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Titre originale
Introduction à la théorie des différences divisées
Traduction en anglais du titre
Introduction to the theory of divided differences
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T. Popoviciu, Introduction à la théorie des différences divisées, Bull. Math. de la Soc. Roum. des Sci., t. 42 (1940), pp. 65-78 (in French)
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Bull. Math. de la Soc. Roum. des Sci.
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https://www.jstor.org/stable/43769841
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INTRODUCTION À LA THÉORIE DES DIFFÉRENCES DIVISÉES
PAR
TIBERIU POPOVICIU
Dans ce qui va suivre nous nous proposons de donner la démonstration de plusieurs formules qui interviennent dans la théorie des différences divisées des fonctions d'une variable. La plupart de ces formules se trouvent déjà exposées, sans démonstration, dans notre Thèse ^(1){ }^{1} ), Ces formules étant d'un usage courant dans la théorie des fonctions convexes d'ordre supérieur, il ne sera pas inutile de les établir ici en toute rigueur. Je me suis décidé de revenir sur ces questions en remarquant l'apparition de quelques travaux où mes résultats ne sont pas cités ^(2){ }^{2} ).
- Le polynome de Lagrange. Considérons n+1n+1 points distincts x_(1),x_(2),dots,x_(n+1)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} et soit f=f(x)f=f(x) une fonction uniforme définie sur ces points. Nous supposerons que les points x_(i)x_{i} sont sur l'axe réel et que ff est une fonction réelle.
Il existe un polynome et un seul de degré n qui prend les valeurs f(x_(i))\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{i}\right) aux points {:x_(i),i=1,2,dots,n+1^(3))\left.\mathrm{x}_{i}, \mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{n}+1{ }^{3}\right).
L'existence au moins d'un polynome satisfaisant aux conditions imposées peut être démontrée par récurrence. Pour n=0n=0 la propriété est immédiate. La constante f(x_(1))f\left(x_{1}\right) (polynome de degré 0 ) satisfait à la condition imposée. Supposons que la propriété soit vraie pour nn et demon-trons-la pour n+1n+1. Il existe donc, par hypothèse, au moins un polynome P(x)\mathrm{P}(x) de degré n-1n-1 prenant les valeurs f(x_(i))f\left(x_{i}\right) aux points x_(i),i=1x_{i}, i=1, 2,dots,n2, \ldots, n. On voit alors que le polynome
P(x)+[f(x_(n+1))-P(x_(n+1))]((x-x_(1))(x-x_(2))dots(x-x_(n)))/((x_(n+1)-x_(1))(x_(n+1)-x_(2))dots(x_(n+1)-x_(n)))P(x)+\left[f\left(x_{n+1}\right)-P\left(x_{n+1}\right)\right] \frac{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots\left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{n+1}-x_{1}\right)\left(x_{n+1}-x_{2}\right) \ldots\left(x_{n+1}-x_{n}\right)}
est de degré nn et prend les valeurs f(x_(i))f\left(x_{i}\right) aux points x_(i),i=1,2,dots,n+1x_{i}, i=1,2, \ldots, n+1.
L'unicité résulte facilement. Si l'on avait deux polynomes P(x)\mathrm{P}(x) et Q(x)\mathrm{Q}(x), non identiques, de degré nn et vérifiant les conditions imposées, la différence P(x)-Q(x)\mathrm{P}(x)-\mathrm{Q}(x) serait nulle pour x=x_(1),x_(2),dots,x_(n+1)x=x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}, ce qui est impossible.
Le polynome unique, déterminé tel que nous l'avons vu, s'appelle le polynome (d'interpolation) de Lagrange de la fonction ff sur les points x_(i),i=1,2,dots,n+1\mathrm{x}_{i}, \mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{n}+1.
Nous désignerons ce polynome par
{:(1)P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x).:}\begin{equation*}
\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right) . \tag{1}
\end{equation*}
La forme générale des polynomes prenant les valeurs f(x_(i))f\left(x_{i}\right) aux points x_(i),i=1,2,dots,n+1x_{i}, i=1,2, \ldots, n+1, est
P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x)+(x-x_(1))(x-x_(2))dots(x-x_(n+1))Q(x)\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)+\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots\left(x-x_{n+1}\right) \mathrm{Q}(x)
Q(x)\mathrm{Q}(x) élant un polynome quelconque ^(4){ }^{4} ).
L'unicité du polynome (1) permet d'écrire les formules suivantes, bien connues,
L'unicité du polynome (1) permet d'écrire les formules suivantes, bien connues,
P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x)=\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)=
=sum_(i=1)^(n+1)f(x_(i))((x-x_(1))dots(x-x_(i-1))(x-x_(i+1))dots(x-x_(n+1)))/((x_(i)-x_(1))dots(x_(i)-x_(i-1))(x_(i)-x_(i+1))dots(x_(i)-x_(n+1)))=sum_(i=1)^(n+1)(f(x_(i))?(x))/(P^(')(x_(i))(x-x_(i)))=\sum_{i=1}^{n+1} f\left(x_{i}\right) \frac{\left(x-x_{1}\right) \ldots\left(x-x_{i-1}\right)\left(x-x_{i+1}\right) \ldots\left(x-x_{n+1}\right)}{\left(x_{i}-x_{1}\right) \ldots\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\left(x_{i}-x_{i+1}\right) \ldots\left(x_{i}-x_{n+1}\right)}=\sum_{i=1}^{n+1} \frac{f\left(x_{i}\right) ?(x)}{\mathcal{P}^{\prime}\left(x_{i}\right)\left(x-x_{i}\right)},
P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x)=-(|[1,x_(1),x_(1)^(2),dots,x_(1)^(n),f(x_(1))],[1,x_(2),x_(2)^(2),dots,x_(2)^(n),f(x_(2))],[dots dots,dots,dots,dots,dots,dots],[1,x_(n+1),x_(n+1)^(2),dots,x_(n+1)^(n),f(x_(n+1))],[1,x,x^(2),dots,x^(n),0]|)/(|[1,x_(1),x_(1)^(2),dots,x_(1)^(n)],[1,x_(2),x_(2)^(2),dots,x_(2)^(n)],[dots dots dots,dots,dots,dots],[1,x_(n+1),x_(n+1)^(2),dots,x_(n+1)^(n)]|)\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)=-\frac{\left|\begin{array}{cccccc}
1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \ldots & x_{1}^{n} & f\left(x_{1}\right) \\
1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \ldots & x_{2}^{n} & f\left(x_{2}\right) \\
\ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
1 & x_{n+1} & x_{n+1}^{2} & \ldots & x_{n+1}^{n} & f\left(x_{n+1}\right) \\
1 & x & x^{2} & \ldots & x^{n} & 0
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccccc}
1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \ldots & x_{1}^{n} \\
1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \ldots & x_{2}^{n} \\
\ldots \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
1 & x_{n+1} & x_{n+1}^{2} & \ldots & x_{n+1}^{n}
\end{array}\right|}
où nous avons posé
{:(2)f(x)=(x-x_(1))(x-x_(2))dots(x-x_(n+1)).:}\begin{equation*}
f(x)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots\left(x-x_{n+1}\right) . \tag{2}
\end{equation*}
Posons
(3)
(3)
[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=sum_(i=1)^(n+1)(f(x_(i)))/(P^(')(x_(i)))\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=\sum_{i=1}^{n+1} \frac{f\left(x_{i}\right)}{\mathcal{P}^{\prime}\left(x_{i}\right)}
^(4){ }^{4} ) Le polynome (1) peut être aussi caractérisé par la propriété extrémale suivante. Il existe un polynome et un seul de degré effectif minimum qui prend les valeurs f(x_(i))f\left(x_{i}\right), pour x=x_(i),i=1,2,dots,n+1x=x_{i}, i=1,2, \ldots, n+1.
qui est le coefficient de x^(n)x^{n} dans le polynome (1). Ce polynome peut alors s'écrire sous les formes suivantes ^(5){ }^{5} )
qui est le coefficient de x^(n)x^{n} dans le polynome (1). Ce polynome peut alors s'écrire sous les formes suivantes ^(5){ }^{5} )
{:[P(x_(1),x_(2),dots,x_(n);f∣x)+[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f](varphi(x))/(x-x_(n+1))],[P(x_(2),x_(3),dots,x_(n+1);f∣x)+[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f](varphi(x))/(x-x_(1))]:}\begin{aligned}
& \mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f \mid x\right)+\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right] \frac{\varphi(x)}{x-x_{n+1}} \\
& \mathrm{P}\left(x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)+\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right] \frac{\varphi(x)}{x-x_{1}}
\end{aligned}
d'où résulte la relation de récurrence des polynomes de Lagrange
{:[(4)P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x)=],[=((x-x_(1))P(x_(2),x_(3),dots,x_(n+1);f∣x)-(x-x_(n+1))P(x_(1),x_(2),dots,x_(n);f∣x))/(x_(n+1)-x_(1))]:}\begin{gather*}
\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)= \tag{4}\\
=\frac{\left(x-x_{1}\right) \mathrm{P}\left(x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)-\left(x-x_{n+1}\right) \mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f \mid x\right)}{x_{n+1}-x_{1}}
\end{gather*}
- Les différences divisées. La différence divisée d'ordre n de la fonction f sur les points x_(1),x_(2),dots,x_(n+1)\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots, \mathrm{x}_{n+1} est caractérisée par les propriétés suivantes :
a) Elle est une expression linéaire et homogène par rapport à f(x_(1)),f(x_(2)),dots,f(x_(n+1))\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right), \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right), \ldots, \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{n+1}\right), avec des coefficients indépendants de la fonction f .
b) Elle est nulle identiquement pour les fonctions f=1,x,x^(2),dots\mathrm{f}=1, \mathrm{x}, \mathrm{x}^{2}, \ldots, x^(n+1)x^{n+1}.
c) Elle se réduit à 1 identiquement pour la fonction f=x^(n)\mathrm{f}=\mathrm{x}^{n}.
L'expression déterminée par ces conditions aa ), bb ), cc ), est unique puisque le système
sum_(i=1)^(n+1)lambda_(i)x_(i)^(m)={[0",",m=0","1","dots","n-1","],[1",",m=n","]:}\sum_{i=1}^{n+1} \lambda_{i} x_{i}^{m}= \begin{cases}0, & m=0,1, \ldots, n-1, \\ 1, & m=n,\end{cases}
est un système de C_("Ramer ")\mathrm{C}_{\text {Ramer }} en lambda_(1),lambda_(2),dots,lambda_(n+1)\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n+1}. Le déterminant de ce système est, en effet, le déterminant de Vandermonde
V(x_(1),x_(2)dots,x_(n+1))=prod_(i < j)(x_(j)-x_(i))\mathrm{V}\left(x_{1}, x_{2} \ldots, x_{n+1}\right)=\prod_{i<j}\left(x_{j}-x_{i}\right)
des nombres distincts x_(i)x_{i}.
Remarquons que l'expression (3) vérifie les propriétés aa ), bb ), cc ) puisque
Remarquons que l'expression (3) vérifie les propriétés aa ), bb ), cc ) puisque
P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);x^(i)∣x)=x^(i),i=0,1,dots,n-1,\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; x^{i} \mid x\right)=x^{i}, i=0,1, \ldots, n-1,
c'est donc la valeur de la différence divisée de f sur les points x_(l)\mathrm{x}_{l}.
Désignons par U(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f)\mathrm{U}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right) le déterminant qu'on obtient de V(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1))V\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right) si on remplace les éléments x_(i)^(n)x_{i}^{n} par f(x_(i))f\left(x_{i}\right) respectivement. La différence divisée (3) s'écrit alors
{:(5)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=(U(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f))/(V(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1))):}\begin{equation*}
\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=\frac{\mathrm{U}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right)}{\mathrm{V}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right)} \tag{5}
\end{equation*}
sous la forme du quotient de deux déterminants. On voit que la différence divisée (5) est symétrique par rapport aux points x_(i)\mathrm{x}_{i}.
La formule (4) nous donne la formule de récurrence des différences divisées
{:[(6)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=([x_(2),x_(3),dots,x_(n+1);f]-[x_(1),x_(2),dots,x_(n);f])/(x_(n+1)-x_(1))],[[x_(1);f]=f(x_(1))]:}\begin{gather*}
{\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=\frac{\left[x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]-\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f\right]}{x_{n+1}-x_{1}}} \tag{6}\\
{\left[x_{1} ; f\right]=f\left(x_{1}\right)}
\end{gather*}
qui peut aussi servir à les définir et qui justifie leur nom.
Nous pouvons donc écrire
Nous pouvons donc écrire
{:(7)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);x^(m)]={[0",",m=0","1","dots","n-1],[1",",m=n]:}:}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; x^{m}\right]= \begin{cases}0, & m=0,1, \ldots, n-1 \tag{7}\\ 1, & m=n\end{cases}
Nous avons
{:(8)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);Cf]=C[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]:}\begin{equation*}
\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; \mathrm{C} f\right]=\mathrm{C}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right] \tag{8}
\end{equation*}
(9) quad[x_(1),x_(2)dots,x_(n+1);f+g]=[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]+[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);g]\quad\left[x_{1}, x_{2} \ldots, x_{n+1} ; f+g\right]=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]+\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; g\right]
C étant une constante et f,gf, g deux fonctions définies sur les points x_(", ")i=1,2,dots,n+1x_{\text {, }} i=1,2, \ldots, n+1.
Si {f_(m)}\left\{f_{m}\right\} est une suite convergente de fonctions définies sur les points x_(i)x_{i}, on a évidemment
lim_(m rarr oo)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f_(m)]=[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);lim_(m rarr oo)f_(m)]\lim _{m \rightarrow \infty}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f_{m}\right]=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; \lim _{m \rightarrow \infty} f_{m}\right]
donc, si la série sum_(m=0)^(oo)f_(m)\sum_{m=0}^{\infty} f_{m} converge, on a
sum_(m=0)^(oo)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f_(m)]=[x_(1),x_(2)dots,x_(n+1);sum_(m=0)^(oo)f_(m)]\sum_{m=0}^{\infty}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f_{m}\right]=\left[x_{1}, x_{2} \ldots, x_{n+1} ; \sum_{m=0}^{\infty} f_{m}\right]
De ce qui précède il résulte que la différence divisée d'ordre nn d'un polynome de degré n-1n-1 est toujours nulle.
Remarquons encore la formule
f(x)-P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x)=varphi(x)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1),x;f]f(x)-\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)=\varphi(x)\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}, x ; f\right]
qui est une relation simple entre le polynome de Lagrange et la différence divisée.
Application. Calculons les différences divisées (7) pour mm entier > n>n. Sans restreindre la généralité nous pouvons supposer x_(i)!=0,i=1,2dotsx_{i} \neq 0, i=1,2 \ldots, n+1n+1 et soit |z| < min((1)/(|x_(1)|),(1)/(|x_(2)|),dots,(1)/(|x_(n+1)|)),z|z|<\min \left(\frac{1}{\left|x_{1}\right|}, \frac{1}{\left|x_{2}\right|}, \ldots, \frac{1}{\left|x_{n+1}\right|}\right), z étant un paramètre indépendant de xx. Nous avons
{:[(z^(n))/((1-zx_(1))(1-zx_(2))dots(1-zx_(n+1)))=sum_(i=1)^(n+1)(1)/((1-zx_(i))^(')(o)/(q)^(')(x_(i)))=],[=[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);(1)/(1-zx)]]:}\begin{gathered}
\frac{z^{n}}{\left(1-z x_{1}\right)\left(1-z x_{2}\right) \ldots\left(1-z x_{n+1}\right)}=\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{\left(1-z x_{i}\right)^{\prime} \frac{o}{q}^{\prime}\left(x_{i}\right)}= \\
=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; \frac{1}{1-z x}\right]
\end{gathered}
Mais,
(1)/(1-zx)=(z^(n)x^(n))/(1-zx)+1+zx+z^(2)x^(2)+dots+z^(n-1)x^(n-1)\frac{1}{1-z x}=\frac{z^{n} x^{n}}{1-z x}+1+z x+z^{2} x^{2}+\ldots+z^{n-1} x^{n-1}
et en tenant compte de (7), (8), (9),
[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);(1)/(1-zx)]=z^(n)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);(x^(n))/(1-zx)]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; \frac{1}{1-z x}\right]=z^{n}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; \frac{x^{n}}{1-z x}\right]
Si nous posons donc
(10) (1)/((1-zx_(1))(1-zx_(2))dots(1cdots zx_(n+1)))=S_(0)+S_(1)z+S_(2)z^(2)+dots\frac{1}{\left(1-z x_{1}\right)\left(1-z x_{2}\right) \ldots\left(1 \cdots z x_{n+1}\right)}=\mathrm{S}_{0}+\mathrm{S}_{1} z+\mathrm{S}_{2} z^{2}+\ldots nous avons
(10) (1)/((1-zx_(1))(1-zx_(2))dots(1cdots zx_(n+1)))=S_(0)+S_(1)z+S_(2)z^(2)+dots\frac{1}{\left(1-z x_{1}\right)\left(1-z x_{2}\right) \ldots\left(1 \cdots z x_{n+1}\right)}=\mathrm{S}_{0}+\mathrm{S}_{1} z+\mathrm{S}_{2} z^{2}+\ldots nous avons
S_(1)=[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);x^(i+n)]\mathrm{S}_{1}=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; x^{i+n}\right]
Si nous écrivons que le premier membre de (10) est égal au produit des développements
(1)/(1-zx_(i))=1+zx_(i)+z^(2)x_(i)^(2)+dots+z^(m)x_(i)^(m)+dots,i=1,2,dots,n+1\frac{1}{1-z x_{i}}=1+z x_{i}+z^{2} x_{i}^{2}+\ldots+z^{m} x_{i}^{m}+\ldots, i=1,2, \ldots, n+1
nous trouvons
S_(i)=[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);x^(i+n)]=Sigmax_(1)^(alpha_(1))x_(2)^(alpha_(2))dotsx_(n+1)^(alpha_(n+1))\mathrm{S}_{i}=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; x^{i+n}\right]=\Sigma x_{1}^{\alpha_{1}} x_{2}^{\alpha_{2}} \ldots x_{n+1}^{\alpha_{n+1}}
la sommation étant étendue à toutes les solutions entières et positives de l'équation alpha_(1)+alpha_(2)+dots+alpha_(n+1)=i\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{n+1}=i.
3. La formule fondamentale de transformation des différences divisées. Considérons maintenant la fonction ff définie sur mm points distincts
3. La formule fondamentale de transformation des différences divisées. Considérons maintenant la fonction ff définie sur mm points distincts
{:(11)x_(1)","x_(2)","dots","x_(m)quad(m >= n+1):}\begin{equation*}
x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m} \quad(m \geqq n+1) \tag{11}
\end{equation*}
Pour simplifier les notations nous poserons
{:[(12)Delta_(j)^(i)(f)=[x_(i),x_(i+1),dots,x_(i+j);f]","Delta_(0)^(i)(f)=f(x_(i))","],[(13)xi_(i,j+1)(x)=(x-x_(i))(x-x_(i+1))dots(x-x_(i+j))","quadxi_(i,0)(x)=1","],[i=1","2","dots","m-j","quad j=0","1","dots","m-1.]:}\begin{align*}
\Delta_{j}^{i}(f) & =\left[x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{i+j} ; f\right], \Delta_{0}^{i}(f)=f\left(x_{i}\right), \tag{12}\\
\xi_{i, j+1}(x) & =\left(x-x_{i}\right)\left(x-x_{i+1}\right) \ldots\left(x-x_{i+j}\right), \quad \xi_{i, 0}(x)=1, \tag{13}\\
i & =1,2, \ldots, m-j, \quad j=0,1, \ldots, m-1 .
\end{align*}
Ainsi _(1,n+1)(x){ }_{1, n+1}(x) est précisément le polynome (2) déjà considéré. Avec ces notations nous avons
Delta_(j)^(i)(f)=sum_(r=i)^(i⊬j)(f(x_(r)))/(varphi_(i,j+1)^(')(x_(r)))\Delta_{j}^{i}(f)=\sum_{r=i}^{i \nvdash j} \frac{f\left(x_{r}\right)}{\varphi_{i, j+1}^{\prime}\left(x_{r}\right)}
Nous allons maintenant considerer une expression linéaire et homogène de f(x_(i))f\left(x_{i}\right) de la forme
F=sum_(i=1)^(m)lambda_(i)f(x_(i))\mathrm{F}=\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} f\left(x_{i}\right)
les lambda_(i)\lambda_{i} étant indépendants de la fonction ff.
On peut toujours mettre une telle expression sous la forme
On peut toujours mettre une telle expression sous la forme
F=sum_(i=1)^(n)mu_(i)Delta_(i-1)^(1)(f)+sum_(i=1)^(m-n)v_(i)Delta_(n)^(i)(f)\mathrm{F}=\sum_{i=1}^{n} \mu_{i} \Delta_{i-1}^{1}(f)+\sum_{i=1}^{m-n} v_{i} \Delta_{n}^{i}(f)
où les mu_(l)\mu_{l} et les nu_(i)\nu_{i} ne dépendent pas de la fonction tt. Ces coefficients sont complètement déterminés par les coeficients lambda_(r)\lambda_{r}. En effet, l'identification nous conduit à un système linéaire de mm équations par rapport aux mm inconnues mu_(l),nu_(l)\mu_{l}, \nu_{l}. Le déterminant de ce système
(1)/(varphi_(1,2)^(')(x_(2))varphi_(1,3)^(')(x_(3))dotsvarphi_(1,n)^(')(x_(n))varphi_(1,n+1)^(')(x_(n+1))varphi_(2,n+1)^(')(x_(n+2))dotsvarphi_(m-n,n+1)^(')(x_(m)))\frac{1}{\varphi_{1,2}^{\prime}\left(x_{2}\right) \varphi_{1,3}^{\prime}\left(x_{3}\right) \ldots \varphi_{1, n}^{\prime}\left(x_{n}\right) \varphi_{1, n+1}^{\prime}\left(x_{n+1}\right) \varphi_{2, n+1}^{\prime}\left(x_{n+2}\right) \ldots \varphi_{m-n, n+1}^{\prime}\left(x_{m}\right)} est différent de zéro.
(1)/(varphi_(1,2)^(')(x_(2))varphi_(1,3)^(')(x_(3))dotsvarphi_(1,n)^(')(x_(n))varphi_(1,n+1)^(')(x_(n+1))varphi_(2,n+1)^(')(x_(n+2))dotsvarphi_(m-n,n+1)^(')(x_(m)))\frac{1}{\varphi_{1,2}^{\prime}\left(x_{2}\right) \varphi_{1,3}^{\prime}\left(x_{3}\right) \ldots \varphi_{1, n}^{\prime}\left(x_{n}\right) \varphi_{1, n+1}^{\prime}\left(x_{n+1}\right) \varphi_{2, n+1}^{\prime}\left(x_{n+2}\right) \ldots \varphi_{m-n, n+1}^{\prime}\left(x_{m}\right)} est différent de zéro.
Il reste à voir comment on détermine les coefficients mu_(i),y_(i)\mu_{i}, y_{i}. Nous les obtiendrons en choisissant convenablement la fonction ff.
Pour avoir les coefficients mu_(i)\mu_{i}, prenons pour ff le polynome varphi_(1,j-1)=varphi_(1,j-1)(x)\varphi_{1, j-1}=\varphi_{1, j-1}(x). Nous avons alors
{:[Delta_(i-1)^(1)(varphi_(1,j-1))={[0",",i=1","2","dots","j-1],[1",",i=j],[0",",i=j+1","j+2","dots","n]:}],[Delta_(n)^(t)(ℑ_(1,j-1))=0","i=1","2","dots","m-n]:}\begin{aligned}
\Delta_{i-1}^{1}\left(\varphi_{1, j-1}\right) & = \begin{cases}0, & i=1,2, \ldots, j-1 \\
1, & i=j \\
0, & i=j+1, j+2, \ldots, n\end{cases} \\
\Delta_{n}^{t}\left(\Im_{1, j-1}\right) & =0, i=1,2, \ldots, m-n
\end{aligned}
donc
{:[(14)mu_(j)=sum_(i=1)^(m)lambda_(i)f_(1,j-1)(x_(l))=sum_(i=j)^(m)lambda_(i)(x_(i)-x_(1))(x_(i)-x_(2))dots(x_(i)-x_(j-1))],[j=1","2","dots","n.]:}\begin{gather*}
\mu_{j}=\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} f_{1, j-1}\left(x_{l}\right)=\sum_{i=j}^{m} \lambda_{i}\left(x_{i}-x_{1}\right)\left(x_{i}-x_{2}\right) \ldots\left(x_{i}-x_{j-1}\right) \tag{14}\\
j=1,2, \ldots, n .
\end{gather*}
Pour obtenir les coefficients %_(i)\%_{i}, nous prenons pour ff les fonctions suivantes
{:(15)f_(j)^(**)=f_(j)^(**)(x)={[0","," pour "x=x_(1)","x_(2)","dots","x_(j+n-1)],[varphi_(j+1,n-1)(x)","," pour "x=x_(j+n)","x_(j+n+1)","dots","x_(m)],[j=1","2","dots",",m-n]:}:}\begin{align*}
f_{j}^{*}=f_{j}^{*}(x)= & \begin{cases}0, & \text { pour } x=x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{j+n-1} \\
\varphi_{j+1, n-1}(x), & \text { pour } x=x_{j+n}, x_{j+n+1}, \ldots, x_{m} \\
j=1,2, \ldots, & m-n\end{cases} \tag{15}
\end{align*}
Nous avons
{:[Delta_(i-1)^(1)(f_(j)^(**))=0","i=1","2","dots","n],[Delta_(n)^(i)(f_(j)^(**))={[0",",i=1","2","dots","j-1],[Delta_(n)^(j)(f_(j)^(**))",",i=j],[0",",i=j+1","j+2","dots","m-n]:}]:}\begin{aligned}
\Delta_{i-1}^{1}\left(f_{j}^{*}\right) & =0, i=1,2, \ldots, n \\
\Delta_{n}^{i}\left(f_{j}^{*}\right) & = \begin{cases}0, & i=1,2, \ldots, j-1 \\
\Delta_{n}^{j}\left(f_{j}^{*}\right), & i=j \\
0, & i=j+1, j+2, \ldots, m-n\end{cases}
\end{aligned}
donc
F=y_(j)Delta_(n)^(j)(f_(j)^(**))=(f_(j)^(**)(x_(j+n)))/((x_(j+n)-x_(j))(x_(j+n)-x_(j+1))dots(x_(j+n)-x_(j+n-1)))=(v_(j))/(x_(j+n)-x_(j))\mathrm{F}=y_{j} \Delta_{n}^{j}\left(f_{j}^{*}\right)=\frac{f_{j}^{*}\left(x_{j+n}\right)}{\left(x_{j+n}-x_{j}\right)\left(x_{j+n}-x_{j+1}\right) \ldots\left(x_{j+n}-x_{j+n-1}\right)}=\frac{v_{j}}{x_{j+n}-x_{j}}.
Nous en déduisons
F=y_(j)Delta_(n)^(j)(f_(j)^(**))=(f_(j)^(**)(x_(j+n)))/((x_(j+n)-x_(j))(x_(j+n)-x_(j+1))dots(x_(j+n)-x_(j+n-1)))=(v_(j))/(x_(j+n)-x_(j))\mathrm{F}=y_{j} \Delta_{n}^{j}\left(f_{j}^{*}\right)=\frac{f_{j}^{*}\left(x_{j+n}\right)}{\left(x_{j+n}-x_{j}\right)\left(x_{j+n}-x_{j+1}\right) \ldots\left(x_{j+n}-x_{j+n-1}\right)}=\frac{v_{j}}{x_{j+n}-x_{j}}.
Nous en déduisons
{:[(16)y_(j)=(x_(j+n)-x_(j))sum_(i=1)^(m)lambda_(i)f_(j)^(**)(x_(i))=(x_(j+n)-x_(j))sum_(i=j+n)^(m)lambda_(i)varphi_(j+1,n-1)(x_(i))=],[=(x_(j+n)-x_(j))sum_(i=j+n)^(m)lambda_(i)(x_(i)-x_(j+1))(x_(i)-x_(j+2))dots(x_(i)-x_(j+n-1)).]:}\begin{align*}
y_{j} & =\left(x_{j+n}-x_{j}\right) \sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} f_{j}^{*}\left(x_{i}\right)=\left(x_{j+n}-x_{j}\right) \sum_{i=j+n}^{m} \lambda_{i} \varphi_{j+1, n-1}\left(x_{i}\right)= \tag{16}\\
& =\left(x_{j+n}-x_{j}\right) \sum_{i=j+n}^{m} \lambda_{i}\left(x_{i}-x_{j+1}\right)\left(x_{i}-x_{j+2}\right) \ldots\left(x_{i}-x_{j+n-1}\right) .
\end{align*}
La formule fondamentale de transformation s'écrit donc finalement sous la forme suivante
{:[(17)sum_(i=1)^(m)lambda_(i)f(x_(i))=sum_(j=1)^(n)[sum_(i=j)^(m)lambda_(i)rho_(1,j-1)(x_(i))]Delta_(j-1)^(1)(f)+],[+sum_(j=1)^(m-n)[(x_(j+n)-x_(j))sum_(i=j+n)^(m)lambda_(i)varphi_(j+1,n-1)(x_(l))]Delta_(n)^(j)(f)]:}\begin{align*}
& \sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} f\left(x_{i}\right)=\sum_{j=1}^{n}\left[\sum_{i=j}^{m} \lambda_{i} \rho_{1, j-1}\left(x_{i}\right)\right] \Delta_{j-1}^{1}(f)+ \tag{17}\\
& +\sum_{j=1}^{m-n}\left[\left(x_{j+n}-x_{j}\right) \sum_{i=j+n}^{m} \lambda_{i} \varphi_{j+1, n-1}\left(x_{l}\right)\right] \Delta_{n}^{j}(f)
\end{align*}
Pour tout nombre naturel nn nous avons une telle formule. Les coefficients mu_(i),nu_(i)\mu_{i}, \nu_{i} peuvent aussi être obtenus par des relations de récurrence. Si nous désignons par mu_(i)^((n)),v_(i)^((n))\mu_{i}^{(n)}, v_{i}^{(n)} ces coefficients, pour mettre en évidence le nombre nn, nous avons
{:[mu_(j)^((n))=mu_(j)^((n-1))","j=1","2","dots","n-1],[mu_(n)^((n))=v_(1)^((n-1))+v_(2)^((n-1))+dots dots+v_(m-n+1)^((n-1))],[v_(j)^((n))=(x_(j+n)-x_(j))[v_(j+1)^((n-1))+v_(j+2)^((n-1))+dots+v_(m-n+1)^((n-1))]],[j=1","2","dots","m-n]:}\begin{gathered}
\mu_{j}^{(n)}=\mu_{j}^{(n-1)}, j=1,2, \ldots, n-1 \\
\mu_{n}^{(n)}=v_{1}^{(n-1)}+v_{2}^{(n-1)}+\ldots \ldots+v_{m-n+1}^{(n-1)} \\
v_{j}^{(n)}=\left(x_{j+n}-x_{j}\right)\left[v_{j+1}^{(n-1)}+v_{j+2}^{(n-1)}+\ldots+v_{m-n+1}^{(n-1)}\right] \\
j=1,2, \ldots, m-n
\end{gathered}
4.--Quelques applications de la formule fondamentale.
I. Soient f=f(x),g=g(x)f=f(x), g=g(x) deux fonctions définies sur les points x_(i)x_{i}. Considérons la différence divisée
F=[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);fg]\mathrm{F}=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f g\right]
du produit fgf g. Dans ce cas nous avons
lambda_(i)=(g(x_(i)))/(g_(1n+1)^(')(x_(i))),i=1,2,dots,n+1,lambda_(i)=0,i > n+1.\lambda_{i}=\frac{g\left(x_{i}\right)}{g_{1 n+1}^{\prime}\left(x_{i}\right)}, i=1,2, \ldots, n+1, \lambda_{i}=0, i>n+1 .
Si nous remarquons que ^(')_(1,n+1)=varphi_(1,j-1)*varphi_(j,n-j+2){ }^{\prime}{ }_{1, n+1}=\varphi_{1, j-1} \cdot \varphi_{j, n-j+2}, nous en déduisons
varphi_(1,j-1)(x_(i))=(varphi_(1,n+1)^(')(x_(i)))/(varphi_(j,n-j+2)^(')(x_(i)))", pour "j <= i <= n+1\varphi_{1, j-1}\left(x_{i}\right)=\frac{\varphi_{1, n+1}^{\prime}\left(x_{i}\right)}{\varphi_{j, n-j+2}^{\prime}\left(x_{i}\right)} \text {, pour } j \leqq i \leqq n+1
et la formule (14) nous donne
mu_(j)=sum_(i=j)^(n+1)(g(x_(i)))/(psi_(j,n-j+2)(x_(i)))=[x_(j),x_(j+1),dots,x_(n+1);g],j=1,2,dots,n.\mu_{j}=\sum_{i=j}^{n+1} \frac{g\left(x_{i}\right)}{\psi_{j, n-j+2}\left(x_{i}\right)}=\left[x_{j}, x_{j+1}, \ldots, x_{n+1} ; g\right], j=1,2, \ldots, n .
La formule (16) nous donne
v_(1)=g(x_(n+1)),v_(j)=0,j=2,3,dotsv_{1}=g\left(x_{n+1}\right), v_{j}=0, j=2,3, \ldots
Il en résulte que nous avons la formule suivante
(18) [x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);fg]=sum_(i=1)^(n+1)[x_(1),x_(2),dots,x_(i);f]|__x_(i),x_(i+1),dotsx_(n+1);g]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f g\right]=\sum_{i=1}^{n+1}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i} ; f\right]\left\lfloor x_{i}, x_{i+1}, \ldots x_{n+1} ; g\right], qui donne la différence divisée d'un produit. C'est la généralisation de la formule de Leibniz.
II. Le polynome de Lagrange (1) est de Ia forme F. Un calcul simple nous montre que dans ce cas
(18) [x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);fg]=sum_(i=1)^(n+1)[x_(1),x_(2),dots,x_(i);f]|__x_(i),x_(i+1),dotsx_(n+1);g]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f g\right]=\sum_{i=1}^{n+1}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i} ; f\right]\left\lfloor x_{i}, x_{i+1}, \ldots x_{n+1} ; g\right], qui donne la différence divisée d'un produit. C'est la généralisation de la formule de Leibniz.
II. Le polynome de Lagrange (1) est de Ia forme F. Un calcul simple nous montre que dans ce cas
lambda_(i)=(S_(1,n+1)(x))/((x-x_(i))P_(1,n+1)^(')(x_(i))),i=1,2,dots,n+1,lambda_(i)=0,i > n+1.\lambda_{i}=\frac{\mathrm{S}_{1, n+1}(x)}{\left(x-x_{i}\right) \mathrm{P}_{1, n+1}^{\prime}\left(x_{i}\right)}, i=1,2, \ldots, n+1, \lambda_{i}=0, i>n+1 .
La formule (14) nous donne
mu_(j)=P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);varphi_(1,j-1)∣x)=varphi_(1,j-1)(x),j=1,2,dots,n\mu_{j}=\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; \varphi_{1, j-1} \mid x\right)=\varphi_{1, j-1}(x), \mathrm{j}=1,2, \ldots, n
et
{:[y_(1)=(x_(n+1)-x_(1))P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f_(1)^(**)∣x)=],[=(x_(n+1)-x_(1))_(**_(1,n))(x)(f_(1)^(**)(x_(n+1)))/(xi_(1,n+1)^(')(x_(n+1)))=xi_(1,n)(x)","y_(i)=0","i > 1]:}\begin{gathered}
y_{1}=\left(x_{n+1}-x_{1}\right) \mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f_{1}^{*} \mid x\right)= \\
=\left(x_{n+1}-x_{1}\right){ }_{*_{1, n}}(x) \frac{f_{1}^{*}\left(x_{n+1}\right)}{\xi_{1, n+1}^{\prime}\left(x_{n+1}\right)}=\xi_{1, n}(x), y_{i}=0, i>1
\end{gathered}
et nous obtenons la formule d'interpolation bien connue
{:[P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x)=f(x_(1))+(x-x_(1))[x_(1),x_(2);f]+],[+(x-x_(1))(x-x_(2))[x_(1),x_(2),x_(3);f]+dots],[+(x-x_(1))(x-x_(2))dots(x-x_(n))[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]]:}\begin{gathered}
\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)=f\left(x_{1}\right)+\left(x-x_{1}\right)\left[x_{1}, x_{2} ; f\right]+ \\
+\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left[x_{1}, x_{2}, x_{3} ; f\right]+\ldots \\
+\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots\left(x-x_{n}\right)\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]
\end{gathered}
III. Prenons
F=[x_(n+1),x_(n+2),dots,x_(2n);f]-[x_(1),x_(2),dots,x_(n);f].\mathrm{F}=\left[x_{n+1}, x_{n+2}, \ldots, x_{2 n} ; f\right]-\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f\right] .
On vérifie facilement que mu_(j)=0,j=1,2,dots,n\mu_{j}=0, j=1,2, \ldots, n. Nous trouvons
{:[y_(j)=(x_(j+n)-x_(j)){[x_(n+1),x_(n+2),dots,x_(2n);f_(j)^(**)]-[x_(1),x_(2),.,x_(n);f_(j)^(**)]}=],[=(x_(j+n)-x_(n))[x_(n+1),x_(n+2),dots,x_(2n);P_(j+1,n-1)]=(x_(j+n)-x_(j))]:}\begin{aligned}
y_{j}= & \left(x_{j+n}-x_{j}\right)\left\{\left[x_{n+1}, x_{n+2}, \ldots, x_{2 n} ; f_{j}^{*}\right]-\left[x_{1}, x_{2}, ., x_{n} ; f_{j}^{*}\right]\right\}= \\
= & \left(x_{j+n}-x_{n}\right)\left[x_{n+1}, x_{n+2}, \ldots, x_{2 n} ; \mathscr{P}_{j+1, n-1}\right]=\left(x_{j+n}-x_{j}\right)
\end{aligned}
et nous avons, avec les notations (12), la formule suivante
{:(19)Delta_(n-1)^(n+1)(t)-Delta_(n-1)^(1)(f)=sum_(j=1)^(n)(x_(j+n)-x_(j))Delta_(n)^(j)(f):}\begin{equation*}
\Delta_{n-1}^{n+1}(t)-\Delta_{n-1}^{1}(f)=\sum_{j=1}^{n}\left(x_{j+n}-x_{j}\right) \Delta_{n}^{j}(f) \tag{19}
\end{equation*}
qui peut, d'ailleurs, être établie aussi simplement à l'aide de la formule de récurrence (6)
IV. Soit
IV. Soit
x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1))quad(1 <= i_(1) < i_(2) < dots < i_(n+1) <= m)x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} \quad\left(1 \leqq i_{1}<i_{2}<\ldots<i_{n+1} \leqq m\right)
une suite partielle extraite de la suite (11). Prenons
F=[x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f]\mathrm{F}=\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f\right]
La formule fordamentale (17) nous donne alors
(20) [x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f]=sum_(j=4)^(m-n)(x_(j+n)-x_(j))[x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f_(j)^(**)]Delta_(n)^(j)(f)\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f\right]=\sum_{j=4}^{m-n}\left(x_{j+n}-x_{j}\right)\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f_{j}^{*}\right] \Delta_{n}^{j}(f).
(20) [x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f]=sum_(j=4)^(m-n)(x_(j+n)-x_(j))[x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f_(j)^(**)]Delta_(n)^(j)(f)\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f\right]=\sum_{j=4}^{m-n}\left(x_{j+n}-x_{j}\right)\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f_{j}^{*}\right] \Delta_{n}^{j}(f).
Remarques. 1^(0)1^{0}. Lorsque F s'annule identiquement pour un polynome quelconque de degré r-1r-1 nous avons mu_(j)=0,j=1,2,dots,r\mu_{j}=0, j=1,2, \ldots, r.
2^(0)2^{0}. La formule (19) est valable même si les x_(i)x_{i} ne sont pas tous disdincts. Il suffit que chacune des suites
2^(0)2^{0}. La formule (19) est valable même si les x_(i)x_{i} ne sont pas tous disdincts. Il suffit que chacune des suites
{:[x_(1)","x_(2)","dots","x_(n);quadx_(n+1)","x_(n+2)","dots","x_(2n)","],[x_(j)","x_(j+1)","dots","x_(j+n)","quad j=1","2","dots","n","]:}\begin{aligned}
& x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; \quad x_{n+1}, x_{n+2}, \ldots, x_{2 n}, \\
& x_{j}, x_{j+1}, \ldots, x_{j+n}, \quad j=1,2, \ldots, n,
\end{aligned}
soit formée par des points distincts. Nous en déduisons que si
alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(j),beta_(1),beta_(2),dots,beta_(j),alpha_(j+1)=beta_(j+1),alpha_(j+2)=beta_(j+2),dots,alpha_(n)=beta_(n)\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{j}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{j}, \alpha_{j+1}=\beta_{j+1}, \alpha_{j+2}=\beta_{j+2}, \ldots, \alpha_{n}=\beta_{n}
sont des points distincts, nous avons la formule suivante
{:[[alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(n);f]-[beta_(1),beta_(2),dots,beta_(n);f]=],[quad=sum_(i=1)^(j)(alpha_(i)-beta_(i))[alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(i),beta_(i),beta_(i+1),dots,beta_(n);f]]:}\begin{aligned}
& {\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n} ; f\right]-\left[\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n} ; f\right]=} \\
& \quad=\sum_{i=1}^{j}\left(\alpha_{i}-\beta_{i}\right)\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{i}, \beta_{i}, \beta_{i+1}, \ldots, \beta_{n} ; f\right]
\end{aligned}
- La formule de la moyenne des différences divisées. Nous supposerons maintenant que les points (11) soient ordonnés, donc que
x_(1) < x_(2) < dots < x_(m).x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m} .
Le déterminant V(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1))\mathrm{V}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right) a alors une valeur positive et si nous posons
sg alpha={[-1","quad alpha < 0","],[0","quad alpha=0","],[1","quad alpha > 0","]:}\operatorname{sg} \alpha=\left\{\begin{array}{r}
-1, \quad \alpha<0, \\
0, \quad \alpha=0, \\
1, \quad \alpha>0,
\end{array}\right.
nous avons
sg[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=sgU(x_(1),x_(2),dotsx_(n+1);f)s g\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=\operatorname{sgU}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n+1} ; f\right)
Reprenons alors la formule (20). La suite x_(l_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1))x_{l_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} est aussi ordonnée et nous avons i_(n+1)-i_(1)=p >= ni_{n+1}-i_{1}=p \geqq n. Nous allons démontrer qu'alors tous les coefficients de Delta_(n)^(j)(f)\Delta_{n}^{j}(f) sont >= 0\geq 0. La démonstration peut se faire par induction sur le nombre pp. La propriété est évidente pour p=np=n, car dans ce cas [x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f]=Delta_(n)^(i_(1))(f)\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f\right]=\Delta_{n}^{i_{1}}(f).
Pour p=n+1p=n+1, prenons
{:[i_(1)=i","i_(2)=i+1","dots","i_(j)=i+j-1],[i_(j+1)=i+j+1","i_(j+2)=i+j+2","dots","i_(n+1)=i+n+1]:}\begin{gathered}
i_{1}=i, i_{2}=i+1, \ldots, i_{j}=i+j-1 \\
i_{j+1}=i+j+1, i_{j+2}=i+j+2, \ldots, i_{n+1}=i+n+1
\end{gathered}
et un calcul simple nous donne alors
(21)
(21)
{:[[x_(i),x_(i+1),dots,x_(i+j-1),x_(i+j+1),dots,x_(i+n+1);f]=],[=((x_(i+j)-x_(i))Delta_(n)^(i)(f)+(x_(i+n+1)-x_(i+j))Delta_(n)^(i+1)(f))/(x_(i+n+1)-x_(i))]:}\begin{gathered}
{\left[x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{i+j-1}, x_{i+j+1}, \ldots, x_{i+n+1} ; f\right]=} \\
=\frac{\left(x_{i+j}-x_{i}\right) \Delta_{n}^{i}(f)+\left(x_{i+n+1}-x_{i+j}\right) \Delta_{n}^{i+1}(f)}{x_{i+n+1}-x_{i}}
\end{gathered}
En général, pour p=n+1,i_(j+1)-i_(j)=2p=n+1, i_{j+1}-i_{j}=2 nous pouvons écrire
[x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f]=((x_(i_(j)+1)-x_(i_(1)))Delta_(n)^(i_(1))(f)+(x_(i_(n)+1)-x_(i_(j)+1))Delta_(n)^(i_(1)+1)(f))/(x_(i_(n+1))-x_(i_(1)))\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f\right]=\frac{\left(x_{i_{j}+1}-x_{i_{1}}\right) \Delta_{n}^{i_{1}}(f)+\left(x_{i_{n}+1}-x_{i_{j}+1}\right) \Delta_{n}^{i_{1}+1}(f)}{x_{i_{n+1}}-x_{i_{1}}}
Supposons maintenant que la propriété soit vraie pour p=np=n, n+1,dots,n+rn+1, \ldots, n+r et démontrons qu'elle sera vraie aussi pour p=n+r+1p=n+r+1.
Si i_(n+1)-i_(1)=n+r+1i_{n+1}-i_{1}=n+r+1, la formule (21) nous donne
{:[[x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f]=],[=(1)/(x_(i_(n+1))-x_(i_(1))){(x_(i_(j+1))-x_(i_(1)))[x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(j)),x_(i_(j+1)),x_(i_(j+1)),dots,x_(i_(n));f]+:}],[+(x_(i_(n+1))-x_(i_(j+1)))[x_(i_(2)),x_(i_(3)),dots,x_(i_(j)),x_(i_(j+1)),x_(i_(j+1)),dots,x_(i_(n+1));f]]:}\begin{gathered}
{\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f\right]=} \\
=\frac{1}{x_{i_{n+1}}-x_{i_{1}}}\left\{\left(x_{i_{j+1}}-x_{i_{1}}\right)\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{j}}, x_{i_{j+1}}, x_{i_{j+1}}, \ldots, x_{i_{n}} ; f\right]+\right. \\
+\left(x_{i_{n+1}}-x_{i_{j+1}}\right)\left[x_{i_{2}}, x_{i_{3}}, \ldots, x_{i_{j}}, x_{i_{j+1}}, x_{i_{j+1}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f\right]
\end{gathered}
où jj est un indice tel que i_(j)+1 < i_(j+1)i_{j}+1<i_{j+1}. La propriété résulte immédiatement.
En prenant f=x^(n)f=x^{n} dans (20), on voit que la somme des coefficients dans le second membre est égale à 1 . Nous avons donc la propriété suivante.
Si la suite (11) est ordonnée, toute différence divisée [x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f]\left[\mathrm{x}_{i_{1}}, \mathrm{x}_{i_{2}}, \ldots, \mathrm{x}_{i_{n+1}} ; \mathrm{f}\right] sur n+1\mathrm{n}+1 de ces points est une moyenne arithmétique (généralisée) des différences devisées Delta_(n)^(1)(f),Delta_(n)^(2)(f),dots,Delta_(n)^(m-n)(f)\Delta_{n}^{1}(\mathrm{f}), \Delta_{n}^{2}(\mathrm{f}), \ldots, \Delta_{n}^{m-n}(\mathrm{f}). Nous avons donc
{:[{:[x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f]=sum_(j=1)^(m-n)A_(j)Delta_(n)^(j)(f):}],[A_(j) >= 0","j=1","2","..","m-n","sum_(j=1)^(m-n)A_(j)=1]:}\begin{aligned}
& {\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f\right]=\sum_{j=1}^{m-n} \mathrm{~A}_{j} \Delta_{n}^{j}(f)} \\
& \mathrm{A}_{j} \geqq 0, j=1,2, . ., m-n, \sum_{j=1}^{m-n} \mathrm{~A}_{j}=1
\end{aligned}
les A_(j)\mathrm{A}_{j} étant indépendants de la fonction f .
Les coefficients A_(j)\mathrm{A}_{j} sont donnés par la formule (20). La démonstration précédente nous montre, d'ailleurs, que
Les coefficients A_(j)\mathrm{A}_{j} sont donnés par la formule (20). La démonstration précédente nous montre, d'ailleurs, que
A_(j)=0,j=1,2,dots,i_(1)-1,i_(n+1)-n+1,i_(n+1)-n+2,dots,m-n,\mathrm{A}_{j}=0, j=1,2, \ldots, i_{1}-1, i_{n+1}-n+1, i_{n+1}-n+2, \ldots, m-n,
ce qu'on peut voir aussi sur la formule (20), en tenant compte de la définition (15) des fonctinns t_(j)^(**)t_{j}^{*}. Les coefficients A_(i_(1)),A_(i_(n+1)-n)\mathrm{A}_{i_{1}}, \mathrm{~A}_{i_{n+1}-n} sont surement positifs. On peut facilement calculer leurs valeurs. La fonction f_(i)^(**)f_{i}^{*} peut être considérée, sur les points x_(i_(1)),x_(i_(2))dots,x_(i_(n+1))x_{i_{1}}, x_{i_{2}} \ldots, x_{i_{n+1}}, comme la somme du polynome _(f_(1)+1,n-1){ }_{f_{1}+1, n-1} de degré n-1n-1 et d'une fonction g=g(x)g=g(x) égale à varphi_(i_(1)+1,n-1)(x_(i_(1)))\varphi_{i_{1}+1, n-1}\left(x_{i_{1}}\right) pour x=x_(i_(1))x=x_{i_{1}} et nulle en dehors de ce point. Nous avons alors
{:[A_(i_(1))=(x_(i_(1)+n)-x_(i_(1)))[x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f_(i)^(**)]=(x_(i_(1)+n)-x_(i_(1)))[x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));g]=],[=((-1)^(n+1)(x_(i_(1)+n)-x_(i_(1)))V(x_(i_(2)),x_(i_(3)),dots,x_(i_(n+1)))q_(i_(1)+1,n-1)(x_(i_(1))))/(V(x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1))))=],[=((x_(i_(1)+1)-x_(i_(1)))(x_(i_(1)+2)-x_(i_(1)))dots(x_(i_(1)+n)-x_(i_(1))))/((x_(i_(2))-x_(i_(1)))(x_(i_(3))-x_(i_(1)))dots(x_(i_(n+1))-x_(i_(1))))]:}\begin{gathered}
\mathrm{A}_{i_{1}}=\left(x_{i_{1}+n}-x_{i_{1}}\right)\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f_{i}^{*}\right]=\left(x_{i_{1}+n}-x_{i_{1}}\right)\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; \mathrm{g}\right]= \\
=\frac{(-1)^{n+1}\left(x_{i_{1}+n}-x_{i_{1}}\right) \mathrm{V}\left(x_{i_{2}}, x_{i_{3}}, \ldots, x_{i_{n+1}}\right) q_{i_{1}+1, n-1}\left(x_{i_{1}}\right)}{\mathrm{V}\left(x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}}\right)}= \\
=\frac{\left(x_{i_{1}+1}-x_{i_{1}}\right)\left(x_{i_{1}+2}-x_{i_{1}}\right) \ldots\left(x_{i_{1}+n}-x_{i_{1}}\right)}{\left(x_{i_{2}}-x_{i_{1}}\right)\left(x_{i_{3}}-x_{i_{1}}\right) \ldots\left(x_{i_{n+1}}-x_{i_{1}}\right)}
\end{gathered}
Nous trouvons de la même manière
A_(i_(n+1)-n)=((x_(i_(n+1))-x_(i_(n+1)-1))(x_(i_(n+1))-x_(i_(n+1)-2))dots(x_(i_(n+1))-x_(i_(n+1)-n)))/((x_(i_(n+1))-x_(i_(1)))(x_(i_(n+1))-x_(i_(2)))dots(x_(i_(n+1))-x_(i_(n))))\mathrm{A}_{i_{n+1}-n}=\frac{\left(x_{i_{n+1}}-x_{i_{n+1}-1}\right)\left(x_{i_{n+1}}-x_{i_{n+1}-2}\right) \ldots\left(x_{i_{n+1}}-x_{i_{n+1}-n}\right)}{\left(x_{i_{n+1}}-x_{i_{1}}\right)\left(x_{i_{n+1}}-x_{i_{2}}\right) \ldots\left(x_{i_{n+1}}-x_{i_{n}}\right)}
Remarque. La démonstration précédente nous montre que les fonctions f_(j)^(**)f_{j}^{*} sont non-concaves d'ordre n-1n-1 sur les points (11). Cette propriété peut aussi être établie directement.
6. La différence divisée d'une fonction de fonction. Nous avons établi la formule (18) donnant la différence divisée d'un produit de deux fonctions. Considérons maintenant une fonction de fonction G(f)\mathrm{G}(f) et proposons nous de trouver une expression pour la différence divisée
6. La différence divisée d'une fonction de fonction. Nous avons établi la formule (18) donnant la différence divisée d'un produit de deux fonctions. Considérons maintenant une fonction de fonction G(f)\mathrm{G}(f) et proposons nous de trouver une expression pour la différence divisée
F=[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);G(f)]\mathrm{F}=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; \mathrm{G}(f)\right]
Si nous posons f_(i)=f(x_(i)),i=1,2,dots,n+1f_{i}=f\left(x_{i}\right), i=1,2, \ldots, n+1, l'expression F est linéaire et homogène en G(f_(1)),G(f_(2)),dots,G(f_(n+1))\mathrm{G}\left(f_{1}\right), \mathrm{G}\left(f_{2}\right), \ldots, \mathrm{G}\left(f_{n+1}\right), donc de la forme
F=sum_(i=1)^(n+1)lambda_(l)G(f_(i))\mathrm{F}=\sum_{i=1}^{n+1} \lambda_{l} \mathrm{G}\left(f_{i}\right)
Nous aurons donc
F=sum_(i=1)^(n+1)mu_(i)[f_(1),f_(2),dots,f_(i);G]\mathrm{F}=\sum_{i=1}^{n+1} \mu_{i}\left[f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{i} ; \mathrm{G}\right]
Nous avons
lambda_(i)=(1)/(j_(i1,n+1)^(')(x_(i))),i=1,2dots,n+1\lambda_{i}=\frac{1}{{\underset{i 1, n+1}{j}}^{\prime}\left(x_{i}\right)}, i=1,2 \ldots, n+1
et la formule (14) nous montre que si nous posons
{:[g_(j)=g_(j)(x)=(f-f_(1))(f-f_(2))dots(f-f_(j-1))","quadg_(1)=1],[j=1","2","dots","n+1]:}\begin{gathered}
g_{j}=g_{j}(x)=\left(f-f_{1}\right)\left(f-f_{2}\right) \ldots\left(f-f_{j-1}\right), \quad g_{1}=1 \\
j=1,2, \ldots, n+1
\end{gathered}
nous avons
{:(22)mu_(j)=[x_(1),x_(2),..x_(n+1);g_(j)]","j=1","2","dots","n+1:}\begin{equation*}
\mu_{j}=\left[x_{1}, x_{2}, . . x_{n+1} ; g_{j}\right], j=1,2, \ldots, n+1 \tag{22}
\end{equation*}
En particulier, nous avons mu_(1)=0\mu_{1}=0. Tenant compte de (18), des formules [x_(1);f-f_(1)]=0,[x_(2);f-f_(2)]=0\left[x_{1} ; f-f_{1}\right]=0,\left[x_{2} ; f-f_{2}\right]=0 et des relations (7), (8), (9), nous pouvons écrire
mu_(2)=sum_(i=3)^(n+1)[x_(1),x_(3),dotsx_(i);f][x_(i),x_(i+1),dots,x_(n+1),x_(2);f]\mu_{2}=\sum_{i=3}^{n+1}\left[x_{1}, x_{3}, \ldots x_{i} ; f\right]\left[x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{n+1}, x_{2} ; f\right]
Ce coefficient est donc une somme de n-1n-1 produits de différences divisées d'ordre >= 1\geq 1 de ff, chaque produit étant formé par deux différences divisées dont la somme des ordres est égale à nn. Démontrons qu'en général
Le coefficient mu_(j)\mu_{j} est une somme de produits de différences divisées d'ordre >= 1\geqq 1 de f\mathfrak{f}, chaque produit étant formé par des différences divisées dont la somme des ordres est égale à n.
Chaque différence divisée est prise, bien entendu, sur certains points de la suite x_(1),x_(2),dots,x_(n+1)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}
La démonstration se fait par induction. Nous avons vu que la propriété est vraie pour le coefficient mu_(2)\mu_{2}, quel que soit nn. Supposons la propriété vraie pour le coefficient mu_(j)\mu_{j} pour toutes les valeurs possibles de nn et démontrons-la pour mu_(j+1)\mu_{j+1}. Nous avons, compte tenant de (22), de la formule (18) et de g_(j+1)=g_(j)(f-f_(j))g_{j+1}=g_{j}\left(f-f_{j}\right),
{:(23)mu_(j+1)=sum_(i=j+1)^(n+1)[x_(1),x_(2),dots,x_(j-1),x_(j+1),dots,x_(i);g_(j)][x_(i),x_(i+1),dots,x_(n+1),x_(j);f]:}\begin{equation*}
\mu_{j+1}=\sum_{i=j+1}^{n+1}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{j-1}, x_{j+1}, \ldots, x_{i} ; g_{j}\right]\left[x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{n+1}, x_{j} ; f\right] \tag{23}
\end{equation*}
qui démontre la propriété.
Cette formule nous indique aussi le nombre des termes du coefficient mu_(j)\mu_{j}. Soit N_(j)^(n)\mathrm{N}_{j}^{n} le nombre des termes de mu_(j)\mu_{j} pour n+1n+1 points. Nous avons alos N_(2)^(n)=n-1\mathrm{N}_{2}^{n}=n-1 et la formule (23) nous montre que N_(j+1)^(n)=N_(j)^(j-1)++N_(j)^(j)+dots+N_(j)^(n-1)\mathrm{N}_{j+1}^{n}=\mathrm{N}_{j}^{j-1}+ +\mathrm{N}_{j}^{j}+\ldots+\mathrm{N}_{j}^{n-1} d'où l'on déduit facilement,
Cette formule nous indique aussi le nombre des termes du coefficient mu_(j)\mu_{j}. Soit N_(j)^(n)\mathrm{N}_{j}^{n} le nombre des termes de mu_(j)\mu_{j} pour n+1n+1 points. Nous avons alos N_(2)^(n)=n-1\mathrm{N}_{2}^{n}=n-1 et la formule (23) nous montre que N_(j+1)^(n)=N_(j)^(j-1)++N_(j)^(j)+dots+N_(j)^(n-1)\mathrm{N}_{j+1}^{n}=\mathrm{N}_{j}^{j-1}+ +\mathrm{N}_{j}^{j}+\ldots+\mathrm{N}_{j}^{n-1} d'où l'on déduit facilement,
N_(j)^(n)=((n-1)(n-2)*(n-j+1))/((j-1)!)\mathrm{N}_{j}^{n}=\frac{(n-1)(n-2) \cdot(n-j+1)}{(j-1)!}
Désignons par d_(r)^('),d_(r)^(''),dotsd_{r}^{\prime}, d_{r}^{\prime \prime}, \ldots des différences divisées d'ordre rr de ff prise sur des groupes de r+1r+1 points de la suite x_(1),x_(2),dots,x_(n+1)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}. Nous avons alors
{:(24)mu_(j)=sumd_(1)^(')d_(1)^('')dotsd_(1)^((j_(1)))d_(2)^(')d_(2)^('')dotsd_(2)^((j_(2)))dotsd_(n)^(')d_(n)^('')dotsd_(n)^((j_(n))):}\begin{equation*}
\mu_{j}=\sum d_{1}^{\prime} d_{1}^{\prime \prime} \ldots d_{1}^{\left(j_{1}\right)} d_{2}^{\prime} d_{2}^{\prime \prime} \ldots d_{2}^{\left(j_{2}\right)} \ldots d_{n}^{\prime} d_{n}^{\prime \prime} \ldots d_{n}^{\left(j_{n}\right)} \tag{24}
\end{equation*}
où
{:(25)j_(1)+j_(2)+dots+j_(n)=j","quadj_(1)+2j_(2)+dots+nj_(n)=n:}\begin{equation*}
j_{1}+j_{2}+\ldots+j_{n}=j, \quad j_{1}+2 j_{2}+\ldots+n j_{n}=n \tag{25}
\end{equation*}
La sommation (24) s'étend à toutes les solutions entières et positives ou nulles du système (25) par rapport à j_(1),j_(2),dots,j_(n)j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{n}. A toute solution correspondent (n!)/(j_(1)!j_(2)!dotsj_(n)!)\frac{n!}{j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!} termes dans mu_(j)\mu_{j}.
7. Le cas des fonctions dérivables. Nous avons supposé que les points (11) soient tous disticts. On peut aussi supposer le contraire. On obtient alors de (17) des formules limites en faisant tendre plusieurs des points x_(i)x_{i} l'un vers l'autre. Les différences divisées qui s'introduisent ont alors les valeurs que nous avons donné dans notre Thèse ^(6){ }^{6} ). Nous
7. Le cas des fonctions dérivables. Nous avons supposé que les points (11) soient tous disticts. On peut aussi supposer le contraire. On obtient alors de (17) des formules limites en faisant tendre plusieurs des points x_(i)x_{i} l'un vers l'autre. Les différences divisées qui s'introduisent ont alors les valeurs que nous avons donné dans notre Thèse ^(6){ }^{6} ). Nous
supposons, bien etendu, qu'il s'agit maintenant de fonctions définies dans un intervalle contenant les points x_(i)x_{i} et un nombre suffisant de fois dérivables. Par exemple si tous les points viennent se confondre, la formule (18) devient la formule de Leibniz donnant la dérivée nème d'un produit. La formule de la différence divisée d'une fonction de fonction devient la formule donnant la n^("eme ")n^{\text {eme }} dérivée d'une fonction de fonction.
Bucureşti, le 29 octobre 1940.
- ^(1){ }^{1} ) Tiberiu Popoviciu "Sur quelques propriétés des fonctions d'une ou de deux variables réelles" Thèse, Paris 1933 ou Mathematica, 8, 1-85 (1934).
^(2){ }^{2} ) Voir par ex. J. F. Steffensen „Note on divided differences" Danske Vid. Selsk. Math-fys. Medd. 17, Nr. 3, 1-12 (1939).
^(3){ }^{3} ) Un polynome de degré nn est une expression de la formec_(o)x^(n)+c_(1)x^(n-1)+dots+c_(n)c_{o} x^{n}+c_{1} x^{n-1}+\ldots+c_{n}les c_(i)c_{i} étant des constantes positives, nulles ou négatives (il suffit de nous limiter au cas réel). - ^(5){ }^{5} ) En vertu de l'unicité ơu polynome (1). Nous tenons compte du fait qu'un polynome de degré nn est complètement déterminé par la valeur de son premier coefficient et ses valeurs en nn points distincts.
- ^(6){ }^{6} ) Voir loc. cit. ^(1){ }^{1} ), p. 43.