Abstrait
Traduction en anglais du titre
Notes on generalizations of higher-order convex functions (II)
Auteur(s)
T. Popoviciu
Institutul de Calcul
Mots-clés
Pour citer ce travail
T. Popoviciu, Notes sur les généralisations des fonctions convexes d’ordre supérieur (II), Bull. de la Sect. Sci. de l’Acad. Roum., 22 (1940) no. 10, pp. 473-477 (in French).
Sur ce travail
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Bulletin de la Section Scientifique de l’Académie Roumaine
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ACADEMIE ROUMAINE
BULLETIN DE LA SECTION SCIENTIFIQUE
NOTES SUR LES GENERALISATIONS DES FONCTIONS CONVEXES D'ORDRE SUPÉRIEUR (II)
LES FONCITONS D'ORDRE nn PAR SEGMENTS
I. Dans la note précédente nous avons considéré les fonctions d'ordre ( n∣kn \mid k ), dont les fonctions d'ordre nn sont un cas particulier ( k=0k=0 ). Nous allons maintenant étudier une autre classe de fonctions, étroitement liées à ces fonctions.
Nous dirons que l'ensemble linéaire EE est décomposé en mm sous-ensembles consécutifs E_(1),E_(2),dots,E_(m)E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{m} si: 1^(@)E_(i)sube E,i=1,2,dots,m,2^(@)1^{\circ} E_{i} \subseteq E, i=1,2, \ldots, m, 2^{\circ} tout point de EE appartient à l'un des E_(i),3^(@)E_{i}, 3^{\circ} tout point de E_(i)E_{i} est à gauche de tout point de E_(i+1),i=1,2,dots,m-1E_{i+1}, i=1,2, \ldots, m-1. Les sous-ensembles E_(i)E_{i} de EE sont donc des sections disjoints de EE et épuisant complètement l'ensemble EE.
Introduisons maintenant la
Définition I. Nous dirons que la fonction ff est d'ordre nn par segments sur EE si on peut décomposer l'ensemble EE en un nombre fini mm de sous-ensembles consécutifs
Définition I. Nous dirons que la fonction ff est d'ordre nn par segments sur EE si on peut décomposer l'ensemble EE en un nombre fini mm de sous-ensembles consécutifs
{:(I)E_(1)","E_(2)","dots","E_(m)",":}\begin{equation*}
E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{m}, \tag{I}
\end{equation*}
tels que sur chacun de ces sous-ensembles la fonction soit d'ordre nn.
En particulier, pour n=0n=0, on peut dire que ff est monotone par segments sur EE. Pour n=-1n=-1 nous avons les fonctions qui changent de signe au plus un nombre fini de fois.
En particulier, pour n=0n=0, on peut dire que ff est monotone par segments sur EE. Pour n=-1n=-1 nous avons les fonctions qui changent de signe au plus un nombre fini de fois.
Nous dirons que la décomposition (1) est une décomposition de EE pour la fonction ff, d'ordre nn par segments.
Toute fonction définie sur une ensemble fini est, évidemment, d'ordre nn par segments, quel que soit nn.
Si ff est d'ordre nn par segments sur EE, la fonction cfc f, où cc est une constante, et, en particulier, la fonction - ff, est aussi d'ordre nn par segments sur EE. Il en est ainsi, d'ailleurs, sur tout sous-ensemble de EE.
Si ff est d'ordre nn par segments sur EE, toute fonction f+Pf+P, où PP est un polynome de degré nn, est aussi d'ordre nn par segments sur EE. Nous préciserons plus tard cette propriété.
Si on peut décomposer 1'ensemble EE en un nombre fini de sous-ensembles consécutifs, tels que sur chacun de ces sous-ensembles la fonctions soit d'ordre nn par segments, cette fonction est d'ordre nn par segments sur EE.
2. Nous dirons qu'une décomposition (I) de EE pour la fonction ff, d'ordre nn par segments, est une décomposition propre si la fonction n'est d'ordre nn sur aucun des ensembles E_(i)+E_(i+1),i=1,2,dots,m-1E_{i}+E_{i+1}, i=1,2, \ldots, m-1. Dans le cas contraire, nous dirons que (I) est une décomposition impropre. Il existe alors au moins un E_(i)+E_(i+1)E_{i}+E_{i+1} sur lequel la fonction est d'ordre nn. En groupant convenablement les ensembles E_(i)E_{i} on peut réduire une décomposition impropre à une décomposition propre. Cette réduction peut s'effectuer en réunissant succesivement deux ensembles consécutifs E_(i),E_(i+1)E_{i}, E_{i+1} tels que sur E_(i)+E_(i+1)E_{i}+E_{i+1} la fonction soit d'ordre nn.
2. Nous dirons qu'une décomposition (I) de EE pour la fonction ff, d'ordre nn par segments, est une décomposition propre si la fonction n'est d'ordre nn sur aucun des ensembles E_(i)+E_(i+1),i=1,2,dots,m-1E_{i}+E_{i+1}, i=1,2, \ldots, m-1. Dans le cas contraire, nous dirons que (I) est une décomposition impropre. Il existe alors au moins un E_(i)+E_(i+1)E_{i}+E_{i+1} sur lequel la fonction est d'ordre nn. En groupant convenablement les ensembles E_(i)E_{i} on peut réduire une décomposition impropre à une décomposition propre. Cette réduction peut s'effectuer en réunissant succesivement deux ensembles consécutifs E_(i),E_(i+1)E_{i}, E_{i+1} tels que sur E_(i)+E_(i+1)E_{i}+E_{i+1} la fonction soit d'ordre nn.
En général pour une fonction d'ordre nn par segments il y a plusieurs, et même une infinité (si EE est infini), de décompositions (I) de EE. Le nombre mm des sous-ensembles (I) peut varier même d'une décomposition propre à une autre décomposition propre si n >= 0n \geqq 0.
Le nombre mm des sous-ensembles de la décomposition (I) pour une fonction d'ordre nn par segments a évidemment un minimum. Nous désignerons ce minimum par hh et nous introduirons 1a
Définition 2. Le nombre h, minimum de mm, sera appelé le nombre caractéristique ou simplement la caractéristique de la fonction ff, d'ordre nn par segments sur EE.
Il existe, évidemment, au moins une décomposition (I) ayant exactement hh termes. Il est clair que toute décomposition (I) ayant hh termes est une décomposition propre. On peut remarquer, en passant, que si la caractéristique de ff est hh, l'ensemble EE doit avoir au moins (n+2)h-n-1(n+2) h-n-1 points.
3. Soit (I) une décomposition propre de EE pour la fonction tt, d'ordre nn par segments sur EE. Soit E_(1)^(**)E_{1}^{*} le sous-ensemble de EE formé par les points x in Ex \in E tels que ff soit d'ordre nn sur l'intersection de EE avec l'intervalle ( a,xa, x ), aa étant l'extrémité gauche de EE. On voit que E_(1)^(**)E_{1}^{*} n'est pas vide puisque E_(1)subeE_(1)^(**)E_{1} \subseteq E_{1}^{*}. On a aussi E_(1)^(**)subE_(1)+E_(2)E_{1}^{*} \subset E_{1}+E_{2}, puisque la fonction n'est pas d'ordre nn sur E_(1)+E_(2)E_{1}+E_{2}, la décomposition (I) étant, par hypothèse, une décomposition propre. L'ensemble F_(2)=(E_(1)+E_(2))-E_(1)^(**)F_{2}=\left(E_{1}+E_{2}\right)-E_{1}^{*} n'est pas vide et on a F_(2)subeE_(2)F_{2} \subseteq E_{2}
3. Soit (I) une décomposition propre de EE pour la fonction tt, d'ordre nn par segments sur EE. Soit E_(1)^(**)E_{1}^{*} le sous-ensemble de EE formé par les points x in Ex \in E tels que ff soit d'ordre nn sur l'intersection de EE avec l'intervalle ( a,xa, x ), aa étant l'extrémité gauche de EE. On voit que E_(1)^(**)E_{1}^{*} n'est pas vide puisque E_(1)subeE_(1)^(**)E_{1} \subseteq E_{1}^{*}. On a aussi E_(1)^(**)subE_(1)+E_(2)E_{1}^{*} \subset E_{1}+E_{2}, puisque la fonction n'est pas d'ordre nn sur E_(1)+E_(2)E_{1}+E_{2}, la décomposition (I) étant, par hypothèse, une décomposition propre. L'ensemble F_(2)=(E_(1)+E_(2))-E_(1)^(**)F_{2}=\left(E_{1}+E_{2}\right)-E_{1}^{*} n'est pas vide et on a F_(2)subeE_(2)F_{2} \subseteq E_{2}
La fonction ff est d'ordre nn par segments sur E-E_(1)^(**)E-E_{1}^{*} et nous avons la décomposition
{:(2)F_(2)","E_(3)","E_(4)","dots","E_(m):}\begin{equation*}
F_{2}, E_{3}, E_{4}, \ldots, E_{m} \tag{2}
\end{equation*}
de cet ensemble pour la fonction ff. La décomposition (2) est, d'ailleurs, ou bien une décomposition propre de E-E_(1)^(**)E-E_{1}^{*}, ou bien alors
F_(2)+E_(3),E_(4),dots,E_(m),F_{2}+E_{3}, E_{4}, \ldots, E_{m},
est une décomposition propre de cet ensemble.
Tout comme nous avons déduit E_(1)^(**)E_{1}^{*} de EE, nous pouvons déduire E_(2)^(**)\mathrm{E}_{2}^{*} de E-E_(1)^(**)E-E_{1}^{*}, puis E_(3)^(**)E_{3}^{*} de E-(E_(1)^(**)+E_(2)^(**)),dotsE-\left(E_{1}^{*}+E_{2}^{*}\right), \ldots, etc.
On voit immédiatement que nous avons le
Lemme I. La suite E_(1)^(**),E_(2)^(**),dotsE_{1}^{*}, E_{2}^{*}, \ldots, est nécessairement finie et a au plus mm termes.
Lemme I. La suite E_(1)^(**),E_(2)^(**),dotsE_{1}^{*}, E_{2}^{*}, \ldots, est nécessairement finie et a au plus mm termes.
De ce lemme nous déduisons le
Théorème I. La suite E_(1)^(**),E_(2)^(**)dotsE_{1}^{*}, E_{2}^{*} \ldots a exactement hh termes, hh étant la caractéristique de la fonction ff.
Théorème I. La suite E_(1)^(**),E_(2)^(**)dotsE_{1}^{*}, E_{2}^{*} \ldots a exactement hh termes, hh étant la caractéristique de la fonction ff.
Il est clair, en effet, que cette suite s'obtient indépendamment de toute décomposition propre, (I) (et même indépendamment de toute décomposition propre ou impropre). Mais il existe une décomposition propre ayant hh termes, donc la suite a h^(') <= hh^{\prime} \leqq h termes. Il est clair, d'autre part que cette suite est une décomposition propre de EE pour la fonction ff don', h^(') >= hh^{\prime} \geq h, d'après la définition du nombre hh. On a lonc montre le théorème.
Definition 3. Nous dirons que
{:(3)E_(1)^(**)","E_(2)^(**)dots","E_(h)^(**):}\begin{equation*}
E_{1}^{*}, E_{2}^{*} \ldots, E_{h}^{*} \tag{3}
\end{equation*}
est la décomposition canonique de EE pour la fonction ff d'ordre nn par segments sur EE.
Bien entendu, ils peuvent exister d'autres décompositions propres ayant hh termes.
Remarquons que E_(i)^(**),E_(i+1)^(**),dots,E_(j)^(**)E_{i}^{*}, E_{i+1}^{*}, \ldots, E_{j}^{*} est la décomposition canonique de la somme E_(i)^(**)+E_(i+1)^(**)+dots+E_(j)^(**),i >= I,j <= hE_{i}^{*}+E_{i+1}^{*}+\ldots+E_{j}^{*}, i \geqq I, j \leqq h et la fonction ff a le nombre caractéristique j-i+Ij-i+I sur cet ensemble.
4. Démonstrons la propriété suivante
4. Démonstrons la propriété suivante
Théorème 2. Si h est la caractéristique de la fonction ff, d'ordre nn par segments sur EE, le nombre mm des termes d'une décomposition propre de EE pour la fonction ff, est toujours compris entre hh et 2h-I,h <= m <= 2h-I2 h-\mathrm{I}, h \leqq m \leqq 2 h-\mathrm{I}.
Il suffit de démontrer l'inégalité m <= 2h-1m \leq 2 h-1. Nous allons démontrer la propriété par induction sur le nombre hh. Soit (I) une décomposition propre et (3) la décomposition canonique.
La propriété est vraie pour h=1h=1. Dans ce cas, en effet, la fonction est d'ordre nn sur EE, donc on ne peut avoir que m=1m=1. Supposons maintenant que la propriété soit vraie pour h-I(h > I)h-\mathrm{I}(h>\mathrm{I}) et démontrons-la pour hh. Considérons les ensembles F=E-E_(m),F^(**)=E-E_(h)^(**)F=E-E_{m}, F^{*}=E-E_{h}^{*}. La décomposition canonique de F^(**)F^{*} est E_(1)^(**),E_(2)^(**),dots,E_(h-1)^(**)E_{1}^{*}, E_{2}^{*}, \ldots, E_{h-1}^{*}. Trois cas peuvent se présenter:
I^(@)F subF^(**)," alors "I^{\circ} F \subset F^{*}, \text { alors }
(4)
E_(1),E_(2),dots,E_(m-1),F^(**)-FE_{1}, E_{2}, \ldots, E_{m-1}, F^{*}-F
est une décomposition de F^(**)F^{*} pour la fonction ff. Si (4) est une décomposition propre nous avons m <= 2h-3m \leqq 2 h-3, donc à fortiori m <= 2h-m \leqq 2 h- I. Si (4) est une décompostion impropre, la décomposition
{:(5)E_(1)","E_(2)","dots","E_(m-2)","E_(m-1)+(F^(**)-F):}\begin{equation*}
E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{m-2}, E_{m-1}+\left(F^{*}-F\right) \tag{5}
\end{equation*}
est une décomposition propre, donc m-I <= 2h-3m-\mathrm{I} \leqq 2 h-3 et nous avons encore m <= 2hm \leqq 2 h - I (D'ailleurs, si m=2m=2, ce qui ne peut arriver que si h=2h=2, la suite (5) se réduit au seul terme F^(**)F^{*} ).
2^(@)F=F^(**)2^{\circ} F=F^{*}, alors
2^(@)F=F^(**)2^{\circ} F=F^{*}, alors
E_(1),E_(2),dots,E_(m-1),E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{m-1},
est une décomposition propre de F^(**)F^{*}, donc m-I <= 2h-3m-\mathrm{I} \leqq 2 h-3 et m <= 2h-Im \leqq 2 h-\mathrm{I}. 3^(@)F^(**)sub F3^{\circ} F^{*} \subset F, alors on ne peut avoir E_(m-1)subeE_(h)^(**)E_{m-1} \subseteq E_{h}^{*}, car on aurait E_(m-1)+E_(m)subeE_(h)^(**)E_{m-1}+E_{m} \subseteq E_{h}^{*}, contrairement à 1'hypothèse que (I) est une décomposition propre. On voit immédiatement que l'une des suites
{:[E_(1)","E_(2)","dots","E_(m-2)","F^(**)-sum_(i=1)^(m-2)E_(i)],[E_(1)","E_(2)","dots","E_(m-3)","E_(m-2)+(F^(**)-sum_(i=1)^(m-2)E_(i))]:}\begin{gathered}
E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{m-2}, F^{*}-\sum_{i=1}^{m-2} E_{i} \\
E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{m-3}, E_{m-2}+\left(F^{*}-\sum_{i=1}^{m-2} E_{i}\right)
\end{gathered}
est une décomposition propre de F^(**)F^{*}. On a donc m-I <= 2h-3m-\mathrm{I} \leqq 2 h-3 ou m-2 <= 2h-3m-2 \leqq 2 h-3, donc toujours m <= 2h-Im \leqq 2 h-\mathrm{I} (si h=2h=2 on voit facilement que m <= 3m \leqq 3 ).
La propriété est donc vraie aussi pour hh et le théorème 2 en résulte.
Le nombre mm peut effectivement prendre toutes les valeurs comprises entre hh et 2h-12 h-1. Soit, en effet, la fonction
Le nombre mm peut effectivement prendre toutes les valeurs comprises entre hh et 2h-12 h-1. Soit, en effet, la fonction
{:[f(3i)=0,i=1","2","dots","h-1],[f(3i+1)=1",",i=0","1","dots","h-1],[f(3i+2)=2",",i=0","1","dots","h-2]:}\begin{array}{ll}
f(3 i)=0 & i=1,2, \ldots, h-1 \\
f(3 i+1)=1, & i=0,1, \ldots, h-1 \\
f(3 i+2)=2, & i=0,1, \ldots, h-2
\end{array}
définie sur l'ensemble E={1,2,dots,3h-2}E=\{1,2, \ldots, 3 h-2\} et monotone par segments sur cet ensemble. Les décompositions
(6) {1,2},{3,4,5},{6,7,8},dots,{3h-6,3h-5,3h-4},{3h-3,3h-2}\{1,2\},\{3,4,5\},\{6,7,8\}, \ldots,\{3 h-6,3 h-5,3 h-4\},\{3 h-3,3 h-2\} (6) {I},{2,3},{4},{5,6},dots,{3i-2},{3i-I,3i},{3i+I,3i+2}\{\mathrm{I}\},\{2,3\},\{4\},\{5,6\}, \ldots,\{3 i-2\},\{3 i-\mathrm{I}, 3 i\},\{3 i+\mathrm{I}, 3 i+2\}, {3i+3,3i+4,3i+5},{3i+6,3i+7,3i+8},dots\{3 i+3,3 i+4,3 i+5\},\{3 i+6,3 i+7,3 i+8\}, \ldots,
(6) {1,2},{3,4,5},{6,7,8},dots,{3h-6,3h-5,3h-4},{3h-3,3h-2}\{1,2\},\{3,4,5\},\{6,7,8\}, \ldots,\{3 h-6,3 h-5,3 h-4\},\{3 h-3,3 h-2\} (6) {I},{2,3},{4},{5,6},dots,{3i-2},{3i-I,3i},{3i+I,3i+2}\{\mathrm{I}\},\{2,3\},\{4\},\{5,6\}, \ldots,\{3 i-2\},\{3 i-\mathrm{I}, 3 i\},\{3 i+\mathrm{I}, 3 i+2\}, {3i+3,3i+4,3i+5},{3i+6,3i+7,3i+8},dots\{3 i+3,3 i+4,3 i+5\},\{3 i+6,3 i+7,3 i+8\}, \ldots,
{3h-6,3h-5,3h-4},{3h-3,3h-2},\{3 h-6,3 h-5,3 h-4\},\{3 h-3,3 h-2\},
(6_(h-2)){I},{2,3},{4}{5,6},dots,{3h-8},{3h-7,3h-6},{3h-5,3h-4}\left(6_{h-2}\right)\{I\},\{2,3\},\{4\}\{5,6\}, \ldots,\{3 h-8\},\{3 h-7,3 h-6\},\{3 h-5,3 h-4\}
{3h-3,3h-2},\{3 h-3,3 h-2\},
(6_(h-1)){1},{2,3},{4},{5,6},dots,{3h-5},{3h-4,3h-3},{3h-2}\left(6_{h-1}\right)\{1\},\{2,3\},\{4\},\{5,6\}, \ldots,\{3 h-5\},\{3 h-4,3 h-3\},\{3 h-2\}, sont des décompositions propres de EE. La décompositions (6i) a h+ih+i termes, i=0,1,dots,h-1i=0,1, \ldots, h-1. La décomposition ( 6_(0)6_{0} ) est précisément la décomposition canonique.
Le nombre hh est toujours compris entre (m+I)/(2)\frac{m+I}{2} et mm. Il en résulte que si m=2m=2, on doit avoir h=2h=2. Si m > 2,hm>2, h peut être plus petit que mm sauf si n=-In=-\mathrm{I}, lorsque nous avons le
Théorème 3. Si n=-1n=-1, toute décomposition propre de EE a hh termes. En effet, si (I) est une décomposition propre de EE, on peut trouver les points x_(i)inE_(i),i=1,2,dots,mx_{i} \in E_{i}, i=1,2, \ldots, m, tels que f(x_(i))f(x_(i+1)) < 0,i=1,2f\left(x_{i}\right) f\left(x_{i+1}\right)<0, i=1,2, cdots,m-I\cdots, m-I. Deux points consécutifs x_(i),x_(i+1)x_{i}, x_{i+1} ne peuvent donc appartenir à un même E_(j)^(**)E_{j}^{*}. On a donc m <= hm \leqq h. D'autre part, m >= hm \geq h, d'après la défidu nombre hh. Done m=hm=h.
Cernăuți, le 22 avril 1940.