Asupra unor inegalităţi

TIB. POPOVICIU, prof. univ., membru coresp. al Acad. R. P. R.

este verificată oricare ar fi şirurile de numere reale
(2)

I. Aczél a demonstrat [1] inegalitatea
(3)

care este verificată oricare ar fi şirurile de numere reale
(4)

astfel ca să avem
(5)

În aceste formule, precum și în cele ce vor urma, notăm, pentru prescurtare, cu $\sum$$\sum$sum$\sum$, însemnarea $\sum _{i=1}^n,n$$\sum _{i=1}^n ,n$sum_(i=1)^(n),n$\sum _{i=1}^n,n$ fiind un număr natural dat.
2. Se cunosc mai multe demonstrații ale inegalității (1). Una din aceste demonstrații se bazează pe observația că forma pătratică $\sum {(a_{i}x-b_{i}y)}^2$$\sum {(a_{i}x-b_{i}y)}^2$sum(a_(i)x-b_(i)y)^(2)$\sum {(a_{i}x-b_{i}y)}^2$ este nenegativă și, în general, definită. Se deduce că în (1) egalitatea are loc dacă și numai dacă şirurile (2) sînt proportionale. Două șiruri, cu același număr de termeni, cum sînt de exemplu, șirurile (2) (respectiv șirurile (4)), se zic proportionale (sau liniar dependente), dacă există două numere $\lambda ,\mu$$\lambda ,\mu$lambda,mu$\lambda ,\mu$, nu ambele nule, astfel ca să avem $\lambda a_i=\mu b_i,i=1,2,\dots ,n$$\lambda a_i=\mu b_i,i=1,2,\dots ,n$lambdaa_(i)=mub_(i),i=1,2,dots,n$\lambda a_i=\mu b_i,i=1,2,\dots ,n$ (respectiv $i=0,1,\dots ,n$$i=0,1,\dots ,n$i=0,1,dots,n$i=0,1,\dots ,n$ ).
I. Aczél dă o demonstrație analoagă pentru inegalitatea (3), observînd că forma pătratică

este indefinită şi deduce că în (3) egalitatea are loc dacă și numai dacă șirurile (4) sînt proporționale.

Dacă $n>1$$n>1$n > 1$n>1$, concluzia relativă la cazul egalitătii în formula (3) este valabilă numai sub ipoteza (5). Dacă $a_0^2=\sum a_i^2$$a_0^2=\sum a_i^2$a_(0)^(2)=suma_(i)^(2)$a_0^2=\sum a_i^2$ (sau $b_0^2=\sum b_i^2$$b_0^2=\sum b_i^2$b_(0)^(2)=sumb_(i)^(2)$b_0^2=\sum b_i^2$ ), inegalitatea (3) are loc (evident), dar pentru egalitate nu este atunci necesar ca șirurile (4) să fie proporționale. Pentru a vedea acest lucru, este suficient a lua, de exemplu, pentru șirurile (4) șirurile $(n=2)5,3,4;8,4,7$$(n=2)5,3,4;8,4,7$(n=2)5,3,4;8,4,7$(n=2)5,3,4;8,4,7$.
3. O a doua demonstrație, foarte simplă, a inegalității (1) se bazează pe egalitatea

O egalitate analoagă permite să deducem inegalitatea (3) din inegalitatea (1).

Dacă $\sum a_i^2>0$$\sum a_i^2>0$suma_(i)^(2) > 0$\sum a_i^2>0$, avem

de unde, ţinînd seamă de condiţia (5) și de inegalitatea (1), rezultă că avem (3). Pentru ca în (3) să aibă loc egalitatea, este necesar și suficient ca să avem egalitate în (1) și ca $b_0\sum a_i^2=a_0\sum a_i{b}_i$$b_0\sum a_i^2=a_0\sum a_i{b}_i$b_(0)suma_(i)^(2)=a_(0)suma_(i)b_(i)$b_0\sum a_i^2=a_0\sum a_i{b}_i$. Din proportionalitatea șirurilor (2) se deduce atunci imediat proportionalitatea șirurilor (4).
4. Se știe că inegalitatea (1) se generalizează prin inegalitatea lui Hölder

unde $a_i,b_i\geqq 0,i=1,2,\dots ,n$$a_i,b_i\geqq 0,i=1,2,\dots ,n$a_(i),b_(i) >= 0,i=1,2,dots,n$a_i,b_i\geqq 0,i=1,2,\dots ,n$, iar $p$$p$p$p$, $q$$q$q$q$ sînt două numere pozitive ( $>1$$>1$> 1$>1$ ) şi conjugate, adică $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$(1)/(p)+(1)/(q)=1$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

Egalitatea în (3) are loc dacă şi numai dacă șirurile
(7)

sînt proportionale.
Pentru demonstrarea inegalității (6) se pleacă de la inegalitatea dintre medile aritmetice şi geometrice generalizate,

care este verificată pentru $\xi ,\eta \geqq 0,r,s>0$$\xi ,\eta \geqq 0,r,s>0$xi,eta >= 0,r,s > 0$\xi ,\eta \geqq 0,r,s>0$ şi în care egalitatea are loc dacă şi numai dacă $\xi =\eta$$\xi =\eta$xi=eta$\xi =\eta$.

Dacă presupunem că $\sum a_i^p>0,\sum b_i^q>0$$\sum a_i^p>0,\sum b_i^q>0$suma_(i)^(p) > 0,sumb_(i)^(q) > 0$\sum a_i^p>0,\sum b_i^q>0$ și dacă punem

inegalitatea (8) devine

Făcînd aici $i=1,2,\dots ,n$$i=1,2,\dots ,n$i=1,2,dots,n$i=1,2,\dots ,n$ și adunînd membru cu membru inegalitățile astfel obținute, avem, tuînd seamă şi de $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$(1)/(p)+(1)/(q)=1$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$,

care este echivalentă cu inegalitatea (6).
Condiția de egalitate rezultă din condiția de egalitate a relației (8).
In demonstrația precedentă am presupus că numerele $a_1,a_2,\dots ,a_n$$a_1,a_2,\dots ,a_n$a_(1),a_(2),dots,a_(n)$a_1,a_2,\dots ,a_n$, pe de o parte și numerele $b_1,b_2,\dots ,b_n$$b_1,b_2,\dots ,b_n$b_(1),b_(2),dots,b_(n)$b_1,b_2,\dots ,b_n$, pe de altă parte, nu sînt toate nule. Se vede că rezultatele precedente sînt valabile și dacă $a_1=a_2=\dots =a_n=0$$a_1=a_2=\dots =a_n=0$a_(1)=a_(2)=dots=a_(n)=0$a_1=a_2=\dots =a_n=0$ sau dacă $b_1=b_2=\dots =b_n=0$$b_1=b_2=\dots =b_n=0$b_(1)=b_(2)=dots=b_(n)=0$b_1=b_2=\dots =b_n=0$. Pentru cazul egalității, ne bazăm pe faptul că orice șir este proporțional cu şirul care are toți termenii egali cu 0 .

Notă. Inegalitatea (8) se poate demonstra în multe feluri. De exemplu, ea se deduce ușor dacă observăm că, presupunînd $\eta$$\eta$eta$\eta$ dat, funcţia de $\xi ,\frac{r\xi +s\eta }{r+s}-{\xi }^{\frac{r}{r+s}}{\eta }^{\frac{s}{r+s}}$$\xi ,\frac{r\xi +s\eta }{r+s}-{\xi }^{\frac{r}{r+s}}{\eta }^{\frac{s}{r+s}}$xi,(r xi+s eta)/(r+s)-xi^((r)/(r+s))eta^((s)/(r+s))$\xi ,\frac{r\xi +s\eta }{r+s}-{\xi }^{\frac{r}{r+s}}{\eta }^{\frac{s}{r+s}}$ a cărei derivată este egală cu $\frac{r}{r+s}[1-{\left(\frac{\eta }{\xi }\right)}^{\frac{s}{r+s}}]$$\frac{r}{r+s}[1-{\left(\frac{\eta }{\xi }\right)}^{\frac{s}{r+s}}]$(r)/(r+s)[1-((eta )/(xi))^((s)/(r+s))]$\frac{r}{r+s}[1-{\left(\frac{\eta }{\xi }\right)}^{\frac{s}{r+s}}]$, îşi atinge minimul său absolut pentru și numai pentru $\xi =\eta$$\xi =\eta$xi=eta$\xi =\eta$.
5. Avem inegalitatea

care este verificată dacă $p,q(>1)$$p,q(>1)$p,q( > 1)$p,q(>1)$ sînt două numere conjugate și $a_i,b_i\geqq 0,i=1,2,\dots ,n,a_0^p>\sum a_i^p,b_0^q>\sum b_i^q$$a_i,b_i\geqq 0,i=1,2,\dots ,n,a_0^p>\sum a_i^p,b_0^q>\sum b_i^q$a_(i),b_(i) >= 0,i=1,2,dots,n,a_(0)^(p) > suma_(i)^(p),b_(0)^(q) > sumb_(i)^(q)$a_i,b_i\geqq 0,i=1,2,\dots ,n,a_0^p>\sum a_i^p,b_0^q>\sum b_i^q$, egalitatea în (10) avînd loc dacă și numai dacă șirurile

sînt proportionale.
Pentru a demonstra inegalitatea (10), vom arăta întîi că este destul să ne ocupăm de cazul $n=1$$n=1$n=1$n=1$. Intr-adevăr, fie $n\geqq 1$$n\geqq 1$n >= 1$n\geqq 1$ și să punem $A={(\sum a_i^p)}^{\frac{1}{p}},B={(\sum b_i^q)}^{\frac{1}{q}}$$A={(\sum a_i^p)}^{\frac{1}{p}},B={(\sum b_i^q)}^{\frac{1}{q}}$A=(suma_(i)^(p))^((1)/(p)),B=(sumb_(i)^(q))^((1)/(q))$A={(\sum a_i^p)}^{\frac{1}{p}},B={(\sum b_i^q)}^{\frac{1}{q}}$. Atunci $a_0>A\geqq 0,b_0>B\geqq 0$$a_0>A\geqq 0,b_0>B\geqq 0$a_(0) > A >= 0,b_(0) > B >= 0$a_0>A\geqq 0,b_0>B\geqq 0$ și pe baza inegalității lui Hölder,

Presupunînd că inegalitatea (10) este adevărată pentru $n=1$$n=1$n=1$n=1$, putem scrie

Din (12), (13) rezultă imediat inegalitatea (10) (pentru $n$$n$n$n$ oarecare). Rămîne să demonstrăm inegalitatea (13) unde $a_0,b_0,A,B$$a_0,b_0,A,B$a_(0),b_(0),A,B$a_0,b_0,A,B$ sînt numere reale astfel ca $a_0>A\geqq 0,b_0>B\geqq 0$$a_0>A\geqq 0,b_0>B\geqq 0$a_(0) > A >= 0,b_(0) > B >= 0$a_0>A\geqq 0,b_0>B\geqq 0$.

Pe baza inegalitătii (6) (unde $n=2,a_1=A,a_2={(a_0^p-A^p)}^{\frac{1}{p}}$$n=2,a_1=A,a_2={(a_0^p-A^p)}^{\frac{1}{p}}$n=2,a_(1)=A,a_(2)=(a_(0)^(p)-A^(p))^((1)/(p))$n=2,a_1=A,a_2={(a_0^p-A^p)}^{\frac{1}{p}}$, $b_0=B,b_1={(b_0^q-B^q)}^{\frac{1}{q}})$$b_0=B,b_1={(b_0^q-B^q)}^{\frac{1}{q}})$b_(0)=B,b_(1)=(b_(0)^(q)-B^(q))^((1)/(q)))$b_0=B,b_1={(b_0^q-B^q)}^{\frac{1}{q}})$, avem

care este echivalentă cu inegalitatea (13).
Pentru ca în (10) să avem egalitate, este necesar și suficient ca să avem egalitatea în (12) şi în (13). Se găseste imediat proportionalitatea șirurilor (11) ca o condiție necesară și suficientă pentru această egalitate.
6. Inegalitatea lui Minkowski
(15)

care este verificată pentru $a_i,b_i\geqq 0,i=1,2,\dots ,n,p>1$$a_i,b_i\geqq 0,i=1,2,\dots ,n,p>1$a_(i),b_(i) >= 0,i=1,2,dots,n,p > 1$a_i,b_i\geqq 0,i=1,2,\dots ,n,p>1$, rezulťą imediat din inegalitatea (6). Este suficient să adunăm membru cu membru inegalitățile

unde $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$(1)/(p)+(1)/(q)=1$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ şi obţinem o inegalitate echivalentă cu (15).
Pentru ca să avem egalitatea în (15) este necesar și suficient ca să avem egalitatea în ambele formule (16). Pentru prima egalitate, este necesar şi suficient ca şirurile
și prin urmare şirurile

să fie proportionale, iar pentru a doua egalitate ca șirurile

să fie proporționale.
Se deduce că o condiție necesară și suficientă ca în (15) să avem egalitatea este ca șirurile (2) (cu termenii nenegativi) să fie proporționale.

Ne-am bazat aici pe următoarele fapte: $1^{\circ }$$1^{\circ }$1^(@)$1^{\circ }$ coeficienții de proporţionalitate (vezi nr. 2) se pot alege nenegativi dacă $a_i,b_i\geqq 0,2^{\circ }$$a_i,b_i\geqq 0,2^{\circ }$a_(i),b_(i) >= 0,2^(@)$a_i,b_i\geqq 0,2^{\circ }$ șirul cu termenii toți nuli este proportional cu orice șir (observatie deja făcută), $3^{\circ }$$3^{\circ }$3^(@)$3^{\circ }$ proporționalitatea este tranzitivă pentru șirurile care nu au toţi termenii nuli.
7. Inegalitatea lui R. Bellmann [2]

care este verificată pentru $a_i,b_i\geqq 0,i=0,1,\dots ,n,p>1,a_0^p>\sum a_i^p$$a_i,b_i\geqq 0,i=0,1,\dots ,n,p>1,a_0^p>\sum a_i^p$a_(i),b_(i) >= 0,i=0,1,dots,n,p > 1,a_(0)^(p) > suma_(i)^(p)$a_i,b_i\geqq 0,i=0,1,\dots ,n,p>1,a_0^p>\sum a_i^p$, $b_0^p>\sum b_i^p$$b_0^p>\sum b_i^p$b_(0)^(p) > sumb_(i)^(p)$b_0^p>\sum b_i^p$, se deduce din (15) exact cum se deduce inegalitatea (10) din (6).

Punem $A={(\sum a_i^p)}^{\frac{1}{p}},B={(\sum b_i^p)}^{\frac{1}{p}}$$A={(\sum a_i^p)}^{\frac{1}{p}},B={(\sum b_i^p)}^{\frac{1}{p}}$A=(suma_(i)^(p))^((1)/(p)),B=(sumb_(i)^(p))^((1)/(p))$A={(\sum a_i^p)}^{\frac{1}{p}},B={(\sum b_i^p)}^{\frac{1}{p}}$. Atunci $a_0^p>A^p,b_0^p>B^p$$a_0^p>A^p,b_0^p>B^p$a_(0)^(p) > A^(p),b_(0)^(p) > B^(p)$a_0^p>A^p,b_0^p>B^p$ şi pe baza inegalității lui Minkowski, avem