Abstrait
Traduction en anglais du titre
On the Bounding of the Error in Approximating the Roots of an Equation by Linear or Quadratic Interpolation
Auteur(s)
Tiberiu Popoviciu
Institutul de Calcul
Mots-clés
Pour citer ce travail
T. Popoviciu, Sur la délimitation de l’erreur dans l’approximation des racines d’une équation par interpolation linéaire ou quadratique, Rev. Roumaine Math. Pures Appl., 13 (1968), pp. 75-78 (in French) [MR0226849, Zbl 0162.08401]
Sur ce travail
Journal
Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées
Publié par
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SUR LA DÉLIMITATION DE L'ERREUR DANS L'APPROXIMATION DES RACINES D'UNE ÉQUATION PAR INTERPOLATION LINEAIRE OU QUADRATIQUE
par
TIBERIU POPOVICIU
On précise d'abord la délimitation de l'erreur donnée par A. M. OSTROWSKI
[1] dans l'approximation des racines d'une équation par interpolation linéaire.
On donne aussi un résultat analogue dans le cas de l'interpolation quadratique.
[1] dans l'approximation des racines d'une équation par interpolation linéaire.
On donne aussi un résultat analogue dans le cas de l'interpolation quadratique.
- Considérons une fonction réelle f=f(x)f=f(x), définie et continue sur un intervalle II de longueur non nulle. Nous allons désigner par z une racine de l'équation
f(x)=0f(x)=0
Nous désignerons par [x_(1)^('),x_(2)^('),dots,x_(n+1)^(');f]\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{n+1}^{\prime} ; f\right] la différence divisée (d'ordre nn ) et pp ar L(x_(1)^('),x_(2)^('),dots,x_(n+1)^(');f∣x)=[x_(1)^('),x_(2)^('),dots,x_(n+1)^(');f]x^(n)+dotsL\left(x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{n+1}^{\prime} ; f \mid x\right)=\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{n+1}^{\prime} ; f\right] x^{n}+\ldots; le polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite sur les nœuds x_(1)^(')x_{1}^{\prime}, x_(2)^('),dots,x_(n)^(')x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime} qui ne sont pas nécessairement distincts. Lorsque les nœuds ne sont pas distincts, dans la différence divisée et dans le polynôme d'interpolation correspondants interviennent aussi les dérivées successives de la fonction ff, d'après des règles bien connues.
2. Soient x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2} des points de II et yy la racine du polynôme de La-grange-Hermite L(x_(1),x_(2);f∣x)L\left(x_{1}, x_{2} ; f \mid x\right). Proposons-nous de délimiter l'erreur z-yz-y de l'approximation yy ainsi calculée de zz, en faisant sur la fonction ff certaines hypothèses convenables.
2. Soient x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2} des points de II et yy la racine du polynôme de La-grange-Hermite L(x_(1),x_(2);f∣x)L\left(x_{1}, x_{2} ; f \mid x\right). Proposons-nous de délimiter l'erreur z-yz-y de l'approximation yy ainsi calculée de zz, en faisant sur la fonction ff certaines hypothèses convenables.
De L(x_(1),x_(2);f∣y)=f(z)=0L\left(x_{1}, x_{2} ; f \mid y\right)=f(z)=0 et de l'expression bien connue du reste de la formule d'interpolation de Lagrange-Hermite, nous déduisons que
(2)
(2)
{:[L(x_(1),x_(2);f∣y)-L(x_(1),x_(2);f∣z)=],[=f(z)-L(x_(1),x_(2);f∣z)=[x_(1),x_(2),z;f](z-x_(1))(z-x_(2))]:}\begin{gathered}
L\left(x_{1}, x_{2} ; f \mid y\right)-L\left(x_{1}, x_{2} ; f \mid z\right)= \\
=f(z)-L\left(x_{1}, x_{2} ; f \mid z\right)=\left[x_{1}, x_{2}, z ; f\right]\left(z-x_{1}\right)\left(z-x_{2}\right)
\end{gathered}
REV. ROUM. MATH. PURES ET APPL., TOME XIII, NO 1. p. 75-78, BUCAREST, 1968
Mais
L(x_(1),x_(2);f∣y)-L(x_(1),x_(2);f∣z)=[x_(1),x_(2);f](y-z)L\left(x_{1}, x_{2} ; f \mid y\right)-L\left(x_{1}, x_{2} ; f \mid z\right)=\left[x_{1}, x_{2} ; f\right](y-z)
et il en résulte que
{:(3)[x_(1),x_(2);f](z-y)=-[x_(1),x_(2),z;f](z-x_(1))(z-x_(2)):}\begin{equation*}
\left[x_{1}, x_{2} ; f\right](z-y)=-\left[x_{1}, x_{2}, z ; f\right]\left(z-x_{1}\right)\left(z-x_{2}\right) \tag{3}
\end{equation*}
Si nous supposons que [x_(1),x_(2);f]!=0\left[x_{1}, x_{2} ; f\right] \neq 0, nous déduisons que
{:(4)z-y=-([x_(1),x_(2),z;f])/([x_(1),x_(2);f])(z-x_(1))(z-x_(2)):}\begin{equation*}
z-y=-\frac{\left[x_{1}, x_{2}, z ; f\right]}{\left[x_{1}, x_{2} ; f\right]}\left(z-x_{1}\right)\left(z-x_{2}\right) \tag{4}
\end{equation*}
C'est d'ailleurs une conséquence immédiate de l'application de la méthode de «regula falsi» et en particulier de celle de Newton si x_(1)=x_(2)x_{1}=x_{2}.
Si nous supposons que ff ait une dérivée seconde sur II, nous avons.
{:(5)[x_(1),x_(2);f]=f^(')(xi)","quad[x_(1),x_(2),z;f]=(1)/(2)f^('')(xi_(1)):}\begin{equation*}
\left[x_{1}, x_{2} ; f\right]=f^{\prime}(\xi), \quad\left[x_{1}, x_{2}, z ; f\right]=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right) \tag{5}
\end{equation*}
où xi\xi respectivement xi_(1)\xi_{1}, est (lorsque x_(1)!=x_(2)x_{1} \neq x_{2} ) à l'intérieur du plus petit intervalle contenant les points x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2} respectivement les points x_(1),x_(2),zx_{1}, x_{2}, z. Si donc la dérivée f^(')f^{\prime} de ff ne s'annule pas sur II (plus généralement à l'intérieur du plus petit intervalle contenant les points x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2}, ou sur x_(1)x_{1} si x_(1)=x_(2)x_{1}=x_{2} ), nous en déduisons
z-y=-(f^('')(xi_(1)))/(2f^(')(xi))(z-x_(1))(z-x_(2))z-y=-\frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)}{2 f^{\prime}(\xi)}\left(z-x_{1}\right)\left(z-x_{2}\right)
- Les formules précédentes ont un sens seulement si la racine z existe et présente un intérêt seulement si yy ne sort pas de l'intervalle II.
Supposons que
{:[0 < m_(1) <= |[x_(1)^('),x_(2)^(');f]| <= M_(1) < +oo],[0 < m_(2) <= |[x_(1)^('),x_(2)^('),x_(3)^(');f]| <= M_(2) < +oo]:}\begin{aligned}
& 0<m_{1} \leqq\left|\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime} ; f\right]\right| \leqq M_{1}<+\infty \\
& 0<m_{2} \leqq\left|\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, x_{3}^{\prime} ; f\right]\right| \leqq M_{2}<+\infty
\end{aligned}
pour tous les groupes de 3 points distincts x_(1)^('),x_(2)^('),x_(3)^(')x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, x_{3}^{\prime} de II. La fonction ff a alors une dérivée continue, est strictement monotone et est convexe ou concave sur II. Alors si la fonction change de signe, la racine zz existe et est unique. Le point y appartient au plus petit intervalle contenant les points x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2}, z si f(x_(1))f(x_(2)) < 0f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right)<0, ou bien si le point x_(1)=x_(2)x_{1}=x_{2} est d'un côté convenable de zz.
De (4) nous déduisons alors les délimitations suivantes de l'erreur z-yz-y de l'approximation yy de zz,
(m_(2))/(M_(1))|z-x_(1)||z-x_(2)| <= |z-y| <= (M_(2))/(m_(1))|z-x_(1)||z-x_(2)|\frac{m_{2}}{M_{1}}\left|z-x_{1}\right|\left|z-x_{2}\right| \leqq|z-y| \leqq \frac{M_{2}}{m_{1}}\left|z-x_{1}\right|\left|z-x_{2}\right|
Les coefficients (m_(2))/(M_(1)),(M_(2))/(m_(1))\frac{m_{2}}{M_{1}}, \frac{M_{2}}{m_{1}} de ces délimitations sont, en général, meilleurs que (m_(2)m_(1)^(2))/(M_(1)^(3)),(M_(2)M_(1)^(2))/(m_(1)^(3))\frac{m_{2} m_{1}^{2}}{M_{1}^{3}}, \frac{M_{2} M_{1}^{2}}{m_{1}^{3}} trouvés par A.M. Ostrowski [1].
4. Nous nous proposons d'obtenir un résultat analogue en considérant un polynôme d'interpolation sur 3 nœuds.
4. Nous nous proposons d'obtenir un résultat analogue en considérant un polynôme d'interpolation sur 3 nœuds.
Supposons que la fonction ff soit continue, strictement monotone et ait une racine zz à l'intérieur de l'intervalle II. Consid ćrons trois points x_(1),x_(2),x_(3)in Ix_{1}, x_{2}, x_{3} \in I, non tous confondus, tel que x_(1) <= x_(2) <= x_(3),x_(1) < z < x_(3)x_{1} \leqq x_{2} \leqq x_{3}, x_{1}<z<x_{3}. Alors le polynôme de Lagrange-Hermite L(x_(1),x_(2),x^(2)*f+x)L\left(x_{1}, x_{2}, x^{2} \cdot f+x\right) a y^(')y^{\prime} (et une seule) sur l'intervalle ( x_(1),x_(3)x_{1}, x_{3} ). Si nous ple yerrent L(x_(1),x_(2),x_(3);f∣x)=L(x)L\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} ; f \mid x\right)=L(x), la formule, analys and moment L(x_(1),x_(2),x_(3),j∣x)=L\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, j \mid x\right)=
{:(6)L(y^('))-L(z)=[x_(1),x_(2),x_(3),z;f](z-x_(1))(z-x_(2))(z-x_(3)):}\begin{equation*}
L\left(y^{\prime}\right)-L(z)=\left[x_{1}, x_{2}, x_{3}, z ; f\right]\left(z-x_{1}\right)\left(z-x_{2}\right)\left(z-x_{3}\right) \tag{6}
\end{equation*}
servira pour la délimitation de l'erreur z-y^(')z-y^{\prime} de l'approximation y^(')y^{\prime} de zz.
Si L(y^('))!=L(z)L\left(y^{\prime}\right) \neq L(z) de (6) il résulte que
Si L(y^('))!=L(z)L\left(y^{\prime}\right) \neq L(z) de (6) il résulte que
{:(7)z-y^(')=-([x_(1),x_(2),x_(3),z;f])/([y^('),z;L])(z-x_(1))(z-x_(2))(z-x_(3)):}\begin{equation*}
z-y^{\prime}=-\frac{\left[x_{1}, x_{2}, x_{3}, z ; f\right]}{\left[y^{\prime}, z ; L\right]}\left(z-x_{1}\right)\left(z-x_{2}\right)\left(z-x_{3}\right) \tag{7}
\end{equation*}
- Pour aller plus loin remarquons que la dérivée L^(')(x)L^{\prime}(x) étant de degré 1 et y^('),z in(x_(1),x_(3))y^{\prime}, z \in\left(x_{1}, x_{3}\right) la différence divisťe [y^('),z;L]\left[y^{\prime}, z ; L\right] est comprise entre L^(')(x_(1))L^{\prime}\left(x_{1}\right) et L^(')(x_(3))L^{\prime}\left(x_{3}\right).
En faisant les calculs, nous trouvons
{:[L^(')(x_(1))=(x_(2)-x_(1))/(x_(3)-x_(1)){2[x_(1),x_(2);f]-[x_(2),x_(3);f]}+(x_(3)-x_(2))/(x_(3)-x_(1))[x_(1),x_(2);f]],[L^(')(x_(3))=(x_(3)-x_(2))/(x_(3)-x_(1)){2[x_(2),x_(3);f]-[x_(1),x_(2);f]}+(x_(2)-x_(1))/(x_(3)-x_(1))[x_(2),x_(3);f]]:}\begin{aligned}
L^{\prime}\left(x_{1}\right) & =\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{3}-x_{1}}\left\{2\left[x_{1}, x_{2} ; f\right]-\left[x_{2}, x_{3} ; f\right]\right\}+\frac{x_{3}-x_{2}}{x_{3}-x_{1}}\left[x_{1}, x_{2} ; f\right] \\
L^{\prime}\left(x_{3}\right) & =\frac{x_{3}-x_{2}}{x_{3}-x_{1}}\left\{2\left[x_{2}, x_{3} ; f\right]-\left[x_{1}, x_{2} ; f\right]\right\}+\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{3}-x_{1}}\left[x_{2}, x_{3} ; f\right]
\end{aligned}
Si lambda <= [x_(1)^('),x_(2)^(');f] <= mu\lambda \leqq\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime} ; f\right] \leqq \mu pour tout x_(1)^('),x_(2)^(')in Ix_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime} \in I, nous trouvons que
{:(8)min(lambda","2lambda-mu) <= L^(')(x_(1))","L^(')(x_(3)) <= max(mu","2mu-lambda):}\begin{equation*}
\min (\lambda, 2 \lambda-\mu) \leqq L^{\prime}\left(x_{1}\right), L^{\prime}\left(x_{3}\right) \leqq \max (\mu, 2 \mu-\lambda) \tag{8}
\end{equation*}
Supposons maintenant que la fonction ff vérifie les conditions
{:(9){[0 < m_(1) <= |[x_(1)^('),x_(2)^(');f]| <= M_(1) < +oo],[0 < m_(3) <= |[x_(1)^('),x_(2)^('),x_(3)^('),x_(4)^(');f]| <= M_(3) < +oo]:}:}\left\{\begin{array}{l}
0<m_{1} \leqq\left|\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime} ; f\right]\right| \leqq M_{1}<+\infty \tag{9}\\
0<m_{3} \leqq\left|\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, x_{3}^{\prime}, x_{4}^{\prime} ; f\right]\right| \leqq M_{3}<+\infty
\end{array}\right.
pour tout groupe de 4 points distincts x_(1)^('),x_(2)^('),x_(3)^('),x_(4)^(')x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, x_{3}^{\prime}, x_{4}^{\prime} de II et que M_(1) < 2m_(1)M_{1}<2 m_{1}.
De la première condition (9) il résulte que la différence divisée [ x_(1)^('),x_(2)^(');fx_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime} ; f ] est de signe invariable (autrement elle s'annulerait aussi, ce qui est impossible). Nous avons donc, ou bien 0 < m_(1) <= [x_(1)^('),x_(2)^(');f] <= M_(1)0<m_{1} \leqq\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime} ; f\right] \leqq M_{1} pour tout x_(1)^('),x_(2)^(')in Ix_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime} \in I ou bien -M_(1) <= [x_(1)^('),x_(2)^(');f] <= -m_(1) < 0-M_{1} \leqq\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime} ; f\right] \leqq-m_{1}<0 pour tout x_(1)^(')x_{1}^{\prime}, x_(2)^(')in Ix_{2}^{\prime} \in I.
De la première condition (9) il résulte que la différence divisée [ x_(1)^('),x_(2)^(');fx_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime} ; f ] est de signe invariable (autrement elle s'annulerait aussi, ce qui est impossible). Nous avons donc, ou bien 0 < m_(1) <= [x_(1)^('),x_(2)^(');f] <= M_(1)0<m_{1} \leqq\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime} ; f\right] \leqq M_{1} pour tout x_(1)^('),x_(2)^(')in Ix_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime} \in I ou bien -M_(1) <= [x_(1)^('),x_(2)^(');f] <= -m_(1) < 0-M_{1} \leqq\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime} ; f\right] \leqq-m_{1}<0 pour tout x_(1)^(')x_{1}^{\prime}, x_(2)^(')in Ix_{2}^{\prime} \in I.
De (8) il résulte donc que 0 < 2m_(1)-M_(1)=min(m_(1),2m_(1)-M_(1))≦≦|L^(')(x_(1))|,|L^(')(x_(3))| <= max(M_(1),2M_(1)-m_(1)) <= 2M_(1)-m_(1)0<2 m_{1}-M_{1}=\min \left(m_{1}, 2 m_{1}-M_{1}\right) \leqq \leqq\left|L^{\prime}\left(x_{1}\right)\right|,\left|L^{\prime}\left(x_{3}\right)\right| \leqq \max \left(M_{1}, 2 M_{1}-m_{1}\right) \leqq 2 M_{1}-m_{1} et la formule.
(7) nous donne la delimitation
(7) nous donne la delimitation
{:[(m_(3))/(2M_(1)-m_(1))|z-x_(1)||z-x_(2)||z-x_(3)| <= |z-y^(')| <= ],[ <= (M_(3))/(2m_(1)-M_(1))|z-x_(1)||z-x_(2)||z-x_(3)|]:}\begin{gathered}
\frac{m_{3}}{2 M_{1}-m_{1}}\left|z-x_{1}\right|\left|z-x_{2}\right|\left|z-x_{3}\right| \leqq\left|z-y^{\prime}\right| \leqq \\
\leqq \frac{M_{3}}{2 m_{1}-M_{1}}\left|z-x_{1}\right|\left|z-x_{2}\right|\left|z-x_{3}\right|
\end{gathered}
Reçu le 3 mai 1967
BIBLIOGRAPHIE
- Ostrowski, A. M., Solution of Equations and Systems of Equations, 1966.