Remarques sur la definition fonctionnelle d’un polynôme d’une variable réelle

Tiberiu Popoviciu
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Remarks on the functional definition of a polynomial of a real variable

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T. Popoviciu

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1936 f -Popoviciu- Mathematica – Remarques sur la definition fonctionnelle d’un polynôme d’une variable reelle

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T. Popoviciu, Remarques sur la definition fonctionnelle d’un polynôme d’une variable réelle, Mathematica, 12 (1936), pp. 5-12 (in French).

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Mathematica

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[Zbl 0015.34403, JFM 62.0429.02]

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1936 f -Popoviciu- Mathematica - Remarques sur la definition fonctionnelle d_un polynôme d_une varia

REMARQUES SUR LA DÉFINITION FONCTIONNELLE D'UN POLYNOME D'UNE VARIABLE RÉELLE

par

Tiberiu Popoviciu.

Reçu le 18 Décembre 1935.
    • Soit f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) une fonction uniforme de la variable réelle x x xxx et considérons sa différence d'ordre n n nnn
Δ h n = Δ h n f ( x ) = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( n i ) f ( x + i h ) Δ h n = Δ h n f ( x ) = ∑ i = 0 n   ( − 1 ) i ( n i ) f ( x + i h ) Delta_(h)^(n)=Delta_(h)^(n)f(x)=sum_(i=0)^(n)(-1)^(i)((n)/(i))f(x+ih)\Delta_{h}^{n}=\Delta_{h}^{n} f(x)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}\binom{n}{i} f(x+i h)Δhn=Δhnf(x)=∑i=0n(−1)i(ni)f(x+ih)
Lorsque f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) est un polynome de degré n − 1 ( 1 ) n − 1 1 n-1(^(1))n-1\left({ }^{1}\right)n−1(1) on a Δ h n = 0 Δ h n = 0 Delta_(h)^(n)=0\Delta_{h}^{n}=0Δhn=0 quels que soient x x xxx et h h hhh. Réciproquement on sait que si l'on a Δ h n = 0 Δ h n = 0 Delta_(h)^(n)=0\Delta_{h}^{n}=0Δhn=0 pour tout x x xxx et pour tout h h hhh, la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x), sous des hypothèses d'ailleurs assez générales, se réduit à un polynome de degré n − 1 ( 2 ) n − 1 2 n-1(^(2))n-1\left({ }^{2}\right)n−1(2).
Dans son cours fait à l'Université de Cluj en Mai 1935 d'abord et dans une note des C. R. ensuite, M. Paul Montel a démontré la propriété suivante ( 3 ) ( 3 ) ^((3)){ }^{(3)}(3) :
Toute fonction continue d'une variable réelle vérifiant les équations fonctionnelles
(1) Δ ω 1 n = 0 , Δ ω 2 n = 0 (1) Δ ω 1 n = 0 , Δ ω 2 n = 0 {:(1)Delta_(omega_(1))^(n)=0","quadDelta_(omega_(2))^(n)=0:}\begin{equation*} \Delta_{\omega_{1}}^{n}=0, \quad \Delta_{\omega_{2}}^{n}=0 \tag{1} \end{equation*}(1)Δω1n=0,Δω2n=0
relatives à deux périodes ω 4 , ω 2 ω 4 , ω 2 omega_(4),omega_(2)\omega_{4}, \omega_{2}ω4,ω2 dont le rapport est irrationnel est un polynome de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1.
( 1 ) ( 1 ) ^((1)){ }^{(1)}(1) Nous disons qu'un polynome, est de degré n n nnn lorsque son degré effectif est au plus égal à n n nnn.
(2) Voir : Th. Anghelutza "Sur une équation fonctionnelle caractérisant les polynomes". Mathematica t. VI (1932), p. 1-7., Tiberiu Popoviciu „Sur quelques propriétés des fonctions d'une et de deux variables réelles". Mathematica t. Vlll (1934), p. 1-85, sp. p 57.
( 3 3 ^(3){ }^{3}3 ) Paul Montel „Sur un théorème de Jacobi" C. R. Acad. Sc. Paris, t. 201 (1935), p. 586.
M. Paul Montel a également remarqué que dans le cas n = 1 n = 1 n=1n=1n=1 laz continuité en un seul point suffit pour pouvoir affirmer que la fonction se réduit à une constante. Dans la suite nous allons étendre ce résultat. au système général (1).
Remarquons que si la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) vérifie l'équation Δ h n = 0 Δ h n = 0 Delta_(h)^(n)=0\Delta_{h}^{n}=0Δhn=0 pour un h h hhh donné elle se réduit à un polynome de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 sur les points equidistants x , x ± h , x ± 2 h , … x , x ± h , x ± 2 h , … x,x+-h,x+-2h,dotsx, x \pm h, x \pm 2 h, \ldotsx,x±h,x±2h,… et ceci pour toute valeur de x x xxx. Il en résulte qu'on a aussi Δ p h n = 0 Δ p h n = 0 Delta_(ph)^(n)=0\Delta_{p h}^{n}=0Δphn=0 quel que soit l'entier p p ppp.
2. - Supposons maintenant que la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) vérifie le système (1), ω 1 , ω 2 ω 1 , ω 2 omega_(1),omega_(2)\omega_{1}, \omega_{2}ω1,ω2 étant deux nombres réels (les périodes) donnés. Nous : avons
Δ ω 1 n f ( x + p ω 1 + q ω 2 ) = 0 . Δ ω 1 n f x + p ω 1 + q ω 2 = 0 . Delta_(omega_(1))^(n)f(x+pomega_(1)+qomega_(2))=0.\Delta_{\omega_{1}}^{n} f\left(x+p \omega_{1}+q \omega_{2}\right)=0 .Δω1nf(x+pω1+qω2)=0.
Prenons pour x x xxx et q q qqq des valeurs fixes. On voit qu'il existe un polynome P q ( u ) P q ( u ) P_(q)(u)\mathrm{P}_{q}(u)Pq(u) de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 par rapport à u u uuu tel que
(2)
f ( x + p ω 1 + q ω 2 ) = P q ( x + p ω 1 + q ω 2 ) p = 0 , ± 1 , ± 2 , … f x + p ω 1 + q ω 2 = P q x + p ω 1 + q ω 2 p = 0 , ± 1 , ± 2 , … {:[f(x+pomega_(1)+qomega_(2))=P_(q)(x+pomega_(1)+qomega_(2))],[p=0","+-1","+-2","dots]:}\begin{gathered} f\left(x+p \omega_{1}+q \omega_{2}\right)=P_{q}\left(x+p \omega_{1}+q \omega_{2}\right) \\ p=0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{gathered}f(x+pω1+qω2)=Pq(x+pω1+qω2)p=0,±1,±2,…
De même, en supposant x x xxx et p p ppp fixes on voit qu'il existe un poly-nome Q p ( v ) Q p ( v ) Q_(p)(v)Q_{p}(v)Qp(v) de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 par rapport à v v vvv tel que
(3)
f ( x + p ω 1 + q ω 2 ) = Q p ( x + p ω 1 + q ω 2 ) q = 0 , ± 1 , ± 2 , … f x + p ω 1 + q ω 2 = Q p x + p ω 1 + q ω 2 q = 0 , ± 1 , ± 2 , … {:[f(x+pomega_(1)+qomega_(2))=Q_(p)(x+pomega_(1)+qomega_(2))],[q=0","+-1","+-2","dots]:}\begin{gathered} f\left(x+p \omega_{1}+q \omega_{2}\right)=Q_{p}\left(x+p \omega_{1}+q \omega_{2}\right) \\ q=0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{gathered}f(x+pω1+qω2)=Qp(x+pω1+qω2)q=0,±1,±2,…
De (2) et (3) on en déduit qu'on peut trouver un polynome P ( u , v ) P ( u , v ) P(u,v)\mathrm{P}(u, v)P(u,v); de deux variables u u uuu et v v vvv de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 par rapport à chacune de ces. variables et tel que pour un x x xxx-donné on ait
(4) f ( x + p ω 1 + q ω 2 ) = P ( p ω 1 , q ω 2 ) (4) f x + p ω 1 + q ω 2 = P p ω 1 , q ω 2 {:(4)f(x+pomega_(1)+qomega_(2))=P(pomega_(1),qomega_(2)):}\begin{equation*} f\left(x+p \omega_{1}+q \omega_{2}\right)=\mathrm{P}\left(p \omega_{1}, q \omega_{2}\right) \tag{4} \end{equation*}(4)f(x+pω1+qω2)=P(pω1,qω2)
Le polynome P ( u , v ) P ( u , v ) P(u,v)\mathrm{P}(u, v)P(u,v) peut s'écrire sous la forme suivante
P ( u , v ) = ∑ i = 0 2 n − 2 A 2 n − 2 − i u i P ( u , v ) = ∑ i = 0 2 n − 2   A 2 n − 2 − i u i P(u,v)=sum_(i=0)^(2n-2)A_(2n-2-i)u^(i)\mathrm{P}(u, v)=\sum_{i=0}^{2 n-2} \mathrm{~A}_{2 n-2-i} u^{i}P(u,v)=∑i=02n−2 A2n−2−iui
où A i A i A_(i)\mathbf{A}_{i}Ai sont des polynomes dépendant seulement de u + v u + v u+vu+vu+v et sont de degré n − 1 , A 0 , A 1 , … , A n − 1 n − 1 , A 0 , A 1 , … , A n − 1 n-1,A_(0),A_(1),dots,A_(n-1)n-1, \mathrm{~A}_{0}, \mathrm{~A}_{1}, \ldots, \mathrm{~A}_{n-1}n−1, A0, A1,…, An−1 étant de degré égal à leur indice.
Supposons maintenant que pour n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 valeurs a 1 , a 2 , … , a n − 1 a 1 , a 2 , … , a n − 1 a_(1),a_(2),dots,a_(n-1)a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}a1,a2,…,an−1 des la constante a le polynome P ( u , v ) P ( u , v ) P(u,v)\mathrm{P}(u, v)P(u,v) reste borné pour u + v = a u + v = a u+v=au+v=au+v=a. On voit immédiatement que pour ces valeurs les coefficients A 0 , A 1 , … A 2 n − 3 A 0 , A 1 , … A 2 n − 3 A_(0),A_(1),dotsA_(2n-3)A_{0}, A_{1}, \ldots A_{2 n-3}A0,A1,…A2n−3 doivent s'annuler. Il en résulte que
P ( u , v ) = ( u + v − a 1 ) ( u + v − a 2 ) … ( u + v − a n − 1 ) ( b 0 u n − 1 + + b 1 u n − 2 + , … , + b n − 1 ) + A 2 n − 2 P ( u , v ) = u + v − a 1 u + v − a 2 … u + v − a n − 1 b 0 u n − 1 + + b 1 u n − 2 + , … , + b n − 1 + A 2 n − 2 {:[P(u","v)=(u+v-a_(1))(u+v-a_(2))dots(u+v-a_(n-1))(b_(0)u^(n-1)+:}],[{:+b_(1)u^(n-2)+,dots,+b_(n-1))+A_(2n-2)]:}\begin{gathered} \mathrm{P}(u, v)=\left(u+v-a_{1}\right)\left(u+v-a_{2}\right) \ldots\left(u+v-a_{n-1}\right)\left(b_{0} u^{n-1}+\right. \\ \left.+b_{1} u^{n-2}+, \ldots,+b_{n-1}\right)+\mathrm{A}_{2 n-2} \end{gathered}P(u,v)=(u+v−a1)(u+v−a2)…(u+v−an−1)(b0un−1++b1un−2+,…,+bn−1)+A2n−2
Pour que ce polynome ait la forme demandée il faut que b 0 = b 1 = , … , = b n − 1 = 0 b 0 = b 1 = , … , = b n − 1 = 0 b_(0)=b_(1)=,dots,=b_(n-1)=0b_{0}=b_{1}=, \ldots,=b_{n-1}=0b0=b1=,…,=bn−1=0 et on voit alors qu'on a la propriété suivante:
Si le polynome P ( u , v ) P ( u , v ) P(u,v)\mathrm{P}(u, v)P(u,v) reste borné pour n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 valeurs de u + v u + v u+vu+vu+v il reste borné pour toute valeur donnée de u + v u + v u+vu+vu+v, donc il se réduit à un: polynome de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 par rapport à u + v u + v u+vu+vu+v.
3. - Revenons à notre problème. Si les périodes ω ˙ 1 , ω ˙ 2 ω ˙ 1 , ω ˙ 2 omega^(˙)_(1),omega^(˙)_(2)\dot{\omega}_{1}, \dot{\omega}_{2}ω˙1,ω˙2 son U U U\mathfrak{U}U dépendantes il existe deux nombres entiers p p ppp et q q qqq tels que ω 4 = p ω ω 4 = p ω omega_(4)=p omega\omega_{4}=p \omegaω4=pω, ω 2 = q ω ω 2 = q ω omega_(2)=q omega\omega_{2}=q \omegaω2=qω et on voit toute de suite que la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) vérifie l'équation Δ ω n = 0 Δ ω n = 0 Delta_(omega)^(n)=0\Delta_{\omega}^{n}=0Δωn=0. Dans ce cas les polynomes P q , Q p P q , Q p P_(q),Q_(p)P_{q}, Q_{p}Pq,Qp coïncident en une infinité de points et par conséquent sont identiques. Nous laissons de côté: ce cas.
Supposons donc que les périodes ω 4 , ω 2 ω 4 , ω 2 omega_(4),omega_(2)\omega_{4}, \omega_{2}ω4,ω2 sont indépendantes ( 4 ) 4 (^(4))\left({ }^{4}\right)(4). L'ensemble des points p ω 4 + q ω 2 , p , q p ω 4 + q ω 2 , p , q pomega_(4)+qomega_(2),p,qp \omega_{4}+q \omega_{2}, p, qpω4+qω2,p,q étant des entiers, est alors partout dense sur l'axe réel.
Supposons maintenant que la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) soit bornée en un point x ′ x ′ x^(')x^{\prime}x′, ce qui revient à dire qu'elle est bornée dans un intervalle contenant le point x ′ x ′ x^(')x^{\prime}x′. Il existe alors deux suites infinies et non-boznées de nombres entiers
p 1 , p 2 , … , p ν , … q 1 , q 2 , … , q ν , … p 1 , p 2 , … , p ν , … q 1 , q 2 , … , q ν , … {:[p_(1)","p_(2)","dots","p_(nu)","dots],[q_(1)","q_(2)","dots","q_(nu)","dots]:}\begin{aligned} & p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{\nu}, \ldots \\ & q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{\nu}, \ldots \end{aligned}p1,p2,…,pν,…q1,q2,…,qν,…
telles que
p ν ω 1 + q ν ω 2 → x ′ − x ν → ∞ . p ν ω 1 + q ν ω 2 → x ′ − x ν → ∞ . {:[p_(nu)omega_(1)+q_(nu)omega_(2) rarrx^(')-x],[nu rarr oo.]:}\begin{aligned} p_{\nu} \omega_{1}+q_{\nu} \omega_{2} & \rightarrow x^{\prime}-x \\ \nu & \rightarrow \infty . \end{aligned}pνω1+qνω2→x′−xν→∞.
De (4) résulte alors que le polynome P ( u , v ) P ( u , v ) P(u,v)\mathrm{P}(u, v)P(u,v) doit être bornépour u + v = x ′ − x u + v = x ′ − x u+v=x^(')-xu+v=x^{\prime}-xu+v=x′−x. La fonction étant bornée en un point elle l'est en n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 points. Il en résulte que lo polynome P ( u , v ) P ( u , v ) P(u,v)\mathrm{P}(u, v)P(u,v) se réduit à un polynome de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 par rapport à u + v u + v u+vu+vu+v. La tonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) coincide: donc sur les points x + p ω 1 + q ω 2 , p , q = 0 . ± 1 , ± 2 , … x + p ω 1 + q ω 2 , p , q = 0 . ± 1 , ± 2 , … x+pomega_(1)+qomega_(2),p,q=0.+-1,+-2,dotsx+p \omega_{1}+q \omega_{2}, p, q=0 . \pm 1, \pm 2, \ldotsx+pω1+qω2,p,q=0.±1,±2,… avec un polynome de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1. En particulier, on a
Δ p ω 1 + q ω 2 n = 0 Δ p ω 1 + q ω 2 n = 0 Delta_(p_(omega_(1))+qomega_(2))^(n)=0\Delta_{p_{\omega_{1}}+q \omega_{2}}^{n}=0Δpω1+qω2n=0
quels que soient les entiers p p ppp et q q qqq. Nous avons donc la propriété suivante :
Si les périodes ω 1 , ω 2 ω 1 , ω 2 omega_(1),omega_(2)\omega_{1}, \omega_{2}ω1,ω2 sont indépendantes, si la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x)
(4) Les nombres ω 1 , ω 2 ω 1 , ω 2 omega_(1),omega_(2)\omega_{1}, \omega_{2}ω1,ω2 sont indépendants lorsque l'égalité p ω 1 + q ω 2 = 0 p ω 1 + q ω 2 = 0 pomega_(1)+qomega_(2)=0\boldsymbol{p} \boldsymbol{\omega}_{1}+\boldsymbol{q} \boldsymbol{\omega}_{2}=0pω1+qω2=0 ne peut être satisfaite en nombres entiers p p p\boldsymbol{p}p, et q q q\boldsymbol{q}q, que si p = q = 0 p = q = 0 p=q=0p=q=0p=q=0. Il faut et il suffit donc que le rapport des nombres ω 1 , ω 2 ω 1 , ω 2 omega_(1),omega_(2)\omega_{1}, \omega_{2}ω1,ω2 soit irrationnel.
wérifie les équations fonctionnelles
Δ ω 1 n = 0 , Δ ω 2 n = 0 Δ ω 1 n = 0 , Δ ω 2 n = 0 Delta_(omega_(1))^(n)=0,quadDelta_(omega_(2))^(n)=0\Delta_{\omega_{1}}^{n}=0, \quad \Delta_{\omega_{2}}^{n}=0Δω1n=0,Δω2n=0
et est bornée en un point, on a aussi
Δ p 1 + q ω 2 n = 0 Δ p 1 + q ω 2 n = 0 Delta_(p_(1)+qomega_(2))^(n)=0\Delta_{p_{1}+q \omega_{2}}^{n}=0Δp1+qω2n=0
pour toute valeur de x x xxx et quels que soient les entiers p p ppp et q q qqq.
Si la fonction n'est bornée en aucun point la propriété peut ne pas être vraie. Par exemple la fonction qui est égale à p q p q pqp qpq en un point de la forme p ω 1 + q ω 2 p ω 1 + q ω 2 pomega_(1)+qomega_(2)p \omega_{1}+q \omega_{2}pω1+qω2 et est nulle partout ailleurs vérifie bien lè système
Δ ω 1 n = 0 , Δ ω 2 n = 0 ( n > 1 ) Δ ω 1 n = 0 , Δ ω 2 n = 0 ( n > 1 ) Delta_(omega_(1))^(n)=0,quadDelta_(omega_(2))^(n)=0quad(n > 1)\Delta_{\omega_{1}}^{n}=0, \quad \Delta_{\omega_{2}}^{n}=0 \quad(n>1)Δω1n=0,Δω2n=0(n>1)
mais on a en général
Δ p ω 1 + q ω 2 n ≠ 0 Δ p ω 1 + q ω 2 n ≠ 0 Delta_(pomega_(1)+qomega_(2))^(n)!=0\Delta_{p \omega_{1}+q \omega_{2}}^{n} \neq 0Δpω1+qω2n≠0
    • Nous sommes dans les conditions du cas précédent si f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) est continue en un point x ′ x ′ x^(')x^{\prime}x′. Dans ce cas P ( u , v ) P ( u , v ) P(u,v)\mathrm{P}(u, v)P(u,v) dépend seulement de u + v u + v u+vu+vu+v et tous ces polynomes doivent coïncider au point x ′ x ′ x^(')x^{\prime}x′. Ces polynomes étant de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 on peut énoncer la propriété suivante :
Si les périodes ω 1 , ω 2 ω 1 , ω 2 omega_(1),omega_(2)\omega_{1}, \omega_{2}ω1,ω2 sont indépendantes, si la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) vérifie les équations fonctionnelles
Δ ω 1 n = 0 , Δ ω 2 n = 0 Δ ω 1 n = 0 , Δ ω 2 n = 0 Delta_(omega_(1))^(n)=0,quadDelta_(omega_(2))^(n)=0\Delta_{\omega_{1}}^{n}=0, \quad \Delta_{\omega_{2}}^{n}=0Δω1n=0,Δω2n=0
et est continue en n points, elle se réduit à un polynome de degrén-1.
La propriété peut ne pas être vraie si f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) est supposée être continue en moins de n n nnn points. Par exemple la fonction qui prend les valeurs de x x xxx en tout point de la forme p ω ˙ 4 + q ω 2 p ω ˙ 4 + q ω 2 pomega^(˙)_(4)+qomega_(2)p \dot{\omega}_{4}+q \omega_{2}pω˙4+qω2 et est nulle partout ailleurs est bien continue pour x = 0 x = 0 x=0x=0x=0, vérifie les équations Δ ω 1 n = 0 Δ ω 1 n = 0 Delta_(omega_(1))^(n)=0\Delta_{\omega_{1}}^{n}=0Δω1n=0, Δ ω 3 n = 0 , n > 1 Δ ω 3 n = 0 , n > 1 Delta_(omega_(3))^(n)=0,quad n > 1\Delta_{\omega_{3}}^{n}=0, \quad n>1Δω3n=0,n>1 et pourtant ne se réduit pas à un polynome. On peut d'ailleurs donner d'autres exemples de cette nature.
5. - Considérons l'équation plus générala
(5)
∑ i = 0 n a i f ( x + i h ) = 0 ∑ i = 0 n   a i f ( x + i h ) = 0 sum_(i=0)^(n)a_(i)f(x+ih)=0\sum_{i=0}^{n} a_{i} f(x+i h)=0∑i=0naif(x+ih)=0
où les a i a i a_(i)a_{i}ai sont des constantes. Nous pouvons supposer a 0 ≠ 0 , a n ≠ 0 a 0 ≠ 0 , a n ≠ 0 a_(0)!=0,a_(n)!=0a_{0} \neq 0, a_{n} \neq 0a0≠0,an≠0 et que le premier membre de l'équation caractéristique
F ( z ) = a 0 + a 1 z + , … , a n z n = 0 F ( z ) = a 0 + a 1 z + , … , a n z n = 0 F(z)=a_(0)+a_(1)z+,dots,a_(n)z^(n)=0F(z)=a_{0}+a_{1} z+, \ldots, a_{n} z^{n}=0F(z)=a0+a1z+,…,anzn=0
me se réduit pas à un polynome par rapport à une puissance entière > 1 > 1 > 1>1>1 de z z zzz.
Nous disons que l'équation (5) est de degré n. Si 1 est une racine d'ordre k k kkk de multiplicité de l'équation caractéristique nous disons que l'équation (5) est d'ordre k k kkk. Si F ( 1 ) ≠ 0 F ( 1 ) ≠ 0 F(1)!=0\mathrm{F}(1) \neq 0F(1)≠0 l'équation est d'ordre 0 . Une équation d'ordre et de degré n n nnn est nécessairement de la forme
Δ h n = 0 Δ h n = 0 Delta_(h)^(n)=0\Delta_{h}^{n}=0Δhn=0
Pour une équation d'ordre k k kkk on a
F ( 1 ) = F ′ ( 1 ) = , … , = F ( k − 1 ) ( 1 ) = 0 , F ( k ) ( 1 ) ≠ 0 F ( 1 ) = F ′ ( 1 ) = , … , = F ( k − 1 ) ( 1 ) = 0 , F ( k ) ( 1 ) ≠ 0 F(1)=F^(')(1)=,dots,=F^((k-1))(1)=0,F^((k))(1)!=0F(1)=F^{\prime}(1)=, \ldots,=F^{(k-1)}(1)=0, F^{(k)}(1) \neq 0F(1)=F′(1)=,…,=F(k−1)(1)=0,F(k)(1)≠0
Si l'équation (5) reste vérifiée, avec les mêmes constantes a i a i a_(i)a_{i}ai, lorsqu'on remplace h h hhh par m h , m = 2 , 3 , … m h , m = 2 , 3 , … mh,m=2,3,dotsm h, m=2,3, \ldotsmh,m=2,3,…, on peut trouver un entier r r r\boldsymbol{r}r tel que l'on ait
(6) Δ r h n = − 0 (6) Δ r h n = − 0 {:(6)Delta_(rh)^(n)=-0:}\begin{equation*} \Delta_{r h}^{n}=-0 \tag{6} \end{equation*}(6)Δrhn=−0
Des propriétés de l'équation (5) résulte d'ailleurs qu'il suffit de prendre pour m m mmm seulement un certain nombre fini de valeurs. Ces valeurs, parmi lesquelles r r rrr existe toujours, sont indiquées par la manière dont on obtient l'équation (6) et que nous avons précisé dans un autre travail ( 5 5 ^(5){ }^{5}5 ). On peut choisir ces valeurs m m mmm d'une infinité de manières: Dans la suite quand nous écrivons une équation (5) il est sous-entendu que cette équation reste vérifiée aussi quand on remplace h h hhh par m h m h mhm hmh où l'entier positif m m mmm prend un certain nombre de valeurs telles que la réduction à la forme (6) soit possible.
Le nombre h h hhh étant fixe, on vérifie immédiatement que toute solufion polynomiale de l'équation] (5) est nécessairement un polynome arbitraire de degré k − 1 k − 1 k-1k-1k−1 (si k = 0 k = 0 k=0k=0k=0 toute solution de cette nature est identiquement nulle).
Cette propriété a d'ailleurs lieu sans la restriction imposée à la substitution de h h hhh par m h m h mhm hmh. Autrement dit elle a lieu en prenant pour m m mmm la seule valeur 1 .
6. Comme généralisation du prob'ème étudié nous nous proposons d'examiner le système
(7) ∑ i = 0 n 1 a i f ( x + i ω 1 ) = 0 , ∑ i = 0 n 2 b i f ( x + i ω 2 ) = 0 (7) ∑ i = 0 n 1   a i f x + i ω 1 = 0 , ∑ i = 0 n 2   b i f x + i ω 2 = 0 {:(7)sum_(i=0)^(n_(1))a_(i)f(x+iomega_(1))=0","quadsum_(i=0)^(n_(2))b_(i)f(x+iomega_(2))=0:}\begin{equation*} \sum_{i=0}^{n_{1}} a_{i} f\left(x+i \omega_{1}\right)=0, \quad \sum_{i=0}^{n_{2}} b_{i} f\left(x+i \omega_{2}\right)=0 \tag{7} \end{equation*}(7)∑i=0n1aif(x+iω1)=0,∑i=0n2bif(x+iω2)=0
(5) Tib. Popoviciu "Sur certaines équations fonctionnelles définissant des polynomes", Mathematica t. X (1935), p. 197-211. Nous prions le lecteur de se rapporter à ce travajl.
formé par des équations de degré n 1 , n 2 n 1 , n 2 n_(1),n_(2)n_{1}, n_{2}n1,n2 et d'ordre k 1 , k 2 k 1 , k 2 k_(1),k_(2)k_{1}, k_{2}k1,k2, respec ⊤ ⊤ _(TT){ }_{\top}⊤ tivement. Les périodes, c'est à-dire les nombres ω 1 , ω 2 ω 1 , ω 2 omega_(1),omega_(2)\omega_{1}, \omega_{2}ω1,ω2, sont supposés indépendants. Le nombre n = max . ( n 1 , n 2 ) n = max . n 1 , n 2 n=max.(n_(1),n_(2))n=\max .\left(n_{1}, n_{2}\right)n=max.(n1,n2) sera appelé le degré du système "(7) et le nombre k = min . ( k 1 , k 2 ) k = min . k 1 , k 2 k=min.(k_(1),k_(2))k=\min .\left(k_{1}, k_{2}\right)k=min.(k1,k2) l'ordre de ce système. Pour fixer les idées nous supposons que k = k 1 ≤ k 2 k = k 1 ≤ k 2 k=k_(1) <= k_(2)k=k_{1} \leq k_{2}k=k1≤k2.
On voit immédiatement qu'on peut trouver deux entiers r 1 , r 2 r 1 , r 2 r_(1),r_(2)r_{1}, r_{2}r1,r2 : tels que
(8) Δ ω 1 ′ n = 0 , Δ ω 2 ′ n = 0 (8) Δ ω 1 ′ n = 0 , Δ ω 2 ′ n = 0 {:(8)Delta_(omega_(1)^('))^(n)=0","quadDelta_(omega_(2)^('))^(n)=0:}\begin{equation*} \Delta_{\omega_{1}^{\prime}}^{n}=0, \quad \Delta_{\omega_{2}^{\prime}}^{n}=0 \tag{8} \end{equation*}(8)Δω1′n=0,Δω2′n=0
en posant ω 1 ′ = r 1 ω 1 , ω 2 ′ = r 2 ω 2 ω 1 ′ = r 1 ω 1 , ω 2 ′ = r 2 ω 2 omega_(1)^(')=r_(1)omega_(1),omega_(2)^(')=r_(2)omega_(2)\omega_{1}^{\prime}=r_{1} \omega_{1}, \omega_{2}^{\prime}=r_{2} \omega_{2}ω1′=r1ω1,ω2′=r2ω2. Les nombres ω 1 ′ , ω 2 ′ ω 1 ′ , ω 2 ′ omega_(1)^('),omega_(2)^(')\omega_{1}^{\prime}, \omega_{2}^{\prime}ω1′,ω2′ sont encore idépendants et nous pouvons donc énoncer la propriété suivante:
Si les périodes ω 1 , ω 2 ω 1 , ω 2 omega_(1),omega_(2)\omega_{1}, \omega_{2}ω1,ω2 sont indépendantes, si lá fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) vérifie le système d'équations fonctionnelles
∑ i = 0 n 1 a i f ( x + i ω 1 ) = 0 , ∑ i = 0 n 2 b i f ( x + i ω 2 ) = 0 ∑ i = 0 n 1   a i f x + i ω 1 = 0 , ∑ i = 0 n 2   b i f x + i ω 2 = 0 sum_(i=0)^(n_(1))a_(i)f(x+iomega_(1))=0,quadsum_(i=0)^(n_(2))b_(i)f(x+iomega_(2))=0\sum_{i=0}^{n_{1}} a_{i} f\left(x+i \omega_{1}\right)=0, \quad \sum_{i=0}^{n_{2}} b_{i} f\left(x+i \omega_{2}\right)=0∑i=0n1aif(x+iω1)=0,∑i=0n2bif(x+iω2)=0
de degré n n nnn, d'ordre k k kkk et est continue en n n nnn points, elle se réduit à unpolynome de degré k − 1 k − 1 k-1k-1k−1.
On peut se demander si on ne pourrait pas réduire le nombre des points de continuité de la fonction tel que les conclusions restent les mêmes. En particulier, la continuité en k k kkk points seulement suffit-elle pour en conclure que la fonction se réduit à un polynome?'
Nous allons démontrer qu'il en est bien ainsi.
7. - Les équations (8) nous montrent que si on donne à x x xxx une valeur fixe et si la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) est supposée bornée en un point. elle se réduit sur les points x + p ω 1 ′ + q ω 2 ′ , p , q = 0 , ± 1 , ± 2 , … x + p ω 1 ′ + q ω 2 ′ , p , q = 0 , ± 1 , ± 2 , … x+pomega_(1)^(')+qomega_(2)^('),p,q=0,+-1,+-2,dotsx+p \omega_{1}^{\prime}+q \omega_{2}^{\prime}, p, q=0, \pm 1, \pm 2, \ldotsx+pω1′+qω2′,p,q=0,±1,±2,…. à un polynome de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1. En particulier, pour un x x xxx donné, la fonction se réduit sur les points x + s ω ˙ 1 + p ω 1 ′ + q ω 2 ′ , p , q = 0 , ± 1 , ± 2 , … x + s ω ˙ 1 + p ω 1 ′ + q ω 2 ′ , p , q = 0 , ± 1 , ± 2 , … x+somega^(˙)_(1)+pomega_(1)^(')+qomega_(2)^('),p,q=0,+-1,+-2,dotsx+s \dot{\omega}_{1}+p \omega_{1}^{\prime}+q \omega_{2}^{\prime}, p, q=0, \pm 1, \pm 2, \ldotsx+sω˙1+pω1′+qω2′,p,q=0,±1,±2,… à un polynome R s ( x ) R s ( x ) R_(s)(x)\mathrm{R}_{s}(x)Rs(x) de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1. Nous avons ainsi r 1 r 1 r_(1)r_{1}r1 polynomes R s ( x ) R s ( x ) R_(s)(x)\mathrm{R}_{s}(x)Rs(x) qui peuvent être distincts, mais on a toujours R s ( x ) = R s ′ ( x ) R s ( x ) = R s ′ ( x ) R_(s)(x)=R_(s^('))(x)\mathrm{R}_{s}(x)=\mathrm{R}_{s^{\prime}}(x)Rs(x)=Rs′(x) s. s = s ′ ( mod . r 1 ) s = s ′ mod . r 1 s=s^(')(mod.r_(1))s=s^{\prime}\left(\bmod . r_{1}\right)s=s′(mod.r1).
La fonctions f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) vérifie, par hypothèse, la relation
∑ i = 0 n 1 a i f ( x + i ω 1 ′ ) = 0 ∑ i = 0 n 1   a i f x + i ω 1 ′ = 0 sum_(i=0)^(n_(1))a_(i)f(x+iomega_(1)^('))=0\sum_{i=0}^{n_{1}} a_{i} f\left(x+i \omega_{1}^{\prime}\right)=0∑i=0n1aif(x+iω1′)=0
nous avons donc, pour chaque s s sss,
(9) ∑ i = 0 n 1 a i R s ( x + i ω 1 ′ ) = 0 (9) ∑ i = 0 n 1   a i R s x + i ω 1 ′ = 0 {:(9)sum_(i=0)^(n_(1))a_(i)R_(s)(x+iomega_(1)^('))=0:}\begin{equation*} \sum_{i=0}^{n_{1}} a_{i} R_{s}\left(x+i \omega_{1}^{\prime}\right)=0 \tag{9} \end{equation*}(9)∑i=0n1aiRs(x+iω1′)=0
pour une infinité de valeurs de x x xxx. Il en résulte immédiatement que les égalités (9) sont vérifiées identiquement en x x xxx. Le polynome R s ( x ) R s ( x ) R_(s)(x)\mathrm{R}_{s}(x)Rs(x) satisfait donc à une équation de la forme (5) et d'ordre k k kkk. Il en résulte que : les polynomes R s ( x ) R s ( x ) R_(s)(x)\mathrm{R}_{s}(x)Rs(x) sont de degré k − 1 k − 1 k-1k-1k−1.
De même, pour un x x xxx donné, la fonction se réduit sur les points. x + s ω 2 + p ω 1 ′ + q ω 2 ′ , p , q = 0 , ± 1 , ± 2 , … x + s ω 2 + p ω 1 ′ + q ω 2 ′ , p , q = 0 , ± 1 , ± 2 , … x+somega_(2)+pomega_(1)^(')+qomega_(2)^('),p,q=0,+-1,+-2,dotsx+s \omega_{2}+p \omega_{1}^{\prime}+q \omega_{2}^{\prime}, p, q=0, \pm 1, \pm 2, \ldotsx+sω2+pω1′+qω2′,p,q=0,±1,±2,… à un polynome S s ( x ) S s ( x ) S_(s)(x)S_{s}(x)Ss(x) de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1. Nous avons ainsi r 2 r 2 r_(2)r_{2}r2 polynomes S s ( x ) S s ( x ) S_(s)(x)S_{s}(x)Ss(x) qui peuvent être distincts, mais on a toujours S s ( x ) = S s ′ ( x ) S s ( x ) = S s ′ ( x ) S_(s)(x)=S_(s^('))(x)\mathrm{S}_{s}(x)=\mathrm{S}_{s^{\prime}}(x)Ss(x)=Ss′(x) si s = s ′ ( mod . r 2 ) s = s ′ mod . r 2 s=s^(')(mod.r_(2))s=s^{\prime}\left(\bmod . r_{2}\right)s=s′(mod.r2). Or, nous avons aussi, pour chaque s s sss,
∑ i = 0 n 1 a i S s ( x + i ω 1 ′ ) = 0 ∑ i = 0 n 1   a i S s x + i ω 1 ′ = 0 sum_(i=0)^(n_(1))a_(i)S_(s)(x+iomega_(1)^('))=0\sum_{i=0}^{n_{1}} a_{i} \mathrm{~S}_{s}\left(x+i \omega_{1}^{\prime}\right)=0∑i=0n1ai Ss(x+iω1′)=0
pour une infinité de valeurs de x x xxx. Il en résulte que les polynomes S s ( x ) S s ( x ) S_(s)(x)\mathrm{S}_{s}(x)Ss(x) sont aussi dè degré k − 1 k − 1 k-1k-1k−1.
La propriété énoncée au № 6 reste donc vraie si on suppose que la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) est continue seulement en l l lll points. Dans ce cas en effet tous les polynomes R s ( x ) , S s ( x ) R s ( x ) , S s ( x ) R_(s)(x),S_(s)(x)\mathrm{R}_{s}(x), \mathrm{S}_{s}(x)Rs(x),Ss(x) coïncident.
En particulier, nous pouvons énoncer la proposition suivante:
Si les périodes ω 1 , ω 2 ω 1 , ω 2 omega_(1),omega_(2)\omega_{1}, \omega_{2}ω1,ω2 sont indépendantes, si la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) vérifie : les équations fonctionnelles
∑ i = 0 n 1 a 1 f ( x + i m ω 1 ) = 0 , ∑ i = 0 n 2 b i f ( x + i m ω 2 ) = 0 m = 1 , 2 , … ∑ i = 0 n 1   a 1 f x + i m ω 1 = 0 , ∑ i = 0 n 2   b i f x + i m ω 2 = 0 m = 1 , 2 , … {:[sum_(i=0)^(n_(1))a_(1)f(x+imomega_(1))=0","quadsum_(i=0)^(n_(2))b_(i)f(x+imomega_(2))=0],[m=1","quad2","dots]:}\begin{gathered} \sum_{i=0}^{n_{1}} a_{1} f\left(x+i m \omega_{1}\right)=0, \quad \sum_{i=0}^{n_{2}} b_{i} f\left(x+i m \omega_{2}\right)=0 \\ m=1, \quad 2, \ldots \end{gathered}∑i=0n1a1f(x+imω1)=0,∑i=0n2bif(x+imω2)=0m=1,2,…
d'ordre 7 et est continue en k k kkk points, elle se réduit à un polynome de degré k − 1 k − 1 k-1k-1k−1.
8. - La restriction relative à la substitution de h h hhh par m h m h mhm hmh dans: (5) est essentielle.
Considérons le système
(10) f ( x ) + f ( x + ω 1 ) − f ( x + 2 ω 1 ) − f ( x + 3 ω 4 ) = 0 f ( x ) + f ( x + ω 2 ) − f ( x + 2 ω 2 ) − f ( x + 3 ω 2 ) = 0 (10) f ( x ) + f x + ω 1 − f x + 2 ω 1 − f x + 3 ω 4 = 0 f ( x ) + f x + ω 2 − f x + 2 ω 2 − f x + 3 ω 2 = 0 {:[(10)f(x)+f(x+omega_(1))-f(x+2omega_(1))-f(x+3omega_(4))=0],[f(x)+f(x+omega_(2))-f(x+2omega_(2))-f(x+3omega_(2))=0]:}\begin{align*} & f(x)+f\left(x+\omega_{1}\right)-f\left(x+2 \omega_{1}\right)-f\left(x+3 \omega_{4}\right)=0 \tag{10}\\ & f(x)+f\left(x+\omega_{2}\right)-f\left(x+2 \omega_{2}\right)-f\left(x+3 \omega_{2}\right)=0 \end{align*}(10)f(x)+f(x+ω1)−f(x+2ω1)−f(x+3ω4)=0f(x)+f(x+ω2)−f(x+2ω2)−f(x+3ω2)=0
qui est de degré 3 et d'ordre 1. Définissons la fonction de la manière suivante: Elle est égale à x x xxx en un point de la forme p ω 1 + q ω 2 p ω 1 + q ω 2 pomega_(1)+qomega_(2)p \omega_{1}+q \omega_{2}pω1+qω2 où p , q p , q p,qp, qp,q sont de même parité, est égale à − x − x -x-x−x en un point de la forme p ω 1 + q ω 2 p ω 1 + q ω 2 pomega_(1)+qomega_(2)p \omega_{1}+q \omega_{2}pω1+qω2 où p , q p , q p,qp, qp,q sont de parité différente et est nulle partout ailleurs.
Cette fonction est continue au point x = 0 x = 0 x=0x=0x=0, mais elle ne se réduit pas à un polynome et n'est pas une solution du système (10) à notre sens. Au contraire cette fonction vérifie les deux équations (10) seules.-
Cette même exemple nous montre que parmi les valeurs de m m mmm il faut nécessairement que figure r. Dans ce cas en effet on peut prendre r 1 = r 2 = 2 r 1 = r 2 = 2 r_(1)=r_(2)=2r_{1}=r_{2}=2r1=r2=2 et on voit que le système (8) est une conséquence des deux équations (10).
Il y a des cas particuliers où on peut beaucoup diminuer le nombres des valeurs à prendre pour m m mmm.
Remarquons que f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) vérifie l'équation de degré n n nnn où au lieu de h h hhh nous avons r h r h rhr hrh et "l'équation caractéristique est G ( z ) = 0 G ( z ) = 0 G(z)=0\mathrm{G}(z)=0G(z)=0, avec
G ( z r ) = F ( z ) F ( α z ) , … , F ( α r − 1 z ) G z r = F ( z ) F ( α z ) , … , F α r − 1 z G(z^(r))=F(z)F(alpha z),dots,F(alpha^(r-1)z)\mathrm{G}\left(z^{r}\right)=\mathrm{F}(z) \mathrm{F}(\alpha z), \ldots, \mathrm{F}\left(\alpha^{r-1} z\right)G(zr)=F(z)F(αz),…,F(αr−1z)
a étant une racine primitive d'ordre r r rrr de l'unité.
Il on résulte que si toutes les racines de l'équation caractéristique F ( z ) = 0 F ( z ) = 0 F(z)=0\mathrm{F}(z)=0F(z)=0 sont des racines d'ordre r r rrr de l'unité l'équation (6) est une conséquence de la seule équation (5).
Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
La fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x), vérifiant les trois équations fonctionnelles
∑ i = 0 n 1 a i f ( x + i ω 1 ) = 0 , ∑ i = 0 n 1 a i f ( x + i r ω 1 ) = 0 , ∑ i = 0 n 2 b i f ( x + i ω 2 ) ) ∑ i = 0 n 1   a i f x + i ω 1 = 0 , ∑ i = 0 n 1   a i f x + i r ω 1 = 0 , ∑ i = 0 n 2   b i f x + i ω 2 {:sum_(i=0)^(n_(1))a_(i)f(x+iomega_(1))=0,quadsum_(i=0)^(n_(1))a_(i)f(x+iromega_(1))=0,quadsum_(i=0)^(n_(2))b_(i)f(x+iomega_(2)))\left.\sum_{i=0}^{n_{1}} a_{i} f\left(x+i \omega_{1}\right)=0, \quad \sum_{i=0}^{n_{1}} a_{i} f\left(x+i r \omega_{1}\right)=0, \quad \sum_{i=0}^{n_{2}} b_{i} f\left(x+i \omega_{2}\right)\right)∑i=0n1aif(x+iω1)=0,∑i=0n1aif(x+irω1)=0,∑i=0n2bif(x+iω2))
  • d'ordre k ( k = k 1 ≤ k 2 ) k k = k 1 ≤ k 2 k(k=k_(1) <= k_(2))k\left(k=k_{1} \leq k_{2}\right)k(k=k1≤k2), se réduit à un polynome de degré k − 1 k − 1 k-1k-1k−1 si
  1. Les périodes ω 1 , ω 2 ω 1 , ω 2 omega_(1),omega_(2)\omega_{1}, \omega_{2}ω1,ω2 sont indépendantes.
    2 0 2 0 2^(0)2^{0}20. Toutes les racines de l'équation caractéristique a 0 + a 1 z + … a 0 + a 1 z + … a_(0)+a_(1)z+dotsa_{0}+a_{1} z+\ldotsa0+a1z+…. … . + a n 1 z n 1 = 0 … . + a n 1 z n 1 = 0 dots.+a_(n_(1))z^(n_(1))=0\ldots .+a_{n_{1}} z^{n_{1}}=0….+an1zn1=0 sont des racines d'ordre r r rrr de l'unité et toutes les racines de l'équation b 0 + b 1 z + … + b n 2 z n 2 = 0 b 0 + b 1 z + … + b n 2 z n 2 = 0 b_(0)+b_(1)z+dots+b_(n_(2))z^(n_(2))=0b_{0}+b_{1} z+\ldots+b_{n_{2}} z^{n_{2}}=0b0+b1z+…+bn2zn2=0 sont des racines d'un certain ordre de l'unité.
  2. La fonction est continue en k k kkk points.
Si on considère le système formé par la première et la troisième équation (avec m = 1 m = 1 m=1m=1m=1 seulement) la propriété reste vraie si
1 0 1 0 1^(0)1^{0}10 et 2 0 2 0 2^(0)2^{0}20 sont vérifiées
3 0 3 0 3^(0)3^{0}30 La fonction est continue en n n nnn points, n étant le degré du système.
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