PAR

I. Considérons une fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ non-concave sur un ensemble linéaire $E$$E$EE$E$. Si $E$$E$EE$E$ est borné nous désignerons par $a=minE$$a=minE$a=min Ea=\min E$a=minE$, $a<b=maxE$$a<b=maxE$a < b=max Ea<b=\max E$a<b=maxE$ ses extrémités. La fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est bornée sur tout sous-ensemble borné $E_1$$E_1$E_(1)E_{1}$E_1$ de $E$$E$EE$E$ qui contient ses extrémités $c,d$$c,d$c,dc, d$c,d$. De plus, le maximum de $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ sur $E_1$$E_1$E_(1)E_{1}$E_1$ est toujours atteint et ne l'est qu'en l'une au moins des extrémités $c,d$$c,d$c,dc, d$c,d$, à moins que la fonction ne se réduise pas à une constante sur $E_1$$E_1$E_(1)E_{1}$E_1$. Il en est ainsi pour toutes les fonctions $f(x)+\alpha x+\beta ,\alpha ,\beta$$f(x)+\alpha x+\beta ,\alpha ,\beta$f(x)+alpha x+beta,alpha,betaf(x)+\alpha x+\beta, \alpha, \beta$f(x)+\alpha x+\beta ,\alpha ,\beta$ étant deux constantes. D'après une remarque de M. $S$$S$SS$S$. Saks ${}^1$${}^1$^(1){ }^{1}${}^1$ ) la réciproque est vraie et on peut énoncer la propriété suivante:

Pour que la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ soit non-concave sur $E$$E$EE$E$ il faut et il suffit que, quel que soit la constante a et le sous-ensemble borné $E_1$$E_1$E_(1)E_{1}$E_1$ de $E$$E$EE$E$ contenani ses extrémités, la fonction $f(x)+\alpha x$$f(x)+\alpha x$f(x)+alpha xf(x)+\alpha x$f(x)+\alpha x$ atteigne son maximum en l'une au moins de ses extrémités $c,d$$c,d$c,dc, d$c,d$.

On vérifie, en effet, que la propriété est équivalente à l'inégalité de définition

de la fonction non-concave $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$.
Les fonctions convexes peuvent être caractérisées de la même manière, mais il faut alors dire dans l'énoncé que $f(x)+\alpha x$$f(x)+\alpha x$f(x)+alpha xf(x)+\alpha x$f(x)+\alpha x$ atteint son maximum seulement en l'une au moins des extrémités.
2. Si une fonction non-concave atteint son minimum en deux points $x_1,x_2$$x_1,x_2$x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2}$x_1,x_2$ de $E$$E$EE$E$, elle l'atteint en tout point de $E$$E$EE$E$ compris entre $x_1,x_2$$x_1,x_2$x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2}$x_1,x_2$. Nous

chercherons encore à énoncer une réciproque. Nous supposerons maintenant $E$$E$EE$E$ borné et fermé et nous dirons qu'une fonction est continue sur $E$$E$EE$E$ si elle est continue en tout point du dérivé $E^{\prime }$$E^{\prime }$E^(')E^{\prime}$E^{\prime }$ de $E$$E$EE$E$. Nous avons. alors la propriété suivante:

La fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ finie, uniforme et continue sur l'ensemble fermé et borné $E$$E$EE$E$ ' est non-concave si lorsque pour un $\alpha ,f(x)+\alpha x$$\alpha ,f(x)+\alpha x$alpha,f(x)+alpha x\alpha, f(x)+\alpha x$\alpha ,f(x)+\alpha x$ atteint son minimum en deux points $x_1,x_2$$x_1,x_2$x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2}$x_1,x_2$ de $E$$E$EE$E$, elle l'atteint en tout point de $E$$E$EE$E$ compris entre $x_1$$x_1$x_(1)x_{1}$x_1$ et $x_2$$x_2$x_(2)x_{2}$x_2$.

Remarquons d'abord que la fonction $f(x)+\alpha x+\beta$$f(x)+\alpha x+\beta$f(x)+alpha x+betaf(x)+\alpha x+\beta$f(x)+\alpha x+\beta$ où $\beta$$\beta$beta\beta$\beta$ est une constante jouit de la même propriété. Nous tiendrons compte du fait qu'une fonction continue sur un ensemble fermé atteint toujours son minimum.

Toute la difficulté consiste en à montrer que, quel que soit $x_0\subset E$$x_0\subset E$x_(0)sub Ex_{0} \subset E$x_0\subset E$ et différent des extrémités de $E$$E$EE$E$, on peut trouver un $\alpha$$\alpha$alpha\alpha$\alpha$ tel que le minimum, égal à zéro pour un choix convenable de $\beta$$\beta$beta\beta$\beta$, de $f(x)+\alpha x+\beta$$f(x)+\alpha x+\beta$f(x)+alpha x+betaf(x)+\alpha x+\beta$f(x)+\alpha x+\beta$ soit atteint pour $x=x_0$$x=x_0$x=x_(0)x=x_{0}$x=x_0$. Ceci revient à dire que par tout point $A_0(x_0,f\left(x_0\right))$$A_0\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$A_(0)(x_(0),f(x_(0)))A_{0}\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$A_0(x_0,f\left(x_0\right))$, d'abscisse $x_0\subset E$$x_0\subset E$x_(0)sub Ex_{0} \subset E$x_0\subset E$ passe une droite d'appui ${}^2$${}^2$^(2){ }^{2}${}^2$ ) de la courbe $y=f(x)$$y=f(x)$y=f(x)y=f(x)$y=f(x)$. On sait alors que la fonction est nécessairement non-concave.

Quel que soit $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ il existe une droite d'appui de la courbe de direction $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ (de coefficient angulaire $\hat{\lambda }$$\widehat{\lambda }$hat(lambda)\hat{\lambda}$\hat{\lambda }$ ). La courbe est d'ailleurs non-audessous de cette droite. Il faut donc démontrer que si $x_0\subset E$$x_0\subset E$x_(0)sub Ex_{0} \subset E$x_0\subset E$ il existe une droite d'appui passant par $A_0$$A_0$A_(0)A_{0}$A_0$.

Si la parallèle à l'axe $Ox$$Ox$OxO x$Ox$, menée par $A_0$$A_0$A_(0)A_{0}$A_0$, est une droite d'appui, la propriété est démontrée. Dans le cas contraire, menons la droite d'appui ${\mathrm{\Delta }}_0$${\mathrm{\Delta }}_0$Delta_(0)\Delta_{0}${\mathrm{\Delta }}_0$ parallèle à $\mathrm{O}{x}^3$$\mathrm{O}{x}^3$Ox^(3)\mathrm{O} x^{3}$\mathrm{O}{x}^3$ ). Cette droite contient au moins un point de la courbe $y=f(x)$$y=f(x)$y=f(x)y=f(x)$y=f(x)$; soit $A$$A$AA$A$ un de ces points et, pour fixer les idées, supposons son abscisse $x_1<x_0$$x_1<x_0$x_(1) < x_(0)x_{1}<x_{0}$x_1<x_0$. Considérons maintenant toutes les droites d'appui ${\mathrm{\Delta }}_{\lambda }$${\mathrm{\Delta }}_{\lambda }$Delta_(lambda)\Delta_{\lambda}${\mathrm{\Delta }}_{\lambda }$ (de direction $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ ) de la courbe $C$$C$CC$C$ représentée par $y=f(x)$$y=f(x)$y=f(x)y=f(x)$y=f(x)$ lorsque $x\subset E$$x\subset E$x sub Ex \subset E$x\subset E$ varie dans l'intervalle fermé $(a,x_0)$$\left(a,x_0\right)$(a,x_(0))\left(a, x_{0}\right)$(a,x_0)$ et soit $C^{\prime }$$C^{\prime }$C^(')C^{\prime}$C^{\prime }$ la courbe représentée par $y=f(x)$$y=f(x)$y=f(x)y=f(x)$y=f(x)$ lorsque $x\subset E$$x\subset E$x sub Ex \subset E$x\subset E$ varie dans l'intervalle fermé ( $x_{\mathbf{0}},b$$x_{\mathbf{0}},b$x_(0),bx_{\mathbf{0}}, b$x_{\mathbf{0}},b$ ). Tous les points de $C^{\prime }$$C^{\prime }$C^(')C^{\prime}$C^{\prime }$ sont au-dessus de toute droite ${\mathrm{\Delta }}_{\lambda }$${\mathrm{\Delta }}_{\lambda }$Delta_(lambda)\Delta_{\lambda}${\mathrm{\Delta }}_{\lambda }$ avec $\lambda <$$\lambda <$lambda <\lambda<$\lambda <$ o. Lorsque $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ commence à croître à partir de 0 , deux cas peuvent se présenter:
I. On arrive (en vertu de la continuité) à une valeur ${\lambda }^{\prime }\ge 0$${\lambda }^{\prime }\ge 0$lambda^(') >= 0\lambda^{\prime} \geq 0${\lambda }^{\prime }\ge 0$ telle que ${\mathrm{\Delta }}_{{\lambda }^{\prime }}$${\mathrm{\Delta }}_{{\lambda }^{\prime }}$Delta_(lambda^('))\Delta_{\lambda^{\prime}}${\mathrm{\Delta }}_{{\lambda }^{\prime }}$ est une droite d'appui de $C$$C$CC$C$. Dans ce cas, cette droite ${\mathrm{\Delta }}_{{\lambda }^{\prime }}$${\mathrm{\Delta }}_{{\lambda }^{\prime }}$Delta_(lambda^('))\Delta_{\lambda^{\prime}}${\mathrm{\Delta }}_{{\lambda }^{\prime }}$ contient au moins un point de $C$$C$CC$C$ et au moins un point de $C^{\prime }$$C^{\prime }$C^(')C^{\prime}$C^{\prime }$. Il faut donc que $A_0$$A_0$A_(0)A_{0}$A_0$ appartienne aussi à cette droite et la propriété est démontrée.
II. La courbe $C^{\prime }$$C^{\prime }$C^(')C^{\prime}$C^{\prime }$ est au-dessus de ${\mathrm{\Delta }}_{\lambda }$${\mathrm{\Delta }}_{\lambda }$Delta_(lambda)\Delta_{\lambda}${\mathrm{\Delta }}_{\lambda }$ quel que soit $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$. Je dis que ceci est impossible. En effet, ${\mathrm{\Delta }}_{\lambda }$${\mathrm{\Delta }}_{\lambda }$Delta_(lambda)\Delta_{\lambda}${\mathrm{\Delta }}_{\lambda }$ est non-au-dessous de la droite ${\delta }_{\lambda }$${\delta }_{\lambda }$delta_(lambda)\delta_{\lambda}${\delta }_{\lambda }$, de direction $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$, passant par la projection de $A_0$$A_0$A_(0)A_{0}$A_0$ sur ${\mathrm{\Delta }}_0$${\mathrm{\Delta }}_0$Delta_(0)\Delta_{0}${\mathrm{\Delta }}_0$. La courbe $C^{\prime }$$C^{\prime }$C^(')C^{\prime}$C^{\prime }$ doit donc être au-dessus de ${\delta }_{\lambda }$${\delta }_{\lambda }$delta_(lambda)\delta_{\lambda}${\delta }_{\lambda }$ quel que soit $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$, ce qui est manifestement impossible.

La propriété énoncée est donc démontrée.
3. - Supposons, en particulier, que $E$$E$EE$E$ soit un intervalle fermé et fini ( $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ), nous pouvons énoncer la propriété suivante:

La fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ finie et continue dans l'intervalle fini et fermé ( $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ) est convexe si, quel que soit le nombre $\alpha$$\alpha$alpha\alpha$\alpha$, la fonction $f(x)+\alpha x$$f(x)+\alpha x$f(x)+alpha xf(x)+\alpha x$f(x)+\alpha x$ atteint son minimum en un seul point.

L'hypothèse de la continuité ne peut être supprimé dans ces énoncés pour tirer les conclusions précédentes. Considérons pour cela la fonction

On vérifie facilement que $g(x)+\alpha x$$g(x)+\alpha x$g(x)+alpha xg(x)+\alpha x$g(x)+\alpha x$ atteint toujours son minimum et en un seul point, la fonction $g(x)$$g(x)$g(x)g(x)$g(x)$ n'est pourtant pas convexe. On peut, au contraire, substituer à la continuité une hypothèse moins restrictive, par exemple la semi-continuité inférieur.

I. - Soit $E$$E$EE$E$ un ensemble linéaire. Je dis que $E$$E$EE$E$ est décomposé en deux sous-ensembles consécutifs $E_1$$E_1$E_(1)E_{1}$E_1$ et $E_2$$E_2$E_(2)E_{2}$E_2$ si: ${}^{\circ }{E}_1,E_2$${}^{\circ }{E}_1,E_2$^(@)E_(1),E_(2){ }^{\circ} E_{1}, E_{2}${}^{\circ }{E}_1,E_2$ ne contiennent que des points de $E,2^{\circ }$$E,2^{\circ }$E,2^(@)E, 2^{\circ}$E,2^{\circ }$ tout point de $E$$E$EE$E$ appartient à un et à un seul des ensembles $E_1,E_2,3^{\circ }$$E_1,E_2,3^{\circ }$E_(1),E_(2),3^(@)E_{1}, E_{2}, 3^{\circ}$E_1,E_2,3^{\circ }$ tout point de $E_1$$E_1$E_(1)E_{1}$E_1$ est à gauche de tout point de $E_2$$E_2$E_(2)E_{2}$E_2$. Tout point compris entre $max{E}_1$$max{E}_1$maxE_(1)\max E_{1}$max{E}_1$ et $min{E}_2$$min{E}_2$minE_(2)\min E_{2}$min{E}_2$ est un point de décomposition. Un tels point peut ou non appartenir à l'un des ensembles $E_1,E_2$$E_1,E_2$E_(1),E_(2)E_{1}, E_{2}$E_1,E_2$. Il peut d'ailleurs arriver que l'un des ensembles $E_1,E_2$$E_1,E_2$E_(1),E_(2)E_{1}, E_{2}$E_1,E_2$ soit vide, l'autre coïncide alors avec $E$$E$EE$E$. Dans ce cas il n'y a pas de point de décomposition.

On sait que:
Si $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est non-concave sur $E$$E$EE$E$ on peut décomposer l'ensemble $E$$E$EE$E$ en deux sous-ensembles consécutifs $E_1,E_2$$E_1,E_2$E_(1),E_(2)E_{1}, E_{2}$E_1,E_2$ tels que sur chacun la fonction soit monotone.

Si $E_1$$E_1$E_(1)E_{1}$E_1$ est vide $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est non-décroissante sur $E$$E$EE$E$ et si $E_2$$E_2$E_(2)E_{2}$E_2$ est vide $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est non-croissante sur $E$$E$EE$E$. En général, la fonction est non-croissante sur $E_1$$E_1$E_(1)E_{1}$E_1$ et non-décroissante sur $E_2{}^4$$E_2{}^4$E_(2)^(4)E_{2}{ }^{4}$E_2{}^4$ ).

Mais, il y a des fonctions plus générales qui jouissent de la même propriété. Nous nous proposons de caractériser ces fonctions par des inégalités entre trois de leurs valeurs.
2. - De l'inégalité de définition il résulte immédiatement que si $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est non-concave on a
(I) $f\left(x_2\right)\leqq max[f\left(x_1\right),f\left(x_3\right)],x_1<x_2<x_3,x_1,x_2,x_3\subset E$$f\left(x_2\right)\leqq max\left[f\left(x_1\right),f\left(x_3\right)\right],x_1<x_2<x_3,x_1,x_2,x_3\subset E$quad f(x_(2)) <= max[f(x_(1)),f(x_(3))],x_(1) < x_(2) < x_(3),x_(1),x_(2),x_(3)sub E\quad f\left(x_{2}\right) \leqq \max \left[f\left(x_{1}\right), f\left(x_{3}\right)\right], x_{1}<x_{2}<x_{3}, x_{1}, x_{2}, x_{3} \subset E$f\left(x_2\right)\leqq max[f\left(x_1\right),f\left(x_3\right)],x_1<x_2<x_3,x_1,x_2,x_3\subset E$.

Mais, cette inégalité ne caractérise pas les fonctions non-concaves. L'inégalité est vérifiée, par exemple, par toute fonction non-négative dont la $p$$p$pp$p$ ème puissance, avec $p\ge 1$$p\ge 1$p >= 1p \geq 1$p\ge 1$, est non-concave. Les fonctions qui vérifient

l'inégalité ( I ) peuvent être regardées justement comme le cas limite pour $p\to +\mathrm{\infty }$$p\to +\mathrm{\infty }$p rarr+oop \rightarrow+\infty$p\to +\mathrm{\infty }$.

Nous nous proposons de démontrer que:
Soit $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ une fonction finie, uniforme, et définie sur l'ensemble E. Pour qu'on puisse décomposer $E$$E$EE$E$ en deux sous-ensembles consécutifs $E_1,E_2$$E_1,E_2$E_(1),E_(2)E_{1}, E_{2}$E_1,E_2$ sur la propriété (I).

Nous supposons que si $E_1,E_2$$E_1,E_2$E_(1),E_(2)E_{1}, E_{2}$E_1,E_2$ ne sont pas vides la fonction est noncroissante sur $E_1$$E_1$E_(1)E_{1}$E_1$ et non-décroissante sur $E_2$$E_2$E_(2)E_{2}$E_2$. Dans le cas contraire la fonction - $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ doit vérifier l'inégalité ( I ).

On voit facilement que la condition est nécessaire. Il reste à montrer qu'elle est aussi suffisante, donc que:

Si la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$, finie, uniforme et définie sur l'ensemble $E$$E$EE$E$ vérifie la propriété (1), on peut décomposer l'ensemble $E$$E$EE$E$ en deux sous-ensembles consécutifs tels que sur chacun la fonction soit monotone.
3. - Démontrons donc cette dernière propriété. Soit $m=minf(x)$$m=minf(x)$m=min f(x)m=\min f(x)$m=minf(x)$
qui peut être un nombre fini ou $-\mathrm{\infty }$$-\mathrm{\infty }$-oo-\infty$-\mathrm{\infty }$. Soit

une suite de points, distincts ou non, telle que $f\left({\xi }_n\right)\to m$$f\left({\xi }_n\right)\to m$f(xi_(n))rarr mf\left(\xi_{n}\right) \rightarrow m$f\left({\xi }_n\right)\to m$ pour $n\to \mathrm{\infty }$$n\to \mathrm{\infty }$n rarr oon \rightarrow \infty$n\to \mathrm{\infty }$. Nous pouvons toujours supposer que la suite (2) est ou bien convergente ou bien tend vers $+\mathrm{\infty }$$+\mathrm{\infty }$+oo+\infty$+\mathrm{\infty }$ ou $-\mathrm{\infty }$$-\mathrm{\infty }$-oo-\infty$-\mathrm{\infty }$. Pour simplifier on peut dire que la suite tend vers un point $\xi$$\xi$xi\xi$\xi$ fini ou infini. On voit d'ailleurs facilement que si $m=-\mathrm{\infty }$$m=-\mathrm{\infty }$m=-oom=-\infty$m=-\mathrm{\infty }$ il n'existe qu'un seul point $\xi$$\xi$xi\xi$\xi$. Trois cas peuvent se présenter:
I. $\xi$$\xi$xi\xi$\xi$ est fini. Considérons deux points $x_1<x_2$$x_1<x_2$x_(1) < x_(2)x_{1}<x_{2}$x_1<x_2$ à gauche de $\xi$$\xi$xi\xi$\xi$. On ne peut avoir $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$f(x_(1)) < f(x_(2))f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ puisqu'alors on pourrait trouver un ${\xi }_n>x_2$${\xi }_n>x_2$xi_(n) > x_(2)\xi_{n}>x_{2}${\xi }_n>x_2$ tel que l'on ait $f\left({\xi }_n\right)<f\left(x_2\right)$$f\left({\xi }_n\right)<f\left(x_2\right)$f(xi_(n)) < f(x_(2))f\left(\xi_{n}\right)<f\left(x_{2}\right)$f\left({\xi }_n\right)<f\left(x_2\right)$. En prenant donc $x_3={\xi }_n$$x_3={\xi }_n$x_(3)=xi_(n)x_{3}=\xi_{n}$x_3={\xi }_n$ on est en contradiction avec l'inégalité (I). Il faut donc que $f\left(x_1\right)\ge f\left(x_2\right)$$f\left(x_1\right)\ge f\left(x_2\right)$f(x_(1)) >= f(x_(2))f\left(x_{1}\right) \geq f\left(x_{2}\right)$f\left(x_1\right)\ge f\left(x_2\right)$. On voit de la même manière que si $x_1<x_2$$x_1<x_2$x_(1) < x_(2)x_{1}<x_{2}$x_1<x_2$ sont à droite de $\xi$$\xi$xi\xi$\xi$ on a $f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right)$$f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right)$f(x_(1)) <= f(x_(2))f\left(x_{1}\right) \leq f\left(x_{2}\right)$f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right)$. Si donc le point $\xi$$\xi$xi\xi$\xi$ n'appartient pas à $E$$E$EE$E$ la propriété est démontrée. Il reste à montrer qu'il en est encore ainsi si $\xi \subset E$$\xi \subset E$xi sub E\xi \subset E$\xi \subset E$. Deux cas peuvent se présenter: ${\mathrm{I}}^{\circ }f(\xi )=m$${\mathrm{I}}^{\circ }f(\xi )=m$I^(@)f(xi)=m\mathrm{I}^{\circ} f(\xi)=m${\mathrm{I}}^{\circ }f(\xi )=m$, ce qui n'est possible que si $m$$m$mm$m$ est fini. Dans ce cas on a évidemment $f\left(x_1\right)\ge f(\xi )$$f\left(x_1\right)\ge f(\xi )$f(x_(1)) >= f(xi)f\left(x_{1}\right) \geq f(\xi)$f\left(x_1\right)\ge f(\xi )$ pour $\xi >x_1\subset E$$\xi >x_1\subset E$xi > x_(1)sub E\xi>x_{1} \subset E$\xi >x_1\subset E$ et $f(\xi )\le f\left(x_2\right)$$f(\xi )\le f\left(x_2\right)$f(xi) <= f(x_(2))f(\xi) \leq f\left(x_{2}\right)$f(\xi )\le f\left(x_2\right)$ pour $\xi <x_2\subset E$$\xi <x_2\subset E$xi < x_(2)sub E\xi<x_{2} \subset E$\xi <x_2\subset E$. La propriété résulte donc dans ce cas aussi et $\xi$$\xi$xi\xi$\xi$ appartient indifféremment à $E_1$$E_1$E_(1)E_{1}$E_1$ ou $E_2,2^{\circ }f(\xi )>m$$E_2,2^{\circ }f(\xi )>m$E_(2),2^(@)f(xi) > mE_{2}, 2^{\circ} f(\xi)>m$E_2,2^{\circ }f(\xi )>m$. Dans ce cas $\xi$$\xi$xi\xi$\xi$ ne peut être que limite d'un seul côté. S'il est limite de gauche (de droite) on a $f(\xi )\leqq f\left(x_2\right)$$f(\xi )\leqq f\left(x_2\right)$f(xi) <= f(x_(2))f(\xi) \leqq f\left(x_{2}\right)$f(\xi )\leqq f\left(x_2\right)$ pour tout $\xi <x_2\subset E[f\left(x_2\right)\ge f(\xi )$$\xi <x_2\subset E\left[f\left(x_2\right)\ge f(\xi )\right.$xi < x_(2)sub E[f(x_(2)) >= f(xi):}\xi<x_{2} \subset E\left[f\left(x_{2}\right) \geq f(\xi)\right.$\xi <x_2\subset E[f\left(x_2\right)\ge f(\xi )$ pour tout $\xi >x_1\subset E]$$\left.\xi >x_1\subset E\right]${: xi > x_(1)sub E]\left.\xi>x_{1} \subset E\right]$\xi >x_1\subset E]$ et la propriété résulte encore, le point de décomposition $\xi$$\xi$xi\xi$\xi$ appartenant à $E_2$$E_2$E_(2)E_{2}$E_2$ (resp. à $E_1$$E_1$E_(1)E_{1}$E_1$ ).
II. $\xi =-\mathrm{\infty }$$\xi =-\mathrm{\infty }$xi=-oo\xi=-\infty$\xi =-\mathrm{\infty }$. Ce cas ne peut arriver que si $E$$E$EE$E$ est non-borné inférieurement. On voit alors, comme plus haut, que si $x_1<x_2$$x_1<x_2$x_(1) < x_(2)x_{1}<x_{2}$x_1<x_2$ sont deux points de $E$$E$EE$E$ on a $f\left(x_1\right)\leqq f\left(x_2\right)$$f\left(x_1\right)\leqq f\left(x_2\right)$f(x_(1)) <= f(x_(2))f\left(x_{1}\right) \leqq f\left(x_{2}\right)$f\left(x_1\right)\leqq f\left(x_2\right)$. La fonction est donc non-décroissante sur $E$$E$EE$E$.
III. $\xi =+\mathrm{\infty }$$\xi =+\mathrm{\infty }$xi=+oo\xi=+\infty$\xi =+\mathrm{\infty }$. On voit de la même manière que la fonction est noncroissante sur $E$$E$EE$E$.

La propriété est donc complètement démontrée.
On peut encore remarquer que si dans (I) l'égalité n'est jamais possible, la fonction est strictement monotone (décroissante et croissante) sur les sous-ensembles de décomposition $E_1$$E_1$E_(1)E_{1}$E_1$ et $E_2$$E_2$E_(2)E_{2}$E_2$ et réciproquement.