Abstract
Autori
T. Popoviciu
Institutul de Calcul
Cuvinte cheie
Citați articolul în forma
T. Popoviciu, Asupra polinoamelor cu toate rădăcinile reale. Studii și cercetări științifice (Cluj), tom. III, nr. 1-2, pag. 7-10 (1952).
Despre acest articol
Journal
Studii şi cercetări matematice
Publisher Name
Academia Republicii S.R.
Print ISSN
Not available yet.
Online ISSN
Not available yet.
Google Scholar Profile
Referințe
Lucrare in format HTML
ASUPRA POLINOAMELOR CU TOATE RĂDĂCINILE REALE
- -- Fie P(x)\mathrm{P}(x) un polinom de gradul (efectiv) n. Acest polinom are nn rădăcini distincte sau nu. Derivatele succesive P^(')(x),P^('')(x),dots,P^((n-1))(x)\mathrm{P}^{\prime}(x), \mathrm{P}^{\prime \prime}(x), \ldots, \mathrm{P}^{(n-1)}(x) au respectiv n-1,n-2,dotsn-1, n-2, \ldots, 1 rădăcini distincte sau nu. Considerând deci toate rădacinile polinomului și ale derivatelor sale succesive avem
1+2+dots+n=(n(n+1))/(2)1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}
astfel de rădăcini distincte sau nu.
Se poate pune problema de a determina numărul NN al numerelor distincte dintre aceste (n(n+1))/(2)\frac{n(n+1)}{2} numere astfel obținute şi care reprezintă rădăcinile considerate. Numărul N este numărul rădăcinilor distincte ale polinomului P(x)P^(')(x)dotsP^((n-1))(x)\mathrm{P}(x) \mathrm{P}^{\prime}(x) \ldots \mathrm{P}^{(n-1)}(x) obținut făcând produsul polinomului dat şi al derivatelor sale succesive.
Se poate pune problema de a determina numărul NN al numerelor distincte dintre aceste (n(n+1))/(2)\frac{n(n+1)}{2} numere astfel obținute şi care reprezintă rădăcinile considerate. Numărul N este numărul rădăcinilor distincte ale polinomului P(x)P^(')(x)dotsP^((n-1))(x)\mathrm{P}(x) \mathrm{P}^{\prime}(x) \ldots \mathrm{P}^{(n-1)}(x) obținut făcând produsul polinomului dat şi al derivatelor sale succesive.
Putem evident presupune n > 1n>1.
Este clar că dacă P(x)\mathrm{P}(x) are toate rădăcinile confundate avem N=1\mathrm{N}=1.
In cazul contrar avem N > 1N>1 şi se pune întrebarea cum se poate preciza această inegalitate în acest caz?
Este clar că dacă P(x)\mathrm{P}(x) are toate rădăcinile confundate avem N=1\mathrm{N}=1.
In cazul contrar avem N > 1N>1 şi se pune întrebarea cum se poate preciza această inegalitate în acest caz?
In ipoteza că rădăcinile lui P(x)\mathrm{P}(x) sunt toate reale, vom demonstra că:
I. Dacă P(x)\mathrm{P}(x) are cel putin două rădăcini distincte avem N >= n+1\mathrm{N} \geq n+1.
I. Dacă P(x)\mathrm{P}(x) are cel putin două rădăcini distincte avem N >= n+1\mathrm{N} \geq n+1.
Proprietatea aceasta este foarte probabil adevărată şi în cazul când se ridică restrictia realitătii rădăcinilor, deci pentru un polinom oarecare de o variabilă complexă.
Proprietatea I nu depinde de o transformare liniară a variabilei xx, deci va fi adevărată dacă rădăcinile polinomului sunt situate pe o dreaptă din planul complex. Deasemenea proprietatea nu depinde, evident, de un factor constant (!=0)(\neq 0) al lui P(x)\mathrm{P}(x). Rezultă că în demonstratiile care urmează se poate totdeauna presupune că primul coeficient al polinomului (al lui x^(n)x^{n} ) este egal cu 1 şi că dacă P(x)\mathrm{P}(x) are cel putin două rădăcini distincte, una ourecare dintre aceste rădăcini este egală, de ex., cu 0 , şi una oarecare cu 1 .
2. Demonstrația proprictălii I în cazul rădăcinilor reale se bazează pe câteva proprictăti care sunt consecințe ale teoremei lui Rolle.
2. Demonstrația proprictălii I în cazul rădăcinilor reale se bazează pe câteva proprictăti care sunt consecințe ale teoremei lui Rolle.
Dacă un polinom are toate rădăcinile sale reale, derivata sa are deasemenea toate rădăcinile reale. Fie vec(a_(o)),b_(o)\overrightarrow{a_{o}}, b_{o} rădăcinile extreme, adică cea mai mică şi cea mai mare rădăcină, a lui P(x)\mathrm{P}(x) şi a_(1),b_(1)a_{1}, b_{1} rădăcinile extreme analoage ale derivatei P^(')(x)\mathrm{P}^{\prime}(x). Dacă a_(o)a_{o} resp. b_(o)b_{o} este o rădăcină cel putin dublă a lui P(x)\mathrm{P}(x), avem a_(1)=a_(0)a_{1}=a_{0} resp. b_(1)=b_(0)b_{1}=b_{0}. Dacă a_(0)a_{0} resp. b_(0)b_{0} esle rădăcină simplă, avem a_(o) < a_(1)a_{o}<a_{1} resp. b_(1) < b_(o)b_{1}<b_{o}. In fine a_(1)a_{1} resp. b_(1)b_{1} este rădăcină simplă a derivatei dacă şi numai dacă a_(0)a_{0} resp. b_(0)b_{0} este rădăcină simplă sau dublă a polinomului.
Să presupunem că P(x)\mathrm{P}(x) nu are toate rădăcinile confundate şi fie, în general, a_(i)a_{i} cea mai mică iar b_(i)b_{i} cea mai mare rădăcină a derivatei P^((1))(x)\mathrm{P}^{(1)}(x) de ordinul i,i=0,1dots,n-1i, i=0,1 \ldots, n-1. Avem evident a_(n-1)=b_(n-1)a_{n-1}=b_{n-1}, însă a_(n-2)<<b_(n-2)a_{n-2}< <b_{n-2}. Această din urmă inegalitate rezultă din faptul că dacă derivata unui polinom cu toate rădăcinile reale are o rădăcină de ordinul i > 1i>1 de multiplicitate, polinomul are neaparat această rădăcină de un ordin i+1i+1 de multiplicitate. In ipoteza realității tuturor rădăcinilor egalitatea a_(n-2)=b_(n-2)a_{n-2}=b_{n-2} nu este deci compatibilă cu ipoteza că rădăcinile polinomului nu sunt toate egale.
3. Să notăm acum cu E numărul numerelor distincte dintre numerele
3. Să notăm acum cu E numărul numerelor distincte dintre numerele
{:(1)a_(i)","b_(i)","i=0","1","dots;n_(--1):}\begin{equation*}
a_{i}, b_{i}, i=0,1, \ldots ; n_{--1} \tag{1}
\end{equation*}
Din cele de mai sus rezultă că, dacă a_(o)a_{o} este o rădăcină de ordınul ll de multiplicitate iar b_(o)b_{o} o rădăcină de ordinul kk de multiplicitate a polinomului P(x)\mathrm{P}(x), avem
{:[a_(0)=a_(1)=cdots=a_(l-1) < a_(l) < a_(l+1) < cdots < a_(n-2) < a_(n-1)=],[=b_(n-1) < b_(n-2) < cdots < b_(k) < b_(k-1)=b_(k-2)=cdots=b_(0)]:}\begin{gathered}
a_{0}=a_{1}=\cdots=a_{l-1}<a_{l}<a_{l+1}<\cdots<a_{n-2}<a_{n-1}= \\
=b_{n-1}<b_{n-2}<\cdots<b_{k}<b_{k-1}=b_{k-2}=\cdots=b_{0}
\end{gathered}
De aici rezultă că
E=2n-l-k+1.\mathrm{E}=2 n-l-k+1 .
Insă
{:(3)l+k <= n:}\begin{equation*}
l+k \leqq n \tag{3}
\end{equation*}
{:(si)N >= E.:}\begin{equation*}
\mathrm{N} \geqq \mathrm{E} . \tag{si}
\end{equation*}
Dar din (3) rezultă că E >= n+1E \geqq n+1, deci N >= n+1N \geqq n+1 şi proprietatea II este demonstrată.
4. Ne propunem acum să determinăm toate polinoamele P(x)\mathrm{P}(x) (cu toate rădăcinile reale) de gradul nn pentru care avem N=n+1\mathrm{N}=n+1.
4. Ne propunem acum să determinăm toate polinoamele P(x)\mathrm{P}(x) (cu toate rădăcinile reale) de gradul nn pentru care avem N=n+1\mathrm{N}=n+1.
Din (2), (3), (4) rezultă că acest lucru nu poate avea loc decât daeă l+k=nl+k=n, deci numai dacă polinomul are exact două rădăcini distincte, prin urmare, afară de un factor constant ( !=0\neq 0 ) și afară de o transformare liniară a variabilei, numai pentru polinoamele de forma
P(x)=x^(n-k)(x-1)^(k),2k <= n.\mathrm{P}(x)=x^{n-k}(x-1)^{k}, 2 k \leqq n .
In acest caz avem E=n+1\mathrm{E}=n+1 şi pentru ca să avem N=n+1N=n+1 este necesar şi suficient ca toate rădăcinile unei derivate oarecare P^((i))(x)\mathrm{P}^{(i)}(x) sà nu fie diferite de rădăcinile (1) şi aceasta pentru i=1,2,dots,n-3i=1,2, \ldots, n-3.
Dacă n >= 2,k=1n \geqq 2, k=1 nu exislă astfel de rădăcini şi deci avem atunci N=n+1N=n+1. In felul acesta cazurile n=2,3n=2,3 sunt epuizate.
Dacă n >= 4,2 <= k <= (n)/(2),P(n-3)(x)n \geqq 4,2 \leqq k \leqq \frac{n}{2}, \mathrm{P}(n-3)(x) are rădăcinile distincte şi rădăcina diferită de a_(n-3)a_{n-3} şi b_(n-3)b_{n-3} a acestui polinom nu poate să coincidă decêt cu a_(n-1)a_{n-1}. Pentru ca să avem N=n+1N=n+1 este deci necesar ca polinoamele P^((n-3))(x),P^((n-1))(x)\mathrm{P}^{(n-3)}(x), \mathrm{P}^{(n-1)}(x) să aibă o rădăcină comună. Dar a_(n-1)=b_(n-1)=(k)/(n)a_{n-1}=b_{n-1}=\frac{k}{n}, adică este necesar să avem
p^((n-3))((k)/(n))=0.p^{(n-3)}\left(\frac{k}{n}\right)=0 .
Dar
{:[{:[P^((n-3))(x)=((n-3)!)/(3!)[n(n-1)(n-2)x^(3)-3k(n-1)(n-2)x^(2)+:}],[+3k(k-1)(n-2)x-k(k-1)(k-2)]]:}],[" ducem "quad]:}\begin{aligned}
& \begin{aligned}
\mathrm{P}^{(n-3)}(x)=\frac{(n-3)!}{3!} & {\left[n(n-1)(n-2) x^{3}-3 k(n-1)(n-2) x^{2}+\right.} \\
& +3 k(k-1)(n-2) x-k(k-1)(k-2)]
\end{aligned} \\
& \text { ducem } \quad
\end{aligned}
P^((n-3))((k)/(n))=-(k(n-k)(n-2k))/(3)*((n-3)!)/(n^(2))\mathrm{P}^{(n-3)}\left(\frac{k}{n}\right)=-\frac{k(n-k)(n-2 k)}{3} \cdot \frac{(n-3)!}{n^{2}}
Rezultă de aci că dacă n >= 4,2 <= k < (n)/(2)n \geqq 4,2 \leqq k<\frac{n}{2} avem cu siguranță N > n+1\mathrm{N}>n+1.
Rămâne să examinăm cazul n=2kn=2 k. Dacă k=2k=2, pe baza celor do mai sus se vede că avem N=n+1\mathrm{N}=n+1. Dacă k > 2k>2, rădăcinile lui P^((n-4))(x)\mathrm{P}^{(n-4)}(x) sunt toate distincte si simetric aşezate faţă rle a_(-1)a_{-1}. De aici rezultă imediat că niciuna dintre rădăcinile distincte de rădăcinile extreme ale lui P^((n-4))(x)\mathrm{P}^{(n-4)}(x) nu coincide cu a_(n-1)a_{n-1} şi că pentru a avea N=n+1\mathrm{N}=n+1 este necesar ca aceste rădăcini să coincidă cu a_(n-2),b_(n-2)a_{n-2}, b_{n-2} respectiv, deci ca P^((n-4))(x)\mathrm{P}^{(n-4)}(x) să fie divizibil cu P^((n-2))(x)\mathrm{P}^{(n-2)}(x). Pentru simplificare putem lua acum
Rămâne să examinăm cazul n=2kn=2 k. Dacă k=2k=2, pe baza celor do mai sus se vede că avem N=n+1\mathrm{N}=n+1. Dacă k > 2k>2, rădăcinile lui P^((n-4))(x)\mathrm{P}^{(n-4)}(x) sunt toate distincte si simetric aşezate faţă rle a_(-1)a_{-1}. De aici rezultă imediat că niciuna dintre rădăcinile distincte de rădăcinile extreme ale lui P^((n-4))(x)\mathrm{P}^{(n-4)}(x) nu coincide cu a_(n-1)a_{n-1} şi că pentru a avea N=n+1\mathrm{N}=n+1 este necesar ca aceste rădăcini să coincidă cu a_(n-2),b_(n-2)a_{n-2}, b_{n-2} respectiv, deci ca P^((n-4))(x)\mathrm{P}^{(n-4)}(x) să fie divizibil cu P^((n-2))(x)\mathrm{P}^{(n-2)}(x). Pentru simplificare putem lua acum
P(x)=(x^(2)-1)^(k)\mathrm{P}(x)=\left(x^{2}-1\right)^{k}
Avem alunci
{:[P(n-4)(x)=((2k-4)!k(k-1))/(3!)[(2k-1)(2k-3)x^(4)-6(2k-3)x^(2)+3]],[P(n-2)(x)=(2k-2)!k[(2k-1)x^(2)-1]]:}\begin{aligned}
& P(n-4)(x)=\frac{(2 k-4)!k(k-1)}{3!}\left[(2 k-1)(2 k-3) x^{4}-6(2 k-3) x^{2}+3\right] \\
& P(n-2)(x)=(2 k-2)!k\left[(2 k-1) x^{2}-1\right]
\end{aligned}
De unde, făcând calculele, se verde că P^((n-4))(x)\mathrm{P}^{(n-4)}(x) se va divide cu P^((n-2))(x)\mathrm{P}^{(n-2)}(x) numai dacă k=3k=3.
Dacă deci n=2k,k > 3n=2 k, k>3, avem ou siguranță N > n+1N>n+1.
Pentru n=6,k=3n=6, k=3, se verifică direct că N:=n+1\mathbb{N}:=n+1.
In definitiv deci avem următoarea proprietate
II. - Dacă polinomul P(x)\mathrm{P}(x) de gradul nn (cu toate rădăcinile reale) are cel puțin două rădăcini distincte, egalitatea N=n+1\mathrm{N}=n+1 are loc dacă şi numai dacă acesl polinom ane o rădăcină multiplă de ordinul n-1n-1 de multiplicitate, precum si încă numai in următoarele două cazuri:
1^(0)1^{0}. Dacă n=4n=4 si polinomul are două nădăcini duble.
20. Dacă n=6n=6 si polinomul are două rădăcini triple.
5. -- In ce priveşte exactitatea proprietălii I în cazul când nu se face restrictia realitătii rădăcinilor, ea se poate stabili uşor pentru câteva dintre primele valori ale lui nn.
10. Pentru n=2n=2, proprietatea este deja demonstrată.
20. Dacă n=3n=3 şi dacă rădăcinile lui P(x)\mathrm{P}(x) sunt distincte, derivata P^(')(x)\mathrm{P}^{\prime}(x) va avea rădăcinile distincte sau nu, dar ambele diferite de ale lui P(x)\mathrm{P}(x). Avem deci, în acest caz N >= 4\mathrm{N} \geq 4. Dacă P(x)\mathrm{P}(x) nu are toate rădăcinile distincte, prin o transformare liniară revenim le cazul rădăcinilor reale.
3^(@)3^{\circ}. Dacă n=4n=4 şi dacă rădăcinile lui P(x)\mathrm{P}(x) sunt distincte, se vede, ca mai sus, că avem N >= 5\mathrm{N} \geq 5. Dacă P(x)\mathrm{P}(x) are trei rădăcini distincte, rămâne să examinăm cazul când nu putem prin o transformare liniară reveni la cazul rădăcinilor toate reale. Dacă atunci rădăcinile lui P^(')(x)\mathrm{P}^{\prime}(x) sunt distincte, două dintre ele sunt diferite de rădăcinile lui P(x)\mathrm{P}(x), avem deci N >= 5N \geqq 5. Dacă în fine P^(')(x)P^{\prime}(x) nu are rădăcinile distincte, atunci una (simplă) coincide cu rădăcina dublă a lui P(x)\mathrm{P}(x), iar cealaltă distinctă de aceasta este o rădăcină dublă diferită de rădăcinile lui P(x)P(x). Prin o transformare liniară se poate face ca P^(')(x)\mathrm{P}^{\prime}(x) să aibă toate rădăcinile reale şi atunci P^(')(x)P^('')(x)P^(''')(x)\mathrm{P}^{\prime}(x) \mathrm{P}^{\prime \prime}(x) \mathrm{P}^{\prime \prime \prime}(x) are cel putin 4 rădăcini reale distincte, iar P(x)\mathrm{P}(x) cel puțin o rădăcină nereală. Avem deci tot N >= 5\mathrm{N} \geqq 5. Dacă în fine P(x)\mathrm{P}(x) are numai două rădăcini distincte, prin o transformare liniară putem face ca toate rădăcinile să devină reale.
Pentru n=6,k=3n=6, k=3, se verifică direct că N:=n+1\mathbb{N}:=n+1.
In definitiv deci avem următoarea proprietate
II. - Dacă polinomul P(x)\mathrm{P}(x) de gradul nn (cu toate rădăcinile reale) are cel puțin două rădăcini distincte, egalitatea N=n+1\mathrm{N}=n+1 are loc dacă şi numai dacă acesl polinom ane o rădăcină multiplă de ordinul n-1n-1 de multiplicitate, precum si încă numai in următoarele două cazuri:
1^(0)1^{0}. Dacă n=4n=4 si polinomul are două nădăcini duble.
20. Dacă n=6n=6 si polinomul are două rădăcini triple.
5. -- In ce priveşte exactitatea proprietălii I în cazul când nu se face restrictia realitătii rădăcinilor, ea se poate stabili uşor pentru câteva dintre primele valori ale lui nn.
10. Pentru n=2n=2, proprietatea este deja demonstrată.
20. Dacă n=3n=3 şi dacă rădăcinile lui P(x)\mathrm{P}(x) sunt distincte, derivata P^(')(x)\mathrm{P}^{\prime}(x) va avea rădăcinile distincte sau nu, dar ambele diferite de ale lui P(x)\mathrm{P}(x). Avem deci, în acest caz N >= 4\mathrm{N} \geq 4. Dacă P(x)\mathrm{P}(x) nu are toate rădăcinile distincte, prin o transformare liniară revenim le cazul rădăcinilor reale.
3^(@)3^{\circ}. Dacă n=4n=4 şi dacă rădăcinile lui P(x)\mathrm{P}(x) sunt distincte, se vede, ca mai sus, că avem N >= 5\mathrm{N} \geq 5. Dacă P(x)\mathrm{P}(x) are trei rădăcini distincte, rămâne să examinăm cazul când nu putem prin o transformare liniară reveni la cazul rădăcinilor toate reale. Dacă atunci rădăcinile lui P^(')(x)\mathrm{P}^{\prime}(x) sunt distincte, două dintre ele sunt diferite de rădăcinile lui P(x)\mathrm{P}(x), avem deci N >= 5N \geqq 5. Dacă în fine P^(')(x)P^{\prime}(x) nu are rădăcinile distincte, atunci una (simplă) coincide cu rădăcina dublă a lui P(x)\mathrm{P}(x), iar cealaltă distinctă de aceasta este o rădăcină dublă diferită de rădăcinile lui P(x)P(x). Prin o transformare liniară se poate face ca P^(')(x)\mathrm{P}^{\prime}(x) să aibă toate rădăcinile reale şi atunci P^(')(x)P^('')(x)P^(''')(x)\mathrm{P}^{\prime}(x) \mathrm{P}^{\prime \prime}(x) \mathrm{P}^{\prime \prime \prime}(x) are cel putin 4 rădăcini reale distincte, iar P(x)\mathrm{P}(x) cel puțin o rădăcină nereală. Avem deci tot N >= 5\mathrm{N} \geqq 5. Dacă în fine P(x)\mathrm{P}(x) are numai două rădăcini distincte, prin o transformare liniară putem face ca toate rădăcinile să devină reale.
Pentru n=2,3,4n=2,3,4 proprietatea I este deci adevărată în general.
Sectia de Matematică
a Filialei Cluj a Academiei R.P. R.
Sectia de Matematică
a Filialei Cluj a Academiei R.P. R.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
О полиномах со всеми реальными корнями
ТИБЕРИЯ НОШОВИЧА
В әтой работе доказывается, что если полином P(x)\mathrm{P}(x) степений имеет все реальные корни, результат P(x)P^(')(x)P^('')(x)dotsP^((n-1))\mathrm{P}(x) \mathrm{P}^{\prime}(x) \mathrm{P}^{\prime \prime}(x) \ldots \mathrm{P}^{(n-1)} имеет 1 или самое меньшее n+1n+1 различные корни. Определяются и все полиномы P(x)\mathrm{P}(x) для которых предел n+1n+1 достигнут.
RESUME
Sur les polynômes ayant toutes les racines réelles
par
TIBERIU POPOVICIU
Dans ce travail l'auteur montre que si le polynôme P(x)\mathrm{P}(x) de degré nn a toutes les racines réelles, le produit P(x)P^(')(x)P^('')(x)dotsP(n-1)\mathrm{P}(x) P^{\prime}(x) \mathrm{P}^{\prime \prime}(x) \ldots \mathrm{P}(n-1) a 1 ou au moins n+1n+1 racines distinctes. On détermine également tous les polynômes P(x)\mathrm{P}(x) pour lesquels la limite n+1n+1 Hest pris atteinte.