1. 1.

   Avant de nous occuper des inégalités que nous voulons établir dans ce travail, il est nécessaire de résumer quelques propriétés des polynomes orthogonaux que nous utiliserons plus loin.

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Une suite de polynomes en $x$

où

est une suite orthogonale si :
$1^{\circ}$. On peut trouver une opération linéaire $U(f)$, définie dans le champ des polynomes, tellé que
$2^{\circ}$. On ait
a)
$U\left(P_{i}P_{j}\right)=0,i\neq j$
b) $U\left(P_{i}^{2}\right)>0$,
quels que soient $i,j=0,1,2,\ldots$
Il en résulte que la suite orthogonale est complètement caractérisée par les moments

et on a alors

A l’aide de $2^{\circ}$ on montrc facilement que les polynomes (1) sont complètement déterminés et on peut les calculer explicitement. On sait, d’ailleurs, que l’opération $U(f)$ est nécessairement de la forme ² )

où $\alpha(x)$ est une fonction non-décroissante dans ( $-\infty$, $+\infty$ ).
On peut supposer que seuls les $2r$ moments $c_{0},c_{1},\ldots c_{2r-1}$ sont donnés ( $\alpha(x)$ ne prend alors qu’un nombre fini de valeurs distinctes). Dans ce cas nous prenons dans $\left.2^{\circ}a\right)i,j=0,1\ldots,r$ et dans $\left.2^{\circ}b\right)i=0,1\ldots$, $r-1$. On a alors une suite orthogonale finie $P_{0},P_{1},\ldots,P_{r}$. Mais, on le voit facilement, une telle suite est toujours la section d’une suite infinie (1).
2. Soit (1) une suite orthogonale. On sait que les zéros du polynome $P_{i}(i>0)$ sont tous réels et distincts. Deux polynomes consécutifs $P_{i-1},P_{i}$ n’ont jamais de zéros communs et les zéros de $P_{i}$ séparent ceux de $P_{i-1}$.

Soient $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}$ les zéros du polynome $P_{m}$. Considérons le système de $2m$ équations
(2) $\quad c_{i}=\lambda_{1}x_{1}^{i}+\lambda_{2}x_{2}^{i}+\ldots+\lambda_{m}x_{m}^{i},\quad i=0,1\ldots,2m-1$,
dans les inconnues $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{m},x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$. On trouve immédiatement que les $x_{i}$ sont précisément les zéros du polynome $P_{m}$ et les $\lambda_{i}$, qui sont alors déterminés complètement par les $m$ premières équations, sont des nombres positifs. Nous dirons que ces nombres $\lambda_{i}$ sont les poids du polynome $P_{m}$. Ces poids jouissent, d’ailleurs, de la propriété que l’opération

est une opération $U(f)$ correspondant à la suite orthogonale finie $P_{0}$, $P_{1},\ldots,P_{m}$. Ces résultats s’obtiennent facilement en remarquant que la condition d’orthogonalité $2^{\circ}$ a) nous donne $U\left(x^{i}P_{m}\right)=0,i=0,1,\ldots$, $m-1$, qui expriment justement que les $x_{i}$ sont les zéros de $P_{m}$ et que le système (2) est alors compatible en $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{m}$. La positivité des poids résulte facilement du fait que ces nombres sont inversement proportionnels aux nombres $P_{m-1}\left(x_{i}\right)P_{m}^{\prime}\left(x_{i}\right)$. On peut aussi remarquer que
done

car l’opération $U(f)$ est positive.

Remarquons encore que dans une suite orthogonale (1) on peut prendre arbitrairement les polynomes $P_{m-1},\mathrm{P}_{m}$ avec les seuls conditions de réalité et de séparation de leurs zéros. On peut, aussi prendre arbitrairement le polynome $P_{m}$ à zéros réels et distincts et les poids positifs de ce polynome. Par ces données les polynomes $P_{0},P_{1},\ldots,P_{m}$ de la suite (1) sont déterminés complètement.

Considérons maintenant le polynome $P_{m}+\varrho P_{m-1}$ où $\varrho$ est une constante $\not\subset 0$. On voit facilement’ que les zéros $y_{1}<y_{2}<\ldots<y_{n}$ de ce polynome sont tous réels et distincts. Nous avons les propriétés de séparation

Le nombre $\varrho$ est complètement déterminé par le fait que $y_{1}$ a une valeur donnée quelconque $<x_{1}$ ou $y_{m}$ une valeur donnée quelconque $>x_{m}$. On peut aussi remarquer que les zéros de $P_{m-1}$ séparent toujours ceux de $P_{m}+\varrho P_{m-1}$.

Le système
(4) $\quad c_{i}=v_{1}y_{1}^{i}+v_{2}y_{2}^{i}+\ldots+v_{m}y_{m}^{i}\quad,\quad i=0,1,\ldots,2m-2$
est encore compatible en $\nu_{i}$. Nous dinons encore que les nombres $\nu_{1},\nu_{2},\ldots,\nu_{m}$. déterminés par ce système, sont les poids du polynome $P_{m}+\varrho P_{m-1}$, Ces poids sont positifs quel que soit o. En effet, la formule (3) est encore applicable. Nous avons

done

où nous avons posé $Q(x)=P_{m}(x)\not-\varrho P_{m-1}(x)$.
On peut aussi montrer facilement qu’on obtient ainsi toutes les solutions du système (4).
3. Revenons maintenant aux fonctions convexes. Nous allons donner tout d’abord une interprétation de la différence divisée $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]$ d’ordre $n+1$. Nous pouvons écrire

où les $p_{i}$ ne dépendent. pas de là fonction $f(x)$. Si nous-supposons $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+2}$, l’expression bien connue, par le quotient de deux
déterminants, de la différence divisée, nous montre que les coefficients $p_{1},p_{2},\ldots,p_{n+2}$ sont alternativement positifs et négatifs, le dernier étant toujours posit $\mathrm{f},p_{n+2}>0$. D’autre part, ces coefficients sont, à un facteur constant près, déterminés par les relations

Nous pouvons donc énoncer les propriétés suivantes :
Si $n=2m-3$ est impair et $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+2}$, nous poupons écrire

et alors $x_{2},x_{4},\ldots,x_{2m-2}$ sont les zéros et $\mu_{1},\mu_{2},\ldots,\mu_{m-1}$ les poids du polynome $P_{m-1}$ de la suite orthogonale $P_{0},P_{1},\ldots,P_{m}$, où $x_{1},x_{3},\ldots,x_{2m-1}$ sont les zéros et $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{m}$ les poids du polynome $P_{m}$.

Si $n=2m-2$ esi pair et $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{2m}$, nous pousons écrire

et alors $x_{1},x_{3},\ldots,x_{2m-1}$ sont les zéros et $\nu_{1},\nu_{2},\ldots,\nu_{m}$ les poids d’un polynome $P_{m}+\varrho P_{m-1}$, où $\varrho>0$ et $P_{m-1},P_{m}$ appartiennent à la suite orthogonale $P_{0},P_{1},\ldots,P_{m-1},P_{m},\ldots$, déterminée par les zéros $x_{2},x_{4},\ldots$, $x_{2m}$ et les poids $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{m}du$ polynome $P_{m}$.
4. Supposons $n=2m-1$ impair et écrivons l’inégalité

où $r>m,\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{r}$ sont positifs et $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{r}$, $y_{1}<y_{2}<\ldots<y_{m}$.

Cherchons les conditions nécessaires et suffisantes pour que l’inégalité (5) soit vérifiée pour toute fonction $f(x)$, non-concave d’ordre $n$, définie sur les points $x_{i},y_{j},i=1,2,\ldots,r,j=1,2,\ldots,m$.

En nous reportant à la Note précédente ³ ), nous voyons que les conditions
(6) $\quad\sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}x_{i}^{s}=\sum_{j=1}^{m}\mu_{j}y_{i}^{s}\quad,s=0,1,\ldots,n(n=2m-1)$
sont nécessaires. Il faut donc que les $y_{i}$ soient les zéros et les $\mu_{j}$ les poids du polynome $P_{m}$ de la suite orthogonale $P_{0},P_{1},\ldots,P_{m},\ldots,P_{r}$, déterminée par les zéros $x_{i}$ et les poids $\lambda_{i}$ du polynome $P_{r}$.

Nous nous proposons de démontrer que les égalités (6) sont aussi suffisantes. Nous ferons cette démonstration par induction. La propriété est vraie pour $r=m+1$, car alors l’inégalité (5) est une inégalité de définition de la non-concavité d’ordre $n$. En effet, la différence entre le premier et le second membre est, à un facteur constant positif près, une différence divisée d’ordre $n+1$. Montrons maintenant qu’en supposant vraie la propriété si dans le premier membre de (5) il y a $r-1$ termes ( $r>m+1$ ), elle résultera vraie pour $r$ termes. Par hypothèse, si nous déterminons les $y_{j}^{\prime}$ et les $\mu_{j}^{\prime}>0$ par les égalités

nous avons

donc

Mais, nous savons que les $y_{j}^{\prime}$ sont distincts et tous compris entre $x_{1}$ et $x_{r-1}$. Nous pouvons done déterminer les $y_{j}^{\prime\prime}$ et les $\mu_{j}^{\prime\prime}>0$ par les égalités

Nous avons alors

Mais, (7) et (9) comparés avec (6) nous montrent que $\mu_{i}^{\prime\prime}=\mu_{i}$, $y_{j}^{\prime\prime}=y_{j}$ et alors, de (8) et (10), il résulte l’inégalité (5).

Nous pouvons donc énoncer la propriété suivante :
Si $y_{1},y_{2},\ldots,y_{m}$ sont les zéros et $\mu_{1},\mu_{2},\ldots,\mu_{m}$ les poids du polynome $P_{m}$ de la suite orthogonale $P_{0},P_{1},\ldots,P_{m},\ldots,P_{r}$ déterminée par les zéros $x_{1},x_{2},\ldots,x_{r}$ et les poids $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{r}(r>m)$ du polynome $P_{r}$, l’inégalité (5) est vérifiée pour toute fonction non-concape d’ordre impair $n=2m-1$, définie sur les points $x_{i},y_{j}$.

Si, de plus, la fonction est convexe d’ordre $n=2m-1$ sur les points $x_{i},y_{j}$ on a dans (5) le signe $>$.

La dernière partie de l’énoncé se justifie immédiatement.
5. Si $m=1,n=1$ ; l’inégalité (5) devient

qui est l’inégalité classique de Jensen pour les fonctions non-concaves ordinaires (d’ordre 1) ⁴ ).

Considérons un intervalle fini et fermé $(a,b)$ et soit $f(x)$ une fonction continue non-concave d’ordre $1,3,5,\ldots$, donc de tout ordre impair.

Soit alors (1) une suite orthogonale choisie de manière que les zéros de tous les polynomes $P_{m}$ soient dans $(a,b)$. On peut par exemple, prendre la suite orthogonale correspondant à l’opération

où $p(x)$ est une fonction sommable positive dans l’intervalle ( $a,b$ ). Désignons par $x_{m1},x_{m2},\ldots,x_{mm}$ les zéros et par $\lambda_{m1},\lambda_{m2},\ldots,\lambda_{mm}$ les poids du polynome $P_{m},m=1,2,\ldots$, Si nous posons

nous avons les inégalités

La suite

est donc non-décroissante. Elle est, d’ailleurs, bornée puisque

Il en résulte que la suite (12) est convergente. Il est facile de voir que dans ce cas $U(f)$ a un sens parfaitement déterminé et nous avons

En effet, il suffit de remarquer que la formule est vraie pour un polynome et que l’opération $U(f)$, définissant la suite (1), se prolonge immédiatement sur l’ensemble des fonctions continues dans ( $a,b$ ).

Par exemple, si nous avons (11) on peut écrire

En choisissant convenablement la fonction $f(x)^{5}$ ), on arrive à diverses inégalités entre les zéros des polynomes orthogonaux.
6. Examinons maintenant le problème analogue pour les fonctions d’ordre pair $n=2m-2$. Considérons encore l’inégalité (5), où $\lambda_{i},\mu_{i}$ sont positifs et $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{r},y_{1}<y_{2}<\ldots<y_{m}$. Pour que cette inégalité soit vérifiée pour toute fonction non-concave d’ordre $n=2m-2$, définie sur les points $x_{i},y_{j}$ les conditions

sont nécessaires. Donc, si $P_{0},P_{1},\ldots,P_{m-1},P_{m},\ldots,P_{r}$ est la suite orthogonale déterminée par les zéros $x_{i}$ et les poids $\lambda_{i}$ de polynome $P_{r}$, il faut que les $y_{i}$ soient les zéros et $\mu_{i}$ les poids d’un polynome de la forme $P_{m}+\varrho P_{m-1}$, $\varrho$ étant une constante. Mais, en dehors de (12), il y a encore une condition nécessaire. Il faut, en effet, que l’on ait
(12’)
a) $y_{1}<x_{1}$
ou
b) $y_{1}=x_{1},\quad\mu_{1}>\lambda_{1}$.

Montrons d’abord que ces deux possibilités peuvent s’écrire sous la forme unique

On voit, en effet, de (12), que si $y_{1}=x_{1}$, il faut que l’on ait $\mu_{1}>\lambda_{1}$. Dans le cas contraire on pourait écrire

ce qui, d’après la remarque du Nr. 2, est impossible.
Nous nous proposons de démontrer maintenant que les égalités (12) et l’inégalité (13) sont aussi suffisantes. On peut encore procéder par induction. Si $r=m$ la propriété est évidente par suite des résultats du Nr. 3. Montrons maintenant qu’en supposant vraie la propriété si dans le premier membre de (5) il y a $r-1$ termes $(r>m)$, elle résultera vraie aussi pour $r$ termes. Par hypothèse, si nous déterminons les $y_{i}^{\prime}$ et les $\mu_{i}^{\prime}>0$ par les égalités

et $y_{1}^{\prime}=x_{1}$, nous avons

⁵ ) Par exemple log $\frac{1}{x}$ est un telle fonction dans un intervalle $(a,b),0<a<b$.

Nous pouvons ensuite déterminer les $y_{j}^{\prime\prime}$ et les $\mu_{j}^{\prime\prime}>0$ de manière que l’on ait

et $y_{1}^{\prime\prime}\leqq x_{1}$.
Nous voyons immédiatement que $y_{j}^{\prime\prime}=y_{j},\mu_{j}^{\prime\prime}=\mu_{j}$ et l’inégalité (5) en résulte.

Nous pouvons donc énoncer la propriété suivante :
Si $y_{1}<y_{2}<\ldots<y_{m}$ sont les zéros et $\mu_{1},\mu_{2},\ldots,\mu_{m}$ les poids d’un polynome $P_{m}+\varrho P_{m-1}$ où $P_{m-1},P_{m}$ appartiennent à la suite orthogonale $P_{0},P_{1},\ldots,P_{m-1},P_{m},\ldots,P_{r}$ déterminée par les zéros $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}$ et les poids $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{r}$ du polynome $P_{r}$ et où $\varrho$ est une constante (positive) déterminée de manière que l’on ait $y_{1}\leqq x_{1}$, l’inégalité (5) est wérifiée pour toute fonction non-concase d’ordre pair $n=2m-2$, définie sur les points $x_{i},y_{j}$.

Si, de plus, la fonction est consexe d’ordre $n=2m-2$ sur les points $x_{i},y_{j}$ et si $r>m$ ou $r=m,y_{1}<x_{1}$ le signe $>$ est valable dans (5).
7. On peut déduire de l’inégalité (5) des inégalités intégrales par des passages à la limite.

Supposons $n=2m-1$ impair. Soit $p(x)$ une fonction sommable et positive dans l’intervalle fini $\left.(a,b)^{6}\right),\varphi(x)$ une fonction sommable et bornée dans $(a;b)$ et soit $A\leqq\varphi(x)\leqq B$. Nous avons alors la propriété suivante :

Si $f(x)$ est une fonction continue, non-concase d’ordre $n=2m-1$ dans l’intersalle ( $A,B$ ), on a l’inégalité

où $y_{j}$ sont les zéros et $\mu_{j}$ les poids du polynome $P_{m}$ de la suite orthogonale $P_{0},P_{1},P_{2},\ldots$, déterminée par les moments

Dans le cas $m=1,n=1$, nous retrouvons l’inégalițé

bien connue pour les fonctions non-concaves d’ordre 1.
Pour $n=2m-2$ pair nous avons une propriété analogue :
Si $f(x)$ est une fonction continue, non-concase d’ordre $n=2m-2$ dans l’intervalle ( $A,B$ ), on a l’inégalité (14), où $y_{1}<y_{2}<\ldots<y_{m}$ sont les zéros et $\mu_{j}$ les poids d’un polynome $P_{m}+\varrho P_{m-1}$ dans lequel $P_{m-1}$, $P_{m}$ sont les polynomes orthogonaux de degré $m-1,m$ de la suite déterminée par les moments (15) et o une constante choisie de manière que $y_{1}\leqq A$.