Sur les suites de polynômes

Reçue le 4 décembre 1980.
M. R. Lagrange dans un mémoire paru dans les „Acta Mathematica." ${}^{(1)}$${}^{(1)}$^((1)){ }^{(1)}${}^{(1)}$ a etudié les suites de nombres d'un point de vue algébrique. Il en a fait des applications pour certaines suites de polynomes. Dans: le présent travail, nous allons compléter "l'algèbre des suites de nombres" par une "algèbre des suites de polynomes". Nous aborderons dansd'autres mémoires les applications.

Nous ne donnons que des définitions et des résultats. Les démonstrations conduisent souvent à des calculs un peu longs mais neprésentant aucune difficulté.

pris dans un ordre bien déteminé. Cet ordre est caractérisé par le: nombre $n$$n$nn$n$ qui est l'indice ou le rang du polynome ${\mathbb{P}}_n$${\mathbb{P}}_n$P_(n)\mathbb{P}_{n}${\mathbb{P}}_n$. Désignons par$p(n)$$p(n)$p(n)p(n)$p(n)$ le degré du polynome ${\mathrm{P}}_n$${\mathrm{P}}_n$P_(n)\mathrm{P}_{n}${\mathrm{P}}_n$. Si ${\mathrm{P}}_n$${\mathrm{P}}_n$P_(n)\mathrm{P}_{n}${\mathrm{P}}_n$, est identiquement nul, nous sup-posons que $p(n)$$p(n)$p(n)p(n)$p(n)$ a une valeur négative aussi grande qu'on veut. Lat différence

est l'ordre du polynome ${\mathrm{P}}_n$${\mathrm{P}}_n$P_(n)\mathrm{P}_{n}${\mathrm{P}}_n$. Si $p(n)<0$$p(n)<0$p(n) < 0p(n)<0$p(n)<0$, donc si. ${\mathrm{P}}_n^{\prime }$${\mathrm{P}}_n^{\prime }$P_(n)^(')\mathrm{P}_{n}^{\prime}${\mathrm{P}}_n^{\prime }$ est identiquement. nul nous disons qu'il esti d'ordre - $\mathrm{\infty }$$\mathrm{\infty }$oo\infty$\mathrm{\infty }$.

Si les ordnes de tous les éléments d'une suite sont égaux à $-\mathrm{\infty }$$-\mathrm{\infty }$-oo-\infty$-\mathrm{\infty }$, nous disons que cette suite est la suite nulle. Pour toutes les autres suites les ordres des éléments ont une limite supérieure $m$$m$mm$m$ finie ou infinie. Si $m$$m$mm$m$ est fini nous disons que la suite est d'ordre fini $m$$m$mm$m$. Dans;
(1) R. Lagrange. „Mémoire sur les suites de polynomes" Acla. Math. 51 (1928), p. 201..
ce cas la suite (1) possède au moins un élément d'ordre $m$$m$mm$m$. Nous appelons indice caractéristique la plus petite valeur de $n$$n$nn$n$ pour lequel

Nous disons qu'une suite est complète si tous ses éléments ont même ordue. Une suite complète est nécessairement d'ordre fini et son indice caractéristique est 0 .

Si $m$$m$mm$m$ est infini la suite est d'ordre infini. Une telle suite ne peut pas être complète et n'admet pas d'indice caractéristique. Nous appeilons classe de la suite (1) le nombre $k$$k$kk$k$ tel que

Une suite d'ordre négatif $m$$m$mm$m$ est au moins de classe $-m$$-m$-m-m$-m$.
Nous posons

Les accents désignant des dérivées, nous disons qu'une suite de classe $k$$k$kk$k$ et d'ordre $-k$$-k$-k-k$-k$ est normale si

On voit que les premiers membres sont des nombres.
Nous désignons par $[\mathrm{P}]$$[\mathrm{P}]$[P][\mathrm{P}]$[\mathrm{P}]$ la suite (1). Lorsqu'on envisage plusieurs : suites $[\mathrm{P}],[\mathrm{Q}],\dots$$[\mathrm{P}],[\mathrm{Q}],\dots$[P],[Q],dots[\mathrm{P}],[\mathrm{Q}], \ldots$[\mathrm{P}],[\mathrm{Q}],\dots$ on désigne par $p(n),q(n),\dots$$p(n),q(n),\dots$p(n),q(n),dotsp(n), q(n), \ldots$p(n),q(n),\dots$ le degré des polynomes ${\mathrm{P}}_n,Q_n,\dots$${\mathrm{P}}_n,Q_n,\dots$P_(n),Q_(n),dots\mathrm{P}_{n}, Q_{n}, \ldots${\mathrm{P}}_n,Q_n,\dots$

Toutes les relations que nous écrivons entre plusieurs polynomes sont vérifiées identiquement par rapport à $x$$x$xx$x$.
2. L'algèbre des suites de polynomes. 10. Nous désignons par [0] rla suite nulle.
20. La suite

-est la suite unité cet sera designée par [1]. Elle est normale et de classe 0.

La suite

est la suite unité de classe $k,[\mathrm{l}{]}_k$$k,[\mathrm{l}{]}_k$k,[l]_(k)k,[\mathrm{l}]_{k}$k,[\mathrm{l}{]}_k$.
30. Deux suites $[\mathrm{P}],[\mathrm{Q}]$$[\mathrm{P}],[\mathrm{Q}]$[P],[Q][\mathrm{P}],[\mathrm{Q}]$[\mathrm{P}],[\mathrm{Q}]$ sont égales si, et seulement si

Nous écrivous

Nous écrivons
$\mathrm{P}]$$\mathrm{P}]$P]\mathrm{P}]$\mathrm{P}]$ est la suite opposée de $[\mathrm{P}]$$[\mathrm{P}]$[P][\mathrm{P}]$[\mathrm{P}]$ et est égale à $-[\mathrm{P}]$$-[\mathrm{P}]$-[P]-[\mathrm{P}]$-[\mathrm{P}]$.
50. La somme de deux suites $[P],[Q]$$[P],[Q]$[P],[Q][P],[Q]$[P],[Q]$ est une nouvelle suite $|R|\mid$$|R|\mid$|R|∣|R| \mid$|R|\mid$ définie par

Nous écrivons

On vérifie facilement que le second mombre contient un nombre fini de termes. Pour les suites d'ordre négatif ou nul nous pouvonsécrire les formules condensées

Nous écrivons

Les définitions $4^0,5^0$$4^0,5^0$4^(0),5^(0)4^{0}, 5^{0}$4^0,5^0$ permattent de trouver la différence de deux suites.

L'égalité et l'addition des suites jouit de toutes les propriétés dé l'égalité et de l'addition ordinaire.

La multiplication .élémentaire est associative et distributive par rapport à l'addition mais elle n'est pas en général commutative. Si.

nous disons que les suites $[\mathrm{P}],[\mathrm{Q}]$$[\mathrm{P}],[\mathrm{Q}]$[P],[Q][\mathrm{P}],[\mathrm{Q}]$[\mathrm{P}],[\mathrm{Q}]$ sont permutables. La suite unité est permutable avec une suite quelconque.

La multiplication par un nombre non nul ne change pas l'ordre, la classe, la normalité et la permutabilité d'une suite.

L'ordre d'une somme est au plus égal au plus grand des ordres des suites ajoutées et sa classe au moins égale à la plus petite des
olasses dès suites ajoutées. Dans la formule

on a en effet

Quelle que soit la suite $[\mathrm{P}]$$[\mathrm{P}]$[P][\mathrm{P}]$[\mathrm{P}]$ on a

L'ordre d'un produit est au plus égal à la somme des ordres des. facteurs et sa classe au moins égale à la classe de la suite multipliée. On a en effet
$r(n)\le max[q(0)+p_1(n),q(1)+p_1(n)-1,q(2)+p_1(n)-2,\dots q(p_1(n))]$$r(n)\le max\left[q(0)+p_1(n),q(1)+p_1(n)-1,q(2)+p_1(n)-2,\dots q\left(p_1(n)\right)\right]$r(n) <= max[q(0)+p_(1)(n),q(1)+p_(1)(n)-1,q(2)+p_(1)(n)-2,dots q(p_(1)(n))]r(n) \leq \max \left[q(0)+p_{1}(n), q(1)+p_{1}(n)-1, q(2)+p_{1}(n)-2, \ldots q\left(p_{1}(n)\right)\right]$r(n)\le max[q(0)+p_1(n),q(1)+p_1(n)-1,q(2)+p_1(n)-2,\dots q(p_1(n))]$ où

Si l'un des facteurs est [0] ]e produit est égal à [0] .
Pour les suites normales de classe 0 la réciproque est vraie, mais dans le cas général le produit de deux suites non nulles peut être nul ; par exemple pour les suites

on a

Connaissant le produit de deux suites, on peut calculer une puissance ontière positive quelconque. Nous désignerons par $[\mathrm{P}{]}^m$$[\mathrm{P}{]}^m$[P]^(m)[\mathrm{P}]^{m}$[\mathrm{P}{]}^m$, ou $[\mathrm{mP}]$$[\mathrm{mP}]$[mP][\mathrm{mP}]$[\mathrm{mP}]$ la $m^{\text{èm}}$$m^{\text{èm }}$m^("èm ")m^{\text {èm }}$m^{\text{èm }}$. puissance de lá suite $[\mathrm{P}]$$[\mathrm{P}]$[P][\mathrm{P}]$[\mathrm{P}]$. Nous posons par définition .

Nous avons alors pour $m,k$$m,k$m,km, k$m,k$ entiers positifs ou nuls

Il faut dire encore quelques ,mols sur la division élémentaire des suites.

Nous disons qu'une suile $[\mathrm{P}]$$[\mathrm{P}]$[P][\mathrm{P}]$[\mathrm{P}]$ est divisible à gauche par la suite $[Q]$$[Q]$[Q][Q]$[Q]$ s'il existe une suite $[R]$$[R]$[R][R]$[R]$ unique et bien déterminée telle que
(6)

L'équation (6) n'est pas toujours possible en [R] et si elle est possible la solution n'est pas toujours unique.

Si $[\mathrm{R}]$$[\mathrm{R}]$[R][\mathrm{R}]$[\mathrm{R}]$ est la suite [1] nous disons que [P] a une inverse à gauche. Désignons par $[\mathrm{P}{]}_g^{-1}$$[\mathrm{P}{]}_g^{-1}$[P]_(g)^(-1)[\mathrm{P}]_{g}^{-1}$[\mathrm{P}{]}_g^{-1}$ cette inverse. Nous avons

d'où on déduit que la suite $[\mathrm{P}]$$[\mathrm{P}]$[P][\mathrm{P}]$[\mathrm{P}]$ est divisible à gauche par toute suite admettant une inverse à gauche.

D'une façon analogue on définit la division à droite et l'inverse à droite $[{\mathrm{Pi}}_d^{-1}$$\left[{\mathrm{Pi}}_d^{-1}\right.$[Pi_(d)^(-1):}\left[\mathrm{Pi}_{d}^{-1}\right.$[{\mathrm{Pi}}_d^{-1}$. Pour que $[\mathrm{P}{]}_d^{-1}$$[\mathrm{P}{]}_d^{-1}$[P]_(d)^(-1)[\mathrm{P}]_{d}^{-1}$[\mathrm{P}{]}_d^{-1}$ existe il faut que la suite $[\mathrm{P}]$$[\mathrm{P}]$[P][\mathrm{P}]$[\mathrm{P}]$ soit de classe 0 .

Si une suite $[\mathrm{P}]$$[\mathrm{P}]$[P][\mathrm{P}]$[\mathrm{P}]$ a une inverse à gauche et une inverse à drojte et si

nous disons qu'elle est inversible. Nous désignons alors par $[\mathrm{P}{]}^{-1}$$[\mathrm{P}{]}^{-1}$[P]^(-1)[\mathrm{P}]^{-1}$[\mathrm{P}{]}^{-1}$ l'inverse de [P]. Toutes les puissances entières d'une telle suite sont déterminées.
3. Nous allons signaler quelques propriétés des suites normales.

Le produit de deux suites normales est une suite normale de classe égale à la somme des classes des facteurs

Posant
nous avons

$\mathit{k},{\mathit{k}}^{\prime }$$\mathit{k},{\mathit{k}}^{\prime }$k,k^(')\boldsymbol{k}, \boldsymbol{k}^{\prime}$\mathit{k},{\mathit{k}}^{\prime }$ étant les classes de $[\mathrm{P}]$$[\mathrm{P}]$[P][\mathrm{P}]$[\mathrm{P}]$ et $[\mathrm{Q}]$$[\mathrm{Q}]$[Q][\mathrm{Q}]$[\mathrm{Q}]$.
Il en résuite que le produit de deux suites normales est toujours différent de [0] .

Toute suite normale de classe 0 est inversible et son inverse est encore une suite normale de classe 0 .

Soit [__1 P] la suite inverse; on a

Les suites normales de classe zéro forment un groupe. Ce groupe n'est pas permutable, mais il contient de sous-groupes permutables.

Nous connaissons déjà une puissance entière quelconque d'une suite normale de classe 0 .

Posons

et introduisons la notation suivante

Considérons maintenant la suite $[m\mathrm{P}]$$[m\mathrm{P}]$[mP][m \mathrm{P}]$[m\mathrm{P}]$ définie par les relations

la sommation étant étendue aux valeurs positives de $n_1,n_2,\dots n_k$$n_1,n_2,\dots n_k$n_(1),n_(2),dotsn_(k)n_{1}, n_{2}, \ldots n_{k}$n_1,n_2,\dots n_k$ vérifiant l'égalité

$\mathit{k}$$\mathit{k}$k\boldsymbol{k}$\mathit{k}$ prenant toutes les valeurs possibles.
On montre que si $m$$m$mm$m$ est entier

On démontre ensuite que

nous pouvons donc garder l'égalité (7) comme définissant une puissance quelconque de la suite $[\mathrm{P}]$$[\mathrm{P}]$[P][\mathrm{P}]$[\mathrm{P}]$, normale et de classe 0 .

Par exemple pour la suite binome normale et de classe 0
on a

Le nombre $[{\mathrm{U}}_0^{(0)},{\mathrm{U}}_0^{(1)},\dots {\mathrm{U}}_0^{(n)}]$$\left[{\mathrm{U}}_0^{(0)},{\mathrm{U}}_0^{(1)},\dots {\mathrm{U}}_0^{(n)}\right]$[U_(0)^((0)),U_(0)^((1)),dotsU_(0)^((n))]\left[\mathrm{U}_{0}^{(0)}, \mathrm{U}_{0}^{(1)}, \ldots \mathrm{U}_{0}^{(n)}\right]$[{\mathrm{U}}_0^{(0)},{\mathrm{U}}_0^{(1)},\dots {\mathrm{U}}_0^{(n)}]$ généralişe le nombre $(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n})$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n})$((m)/(n))\binom{m}{n}$(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n})$ et se réduit à ce dernier pour ${\mathrm{P}}^{\prime }{}_1=0$${\mathrm{P}}^{\prime }{}_1=0$P^(')_(1)=0\mathrm{P}^{\prime}{ }_{1}=0${\mathrm{P}}^{\prime }{}_1=0$.

Si ${\mathrm{P}}^{\prime }{}_1\ne 0$${\mathrm{P}}^{\prime }{}_1\ne 0$P^(')_(1)!=0\mathrm{P}^{\prime}{ }_{1} \neq 0${\mathrm{P}}^{\prime }{}_1\ne 0$ la série