [ f ∣ x ] ≧ F [ g ∣ x ] AA _(x)f(x) >= g(x)=>AA _(x)F[f∣x] >= F[g∣x]\underset{x}{\forall} f(x) \geqq g(x) \Rightarrow \underset{x}{\forall} F[f \mid x] \geqq F[g \mid x]∀xf(x)≧g(x)⇒∀xF[f∣x]≧F[g∣x].
Demnach gilt auch
∀ | F [ f ∣ x ] | ≦ F [ | f | ∣ x ] ∀ | F [ f ∣ x ] | ≦ F [ | f | ∣ x ] AA|F[f∣x]| <= F[|f|∣x]\forall|F[f \mid x]| \leqq F[|f| \mid x]∀|F[f∣x]|≦F[|f|∣x].
Unter diesen Voraussetzungen können wir den absoluten Betrag der Differenz f ( x ) − F [ f ∣ x ] f ( x ) − F [ f ∣ x ] f(x)-F[f∣x]f(x)-F[f \mid x]f(x)−F[f∣x] mit Hilfe des Stetigkeitsmoduls ω ( δ ) ω ( δ ) omega(delta)\omega(\delta)ω(δ) der Funktion f f fff abschätzen. Setzt man ω ( 0 ) = 0 ω ( 0 ) = 0 omega(0)=0\omega(0)=0ω(0)=0, dann ist die Funktion ω ( δ ) ω ( δ ) omega(delta)\omega(\delta)ω(δ) auf dem gesamten Intervall [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1] definiert und wegen der Stetigkeit von f f fff ebenfalls stetig. Beachtet man die Definition von ω ( δ ) ω ( δ ) omega(delta)\omega(\delta)ω(δ), so ergibt sich
| f ( x ) − f ( t ) | ≦ ω ( | x − t | ) . | f ( x ) − f ( t ) | ≦ ω ( | x − t | ) . |f(x)-f(t)| <= omega(|x-t|).|f(x)-f(t)| \leqq \omega(|x-t|) .|f(x)−f(t)|≦ω(|x−t|).
Anderseits ist
f ( x ) − F [ f ∣ x ] = f ( x ) F [ 1 ∣ x ] − F [ f ∣ x ] = F [ f ( x ) − f ( t ) ∣ x ] f ( x ) − F [ f ∣ x ] = f ( x ) F [ 1 ∣ x ] − F [ f ∣ x ] = F [ f ( x ) − f ( t ) ∣ x ] f(x)-F[f∣x]=f(x)F[1∣x]-F[f∣x]=F[f(x)-f(t)∣x]f(x)-F[f \mid x]=f(x) F[1 \mid x]-F[f \mid x]=F[f(x)-f(t) \mid x]f(x)−F[f∣x]=f(x)F[1∣x]−F[f∣x]=F[f(x)−f(t)∣x]
Wegen der bekannten Ungleichung [8]
gilt demnach
ω ( λ δ ) ≦ ( λ + 1 ) ω ( δ ) ( λ , δ ≧ 0 ) ω ( λ δ ) ≦ ( λ + 1 ) ω ( δ ) ( λ , δ ≧ 0 ) omega(lambda delta) <= (lambda+1)omega(delta)quad(lambda,delta >= 0)\omega(\lambda \delta) \leqq(\lambda+1) \omega(\delta) \quad(\lambda, \delta \geqq 0)ω(λδ)≦(λ+1)ω(δ)(λ,δ≧0)
| f ( x ) − F [ f ∣ x ] | ≦ F [ | f ( x ) − f ( t ) | ∣ x ] ≦ F [ ω ( | x − t | ) ∣ x ] ≦ ≦ ( 1 δ F [ ∣ x − t ‖ x ] + 1 ) ω ( δ ) | f ( x ) − F [ f ∣ x ] | ≦ F [ | f ( x ) − f ( t ) | ∣ x ] ≦ F [ ω ( | x − t | ) ∣ x ] ≦ ≦ 1 δ F [ ∣ x − t ‖ x ] + 1 ω ( δ ) {:[|f(x)-F[f∣x]| <= F[|f(x)-f(t)|∣x] <= F[omega(|x-t|)∣x] <= ],[ <= ((1)/(delta)F[∣x-t||x]+1)omega(delta)]:}\begin{aligned} |f(x)-F[f \mid x]| & \leqq F[|f(x)-f(t)| \mid x] \leqq F[\omega(|x-t|) \mid x] \leqq \\ & \leqq\left(\frac{1}{\delta} F[\mid x-t \| x]+1\right) \omega(\delta) \end{aligned}|f(x)−F[f∣x]|≦F[|f(x)−f(t)|∣x]≦F[ω(|x−t|)∣x]≦≦(1δF[∣x−t‖x]+1)ω(δ)
wobei der Parameter δ ( 0 < δ ≦ 1 ) δ ( 0 < δ ≦ 1 ) delta(0 < delta <= 1)\delta(0<\delta \leqq 1)δ(0<δ≦1) unabhängig von x x xxx ist und passend gewählt werden kann.
Mein erster Beweis der Ungleichung (3) [3] beruhte auf dieser Ab. schätzung. Ich zeigte nämlich, dass
sup [ 0 , 1 ] B n [ | x − t | x ] ≦ 1 2 n sup [ 0 , 1 ]   B n [ | x − t | x ] ≦ 1 2 n s u p_([0,1])B_(n)[|x-t|x] <= (1)/(2sqrtn)\sup _{[0,1]} B_{n}[|x-t| x] \leqq \frac{1}{2 \sqrt{n}}sup[0,1]Bn[|x−t|x]≦12n
ist. Wählt man δ = 1 n ( n ≥ 1 ) δ = 1 n ( n ≥ 1 ) delta=(1)/(sqrtn)(n >= 1)\delta=\frac{1}{\sqrt{n}}(n \geq 1)δ=1n(n≥1), so ergibt sich für den Operator B n [ f ∣ x ] B n [ f ∣ x ] B_(n)[f∣x]B_{n}[f \mid x]Bn[f∣x] aus der Abschätzung (4) die Ungleichung (3).
4. Für einen Operator F [ f ∣ x ] F [ f ∣ x ] F[f∣x]F[f \mid x]F[f∣x], der die obige Bedingung II erfült, gilt auch die Ungleichung von Cauchy-Schwarz-Bunjakowski
(5) ∀ x | F [ f g ∣ x ] | ≤ F [ f 2 ∣ x ] F [ g 2 ∣ x ] . (5) ∀ x | F [ f g ∣ x ] | ≤ F f 2 ∣ x F g 2 ∣ x . {:(5)AA _(x)|F[fg∣x]| <= sqrt(F[f^(2)∣x]F[g^(2)∣x]).:}\begin{equation*} \underset{x}{\forall}|F[f g \mid x]| \leq \sqrt{F\left[f^{2} \mid x\right] F\left[g^{2} \mid x\right]} . \tag{5} \end{equation*}(5)∀x|F[fg∣x]|≤F[f2∣x]F[g2∣x].
In der Tat, sind f , g f , g f,gf, gf,g stetige Funktionen, so gilt für beliebige reelle Zahlen α , β α , β alpha,beta\alpha, \betaα,β und für alle x ∈ [ 0 , 1 ] x ∈ [ 0 , 1 ] x in[0,1]x \in[0,1]x∈[0,1],
F [ ( α f + β g ) 2 ∣ x ] = α 2 F [ f 2 ∣ x ] + 2 α β F [ f g ∣ x ] + β 2 F [ g 2 ∣ x ] ≧ 0 . F ( α f + β g ) 2 ∣ x = α 2 F f 2 ∣ x + 2 α β F [ f g ∣ x ] + β 2 F g 2 ∣ x ≧ 0 . F[(alpha f+beta g)^(2)∣x]=alpha^(2)F[f^(2)∣x]+2alpha beta F[fg∣x]+beta^(2)F[g^(2)∣x] >= 0.F\left[(\alpha f+\beta g)^{2} \mid x\right]=\alpha^{2} F\left[f^{2} \mid x\right]+2 \alpha \beta F[f g \mid x]+\beta^{2} F\left[g^{2} \mid x\right] \geqq 0 .F[(αf+βg)2∣x]=α2F[f2∣x]+2αβF[fg∣x]+β2F[g2∣x]≧0.
Die quadratische Form in α , β α , β alpha,beta\alpha, \betaα,β der linken Seite dieser Beziehung ist jedoch genau dann nicht-negativ, wenn (5) gilt.
Genügt der Operator F [ f ∣ x ] F [ f ∣ x ] F[f∣x]F[f \mid x]F[f∣x] auch der Bedingung I, so ergibt sich aus (5) die Ungleichung
(6)
∀ x | F [ f ∣ x ] | ≦ F [ f 2 ∣ x ] . ∀ x | F [ f ∣ x ] | ≦ F f 2 ∣ x . AA _(x)|F[f∣x]| <= sqrt(F[f^(2)∣x]).\underset{x}{\forall}|F[f \mid x]| \leqq \sqrt{F\left[f^{2} \mid x\right]} .∀x|F[f∣x]|≦F[f2∣x].
Aus (4) folgt dann
| f ( x ) − F [ f ∣ x ] | ≦ ( 1 δ | F ¯ [ ( x − t ) 2 ∣ x ] + 1 ) ( 1 ) ( δ ) . | f ( x ) − F [ f ∣ x ] | ≦ 1 δ F ¯ ( x − t ) 2 ∣ x + 1 ( 1 ) ( δ ) . |f(x)-F[f∣x]| <= ((1)/(delta)|( bar(F))[(x-t)^(2)∣x]+1)(1)(delta).|f(x)-F[f \mid x]| \leqq\left(\left.\frac{1}{\delta} \right\rvert\, \bar{F}\left[(x-t)^{2} \mid x\right]+1\right)(1)(\delta) .|f(x)−F[f∣x]|≦(1δ|F¯[(x−t)2∣x]+1)(1)(δ).
Mein zweiter Beweis der Ungleichung (3) [4] beruhte auf dieser Ab schäizung und der Feststellung, dass wegen
B n [ ( x − t ) 2 ∣ x ] = x ( 1 − x ) n , B n ( x − t ) 2 ∣ x = x ( 1 − x ) n , B_(n)[(x-t)^(2)∣x]=(x(1-x))/(n),B_{n}\left[(x-t)^{2} \mid x\right]=\frac{x(1-x)}{n},Bn[(x−t)2∣x]=x(1−x)n,
die Gleichung
sup [ 0 , 1 ] B n [ ( x − t ) 2 ∣ x ] = 1 4 n sup [ 0 , 1 ]   B n ( x − t ) 2 ∣ x = 1 4 n s u p_([0,1])B_(n)[(x-t)^(2)∣x]=(1)/(4n)\sup _{[0,1]} B_{n}\left[(x-t)^{2} \mid x\right]=\frac{1}{4 n}sup[0,1]Bn[(x−t)2∣x]=14n
gilt.
5. In einer dritten Arbeit [5], die ich diesem Problemkreis gewidmet habe, versuchte ich die für die Folge ( B n [ f ∣ x ] ) n = 1 + ∞ B n [ f ∣ x ] n = 1 + ∞ (B_(n)[f∣x])_(n=1)^(+oo)\left(B_{n}[f \mid x]\right)_{n=1}^{+\infty}(Bn[f∣x])n=1+∞ der Bernstein-Polynome erhaltenen Sätze auch für Folgen von allgemeineren Operatoren zu beweisen.
Genügen die linearen Operatoren der Folge (1) den obigen Bedingungen I, II und setzen wir
A n = sup [ 0 , 1 ] F n [ ∣ x − t ‖ x ] , A n = sup [ 0 , 1 ]   F n [ ∣ x − t ‖ x ] , A_(n)=s u p_([0,1])F_(n)[∣x-t||x],A_{n}=\sup _{[0,1]} F_{n}[\mid x-t \| x],An=sup[0,1]Fn[∣x−t‖x],
80 gilt
| f ( x ) − F n [ f ∣ x ] | ≦ 2 ω ( A n ) . f ( x ) − F n [ f ∣ x ] ≦ 2 ω A n . |f(x)-F_(n)[f∣x]| <= 2omega(A_(n)).\left|f(x)-F_{n}[f \mid x]\right| \leqq 2 \omega\left(A_{n}\right) .|f(x)−Fn[f∣x]|≦2ω(An).
Um diese Abschätzung zu erhalten, genügt es in der F n [ f ∣ x ] F n [ f ∣ x ] F_(n)[f∣x]F_{n}[f \mid x]Fn[f∣x] entsprechenden Beziehung (4) δ = A n δ = A n delta=A_(n)\delta=A_{n}δ=An zu setzen. Da uns nur die kleinen Werte von A n A n A_(n)A_{n}An interessieren, kann man annehmen, dass diese dem Definitionsbereich der Funktion ω ( δ ) ω ( δ ) omega(delta)\omega(\delta)ω(δ) angehören.
Gilt
(7)
( A n ≦ ) B n = sup [ 0 , 1 ] F n [ ( x − t ) 2 ∣ x ] → 0 für n → + ∞ , A n ≦ B n = sup [ 0 , 1 ]   F n ( x − t ) 2 ∣ x → 0  für  n → + ∞ , (A_(n) <= )B_(n)=sqrt(s u p_([0,1]))F_(n)[(x-t)^(2)∣x]rarr0" für "n rarr+oo,\left(A_{n} \leqq\right) B_{n}=\sqrt{\sup _{[0,1]}} F_{n}\left[(x-t)^{2} \mid x\right] \rightarrow 0 \text { für } n \rightarrow+\infty,(An≦)Bn=sup[0,1]Fn[(x−t)2∣x]→0 für n→+∞,
so folgt, dass die Funktionenfolge (1) auf [ 0,1 ] gleichmässig gegen die Funktion f f fff konvergiert
In meiner Arbeit setzte ich voraus, dass F n [ f ∣ x ] F n [ f ∣ x ] F_(n)[f∣x]F_{n}[f \mid x]Fn[f∣x] Polynomoperatoren der Form ∑ v = 0 n P v ( x ) f ( x v ) ∑ v = 0 n   P v ( x ) f x v sum_(v=0)^(n)P_(v)(x)f(x_(v))\sum_{v=0}^{n} P_{v}(x) f\left(x_{v}\right)∑v=0nPv(x)f(xv) sind, wobei x v ∈ [ 0 , 1 ] , v = 0 , 1 , … , n x v ∈ [ 0 , 1 ] , v = 0 , 1 , … , n x_(v)in[0,1],v=0,1,dots,nx_{v} \in[0,1], v=0,1, \ldots, nxv∈[0,1],v=0,1,…,n untereinander verschiedene Knotenpunkte sind und P y P y P_(y)P_{y}Py, Polynome bezeichnen. Diese Voraussetzung ist jedoch nicht wesentlich, denn alle Uberlegungen beruhen auf der Ungleichung (6), die, wie wic vorhin gezeigt haben, auch ohne diese Einschränkug gilt.
6. Wir setzen nun voraus, dass die Funktionenfolge ( F n [ f ∣ x ] F n [ f ∣ x ] F_(n)[f∣x]F_{n}[f \mid x]Fn[f∣x] ) für f = x f = x f=xf=xf=x und f = x 2 f = x 2 f=x^(2)f=x^{2}f=x2 auf dem Intervall [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1] gleichmässig gegen f f fff konvergiert. Dann gilt
F n [ ( x − t ) 2 ∣ x ] = x 2 − 2 x F n [ t ∣ x ] + F n [ t 2 ∣ x ] ⇉ 0 auf [ 0 , 1 ] . F n ( x − t ) 2 ∣ x = x 2 − 2 x F n [ t ∣ x ] + F n t 2 ∣ x ⇉ 0  auf  [ 0 , 1 ] . F_(n)[(x-t)^(2)∣x]=x^(2)-2xF_(n)[t∣x]+F_(n)[t^(2)∣x]⇉0" auf "[0,1].F_{n}\left[(x-t)^{2} \mid x\right]=x^{2}-2 x F_{n}[t \mid x]+F_{n}\left[t^{2} \mid x\right] \rightrightarrows 0 \text { auf }[0,1] .Fn[(x−t)2∣x]=x2−2xFn[t∣x]+Fn[t2∣x]⇉0 auf [0,1].
In diesem Fall ist demnach Bedingung (7) erfüllt und es ergibt sich folgender Satz von Korovkinscher Art:
Genügen die linearen Operatoren F n [ f ∣ x ] F n [ f ∣ x ] F_(n)[f∣x]F_{n}[f \mid x]Fn[f∣x] den Bedingungen I, II und konvergiert die Funktionenfolge (1) für die Funktionen t = x , f = x 2 t = x , f = x 2 t=x,f=x^(2)t=x, f=x^{2}t=x,f=x2 gleichmässig gegen f f fff auf dem Intervall [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1], dann gilt für jede stetige Funktion f f fff
(8)
F n [ f ∣ x ] ⇉ f ( x ) auf [ 0 , 1 ] . F n [ f ∣ x ] ⇉ f ( x )  auf  [ 0 , 1 ] . F_(n)[f∣x]⇉f(x)" auf "[0,1].F_{n}[f \mid x] \rightrightarrows f(x) \text { auf }[0,1] .Fn[f∣x]⇉f(x) auf [0,1].
Man kann auch eine Formulierung angeben, in der die Bedingung nicht auftritt, u.zw.:
Genügen die linearen Operatoren F n [ f ∣ x ] F n [ f ∣ x ] F_(n)[f∣x]F_{n}[f \mid x]Fn[f∣x] der Bedingung II, so gilt (8) für jede stetige Funktion f f fff genau dann, wenn (8) für die Funktionen f = 1 f = 1 f=1f=1f=1, f = x , f = x 2 f = x , f = x 2 f=x,f=x^(2)f=x, f=x^{2}f=x,f=x2 gilt.
In diesem Falle haben wir nämlich
| f ( x ) − F n [ f ∣ x ] | = | ( 1 − F n [ 1 ∣ x ] ) f ( x ) + F n [ ( f ( x ) − f ( t ) ) ∣ x ] | ≦ ≦ | f ( x ) | 1 − F n [ 1 ∣ x ] ∣ + F n [ | f ( x ) − f ( t ) | x ] . f ( x ) − F n [ f ∣ x ] = 1 − F n [ 1 ∣ x ] f ( x ) + F n [ ( f ( x ) − f ( t ) ) ∣ x ] ≦ ≦ | f ( x ) | 1 − F n [ 1 ∣ x ] ∣ + F n [ | f ( x ) − f ( t ) | x ] . {:[|f(x)-F_(n)[f∣x]|=|(1-F_(n)[1∣x])f(x)+F_(n)[(f(x)-f(t))∣x]| <= ],[ <= |f(x)|1-F_(n)[1∣x]∣+F_(n)[|f(x)-f(t)|x].]:}\begin{gathered} \left|f(x)-F_{n}[f \mid x]\right|=\left|\left(1-F_{n}[1 \mid x]\right) f(x)+F_{n}[(f(x)-f(t)) \mid x]\right| \leqq \\ \leqq|f(x)| 1-F_{n}[1 \mid x] \mid+F_{n}[|f(x)-f(t)| x] . \end{gathered}|f(x)−Fn[f∣x]|=|(1−Fn[1∣x])f(x)+Fn[(f(x)−f(t))∣x]|≦≦|f(x)|1−Fn[1∣x]∣+Fn[|f(x)−f(t)|x].
Weiterhin gilt
und
| f ( x ) | | 1 − F n [ 1 ∣ x ] | ≦ sup [ 0 , 1 ] | f | ⋅ | 1 − F n [ 1 ∣ x ] | ⇉ 0 auf [ 0 , 1 ] | f ( x ) | 1 − F n [ 1 ∣ x ] ≦ sup [ 0 , 1 ]   | f | ⋅ 1 − F n [ 1 ∣ x ] ⇉ 0  auf  [ 0 , 1 ] |f(x)||1-F_(n)[1∣x]| <= s u p_([0,1])|f|*|1-F_(n)[1∣x]|⇉0" auf "[0,1]|f(x)|\left|1-F_{n}[1 \mid x]\right| \leqq \sup _{[0,1]}|f| \cdot\left|1-F_{n}[1 \mid x]\right| \rightrightarrows 0 \text { auf }[0,1]|f(x)||1−Fn[1∣x]|≦sup[0,1]|f|⋅|1−Fn[1∣x]|⇉0 auf [0,1]
Es ist aber
F n [ ∣ f ( x ) − f ( t ) ‖ x ] ≦ ( 1 δ F n [ ( x − t ) 2 ∣ x ] + 1 ) ω ( δ ) F n [ ∣ f ( x ) − f ( t ) ‖ x ] ≦ 1 δ F n ( x − t ) 2 ∣ x + 1 ω ( δ ) F_(n)[∣f(x)-f(t)||x] <= ((1)/(delta)sqrt(F_(n)[(x-t)^(2)∣x])+1)omega(delta)F_{n}[\mid f(x)-f(t) \| x] \leqq\left(\frac{1}{\delta} \sqrt{F_{n}\left[(x-t)^{2} \mid x\right]}+1\right) \omega(\delta)Fn[∣f(x)−f(t)‖x]≦(1δFn[(x−t)2∣x]+1)ω(δ)
F n [ ( x − t ) 2 ∣ x ] = x 2 F n [ 1 ∣ x ] − 2 x F n [ t ∣ x ] + F n [ t 2 ∣ x ] ⇉ 0 F n ( x − t ) 2 ∣ x = x 2 F n [ 1 ∣ x ] − 2 x F n [ t ∣ x ] + F n t 2 ∣ x ⇉ 0 F_(n)[(x-t)^(2)∣x]=x^(2)F_(n)[1∣x]-2xF_(n)[t∣x]+F_(n)[t^(2)∣x]⇉0F_{n}\left[(x-t)^{2} \mid x\right]=x^{2} F_{n}[1 \mid x]-2 x F_{n}[t \mid x]+F_{n}\left[t^{2} \mid x\right] \rightrightarrows 0Fn[(x−t)2∣x]=x2Fn[1∣x]−2xFn[t∣x]+Fn[t2∣x]⇉0 auf [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1].
Der Beweis kann dann wie im Falle der ersten Formulierung beendet werden.
7. Die Eigenschaft (2) gilt also nicht nur für Bernstein-Polynome. Demnach kann man auch den Satz von Weierstrass mit anderen PolynomFolgen beweisen.
In der dritten meiner zitierten Arbeiten [5] habe ich als Anwendung gezeigt, dass falls x 0 , x 1 , … , x n x 0 , x 1 , … , x n x_(0),x_(1),dots,x_(n)x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}x0,x1,…,xn die Nullstellen der Tschebyscheffschen Polynome T n + 1 ( x ) = cos ⁡ [ ( n + 1 ) arccos ⁡ x ] T n + 1 ( x ) = cos ⁡ [ ( n + 1 ) arccos ⁡ x ] T_(n+1)(x)=cos[(n+1)arccos x]T_{n+1}(x)=\cos [(n+1) \arccos x]Tn+1(x)=cos⁡[(n+1)arccos⁡x] sind, und
(9) F n [ f ∣ x ] = ∑ v = 0 n h v ( x ) f ( x v ) (9) F n [ f ∣ x ] = ∑ v = 0 n   h v ( x ) f x v {:(9)F_(n)[f∣x]=sum_(v=0)^(n)h_(v)(x)f(x_(v)):}\begin{equation*} F_{n}[f \mid x]=\sum_{v=0}^{n} h_{v}(x) f\left(x_{v}\right) \tag{9} \end{equation*}(9)Fn[f∣x]=∑v=0nhv(x)f(xv)
das Fejérsche Polynom bezeichnet, d.h. den ersten Teil des Lagrange-Hermiteschen Interpolationspolynoms mit den Knotenpunkten x v x v x_(v)x_{\mathrm{v}}xv :
(10) ∑ v = 0 n h v ( x ) f ( x v ) + ∑ v = 0 n k v ( x ) f ′ ( x v ) (10) ∑ v = 0 n   h v ( x ) f x v + ∑ v = 0 n   k v ( x ) f ′ x v {:(10)sum_(v=0)^(n)h_(v)(x)f(x_(v))+sum_(v=0)^(n)k_(v)(x)f^(')(x_(v)):}\begin{equation*} \sum_{v=0}^{n} h_{v}(x) f\left(x_{v}\right)+\sum_{v=0}^{n} k_{v}(x) f^{\prime}\left(x_{v}\right) \tag{10} \end{equation*}(10)∑v=0nhv(x)f(xv)+∑v=0nkv(x)f′(xv)
dessen Werte in den Punkten x 0 , x 1 , … , x n x 0 , x 1 , … , x n x_(0),x_(1),dots,x_(n)x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}x0,x1,…,xn (jeder zweimal gezählt) gleich f ( x 0 ) f x 0 f(x_(0))f\left(x_{0}\right)f(x0), f ( x 1 ) , … , f ( x n ) f x 1 , … , f x n f(x_(1)),dots,f(x_(n))f\left(x_{1}\right), \ldots, f\left(x_{n}\right)f(x1),…,f(xn) sind und dessen Ableitung in diesen Punkten gleich f ′ ( x 0 ) f ′ x 0 f^(')(x_(0))f^{\prime}\left(x_{0}\right)f′(x0), f ′ ( x 1 ) , … , f ′ ( x n ) f ′ x 1 , … , f ′ x n f^(')(x_(1)),dots,f^(')(x_(n))f^{\prime}\left(x_{1}\right), \ldots, f^{\prime}\left(x_{n}\right)f′(x1),…,f′(xn) ist. So sind die Bedingungen I, II erfült und man erhält
(11) | f ( x ) − F n [ f ∣ x ] | ≦ 2 ω ( 1 n + 1 ) auf [ − 1 , 1 ] (11) f ( x ) − F n [ f ∣ x ] ≦ 2 ω 1 n + 1  auf  [ − 1 , 1 ] {:(11)|f(x)-F_(n)[f∣x]| <= 2omega((1)/(sqrt(n+1)))" auf "[-1","1]:}\begin{equation*} \left|f(x)-F_{n}[f \mid x]\right| \leqq 2 \omega\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \text { auf }[-1,1] \tag{11} \end{equation*}(11)|f(x)−Fn[f∣x]|≦2ω(1n+1) auf [−1,1]
In diesem Falle haben wir uns der Einfachheit halber auf das Intervall [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ] [-1,1][-1,1][−1,1] beschränkt.
Dieses Resultat ergibt sich, wenn man beachtet, dass
gilt.
∑ h ν ( x ) ( x − x ν ) 2 = 2 T n + 1 2 ( x ) ∑ ν = 0 n 1 ( T n + 1 ′ ( x ν ) ) 2 ≦ 1 n + 1 ∑ h ν ( x ) x − x ν 2 = 2 T n + 1 2 ( x ) ∑ ν = 0 n   1 T n + 1 ′ x ν 2 ≦ 1 n + 1 sumh_(nu)(x)(x-x_(nu))^(2)=2T_(n+1)^(2)(x)sum_(nu=0)^(n)(1)/((T_(n+1)^(')(x_(nu)))^(2)) <= (1)/(n+1)\sum h_{\nu}(x)\left(x-x_{\nu}\right)^{2}=2 T_{n+1}^{2}(x) \sum_{\nu=0}^{n} \frac{1}{\left(T_{n+1}^{\prime}\left(x_{\nu}\right)\right)^{2}} \leqq \frac{1}{n+1}∑hν(x)(x−xν)2=2Tn+12(x)∑ν=0n1(Tn+1′(xν))2≦1n+1
  1. Wir kehren nun zurück zur Ordnung ω ( 1 n ) ω 1 n omega((1)/(sqrtn))\omega\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)ω(1n) des Fehlers bei der Approximation durch Bernsteinsche Polynome. In der ersten meiner ange-
    uhrten Arbeiten [3], habe ich durch Spezialisierung meiner Resultate für die Funktion f = | x − 1 / 2 | f = | x − 1 / 2 | f=|x-1//2|f=|x-1 / 2|f=|x−1/2| gezeigt, dass diese Ordnung nicht verbessert werden kann.
Formel (11) besagt, dass die Fejérschen Polynome (mit den Tschebyscheffschen Knotenpunkten) eine mindestens ebenso gute Approximation wie die Bernstein-Polynome ergeben. Es sei jedoch bemerkt, dass die Ordnung des Fehlers bei der Approximation durch Fejérsche Polynome (mit den Tschebyscheffschen Knotenpunkten) effektiv besser ist als jene bei der Approxition durch Bernstein-Polynome. E. Moldovan [2] hat nämlich mation ot [ ln ⁡ n / n ] [ ln ⁡ n / n ] [ln n//n][\ln n / n][ln⁡n/n] beträgt und nicht ω ( 1 / n ) ω ( 1 / n ) omega(1//sqrtn)\omega(1 / \sqrt{n})ω(1/n). beträgt und nicht ω ( 1 / n ) ω ( 1 / n ) omega(1//sqrtn)\omega(1 / \sqrt{n})ω(1/n).
9. Unsere vereinfachte Beweisführung, die sich auf die Ungleichung (6) stützte, ergab für den Fehler bei der Approximation durch BernsteinPolynome und für denjenigen bei der Approximation durch Fejérsche Polynome (9) mit den Tchebyscheffschen Knotenpunkten dieselbe Ordnung. Es erhebt sich die Frage, ob diese Ordnung nicht verbessert werden kann falls man dieselbe Beweismethode benutzt, jedoch für die Polynome Fejérscher Art als Knotenpunkte nicht die Tschebyscheffschen Knotenpunkte wählt?
Wir nehmen an, (9) sei der erste Teil des Lagrange-Hermiteschen Interpolationspolynoms (10) für n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 untereinander verschiedene Interpolationsstellen x 0 , x 1 , … , x n x 0 , x 1 , … , x n x_(0),x_(1),dots,x_(n)x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}x0,x1,…,xn aus dem Intervall [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ] [-1,1][-1,1][−1,1]. Die Bedingung I ist dann für die Operatoren (9) erfüllt. Damit auch die Bedingung II erfüllt wird, ist aber notwendig dass die Knotenpunkte x v x v x_(v)x_{v}xv auf eine bestimmte Art verteilt sind und zwar so, dass die Polynome h v h v h_(v)h_{v}hv, nichtnegativ sind. Diese Bedingung ist im Falle der Tschebyscheffschen Knotenpunkte erfüllt. Wir nehmen an diese Bedingung sei auch für die allgemeineren Knotenpunkte erfüllt. Wir haben dam
F n [ ( x − t ) 2 ∣ x ] = ∑ v = 0 n h v ( x ) ( x − x v ) 2 F n ( x − t ) 2 ∣ x = ∑ v = 0 n   h v ( x ) x − x v 2 F_(n)[(x-t)^(2)∣x]=sum_(v=0)^(n)h_(v)(x)(x-x_(v))^(2)F_{n}\left[(x-t)^{2} \mid x\right]=\sum_{v=0}^{n} h_{v}(x)\left(x-x_{v}\right)^{2}Fn[(x−t)2∣x]=∑v=0nhv(x)(x−xv)2
und um die rechte Seite zu berechnen, bemerken wir, dass einerseits
(12) ( α − x ) 2 = ∑ ν = 0 n h ν ( x ) ( α − x ν ) 2 − 2 ∑ ν = 0 n k ν ( x ) ( α − x ν ) (12) ( α − x ) 2 = ∑ ν = 0 n   h ν ( x ) α − x ν 2 − 2 ∑ ν = 0 n   k ν ( x ) α − x ν {:(12)(alpha-x)^(2)=sum_(nu=0)^(n)h_(nu)(x)(alpha-x_(nu))^(2)-2sum_(nu=0)^(n)k_(nu)(x)(alpha-x_(nu)):}\begin{equation*} (\alpha-x)^{2}=\sum_{\nu=0}^{n} h_{\nu}(x)\left(\alpha-x_{\nu}\right)^{2}-2 \sum_{\nu=0}^{n} k_{\nu}(x)\left(\alpha-x_{\nu}\right) \tag{12} \end{equation*}(12)(α−x)2=∑ν=0nhν(x)(α−xν)2−2∑ν=0nkν(x)(α−xν)
für jeden beliebigen Parameter α α alpha\alphaα gilt und dass anderseits
k ν ( x ) = l 2 ( x ) ( x − x ν ) ( l ′ ( x ν ) ) 2 , l = 0 , 1 , … , n k ν ( x ) = l 2 ( x ) x − x ν l ′ x ν 2 , l = 0 , 1 , … , n k_(nu)(x)=(l^(2)(x))/((x-x_(nu))(l^(')(x_(nu)))^(2)),quad l=0,1,dots,nk_{\nu}(x)=\frac{l^{2}(x)}{\left(x-x_{\nu}\right)\left(l^{\prime}\left(x_{\nu}\right)\right)^{2}}, \quad l=0,1, \ldots, nkν(x)=l2(x)(x−xν)(l′(xν))2,l=0,1,…,n
ist, wobei
(13)
l ( x ) = ∏ ν = 0 n ( x − x ν ) l ( x ) = ∏ ν = 0 n   x − x ν l(x)=prod_(nu=0)^(n)(x-x_(nu))l(x)=\prod_{\nu=0}^{n}\left(x-x_{\nu}\right)l(x)=∏ν=0n(x−xν)
gesetzt wurde. Für α = x α = x alpha=x\alpha=xα=x erhält man aus (12)
9 - Malematică
F n [ ( x − t ) 2 ∣ x ] = 2 l 2 ( x ) ∑ y = 0 n 1 ( l ′ ( x v ) ) 2 . F n ( x − t ) 2 ∣ x = 2 l 2 ( x ) ∑ y = 0 n   1 l ′ x v 2 . F_(n)[(x-t)^(2)∣x]=2l^(2)(x)sum_(y=0)^(n)(1)/((l^(')(x_(v)))^(2)).F_{n}\left[(x-t)^{2} \mid x\right]=2 l^{2}(x) \sum_{y=0}^{n} \frac{1}{\left(l^{\prime}\left(x_{v}\right)\right)^{2}} .Fn[(x−t)2∣x]=2l2(x)∑y=0n1(l′(xv))2.
Um unsere Frage zu beantworten, wäre es nützlich folgendes Prow blem zu lösen:
Problem 1. Man bestimme die Grösse
(14) inf ( x v ) { ( max [ − 1 , 1 ] l 2 ( x ) ) ∑ v = 0 n 1 ( l ′ ( x v ) ) 2 } , (14) inf x v   max [ − 1 , 1 ]   l 2 ( x ) ∑ v = 0 n   1 l ′ x v 2 , {:(14)i n f_((x_(v))){(max_([-1,1])l^(2)(x))sum_(v=0)^(n)(1)/((l^(')(x_(v)))^(2))}",":}\begin{equation*} \inf _{\left(x_{v}\right)}\left\{\left(\max _{[-1,1]} l^{2}(x)\right) \sum_{v=0}^{n} \frac{1}{\left(l^{\prime}\left(x_{v}\right)\right)^{2}}\right\}, \tag{14} \end{equation*}(14)inf(xv){(max[−1,1]l2(x))∑v=0n1(l′(xv))2},
wobei l l lll das Polynom (13) ist und das Infimum sich auf alle Folgen ( x ν x ν x_(nu)x_{\nu}xν ) bezieht, für welche − 1 ≦ x 0 < x 1 < … < x n ≦ 1 − 1 ≦ x 0 < x 1 < … < x n ≦ 1 -1 <= x_(0) < x_(1) < dots < x_(n) <= 1-1 \leqq x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n} \leqq 1−1≦x0<x1<…<xn≦1 gilt und für die die Interpolationspolynome erster Art h v , ν = 0 , 1 , … , n h v , ν = 0 , 1 , … , n h_(v),nu=0,1,dots,nh_{v}, \nu=0,1, \ldots, nhv,ν=0,1,…,n auf dem Intervall [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ] [-1,1][-1,1][−1,1] nichtnegativ sind.
Ein weiteres Problem wäre folgendes
Problem 2. Man bestimme die Grösse (14), wobei I das Polynom (13) ist und das Infimum sich auf alle Folgen ( x ν x ν x_(nu)x_{\nu}xν ) bezieht für die − 1 ≦ x 0 << x 1 < … < x n ≦ 1 − 1 ≦ x 0 << x 1 < … < x n ≦ 1 -1 <= x_(0)<<x_(1) < dots < x_(n) <= 1-1 \leqq x_{0}< <x_{1}<\ldots<x_{n} \leqq 1−1≦x0<<x1<…<xn≦1 gilt.
Das Problem 2 unterscheidet sich von Problem 1 dadurch, dass die Nichtnegativität der Polynome h v h v h_(v)h_{v}hv nicht mehr verlangt wird.
Diese beiden Probleme führen uns zu folgendem
Problem 3. Man bestimme die Grösse
inf ( x ν ) ∑ ν = 0 n 17 x ( l ′ ( x ν ) ) 2 inf x ν   ∑ ν = 0 n   17 x l ′ x ν 2 i n f_((x_(nu)))sum_(nu=0)^(n)(17 x)/((l^(')(x_(nu)))^(2))\inf _{\left(x_{\nu}\right)} \sum_{\nu=0}^{n} \frac{17 x}{\left(l^{\prime}\left(x_{\nu}\right)\right)^{2}}inf(xν)∑ν=0n17x(l′(xν))2
wobei l l lll das Polynom (13) ist und das Infimum sich auf alle Folgen ( x v x v x_(v)x_{v}xv ) mit − 1 ≦ x 0 < x 1 < … < x n ≦ 1 − 1 ≦ x 0 < x 1 < … < x n ≦ 1 -1 <= x_(0) < x_(1) < dots < x_(n) <= 1-1 \leqq x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n} \leqq 1−1≦x0<x1<…<xn≦1 bezieht.
Wir schlagen diese drei Probleme als Forschungsprobleme vor. Es sei bemerkt, dass falls eine Folge (oder die Folge) ( x v x v x_(v)x_{v}xv ) Minimallösung des Problems 2 ist und die Eigenschaft hat, dass die entsprechenden Polynome h v h v h_(v)h_{v}hv, ν = 0 , 1 , … , n ν = 0 , 1 , … , n nu=0,1,dots,n\nu=0,1, \ldots, nν=0,1,…,n nichtnegativ sind, so ist damit auch das Problem 1 gelöst.
10. Zum Abschluss möchte ich noch zwei weitere Probleme anführen, die den obigen drei sehr ähnlich sind.
Das Restglied der Lagrangeschen Interpolationsformel
f ( x ) ≈ L ( x 0 , x 1 , … , x n ; f ∣ x ) f ( x ) ≈ L x 0 , x 1 , … , x n ; f ∣ x f(x)~~L(x_(0),x_(1),dots,x_(n);f∣x)f(x) \approx L\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n} ; f \mid x\right)f(x)≈L(x0,x1,…,xn;f∣x)
wobei L ( x 0 , x 1 , … , x n ; f ∣ x ) L x 0 , x 1 , … , x n ; f ∣ x L(x_(0),x_(1),dots,x_(n);f∣x)L\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n} ; f \mid x\right)L(x0,x1,…,xn;f∣x) das Lagrangesche Polynom der Funktion f f fff mit den Knotenpunkten x 0 , x 1 , … , x n x 0 , x 1 , … , x n x_(0),x_(1),dots,x_(n)x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}x0,x1,…,xn, bezeichnet, ist bekanntlich
R ( x ) = l ( x ) [ x , x 0 , x 1 , … , x n ; f ] R ( x ) = l ( x ) x , x 0 , x 1 , … , x n ; f R(x)=l(x)[x,x_(0),x_(1),dots,x_(n);f]R(x)=l(x)\left[x, x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n} ; f\right]R(x)=l(x)[x,x0,x1,…,xn;f]
wobei l l lll das Polynom (13) ist und [ x , x 0 , x 1 , … , x n ; f ] x , x 0 , x 1 , … , x n ; f [x,x_(0),x_(1),dots,x_(n);f]\left[x, x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n} ; f\right][x,x0,x1,…,xn;f] die dividierte Differenz der Funktion f f fff für die Knotenpunkte x , x 0 , x 1 , … , x n x , x 0 , x 1 , … , x n x,x_(0),x_(1),dots,x_(n)x, x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}x,x0,x1,…,xn.
Nehmen wir an, dass die Knotenpunkte x v , v = 0 , 1 , … , n x v , v = 0 , 1 , … , n x_(v),v=0,1,dots,nx_{v}, v=0,1, \ldots, nxv,v=0,1,…,n untereinander verschieden sind und x x xxx mit keinem dieser Knotenpunkte zusammenfällt, so gilt
[ x , x 0 , x 1 , … , x n ; f ] = ∑ v = 0 n 1 l ′ ( x v ) [ x , x v ; f ] . x , x 0 , x 1 , … , x n ; f = ∑ v = 0 n   1 l ′ x v x , x v ; f . [x,x_(0),x_(1),dots,x_(n);f]=sum_(v=0)^(n)(1)/(l^(')(x_(v)))[x,x_(v);f].\left[x, x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n} ; f\right]=\sum_{v=0}^{n} \frac{1}{l^{\prime}\left(x_{v}\right)}\left[x, x_{v} ; f\right] .[x,x0,x1,…,xn;f]=∑v=0n1l′(xv)[x,xv;f].
Genügt die Funktion f f fff der Lipschitzbedingung
| f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) | ≦ M | x ′ − x n | , für x ′ , x ′ ′ ∈ [ − 1 , 1 ] f x ′ − f x ′ ′ ≦ M x ′ − x n ,  für  x ′ , x ′ ′ ∈ [ − 1 , 1 ] |f(x^('))-f(x^(''))| <= M|x^(')-x^(n)|," für "x^('),x^('')in[-1,1]\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqq M\left|x^{\prime}-x^{n}\right|, \text { für } x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[-1,1]|f(x′)−f(x′′)|≦M|x′−xn|, für x′,x′′∈[−1,1]
so ergibt sich
| R ( x ) | ≦ ( | l ( x ) | ∑ v = 0 n 1 | l ′ ( x v ) | ) M , für x ∈ [ − 1 , 1 ] . | R ( x ) | ≦ | l ( x ) | ∑ v = 0 n   1 l ′ x v M ,  für  x ∈ [ − 1 , 1 ] . |R(x)| <= (|l(x)|sum_(v=0)^(n)(1)/(|l^(')(x_(v))|))M," für "x in[-1,1].|R(x)| \leqq\left(|l(x)| \sum_{v=0}^{n} \frac{1}{\left|l^{\prime}\left(x_{v}\right)\right|}\right) M, \text { für } x \in[-1,1] .|R(x)|≦(|l(x)|∑v=0n1|l′(xv)|)M, für x∈[−1,1].
In Analogie zu den Problemen 2 und 3 formulieren wir die folgenden beiden Probleme:
Problem 4. Man bestimme die Grösse
inf x ν ) { max [ − 1 , 1 ] | l ( x ) | ∑ ν = 0 n 1 | l ′ ( x ν ) | } inf x ν   max [ − 1 , 1 ]   | l ( x ) | ∑ ν = 0 n   1 l ′ x ν i n f_({:x_(nu))){max_([-1,1])|l(x)|sum_(nu=0)^(n)(1)/(|l^(')(x_(nu))|)}\inf _{\left.x_{\nu}\right)}\left\{\max _{[-1,1]}|l(x)| \sum_{\nu=0}^{n} \frac{1}{\left|l^{\prime}\left(x_{\nu}\right)\right|}\right\}infxν){max[−1,1]|l(x)|∑ν=0n1|l′(xν)|}
wobei l l lll das Polynom (13) ist und das Infimum sich auf alle Folgen ( x v x v x_(v)x_{\mathrm{v}}xv ) mit − 1 ≦ x 0 < x 1 < … < x n ≦ 1 − 1 ≦ x 0 < x 1 < … < x n ≦ 1 -1 <= x_(0) < x_(1) < dots < x_(n) <= 1-1 \leqq x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n} \leqq 1−1≦x0<x1<…<xn≦1 bezieht.
Problem 5. Man bestimme die Grösse
inf ( x v ) ∑ v = 0 n 1 | l ′ ( x v ) | inf x v   ∑ v = 0 n   1 l ′ x v i n f_((x_(v)))sum_(v=0)^(n)(1)/(|l^(')(x_(v))|)\inf _{\left(x_{v}\right)} \sum_{v=0}^{n} \frac{1}{\left|l^{\prime}\left(x_{v}\right)\right|}inf(xv)∑v=0n1|l′(xv)|
wobei l l lll das Polynom (13) ist und das Infimum sich auf alle Folgen ( x v x v x_(v)x_{\mathrm{v}}xv ) mit − 1 ≦ x 0 < x 1 < … . < x n ≦ 1 − 1 ≦ x 0 < x 1 < … . < x n ≦ 1 -1 <= x_(0) < x_(1) < dots. < x_(n) <= 1quad-1 \leqq x_{0}<x_{1}<\ldots .<x_{n} \leqq 1 \quad−1≦x0<x1<….<xn≦1 bezieht.
Problem 5 ist ein klassisches Problem der Approximationstheorie. ∑ n 1 | l ′ ( x ) | ∑ n   1 l ′ ( x ) sumn(1)/(|l^(')(x)|)\sum^{n} \frac{1}{\left|l^{\prime}(x)\right|}∑n1|l′(x)| nimmt seinen kleinsten Wert für diejenigen Punkte an, in denen der absolu
grabsolute Betrag des Tschebyscheffschen Polynoms cos ⁡ ( n arccos ⁡ x ) cos ⁡ ( n arccos ⁡ x ) cos(n arccos x)\cos (n \arccos x)cos⁡(narccos⁡x) am grossten ist und nur in diesen Punkten. Es sind diese
x v = cos ⁡ ( n − v ) π n , v = 0 , 1 , … , n x v = cos ⁡ ( n − v ) π n , v = 0 , 1 , … , n x_(v)=cos(((n-v)pi)/(n)),v=0,1,dots,nx_{v}=\cos \frac{(n-v) \pi}{n}, v=0,1, \ldots, nxv=cos⁡(n−v)πn,v=0,1,…,n
und die Lösung von Problem 5 ist also 2 n − 1 2 n − 1 2^(n-1)2^{n-1}2n−1.
Problem 4 dagegen ist ein noch offenes Problem.

LITERATUR

  1. Lorentz G. G. - Bernstein polynomials. 1953.
  2. Moldovan E. - Observatii asupra unor procedee de interpolare generalizate. Bul, 36 . Acad. R.P.R., 6, 477-482 (1954).
  3. Popoviciu T. - Sur l'approximation des fonctions convexes d'ordre supérieur. Mathematica, 10, 49-54 (1934).
      • Sur l'approximation des fonctions continues par des polynômes. Annales sci. Univ. de Jassy, XXVIII, 208 (1942).
  • Asupra demonstratiei teoremei lui Weierstrass cu ajutorul polinoamelor de interpolare. Lucrările ses. gen. Acad. R.P.R. din 2-12 iunie 1950, 1664-1667 (1951),
  1. Sikkema P. C. - Der Wert einiger Konstanten in der Theorie der Approximation mi Bernstein-Polynomen. Numerische Math., 3, 107-116 (1961).
  2. Sokolov I. G. - Priblijenie funktii s dannim modulem neprerivnosti polinomami Beru. steina. Naukovi zapiski Livivskova derjanovo Universitetu, seria fiziko-matema. ticina, Tom XII, 45-52 (1949).
  3. Vallée-Poussin, Ch. de la - Leçons sur l'approximation des fonctions d'une variable réelle, Paris 1919.

DESPRE CONVERGENTA ŞIRURILOR DE OPERATORI LINIARI SI POZITIVI

Rezumat

Delimitarea erorii în aproximarea prin polinoamele lui S. N. Bernstein a unei funcţii continue pe un interval mărginit şi închis a fost obţinută de autor în lucrările [3,4]. Ulterior a fost generalizată inegalitatea astfel obţinută într-o lucrare apărută într-o publicație greu accesibilă [5]. In prezenta lucrare se revine, cu mai multe completări, asupra rezultatelor obtinute anterior. La sfîrşitul lucrării sînt propuse 4 probleme, sugerate de cele ce preced şi a căror rezolvare ar putea aduce unele precizări în demonstrarea teoremei lui Weierstrass eu ajutorul polinoamelor de interpolare ale lui Fejér.
  1. ⋆ ) ⋆ {:^(***))\left.{ }^{\star}\right)⋆) Mit dem Simbol → → rarr\rightarrow→ wird die gleichmässige Konvergenz bezeichnet.

[MR0310499, Zbl 0255.41015]

1971

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