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Traduction en anglais du titre
Remarks on the binomial polynomials
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T. Popoviciu, Remarques sur les polynômes binomiaux, Mathematica, 6 (1932), pp. 8-10 (in French).
Sur ce travail
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Mathematica
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Publié par les Éditions de l’Académie roumaine
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Ce travail est une republication de: T. Popoviciu, Remarques sur les polynômes binomiaux, Buletinul Soc. de Ştiinţe din Cluj, 6, pp.146-148 (in French).
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REMARQUES SUR LES POLYNOMES BINOMIAUX
par
T. Popoviciu
Ancien élève de l'Ecole Normale Supérieure.
Reçue le 28 Avril 1981.
Nous disons que la suite de polynomes en xx
(1)
Reçue le 28 Avril 1981.
Nous disons que la suite de polynomes en xx
(1)
P_(0),P_(1),dotsP_(n),dots\mathrm{P}_{0}, \mathrm{P}_{1}, \ldots \mathrm{P}_{n}, \ldots
le degré de chacun étant égal à l'indice corespondant, est une suite binomiale si elle vérifie les équations
{:(2)P_(n)(x+y)=sum_(i=0)^(n)P_(i)(x)P_(n-i)(y):}\begin{equation*}
P_{n}(x+y)=\sum_{i=0}^{n} P_{i}(x) P_{n-i}(y) \tag{2}
\end{equation*}
pour n=0,1,2,dotsn=0,1,2, \ldots et identiquement en xx et yy. On a alors
P_(0)=1,quadP_(n)(0)=0,quad n=1,2,dotsP_{0}=1, \quad P_{n}(0)=0, \quad n=1,2, \ldots
On obtient les suites binomiales par le dévelopement formel suivant
{:(3)(1+a_(1)z+a_(2)z^(2)+cdots)^(x)=e^(x(c_(1)z+c_(2)z^(2)+cdots))=sum_(n=0)^(oo)P_(n)(x)z^(pi):}\begin{equation*}
\left(1+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\cdots\right)^{x}=e^{x\left(c_{1} z+c_{2} z^{2}+\cdots\right)}=\sum_{n=0}^{\infty} P_{n}(x) z^{\pi} \tag{3}
\end{equation*}
Il est facile de trouver les coefficients c_(n)c_{n} en fonctions des a_(n)a_{n} et réciproquement.
- Si
c_(n) >= 0,quad n=1,2,3,dotsc_{n} \geq 0, \quad n=1,2,3, \ldots
on a également
et si
et si
a_(n) >= 0,quad n=1,2,3,dotsa_{n} \geq 0, \quad n=1,2,3, \ldots
on a aussi
{:[c_(n) >= 0",",n=1","2","3","dotsa_(1) > 0],[a_(n) > 0",",n=2","3","dots]:}\begin{array}{ll}
c_{n} \geq 0, & n=1,2,3, \ldots a_{1}>0 \\
a_{n}>0, & n=2,3, \ldots
\end{array}
Nous trouvons facilement que
a étant un nombre positif pour q'uon ait
a étant un nombre positif pour q'uon ait
P_(n)(x) >= 0P_{n}(x) \geq 0
n=0,1.9,dotsn=0,1.9, \ldots
dans l'intervalle ( 0, a) il faut et il suffit que
{:(5)c_(n) >= 0","quad n=1","2","dots:}\begin{equation*}
c_{n} \geq 0, \quad n=1,2, \ldots \tag{5}
\end{equation*}
Il résulte d'ailleurs de (2) que les inégalités (4) sont vérifiées dans tout l'intervalle (0,oo)(0, \infty).
Soit f(x)f(x) une fonction uniforme et continue dans l'intervalle Cermé (0,1)(0,1).
Les inégalités (5) étant vérifiées et en supposant que a_(1) > 0a_{1}>0 pour que le polynome
mu_(n)=(sum_(nu=0)^(n)f((nu )/(n))P_(nu)(x)P_(n-nu)(1-x))/(a_(n))\mu_{n}=\frac{\sum_{\nu=0}^{n} f\left(\frac{\nu}{n}\right) P_{\nu}(x) P_{n-\nu}(1-x)}{a_{n}}
converge uniformément vers f(x)f(x) dans tout l'intervalle (0,1)(0,1) il faut et il sutfit que :
{:(6)lim_(n rarr oo)(sum_(nu=0)^(n)v^(k)P_(nu)(x)P_(n-nu)(1-x))/(n^(k)a_(n))=x_(k):}\begin{equation*}
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{\nu=0}^{n} v^{k} P_{\nu}(x) P_{n-\nu}(1-x)}{n^{k} a_{n}}=x_{k} \tag{6}
\end{equation*}
quel que soit l'entier positif kk.
2. Considérons en particulier les polynomes (1) provenant du développement
2. Considérons en particulier les polynomes (1) provenant du développement
e^((xz)/(1-z))=SigmaL_(n)^(')(x)*z^(n)e^{\frac{x z}{1-z}}=\Sigma L_{n}^{\prime}(x) \cdot z^{n}
Si L^(**)_(n)(x)L^{*}{ }_{n}(x) est le polynome de Laguerre de degré nn on a
L_(n)(x)=L_(n)^(**)(-x)-L_(n-1)^(**)(-x)\mathrm{L}_{n}(x)=\mathrm{L}_{n}^{*}(-x)-\mathrm{L}_{n-1}^{*}(-x)
On obtient facilement
L_(n)(x)=(e^(-x)x)/(n!)*(d^(n))/(dx^(n))x^(n-1)e^(x)=sum_(nu=1)^(n)((n-1)/(v-1))(x^(nu))/(v!)L_{n}(x)=\frac{e^{-x} x}{n!} \cdot \frac{d^{n}}{d x^{n}} x^{n-1} e^{x}=\sum_{\nu=1}^{n}\binom{n-1}{v-1} \frac{x^{\nu}}{v!}
Reprenons maintenant le cas général et supposons que la série
sum_(n=1)^(oo)c_(n)z^(n)\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} z^{n}
converge à l'intérieur d'un cercle de rayon r^(')r^{\prime} et de centre origine et prenons r < r^(')r<r^{\prime}. D'après un théorème de Cauchy il existe un nombre
M tel que
|c_(n)| < (M)/(r^(n))quad n=1,2,dots\left|c_{n}\right|<\frac{M}{r^{n}} \quad n=1,2, \ldots
et
sum_(n=1)^(oo)c_(n)z^(n) <= sum_(n=1)^(oo)(Mz^(n))/(r^(n))=(M(z)/(r))/(1-(z)/(r))quad(|z| < r)\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} z^{n} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{M} z^{n}}{r^{n}}=\frac{\mathrm{M} \frac{z}{r}}{1-\frac{z}{r}} \quad(|z|<r)
On en déduit que pour x >= 0x \geq 0
|P_(n)(x)| < (1)/(r^(n))L_(n)(Mx)\left|\mathrm{P}_{n}(x)\right|<\frac{1}{r^{n}} \mathrm{~L}_{n}(\mathrm{M} x)
On démontre sans difficulté que si x > 0x>0
(L_(2)(x))/(L_(1)(x)) > (L_(3)(x))/(L_(2)(x)) > cdots > (L_(n)(x))/(L_(n-1)(x)) > cdots\frac{L_{2}(x)}{L_{1}(x)}>\frac{L_{3}(x)}{L_{2}(x)}>\cdots>\frac{L_{n}(x)}{L_{n-1}(x)}>\cdots
le rapport (L_(n))/(L_(n-1))\frac{L_{n}}{L_{n-1}} a donc une limite finie. La relation de récurrence
xL_(n)=(n+1)L_(n+1)-2nL_(n)+(n-1)L_(n-1)x L_{n}=(n+1) L_{n+1}-2 n L_{n}+(n-1) L_{n-1}
nous montre alors que
lim_(n rarr oo)(L_(n))/(L_(n-1))=1quad x > 0\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{L_{n}}{L_{n-1}}=1 \quad x>0
On en déduit
bar(lim)_(n rarr oo)root(n)(|P_(n)(x)|) <= (1)/(r).\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|\mathrm{P}_{n}(x)\right|} \leq \frac{1}{r} .
Considérons maintenant une suite de nombres
lambda_(0),lambda_(1),dotslambda_(n),dots\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots \lambda_{n}, \ldots
ot
bar(lim)_(n rarr oo)root(n)(|lambda_(n)|)=lambda\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|\lambda_{n}\right|}=\lambda
Il en résulte que la série
lambda_(0)P_(0)(x)+lambda_(1)P_(1)(x)+cdots+lambda_(n)P_(n)(x)+cdots\lambda_{0} \mathrm{P}_{0}(x)+\lambda_{1} \mathrm{P}_{1}(x)+\cdots+\lambda_{n} \mathrm{P}_{n}(x)+\cdots
converge absolument quels que soient lambda < r^(')\lambda<r^{\prime} et x >= 0x \geq 0.