1. 1.

   Considérons la famille d’équations de degré $n$

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$$f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots+a_{n}=0$$

(1)

ayant toutes leurs racines réelles et pour lesquelles $a_{1},a_{2}$ ont des : valeurs données. On voit facilemment que les racines, donc aussi les autres coefficients, restent bornés.

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Nous avons

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$$\Delta=(n-1)a_{1}^{2}-2na_{2}\geq 0,$$

l’égalité n’étant possible que si toutes les racines de (1) sont égales.
Les équations (1), prenant les valeurs $a_{1},a_{2}$, et ayant au plus deux racines distinctes sont :

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$$\begin{gathered}f_{k}(x)=\left(x+\frac{ka_{1}-\sqrt{k(n-k)\Delta}}{kn}\right)^{k}\left(x+\frac{(n-k)a_{1}+\sqrt{k(n-k)\Delta}}{n(n-k)}\right)^{n-k}=0\\ k=1,2,\ldots,n-1\end{gathered}$$

Si $x_{i}$ est une racine de l’équation (1) on a

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$$(n-2)\left(a_{1}+x_{i}\right)^{2}-2(n-1)\left(a_{2}+a_{1}x_{i}+x_{i}^{2}\right)\geq 0$$

l’égalité n’étant possible que si toutes les racines, autres que $x_{i}$, sont égales.

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Nous avons donc la propriété suivante :
La limite supérieure des racines des équations (1) n’est alteinte que pour l’équation $f_{1}(x)=0$ et leur limite inférieure seulement pour l’équaiion $f_{n-1}(x)=0$.

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Nous avons pour toute racine $x_{i}$

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$$-\frac{a_{1}+\sqrt{(n-1)\Delta}}{n}\leq x_{i}\leq-\frac{a_{1}-\sqrt{(n-1)\Delta}}{n}$$

Pour que l’équation (1) ait toujours áes racines de mêmes signes il faut et il suffit que

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$$(n-1)a_{1}^{2}-2na_{2}\geq 0,\quad(n-2)a_{1}^{2}-2(n-1)x_{2}\leq 0$$

Les racines sont alors toujours non-négatives ou non-positives suivant que $a_{1}\leq 0$ ou $a_{1}\geq 0$.
2. Remarquons que deux coefficients consécutifs d’une équation ayant toutes ses racines réelles ne peuvent pas être nuls à la fois. De la, en regardant la courbe représentative de l’équation

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$$f^{(n-3)}(x)=0$$

(2)

et tenant compte d’une transformation linéaire éventuelle, on déduit que
Le coefficient $a_{3}$ atteint son minimum seulement pour l’équation $f_{1}(x)=0$ et son maximum seulement pour $f_{n-1}(x)=0$.

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Cette propriété n’est autre que la condition de réalité des racines $x_{1}{}^{\prime\prime\prime}\leq x_{2}{}^{\prime\prime\prime}\leq x_{3}{}^{\prime\prime\prime}$ de l’équation (2) et s’exprime expliciternent par l’inégalité
(3) $\quad(n-2)^{2}\Delta^{3}-(n-1)\left[(n-1)(n-2)a_{1}^{3}-3n(n-2)a_{1}a_{2}+3n^{2}a_{3}\right]^{2}\geq 0$,
l’égalité n’étant possible que pour les équations $f_{1}(x)=0,f_{n-1}(x)=0$.
3. Proposons-nous de déterminer le maximum du plus petit intervalle contenant les racines. Ce maximum est nécessairement atteint.

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Supposons que l’équation (1) ait au moins quatre racines distinotes
(4)

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$$\begin{gathered}f(x)=g(x)\cdot\mathrm{P}(x)\\ g(x)=x^{n-4}+b_{1}x^{n-5}+\cdots+b_{n-4}\\ \mathrm{P}(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)=x^{4}+c_{1}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{3}x+c_{4}\\ \delta<\gamma<\beta<\alpha\end{gathered}$$

æt étant la plus grande et ô la plus petite racine de (1). Nous avons

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	$\displaystyle c_{1}+b_{1}$	$\displaystyle=a_{4}$
	$\displaystyle c_{2}+c_{4}b_{1}+b_{2}$	$\displaystyle=a_{2}$
	$\displaystyle c_{4}+c_{3}\alpha+c_{2}\alpha^{2}+c_{1}\alpha^{3}+\alpha^{4}$	$\displaystyle=0$
	$\displaystyle c_{4}+c_{3}\delta+c_{2}\delta^{2}+c_{1}\delta^{3}+\delta^{4}$	$\displaystyle=0$

Laissons fixe le polynome $g(x)$, nous avons alors un système de quatre équations linéaires en $c_{4},c_{2},c_{3},c_{4}$ dont le déterminant est différent de zéro. Remplaçant $\alpha,\delta$ par $\alpha^{\prime},\delta^{\prime}$ respectivement nous avons un nouveau système auquel correspoud le polynome $\mathrm{P}_{1}(x)$ ayant pour zéros $\alpha^{\prime},\beta^{\prime},\gamma^{\prime},\delta^{\prime}$. Si $\alpha^{\prime},\delta^{\prime}$ sont assez voisins de $\alpha,\delta$ respectivement, $\beta^{\prime},\gamma^{\prime}$ sont réels et on a $\delta^{\prime}<\gamma^{\prime}<\beta^{\prime}<\alpha^{\prime}$. Le polynome $f^{*}(x)=g(x)$. $\mathrm{P}_{1}(x)$ prend les coefficients donnés $a_{1},a_{2}$. Prenant $\alpha^{\prime}>\alpha$, $\delta>\delta^{\prime}$ on voit que le maximum en question ne peut être atteint pour une équation ayant au moins quatre racines distinctes.

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Le maximum ne poura donc être atteint que pour une équation de la forme
(5)

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$$\begin{gathered}f(x)=(x-\alpha)^{n_{1}}(x-\beta)^{n_{2}}(x-\gamma)^{n_{3}}=0\\ n_{1}+n_{2}+n_{3}=n,\alpha\geq\beta\geq\gamma.\end{gathered}$$

Par un procédé analogue à celui employé plus haut, en posant $f(x)=g(x)\mathrm{P}(x)$ avec $\mathrm{P}(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$, on montre facilement que le maximum ne peut être atteint si $n_{1}+n_{3}>2$. Un calcul simple nous montre alors qu’il faut prendre $n_{1}=n_{3}=1,\beta=-\frac{a_{1}}{n}$ donc,

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Le plus petit intervalle contenant les racines de l’équation (1) est au plus égal à

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$$\sqrt{\frac{2}{n}\Delta}$$

• —

  Ia limite n’étart atteinte que pour l’équation

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$$\left(x^{2}+\frac{2}{n}a_{1}x+a_{2}-\frac{(n+1)(n-2)}{2n^{2}}a_{1}^{2}\right)\left(x+\frac{a_{4}}{n}\right)^{n-2}=0.$$

On peut aussi énoncer cette propriété de la manière suivante :
Si $x_{1}{}^{\prime\prime}\leq x_{2}{}^{\prime\prime}$ sont les racines de la $(n-2)^{\text{àme }}$ dérivée $f^{(n-2)}(x)=0$, Ibs racines ide l’équation (1) sont toutes dans un intervalle de longueur au plus égale à

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$$\left(x_{2}^{\prime\prime}-x_{1}^{\prime\prime}\right)\sqrt{\frac{n(n-1)}{2}}$$

1. 4.

   Nous pouvons chercher aussi le minimum de la longueur, dúa plus petit intervalle contenant les recines. Mettons l’équation (1) sous : la forme (4). Construisons encore le polynome $f^{*}(x)$ en posant $a^{\prime}<\alpha_{p}$ $\delta<\delta^{\prime}$ et si $\alpha,\delta$ ne sont pas de zéros simples répétons-la même. opération sur $f^{*}(x)$ jusqu’à ce que nous arrivons à un polynome dontc les zéros extrèmes sont simples. On voit de cette façon que le minimum ne peut être atteint que par une équation de la forme (5). Une discution simple nous montre que le minimum ne peut être atteint que si $\alpha=\beta$ ou $\beta=\gamma$ donc si l’équation as au plus deux racines distinctes.

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On trouve facilement que :
Le plus petit intervalle contenant toutes les racines de l’equations. (1) est au moins égale à

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$$\frac{2}{n}\sqrt{\Delta}\text{ si }n\text{ est pair, }\frac{2}{\sqrt{n^{2}-1}}\sqrt{\Delta}\text{ si }n\text{ est impair }$$

la limite n’étant atteinte que pour l’équation $\frac{f_{n}}{2}(x)=0$ si $n$ est pair et pour les équations $\frac{f_{\frac{n-1}{2}}(x)}{2}=0,\frac{f_{n+1}}{2}(x)=0$. si $n$ est impair.

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On retrouve encore ces équations si on cherche à déterminer leplus petit intervalle de centre $-\frac{a_{1}}{n}$ contenant toujours au moins uneracine de l’équation (1). Soit en effet $\left(-\lambda-\frac{a_{1}}{n},\lambda-\frac{a_{1}}{n}\right)$ cet intervalle. On montre comme plus haut que pour la détermination de $\lambda$ il suffit de considérer seulement les équations de la forme (5). Une discution simple, que nous no reproduisons pas nous montre que :

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L’équation (1) a toujours au moins une racine dans l’intervalle : (fermé)

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$$\begin{array}[]{ll}\left(-\frac{a_{1}}{n}-\frac{1}{n}\sqrt{\Delta},-\frac{a_{1}}{n}+\frac{1}{n}\sqrt{\Delta}\right)&n\text{ pair }\\ \left(-\frac{a_{1}}{n}-\frac{1}{n}\sqrt{\frac{n-1}{n+1}\Delta},-\frac{a_{1}}{n}+\frac{1}{n}\sqrt{\frac{n-1}{n+1}\Delta}\right)&n\text{ impair }\end{array}$$

• —
  1. 1.

     Considérons maintenant l’ensemble des équations (1) ayant lleurs racines toutes réelles et pour lesquelles les coefficients $a_{1},a_{2}$, - $a_{3}$ sont donnés.

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Cherchons à déterminer une équation de la forme

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$$(6)\quad(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)^{n-2}=0,\quad\alpha,\beta,\gamma\text{ réels }$$

prenant les coefficients donnés.
Nous avons au plus trois équations de cette forme avec $\gamma$ réel suivant que cette racine est égale a l’une des racines $x_{1}{}^{\prime\prime\prime}\leq x_{2}{}^{\prime\prime\prime}\leq x_{3}{}^{\prime\prime\prime}$ - de l’équation $f^{(n-8)}(x)=0$.

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Ecartons les cas $x_{1}{}^{\prime\prime\prime}=x_{2}^{\prime\prime\prime}\leq x_{3}{}^{\prime\prime\prime},x_{4}{}^{\prime\prime\prime}\leq x_{2}{}^{\prime\prime\prime}=x_{3}{}^{\prime\prime\prime}$ où le polynome (1) est nécessairement de la forme $f_{1}(x)$ ou $f_{n-1}(x)$.

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Supposens done que

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$$x_{1}^{\prime\prime\prime}<x_{2}^{\prime\prime\prime}<x_{3}^{\prime\prime\prime}.$$

(7)

Si on a $\gamma=x_{2}{}^{\prime\prime\prime}$ le polynome (6) doit nécessairement être identique à

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	$\displaystyle f^{*}(x)=\left[\left(xx_{2}^{\prime\prime\prime}\right)^{2}+\frac{n}{3}\left(2x_{2}^{\prime\prime\prime}-x_{4}^{\prime\prime\prime}-x_{3}^{\prime\prime\prime}\right)\left(x-x_{2}^{\prime\prime\prime}\right)+\right.$
		$\displaystyle\left.\quad+\frac{n(n-1)}{6}\left(x_{2}^{\prime\prime\prime}-x_{1}^{\prime\prime\prime}\right)\left(x_{2}^{\prime\prime\prime}-x_{3}^{\prime\prime\prime}\right)\right]\cdot\left(x-x_{2}^{\prime\prime\prime}\right)^{n-2}$

et l’équation $f^{*}(x)=0$ a, en vertu de (7), toutes ses racines réelles.
Si la forme (6) est péelle avec $\gamma=x_{1}{}^{\prime\prime\prime}{}^{(2)}$ elle est nécessairement -identique à

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		$\displaystyle{\left[\left(x-x_{1}^{\prime\prime\prime}\right)^{2}+\frac{n}{3}\left(2x_{1}^{\prime\prime\prime}-x_{2}^{\prime\prime\prime}-x_{3}^{\prime\prime\prime}\right)\left(x-x_{1}^{\prime\prime\prime}\right)+\right.}$
		$\displaystyle\left.\quad+\frac{x(n-1)}{6}\left(x_{1}^{\prime\prime\prime}-x_{3}^{\prime\prime\prime\prime}\right)\left(x_{4}^{\prime\prime\prime}-x_{2}^{\prime\prime\prime}\right)\right]\cdot\left(x-x_{1}^{\prime\prime\prime}\right)^{n-2}$

d’où la condition de réalité
(8) $\quad\frac{n^{2}}{9}\left(2x_{1}^{\prime\prime\prime}-x_{2}^{\prime\prime\prime}-x_{3}^{\prime\prime\prime}\right)^{2}-\frac{2n(n-1)}{3}\left(x_{1}^{\prime\prime\prime}-x_{3}^{\prime\prime\prime}\right)\left(x_{1}^{\prime\prime\prime}-x_{2}^{\prime\prime\prime}\right)\geq 0$

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Posons pour simplifier

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$$p=\frac{x_{3}^{\prime\prime\prime}-x_{2}^{\prime\prime\prime}}{x_{2}^{\prime\prime\prime}-x_{1}^{\prime\prime\prime}}$$

⁽²⁾ Nous disons, pour simplifier, cque la forme (6) est réelle si $\alpha$ et $\beta$ sont réels.
qui est un nombre posilif. L’inégalité (8) devient

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$$\rho\geq\frac{n-3+\sqrt{3(n-1)(n-3)}}{n}.$$

(9)

De même nous trouvons que la forme (6) est réelle pour $\gamma=\boldsymbol{x}_{\mathbf{3}}{}^{\text{308- }}$ seulement si

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$$\frac{1}{\rho}\geq\frac{n-3+\sqrt{3(n-1)(n-3)}}{n}$$

(10)

Remarquons encore que le second membre des inégalités (9) et (10) croit avec $n$ et tend vers $1+\sqrt{3}$, donc si e est à l’extérieur (au sens strict) de l’intervalle

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$$\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2},1+\sqrt{3}\right)\quad\text{ ou }\quad(0,366\ldots,2,732\ldots)$$

une des formes (6) avec $\gamma=x_{1}$ "" ou $\gamma=x_{3}$ "’ est réelle quel que soit le degré du polynome $f(x)$.
6. Toute racine $x_{i}$ de l’équation doit vérifier une certaine inégalité." Cette inégalité sobtient de (3) en y remplaçant $n,a_{1.,}a_{2},a_{3}$ par $n-1,\quad a_{1}+x_{i},\quad a_{2}+a_{1}x_{i}+x_{i}^{2},\quad a_{3}+a_{2}x_{i}+a_{1}x_{i}^{2}+x_{i}^{3}$ respectivement. Le maximum et le minimum de $x_{i}$ annulerons le premier membre de cetto inégalité. D’autre part si $x_{i}$ annule cette expression le polynome (1) est nécessairement de la forme (6). Le maximum et le minimum des racines ne peuvent donc être atteints que par une équation de la forme (6). Cette affirmation est justifiée par le fait qu’il y a toujoursau moins une forme réelle (6).

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Tenant compte de (9) on vérifie facilement que si (6) est réel. avec $\gamma=x_{1}{}^{\prime\prime}$ " les racines de l’équation
$\left(x-x_{1}^{\prime\prime\prime}\right)^{2}+\frac{n}{3}\left(2x_{1}^{\prime\prime\prime}-x_{2}^{\prime\prime}-x_{3}^{\prime\prime\prime}\right)\left(x-x_{1}^{\prime\prime\prime}\right)+\frac{n(n-1)}{6}\left(x_{1}^{\prime\prime\prime}-x_{3}^{\prime\prime\prime}\right)\left(x_{1}^{\prime\prime\prime}-x_{2}^{\prime\prime\prime}\right)=0$
sont toujours comprises entre les racines de l’équation
$\left(x-x_{2}{}^{\prime\prime\prime}\right)^{2}+\frac{n}{3}\left(2x_{2}{}^{\prime\prime}-x_{1}{}^{\prime\prime\prime}-x_{3}{}^{\prime\prime\prime}\right)\left(x-x_{2}{}^{\prime\prime}\right)+\frac{n(n-1)}{6}\left(x_{2}{}^{\prime\prime}-x_{1}{}^{\prime\prime\prime}\right)\left(x_{2}{}^{\prime\prime\prime}-x_{3}{}^{\prime\prime\prime}\right)=0$.
On a la même propriélé pour la forme (6) avec $\gamma=x_{3}$ "’ si elle est réelle.

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On peut donc énoncer la propriété suivante :
Les limites supérieure et inférieure des racines ne sont atteintes. que par l’equation $f^{*}=0$.
¿ Nous voyons aussi qie les racines de l’équation (1) sont toujours-
comprises dans un intervalle de longueur au plus égale à

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$$\frac{x_{3}^{\prime\prime\prime}-x_{1}^{\prime\prime\prime}}{3}\sqrt{n^{2}+2n(n-3)\frac{\rho}{(1+\rho)^{2}}}$$

Le radical est maximum pour $\rho=1$, donc
Si $x_{1}{}^{\prime\prime},x_{3}{}^{\prime\prime}$ sont la plus petite et la plus grande racine de los $(n-3)$ ème dérivée $f^{(n-3)}(x)=0$, les racines de l’équation donnée sont toutes dans un intervalle de longueur au plus égale à

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$$\left(x_{3}^{\prime\prime\prime}-x_{1}^{\prime\prime\prime}\right)\sqrt{\frac{n(n-1)}{6}}.$$

1. 7.

   En egardant la courbe $f^{(n-4)}(x)=0$ nous voyons que

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Le minimum de a $a_{4}$ n’est atteint que pour l’équation $f^{*}(x)=0$.
Considérons la fonction symétrique des racines
(11)

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$$\Sigma\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}\left(x_{j}-x_{k}\right)^{2}\left(x_{k}-x_{l}\right)^{2}$$

de l’équation (1).
Cette expression étant de la forme $\mathrm{A}-2\Delta a_{4}$, où A ne dépend que de $a_{1},a_{2},a_{3}$, sera maximum pour l’équation $f^{*}(x)=0$. Nous pouvons donc dire que si $a_{4},a_{2}$ sont donnés (11) est maximum seulement pour une équation de la forme (5) dans laquelle $n_{1}=n_{3}=1$, $n_{2}=n-2$. Un calcul simple nous montre alors que ce maximum est atteint seulement si $2\beta=\alpha+\gamma$.

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Nous en déduisons donc la propriété suivante :
Si l’équation (1) a toutes ses racines réelles on a

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$$\Sigma\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}\left(x_{i}-x_{k}\right)^{2}\left(x_{k}-x_{i}\right)^{2}\leq\frac{n-2}{2n^{3}}\Delta^{3}$$

l’égalité n’étant possible que pour l’équation

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$$\left(x^{2}+\frac{2}{n}a_{1}x+a_{2}-\frac{(n+1)(n-2)}{2n^{2}}a_{1}^{2}\right)\left(x+\frac{a_{1}}{n}\right)^{n-2}=0.$$

1. 8.

   On peut également chercher le maximum du coefficient $a_{4}$. On peut montrer facilement que ce maximum, atteint nécessairement, ne l’est que par une équation de la forme (5). Il est à remarquer que la forme de l’équation maximisante n’est pas invariable et change suivant les valeurs de $\rho$. Nous n’insistons pas ici sur ce point.

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Un des problèmes traités plus haut se généralise sans dificulté comme nous le verrons au Chapitre suivant.

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1. 9.

   Désignons par $\mathrm{R}(f)$ la plus grande racine (ou l’une d’elles s’il y a plusieurs) de l’équation (1). Nous désignerons donc par $\mathrm{R}\left(f^{(k)}\right)$ la plus grande racine de la kème derivée $f^{(k)}(x)=0$.

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D’après un théorème classique on a

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$$\mathrm{R}\left(f^{\prime}\right)\geq\mathrm{R}\left(f^{\prime}\right)\geq\ldots\geq\mathrm{R}\left(f^{(n-1)}\right)$$

Remarquons que si $x_{0}$ est racine d’ordre $k>1$ de multiplicité de l’équation dérivée il est nécessairement racine d’ordre $k+1$ de l’équation donnée. On en déduit facilement que la seule disposition générale possible est la suivante :

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$$\mathrm{R}(f)=\mathrm{R}\left(f^{\prime}\right)=\ldots=\mathrm{R}\left(f^{(i)}\right)>\mathrm{R}\left(f^{(i+1)}\right)>\ldots>\mathrm{R}\left(f^{(i-1)}\right)$$

et alors $\mathrm{R}(f)$ est racine d’ordre $i+1$ de multiplicité pour l’équation (1) et $\mathrm{R}\left(f^{(j)}\right)$ est racine simple de l’équation $f^{(j)}(x)=0$ pour $j=i+1$, $i+2,\ldots,n-1$.

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Le polynome (1) est en général de la forme suivante :

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$$\begin{gathered}f(x)=\left(x-\alpha_{1},n_{1}\left(x-\alpha_{2}\right)^{n_{2}}\ldots\left(x-\alpha_{k}\right)^{n_{k}}\right.\\ n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{k}=n,\quad\alpha_{1}>\alpha_{2}>\ldots>\alpha_{k}\end{gathered}$$

L’équation dérivée $f(x)=0$ a deux sortes de racines. D’abord $k-1$ racines $\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{k-1}$ distinctes des $\alpha_{i}$ et séparées par ces dernières

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$$\alpha_{1}>\beta_{1}>\alpha_{2}>\beta_{2}>\ldots>\alpha_{k-1}>\beta_{k-1}>\alpha_{k}$$

Si $n_{i}=1$ toutes les racines différentes des $\beta_{j}$ restent fixes.
Si $n_{i}>1$ il y a une racine de la dérivée qui se détache de $\boldsymbol{\alpha}_{i}$, mais elle varie évidemment dans le même sens que $\alpha_{l}$. Cette racine est donc une fonction croissante de la racine variée de l’équation donnée. Toutes les autres racines distinctes des $\beta_{j}$ restent fixes.

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Il reste à examiner la variation d’une racine $\beta_{1}$.
Supposons $j\leq i-1$ pour fixer les idées et posons alors

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$$\phi(x)=\frac{f(x)}{x-\alpha_{i}}$$

On a

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$$\phi\left(\beta_{j}\right)\neq 0\text{ et sig. }\phi(\beta i)=\text{ sig. }(-1)^{n_{1}+n_{2}+\ldots n_{i}(3)}$$

Mais on a aussi

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$$\phi^{\prime}\left(\beta_{j}\right)\left(\beta_{j}-\alpha_{i}\right)+\phi\left(\beta_{j}\right)==0$$

adoù $\phi^{\prime}\left(\beta_{/}\right)\neq 0$ et comme $\beta_{j}-\alpha_{i}>0$ on trouve

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$$\operatorname{sig}.\phi^{\prime}\left(\beta_{j}\right)=\operatorname{sig}.(-1)^{n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{j}-1}$$

Posons maintenant

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$$F(x)=\phi(x)\left(x-\alpha_{i}^{\prime}\right)$$

$\alpha_{i}^{*}$ étant dans le voisinage de $\alpha_{i}$. Nous trouvons

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$$\mathrm{F}^{\prime}\left(\beta_{j}\right)=\left(\alpha_{i}-\alpha_{j}^{\prime}\right)\phi^{\prime}\left(\beta_{j}\right)$$

d’où

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$$\text{ sig. }\mathrm{F}^{\prime}\left(\beta_{l}\right)=\operatorname{sig}\cdot(-1)^{n_{i}+n_{2}+\cdots+n_{j}-1}\times\operatorname{sig}\cdot\left(\alpha_{i}-\alpha_{i}^{\prime}\right)$$

Mais, dans le voisinage gauche de $\alpha_{j}$ on a

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$$\text{ sig. }\mathrm{F}^{\prime}(x)=\text{ sig. }(-1)^{n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{j}-1}$$

et, $\alpha^{\prime}{}_{i}$ étant suffisamment près de $\alpha_{i},\mathrm{\penalty 10000\ F}^{\prime}(x)=0$ a une seule racine dans l’intervalle $\left(\alpha_{j},\alpha_{j+1}\right)$ [si $j=i-1\quad a_{i}$ est remplacé ici par $\alpha^{\prime}{}_{i}$ ] qui est précisément la racine $\beta_{j}$ variée ; soit $\varepsilon_{j}^{\prime}$. Il en résulte que

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$$\operatorname{sig}.\left(\beta_{1}-\beta_{j}^{\prime}\right)=\operatorname{sig}.\left(\alpha_{i}-\alpha_{i}^{\prime}\right)$$

done $\beta_{j}$ est une fonction croissante de la racine $\alpha_{i}$ variée.
On obtient la même propriété et on la démontre de la même manière si $j\geq i$.

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Nous n’avons donné la démonstration que pour les variations de $\boldsymbol{\alpha}_{i}$ autour de sa position initiale. Il est facile de voir que la propriété reste vraie pour toute variation de $\alpha_{i}$ si on a soin de numéroter préalablement les racines de l’équation dérivée et de ne pas changercette numérotation même si ces racines passent l’une par l’autre.
11. La propriété précédement démontrée a quelques conséquences intéressantes.

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On voit par exemple que si

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$$f(x)=g(x)(x-\alpha)h(x)$$

où $g(x)$ est un polynome fixe de degré $k(k<n-1)$ dont les zéros sont au moins égaux à $\alpha$ et $h(x)$ un polynome dont les zéros sont au
(3) On posse comme d’habitude sig. $z=1,0,-1$ suivant que $z>,=,<0$.
plus égaux à $\alpha$, on a

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$$\mathrm{R}\left(f^{\prime}\right)\leq\mathrm{R}\left(\left(g(x)(x-\alpha)^{n-k}\right)^{\prime}\right)$$

l’égalité n’étant possible que si $h(x)=(x-\alpha)^{n-k-1}$.
En laissant toujours fixes la racine $\alpha$ el le polynome $g(x)$ on voit que

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$$\min.\mathrm{R}\left(f^{\prime}\right)=\mathrm{R}\left(\left(g(x)(x-\alpha)^{\prime}\right)\right.$$

On approchera en effet indéfiniment ce minimum en faisant tendre vers $-\infty$ les zéros de $h(x)$. On peut aussi éviter les infinis par une transformation simple. Nous pouvons supposer $\alpha>0$ sans restreindre la généralité. Il suffit alors de faire la transformation $x\left\lvert\,\frac{1}{x}\right.$ sur l’équation $f(x)=0$ et appliquer les resultats du No. précédent à la plus. petite racine positive de cette équation.

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$$a+\frac{b-a}{n}\geq R\left(f^{\prime}\right)>\frac{a+b}{2}$$

l’égalité ne pouvant avoir lieu que pour $g(x)=(x-b)^{n-2}$ et la limite inférieure ne pouvant être remplacée par aucun autre nombre plus petit.

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Si $u>3$ et $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)g(x),a>a\geq c$, où les zéros : de $g(x)$ sont au plus égaux à $c$, on a
$\frac{2(a+b+c)+(n-3)(a+b)+\sqrt{2\left[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right]+(n-3)(n+1)(n-b)^{2}}}{2n}\geq$

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$$\geq\mathrm{R}\left(f^{\prime}\right)>\frac{2(a+b+c)+\sqrt{2\left[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}-(c-a)^{2}\right]}}{6}$$

l’égalité n’étant possible gue pour. $g(x)=(x-c)^{n-3}$ et la limite inférieure ne pouvant être remplacée par aucun nombre plus petit.

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Les resultats du No. précédent s’appliquent aussi aux racines des équations $f^{\prime\prime}(x)=0,f^{\prime\prime\prime}(x)=0,\ldots$ etc. $\mathrm{C}\theta$ que nous avons dit sur la limitation de $\mathrm{R}\left(f^{\prime}\right)$ peut facilement être étendu aux racines $\mathrm{R}\left(f^{\prime\prime}\right)$, $\mathrm{R}\left(f^{\prime\prime\prime}\right),\ldots$ etc. On peut donc obtenir diverses inégalités pour ces. racines comme précédemment. Supposons par exemple que

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$$\mathrm{R}(f)=\mathrm{R}\left(f^{\prime}\right)=\ldots=\mathrm{R}\left(f^{(k-1)}\right)>\mathrm{R}\left(f^{(k)}\right)$$

ot soit $\phi(x)$ un facteur, non constante, du polynome $f(x)$. Nous avons

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$$\mathrm{R}\left(f^{(i)}\right)>\mathrm{R}\left(\phi^{(i)}\right),\quad i\geq k$$

où $i+1$ ne doit pas dépasser le degré du polynome $\phi(x)$.
Laguerre a démontré que si $\alpha<\beta$ sont deux racines consécutives de l’équation (1) il n’y a aucune racine de l’équation dérivée dans les intervalles $\left(\alpha,\alpha+\frac{\beta-\alpha}{n}\right),\left(\beta-\frac{\beta-\alpha}{n},\beta\right)$. On voit que plus exactement s’il y a $k$ racines à gauche de $\alpha$ ou confondes avec $\alpha$ il n’y a acune. racine de la dérivée dans les intervalles $\left(\alpha,\alpha+\frac{\beta-\alpha}{n-k}\right),\left(\beta-\frac{\beta-\alpha}{k+2},\beta\right)\left({}^{4}\right)$
12. Soit $\lambda$ la longueur du plus petit intervalle contenant les racines de l’équation (1). Les racines de l’équation dérivée sont toutes : dans un intervalle de longueur au moins égale à $A.\lambda$.

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Nous nous proposons de déterminer ce nombre à qui est évidemment plus petit que 1. Sans restreindre la généralité nous pouvons. prendre

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$$f(x)=\left(x^{2}-1\right)g(x)$$

où les racines de $g(x)=0$ sont toutes dans l’intervalle ( $-1,1$ ) ; soient $\alpha,\beta$ la plus grande et la plus peitite racine de cette équation et $\alpha^{\prime},\beta^{\prime}$ la plus grande et la plus petite racine de $f^{\prime}(x)=0$. Il s’agit de déterminer le minimum de $\alpha^{\prime}-\beta^{\prime}$.

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Si $\alpha=1,\beta=-1$ nous avons $\alpha^{\prime}-\beta^{\prime}=2$.
Si $\alpha=1,\beta>-1$ ou $\alpha<1,\beta=-1$ d’après les résultats du No. 10 on obtient la plus petite valeur de $\alpha^{\prime}-\beta^{\prime}$ pour $(x-1)^{n-1}(x+1)=0$, $(x-1)(x+1)^{n-1}=0$ respectivemet ; d’où

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$$\alpha^{\prime}-\beta^{\prime}\geq 2\cdot\frac{n-1}{n}$$

: Supposons maintenant que $\alpha<1,\beta>-1$. Nous pouvons écrire alors

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$$f(x)=\psi(x)(x-\alpha)(x-\beta)$$

En écrivant $f^{\prime}\left(\alpha^{\prime}\right)=0,f^{\prime}\left(\beta^{\prime}\right)=0$ nous avons un système de deux équations linéaires en $\alpha+\beta,\alpha\beta$. Si le déterminant de ce système est différent de zéro en appliquant un raisonnement analogue à celui du No. 3 on montre que le polynome $f(x)$ peut être remplacé par un autre
⁽⁴⁾ Ce résultat se déduit aussi de la généralisation donnée au théorème de Laguerre par M. J. v. Sz. Nagy "Ueber algebraische Gleichungen mit lauter reellen Wurzeln" Jahreshericht der Deutschen Math. Ver. 27 (1918) p. 37-43.
pour lequel $\alpha^{\prime}-\beta^{\prime}$ solt plus petit. On tient compte ici du fait que $\alpha^{\prime}$, $\beta$, sont des racines simples.

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Si le déterminant est nul l’une des équations est conséquence de l’autre. Prenant alors

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$$\begin{gathered}F(x)-\psi(x)(x-\gamma)^{2}\\ \alpha^{\prime}-\gamma=\frac{2\left(\alpha^{\prime}-\alpha\right)\left(\alpha^{\prime}-\beta\right)}{2\alpha^{\prime}-\alpha-\beta}\end{gathered}$$

• —

  on a $\beta<\gamma<\alpha$ et $\alpha^{\prime},\beta^{\prime}$ sont la plus grande et la plus petite racine - de $\mathrm{F}^{\prime}(x)=0$. Nous recommençons alors indéfiniment la même opération. - On voit qu’ou bien nous tombons sur un déterminant non nul ou bien alors par un passage à la limite on trouve une équation de la forme $\left(x^{2}-1\right)(x-\lambda)^{n-2}=0$ pour laquelle $\alpha^{\prime},\beta^{\prime}$ sont encore la plus grande et - et la plus petite racine de sa dérivée. En tout cas pour trouver le minimum de $\alpha^{\prime}-\beta^{\prime}$ il suffit d’examiner les équations $\left(x^{2}-1\right)(x-\lambda)^{n-2}=0$.

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Le minimum a pour valeur $2\sqrt{\frac{n-2}{n}}$ et s’obtient pour $\lambda=0$.
Nous avons done la propriété suivante :
Si les racines de l’équation derivée sont dans un intervalle de lonyueur $\lambda$ les racines de l’équation donnée sont toutes dans un intervalls de longueur au plus égale ò

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$$\lambda\sqrt{\frac{n}{n-2}}$$

On voit d’ailleurs qu’on peut énoncer plus généralement la propriété suivante :

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Si les racines de la kème dérivée $f^{(k)}(x)=0$ sont toutes dans un. intervalle de longueur $\lambda$ les racines de l’équation donnée sont toutes dans an intervalle de longueur au plus égale à

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$$\lambda\sqrt{\frac{n(n-1)}{(n-k)(n-k-1)}}^{(5)}$$

C’est la généralisation des cas $k=n-2,k=n-3$ dejà signalés aux Chap. I et II.

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1. 13.

   Considérons la famille des équations (1) pour lesquelles $\mathrm{R}(f)$ law et $\mathrm{R}\left(f^{\prime}\right)$ ont des valeurs données. Proposons-nous de déterminer lemaximum de $\mathrm{R}\left(f^{\prime\prime}\right)$.

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Si $\mathrm{R}(f)=\mathrm{R}\left(f^{\prime}\right)$ on a évidemment max. $\mathrm{R}\left(f^{\prime\prime}\right)=\mathrm{R}\left(f^{\prime}\right)$ et ce maximum est atteint par toute équation pour laquelle $\mathrm{B}(f)$ est racine aus. moins triple.

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Si $\mathrm{R}(f)>\mathrm{R}\left(f^{\prime}\right)$ nous pouvons prendre, sans restreindre la généralité, $\mathrm{R}(f)=1,\mathrm{R}\left(f^{\prime}\right)=0$.

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Supposons que l’équation (1) aié au moins deux racines distinctes $\approx$ de $\mathrm{R}(f)=1$. Nous pouvons écrire la décomposition (4) avec

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$$\begin{gathered}g(x)=\text{ polynome de degré }n-1\\ \mathrm{P}(x)=(x-\alpha)(x-\beta)=x^{2}+c_{1}x+c_{2},\quad 1>\alpha>\beta.\end{gathered}$$

Nous avons le système

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	$$\displaystyle c_{1}g^{\prime}(0)+c_{2}g(0)=0$$
	$$\displaystyle{\left[x^{2}g(x)\right]_{x=\xi}^{\prime\prime}+c_{1}[xg(x)]_{x=-\xi}^{\prime\prime}+c_{2}[g(x)]_{x=\xi}^{\prime\prime}=0,\quad\xi=\mathrm{R}\left(f^{\prime\prime}\right)}$$		(12)

de deux équations linéaires en $c_{1},c_{2}$.
Si le déterminant de ce système est différent de zéro on peut,… par suite de la continuité, déterminer un polynome $P_{1}(x)=\left(x-\alpha_{1}\right)\left(x-\beta_{1}\right)$. tel que si $\mathrm{F}(x)==(x).\mathrm{P}_{1}(x)$ on ait

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$$\mathrm{R}(\mathrm{\penalty 10000\ F})=1,\mathrm{R}\left(\mathrm{\penalty 10000\ F}^{\prime}\right)=0,\mathrm{R}\left(\mathrm{\penalty 10000\ F}^{\prime\prime}\right)>\mathrm{R}\left(f^{\prime\prime}\right)$$

Si le déterminant est nul la seconde équation (12) est conséquence de la première. Dans ce cas lorsque $\beta$ décroit vers $-\infty$ a croît vers une limite qui est déterminée par l’équation $\alpha g(0)-g^{\prime}(0)=0$… Nous avons $g(0)\neq 0$ [donc aussi $g^{\prime}(0)\neq 0$ ] c’est-à-dire que

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$$\lim.\alpha=\frac{g^{\prime}(0)}{g(0)}$$

On voit alors que si

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$$G(x)=g(x)\left[x-\frac{g^{r}(0)}{g(0)}\right]$$

$$\mathrm{R}(\dot{G})=\mathrm{R}(f),\mathrm{R}\left(G^{\prime}\right)=\mathrm{R}\left(f^{\prime}\right),\mathrm{R}\left(G^{\prime\prime}\right)=\mathrm{R}\left(f^{\prime\prime}\right)$$

1. 14.

   Nous pouvons déterminer maintenant le maximum de $R\left(f^{\prime\prime}\right)$ b

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Remarquons qu’une équation de la forme

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$$f(x)=(x-a)(x-b)^{m}=0$$

est complétement déterminée par les conditions $\mathrm{R}(f)=1,\mathrm{R}\left(f^{\prime}\right)=0$. Nous avons alors $a=1,b=-\mathrm{m}$ et $\mathrm{R}\left(f^{\prime\prime}\right)=-1$ quel que soit $m$.

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Soit $n=3$. Nous avons $g(x)=x-1$ et le déterminant du système (12) est différent de zéro. Le maximum n’est donc atteint que pour l’équation $(x-1)(x+2)^{2}=0$.

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Nous démontrerons la propriété suivante :
Le maximum dè $\mathrm{R}\left(f^{\prime\prime}\right)$ ne peut être atteint que $p$ ur les équations de la forme (13).

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De la propriété démontrée au No. précédent on voit que le maximum est atteint ou bien pour l’équation $(x-1)(x+n-1)^{n-1}=0$ ou bien pour une équation de degré $<n$.

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Nous ferons la démonstration par récurrence. Nous avons vu que la propriété est vraie pour les degrés $3,4,\ldots,n-1$ et démontrons-la pour le degré $n$. Choisissant convenablement les racines $\alpha$ et $\beta$ on voit que la propriété est démontrée par récurrence.

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Cette propriété est due à M. I. Schur ( ⁶ ) qui l’a énoncé de la manière suivante :

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Si l’équation (1) a toutes ses racines réelles on a l’inégalité

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