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Traduction en anglais du titre
On the directions of complete indeterminacy of an elliptic function
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T. Popoviciu, Sur les directions d’indetermination complète d’une fonction elliptique, Bulletin des Sciences Mathématiques, 2e série, année 193, t. LX (1936), pp. 196-198 (in French).
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Bulletin des Sciences Mathématiques, 2e série
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SUR LES DIREGTIONS D'INDÉTERMINATION COMPLÉTE D'UNE FONGTION ELLIPTIQUE;
Par M. Tibère Popoviciu.
Une direction d'indétermination complète d'une fonction f(z)f(z) de la variable complexe zz est une demi-droite telle que si la variable zz la décrit, la fonction prend les valeurs aussi voisines qu'on le veut de toute valeur donnée. Cette notion a été introduite par M. Paul Montel (').
Dans ce petit travail nous nous proposons d'examiner les directions d'indétermination complète d'une fonction elliptique. Pour une telle fonction, il suffit évidemment de considérer seulement les demi-droites passant par l'origine. Dans un cours fait à l'Université de Cluj (Roumanie) M. Paul Montel a déjà démontré, et d'une manière très simple, que dans tout angle il existe au moins une direction d'indétermination complète. Autrement dit, l'ensemble des directions d'indétermination complète d'une fonction elliptique est partout dense dans tout angle.
Dans la suite, nous nous proposons de déterminer toutes les directions d'indétermination complète d'une fonction elliptique.
Soient omega_(1),omega_(2)\omega_{1}, \omega_{2} deux périodes indépendantes représentées par les points A, C et Delta\Delta une demi-droite passant par l'origine O et comprise, pour fixer les idées, dans l'angle AOC. Nous considérons le réseau de parallélogrammes formés à partir du parallélogramme initial OABC construit sur OA, OC. Il existe une infinité de parallélogrammes contenant des segments de Delta\Delta.
Amenons, par des translations égales à des périodes, tous ces segments dans le parallélogramme OABC. Nous aurons dans OABC
popoviciu.
une insinité de segments ò qui ont leurs extrémités sur les côtés. Il y a des segments ò qui ont une extrémité sur AB el d'autres qui ont une extrémité sur BC .
une insinité de segments ò qui ont leurs extrémités sur les côtés. Il y a des segments ò qui ont une extrémité sur AB el d'autres qui ont une extrémité sur BC .
L'ensemble des valeurs prises par la fonction sur la demi-droite Delta\Delta coïncide, en vertu de la périodicité, avec l'ensemble des valeurs prises dạns le parallélogramme OABC sur les segments delta\delta.
La demi-droite Delta\Delta coupe AB au point d'affixe omega_(1)+alphaomega_(2)\omega_{1}+\alpha \omega_{2} et BC au point d'affixe (1)/(alpha)omega_(1)+omega_(2)\frac{1}{\alpha} \omega_{1}+\omega_{2} où alpha\alpha est un nombre positif. On voit que les extrémités sur AB des segments delta\delta sont les points omega_(1)+(n alpha-[n alpha])omega_(2)\omega_{1}+(n \alpha-[n \alpha]) \omega_{2} et que les extrémités sur BCB C sont les points omega_(2)+((n)/( alpha)-[(n)/( alpha)])omega_(1)\omega_{2}+\left(\frac{n}{\alpha}-\left[\frac{n}{\alpha}\right]\right) \omega_{1}. nn est ici un nombre entier positif et [N] désigne le plus grand entier contenu dans NN.
Supposons d'abord que a soit un nombre rationnel, alors les nombres
{:(1)n alpha-[n alpha]","quad n=1","2","dots",":}\begin{equation*}
n \alpha-[n \alpha], \quad n=1,2, \ldots, \tag{1}
\end{equation*}
{:(2)(n)/( alpha)-[(n)/( alpha)]:}\begin{equation*}
\frac{n}{\alpha}-\left[\frac{n}{\alpha}\right] \tag{2}
\end{equation*}
ne prennent qu'un nombre fini de valeurs distinctes. Dans ce cas, il n'y a qu'un nombre fini de segments ò distincts. Or, l'ensemble des valeurs prises par la fonction sur un segment ò est évidemment partout non dense dans le plan de la fonction et il en sera ainsi encore pour l'ensemble des valeurs prises sur un nombre fini de segments delta\delta. Il en résulte que, dans ce cas, la demi-droite Delta\Delta n'est pas une direction d'indétermination complète.
Supposons maintenant que alpha\alpha soit un nombre irrationnel. Dans ce cas les nombres (I) sont partout denses dans l'intervalle ( 0,1 ) et il en est de mème des nombres (2). Il en résulte que les segments delta\delta sont partout denses dans le parallélogramme OABC . Or, toute valeur donnée est prise au moins une fois dans le parallélogramme OABC. On peut donc affirmer que, en vertu de la continuité de la fonction, l'ensemble des valeurs prises sür les segments o est partout dense dans le plan de la fonction. Il en résulte donc que, dans ce cas, la demi-droite Delta\Delta est une direction d'indétermination complète.
d'indétermination complète ou non, suivant que le nombre a est irrationnel ou rationnel.
Soient theta_(1),theta_(2)\theta_{1}, \theta_{2}, les angles des directions OA,OC\mathrm{OA}, \mathrm{OC} avec la direction Delta\Delta; nous avons
alpha=|(omega_(1))/(omega_(2))|(sin 0_(1))/(sin 0_(2))\alpha=\left|\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}\right| \frac{\sin 0_{1}}{\sin 0_{2}}
qui est aussi égal au rapport des distances des points A,CA, C à la demi-droite Delta\Delta. Le caractère de rationalité du nombre alpha\alpha ne dépend pas des périodes omega_(1),omega_(2)\omega_{1}, \omega_{2} choisies. En effet, si nous prenons deux autres périodes indépendantes
{:[omega_(1)^(')=aomega_(1)+bomega_(2)","quadomega_(2)^(')=comega_(1)+domega_(2)],[(a","b","c","d" réels et entiers ";ad-bc!=0)","]:}\begin{gathered}
\omega_{1}^{\prime}=a \omega_{1}+b \omega_{2}, \quad \omega_{2}^{\prime}=c \omega_{1}+d \omega_{2} \\
(a, b, c, d \text { réels et entiers } ; a d-b c \neq 0),
\end{gathered}é
le nombre alpha\alpha deviendra (a alpha+b)/(c alpha+d)\frac{a \alpha+b}{c \alpha+d}. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant:
Pour qu'une direction Delta\Delta soit d'indétermination complète il faut et il suffit que le rapport des distances à Delta\Delta de deux points périodes indépendantes quelconques soit irrationnel.
Bien entendu, on considère seulement des périodes qui ne se trouvent pas sur Delta\Delta.
Nous voyons donc que presque toutes les directions passant par l'origine sont d'indétermination complète. Nous n'avons qu'un ensemble dénombrable de demi-droites qui ne sont pas d'indétermination complète. Il est à remarquer que ces dernières directions sont partout denses dans tout angle.
(Extrait du Bulletin des Sciences mathématiques, 2^(@)2^{\circ} série, t. LX; Juillet 1936.)
(Extrait du Bulletin des Sciences mathématiques, 2^(@)2^{\circ} série, t. LX; Juillet 1936.)
- ( ^(1){ }^{1} ) Paul Montel, Sur les séries de fractions rationnelles (Publications mathématiques de l'Université de Belgrade, t. 1, 1932, p. 11).
- Finalement, on voit que la demi-droite Delta\Delta est une direction