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Traduction en anglais du titre
On the approximation of higher-order convex functions (II)
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T. Popoviciu, Sur l’approximation des fonctions convexes d’ordre supérieur (II), Bull. de la Sect. sci. de l’Acad. Roum., 20 (1938) no. 7, pp. 50-53; 192-195 (in French).
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[Zbl 0021.11701,JFM 64.1025.01]
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BULLETIN
No. 7
SOMMAIRE
SUR L'APPROXIMATION DES FONCTIONS CONVEXES D'ORDRE SUPERIEUR
I. - Dans un travail antérieur ^(1){ }^{1} ), j 'ai démontré que toute fonction int(x)\int(x) continue dans un intervalle fini et fermé ( a,ba, b ) est la limite d'une stite uniformément convergente de polynomes qui conservent toutes les propriétés de convexité de f(x)f(x). Cette propriété est réalisée par les polynomes de M. S. Bernstein.
{:(I)P_(m)(x)=(1)/((b-a)^(m))sum_(i=0)^(m)((m)/(i))f(a+i(b-a)/(m))(x-a)^(i)(b-x)^(m-i).:}\begin{equation*}
P_{m}(x)=\frac{1}{(b-a)^{m}} \sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i} f\left(a+i \frac{b-a}{m}\right)(x-a)^{i}(b-x)^{m-i} . \tag{I}
\end{equation*}
Mais, en général, on ne peut rien dire sur les caractères de convexité des polynomes ( II ), en dehors de lintervalle ( a,ba, b ). Dans la suite nous démontrerons la propriété suivante:
Toute fonction contiwue et non-concave d'ordre nn dans l'intervalle ( a,ba, b ) est limite d'une suile uniformément convergente dans cet intervalle de polynomes qui sonl convexes d'ordre nn partout, donc dans (-oo,+oo)(-\infty,+\infty).
Nous supposons, bien entendu, que f(x)f(x) ne se réduise pas à um polynome de degré nn.
2. - Si nous disons qu'une fonction non-négative est non-concave d'ordre - 1 , la propriété précédente est vraie aussi pour n=-1n=-1. En effet, il existe dans ce cas une fonction continue g(x)g(x) telle que l'on ait f(x)=g^(2)(x)f(x)=g^{2}(x) dans (a,b)(a, b). Soit alors M=max|g(x)|M=\max |g(x)| et epsi\varepsilon tun nombre positif. (a,b)(a, b)
D'après le théorème de Weierstrass pour tout 0 < epsi^(') < min(I,(epsi)/(2M+I))0<\varepsilon^{\prime}<\min \left(\mathrm{I}, \frac{\varepsilon}{2 M+\mathrm{I}}\right) il existe un polynome P(x)P(x) tel que |g-P| < epsi^(')|g-P|<\varepsilon^{\prime} dans (a,b)(a, b). Nous avons
2. - Si nous disons qu'une fonction non-négative est non-concave d'ordre - 1 , la propriété précédente est vraie aussi pour n=-1n=-1. En effet, il existe dans ce cas une fonction continue g(x)g(x) telle que l'on ait f(x)=g^(2)(x)f(x)=g^{2}(x) dans (a,b)(a, b). Soit alors M=max|g(x)|M=\max |g(x)| et epsi\varepsilon tun nombre positif. (a,b)(a, b)
D'après le théorème de Weierstrass pour tout 0 < epsi^(') < min(I,(epsi)/(2M+I))0<\varepsilon^{\prime}<\min \left(\mathrm{I}, \frac{\varepsilon}{2 M+\mathrm{I}}\right) il existe un polynome P(x)P(x) tel que |g-P| < epsi^(')|g-P|<\varepsilon^{\prime} dans (a,b)(a, b). Nous avons
|P| < M+I,|g+P| < 2M+I" dans "(a,b),|P|<M+I,|g+P|<2 M+I \text { dans }(a, b),
donc quad|f-P^(2)|=|g^(2)-P^(2)|=|g-P||g+P| < epsi^(')(2M+1) < epsi\quad\left|f-P^{2}\right|=\left|g^{2}-P^{2}\right|=|g-P||g+P|<\varepsilon^{\prime}(2 M+1)<\varepsilon, dans (a,b)(a, b), ce qui démontre la propriété.
Nous potvons maintenant démontrer la propriété pour nn quelconque. Supposons donc que f(x)f(x) soit non-concave d'ordre nn dans (a,b)(a, b) et soit epsi\varepsilon un nombre positif quelconque. On peut déterminer un mm tel que l'on ait
{:(2)|f-P_(m)| < (epsi)/(2)","" dans "(a","b):}\begin{equation*}
\left|f-P_{m}\right|<\frac{\varepsilon}{2}, \text { dans }(a, b) \tag{2}
\end{equation*}
P_(m)P_{m} étant le polynome ( I ), généralement de degré > n>n. Dans ce cas P_(m)^((n+1)) >= 0P_{m}^{(n+1)} \geqq 0 dans (a,b)(a, b), il existe donc un polynome partout non-négatif P(x)P(x) tel que l'ori ait
|P_(m)^((n+1))-P| < (epsi(n+1)!)/(2(b-a)^(n+1)),quad" dans "(a,b)\left|P_{m}^{(n+1)}-P\right|<\frac{\varepsilon(n+1)!}{2(b-a)^{n+1}}, \quad \text { dans }(a, b)
Le polynome
Q(x)=int_(a)^(x)((x-t)^(n))/(n!)P(t)dt+sum_(i=0)^(n)((x-a)^(i))/(i!)P_(n)^((i))(a)Q(x)=\int_{a}^{x} \frac{(x-t)^{n}}{n!} P(t) d t+\sum_{i=0}^{n} \frac{(x-a)^{i}}{i!} P_{n}^{(i)}(a)
est convexe d'ordre n(-oo,+oo)n(-\infty,+\infty) et nous avons
P_(m)(x)-Q(x)=int_(a)^(x)((x-t)^(n))/(n!)[P_(m)^((n+1))(t)-P(t)]dtP_{m}(x)-Q(x)=\int_{a}^{x} \frac{(x-t)^{n}}{n!}\left[P_{m}^{(n+1)}(t)-P(t)\right] d t
d'où
(3) quad|P_(m)-Q| < (epsi(n+1)!)/(2(b-a)^(n+1))*((x-a)^(n+1))/((n+1)!) <= (epsi)/(2)\quad\left|P_{m}-Q\right|<\frac{\varepsilon(n+1)!}{2(b-a)^{n+1}} \cdot \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} \leq \frac{\varepsilon}{2}, dans (a,b)(a, b).
(3) quad|P_(m)-Q| < (epsi(n+1)!)/(2(b-a)^(n+1))*((x-a)^(n+1))/((n+1)!) <= (epsi)/(2)\quad\left|P_{m}-Q\right|<\frac{\varepsilon(n+1)!}{2(b-a)^{n+1}} \cdot \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} \leq \frac{\varepsilon}{2}, dans (a,b)(a, b).
De (2) et (3) on déduit que
|f-Q| <= |f-P_(m)|+|P_(m)-Q| < (epsi)/(2)+(epsi)/(2)=epsi," dans "(a,b)|f-Q| \leq\left|f-P_{m}\right|+\left|P_{m}-Q\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon, \text { dans }(a, b)
ce qui démontre la propriété.
3. Nous allons donner une autre démonstration pour n=1n=1, en nous servant directement des polynomes de M. S. Bernstein. Divisons l'intervalle (a,b)(a, b) en rr parties égales par les points
3. Nous allons donner une autre démonstration pour n=1n=1, en nous servant directement des polynomes de M. S. Bernstein. Divisons l'intervalle (a,b)(a, b) en rr parties égales par les points
x_(i)=a+i(b-a)/(r),quad i=0,1,dots,rx_{i}=a+i \frac{b-a}{r}, \quad i=0,1, \ldots, r
et soit L_(gamma)(x)L_{\gamma}(x) la fonction représentée par la ligne polygonale de sommets (x_(i),f(x_(i)))\left(x_{i}, f\left(x_{i}\right)\right). On sait que L_(gamma)(x)rarr f(x)L_{\gamma}(x) \rightarrow f(x) pour r rarr oor \rightarrow \infty, uniformément dans ( a,ba, b ). Si nous considérons les fonctions continues
{:[varphi_(i)(x)={[0","," dans "(a,x_(i))],[x-x_(i)","," dans "(x_(i),b)]:}],[i=1","2","dots","r-1]:}\begin{aligned}
\varphi_{i}(x) & = \begin{cases}0, & \text { dans }\left(a, x_{i}\right) \\
x-x_{i}, & \text { dans }\left(x_{i}, b\right)\end{cases} \\
i & =1,2, \ldots, r-1
\end{aligned}
nous pouvons écrire ^(2){ }^{2} )
L_(r)(x)=f(a)+[a,x_(1);f](x-a)+sum_(i=0)^(gamma)(x_(i+2)-x_(i))[x_(i),x_(i+1),x_(i+2);f]varphi_(i+1)(x)L_{r}(x)=f(a)+\left[a, x_{1} ; f\right](x-a)+\sum_{i=0}^{\gamma}\left(x_{i+2}-x_{i}\right)\left[x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2} ; f\right] \varphi_{i+1}(x).
On voit maintenant qu'il suffit de démontrer la propriété pour les fonctions varphi_(i)(x)\varphi_{i}(x). Prolongeons cette fonction dans l'intervalle
L_(r)(x)=f(a)+[a,x_(1);f](x-a)+sum_(i=0)^(gamma)(x_(i+2)-x_(i))[x_(i),x_(i+1),x_(i+2);f]varphi_(i+1)(x)L_{r}(x)=f(a)+\left[a, x_{1} ; f\right](x-a)+\sum_{i=0}^{\gamma}\left(x_{i+2}-x_{i}\right)\left[x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2} ; f\right] \varphi_{i+1}(x).
On voit maintenant qu'il suffit de démontrer la propriété pour les fonctions varphi_(i)(x)\varphi_{i}(x). Prolongeons cette fonction dans l'intervalle
(x_(i)-b+a,x_(i)+b-a)\left(x_{i}-b+a, x_{i}+b-a\right)
par
varphi_(i)(x)={[0","," dans "(x_(i)-b+a,x_(i))],[x rarrx_(i)","," dans "(x_(i),x_(i)+b-a)]:}\varphi_{i}(x)= \begin{cases}0, & \text { dans }\left(x_{i}-b+a, x_{i}\right) \\ x \rightarrow x_{i}, & \text { dans }\left(x_{i}, x_{i}+b-a\right)\end{cases}
et soit P_(m,i)(x)P_{m, i}(x) le polynome de M. S. Bernstein de degré mm de cette fonction dans l'intervalle (x_(i)-b+a,x_(i)+b-a)\left(x_{i}-b+a, x_{i}+b-a\right). On vérifie, par un calcul direct, que P_(m,i)^('')(x) >= 0P_{m, i}^{\prime \prime}(x) \geq 0 partorat, donc P_(m,i)P_{m, i} est convexe (d'ordre II ) dans (-oo,-oo)(-\infty,-\infty) si mm est pair. On voit maintenant que si epsi\varepsilon est un nombre positif quelconque, si nous déterminons les entiers positifs gamma\gamma et ss de manière que
{:[|f-L_(y)| < (epsi)/(2)","dans(a","b)],[|varphi_(i)-P_(2s,i)| < (epsi)/(2(r-1)(x_(i+2)+x_(i))[x_(i),x_(i+1),x_(i+2);f])]:}\begin{gathered}
\left|f-L_{y}\right|<\frac{\varepsilon}{2}, \operatorname{dans}(a, b) \\
\left|\varphi_{i}-P_{2 s, i}\right|<\frac{\varepsilon}{2(r-1)\left(x_{i+2}+x_{i}\right)\left[x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2} ; f\right]}
\end{gathered}
dan
{:(x_(i)-b+a,x_(i)+b-a)quad,quad i=1,2dots,r-1^(3)),\left.\left(x_{i}-b+a, x_{i}+b-a\right) \quad, \quad i=1,2 \ldots, r-1{ }^{3}\right),
et si nous posons
Q(x)=f(a)+[a,x_(1);f](x-a)+sum_(i=0)^(r-2)(x_(i+2)-x_(i))[x_(i),x_(i+1),x_(i+2);f]P_(2s,i+1)(x)Q(x)=f(a)+\left[a, x_{1} ; f\right](x-a)+\sum_{i=0}^{r-2}\left(x_{i+2}-x_{i}\right)\left[x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2} ; f\right] P_{2 s, i+1}(x).
le polynome Q(x)Q(x) est partout convexe (d'ordre I) et nous avons
Q(x)=f(a)+[a,x_(1);f](x-a)+sum_(i=0)^(r-2)(x_(i+2)-x_(i))[x_(i),x_(i+1),x_(i+2);f]P_(2s,i+1)(x)Q(x)=f(a)+\left[a, x_{1} ; f\right](x-a)+\sum_{i=0}^{r-2}\left(x_{i+2}-x_{i}\right)\left[x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2} ; f\right] P_{2 s, i+1}(x).
le polynome Q(x)Q(x) est partout convexe (d'ordre I) et nous avons
|f-Q| < epsi," dans "(a,b)|f-Q|<\varepsilon, \text { dans }(a, b)
-
- Remarquons que pour mm pair les polynomes P_(m,i)P_{m, i} sont croissants dans l'intervalle (x_(i)-b+a,+oo)\left(x_{i}-b+a,+\infty\right). Nous avons donc aussi la propriété suivante:
Toute fonction continue, non-décroissante et non-concave (d'ordre I) dans l'intervalle ( a,ba, b ) est la limite d'une suite uniformément convergente de polynomes qui sont croissants dans ( a,+ooa,+\infty ) et convexes (d'ordre 1) dans (-oo,+oo)(-\infty,+\infty).
Il est clair qu'on peut trouver des polynomes d'approximation tels qu'ils soient croissants dans l'intervalle ( c,+ooc,+\infty ), cc étant un nombre <= a\leq a mais, il est évident, qu'on ne peut pas prendre c=-ooc=-\infty. Une propriété analogue à lieu pour les fonctions continues non-croissantes et nonconcaves. Dans ce cas les polynomes sont décroissants dans
(-oo,d)", où "d >= b". "(-\infty, d) \text {, où } d \geq b \text {. }ù
On peut aussi obtenir des suites de polynomes d'approximation indéfinie conservant à la fois plusieurs propriétés de convexité, partout ou dans des intervalles (c+oo),(-oo,d)(c+\infty),(-\infty, d), mais nous n'insistons pas ici davantage sur ces questions.
Cernăuti, 27 Septembre 1938.
- ^(1){ }^{1} ) Voir: Tiberiu Popoviciu, Sur l'approximation des fonctions convexes d'ordre supériew, «Mathematica», t. X (1935), pp. 49-54.
- ^(2)){ }^{2)} Pour les notations, voir mes travaux antérieurs.
^(3)){ }^{3)} Si [x_(i),x_(i+1),x_(i+2);f]=0\left[x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2} ; f\right]=0, nous pouvons supprimer de nos considérations 1a fonction phi_(i)\phi_{i} correspondante.