Sur une généralisation des fonctions “spline”

Tiberiu Popoviciu
Uncategorized

Abstrait

Traduction en anglais du titre

On a generalization of the “spline” functions

Auteur(s)

Tiberiu Popoviciu
Institutul de Calcul

Mots-clés

PDF

1975 f -Popoviciu- Math. Structures–Comput. Math.–Math. Model. – Sur une généralisation des fonctions ‘spline’_

Pour citer ce travail

T. Popoviciu, Sur une généralisation des fonctions “spline”, Mathematical structures – computational mathematics – mathematical modelling, Sofia, 1975, pp. 405-410.

Sur ce travail

Journal
Publié par
DOI

Non disponible.

Print ISSN

Non disponible.

Online ISSN

Non disponible.

??

HTML forme du travail (preprint)

1975 f -Popoviciu- Math. Structures–Comput. Math.–Math. Model. - Sur une généralisation des fonction
MATHEMATICAL STRUCTURES - COMPUTATIONAL MATHEMATICS - MATHEMATICAL MODELLING Papers dedicated to Professor L. Iliev's 60th Anniversary Sofia, 1975, p. 405-410

SUR UNE GÉNÉRALISATION DES FONCTIONS "SPLINE"

T. Popoviciu

Dédié à M. L. Iliev à l'occasion de son soixantième anniversaire
Résunté. Après avoir rappelé la généralisation que nous avons donnée autrefois aux fonctions "spline" [4], nous donnons quelques nouvelles propriétés de ces fonctions. A titres d'exemple:
Si la fonction f f fff est d'ordre ( n / k ) ( n / k ) (n//k)(n / k)(n/k) sur l'intervalle [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] et si k ≦ n k ≦ n k <= nk \leqq nk≦n, cette fonction est bornée et si k ≦ n − r − 1 k ≦ n − r − 1 k <= n-r-1k \leqq n-r-1k≦n−r−1, elle a une dérivée continue d'ordre r ( r ≧ 0 ) r ( r ≧ 0 ) r(r >= 0)r(r \geqq 0)r(r≧0) sur tout intervalle [ a 1 , b 1 ] a 1 , b 1 [a_(1),b_(1)]\left[a_{1}, b_{1}\right][a1,b1], où a < a 1 < b 1 < b a < a 1 < b 1 < b a < a_(1) < b_(1) < ba<a_{1}<b_{1}<ba<a1<b1<b.
  1. Depuis un certain temps l'attention de plusieurs auteurs s'est portée sur une classe spéciale de fonctions réelles d'une variable réelle. Ce sont les fonctions formées par un nombre fini de morceaux polynôminaux raccordés convenablement. Des cas particuliers sont les fonctions constantes par segments et les fonctions dont la représentation graphique est une ligne polygonale. Ces fonctions ont été rencontrées depuis longtemps dans divers problèmes importants comme celui de l'intégration approximative ou de l'approximation des fonctions quelconques par des fonctions plus simples.
  2. Soit f : [ a , b ] → R f : [ a , b ] → R f:[a,b]rarr Rf:[a, b] \rightarrow Rf:[a,b]→R une fonction continue définie sur lintervalle [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] borné et fermé de l'axe réel R R RRR et considérons les points
(1) x ν = a + ν h , h = b − a m , ν = 0 , 1 , … , m , (1) x ν = a + ν h , h = b − a m , ν = 0 , 1 , … , m , {:(1)x_(nu)=a+nu h","quad h=(b-a)/(m)","quad nu=0","1","dots","m",":}\begin{equation*} x_{\nu}=a+\nu h, \quad h=\frac{b-a}{m}, \quad \nu=0,1, \ldots, m, \tag{1} \end{equation*}(1)xν=a+νh,h=b−am,ν=0,1,…,m,
qui divisent cet intervalle en m m mmm parties égales.
Désignons par ψ m ψ m psi_(m)\psi_{m}ψm la ligne polygonale (la fonction polygonale) inscrite dans la courbe y = f ( x ) y = f ( x ) y=f(x)y=f(x)y=f(x) et dont les sommets sont les points ( x v , f ( x v ) x v , f x v x_(v),f(x_(v))x_{v}, f\left(x_{v}\right)xv,f(xv) ), On sait que, sur [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b], la suite ( ψ m ψ m psi_(m)\psi_{m}ψm ) tend uniformément vers la fonction f f fff.
La fonction ψ m ψ m psi_(m)\psi_{m}ψm est de la forme
(2) ψ m = f ( x 0 ) + [ x 0 , x 1 ; f ] ( x − a ) + 2 h ∑ v = 0 m − 2 [ x v , x v + 1 , x v + 2 ; f ] φ 2 , x v + 1 (2) ψ m = f x 0 + x 0 , x 1 ; f ( x − a ) + 2 h ∑ v = 0 m − 2   x v , x v + 1 , x v + 2 ; f φ 2 , x v + 1 {:(2)psi_(m)=f(x_(0))+[x_(0),x_(1);f](x-a)+2hsum_(v=0)^(m-2)[x_(v),x_(v+1),x_(v+2);f]varphi_(2,x_(v+1)):}\begin{equation*} \psi_{m}=f\left(x_{0}\right)+\left[x_{0}, x_{1} ; f\right](x-a)+2 h \sum_{v=0}^{m-2}\left[x_{v}, x_{v+1}, x_{v+2} ; f\right] \varphi_{2, x_{v+1}} \tag{2} \end{equation*}(2)ψm=f(x0)+[x0,x1;f](x−a)+2h∑v=0m−2[xv,xv+1,xv+2;f]φ2,xv+1
où λ λ lambda\lambdaλ est un nombre réel et φ 2 , λ 2 = x − λ + | x − λ | 2 = ( x − λ ) + φ 2 , λ 2 = x − λ + | x − λ | 2 = ( x − λ ) + varphi_(2,lambda^(2))=(x-lambda+|x-lambda|)/(2)=(x-lambda)+\varphi_{2, \lambda^{2}}=\frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2}=(x-\lambda)+φ2,λ2=x−λ+|x−λ|2=(x−λ)+ est la partię positive de la fonction x − λ x − λ x-lambdax-\lambdax−λ, :
3. Nous désignerons par [ z 1 , z 2 , … , z k + 1 ; f ] z 1 , z 2 , … , z k + 1 ; f [z_(1),z_(2),dots,z_(k+1);f]\left[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{k+1} ; f\right][z1,z2,…,zk+1;f] la différence divisée (d'ordre k k kkk ) de la fonction f f fff sur les k + 1 k + 1 k+1k+1k+1 points ou nœuds z 1 , z 2 , … , z k + 1 z 1 , z 2 , … , z k + 1 z_(1),z_(2),dots,z_(k+1)z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{k+1}z1,z2,…,zk+1.
Alors les fonctions (2) se généralisent par les fonctions ( m ≥ n + 1 m ≥ n + 1 m >= n+1m \geq n+1m≥n+1 )
(3) Q m ( x ) + ( n + 1 ) h ∑ ν = 0 m − n − 1 [ x ν , x ν + 1 , … , x ν + n + 1 ; f ] ⋅ φ n + 1 , x ν + n (3) Q m ( x ) + ( n + 1 ) h ∑ ν = 0 m − n − 1   x ν , x ν + 1 , … , x ν + n + 1 ; f ⋅ φ n + 1 , x ν + n {:(3)Q_(m)(x)+(n+1)hsum_(nu=0)^(m-n-1)[x_(nu),x_(nu+1),dots,x_(nu+n+1);f]*varphi_(n+1,x_(nu+n)):}\begin{equation*} Q_{m}(x)+(n+1) h \sum_{\nu=0}^{m-n-1}\left[x_{\nu}, x_{\nu+1}, \ldots, x_{\nu+n+1} ; f\right] \cdot \varphi_{n+1, x_{\nu+n}} \tag{3} \end{equation*}(3)Qm(x)+(n+1)h∑ν=0m−n−1[xν,xν+1,…,xν+n+1;f]⋅φn+1,xν+n
où n n nnn est un nombre naturel, Q m ( x ) Q m ( x ) Q_(m)(x)Q_{m}(x)Qm(x) un polynôme de degré n n nnn et les x y x y x_(y)x_{y}xy sont toujours les points (1). Enfin nous avons
(4) p n + 1 , λ = ( x − λ + | x − λ | 2 ) n = ( x − λ ) + n . (4) p n + 1 , λ = x − λ + | x − λ | 2 n = ( x − λ ) + n . {:(4)p_(n+1,lambda)=((x-lambda+|x-lambda|)/(2))^(n)=(x-lambda)_(+)^(n).:}\begin{equation*} p_{n+1, \lambda}=\left(\frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2}\right)^{n}=(x-\lambda)_{+}^{n} . \tag{4} \end{equation*}(4)pn+1,λ=(x−λ+|x−λ|2)n=(x−λ)+n.
Les différences divisées de divers ordres, sur des nœuds équidistants ou non, sont définies (par exemple) par la relation de récurrence
[ z 1 , z 2 , … , z k + 1 ; f ] = [ z 2 , z 3 , … , z k + 1 ; f ] − [ z 1 , z 2 , … , z k ; f ] z k + 1 − z 1 z 1 , z 2 , … , z k + 1 ; f = z 2 , z 3 , … , z k + 1 ; f − z 1 , z 2 , … , z k ; f z k + 1 − z 1 [z_(1),z_(2),dots,z_(k+1);f]=([z_(2),z_(3),dots,z_(k+1);f]-[z_(1),z_(2),dots,z_(k);f])/(z_(k+1)-z_(1))\left[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{k+1} ; f\right]=\frac{\left[z_{2}, z_{3}, \ldots, z_{k+1} ; f\right]-\left[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{k} ; f\right]}{z_{k+1}-z_{1}}[z1,z2,…,zk+1;f]=[z2,z3,…,zk+1;f]−[z1,z2,…,zk;f]zk+1−z1
et [ z 1 ; f ] = f ( z 1 ) z 1 ; f = f z 1 [z_(1);f]=f(z_(1))\left[z_{1} ; f\right]=f\left(z_{1}\right)[z1;f]=f(z1) et par laquelle on construit la différence divisée d'ordre k k kkk à l'aide de celle d'ordre k − 1 k − 1 k-1k-1k−1.
Dans la suite nous supposons toujours que les no euds z 1 , z 2 , … , z k + 1 z 1 , z 2 , … , z k + 1 z_(1),z_(2),dots,z_(k+1)z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{k+1}z1,z2,…,zk+1 sont distincts. On sait qu'en admettant l'existence d'un certain nombre de dérivées pour la fonction f f fff, on peut aussi définir des différences divisées sur des noeuds non pas nécessairement distincts. Pour les nœuds équidistants (1) nous avons d'ailleurs,
[ x y , x y + 1 , … , x v + n + 1 ; f ] = 1 ( n + 1 ) ! h n + 1 Δ h n + 1 f ( a + ν h ) = 1 ( n + 1 ) ! h n + 1 ∑ μ = 0 n + 1 ( − 1 ) n + 1 − μ ( n + 1 μ ) f ( a + ν + μ ― h ) x y , x y + 1 , … , x v + n + 1 ; f = 1 ( n + 1 ) ! h n + 1 Δ h n + 1 f ( a + ν h ) = 1 ( n + 1 ) ! h n + 1 ∑ μ = 0 n + 1   ( − 1 ) n + 1 − μ ( n + 1 μ ) f ( a + ν + μ ¯ h ) {:[[x_(y),x_(y+1),dots,x_(v+n+1);f]=(1)/((n+1)!h^(n+1))Delta_(h)^(n+1)f(a+nu h)],[quad=(1)/((n+1)!h^(n+1))sum_(mu=0)^(n+1)(-1)^(n+1-mu)((n+1)/(mu))f(a+ bar(nu+mu)h)]:}\begin{aligned} & {\left[x_{y}, x_{y+1}, \ldots, x_{v+n+1} ; f\right]=\frac{1}{(n+1)!h^{n+1}} \Delta_{h}^{n+1} f(a+\nu h)} \\ & \quad=\frac{1}{(n+1)!h^{n+1}} \sum_{\mu=0}^{n+1}(-1)^{n+1-\mu}\binom{n+1}{\mu} f(a+\overline{\nu+\mu} h) \end{aligned}[xy,xy+1,…,xv+n+1;f]=1(n+1)!hn+1Δhn+1f(a+νh)=1(n+1)!hn+1∑μ=0n+1(−1)n+1−μ(n+1μ)f(a+ν+μ―h)
La structure de la fonction (3) dépend de deux importantes notions: A. La notion de fonctions convexes d'ordre n n nnn. B. La notion de fonctions spline.
Dans la suite nous nous proposons de faire quelques considérations sur ces deux notions.

A. La notion de fonctions convexes d'ordre n n nnn

  1. La fonction f : [ a , b ] → R f : [ a , b ] → R f:[a,b]rarr Rf:[a, b] \rightarrow Rf:[a,b]→R est dite convexe, non-concave, polynôminale, non-convexe respectivement concave d'ordre n n nnn (sur [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] ) suivant que les différences divisées d'ordre n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 sur tout groupe de n + 2 n + 2 n+2n+2n+2 points, ou nœuds, distincts, de la fonction f f fff, qui sont toutes > , ≥ , = , ≦ > , ≥ , = , ≦ > , >= ,=, <=>, \geq,=, \leqq>,≥,=,≦ respectivement < 0 < 0 < 0<0<0. Une fonction vérifiant l'une de ces propriétés est dite une fonction doodre n n nnn.
L'entier n n nnn est ≧ − 1 ≧ − 1 >= -1\geqq-1≧−1. Pour n = − 1 n = − 1 n=-1n=-1n=−1 nous avons les fonctions de signe invariable: positive, non-négatives, nulles (la fonction identiquement nulle), non-positives, respectivement négatives. Pour n = 0 n = 0 n=0n=0n=0 nous avons les fonctions monotones: croissantes, non-décroissantes, constantes, non-croissantes respectivement décroissantes. En-
fin pour n = 1 n = 1 n=1n=1n=1 nous avons les fonctions convexes, non-concaves, linéaires, non-convexe respectivement concaves habituelles.

B. La notion de fonction spline

  1. Supposons n ≧ 1 n ≧ 1 n >= 1n \geqq 1n≧1. Alors toute combinaison lineaire de polynômes de degré n n nnn et d'un nombre fini de fonctions de la forme (4) est ce que nous avons appelé autrefois une fonction élémentaire d'ordre n n nnn [5]. Aujourd'hui on les appelle des fonctions spline.
Une fonction spline est donc de la forme
(5) P ( x ) + ∑ v = 1 m c v φ n + 1 , i v ( x ) (5) P ( x ) + ∑ v = 1 m   c v φ n + 1 , i v ( x ) {:(5)P(x)+sum_(v=1)^(m)c_(v)varphi_(n+1,i_(v))(x):}\begin{equation*} P(x)+\sum_{v=1}^{m} c_{v} \varphi_{n+1, i_{v}}(x) \tag{5} \end{equation*}(5)P(x)+∑v=1mcvφn+1,iv(x)
où P P PPP est un polynôme de degré n n nnn, les λ ν λ ν lambda_(nu)\lambda_{\nu}λν sont des points donnés tel que a < λ 1 < λ 2 < … < λ m < b a < λ 1 < λ 2 < … < λ m < b a < lambda_(1) < lambda_(2) < dots < lambda_(m) < ba<\lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots<\lambda_{m}<ba<λ1<λ2<…<λm<b et les c y c y c_(y)c_{y}cy sont des constantes quelconques.
La fonction (5) est continue et à différence divisée d'ordre n n nnn bornée. Si n > 1 n > 1 n > 1n>1n>1 elle a une dérivée continue d'ordre n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 sur [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b]. La fonction spline (5) est formée par un nombre fini de morceaux de polynômes de degré n n nnn qui ont un ordre maximum de raccordement sans pour cela se réduire à un polynôme de degré n n nnn. Il existe aussi des fonctions formées par de morceaux de polynômes de degré n n nnn qui ne se raccordent pas aussi complètement, qui, par exemple, ne sont pas continues ou qui, pour n > 1 n > 1 n > 1n>1n>1 sont continues mais non pas dérivables, etc. On peut dire que pour un n n nnn donné les fonctions (5) sont les splines les pius simples.
6. Les fonctions spline ont été rencontrées depuis longtemps sans être mis explicitement en évidence. Telles sont les sois-dites "noyaux brisés" ou fonctions de Green qui interviennent dans la résolution de certains problèmes aux limites pour les équations différentielles linéaires. Il est impossible de citer ici tous les auteurs qui, sous une forme ou une autre, ont utilisé les splines. Je me contenterai de citer G. Peano [3], J. Radon [7], G. Kowalewski [1], R. v. Mises [2]. Dans le dernier temps les fonctions spline ont été étudiées systématiquement par I. J. Schoenberg et ses élèves. Ces auteurs ont obtenu entre autres, de nombreux résultats remarquables concernant certains problèmes d'approximation et d'optimisation pour les formules de quadratures. On peut consulter les travaux du Symposion de Wiscounsin [8].
7. Entre les fonctions convexes d'ordre supérieur et les fonctions spline de la forme (5) il y a une très étroite liaison. Nous avons la propriété suivante:
Les conditions c v ≧ 0 , v = 1 , 2 , … , m c v ≧ 0 , v = 1 , 2 , … , m c_(v) >= 0,v=1,2,dots,mc_{v} \geqq 0, v=1,2, \ldots, mcv≧0,v=1,2,…,m, sont nécessaires et suffisantes pour que la fonction (5) soit non-concave d'ordre n n nnn.
En reprenant les fonctions spline de la forme (3), où les x 2 x 2 x_(2)x_{2}x2 sont les points équidistants (1) et en choisissant convenablement le polynôme Q m ( x ) Q m ( x ) Q_(m)(x)Q_{m}(x)Qm(x) pour chaque valeur de m m mmm, nous obtenons le théorème d'approximation [5, 6]:
Pour n ≧ 1 n ≧ 1 n >= 1n \geqq 1n≧1, toute fonction f : [ a , b ] → R f : [ a , b ] → R f:[a,b]rarr Rf:[a, b] \rightarrow Rf:[a,b]→R continue et d'ordre n n nnn est indéfiniment et uniformément approximable par des fonctions spline de la forme (3), d'ordre n n nnn. Autrement: Toute fonction f : [ a , b ] → R f : [ a , b ] → R f:[a,b]rarr Rf:[a, b] \rightarrow Rf:[a,b]→R, continue et non-concave d'ordre n n nnn est la limite d'une suite uniformément convergente de fonctions de la forme (5), avec des coefficients c y c y c_(y)c_{y}cy non-négatifs.
Ce théorème a de nombreuses applications. Il peut fournir, par exemple, un critère pour la simplicité du reste de certaines formules linéaires d'approximation de l'Analyse.

C. Généralisation des fonctions spline

spline.
8. Ceci étant, nous avons propose une généralisation des fonctions
Définition 1. Si E ⊆ R E ⊆ R E sube RE \subseteq RE⊆R, la fonction f : E → R f : E → R f:E rarr Rf: E \rightarrow Rf:E→R est dite d'ordre n n nnn par segments (sur E E EEE ) si on peut décomposer l'ensemble E E EEE en un nombre fini de sous-ensembles consecutifs
(6) E 1 , E 2 , … , E s (6) E 1 , E 2 , … , E s {:(6)E_(1)","E_(2)","dots","E_(s):}\begin{equation*} E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{s} \tag{6} \end{equation*}(6)E1,E2,…,Es
de maniere que sur chacun la fonction f f fff soit d'ordre n n nnn.
On dit que (6) est une décomposition de E E EEE en sous-ensembles consécutifs si:
8.1. A ⊂ E ν ⊆ E , ν = 1 , 2 , … , s A ⊂ E ν ⊆ E , ν = 1 , 2 , … , s A subE_(nu)sube E,nu=1,2,dots,sA \subset E_{\nu} \subseteq E, \nu=1,2, \ldots, sA⊂Eν⊆E,ν=1,2,…,s ( A = A = A=A=A= l'ensemble vide)
8.2. ∪ ν = 1 s E ν = E ∪ ν = 1 s E ν = E uu_(nu=1)^(s)E_(nu)=E\cup_{\nu=1}^{s} E_{\nu}=E∪ν=1sEν=E
8.3. ∀ ∀ x ′ , x ′ ′ x ′ ∈ E ν , x ′ ′ ∈ E ν + 1 ⇒ x ′ < x ′ ′ ∀ ∀ x ′ , x ′ ′ x ′ ∈ E ν , x ′ ′ ∈ E ν + 1 ⇒ x ′ < x ′ ′ AAAA_(x^('),x^(''))x^(')inE_(nu),x^('')inE_(nu+1)=>x^(') < x^('')\forall \underset{x^{\prime}, x^{\prime \prime}}{\forall} x^{\prime} \in E_{\nu}, x^{\prime \prime} \in E_{\nu+1} \Rightarrow x^{\prime}<x^{\prime \prime}∀∀x′,x′′x′∈Eν,x′′∈Eν+1⇒x′<x′′.
L'entier n n nnn est ≧ − 1 ≧ − 1 >= -1\geqq-1≧−1.
Pour une telle fonction il peut exister plusieurs décompositions (6) vérifiant la propriété de la définition précédente.
Le nombre s s sss de ces décompositions a un minimum h h hhh qui s'appelle la caractéristique de la fonction f f fff, d'ordre n n nnn par segments. Lorsque h = 1 h = 1 h=1h=1h=1 la fonction se réduit à une fonction d'ordre n n nnn. En général si la caractéristique est h h hhh on peut dire que 1a fonction f f fff change ( h − 1 h − 1 h-1h-1h−1 )-fois d'allure de convexité d'ordre n n nnn (sur E E EEE ). En particulier, si n = − 1 n = − 1 n=-1n=-1n=−1 cela signifie que la fonction change ( h − 1 ) ( h − 1 ) (h-1)(h-1)(h−1)-fois de signe sur E E EEE.
9. Soit maintenant n n nnn un entier ≧ − 1 ≧ − 1 >= -1\geqq-1≧−1 et
(7) ( x ν ) ν = 1 m ( m ≧ n + 2 ) (7) x ν ν = 1 m ( m ≧ n + 2 ) {:(7)(x_(nu))_(nu=1)^(m)quad(m >= n+2):}\begin{equation*} \left(x_{\nu}\right)_{\nu=1}^{m} \quad(m \geqq n+2) \tag{7} \end{equation*}(7)(xν)ν=1m(m≧n+2)
une suite croissante de E E EEE (les x x xxx, ne sont pas nécessairement équidistants). Considérons la suite correspondante
(8) ( [ x ν , x ν + 1 , … , x ν + n + 1 ; f ] ) ν = 1 m − n − 1 (8) x ν , x ν + 1 , … , x ν + n + 1 ; f ν = 1 m − n − 1 {:(8)([x_(nu),x_(nu+1),dots,x_(nu+n+1);f])_(nu=1)^(m-n-1):}\begin{equation*} \left(\left[x_{\nu}, x_{\nu+1}, \ldots, x_{\nu+n+1} ; f\right]\right)_{\nu=1}^{m-n-1} \tag{8} \end{equation*}(8)([xν,xν+1,…,xν+n+1;f])ν=1m−n−1
des différences divisées d'ordre n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 de f f fff sur des points consécutifs de la suite (7).
Les fonctions d'ordre ( n k n k nkn knk ) sont alors définies de la manière suivante:
Définition 2. La fonction f : E → R f : E → R f:E rarr Rf: E \rightarrow Rf:E→R est dite d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ) si pour toutes les suites (finies) croissantes (7) de E E EEE, le nombre maximum des variations de signes des suites correspondantes (8) est égal à k k kkk.
n n nnn et k k kkk sont des entiers, k ≧ 0 , n ≧ − 1 k ≧ 0 , n ≧ − 1 k >= 0,n >= -1k \geqq 0, n \geqq-1k≧0,n≧−1.
On a k = 0 k = 0 k=0k=0k=0 si et seulement si la fonction f f fff est d'ordre n n nnn.
Pour plus de détails voir mes travaux antérieurs [4].
10. L'ensemble des fonctions d'ordre n n nnn par segments et l'ensemble des fonctions d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ) pour les diverses valeurs possibles de k k kkk, coincident, En effet [4]:
Une fonction d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ) est une fonction d'ordre n n nnn par segments et whe fonction d'ordre n n nnn par segments est une fonction d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ) pour un
Si une fonction d'ordre n n nnn par segments a sa caractéristique égale à h h hhh, k k kkk convenable. alors elle est une fonction d'ordre ( n ∣ k ) n ∣ k ) n∣k)n \mid k)n∣k) où h − 1 ≦ k ≦ ( h − 1 ) ( n + 2 ) h − 1 ≦ k ≦ ( h − 1 ) ( n + 2 ) h-1 <= k <= (h-1)(n+2)h-1 \leqq k \leqq(h-1)(n+2)h−1≦k≦(h−1)(n+2).
La propriété bien simple que toute fonction monotone change de signe au plus une fois et que toute fonction convexe habituelle change de signe au plus deux fois se trouve généralisée par la propriété suivante:
Toute fonction d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ) est au plus d'ordre ( n − i ∣ k + i n − i ∣ k + i n-i∣k+in-i \mid k+in−i∣k+i ) pour
On dit que la fonction est au plus d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ) si elle est d'ordre i = 1 , 2 , … , n + 1 i = 1 , 2 , … , n + 1 i=1,2,dots,n+1i=1,2, \ldots, n+1i=1,2,…,n+1.
11. Toutes les propriétés des fonctions d'ordre n n nnn par segments et des ( n k ′ n k ′ nk^(')n k^{\prime}nk′ ) avec k ′ ≦ k k ′ ≦ k k^(') <= kk^{\prime} \leqq kk′≦k. fonctions d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ) n'ont pas encore été étudiées.
Pour donner des exemples voici quelques nouvelles propriétés de ces
Si la fonction f f fff est d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ) sur l'intervalle [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] et si k ≦ n k ≦ n k <= nk \leqq nk≦n, fonctions. cette fonction est bornée sur tout intervalle [ a 1 , b 1 ] a 1 , b 1 [a_(1),b_(1)]\left[a_{1}, b_{1}\right][a1,b1] ou a < a 1 < b 1 < b a < a 1 < b 1 < b a < a_(1) < b_(1) < ba<a_{1}<b_{1}<ba<a1<b1<b.
La démonstration est bien simple. Soit x ∈ [ a 1 , b 1 ] x ∈ a 1 , b 1 x in[a_(1),b_(1)]x \in\left[a_{1}, b_{1}\right]x∈[a1,b1] et les points fi xes x ν , x ν ′ , ν = 1 , 2 , … , n + 1 x ν , x ν ′ , ν = 1 , 2 , … , n + 1 x_(nu),x_(nu)^('),nu=1,2,dots,n+1x_{\nu}, x_{\nu}^{\prime}, \nu=1,2, \ldots, n+1xν,xν′,ν=1,2,…,n+1 tel que x 1 < x 2 < … < x n + 1 < a 1 < b 1 < x 1 ′ < x 2 ′ < … < x n + 1 ′ x 1 < x 2 < … < x n + 1 < a 1 < b 1 < x 1 ′ < x 2 ′ < … < x n + 1 ′ x_(1) < x_(2) < dots < x_(n+1) < a_(1) < b_(1) < x_(1)^(') < x_(2)^(') < dots < x_(n+1)^(')x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1}<a_{1}<b_{1}<x_{1}^{\prime}< x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{n+1}^{\prime}x1<x2<…<xn+1<a1<b1<x1′<x2′<…<xn+1′. Alors on peut trouver deux termes consécutifs de la suite
( [ x 1 ′ , x 2 ′ , … , x v − 1 ′ , x v , x v + 1 , … , x n + 1 , x ; f ] ) v = 1 n + 2 x 1 ′ , x 2 ′ , … , x v − 1 ′ , x v , x v + 1 , … , x n + 1 , x ; f v = 1 n + 2 ([x_(1)^('),x_(2)^('),dots,x_(v-1)^('),x_(v),x_(v+1),dots,x_(n+1),x;f])_(v=1)^(n+2)\left(\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{v-1}^{\prime}, x_{v}, x_{v+1}, \ldots, x_{n+1}, x ; f\right]\right)_{v=1}^{n+2}([x1′,x2′,…,xv−1′,xv,xv+1,…,xn+1,x;f])v=1n+2
qui soient du même signe. Si, pour fixer les idées, les différences divisées
[ x 1 ′ , x 2 ′ , … , x ν − 1 ′ , x ν , x ν + 1 … , x n + 1 , x ; f ] = f ( x ) ( x − x 1 ′ ) ( x − x 2 ′ ) … ( x − x ν − 1 ′ ) ( x − x ν ) ( x − x ν + 1 ) … ( x − x n + 1 ) + [ x 1 ′ , x 2 ′ , … , x ν − 1 ′ , x ν , x ν + 1 , … , x n + 1 ; f ( t ) t − x ] [ x 1 ′ , x 2 ′ , … , x ν ′ , x ν + 1 , x ν + 2 , … , x n + 1 , x ; f ] = f ( x ) ( x − x 1 ′ ) ( x − x 2 ′ ) … ( x − x ν ′ ) ( x − x ν + 1 ) ( x − x ν + 2 ) … ( x − x n + 1 ) + [ x 1 ′ , x 2 ′ , … , x ν ′ x ν + 1 , x ν + 2 , … , x n + 1 ; f ( t ) t − x ] x 1 ′ , x 2 ′ , … , x ν − 1 ′ , x ν , x ν + 1 … , x n + 1 , x ; f = f ( x ) x − x 1 ′ x − x 2 ′ … x − x ν − 1 ′ x − x ν x − x ν + 1 … x − x n + 1 + x 1 ′ , x 2 ′ , … , x ν − 1 ′ , x ν , x ν + 1 , … , x n + 1 ; f ( t ) t − x x 1 ′ , x 2 ′ , … , x ν ′ , x ν + 1 , x ν + 2 , … , x n + 1 , x ; f = f ( x ) x − x 1 ′ x − x 2 ′ … x − x ν ′ x − x ν + 1 x − x ν + 2 … x − x n + 1 + x 1 ′ , x 2 ′ , … , x ν ′ x ν + 1 , x ν + 2 , … , x n + 1 ; f ( t ) t − x {:[[x_(1)^('),x_(2)^('),dots,x_(nu-1)^('),x_(nu),x_(nu+1)dots,x_(n+1),x;f]],[=(f(x))/((x-x_(1)^('))(x-x_(2)^('))dots(x-x_(nu-1)^('))(x-x_(nu))(x-x_(nu+1))dots(x-x_(n+1)))],[+[x_(1)^('),x_(2)^('),dots,x_(nu-1)^('),x_(nu),x_(nu+1),dots,x_(n+1);(f(t))/(t-x)]],[[x_(1)^('),x_(2)^('),dots,x_(nu)^('),x_(nu+1),x_(nu+2),dots,x_(n+1),x;f]],[=(f(x))/((x-x_(1)^('))(x-x_(2)^('))dots(x-x_(nu)^('))(x-x_(nu+1))(x-x_(nu+2))dots(x-x_(n+1)))],[quad+[x_(1)^('),x_(2)^('),dots,x_(nu)^(')x_(nu+1),x_(nu+2),dots,x_(n+1);(f(t))/(t-x)]]:}\begin{aligned} & {\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{\nu-1}^{\prime}, x_{\nu}, x_{\nu+1} \ldots, x_{n+1}, x ; f\right]} \\ & =\frac{f(x)}{\left(x-x_{1}^{\prime}\right)\left(x-x_{2}^{\prime}\right) \ldots\left(x-x_{\nu-1}^{\prime}\right)\left(x-x_{\nu}\right)\left(x-x_{\nu+1}\right) \ldots\left(x-x_{n+1}\right)} \\ & +\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{\nu-1}^{\prime}, x_{\nu}, x_{\nu+1}, \ldots, x_{n+1} ; \frac{f(t)}{t-x}\right] \\ & {\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{\nu}^{\prime}, x_{\nu+1}, x_{\nu+2}, \ldots, x_{n+1}, x ; f\right]} \\ & =\frac{f(x)}{\left(x-x_{1}^{\prime}\right)\left(x-x_{2}^{\prime}\right) \ldots\left(x-x_{\nu}^{\prime}\right)\left(x-x_{\nu+1}\right)\left(x-x_{\nu+2}\right) \ldots\left(x-x_{n+1}\right)} \\ & \quad+\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{\nu}^{\prime} x_{\nu+1}, x_{\nu+2}, \ldots, x_{n+1} ; \frac{f(t)}{t-x}\right] \end{aligned}[x1′,x2′,…,xν−1′,xν,xν+1…,xn+1,x;f]=f(x)(x−x1′)(x−x2′)…(x−xν−1′)(x−xν)(x−xν+1)…(x−xn+1)+[x1′,x2′,…,xν−1′,xν,xν+1,…,xn+1;f(t)t−x][x1′,x2′,…,xν′,xν+1,xν+2,…,xn+1,x;f]=f(x)(x−x1′)(x−x2′)…(x−xν′)(x−xν+1)(x−xν+2)…(x−xn+1)+[x1′,x2′,…,xν′xν+1,xν+2,…,xn+1;f(t)t−x]
sont du mème signe, une délimitation convenable de | f ( x ) | | f ( x ) | |f(x)||f(x)||f(x)| sur [ a 1 , b 1 ] ) a 1 , b 1 {:[a_(1),b_(1)])\left.\left[a_{1}, b_{1}\right]\right)[a1,b1]) s'en suit. Dans les égalités précédentes on a désigné par t t ttt la variable de la fonction dont on considère les différences divisées. :-
On peut aussi démontrer de la même manière que:
Si la fonction f f fff est d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ) sur l'intervalle [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] et si k ≦ n − r − 1 k ≦ n − r − 1 k <= n-r-1k \leqq n -r-1k≦n−r−1, cette fonction a une dérivée continue d'ordre r ( ≧ 0 ) r ( ≧ 0 ) r( >= 0)r(\geqq 0)r(≧0) sur tout intervalle [ a 1 , b 1 ] a 1 , b 1 [a_(1),b_(1)]\left[a_{1}, b_{1}\right][a1,b1] oì a < a 1 < b 1 < b a < a 1 < b 1 < b a < a_(1) < b_(1) < ba<a_{1}<b_{1}<ba<a1<b1<b.
La démonstration consiste à montrer que la fonction est à ( r + 1 ) ( r + 1 ) (r+1)(r+1)(r+1)-ième différence divisée, bornée sur [ a 1 , b 1 ] a 1 , b 1 [a_(1),b_(1)]\left[a_{1}, b_{1}\right][a1,b1].
Pour r = 0 r = 0 r=0r=0r=0 la propriété est équivalente à la continuité de la fonction f f fff.

LITTERATURE

  1. G. Kowalewski. Interpolation und genäherte Quadratur. Leipzig, 1932.
  2. R. v. Mises. Über allgemeine Quadraturformeln. J. reine u. angew. Math., 174, 1935, 56-67.
  3. G. Peano. Resto nelle formule di quadratura, espresso con un integrale definite. Rend. Lincei, 22, 1913, 562-569.
  4. T. Popoviciu. Notes sur les généralisations des fonctions convexes d'ordre supérieur. Première note: Disquisitiones Math. et Phys., 1, 1940, 35-42. Seconde note: Bull Acad. Roumaine, 22, 1940, 473-477. Troisième note: ibid., 24, 1942, 409-416.
  5. T. Popoviciu. Notes sur les fonctions convexes d'ordre supérieur (IX). Bull Math. Soc. Roumaine sci., 43, 1942, 85-141.
  6. T. Popoviciu. Sur le reste dans certaines formules linéaire d'approximation de l'analyse. Mathematica, 1 (24), 1959, 95-142.
  7. I. Radon. Restausdrücke bei Interpolations- und Quadraturformeln durch bestimmte Integrale. Monatshefte f. Math. u. Phys., 42, 1935, 389-396.
  8. I. J. Schoenberg. (Ed.) Approximation with Special Emphasis on Spline Functions, 1969.
Institutul de Calcul
Cluj Roumanie
Reçu le 28.4.1973
1975

Related Posts