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Traduction en anglais du titre
On the sequences of polynomials
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T. Popoviciu, Sur les suites de polynômes, Mathematica, 5 (1931), pp. 36-48 (in French).
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Mathematica
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Note: cette travail est la republication de: T. Popoviciu, Sur les suites de polynômes, Buletinul Soc. de Ştiinţe din Cluj, 5 (1931), pp. 492-504 (in French)
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HTML forme du travail (preprint)
SUR LES SUITES DE POLYNOMES
par
T. Popoviciu
Ancien élève de l'Ecole Normale Supérieure de Paris
Reçue le 4 décembre 1980.
M. R. Lagrange dans un mémoire paru dans les „Acta Mathematica." ^((1)){ }^{(1)} a etudié les suites de nombres d'un point de vue algébrique. Il en a fait des applications pour certaines suites de polynomes. Dans: le présent travail, nous allons compléter "l'algèbre des suites de nombres" par une "algèbre des suites de polynomes". Nous aborderons dansd'autres mémoires les applications.
M. R. Lagrange dans un mémoire paru dans les „Acta Mathematica." ^((1)){ }^{(1)} a etudié les suites de nombres d'un point de vue algébrique. Il en a fait des applications pour certaines suites de polynomes. Dans: le présent travail, nous allons compléter "l'algèbre des suites de nombres" par une "algèbre des suites de polynomes". Nous aborderons dansd'autres mémoires les applications.
Nous ne donnons que des définitions et des résultats. Les démonstrations conduisent souvent à des calculs un peu longs mais neprésentant aucune difficulté.
- Définition diune suite de polynomes. Considérons une suite do: polynomes en xx
{:(1)P_(0)","P_(i)","dotsP_(n)","dots:}\begin{equation*}
\mathrm{P}_{0}, \mathrm{P}_{\mathrm{i}}, \ldots \mathrm{P}_{n}, \ldots \tag{1}
\end{equation*}
pris dans un ordre bien déteminé. Cet ordre est caractérisé par le: nombre nn qui est l'indice ou le rang du polynome P_(n)\mathbb{P}_{n}. Désignons parp(n)p(n) le degré du polynome P_(n)\mathrm{P}_{n}. Si P_(n)\mathrm{P}_{n}, est identiquement nul, nous sup-posons que p(n)p(n) a une valeur négative aussi grande qu'on veut. Lat différence
{:(2)p(n)-n:}\begin{equation*}
p(n)-n \tag{2}
\end{equation*}
est l'ordre du polynome P_(n)\mathrm{P}_{n}. Si p(n) < 0p(n)<0, donc si. P_(n)^(')\mathrm{P}_{n}^{\prime} est identiquement. nul nous disons qu'il esti d'ordre - oo\infty.
Si les ordnes de tous les éléments d'une suite sont égaux à -oo-\infty, nous disons que cette suite est la suite nulle. Pour toutes les autres suites les ordres des éléments ont une limite supérieure mm finie ou infinie. Si mm est fini nous disons que la suite est d'ordre fini mm. Dans;
(1) R. Lagrange. „Mémoire sur les suites de polynomes" Acla. Math. 51 (1928), p. 201..
ce cas la suite (1) possède au moins un élément d'ordre mm. Nous appelons indice caractéristique la plus petite valeur de nn pour lequel
(1) R. Lagrange. „Mémoire sur les suites de polynomes" Acla. Math. 51 (1928), p. 201..
ce cas la suite (1) possède au moins un élément d'ordre mm. Nous appelons indice caractéristique la plus petite valeur de nn pour lequel
p(n)-n=mp(n)-n=m
Nous disons qu'une suite est complète si tous ses éléments ont même ordue. Une suite complète est nécessairement d'ordre fini et son indice caractéristique est 0 .
Si mm est infini la suite est d'ordre infini. Une telle suite ne peut pas être complète et n'admet pas d'indice caractéristique. Nous appeilons classe de la suite (1) le nombre kk tel que
p(0) < 0,quad p(1) < 0,dotsquad p(k-1) < 0,quad p(k) >= 0.p(0)<0, \quad p(1)<0, \ldots \quad p(k-1)<0, \quad p(k) \geqslant 0 .
Une suite d'ordre négatif mm est au moins de classe -m-m.
Nous posons
Nous posons
((i)/(j))=(i(i-1)dots(i-j+1))/(1*2*3dots j);((i)/(j))=0,j > i\binom{i}{j}=\frac{i(i-1) \ldots(i-j+1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots j} ;\binom{i}{j}=0, j>i
Les accents désignant des dérivées, nous disons qu'une suite de classe kk et d'ordre -k-k est normale si
{:[(3)sum_(j=0)^(i)((i)/(j))P_(k-j)^((j))!=0],[i=0","1","2","dots]:}\begin{gather*}
\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j} \mathrm{P}_{k-j}^{(j)} \neq 0 \tag{3}\\
i=0,1,2, \ldots
\end{gather*}
On voit que les premiers membres sont des nombres.
Nous désignons par [P][\mathrm{P}] la suite (1). Lorsqu'on envisage plusieurs : suites [P],[Q],dots[\mathrm{P}],[\mathrm{Q}], \ldots on désigne par p(n),q(n),dotsp(n), q(n), \ldots le degré des polynomes P_(n),Q_(n),dots\mathrm{P}_{n}, Q_{n}, \ldots
Nous désignons par [P][\mathrm{P}] la suite (1). Lorsqu'on envisage plusieurs : suites [P],[Q],dots[\mathrm{P}],[\mathrm{Q}], \ldots on désigne par p(n),q(n),dotsp(n), q(n), \ldots le degré des polynomes P_(n),Q_(n),dots\mathrm{P}_{n}, Q_{n}, \ldots
Toutes les relations que nous écrivons entre plusieurs polynomes sont vérifiées identiquement par rapport à xx.
2. L'algèbre des suites de polynomes. 10. Nous désignons par [0] rla suite nulle.
20. La suite
2. L'algèbre des suites de polynomes. 10. Nous désignons par [0] rla suite nulle.
20. La suite
P_(0)=1;quadP_(n)=0,n > 0\mathrm{P}_{0}=1 ; \quad \mathrm{P}_{n}=0, n>0
-est la suite unité cet sera designée par [1]. Elle est normale et de classe 0.
La suite
P_(k)=1,quadP_(n)=0,quad n!=k\mathrm{P}_{k}=1, \quad \mathrm{P}_{n}=0, \quad n \neq k
est la suite unité de classe k,[l]_(k)k,[\mathrm{l}]_{k}.
30. Deux suites [P],[Q][\mathrm{P}],[\mathrm{Q}] sont égales si, et seulement si
30. Deux suites [P],[Q][\mathrm{P}],[\mathrm{Q}] sont égales si, et seulement si
{:[P_(n)=Q_(n)],[n=0","1","2","dots]:}\begin{gathered}
P_{n}=Q_{n} \\
n=0,1,2, \ldots
\end{gathered}
Nous écrivous
[P]=[Q][\mathrm{P}]=[\mathrm{Q}]
- Le produit d'une suite [P][\mathrm{P}] par un nombre lambda\lambda est par définition une nouvelle suite [Q][Q] donnée par
{:[Q_(n)=lambdaP_(n)],[n=0","1","2","dots],[lambda*∣P]=[lambda P]]:}\begin{gathered}
Q_{n}=\lambda P_{n} \\
n=0,1,2, \ldots \\
\lambda \cdot \mid P]=[\lambda P]
\end{gathered}
Nous écrivons
P]\mathrm{P}] est la suite opposée de [P][\mathrm{P}] et est égale à -[P]-[\mathrm{P}].
50. La somme de deux suites [P],[Q][P],[Q] est une nouvelle suite |R|∣|R| \mid définie par
P]\mathrm{P}] est la suite opposée de [P][\mathrm{P}] et est égale à -[P]-[\mathrm{P}].
50. La somme de deux suites [P],[Q][P],[Q] est une nouvelle suite |R|∣|R| \mid définie par
{:[R_(n)=P_(n)+Q_(n)],[n=0","1","2","dots],[[P]+[Q]=[R].]:}\begin{gathered}
\mathrm{R}_{n}=\mathrm{P}_{n}+\mathrm{Q}_{n} \\
n=0,1,2, \ldots \\
{[\mathrm{P}]+[\mathrm{Q}]=[\mathrm{R}] .}
\end{gathered}
Nous écrivons
{:[6^(0)". Le produit élémentaire de "[P]" par "[Q]" est une nouvelle suite- "],[" léfinie par les égalités "]:}\begin{aligned}
& 6^{0} \text {. Le produit élémentaire de }[\mathrm{P}] \text { par }[\mathrm{Q}] \text { est une nouvelle suite- } \\
& \text { léfinie par les égalités }
\end{aligned}ééééé
{:(4)R_(n)=sum_(i=0)^(oo)Q_(i)[sum_(j=0)^(n)((i)/(j))P_(n-j)^((i-j))]","quad n=0","1","2","dots:}\begin{equation*}
\mathrm{R}_{n}=\sum_{i=0}^{\infty} Q_{i}\left[\sum_{j=0}^{n}\binom{i}{j} P_{n-j}^{(i-j)}\right], \quad n=0,1,2, \ldots \tag{4}
\end{equation*}
On vérifie facilement que le second mombre contient un nombre fini de termes. Pour les suites d'ordre négatif ou nul nous pouvonsécrire les formules condensées
{:(5)R_(n)=sum_(i=0)^(n)Q[sum_(j=0)^(i)((i)/(j))P_(n rarr j)^((i-j))]","quad n=0","1","2","dots:}\begin{equation*}
\mathrm{R}_{n}=\sum_{i=0}^{n} \mathrm{Q}\left[\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j} \mathrm{P}_{n \rightarrow j}^{(i-j)}\right], \quad n=0,1,2, \ldots \tag{5}
\end{equation*}
Nous écrivons
[Q]*[P]=[R].[\mathrm{Q}] \cdot[\mathrm{P}]=[\mathrm{R}] .
Les définitions 4^(0),5^(0)4^{0}, 5^{0} permattent de trouver la différence de deux suites.
L'égalité et l'addition des suites jouit de toutes les propriétés dé l'égalité et de l'addition ordinaire.
La multiplication .élémentaire est associative et distributive par rapport à l'addition mais elle n'est pas en général commutative. Si.
[Q]*[P]=[P]*[Q][\mathrm{Q}] \cdot[\mathrm{P}]=[\mathrm{P}] \cdot[\mathrm{Q}]
nous disons que les suites [P],[Q][\mathrm{P}],[\mathrm{Q}] sont permutables. La suite unité est permutable avec une suite quelconque.
La multiplication par un nombre non nul ne change pas l'ordre, la classe, la normalité et la permutabilité d'une suite.
L'ordre d'une somme est au plus égal au plus grand des ordres des suites ajoutées et sa classe au moins égale à la plus petite des
olasses dès suites ajoutées. Dans la formule
olasses dès suites ajoutées. Dans la formule
[R]=[P]+[Q][\mathrm{R}]=[\mathrm{P}]+[\mathrm{Q}]
on a en effet
r(n) <= max[p(n),q(n)]r(n) \leq \max [p(n), q(n)]
Quelle que soit la suite [P][\mathrm{P}] on a
[P]+[0]=[P][\mathrm{P}]+[0]=[\mathrm{P}]
L'ordre d'un produit est au plus égal à la somme des ordres des. facteurs et sa classe au moins égale à la classe de la suite multipliée. On a en effet
r(n) <= max[q(0)+p_(1)(n),q(1)+p_(1)(n)-1,q(2)+p_(1)(n)-2,dots q(p_(1)(n))]r(n) \leq \max \left[q(0)+p_{1}(n), q(1)+p_{1}(n)-1, q(2)+p_{1}(n)-2, \ldots q\left(p_{1}(n)\right)\right] où
r(n) <= max[q(0)+p_(1)(n),q(1)+p_(1)(n)-1,q(2)+p_(1)(n)-2,dots q(p_(1)(n))]r(n) \leq \max \left[q(0)+p_{1}(n), q(1)+p_{1}(n)-1, q(2)+p_{1}(n)-2, \ldots q\left(p_{1}(n)\right)\right] où
p_(1)(n)=max[p(n),p(n-1)+1,p(n-2)+2,dots,p(0)+n]p_{1}(n)=\max [p(n), p(n-1)+1, p(n-2)+2, \ldots, p(0)+n]
Si l'un des facteurs est [0] ]e produit est égal à [0] .
Pour les suites normales de classe 0 la réciproque est vraie, mais dans le cas général le produit de deux suites non nulles peut être nul ; par exemple pour les suites
Pour les suites normales de classe 0 la réciproque est vraie, mais dans le cas général le produit de deux suites non nulles peut être nul ; par exemple pour les suites
{:[[P],x","0","0","dots0","dots],[[Q],1","-x","(x^(2))/(2);dots((-1)^(n)x^(n))/(n!)","dots]:}\begin{array}{ll}
{[\mathrm{P}]} & x, 0,0, \ldots 0, \ldots \\
{[\mathrm{Q}]} & 1,-x, \frac{x^{2}}{2} ; \ldots \frac{(-1)^{n} x^{n}}{n!}, \ldots
\end{array}
on a
[Q]*[P]=[0][Q] \cdot[P]=[0]
Connaissant le produit de deux suites, on peut calculer une puissance ontière positive quelconque. Nous désignerons par [P]^(m)[\mathrm{P}]^{m}, ou [mP][\mathrm{mP}] la m^("èm ")m^{\text {èm }}è. puissance de lá suite [P][\mathrm{P}]. Nous posons par définition .
[P_(1)^(0)=1_(0)P]=[1].\left[P_{1}^{0}=1{ }_{0} P\right]=[1] .
Nous avons alors pour m,km, k entiers positifs ou nuls
[P]^(m)*[P]^(k)=[P]^(m+k);{[P]^(m)}^(k)=[P]^(mk).[\mathrm{P}]^{m} \cdot[\mathrm{P}]^{k}=[\mathrm{P}]^{m+k} ;\left\{[\mathrm{P}]^{m}\right\}^{k}=[\mathrm{P}]^{m k} .
Il faut dire encore quelques ,mols sur la division élémentaire des suites.
Nous disons qu'une suile [P][\mathrm{P}] est divisible à gauche par la suite [Q][Q] s'il existe une suite [R][R] unique et bien déterminée telle que
(6)
(6)
L'équation (6) n'est pas toujours possible en [R] et si elle est possible la solution n'est pas toujours unique.
Si [R][\mathrm{R}] est la suite [1] nous disons que [P] a une inverse à gauche. Désignons par [P]_(g)^(-1)[\mathrm{P}]_{g}^{-1} cette inverse. Nous avons
[P]*[P]_(g)^(-1)=[I][\mathrm{P}] \cdot[\mathrm{P}]_{\mathrm{g}}^{-1}=[\mathrm{I}]
d'où on déduit que la suite [P][\mathrm{P}] est divisible à gauche par toute suite admettant une inverse à gauche.
D'une façon analogue on définit la division à droite et l'inverse à droite [Pi_(d)^(-1):}\left[\mathrm{Pi}_{d}^{-1}\right.. Pour que [P]_(d)^(-1)[\mathrm{P}]_{d}^{-1} existe il faut que la suite [P][\mathrm{P}] soit de classe 0 .
Si une suite [P][\mathrm{P}] a une inverse à gauche et une inverse à drojte et si
[P]_(g)^(-1)=[P]_(d)^(-1)[\mathrm{P}]_{g}^{-1}=[\mathrm{P}]_{d}^{-1}
nous disons qu'elle est inversible. Nous désignons alors par [P]^(-1)[\mathrm{P}]^{-1} l'inverse de [P]. Toutes les puissances entières d'une telle suite sont déterminées.
3. Nous allons signaler quelques propriétés des suites normales.
3. Nous allons signaler quelques propriétés des suites normales.
Le produit de deux suites normales est une suite normale de classe égale à la somme des classes des facteurs
Posant
nous avons
nous avons
[Q]*[P]=[R][\mathrm{Q}] \cdot[\mathrm{P}]=[\mathrm{R}]
{:[sum_(j=0)^(i)((i)/(j))R_(k+k^(')+j)^((i))={sum_(j=0)^(i)((i)/(j))Q_(k^(')+j)^((j)\\{sum_(j=0)^(k^(')+i)((k^(')+i)/(j))P_(k+i)^((j))}:}],[i=0","1","2","dots]:}\begin{aligned}
\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j} \mathrm{R}_{k+k^{\prime}+j}^{(i)}= & \left\{\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j} Q_{k^{\prime}+j}^{(j} \backslash\left\{\sum_{j=0}^{k^{\prime}+i}\binom{k^{\prime}+i}{j} \mathrm{P}_{k+i}^{(j)}\right\}\right. \\
& i=0,1,2, \ldots
\end{aligned}
k,k^(')\boldsymbol{k}, \boldsymbol{k}^{\prime} étant les classes de [P][\mathrm{P}] et [Q][\mathrm{Q}].
Il en résuite que le produit de deux suites normales est toujours différent de [0] .
Il en résuite que le produit de deux suites normales est toujours différent de [0] .
Toute suite normale de classe 0 est inversible et son inverse est encore une suite normale de classe 0 .
Soit [__1 P] la suite inverse; on a
{:[|sum_(j=0)^(i)((i)/(j))-1P_(j)^((j))|{sum_(j=0)^(i)((i)/(j))P_(j)^((j))}=1],[i=0","1","2","dots]:}\begin{gathered}
\left|\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j}-1 P_{j}^{(j)}\right|\left\{\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j} P_{j}^{(j)}\right\}=1 \\
i=0,1,2, \ldots
\end{gathered}
Les suites normales de classe zéro forment un groupe. Ce groupe n'est pas permutable, mais il contient de sous-groupes permutables.
Nous connaissons déjà une puissance entière quelconque d'une suite normale de classe 0 .
Posons
U_(i)^('//))=sum_(s=0)^(j)((i)/(s))P_(s+i)^((s))\mathrm{U}_{i}^{\prime /)}=\sum_{s=0}^{j}\binom{i}{s} \mathrm{P}_{s+i}^{(s)}
et introduisons la notation suivante
[a_(1),a_(2),dotsa_(k)]=|[1,a_(1),a_(1)^(2),dots,a_(1)^(k-2)],[1,a_(2),a_(2)^(2),dots,a_(2)^(k-2)],[-,0,0,cdots,a_(2)^(m)],[1,a_(k),a_(k)^(2),dots,a_(k)^(k-2)],[a_(k)^(m),dots,a_(k)^(m)]|:|[1,a_(1),a_(1)^(2),dots,a_(1)^(k-1)],[1,a_(2),a_(2)^(2),dots,a_(2)^(k-1)],[1,-,,,.],[1,a_(k),a_(k)^(2),dots,a_(k)^(k-1)]|\left[a_{1}, a_{2}, \ldots a_{k}\right]=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & a_{1} & a_{1}^{2} & \ldots & a_{1}^{k-2} \\
1 & a_{2} & a_{2}^{2} & \ldots & a_{2}^{k-2} \\
- & 0 & 0 & \cdots & a_{2}^{m} \\
1 & a_{k} & a_{k}^{2} & \ldots & a_{k}^{k-2} \\
a_{k}^{m} & \ldots & a_{k}^{m}
\end{array}\right|:\left|\begin{array}{ccccc}
1 & a_{1} & a_{1}^{2} & \ldots & a_{1}^{k-1} \\
1 & a_{2} & a_{2}^{2} & \ldots & a_{2}^{k-1} \\
1 & - & & & . \\
1 & a_{k} & a_{k}^{2} & \ldots & a_{k}^{k-1}
\end{array}\right|
Considérons maintenant la suite [mP][m \mathrm{P}] définie par les relations
{:[_(m)P_(n)=sum_(n_(1),n_(2),dots,n_(k))U_(n_(1))^((0))*U_(n_(2))^((n_(1)))*U_(n_(3))^((n_(1)+n_(2)))dotsU_(n_(k))^((n_(1)+n_(2)+cdots+n_(k-1)))],[*[U_(0)^((0)),U_(0)^((n_(1))),U_(0)^((n_(1)+n_(2))),dotsU_(0)^((n_(1)+n_(2)+cdots+n_(k)))]],[n=0","1","2","dots]:}\begin{gathered}
{ }_{m} \mathrm{P}_{n}=\sum_{n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k}} \mathrm{U}_{n_{1}}^{(0)} \cdot \mathrm{U}_{n_{2}}^{\left(n_{1}\right)} \cdot \mathrm{U}_{n_{3}}^{\left(n_{1}+n_{2}\right)} \ldots \mathrm{U}_{n_{k}}^{\left(n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{k-1}\right)} \\
\cdot\left[\mathrm{U}_{0}^{(0)}, \mathrm{U}_{0}^{\left(n_{1}\right)}, \mathrm{U}_{0}^{\left(n_{1}+n_{2}\right)}, \ldots \mathrm{U}_{0}^{\left(n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{k}\right)}\right] \\
n=0,1,2, \ldots
\end{gathered}
la sommation étant étendue aux valeurs positives de n_(1),n_(2),dotsn_(k)n_{1}, n_{2}, \ldots n_{k} vérifiant l'égalité
n_(1)+n_(2)+cdots+n_(k)=nn_{1}+n_{2}+\cdots+n_{k}=n
k\boldsymbol{k} prenant toutes les valeurs possibles.
On montre que si mm est entier
On montre que si mm est entier
{:(7)[_(m)P]=[P]^(m).:}\begin{equation*}
\left[{ }_{m} \mathrm{P}\right]=[\mathrm{P}]^{m} . \tag{7}
\end{equation*}
On démontre ensuite que
{:[[m^(P)]*[m^(')P]=[m^(')P]*[m^(P)P]=[m+m^(')P]],[[m^(')[mP]]=[m^(')[m^(')P]]=[mm^(')P]]:}\begin{gathered}
{\left[m^{\mathrm{P}}\right] \cdot\left[m^{\prime} \mathrm{P}\right]=\left[m^{\prime} \mathrm{P}\right] \cdot\left[m^{\mathrm{P}} \mathrm{P}\right]=\left[m+m^{\prime} \mathrm{P}\right]} \\
{\left[m^{\prime}[m \mathrm{P}]\right]=\left[m^{\prime}\left[m^{\prime} \mathrm{P}\right]\right]=\left[m m^{\prime} \mathrm{P}\right]}
\end{gathered}
nous pouvons donc garder l'égalité (7) comme définissant une puissance quelconque de la suite [P][\mathrm{P}], normale et de classe 0 .
On a
sum_(j=0)^(i)((i)/(j))_(m)P_(j)^((j))=(sum_(j=0)^(i)((i)/(j))P_(j)^((j)))^(m)\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j}_{m} \mathrm{P}_{j}^{(j)}=\left(\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j} \mathrm{P}_{j}^{(j)}\right)^{m}
Par exemple pour la suite binome normale et de classe 0
on a
on a
{:[P_(0)","P_(1)","0","0","dots0","dots],[_(m)P_(n)=P^(n)*[U_(0)^((0)),U_(0)^((1)),U_(0)^((2)),dotsU_(0)^((n))]]:}\begin{gathered}
\mathrm{P}_{0}, \mathrm{P}_{1}, 0,0, \ldots 0, \ldots \\
{ }_{m} \mathrm{P}_{n}=\mathrm{P}^{n} \cdot\left[\mathrm{U}_{0}^{(0)}, \mathrm{U}_{0}^{(1)}, \mathrm{U}_{0}^{(2)}, \ldots \mathrm{U}_{0}^{(n)}\right]
\end{gathered}
Le nombre [U_(0)^((0)),U_(0)^((1)),dotsU_(0)^((n))]\left[\mathrm{U}_{0}^{(0)}, \mathrm{U}_{0}^{(1)}, \ldots \mathrm{U}_{0}^{(n)}\right] généralişe le nombre ((m)/(n))\binom{m}{n} et se réduit à ce dernier pour P^(')_(1)=0\mathrm{P}^{\prime}{ }_{1}=0.
Si P^(')_(1)!=0\mathrm{P}^{\prime}{ }_{1} \neq 0 la série
sum_(n=1)^(oo)[U_(0)^((0)),U_(0)^((1)),dotsU_(0)^((n))]\sum_{n=1}^{\infty}\left[\mathrm{U}_{0}^{(0)}, \mathrm{U}_{0}^{(1)}, \ldots \mathrm{U}_{0}^{(n)}\right]
converge absolument quel que soit mm. On démontre en effet sans
difficulté que
difficulté que
|[U_(0)^((0)),U_(0)^((1)),dotsU_(0)^((n))]| < (((n)/(n^('))))/(n!(P_(1)^('))^(n))sum_(i=0)^(n)|U_(0)^((i))|^(m)\left|\left[\mathrm{U}_{0}^{(0)}, \mathrm{U}_{0}^{(1)}, \ldots \mathrm{U}_{0}^{(n)}\right]\right|<\frac{\binom{n}{n^{\prime}}}{n!\left(\mathrm{P}_{1}^{\prime}\right)^{n}} \sum_{i=0}^{n}\left|\mathrm{U}_{0}^{(i)}\right|^{m}
nn étant égal à (n)/(2)\frac{n}{2} ou (n-1)/(2)\frac{n-1}{2} suivant que nn est pair ou impair.
4. Sur quelques suites particulières. Désignons par [a],[b],dots[a],[b], \ldots les: suites de nombres, donc les suite (1) telles que p(n) <= 0n=0,1,2,dotsp(n) \leq 0 n=0,1,2, \ldots Une suite de nombres est toujours normale. Son ordre est égal à sa classe changée de signe.
4. Sur quelques suites particulières. Désignons par [a],[b],dots[a],[b], \ldots les: suites de nombres, donc les suite (1) telles que p(n) <= 0n=0,1,2,dotsp(n) \leq 0 n=0,1,2, \ldots Une suite de nombres est toujours normale. Son ordre est égal à sa classe changée de signe.
Les suites de nombres de classe 0 forment un sous-groupe permutable du groupe des suites normales de classe 0.
Une suite normale de classe 0 permutable avec une suite de nombres de classe 0 n'est pas nécessairement une suite de nombres. Si la suite de nombres a tous ses éléments différents de zéro toutesuite permutable avec elle est une suite de nombres.
Considérons les suites de la forme
{:(8)P_(n)=a_(n)(x^(n))/(n!)","quad n=0","1","2","dots:}\begin{equation*}
\mathrm{P}_{n}=a_{n} \frac{x^{n}}{n!}, \quad n=0,1,2, \ldots \tag{8}
\end{equation*}
Ces suites sont caractérisées par la suite de nombres [ aa ]. Nous les désignerons par [ P;[a]\mathrm{P} ;[a] ]. Pour qu'une telle suite soit normale il faut qu'elle soit de la classe 0 . Les conditions de normalité sont alors
{:[sum_(j=0)^(i)((i)/(j))a_(j)!=0],[i=0","1","2","dots]:}\begin{gathered}
\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j} a_{j} \neq 0 \\
i=0,1,2, \ldots
\end{gathered}
Les suites normales de la forme (8) forment un sous-groupe permutable du groupe des suites normales de classe 0.
La suite inverse
[P;[a]]^(-1)=[_(-1)P;[_(-1)a]][\mathrm{P} ;[a]]^{-1}=\left[{ }_{-1} \mathrm{P} ;\left[{ }_{-1} a\right]\right]
est déterminée par les équations
{sum_(i=0)^(n)((n)/(i))-1a_(i)}{sum_(i=0)^(n)((n)/(i))a_(i)}=1\left\{\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}-1 a_{i}\right\}\left\{\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} a_{i}\right\}=1
Le produit
n=0l,2,dotsn=0 l, 2, \ldots
[Q;[b]]*[P;[a]=[R;[c]][Q ;[b]] \cdot[\mathrm{P} ;[a]=[\mathrm{R} ;[c]]
est déterminé par les équations
{:(9)sum_(i=0)^(n)((n)/(i))c_(i)=(sum_(i=0)^(n)((n)/(i))a_(i))(sum_(i=0)^(n)((n)/(i))b_(i)).:}\begin{equation*}
\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} c_{i}=\left(\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} a_{i}\right)\left(\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} b_{i}\right) . \tag{9}
\end{equation*}
La puissance [P;[a]]^(m)=[_(m)P;[_(m)a]∣:}[\mathrm{P} ;[a]]^{m}=\left[{ }_{m} \mathrm{P} ;\left[{ }_{m} a\right] \mid\right. est donnée par
{:[sum_(i=0)^(n)((n)/(i))_(m)a_(i)=(sum_(i=0)^(n)((n)/(i))a)^(m)],[n=0","1","2","dots]:}\begin{gathered}
\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}_{m} a_{i}=\left(\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} a\right)^{m} \\
n=0,1,2, \ldots
\end{gathered}
Des équations (9) nous tirons facilement
c_(n)=sum_(i=0)^(n)((n)/(i))b_(i)(sum_(r=0)^(i)((i)/(r))a_(n-i+r))=sum_(i=0)^(n)((n)/(i))a_(i)(sum_(r=0)^(i)((i)/(r))b_(n-i+))c_{n}=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} b_{i}\left(\sum_{r=0}^{i}\binom{i}{r} a_{n-i+r}\right)=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} a_{i}\left(\sum_{r=0}^{i}\binom{i}{r} b_{n-i+}\right)
Si les séries
suma_(n)z^(n),quad sumb_(n)z^(n)\sum a_{n} z^{n}, \quad \sum b_{n} z^{n}
convergent à l'intérieur des cercles de rayon respectivement éga à R_(a),\mathrm{R}_{a},. R_(b)\mathrm{R}_{b}, la série
converge certainement à l'intérieur du cercle de rayon
converge certainement à l'intérieur du cercle de rayon
R_(c)=(1)/((1+(1)/(R_(a)))(1+(1)/(R_(b)))-1)\mathrm{R}_{c}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{\mathrm{R}_{a}}\right)\left(1+\frac{1}{\mathrm{R}_{b}}\right)-1}
mais elle peut éventuellement converger à l'extérieur de ce cercle.
5. La suite [A][\mathrm{A}] est une suite harmonique si
5. La suite [A][\mathrm{A}] est une suite harmonique si
A_(0)=c^(te),A_(n)^(')=A_(n-1),quad n=1,2,dots\mathrm{A}_{0}=c^{t e}, \mathrm{~A}_{n}^{\prime}=\mathrm{A}_{n-1}, \quad n=1,2, \ldots
Une telle suite est caractérisée par une suite de nombres [alpha][\alpha] et on a
A_(n)=(alpha_(0))/(n!)x^(n)+(alpha_(1))/((n-1)!)x^(n-1)+cdots+alpha_(n)\mathrm{A}_{n}=\frac{\alpha_{0}}{n!} x^{n}+\frac{\alpha_{1}}{(n-1)!} x^{n-1}+\cdots+\alpha_{n}
Toute suite harmonique est normale et de classe 0. Envisageons. les suites plus générales de la forme
P_(n)=a^(n)A_(n),quad n=0,1,2,dots\mathrm{P}_{n}=a^{n} \mathrm{~A}_{n}, \quad n=0,1,2, \ldots
[A] étant une suite harmonique. Désignons ces suites par [P;[alpha],a][P ;[\alpha], a]. Les suites de cette forme sont normales et de classe 0 si a!=-1a \neq-1. Elle forment un groupe. La suite inverse, [-1P;[-1alpha],-1a][-1 \mathrm{P} ;[-1 \alpha],-1 a] est telle que:
-1a=-(a)/(1+a)-1 a=-\frac{a}{1+a}
et la suite [-1alpha][-1 \alpha] est telle, que la suite
-1alpha_(0),--1x_(1),-1x_(2),dots(-1)^(n)_(-1)alpha_(n),dots-1 \alpha_{0},--1 x_{1},-1 x_{2}, \ldots(-1)^{n}{ }_{-1} \alpha_{n}, \ldots
est l'inverse de [alpha][\alpha]
Le produit
[R;[gamma],c]=[Q;[beta],b]*[P;[alpha],a][\mathrm{R} ;[\gamma], c]=[\mathrm{Q} ;[\beta], b] \cdot[\mathrm{P} ;[\alpha], a]
s'obtient par les formules
{:[c=a+b+ab],[c^(n)gamma_(n)=sum_(i=0)^(n)b^(i)(a+1)^(i)a^(n-i)alpha_(n-i)beta_(i)],[n=0","1","2","dots]:}\begin{gathered}
c=a+b+a b \\
c^{n} \gamma_{n}=\sum_{i=0}^{n} b^{i}(a+1)^{i} a^{n-i} \alpha_{n-i} \beta_{i} \\
n=0,1,2, \ldots
\end{gathered}
Pour la puissance
on a en général
on a en général
{:[[_(m)P;[_(m)alpha],_(m)a]=[P;[alpha]","a]^(m)],[_(m)a=(a+1)^(n)-1]:}\begin{gathered}
{\left[{ }_{m} \mathrm{P} ;\left[{ }_{m} \alpha\right],{ }_{m} a\right]=[\mathrm{P} ;[\alpha], a]^{m}} \\
{ }_{m} a=(a+1)^{n}-1
\end{gathered}
On voit que ce groupe n'est pas permutable.
6. Transformation d'une suile par rapport à une suite fondamentale. Une suite sera dite fondamentale si elle est normale et de classe 1. Soit donc une suite fondamentale
[G]
6. Transformation d'une suile par rapport à une suite fondamentale. Une suite sera dite fondamentale si elle est normale et de classe 1. Soit donc une suite fondamentale
[G]
G_(0),G_(1),dotsG_(n),dots\mathrm{G}_{0}, \mathrm{G}_{1}, \ldots \mathrm{G}_{n}, \ldots
où G_(0)=0,G_(1)=c^("te ")!=0\mathrm{G}_{0}=0, \mathrm{G}_{1}=c^{\text {te }} \neq 0. Nous considérons les puissances entières positives {:_([m)G]\left.{ }_{[m} \mathrm{G}\right] de [G][\mathrm{G}]. La suite [mG][m \mathrm{G}] est normale et de classe mm. La suite [G] sera désignée aussi par [iG][\mathrm{i} \mathrm{G}]. La suite [_(0)G]\left[{ }_{0} \mathrm{G}\right] est la suite unité.
Nous appellons transformée de la suite [P][P] par rapport à la suite fondamentale [G][G] la nouvelle suite
{:(Q])Q_(0)","Q_(1)","dotsQ_(n)","dots:}\begin{equation*}
Q_{0}, Q_{1}, \ldots Q_{n}, \ldots \tag{Q]}
\end{equation*}
obtenue par les équations
{:[(10)P=sum_(i=0)^(n)Q_(i.i)G_(n)],[n=0","1","2","dots]:}\begin{gather*}
\mathrm{P}=\sum_{i=0}^{n} \mathrm{Q}_{i . i} \mathrm{G}_{n} \tag{10}\\
n=0,1,2, \ldots
\end{gather*}
La suite [Q] est complétement déterminée par ces équations puisque
{:[_(n)G_(n)=prod_(i=0)^(n-1)(sum_(s=0)^(i)((i)/(s))G_(s+1)^((s)))!=0],[n=1","2","3","dots]:}\begin{gathered}
{ }_{n} \mathrm{G}_{n}=\prod_{i=0}^{n-1}\left(\sum_{s=0}^{i}\binom{i}{s} \mathrm{G}_{s+1}^{(s)}\right) \neq 0 \\
n=1,2,3, \ldots
\end{gathered}
expriment justement la normalité de la suite fondamentale. Nous regarderons la suite transformée comme étant prise par rapport à la suite [G][G] et nous la désignons par[Q∣G]\operatorname{par}[Q \mid G].
Pour les suites prises par rapport à une suite fondamentale nous pouvons établir aussi une algèbre. Cette algèbre sera caractérisée par la multiplication.
. Le produit
. Le produit
[Q∣G]*[P∣G]==[R∣G][Q \mid G] \cdot[P \mid G]==[R \mid G]
est défini par les égalités
{:[(11)sum_(i=0)^(n)R_(i,i)G_(n)=sum_(i=0)^(oo)(sum_(r=0)^(i)Q_(r,r)G_(i))[sum_(j=0)^(n)((i)/(j))(sum_(s=0)^(n-j)P_(s,s)G_(n-j))^((i-j))]],[n=0","1","2","dots]:}\begin{gather*}
\sum_{i=0}^{n} \mathrm{R}_{i, i} \mathrm{G}_{n}=\sum_{i=0}^{\infty}\left(\sum_{r=0}^{i} \mathrm{Q}_{r, r} \mathrm{G}_{i}\right)\left[\sum_{j=0}^{n}\binom{i}{j}\left(\sum_{s=0}^{n-j} \mathrm{P}_{s, s} \mathrm{G}_{n-j}\right)^{(i-j)}\right] \tag{11}\\
n=0,1,2, \ldots
\end{gather*}
De cette façon le produit des transformées de deux suites est égal ^(-){ }^{-} à la transformée do leur produit élémentaire.
On voit que la multiplication élémentaire correspond aux suites. prises par rapport à la suite tondamentale
0,1,0,0,dots0,dots0,1,0,0, \ldots 0, \ldots
La suite fondamentale [G][G] a été prise elle même par rapport à cette suite.
Soient [G],[H][G],[H] deux suites fondamentales. D'une manière générale la transformée [P∣H][P \mid H] par rapport à la suite [G][G] est une suite [Q∣G][Q \mid G]; définie par les égalités.
{:[sum_(i=0)^(n)P_(i.i)H_(n)=sum_(i=0)^(n)Q_(i.i)G_(n)],[n=0","1","2","dots]:}\begin{gathered}
\sum_{i=0}^{n} \mathrm{P}_{i . i} \mathrm{H}_{n}=\sum_{i=0}^{n} Q_{i . i} \mathrm{G}_{n} \\
n=0,1,2, \ldots
\end{gathered}
Désignons bar(par)[G∣G]\overline{\operatorname{par}}[G \mid G] la transformée de la suite fondamentale
(12)
(12)
0,1,0,0,dots0,dots0,1,0,0, \ldots 0, \ldots
par rapport à [G][G]. Cette suite est donnée par les égalités
sum_(i=0)^(n) bar(G)_(i,i)G_(n)={[1,n=1],[0,n!=1]:}\sum_{i=0}^{n} \overline{\mathrm{G}}_{i, i} \mathrm{G}_{n}= \begin{cases}1 & n=1 \\ 0 & n \neq 1\end{cases}
La suite bar([G)∣G]\overline{[\mathrm{G}} \mid \mathrm{G}] est la réciproque de [A][A]. Nous pouvons calculer la m^(éme)m^{e ́ m e} puissance entière positive [m bar(G)∣G][m \bar{G} \mid \mathrm{G}] de [ bar(G)∣G][\overline{\mathrm{G}} \mid \mathrm{G}]. On trouve que cette puissance est donnée par les équations
{:[m bar(G)_(0)=m bar(G)_(1)=cdots=_(m) bar(G)_(m-1)=0],[sum_(i=m)^(n) bar(G)_(i,i)G_(n)={[1,n=m],[0,n > m]:}]:}\begin{gathered}
m \overline{\mathrm{G}}_{0}=m \overline{\mathrm{G}}_{1}=\cdots={ }_{m} \overline{\mathrm{G}}_{m-1}=0 \\
\sum_{i=m}^{n} \overline{\mathrm{G}}_{i, i} \mathrm{G}_{n}= \begin{cases}1 & n=m \\
0 & n>m\end{cases}
\end{gathered}
On a également
{:[_(m)G_(0)=_(m)G_(1)=cdots=_(m)G_(m-1)=0],[sum_(i=m)^(n)_(m)G_(i,i) bar(G)_(n)={[1,n=m],[0,n > m]:}]:}\begin{gathered}
{ }_{m} \mathrm{G}_{0}={ }_{m} \mathrm{G}_{1}=\cdots={ }_{m} \mathrm{G}_{m-1}=0 \\
\sum_{i=m}^{n}{ }_{m} \mathrm{G}_{i, i} \overline{\mathrm{G}}_{n}= \begin{cases}1 & n=m \\
0 & n>m\end{cases}
\end{gathered}
Citons encore les formules
{:[sum_(i=0)^(n)m-i bar(G)_(m*m-n+i)G_(m)=0],[n=1","2","dots]:}\begin{gathered}
\sum_{i=0}^{n} m-i \overline{\mathrm{G}}_{m \cdot m-n+i} \mathrm{G}_{m}=0 \\
n=1,2, \ldots
\end{gathered}
Si on considère la suite réciproque par rapport à la suite (12) elle est aussi une suite fondamentale. A l'aide de la suite réciproque tes formules (10), (11) peuvent s'écrire
{:[Q_(n)=sum_(i=0)^(n)P_(i*i) bar(G)_(n)],[n=0","1","2","dots],[R_(n)=sum_(i=0)^(n)i bar(G)_(n){sum_(alpha=0)^(oo)(sum_(r=0)^(alpha)Q_(r*r)G_(a))[sum_(i=0)^(i)((alpha )/(j))(sum_(s=0)^(i-1)P_(s*s)G_(i*j))^((alpha-j))]:}],[n=0","1","2","dots]:}\begin{gathered}
\mathrm{Q}_{n}=\sum_{i=0}^{n} \mathrm{P}_{i \cdot i} \overline{\mathrm{G}}_{n} \\
n=0,1,2, \ldots \\
\mathrm{R}_{n}=\sum_{i=0}^{n} i \overline{\mathrm{G}}_{n}\left\{\sum_{\alpha=0}^{\infty}\left(\sum_{r=0}^{\alpha} \mathrm{Q}_{r \cdot r} \mathrm{G}_{a}\right)\left[\sum_{i=0}^{i}\binom{\alpha}{j}\left(\sum_{s=0}^{i-1} \mathrm{P}_{s \cdot s} \mathrm{G}_{i \cdot j}\right)^{(\alpha-j)}\right]\right. \\
n=0,1,2, \ldots
\end{gathered}
Supposons en particulier qu'il s'agit de suites d'ordre négatif ou nul; nous pouvons écrire
R=sum_(i=0)^(n)Q_(i)(sum_(i=0)^(n-j)i+iG_(n)*B_(i+1,i)),quad n=0,1,2,dots\mathrm{R}=\sum_{i=0}^{n} \mathrm{Q}_{i}\left(\sum_{i=0}^{n-j} i+i \mathrm{G}_{n} \cdot \mathrm{~B}_{i+1, i}\right), \quad n=0,1,2, \ldots
où -
{:[B_(i,j)=sum_(r=0)^(i-j)G_(r+j)","A_(i,r+j)],[A_(i,j)=sum_(r=0)^(j)((j)/(r))(sum_(s=0)^(i-r)P_(s,s)G_(i-r))^((j-r))]:}\begin{gathered}
\mathrm{B}_{i, j}=\sum_{r=0}^{i-j} \mathrm{G}_{r+j}, \mathrm{~A}_{i, r+j} \\
\mathrm{~A}_{i, j}=\sum_{r=0}^{j}\binom{j}{r}\left(\sum_{s=0}^{i-r} \mathrm{P}_{s, s} \mathrm{G}_{i-r}\right)^{(j-r)}
\end{gathered}
- La classe et l'ordre d'une suite sont invariants par rapport à une transformation. L'indice caractéristique est aussi indépendant d'une trasformation. La permutabilité est une propriété invariante par rapport :.\therefore à une transformation.
Si la suite [P∣G][\mathrm{P} \mid \mathrm{G}] est prise par rapport à la suite fondamentale [G] nous disons qu'elle est normale si elle est de classe kk, d'ordre - kk et si
{:[sum_(j=0)^(k)_(j+m) bar(G)_(k+m)quadB_(j+m)","!=0],[m=0","1","2","dots]:}\begin{gathered}
\sum_{j=0}^{k}{ }_{j+m} \overline{\mathrm{G}}_{k+m} \quad \mathrm{~B}_{j+m}, \neq 0 \\
m=0,1,2, \ldots
\end{gathered}
Les quantités du premier membre sont des nombres. En effet on a dans ce cas
A_(i,j)=0quad" si "quad i < j+k\mathrm{A}_{i, j}=0 \quad \text { si } \quad i<j+k
donc
sum_(j=0)^(k)j+m bar(G)_(k+m)*B_(j+m,m)=k+m bar(G)_(k+m*m)G_(m)*A_(k+m;m)=\sum_{j=0}^{k} j+m \overline{\mathrm{G}}_{k+m} \cdot \mathrm{~B}_{j+m, m}=k+m \overline{\mathrm{G}}_{k+m \cdot m} \mathrm{G}_{m} \cdot \mathrm{~A}_{k+m ; m}=
=_(k+m) bar(G)_(k+m*m)G_(m)sum_(r=0)^(m)((m)/(r))(sum_(s=0)^(m-r)((m-r)/(s))P_(k+sk+s)^((s))G_(k+m-r)^((m-r-s)))={ }_{k+m} \overline{\mathrm{G}}_{k+m \cdot m} \mathrm{G}_{m} \sum_{r=0}^{m}\binom{m}{r}\left(\sum_{s=0}^{m-r}\binom{m-r}{s} \mathrm{P}_{k+s k+s}^{(s)} \mathrm{G}_{k+m-r}^{(m-r-s)}\right)
On voit donc qu'une suite normale se transforme en une suite normale.
On en déduit encore que la transformée par rapport à [G] d'une suite normale de classe 0 admet une inverse qui est égale à la transformée de l'inverse.
La multiplication des suites de nombres prises par rapport à une suite fondamentale [G][G] se fait a'après la règle ordinaire
c_(n)=sum_(i=0)^(n)a_(n-i)b_(n)c_{n}=\sum_{i=0}^{n} a_{n-i} b_{n}
donc :
Les suites de nombres de classe 0,[a∣G]0,[a \mid G] forment un sous-groupe permutable du groupe des suites normales de classe zéro.
Les suites de nombres de classe 0,[a∣G]0,[a \mid G] forment un sous-groupe permutable du groupe des suites normales de classe zéro.
Soit [H] une suite normale de classe 1. Les suites [P] de la forme
{:[P_(n)=sum_(i=0)^(n)a_(i*i)H_(n)],[n=0","i","2","dots]:}\begin{aligned}
\mathrm{P}_{n} & =\sum_{i=0}^{n} a_{i \cdot i} \mathrm{H}_{n} \\
n & =0, \mathrm{i}, 2, \ldots
\end{aligned}
- a_(i)a_{i} étant des constantes, forment un groupe permutable.
- On pourrait étudier encore diverses autres questions relativement aux suites de polynomes. L'étude des suites jouissant de propriétés particulières conduit à des identités intéressantes, comme l'a fait M. Lagrange pour les suites de nombres (^((1)):}\left({ }^{(1)}\right.. Nous faisons remarquer encore que la conception de M. Lagrange est la suivante: On associe à une suite de nombres [a] la série de puissances
a_(0)+a_(1)z+a_(2)z^(2)+cdots+a_(n)z^(n)+cdotsa_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\cdots+a_{n} z^{n}+\cdots
(') loc. cit.
Le lecteur s'en apercevra facilement que nous associons à la suite [P][P], l'opération fonctionnelle:
P_(0)+P_(1)D+P_(2)D^(2)+cdots+P_(n)D^(n)+cdotsquadD=(d)/(dx)\mathrm{P}_{0}+\mathrm{P}_{1} \mathrm{D}+\mathrm{P}_{2} \mathrm{D}^{2}+\cdots+\mathrm{P}_{n} \mathrm{D}^{n}+\cdots \quad \mathrm{D}=\frac{d}{d x}
Ce nouveau point de vue nous a permis de généraliser la théorie de M. Lagrange. Nous l'avons déjà exposé dans un mémoire antérieur où nous en avons donné quelques applications. En particulier nous avonsdonné des propriétés fonctionnelles intéréssantes pour les suites binomiales, que M. Lagrange a également étudié sous le nom de suites: d'interpolation (^(1))\left({ }^{1}\right).
- ( ^(1){ }^{1} ) Voir T. Popovicu "Asupra unor polinoame remarcabile". La note à la fin du mémoire. (Autographié 1927).