Reçue le 20 Mars 1934.
Soit $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ une fonction définie dans l'intervalle $(0,1)$$(0,1)$(0,1)(0,1)$(0,1)$.
Définissons l'expression $[x_1,x_2,\dots ,x_{n+1};f]$$\left[x_1,x_2,\dots ,x_{n+1};f\right]$[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]$[x_1,x_2,\dots ,x_{n+1};f]$ par la relation de récurrence

Le quotient $[x_1,x_2,\dots x_{n+1};f]$$\left[x_1,x_2,\dots x_{n+1};f\right]$[x_(1),x_(2),dotsx_(n+1);f]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n+1} ; f\right]$[x_1,x_2,\dots x_{n+1};f]$ est la différence divisée d'ordre $n$$n$nn$n$ de la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ par rapport aux points distincts $x_1,x_2,\dots x_{n+1}$$x_1,x_2,\dots x_{n+1}$x_(1),x_(2),dotsx_(n+1)x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n+1}$x_1,x_2,\dots x_{n+1}$. Soit

${\mathrm{\Delta }}_n[f]$${\mathrm{\Delta }}_n[f]$Delta_(n)[f]\Delta_{n}[f]${\mathrm{\Delta }}_n[f]$ est la nème borne de $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ dans $(0,1)$$(0,1)$(0,1)(0,1)$(0,1)$.
Considérons les points
(1)

alors

est la nème variation de $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ sur les points (1).
Si nous posons

alors $V_n[f]$$V_n[f]$V_(n)[f]V_{n}[f]$V_n[f]$ est la nème variation totale de $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ dans $(0,1)$$(0,1)$(0,1)(0,1)$(0,1)$.

Nous dirons enfin que la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est convexe, non-concave, polynomiale, non-convexe ou concave d'ordre $n$$n$nn$n$ dans $(0,1)$$(0,1)$(0,1)(0,1)$(0,1)$ si ses différences divisées d'ordre $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ sur tout groupe de $n+2$$n+2$n+2n+2$n+2$ points $(0,1)$$(0,1)$(0,1)(0,1)$(0,1)$ sont $>0,\ge 0,=0\le 0$$>0,\ge 0,=0\le 0$> 0, >= 0,=0 <= 0>0, \geq 0,=0 \leq 0$>0,\ge 0,=0\le 0$ ou $<0$$<0$< 0<0$<0$.

Cies fonctions forment la classe des fonction d'ordre $n$$n$nn$n$.
Nous dirons que la fonction est de la classe ( $a,b,c,\dots$$a,b,c,\dots$a,b,c,dotsa, b, c, \ldots$a,b,c,\dots$ ) si elle possède des propriétés d'ordre $a,b,c,\dots$$a,b,c,\dots$a,b,c,dotsa, b, c, \ldots$a,b,c,\dots$ d'une nature de convexité déterminée. Pour l'uniformité on peut appeler fonction d'ordre - $\mathbf{1}$$\mathbf{1}$1\mathbf{1}$\mathbf{1}$ toute fonction ne changeant pas de signe ( 1 ).

est le polynome de M. S. Bernstein de degré $n$$n$nn$n$ de la fonction donnée.
Posons pour abréger les notations

Un calcul simple nous donne

et en général
(2) $\frac{d^k{\mathrm{P}}_n}{d{x}^k}=k!(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\dots$$\frac{d^k{\mathrm{P}}_n}{d{x}^k}=k!\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\dots$(d^(k)P_(n))/(dx^(k))=k!(1-(1)/(n))(1-(2)/(n))dots\frac{d^{k} \mathrm{P}_{n}}{d x^{k}}=k!\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots$\frac{d^k{\mathrm{P}}_n}{d{x}^k}=k!(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\dots$

Nous avons

Nous savons que ( ${}^2$${}^2$^(2){ }^{2}${}^2$ )

donc

( ${}^1$${}^1$^(1){ }^{1}${}^1$ ) Pour plus de détails voir notre Thèse Sur quelques propriétés des fonctions d'une ou de deux variables réelles. Paris 1933.
( ${}^2$${}^2$^(2){ }^{2}${}^2$ ) Voir loc. cit. (1), p. 45.

On pcut encore écrire

donc:
La kème borne du polynome $P_n(x;f)$$P_n(x;f)$P_(n)(x;f)P_{n}(x ; f)$P_n(x;f)$ est au plus égale à celle de la fonction si $k=0,1$$k=0,1$k=0,1k=0,1$k=0,1$ et est plus petite si $k<1$$k<1$k < 1k<1$k<1$.
2. Nous pouvons écrire encore

et on en déduit

donc:
La kème variation totale du polynome $P_n(x;f)$$P_n(x;f)$P_(n)(x;f)P_{n}(x ; f)$P_n(x;f)$ est au plus égale d celle de la fonction si $k=0,1$$k=0,1$k=0,1k=0,1$k=0,1$ et est plus petitie si $k>1$$k>1$k > 1k>1$k>1$.

On peut exprimer les deux propriétés précédentes en disant que le polynome de M. S. Bernstein conserve les bornes et les variations.
3. La formule (2) nous montre encore que toutes les fois que $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ jouit d'une propriété de convexité déterminée (d'ordre $<n$$<n$< n<n$<n$ ) le polynome ${\mathrm{P}}_n(x;f)$${\mathrm{P}}_n(x;f)$P_(n)(x;f)\mathrm{P}_{n}(x ; f)${\mathrm{P}}_n(x;f)$ aura la même propriété. Nous supposons ici que la convexité et la polynomialité sont des cas particuliers de la non-concavité.

Nous exprimons cette propriété en disant que le polynome ed M. Bernstein conserve la classe de la fonction.

Une propriété démontrée dans notre travail cité ( ${}^3$${}^3$^(3){ }^{3}${}^3$ ) permet d'établir que

Il existe des polynomes d'une classe donnée dans $(0,1)$$(0,1)$(0,1)(0,1)$(0,1)$ cette classe contenant un nombre fini de conditions de convexité ou concavité choisies arbitrairement.

On sait enfin que si la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est continue dans $(0,1)$$(0,1)$(0,1)(0,1)$(0,1)$ le polynome $P_n(x;f)$$P_n(x;f)$P_(n)(x;f)P_{n}(x ; f)$P_n(x;f)$ tend uniformément vers $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ dans tout l'intervalle pour $n\to \mathrm{\infty }$$n\to \mathrm{\infty }$n rarr oon \rightarrow \infty$n\to \mathrm{\infty }$ ( ${}^4$${}^4$^(4){ }^{4}${}^4$ ). Nous avons donc la propriété suivante:
( ${}^3$${}^3$^(3){ }^{3}${}^3$ ) Voir loc. cit. (1) p. 20.
(4) S. Bernstein Communications de la Soc. Math. de Karkow ser. 2, t. 13 (1912) (Citation du livre de MM. Pólya et Szegö „Aufgaben und Lehrsätze" t. I. p. 230). Voir aussi S. Wigert Arkiv för Mat. Astr. och, Physik t. 20, (1927), p, 1.

Toute fonction continue dans $(0,1)$$(0,1)$(0,1)(0,1)$(0,1)$ est la limite d'une suite edy polynomes conservant les bornes, les variations et la classe de la fonction, convergeant uniformément dans tout l'intervalle.
4. L'ordre de l'approximation par les polynomes ${\mathrm{P}}_n(x;f)$${\mathrm{P}}_n(x;f)$P_(n)(x;f)\mathrm{P}_{n}(x ; f)${\mathrm{P}}_n(x;f)$ s'obtient facilement. Désignons par $\omega (\delta )$$\omega (\delta )$omega(delta)\omega(\delta)$\omega (\delta )$ le module d'oscillation de la fonction $f(x)(5)$$f(x)(5)$f(x)(5)f(x)(5)$f(x)(5)$. Nous avons
(3) $|f(x)-{\mathrm{P}}_n(x;f)|\le \sum _{i=0}^n|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)|(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})x^t(1-x{)}^{n-t}\le$$\left|f(x)-{\mathrm{P}}_n(x;f)\right|\le \sum _{i=0}^n \left|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)\right|(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})x^t(1-x{)}^{n-t}\le$|f(x)-P_(n)(x;f)| <= sum_(i=0)^(n)|f(x)-f((i)/(n))|((n)/(i))x^(t)(1-x)^(n-t) <=\left|f(x)-\mathrm{P}_{n}(x ; f)\right| \leq \sum_{i=0}^{n}\left|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)\right|\binom{n}{i} x^{t}(1-x)^{n-t} \leq$|f(x)-{\mathrm{P}}_n(x;f)|\le \sum _{i=0}^n|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)|(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})x^t(1-x{)}^{n-t}\le$

Or dans l'intervalle $(\frac{j}{n},\frac{j+1}{n})$$\left(\frac{j}{n},\frac{j+1}{n}\right)$((j)/(n),(j+1)/(n))\left(\frac{j}{n}, \frac{j+1}{n}\right)$(\frac{j}{n},\frac{j+1}{n})$ nous avons

et on en déduit
${\max .}_{(0,1)}\sum _{i=0}^n|x-\frac{i}{n}|(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})xi(1-x{)}^{n-i}={\mathrm{M}}_n=\{\begin{array}{r}2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{\frac{n}{2}})\frac{{(\frac{n}{2}+1)}^{\frac{n}{2}+1}{\left(\frac{n}{2}\right)}^{\frac{n}{2}}}{n+1{)}^{n+1}},x\text{pair}\\ \frac{1}{2^n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{\frac{n-1}{2}}),n\text{impair.}\end{array}$${\max .}_{(0,1)}\sum _{i=0}^n \left|x-\frac{i}{n}\right|(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})xi(1-x{)}^{n-i}={\mathrm{M}}_n=\left\{\begin{array}{r}2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{\frac{n}{2}})\frac{{\left(\frac{n}{2}+1\right)}^{\frac{n}{2}+1}{\left(\frac{n}{2}\right)}^{\frac{n}{2}}}{n+1{)}^{n+1}},x\text{ pair }\\ \frac{1}{2^n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{\frac{n-1}{2}}),n\text{ impair. }\end{array}\right.$max._((0,1))sum_(i=0)^(n)|x-(i)/(n)|((n)/(i))xi(1-x)^(n-i)=M_(n)={[2((n-1)/((n)/(2)))(((n)/(2)+1)^((n)/(2)+1)((n)/(2))^((n)/(2)))/(n+1)^(n+1))","x" pair "],[(1)/(2^(n))((n-1)/((n-1)/(2)))","n" impair. "]:}\operatorname{max.}_{(0,1)} \sum_{i=0}^{n}\left|x-\frac{i}{n}\right|\binom{n}{i} x i(1-x)^{n-i}=\mathrm{M}_{n}=\left\{\begin{array}{r}2\binom{n-1}{\frac{n}{2}} \frac{\left(\frac{n}{2}+1\right)^{\frac{n}{2}+1}\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}}{n+1)^{n+1}}, x \text { pair } \\ \frac{1}{2^{n}}\binom{n-1}{\frac{n-1}{2}}, n \text { impair. }\end{array}\right.${\max .}_{(0,1)}\sum _{i=0}^n|x-\frac{i}{n}|(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})xi(1-x{)}^{n-i}={\mathrm{M}}_n=\{\begin{array}{r}2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{\frac{n}{2}})\frac{{(\frac{n}{2}+1)}^{\frac{n}{2}+1}{\left(\frac{n}{2}\right)}^{\frac{n}{2}}}{n+1{)}^{n+1}},x\text{ pair }\\ \frac{1}{2^n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{\frac{n-1}{2}}),n\text{ impair. }\end{array}$
On voit immédiatement que

et

»Leçons sur l'approximation des fonctions d'une variable réelle" p. 7.
độoù
$${\mathrm{M}}_1=\frac{1}{2},{\mathrm{M}}_{2n+1}\le \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2n+1}}n=1,2,\dots$$$${\mathrm{M}}_1=\frac{1}{2},{\mathrm{M}}_{2n+1}\le \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2n+1}}n=1,2,\dots$$M_(1)=(1)/(2),M_(2n+1) <= (sqrt3)/(4sqrt(2n+1))quad n=1,2,dots\mathrm{M}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{M}_{2 n+1} \leq \frac{\sqrt{3}}{4 \sqrt{2 n+1}} \quad n=1,2, \ldots$${\mathrm{M}}_1=\frac{1}{2},{\mathrm{M}}_{2n+1}\le \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2n+1}}n=1,2,\dots$$

Si $n$$n$nn$n$ est pair ( $n\ge 2$$n\ge 2$n >= 2n \geq 2$n\ge 2$ ) on établit facilement que

Donc quel que soit $n$$n$nn$n$

Faisant $\delta =\frac{1}{\sqrt{n}}$$\delta =\frac{1}{\sqrt{n}}$delta=(1)/(sqrtn)\delta=\frac{1}{\sqrt{n}}$\delta =\frac{1}{\sqrt{n}}$ dans la formule (3) nous avons

L'approximation et en général effectivement de l'ordre de $\omega \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$$\omega \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$omega((1)/(sqrtn))\omega\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$\omega \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$. Soit en effet la fonction $f(x)=|\frac{1}{2}-x|$$f(x)=\left|\frac{1}{2}-x\right|$f(x)=|(1)/(2)-x|f(x)=\left|\frac{1}{2}-x\right|$f(x)=|\frac{1}{2}-x|$. On a dans ce cas $\omega (\delta )=\delta$$\omega (\delta )=\delta$omega(delta)=delta\omega(\delta)=\delta$\omega (\delta )=\delta$ pour $\delta \le \frac{1}{2}$$\delta \le \frac{1}{2}$delta <= (1)/(2)\delta \leq \frac{1}{2}$\delta \le \frac{1}{2}$ et

d'où
$\max .|f(x)-{\mathrm{P}}_{2n+1}(x;f)|\ge \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{1}{\sqrt{2n+1}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{}^{\omega }\left(\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\right){}^{(7)}$$\max .\left|f(x)-{\mathrm{P}}_{2n+1}(x;f)\right|\ge \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{1}{\sqrt{2n+1}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{}^{\omega }\left(\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\right){}^{(7)}$max.|f(x)-P_(2n+1)(x;f)| >= (1)/(sqrt(2pi))*(1)/(sqrt(2n+1))=(1)/(sqrt(2pi))^(omega)((1)/(sqrt(2n+1)))^((7))\operatorname{max.}\left|f(x)-\mathrm{P}_{2 n+1}(x ; f)\right| \geq \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 n+1}}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}{ }^{\omega}\left(\frac{1}{\sqrt{2 n+1}}\right){ }^{(7)}$\max .|f(x)-{\mathrm{P}}_{2n+1}(x;f)|\ge \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{1}{\sqrt{2n+1}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{}^{\omega }\left(\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\right){}^{(7)}$.
( ${}^6$${}^6$^(6){ }^{6}${}^6$ ) La démonstration donnée dans le livre cité de MM. Pólya et Szegö me donne que

Si la fonction vérifie une condition de Lipschitz ordinaire on a

M. Wigert ne donne que l'approximation

(7) Nons avons supposé que la fonction est définie dans l'intervalle $(0,1)$$(0,1)$(0,1)(0,1)$(0,1)$ uniquement pour simplifier l'éxposé. On aurrait pu considérer des fonc-