Abstrait
Traduction en anglais du titre
On a generalization of the “spline” functions
Auteur(s)
Tiberiu Popoviciu
Institutul de Calcul
Mots-clés
Pour citer ce travail
T. Popoviciu, Sur une généralisation des fonctions “spline”, Mathematical structures – computational mathematics – mathematical modelling, Sofia, 1975, pp. 405-410.
Sur ce travail
Journal
Publié par
DOI
Non disponible.
Print ISSN
Non disponible.
Online ISSN
Non disponible.
??
HTML forme du travail (preprint)
MATHEMATICAL STRUCTURES - COMPUTATIONAL MATHEMATICS - MATHEMATICAL MODELLING Papers dedicated to Professor L. Iliev's 60th Anniversary Sofia, 1975, p. 405-410
SUR UNE GÉNÉRALISATION DES FONCTIONS "SPLINE"
Dédié à M. L. Iliev à l'occasion de son soixantième anniversaire
Résunté. Après avoir rappelé la généralisation que nous avons donnée autrefois aux fonctions "spline" [4], nous donnons quelques nouvelles propriétés de ces fonctions. A titres d'exemple:
Si la fonction ff est d'ordre (n//k)(n / k) sur l'intervalle [a,b][a, b] et si k <= nk \leqq n, cette fonction est bornée et si k <= n-r-1k \leqq n-r-1, elle a une dérivée continue d'ordre r(r >= 0)r(r \geqq 0) sur tout intervalle [a_(1),b_(1)]\left[a_{1}, b_{1}\right], où a < a_(1) < b_(1) < ba<a_{1}<b_{1}<b.
- Depuis un certain temps l'attention de plusieurs auteurs s'est portée sur une classe spéciale de fonctions réelles d'une variable réelle. Ce sont les fonctions formées par un nombre fini de morceaux polynôminaux raccordés convenablement. Des cas particuliers sont les fonctions constantes par segments et les fonctions dont la représentation graphique est une ligne polygonale. Ces fonctions ont été rencontrées depuis longtemps dans divers problèmes importants comme celui de l'intégration approximative ou de l'approximation des fonctions quelconques par des fonctions plus simples.
- Soit f:[a,b]rarr Rf:[a, b] \rightarrow R une fonction continue définie sur lintervalle [a,b][a, b] borné et fermé de l'axe réel RR et considérons les points
{:(1)x_(nu)=a+nu h","quad h=(b-a)/(m)","quad nu=0","1","dots","m",":}\begin{equation*}
x_{\nu}=a+\nu h, \quad h=\frac{b-a}{m}, \quad \nu=0,1, \ldots, m, \tag{1}
\end{equation*}
qui divisent cet intervalle en mm parties égales.
Désignons par psi_(m)\psi_{m} la ligne polygonale (la fonction polygonale) inscrite dans la courbe y=f(x)y=f(x) et dont les sommets sont les points ( x_(v),f(x_(v))x_{v}, f\left(x_{v}\right) ), On sait que, sur [a,b][a, b], la suite ( psi_(m)\psi_{m} ) tend uniformément vers la fonction ff.
Désignons par psi_(m)\psi_{m} la ligne polygonale (la fonction polygonale) inscrite dans la courbe y=f(x)y=f(x) et dont les sommets sont les points ( x_(v),f(x_(v))x_{v}, f\left(x_{v}\right) ), On sait que, sur [a,b][a, b], la suite ( psi_(m)\psi_{m} ) tend uniformément vers la fonction ff.
La fonction psi_(m)\psi_{m} est de la forme
{:(2)psi_(m)=f(x_(0))+[x_(0),x_(1);f](x-a)+2hsum_(v=0)^(m-2)[x_(v),x_(v+1),x_(v+2);f]varphi_(2,x_(v+1)):}\begin{equation*}
\psi_{m}=f\left(x_{0}\right)+\left[x_{0}, x_{1} ; f\right](x-a)+2 h \sum_{v=0}^{m-2}\left[x_{v}, x_{v+1}, x_{v+2} ; f\right] \varphi_{2, x_{v+1}} \tag{2}
\end{equation*}
où lambda\lambda est un nombre réel et varphi_(2,lambda^(2))=(x-lambda+|x-lambda|)/(2)=(x-lambda)+\varphi_{2, \lambda^{2}}=\frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2}=(x-\lambda)+ est la partię positive de la fonction x-lambdax-\lambda, :
3. Nous désignerons par [z_(1),z_(2),dots,z_(k+1);f]\left[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{k+1} ; f\right] la différence divisée (d'ordre kk ) de la fonction ff sur les k+1k+1 points ou nœuds z_(1),z_(2),dots,z_(k+1)z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{k+1}.
3. Nous désignerons par [z_(1),z_(2),dots,z_(k+1);f]\left[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{k+1} ; f\right] la différence divisée (d'ordre kk ) de la fonction ff sur les k+1k+1 points ou nœuds z_(1),z_(2),dots,z_(k+1)z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{k+1}.
Alors les fonctions (2) se généralisent par les fonctions ( m >= n+1m \geq n+1 )
{:(3)Q_(m)(x)+(n+1)hsum_(nu=0)^(m-n-1)[x_(nu),x_(nu+1),dots,x_(nu+n+1);f]*varphi_(n+1,x_(nu+n)):}\begin{equation*}
Q_{m}(x)+(n+1) h \sum_{\nu=0}^{m-n-1}\left[x_{\nu}, x_{\nu+1}, \ldots, x_{\nu+n+1} ; f\right] \cdot \varphi_{n+1, x_{\nu+n}} \tag{3}
\end{equation*}
où nn est un nombre naturel, Q_(m)(x)Q_{m}(x) un polynôme de degré nn et les x_(y)x_{y} sont toujours les points (1). Enfin nous avons
{:(4)p_(n+1,lambda)=((x-lambda+|x-lambda|)/(2))^(n)=(x-lambda)_(+)^(n).:}\begin{equation*}
p_{n+1, \lambda}=\left(\frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2}\right)^{n}=(x-\lambda)_{+}^{n} . \tag{4}
\end{equation*}
Les différences divisées de divers ordres, sur des nœuds équidistants ou non, sont définies (par exemple) par la relation de récurrence
[z_(1),z_(2),dots,z_(k+1);f]=([z_(2),z_(3),dots,z_(k+1);f]-[z_(1),z_(2),dots,z_(k);f])/(z_(k+1)-z_(1))\left[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{k+1} ; f\right]=\frac{\left[z_{2}, z_{3}, \ldots, z_{k+1} ; f\right]-\left[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{k} ; f\right]}{z_{k+1}-z_{1}}
et [z_(1);f]=f(z_(1))\left[z_{1} ; f\right]=f\left(z_{1}\right) et par laquelle on construit la différence divisée d'ordre kk à l'aide de celle d'ordre k-1k-1.
Dans la suite nous supposons toujours que les no euds z_(1),z_(2),dots,z_(k+1)z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{k+1} sont distincts. On sait qu'en admettant l'existence d'un certain nombre de dérivées pour la fonction ff, on peut aussi définir des différences divisées sur des noeuds non pas nécessairement distincts. Pour les nœuds équidistants (1) nous avons d'ailleurs,
{:[[x_(y),x_(y+1),dots,x_(v+n+1);f]=(1)/((n+1)!h^(n+1))Delta_(h)^(n+1)f(a+nu h)],[quad=(1)/((n+1)!h^(n+1))sum_(mu=0)^(n+1)(-1)^(n+1-mu)((n+1)/(mu))f(a+ bar(nu+mu)h)]:}\begin{aligned}
& {\left[x_{y}, x_{y+1}, \ldots, x_{v+n+1} ; f\right]=\frac{1}{(n+1)!h^{n+1}} \Delta_{h}^{n+1} f(a+\nu h)} \\
& \quad=\frac{1}{(n+1)!h^{n+1}} \sum_{\mu=0}^{n+1}(-1)^{n+1-\mu}\binom{n+1}{\mu} f(a+\overline{\nu+\mu} h)
\end{aligned}
La structure de la fonction (3) dépend de deux importantes notions: A. La notion de fonctions convexes d'ordre nn. B. La notion de fonctions spline.
Dans la suite nous nous proposons de faire quelques considérations sur ces deux notions.
A. La notion de fonctions convexes d'ordre nn
- La fonction f:[a,b]rarr Rf:[a, b] \rightarrow R est dite convexe, non-concave, polynôminale, non-convexe respectivement concave d'ordre nn (sur [a,b][a, b] ) suivant que les différences divisées d'ordre n+1n+1 sur tout groupe de n+2n+2 points, ou nœuds, distincts, de la fonction ff, qui sont toutes > , >= ,=, <=>, \geq,=, \leqq respectivement < 0<0. Une fonction vérifiant l'une de ces propriétés est dite une fonction doodre nn.
L'entier nn est >= -1\geqq-1. Pour n=-1n=-1 nous avons les fonctions de signe invariable: positive, non-négatives, nulles (la fonction identiquement nulle), non-positives, respectivement négatives. Pour n=0n=0 nous avons les fonctions monotones: croissantes, non-décroissantes, constantes, non-croissantes respectivement décroissantes. En-
fin pour n=1n=1 nous avons les fonctions convexes, non-concaves, linéaires, non-convexe respectivement concaves habituelles.
fin pour n=1n=1 nous avons les fonctions convexes, non-concaves, linéaires, non-convexe respectivement concaves habituelles.
B. La notion de fonction spline
- Supposons n >= 1n \geqq 1. Alors toute combinaison lineaire de polynômes de degré nn et d'un nombre fini de fonctions de la forme (4) est ce que nous avons appelé autrefois une fonction élémentaire d'ordre nn [5]. Aujourd'hui on les appelle des fonctions spline.
Une fonction spline est donc de la forme
{:(5)P(x)+sum_(v=1)^(m)c_(v)varphi_(n+1,i_(v))(x):}\begin{equation*}
P(x)+\sum_{v=1}^{m} c_{v} \varphi_{n+1, i_{v}}(x) \tag{5}
\end{equation*}
où PP est un polynôme de degré nn, les lambda_(nu)\lambda_{\nu} sont des points donnés tel que a < lambda_(1) < lambda_(2) < dots < lambda_(m) < ba<\lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots<\lambda_{m}<b et les c_(y)c_{y} sont des constantes quelconques.
La fonction (5) est continue et à différence divisée d'ordre nn bornée. Si n > 1n>1 elle a une dérivée continue d'ordre n-1n-1 sur [a,b][a, b]. La fonction spline (5) est formée par un nombre fini de morceaux de polynômes de degré nn qui ont un ordre maximum de raccordement sans pour cela se réduire à un polynôme de degré nn. Il existe aussi des fonctions formées par de morceaux de polynômes de degré nn qui ne se raccordent pas aussi complètement, qui, par exemple, ne sont pas continues ou qui, pour n > 1n>1 sont continues mais non pas dérivables, etc. On peut dire que pour un nn donné les fonctions (5) sont les splines les pius simples.
6. Les fonctions spline ont été rencontrées depuis longtemps sans être mis explicitement en évidence. Telles sont les sois-dites "noyaux brisés" ou fonctions de Green qui interviennent dans la résolution de certains problèmes aux limites pour les équations différentielles linéaires. Il est impossible de citer ici tous les auteurs qui, sous une forme ou une autre, ont utilisé les splines. Je me contenterai de citer G. Peano [3], J. Radon [7], G. Kowalewski [1], R. v. Mises [2]. Dans le dernier temps les fonctions spline ont été étudiées systématiquement par I. J. Schoenberg et ses élèves. Ces auteurs ont obtenu entre autres, de nombreux résultats remarquables concernant certains problèmes d'approximation et d'optimisation pour les formules de quadratures. On peut consulter les travaux du Symposion de Wiscounsin [8].
7. Entre les fonctions convexes d'ordre supérieur et les fonctions spline de la forme (5) il y a une très étroite liaison. Nous avons la propriété suivante:
6. Les fonctions spline ont été rencontrées depuis longtemps sans être mis explicitement en évidence. Telles sont les sois-dites "noyaux brisés" ou fonctions de Green qui interviennent dans la résolution de certains problèmes aux limites pour les équations différentielles linéaires. Il est impossible de citer ici tous les auteurs qui, sous une forme ou une autre, ont utilisé les splines. Je me contenterai de citer G. Peano [3], J. Radon [7], G. Kowalewski [1], R. v. Mises [2]. Dans le dernier temps les fonctions spline ont été étudiées systématiquement par I. J. Schoenberg et ses élèves. Ces auteurs ont obtenu entre autres, de nombreux résultats remarquables concernant certains problèmes d'approximation et d'optimisation pour les formules de quadratures. On peut consulter les travaux du Symposion de Wiscounsin [8].
7. Entre les fonctions convexes d'ordre supérieur et les fonctions spline de la forme (5) il y a une très étroite liaison. Nous avons la propriété suivante:
Les conditions c_(v) >= 0,v=1,2,dots,mc_{v} \geqq 0, v=1,2, \ldots, m, sont nécessaires et suffisantes pour que la fonction (5) soit non-concave d'ordre nn.
En reprenant les fonctions spline de la forme (3), où les x_(2)x_{2} sont les points équidistants (1) et en choisissant convenablement le polynôme Q_(m)(x)Q_{m}(x) pour chaque valeur de mm, nous obtenons le théorème d'approximation [5, 6]:
Pour n >= 1n \geqq 1, toute fonction f:[a,b]rarr Rf:[a, b] \rightarrow R continue et d'ordre nn est indéfiniment et uniformément approximable par des fonctions spline de la forme (3), d'ordre nn. Autrement: Toute fonction f:[a,b]rarr Rf:[a, b] \rightarrow R, continue et non-concave d'ordre nn est la limite d'une suite uniformément convergente de fonctions de la forme (5), avec des coefficients c_(y)c_{y} non-négatifs.
Ce théorème a de nombreuses applications. Il peut fournir, par exemple, un critère pour la simplicité du reste de certaines formules linéaires d'approximation de l'Analyse.
C. Généralisation des fonctions spline
spline.
8. Ceci étant, nous avons propose une généralisation des fonctions
8. Ceci étant, nous avons propose une généralisation des fonctions
Définition 1. Si E sube RE \subseteq R, la fonction f:E rarr Rf: E \rightarrow R est dite d'ordre nn par segments (sur EE ) si on peut décomposer l'ensemble EE en un nombre fini de sous-ensembles consecutifs
{:(6)E_(1)","E_(2)","dots","E_(s):}\begin{equation*}
E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{s} \tag{6}
\end{equation*}
de maniere que sur chacun la fonction ff soit d'ordre nn.
On dit que (6) est une décomposition de EE en sous-ensembles consécutifs si:
8.1. A subE_(nu)sube E,nu=1,2,dots,sA \subset E_{\nu} \subseteq E, \nu=1,2, \ldots, s ( A=A= l'ensemble vide)
8.2. uu_(nu=1)^(s)E_(nu)=E\cup_{\nu=1}^{s} E_{\nu}=E
8.3. AAAA_(x^('),x^(''))x^(')inE_(nu),x^('')inE_(nu+1)=>x^(') < x^('')\forall \underset{x^{\prime}, x^{\prime \prime}}{\forall} x^{\prime} \in E_{\nu}, x^{\prime \prime} \in E_{\nu+1} \Rightarrow x^{\prime}<x^{\prime \prime}.
On dit que (6) est une décomposition de EE en sous-ensembles consécutifs si:
8.1. A subE_(nu)sube E,nu=1,2,dots,sA \subset E_{\nu} \subseteq E, \nu=1,2, \ldots, s ( A=A= l'ensemble vide)
8.2. uu_(nu=1)^(s)E_(nu)=E\cup_{\nu=1}^{s} E_{\nu}=E
8.3. AAAA_(x^('),x^(''))x^(')inE_(nu),x^('')inE_(nu+1)=>x^(') < x^('')\forall \underset{x^{\prime}, x^{\prime \prime}}{\forall} x^{\prime} \in E_{\nu}, x^{\prime \prime} \in E_{\nu+1} \Rightarrow x^{\prime}<x^{\prime \prime}.
L'entier nn est >= -1\geqq-1.
Pour une telle fonction il peut exister plusieurs décompositions (6) vérifiant la propriété de la définition précédente.
Pour une telle fonction il peut exister plusieurs décompositions (6) vérifiant la propriété de la définition précédente.
Le nombre ss de ces décompositions a un minimum hh qui s'appelle la caractéristique de la fonction ff, d'ordre nn par segments. Lorsque h=1h=1 la fonction se réduit à une fonction d'ordre nn. En général si la caractéristique est hh on peut dire que 1a fonction ff change ( h-1h-1 )-fois d'allure de convexité d'ordre nn (sur EE ). En particulier, si n=-1n=-1 cela signifie que la fonction change (h-1)(h-1)-fois de signe sur EE.
9. Soit maintenant nn un entier >= -1\geqq-1 et
9. Soit maintenant nn un entier >= -1\geqq-1 et
{:(7)(x_(nu))_(nu=1)^(m)quad(m >= n+2):}\begin{equation*}
\left(x_{\nu}\right)_{\nu=1}^{m} \quad(m \geqq n+2) \tag{7}
\end{equation*}
une suite croissante de EE (les xx, ne sont pas nécessairement équidistants). Considérons la suite correspondante
{:(8)([x_(nu),x_(nu+1),dots,x_(nu+n+1);f])_(nu=1)^(m-n-1):}\begin{equation*}
\left(\left[x_{\nu}, x_{\nu+1}, \ldots, x_{\nu+n+1} ; f\right]\right)_{\nu=1}^{m-n-1} \tag{8}
\end{equation*}
des différences divisées d'ordre n+1n+1 de ff sur des points consécutifs de la suite (7).
Les fonctions d'ordre ( nkn k ) sont alors définies de la manière suivante:
Définition 2. La fonction f:E rarr Rf: E \rightarrow R est dite d'ordre ( n∣kn \mid k ) si pour toutes les suites (finies) croissantes (7) de EE, le nombre maximum des variations de signes des suites correspondantes (8) est égal à kk.
nn et kk sont des entiers, k >= 0,n >= -1k \geqq 0, n \geqq-1.
On a k=0k=0 si et seulement si la fonction ff est d'ordre nn.
Pour plus de détails voir mes travaux antérieurs [4].
10. L'ensemble des fonctions d'ordre nn par segments et l'ensemble des fonctions d'ordre ( n∣kn \mid k ) pour les diverses valeurs possibles de kk, coincident, En effet [4]:
Définition 2. La fonction f:E rarr Rf: E \rightarrow R est dite d'ordre ( n∣kn \mid k ) si pour toutes les suites (finies) croissantes (7) de EE, le nombre maximum des variations de signes des suites correspondantes (8) est égal à kk.
nn et kk sont des entiers, k >= 0,n >= -1k \geqq 0, n \geqq-1.
On a k=0k=0 si et seulement si la fonction ff est d'ordre nn.
Pour plus de détails voir mes travaux antérieurs [4].
10. L'ensemble des fonctions d'ordre nn par segments et l'ensemble des fonctions d'ordre ( n∣kn \mid k ) pour les diverses valeurs possibles de kk, coincident, En effet [4]:
Une fonction d'ordre ( n∣kn \mid k ) est une fonction d'ordre nn par segments et whe fonction d'ordre nn par segments est une fonction d'ordre ( n∣kn \mid k ) pour un
Si une fonction d'ordre nn par segments a sa caractéristique égale à hh, kk convenable. alors elle est une fonction d'ordre ( n∣k)n \mid k) où h-1 <= k <= (h-1)(n+2)h-1 \leqq k \leqq(h-1)(n+2).
La propriété bien simple que toute fonction monotone change de signe au plus une fois et que toute fonction convexe habituelle change de signe au plus deux fois se trouve généralisée par la propriété suivante:
Toute fonction d'ordre ( n∣kn \mid k ) est au plus d'ordre ( n-i∣k+in-i \mid k+i ) pour
On dit que la fonction est au plus d'ordre ( n∣kn \mid k ) si elle est d'ordre i=1,2,dots,n+1i=1,2, \ldots, n+1.
11. Toutes les propriétés des fonctions d'ordre nn par segments et des ( nk^(')n k^{\prime} ) avec k^(') <= kk^{\prime} \leqq k. fonctions d'ordre ( n∣kn \mid k ) n'ont pas encore été étudiées.
On dit que la fonction est au plus d'ordre ( n∣kn \mid k ) si elle est d'ordre i=1,2,dots,n+1i=1,2, \ldots, n+1.
11. Toutes les propriétés des fonctions d'ordre nn par segments et des ( nk^(')n k^{\prime} ) avec k^(') <= kk^{\prime} \leqq k. fonctions d'ordre ( n∣kn \mid k ) n'ont pas encore été étudiées.
Pour donner des exemples voici quelques nouvelles propriétés de ces
Si la fonction ff est d'ordre ( n∣kn \mid k ) sur l'intervalle [a,b][a, b] et si k <= nk \leqq n, fonctions. cette fonction est bornée sur tout intervalle [a_(1),b_(1)]\left[a_{1}, b_{1}\right] ou a < a_(1) < b_(1) < ba<a_{1}<b_{1}<b.
Si la fonction ff est d'ordre ( n∣kn \mid k ) sur l'intervalle [a,b][a, b] et si k <= nk \leqq n, fonctions. cette fonction est bornée sur tout intervalle [a_(1),b_(1)]\left[a_{1}, b_{1}\right] ou a < a_(1) < b_(1) < ba<a_{1}<b_{1}<b.
La démonstration est bien simple. Soit x in[a_(1),b_(1)]x \in\left[a_{1}, b_{1}\right] et les points fi xes x_(nu),x_(nu)^('),nu=1,2,dots,n+1x_{\nu}, x_{\nu}^{\prime}, \nu=1,2, \ldots, n+1 tel que x_(1) < x_(2) < dots < x_(n+1) < a_(1) < b_(1) < x_(1)^(') < x_(2)^(') < dots < x_(n+1)^(')x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1}<a_{1}<b_{1}<x_{1}^{\prime}< x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{n+1}^{\prime}. Alors on peut trouver deux termes consécutifs de la suite
([x_(1)^('),x_(2)^('),dots,x_(v-1)^('),x_(v),x_(v+1),dots,x_(n+1),x;f])_(v=1)^(n+2)\left(\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{v-1}^{\prime}, x_{v}, x_{v+1}, \ldots, x_{n+1}, x ; f\right]\right)_{v=1}^{n+2}
qui soient du même signe. Si, pour fixer les idées, les différences divisées
{:[[x_(1)^('),x_(2)^('),dots,x_(nu-1)^('),x_(nu),x_(nu+1)dots,x_(n+1),x;f]],[=(f(x))/((x-x_(1)^('))(x-x_(2)^('))dots(x-x_(nu-1)^('))(x-x_(nu))(x-x_(nu+1))dots(x-x_(n+1)))],[+[x_(1)^('),x_(2)^('),dots,x_(nu-1)^('),x_(nu),x_(nu+1),dots,x_(n+1);(f(t))/(t-x)]],[[x_(1)^('),x_(2)^('),dots,x_(nu)^('),x_(nu+1),x_(nu+2),dots,x_(n+1),x;f]],[=(f(x))/((x-x_(1)^('))(x-x_(2)^('))dots(x-x_(nu)^('))(x-x_(nu+1))(x-x_(nu+2))dots(x-x_(n+1)))],[quad+[x_(1)^('),x_(2)^('),dots,x_(nu)^(')x_(nu+1),x_(nu+2),dots,x_(n+1);(f(t))/(t-x)]]:}\begin{aligned}
& {\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{\nu-1}^{\prime}, x_{\nu}, x_{\nu+1} \ldots, x_{n+1}, x ; f\right]} \\
& =\frac{f(x)}{\left(x-x_{1}^{\prime}\right)\left(x-x_{2}^{\prime}\right) \ldots\left(x-x_{\nu-1}^{\prime}\right)\left(x-x_{\nu}\right)\left(x-x_{\nu+1}\right) \ldots\left(x-x_{n+1}\right)} \\
& +\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{\nu-1}^{\prime}, x_{\nu}, x_{\nu+1}, \ldots, x_{n+1} ; \frac{f(t)}{t-x}\right] \\
& {\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{\nu}^{\prime}, x_{\nu+1}, x_{\nu+2}, \ldots, x_{n+1}, x ; f\right]} \\
& =\frac{f(x)}{\left(x-x_{1}^{\prime}\right)\left(x-x_{2}^{\prime}\right) \ldots\left(x-x_{\nu}^{\prime}\right)\left(x-x_{\nu+1}\right)\left(x-x_{\nu+2}\right) \ldots\left(x-x_{n+1}\right)} \\
& \quad+\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{\nu}^{\prime} x_{\nu+1}, x_{\nu+2}, \ldots, x_{n+1} ; \frac{f(t)}{t-x}\right]
\end{aligned}
sont du mème signe, une délimitation convenable de |f(x)||f(x)| sur {:[a_(1),b_(1)])\left.\left[a_{1}, b_{1}\right]\right) s'en suit. Dans les égalités précédentes on a désigné par tt la variable de la fonction dont on considère les différences divisées. :-
On peut aussi démontrer de la même manière que:
Si la fonction ff est d'ordre ( n∣kn \mid k ) sur l'intervalle [a,b][a, b] et si k <= n-r-1k \leqq n -r-1, cette fonction a une dérivée continue d'ordre r( >= 0)r(\geqq 0) sur tout intervalle [a_(1),b_(1)]\left[a_{1}, b_{1}\right] oì a < a_(1) < b_(1) < ba<a_{1}<b_{1}<b.
Si la fonction ff est d'ordre ( n∣kn \mid k ) sur l'intervalle [a,b][a, b] et si k <= n-r-1k \leqq n -r-1, cette fonction a une dérivée continue d'ordre r( >= 0)r(\geqq 0) sur tout intervalle [a_(1),b_(1)]\left[a_{1}, b_{1}\right] oì a < a_(1) < b_(1) < ba<a_{1}<b_{1}<b.
La démonstration consiste à montrer que la fonction est à (r+1)(r+1)-ième différence divisée, bornée sur [a_(1),b_(1)]\left[a_{1}, b_{1}\right].
Pour r=0r=0 la propriété est équivalente à la continuité de la fonction ff.
LITTERATURE
- G. Kowalewski. Interpolation und genäherte Quadratur. Leipzig, 1932.
- R. v. Mises. Über allgemeine Quadraturformeln. J. reine u. angew. Math., 174, 1935, 56-67.
- G. Peano. Resto nelle formule di quadratura, espresso con un integrale definite. Rend. Lincei, 22, 1913, 562-569.
- T. Popoviciu. Notes sur les généralisations des fonctions convexes d'ordre supérieur. Première note: Disquisitiones Math. et Phys., 1, 1940, 35-42. Seconde note: Bull Acad. Roumaine, 22, 1940, 473-477. Troisième note: ibid., 24, 1942, 409-416.
- T. Popoviciu. Notes sur les fonctions convexes d'ordre supérieur (IX). Bull Math. Soc. Roumaine sci., 43, 1942, 85-141.
- T. Popoviciu. Sur le reste dans certaines formules linéaire d'approximation de l'analyse. Mathematica, 1 (24), 1959, 95-142.
- I. Radon. Restausdrücke bei Interpolations- und Quadraturformeln durch bestimmte Integrale. Monatshefte f. Math. u. Phys., 42, 1935, 389-396.
- I. J. Schoenberg. (Ed.) Approximation with Special Emphasis on Spline Functions, 1969.
Institutul de Calcul
Cluj Roumanie
Reçu le 28.4.1973
Cluj Roumanie
Reçu le 28.4.1973