Diferente divizate

English

Se știe că diferența divizată a unei funcții \(f\) de ordinul \(n\), pe nodurile simple \(x_0, x_1, \ldots, x_n\) care se notează

se definește printr-o formulă de recurență, pornind de la definiția diferenței divizate de ordinul întîi pe nodurile \(x_0, x_1\).

În prezenta lucrare se definește în primul rînd diferența divizată de ordinul \(n\) pe nodurile simple \(x_0, x_1, \ldots, x_n\), notația fiind astfel aleasă ca \(x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_n\), printr-o problemă la limite. Se întrebuințează pentru aceasta „metoda funcției \(\varphi\)”, care presupune că \(f \in C^n[x_0, x_n]\) și se ajunge la formula

Funcția \(\varphi\) a fost studiată și s-a arătat că ea este pozitivă pe intervalul \((x_0, x_n)\), ceea ce este un rezultat fundamental al lucrării.

Definiția diferenței divizate de ordinul \(n\) pe noduri simple, printr-o problemă la limite, se extinde la cazul nodurilor \(x_0, x_1, \ldots, x_k\), unde \(x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_k\), multiple de ordinele \(n_0, n_1, \ldots, n_k\) tot printr-o problemă la limite și se notează cu

Notînd cu \(n\) numărul definit de \(n_0 + n_1 + \ldots + n_k = n + 1\) și presupunînd că \(f \in C^n[x_0, x_k]\), se demonstrează formula

care dă deodată definiția diferenței divizate pe noduri multiple și reprezentarea ei integrală. Ca și în cazul formulei (1), se arată că funcția este pozitivă pe intervalul \((x_0, x_k)\), demonstrația fiind însă mult mai delicată decît în cazul nodurilor simple.

Se fac aplicații ale diferențelor divizate pe noduri simple sau multiple și ale reprezentărilor lor integrale la formule de interpolare ale lui Lagrange și Lagrange-Hermite și la resturile lor. Se determină de asemenea resturile formulelor de cuadratură ale lui Gauss și Turán, făcîndu-se legătura lor cu reprezentarea integrală a unor diferențe divizate pe noduri multiple.

Interesul lucrării constă și în extinderea metodei funcției \(\varphi\), la definiția diferenței divizate de ordinul \(n\) a unei funcții de două variabile pe rețeaua de noduri \(M_{i,k}\), \((i, k = 0, 1, \ldots n)\), care se notează cu

și unde \(x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_n\); \(y_0 \lt y_1 \lt \ldots \lt y_n\).

Făcînd anumite ipoteze asupra funcției \(f\) care au fost precizate în lucrare, s-a arătat că avem reprezentarea integrală

unde \(D\) este dreptunghiul \(x_0 \leq x \leq x_n\); \(y_0 \leq y \leq y_n\) și s-a studiat funcția \(\varphi\), arătîndu-se că ea este pozitivă în dreptunghiul \(D\) deschis și nulă pe frontiera lui.

De asemenea am extins definiția diferenței divizate de ordinul \(n\) a funcției \(f\) de trei variabile pe rețeaua de noduri \(M_{i,j,k}(i, j, k = 0, 1, \ldots, n)\), unde \(x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_n\); \(y_0 \lt y_1 \lt \ldots \lt y_n\); \(z_0 \lt z_1 \lt \ldots \lt z_n\) care se notează

Făcînd anumite ipoteze asupra funcției \(f\) care au fost precizate în lucrare, s-a arătat că avem reprezentarea integrală

unde \(D\) este paralelipipedul \(x_0 \leq x \leq x_n\); \(y_0 \leq y \leq y_n\); \(z_0 \leq z \leq z_n\).

Funcția \(\varphi\) este pozitivă în paralelipipedul deschis \(D\) și nulă pe frontiera lui.

Între diferențele divizate de ordinul \(n\) a unei funcții pe \(p\) variabile, avem o relație de recurență, care a fost stabilită pentru \(p = 2, 3\). Luînd aceasta ca definiție, în general, și făcînd ipoteze convenabile asupra funcției \(f\), am stabilit definiția diferenței divizate de ordinul \(n\) a unei funcții \(f\) de variabilele \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) pe rețeaua de noduri \(M_{i_1, i_2, \ldots, i_p}\) pe care am notat-o cu

unde \(x_h^{(0)} \lt x_h^{(1)} \lt \ldots \lt x_h^{(n)}\), \(h = 1, 2, \ldots, p\).

Am arătat că avem reprezentarea integrală

unde \(D\) este domeniul \(x_1^{(0)} \leq x_1 \leq x_1^{(n)}\); \(\ldots\); \(x_p^{(0)} \leq x_p \leq x_p^{(n)}\).

S-a demonstrat că funcția \(\varphi(x_1, x_2, \ldots, x_p)\) este pozitivă în domeniul deschis \(D\) și nulă pe frontiera lui.

D. V. Ionescu

↑ Cuprins

English

De 25 de ani public în mod regulat lucrări de analiză numerică. Întrebuințez o metodă de cercetare foarte fecundă, pe care am numit-o metoda funcției \(\varphi\).

Această metodă este în fond metoda lui Green bine cunoscută în Fizica matematică, aplicată aici la probleme de analiză numerică. Mai mulți autori au publicat lucrări cu acest gen de preocupări între care citez pe H. Radon (1935) [33], G. Kowalewski (1932) [23]), A. Gizzetti și A. Ossicini (1970) [27].

Scopul prezentei lucrări este de a expune în primul rînd definirea diferenței divizate de ordinul \(n\) a unei funcții \(f\) de o variabilă pe nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_n\), unde \(x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_n\), care se notează cu \([x_0, x_1, \ldots x_n; f]\) și de a da reprezentarea ei integrală cînd \(f \in C^n[x_0, x_n]\).

Aceasta se face cu ajutorul metodei funcției \(\varphi\), tratîndu-se o problemă la limite convenabil pusă care conduce la definirea diferenței divizate și la reprezentarea ei integrală prin formula

Vom preciza mai departe funcția \(\varphi\) și vom arăta că metoda de cercetare întrebuințată permite studiul ei pe intervalul \([x_0, x_n]\).

Vom trata mai departe consecințele care decurg din această metodă pentru a obține formula (1), și partea cea mai importantă a lucrării va fi consacrată definirii diferenței divizate de ordinul \(n\) pentru funcțiile de două variabile pe o rețea \(M_{i,k}(x_i, y_k)\), \(i, k = 0, 1, \ldots, n\), și a reprezentării ei integrale, precum și pentru funcțiile de trei variabile pe o rețea \(M_{i,j,k}(x_i, y_j, z_k)\), \(i, j, k = 0, 1, \ldots, n\), și reprezentarea ei integrală.

Metoda de lucru întrebuințată în cazul a \(n\) variabile, \(n = 2\) și \(n = 3\), dă naștere la dificultăți de calcul care au fost ocolite cu dibăcie și care se complică pentru \(n \gt 3\).

Am pus în evidență cu ajutorul ipotezelor puse asupra funcției \(f\) în cazurile \(n = 2\) și \(n = 3\), o formulă de recurență pentru diferențele divizate.

Formula de recurență a fost dată în cazul \(n = 2\), a priori, de T. Popoviciu [31], care n-a mers mai departe și nici n-a dat reprezentarea integrală a diferenței divizate. Schimbînd ipotezele asupra funcției \(f\) am ajuns la definirea diferenței divizate pentru funcțiile de \(p\) variabile printr-o formulă de recurență și la reprezentarea lor integrală. Aceasta face obiectul ultimului capitol al lucrării.

Vom face acum pe rînd o dare de seamă a problemelor tratate în fiecare capitol.

1. Pentru a ajunge la formula (1), aplicînd metoda funcției \(\varphi\), atașăm la fiecare interval \([x_0, x_1]\), \([x_1, x_2]\), \(\ldots\), \([x_{n-1}, x_n]\) polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots \varphi_n\) soluții ale ecuațiilor diferențiale

și presupunem că \(f \in C^n[x_0, x_n]\). Aplicăm la fiecare integrală \(\int_{x_{i-1}}^{x_i} \varphi_i f^{(n)}\, ds\), \((i = 1, 2, \ldots, n)\), formula generalizată de integrare prin părți și adunăm toate aceste formule. Obținem o formulă de forma

unde funcția \(\varphi\) coincide cu polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_n\) pe intervalele respective și unde \(\mathscr{P}[f]\) este o funcțională care depinde de valorile funcției \(f\) și ale derivatelor ei \(f', f'', \ldots, f^{(n-1)}\) pe noduri. Relativ la formula (3) ne punem următoarea :

Soluția \(\varphi\) a acestei probleme este funcția spline de ordinul \(n-1\), definită pe intervalul \([x_0, x_n]\) și pe nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_n\), [35].

Înlocuind în formula (3) funcția \(\varphi\) cu soluția problemei la limite se obține reprezentarea integrală a diferenței divizate \([x_0, x_1, \ldots, x_n; f]\), adică formula (1).

Funcția \(\varphi\), soluția problemei la limite puse mai sus, are o mare importanță în studiul diferenței divizate. Cu ajutorul condițiilor la limite ale problemei se demonstrează că funcția \(\varphi\) este pozitivă pe intervalul \((x_0, x_n)\). Formula (1) a fost obținută și de alți matematicieni, între care citez pe G. Peano [30]. A. Sard [34]. L. Tchakaloff [46].

În aliniatul 1.1.3 am dat o demonstrație a formulei (1) care a reieșit dintr-o conversație cu Prof. P. J. Laurent [24] și pe care o atribui Prof. Laurent.

Am aplicat formula (1) la stabilirea formulei de interpolare a lui Lagrange și a restului ei, precum și la teoria diferențelor.

2. În capitolul II am aplicat metoda funcției \(\varphi\) pentru a defini diferența divizată a unei funcții \(f\) pe nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_k\), \(x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_k\), multiple de ordinele \(n_0, n_1, \ldots, n_k\) și reprezentarea ei integrală.

Definind numărul \(n\) prin formula \(n + 1 = n_0 + n_1 + \ldots + n_k\), am atașat la intervalele \([x_0, x_1,]\) \([x_1, x_2]\), \(\ldots\), \([x_{k-1}, x_k]\) polinoamele \(\varphi_1\; \varphi_2, \ldots, \varphi_k\), soluții ale ecuațiilor diferențiale

Presupunînd că \(f \in C^n[x_0, x_k]\), am aplicat formula generalizată de integrare prin părți la integralele \(\int_{x_{i-1}}^{x_i} \varphi_i f^{(n)}\, ds\), pentru \(i = 1, 2, \ldots, k\) și am adunat membru cu membru toate aceste formule. Am obținut o formulă de forma

unde \(\mathscr{P}[f]\) este o funcțională care depinde de valorile lui \(f, f', f'', \ldots, f^{(n-1)}\) pe nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_k\) iar funcția \(\varphi\) coincide cu polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots \varphi_k\) pe intervalele \([x_0, x_1]\), \([x_1, x_2]\), \(\ldots\), \([x_{k-1}, x_k]\).

Relativ la formula (5) am tratat următoarea :

Se demonstrează că această problemă la limite are o soluție unică.

Dacă se notează cu \(\Delta[f]\) determinantul (2.1.22)

atunci

Înlocuind în formula (5) funcția \(\varphi\) cu soluția problemei la limite, se obține reprezentarea integrală a diferenței divizate (6) și anume

Cu ajutorul condițiilor la limite ale problemei la limite și cu pregătirea făcută în § 2.2 și § 2.3 s-a demonstrat în § 2.4 teorema fundamentală asupra funcției \(\varphi\) din reprezentarea integrală (9) de a fi pozitivă pe intervalul \((x_0, x_k)\).

Demonstrația dată de mine pentru a arăta că funcția \(\varphi\) din reprezentarea integrală (9) este pozitivă pe intervalul \((x_0, x_k)\), cînd nodurile sînt multiple, a fost utilizată de Paraschiva Pavel pentru a demonstra că funcția \(\varphi\) din reprezentarea integrală a restului din formula de cuadratură de tip Gauss, dată de Tiberiu Popoviciu, cu noduri multiple dar diferite păstrează un semn constant pe intervalul de integrare.

În § 2.5 s-a făcut o aplicație importantă a diferenței divizate a unei funcții pe noduri multiple și la reprezentarea ei integrală la obținerea formulei de interpolare a lui Lagrange-Hermite și la studiul restului ei.

3. În capitolul III, § 3.2, se face o legătură între formula de cuadratură a lui Gauss [9]

unde nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) sînt rădăcinile polinomului lui Legendre asociat intervalului \([a, b]\) și \(f \in C^{2n}[a, b]\) cu diferența divizată a unei funcții \(g \in C^{2n+1}[a, b]\):

Scriind că

avem următoarea teoremă:

Deoarece \(A_0 + A_{n+1} = 0\), iar \(A_{n+1} \neq 0\), se deduce :

4. În § 3.3 se studiază formula de cuadratură a lui P. Turán [47]

unde \(p\) este o funcție integrabilă pe intervalul \([a, b]\) și pozitivă pe intervalul \((a, b)\), iar în membrul al doilea figurează derivatele \(f^{(l)}\) pentru \(l = 0, 1, \ldots, 2(s-1)\) pe nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\).

Această problemă este legată de o problemă de minim a lui D. Jackson [22] și anume : să se determine în mod unic coeficienții polinomului

astfel ca integrala

unde \(s\) este un număr natural, să fie minimă.

Dăm în această lucrare demonstrația acestei teoreme, datorită lui Margareta Frenkel, [4], care ni se pare mai indicată pentru problemele Analizei Numerice, decît demonstrația lui D. Jackson.

Polinomul \(\omega_n(x)\) care realizează minimul integralei (15) se numește polinom minimizant.

Se demonstrează că coeficienții \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) ai polinomului minimizant sînt determinați în mod unic de ecuațiile

Polinomul minimizant \(\omega_n\) are toate rădăcinile reale, distincte și cuprinse între \(a\) și \(b\).

Odată ce nodurile din formula (13) au fost determinate, coeficienții \(C_1^{(l)}, \ldots, C_n^{(l)}\) pentru \(l = 0, 1, \ldots, 2(s-1)\) se determină cu ușurință.

5. Să presupunem că \(p(x) = 1\). Restul formulei de cuadratură a lui Turán se determină atunci printr-o metodă analoagă celei expuse la punctul 3 pentru a determina restul formulei lui Gauss.

Să considerăm diferența divizată

a unei funcții \(g \in C^{2ns+1}[a, b]\). Putem scrie :

Deoarece \(A_0 + A_{n+1} = 0\) și \(A_{n+1} \neq 0\), se deduce:

6. În § 3.4 și § 3.5 s-a făcut o extindere a formulei de cuadratură a lui Gauss și P. Turán cu ponderea \(\pi(x)\), cînd la nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) se adaugă nodurile multiple \(a\) și \(b\), de ordinele \(p\) și \(q\).

Cînd ponderea \(\pi(x) = 1\) se procedează ca la punctul 4, arătîndu-se că restul formulelor de cuadratură ale lui Gauss și ale lui Turán se leagă de reprezentarea integrală a diferențelor divizate (11) și (19); în care însă nodurile \(a\) și \(b\) sînt multiple de ordinele \(p + 1\) și \(q + 1\) [11].

7. În capitolul IV se extinde metoda funcției \(\varphi\) pentru a defini diferența divizată de ordinul \(n\) a unei funcții de o variabilă și a face reprezentarea ei integrală, la funcții de două variabile. Se va ajunge la această extensie tot printr-o problemă la limite. La baza acestei lucrări stă formula de integrare prin părți pentru o integrală dublă. În § 4.1 se arată că această formulă a fost stabilită de M. Nicolescu [26] și noi o vom scrie sub o formă pe care o socotim comodă pentru lucrarea noastră.

9. Să considerăm dreptunghiul

nodurile \(M_{i,k}(x_i, y_k)\), unde

și dreptunghiurile

Considerăm încă funcțiile \(\varphi_{i,k}\), \((i, k = 0, 1, \ldots, n-1)\), continue pe \(D_{i,k}\) împreună cu derivatele parțiale

La fiecare dreptunghi \(D_{j,k}\) și la perechea de funcții \(f, \varphi_{i,k}\) să aplicăm formula fundamentală (23). Adunăm membru cu membru toate aceste formule și obținem astfel formula importantă:

unde \(\mathscr{P}[f]\) se scrie mai scurt sub forma

unde în membrul al doilea scriem toți termenii cu convenția următoare :

10. Relativ la formula (25) și la expresia (27) a lui \(\mathscr{P}[f]\), ne punem următoarea :

Pentru aceasta se introduc următoarele condiții la limite :

pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\) și \(i, k = 0, 1, \ldots, n\). Cînd se face \(i = 0\), \(k = 0\) sau \(i = n\), \(k = n\) ; sau \(i = n\) ; sau \(k = n\), în condițiile la limite (29) trebuie să se țină seamă de convenția (A). Se notează această problemă cu \((P_{i,k})\). Întîi se rezolvă problema \((P_{0,0})\), apoi succesiv se rezolvă \((P_{1,0}), \ldots, (P_{n-1,0})\) ; \((P_{0,1}), \ldots, (P_{n-1,1}), \ldots\) ; și așa mai departe.

Constantele \(C_{i,k}\) vor fi determinate afară de un factor \(H\), astfel ca problema la limite să fie posibilă. Factorul \(H\) se determină astfel ca

Cu abilitate și cu răbdare se găsește că

unde constantele \(C_{i,k}\) se determină ținînd seamă și de ultima condiție (30) și avem

Dacă înlocuim în \(\mathscr{P}[f]\) funcțiile \(\varphi_{i,k}\) cu soluția problemei la limite, găsim

unde \(\varphi\) este soluția problemei la limite tratată în § 4.2.

11. Ținînd seama de expresia coeficienților \(C_{i,k}\) și introducînd diferențele divizate de ordinul \(n\) ale funcției \(u\) pe nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_n\) și ale funcției \(v\) pe nodurile \(y_0, y_1, \ldots, y_n\) și presupunînd că \(u \in C^n[x_0, x_n]\), \(v \in C^n[y_0, y_n]\), avem

Rezultă următoarele teoreme :

Urmează că funcția \(\varphi\) din reprezentarea integrală (36) este produsul funcțiilor spline \(\psi\) și \(\theta\) din reprezentările integrale (37), (38).

12. În capitolul V se tratează despre definirea diferenței divizate a unei funcții \(f\) de trei variabile pe o rețea de noduri \(M_{i,j,k}(x_i, y_j, z_k)\), unde \(i, j, k = 0, 1, \ldots, n\) și se dă reprezentarea ei integrală făcînd anumite ipoteze asupra funcției \(f\).

13. Formula de integrare prin părți generalizată pentru integrale triple.

14. Să considerăm paralelipipedul \(D\), definit de inegalitățile

și rețeaua de noduri \(M_{i,j,k}\), \((i, j, k = 0, 1, \ldots, n)\), de coordonate \((x_i, y_j, z_k)\), unde

Vom nota cu \(D_{i,j,k}\) paralelipipedul definit de inegalitățile \(D_{i,j,k}\):

unde \(i, j, k = 0, 1, \ldots, n - 1\).

La fiecare paralelipiped \(D_{i,j,k}\) asociem o funcție \(\varphi_{i,j,k}\) continuă pe \(D_{i,j,k}\) împreună cu derivatele ei parțiale care figurează în șirul (44). Asociem de asemenea la paralelipipedul \(D\), o funcție \(f\) continuă pe \(D\), împreună cu derivatele parțiale care figurează în șirul (44). Atunci se poate aplica la fiecare paralelipiped \(D_{i,j,k}\) și la funcțiile \(f\), \(\varphi_{i,j,k}\) formula generalizată de integrare prin părți pentru integrale triple (45). Adunînd toate aceste formule membru cu membru, vom avea formula

unde am notat cu \(\mathscr{P}[f]\) funcționala care rezultă din calcul, adică

În aplicarea formulei (48) se ține seama de:

15. Relativ la formulele (47) și (48) vom trata următoarea:

Pentru aceasta vom introduce următoarele condiții la limite:

pentru \(i, j, k = 0, 1, \ldots, n\) și \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

Apoi

pentru \(i, j, k = 0, 1, \ldots, n\) și \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

În fine

pentru \(i, j, k, = 0, 1, \ldots, n\) și \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

Constantele \(C_{i,j,k}\) vor fi determinate, afară de un factor care se determină printr-o nouă condiție și anume

Cînd se înlocuiește în \(\varphi_{i,j,k}\) unul din indici cu \(-1\), sau \(n\), trebuie să se țină seama de convenția (A).

16. Soluția acestei probleme este

Se demonstrează că constantele, \(C_{i,j,k}\) sînt date de următoarele formule:

Expresia lui \(\mathscr{P}[f]\), cînd în locul funcțiilor \(\varphi_{i,j,k}\) punem soluția problemei la limite, este

unde

Avem mai multe teoreme:

Avem

18. Dacă pentru funcțiile \(u \in C^n[x_0, x_n)\), \(v \in C^n[y_0, y_n]\), \(w \in C^n[z_0, z_n]\), și diferențele lor divizate pe nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_n\), \(y_0, y_1, \ldots, y_n\), \(z_0, z_1, \ldots, z_n\) avem reprezentările lor integrale

formula (61) arată că

20. T. Popoviciu a definit diferența divizată de ordinul \(n\) a unei funcții de două variabile, pe rețeaua de noduri \(M_{i,k}(x_i, y_k)\), \((i, k = 0, 1, \ldots, n)\), prin formula de recurență, pe care a dat-o a priori

T. Popoviciu nu s-a preocupat de reprezentarea integrală a diferenței divizate (65).

Formula (65) rezultă și din formulele noastre (32), (33), obținute cu problema la limite tratate în capitolul IV și ipotezele din acest capitol. În plus s-a obținut și reprezentarea integrală a diferenței divizate (65) prin formula (36).

Din problema la limite tratată în capitolul V a rezultat definiția diferenței divizate a unei funcții \(f\) de trei variabile pe rețeaua de noduri \(M_{i,j,k}(x_i, y_j, z_k)\), \((i, j, k = 0, 1, \ldots, n)\), prin formula (59) și reprezentarea ei integrală prin formula (60) cu ipotezele din capitolul V puse asupra funcției \(f\).

Din formula (59) rezultă formula de recurență

Formula (66) este importantă; ea ne dă o idee cum s-ar putea defini diferența divizată a unei funcții \(f\) de \(p\) variabile pe o rețea de noduri \(M_{i_1, i_2, \ldots, i_p}\) și cum se poate face reprezentarea ei integrală, făcînd ipoteze convenabile asupra funcției \(f\), care sînt altele, decît cele făcute în capitolul IV și V, pentru a se trata problemele la limite corespunzătoare.

21. Să considerăm o funcție \(f\) de variabilele \(x_1, x_2, \ldots, x_p\) și să luăm pe axa \(Ox_h\), care corespunde variabilei \(x_h\), nodurile \(x_h^{(0)}, x_h^{(1)}, \ldots, x_h^{(n)}\) astfel ca

Dînd lui \(h\) valorile \(1, 2, \ldots, p\), obținem o rețea de noduri \(M_{i_1, i_2, \ldots, i_p}\) de coordonate \((x_1^{(i_1)}, x_2^{(i_2)}, \ldots, x_p^{(i_p)}\), \(i_1, i_2, \ldots, i_p\) luînd valori din mulțimea de numere \(0, 1, \ldots, n\).

Atunci avem definiția următoare:

22. Se poate face reprezentarea integrală a diferenței divizate (67), cînd funcția \(f\) satisface la următoarele ipoteze, pe care le notăm cu \((H_p)\), \((H_{p-1})\), \(\ldots\), \((H_1)\).

Considerăm domeniul \(D\) definit de următoarele inegalități:

Ipoteza \((H_p)\) exprimă că toate derivatele parțiale

există și sînt continue în \(D\) pentru \(h = 0, 1, \ldots, n\).

Ipoteza \((H_{p-1})\) exprimă că toate derivatele parțiale

există și sînt continue în \(D\), pentru \(h = 0, 1, \ldots, n\).

Și așa mai departe.

Ultima ipoteză \((H_1)\) exprimă că toate derivatele parțiale

există și sînt continue în \(D\) pentru \(h = 0, 1, \ldots, n\).

Așa fiind să considerăm, în general, reprezentarea integrală a diferenței divizate de ordinul \(n\) a funcției \(g\) de variabilă \(x_h\), pe nodurile \(x_h^{(0)}, x_h^{(1)}, \ldots, x_h^{(n)}\), cînd \(g \in C^n[x_h^{(0)}, x_h^{(n)}]\), este dată de formula

unde \(\varphi_h\) este funcția spline studiată în capitolul I și care este pozitivă pe intervalul \((x_h^{(0)}, x_h^{(n)})\).

23. Avem următoarea:

24. Mai mulți matematicieni români au publicat cărți de Analiză numerică, între care citez pe acad. Gh. Marinescu [25], acad. T. Popoviciu [32], D. V. Ionescu [8], C. M. Bucur [1], I. Cuculescu [2], Al. I. Șchiop [37], [38] și Mărgărit Pavelescu [29], care au avut o foarte bună primire printre matematicieni.

Sper că și această carte Diferențe divizate, care vrea să introducă o metodă sistematică de cercetare în Analiza numerică, metoda funcției \(\varphi\), să contribuie la dezvoltarea și mai mare a cercetărilor în acest domeniu.

↑ Cuprins

English

§ 1.1. Prima problemă la limite

În acest paragraf vom studia o problemă la limite care va conduce la definiția diferenței divizate de ordinul \(n\) a unei funcții \(f\) pe nodurile simple \(x_0, x_1, \ldots, x_n\), unde \(x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_n\) și la reprezentarea ei integrală cînd \(f \in C^n[x_0, x_n]\).

1.1.1. Să considerăm nodurile simple \(x_0, x_1, \ldots, x_n\), unde :

și o funcție \(f \in C^n[x_0, x_n]\).

Să atașăm la intervalele \([x_0, x_1]\), \([x_1, x_2]\), \(\ldots\), \([x_{n-1}, x_n]\) polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_n\) de grad cel mult egal cu \(n - 1\), ceea ce înseamnă că

și să calculăm integralele

Aplicînd la fiecare integrală formula generalizată de integrare prin părți, vom avea :

Adunînd formulele (1.1.4) membru cu membru, vom obține o formulă al cărui membru al doilea, pe care-l notăm cu \(\mathscr{P}[f]\), depinde de valorile lui \(f, f', \ldots, f^{(n-1)}\) pe nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_n\). Vom avea astfel formula

unde funcția \(\varphi\) coincide cu polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_n\) pe intervalele \([x_0, x_1]\), \([x_1, x_2]\), \(\ldots\), \([x_{n-1}, x_n]\).

Relativ la formula (1.1.5) ne punem următoarea :

Polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_n\) trebuie astfel să satisfacă la condițiile la limite :

și, în plus, să avem

pentru \(f(x) = x^n\).

Vom demonstra că problema la limite astfel pusă are o soluție unică. Atunci înlocuind în formula (1.1.4) polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_n\) cu soluția acestei probleme și adunînd se obține o formulă de forma (1.1.5) foarte importantă și care face obiectul acestui paragraf.

1.1.2. Este evident că polinoamele

satisfac la ecuațiile diferențiale (1.1.2) și la condițiile la limite (1.1.6) relative la nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}\), oricare ar fi \(\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1}\). Se vor determina constantele \(\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1}\) astfel ca și condițiile la limită relative la nodul \(x_n\) să fie satisfăcute.

Vom avea sistemul de ecuații

care determină \(\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1}\), afară de un factor.

Introducînd o nouă constantă \(\lambda_n\), prin ecuația

sistemul de ecuații (1.1.9) și ecuația (1.1.10) se reduc la sistemul

care determină pe \(\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_n\), afară de un factor.

Soluția sistemului (1.1.11) este dată de formulele

unde \(V(x_0, x_1, \ldots, x_n)\) este determinantul lui Vandermonde și unde \(H\) este o nouă constantă care va fi îndată determinată.

Polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_n\) sînt astfel determinate prin formulele (1.1.8) afară de un factor \(H\), și prin urmare le putem utiliza.

Vom avea mai întîi

Înlocuind în formulele (1.1.4) polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_n\) cu soluția problemei la limite și adunînd, vom avea

adică

Ținînd seamă de formulele (1.1.12), putem să scriem

adică

Acum să determinăm constanta \(H\). Înlocuind în formula (1.1.15) funcția \(f(x)\) cu \(x^n\) și ținînd seama de condiția (1.1.7) vom avea \(H \cdot V(x_0, x_1, \ldots, x_n) = 1\) și prin urmare

Constanta \(H\) fiind determinată, formula (1.1.15) devine

Formula (1.1.5), unde polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_n\) sînt înlocuite cu soluția problemei la limite pusă în aliniatul 1.1.1, poate fi scrisă cu formula (1.1.17) și cu notația (1.1.18) sub forma

și am ajuns astfel la următoarea teoremă fundamentală :

Ținînd seama de formula (1.1.14), formula (1.1.19) poate fi scrisă de asemenea sub forma

unde coeficienții \(\lambda_i\) sînt dați de formulele (1.1.12) și (1.1.16), adică

Se poate încă scrie

și rezultă identitatea

care dă un mijloc practic pentru calculul coeficienților formulei (1.1.20).

Formulele (1.1.19), (1.1.20) și (1.1.23) arată că avem identitatea

Introducînd notația funcțiilor spline

putem să scriem funcția \(\varphi\) sub forma

pentru că presupunînd succesiv că \(s \in [x_0, x_1]\), \(s \in [x_1, x_2]\), \(\ldots\), \(s \in [x_{n-1}, x_n]\) se regăsesc formulele (1.1.8).

După I. J. Schoenberg — [35] — funcția dată de formula (1.1.26) se numește funcția spline de ordinul \(n-1\) definită pe intevalul \([x_0, x_n]\) și pe nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_n\).

Astfel problema la limite pusă în aliniatul 1.1.1 poate servi ca introducere la teoria funcțiilor spline.

Se mai poate observa că formula (1.1.17) arată că definiția 1.1.1 pe care am dat-o diferenței divizate de ordinul \(n\) a funcției \(f\) pe nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_n\) este în acord cu definiția clasică.

1.1.3. Teorema 1.1.1 a fost dată pentru prima oară de G. Peano [30] și o regăsim de asemenea în lucrările mai multor matematicieni de exemplu în lucrările lui L. Tchakaloff [46] și A. Sard [34]. În metoda noastră pentru a găsi formula (1.1.19) problema la limite pusă în aliniatul 1.1.1, ne-a condus într-un mod remarcabil în același timp la definiția 1.1.1 a diferenței divizate de ordinul \(n\) a funcției \(f\) pe nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_n\), și la reprezentarea ei printr-o integrală definită prin formula (1.1.19) cînd \(f \in C^n[x_0, x_n]\).

Profesorul P. J. Laurent [24] mi-a comunicat într-o conversație o altă demonstrație a formulei (1.1.19), plecînd de la definiția clasică a diferenței divizate a unei funcții și care folosește formula lui Taylor și simbolul \((s - x_i)_+^m\) introdus prin formula (1.1.25).

Presupunînd că \(x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_n\) și că \(f \in C^n[x_0, x_n]\), putem aplica formula lui Taylor și obținem

Rezultă că putem scrie diferența divizată \([x_0, x_1, \ldots, x_n; f]\), după definiția ei clasică, sub forma :

adică

Cu ajutorul notației \((s - x_i)_+^{n-1}\), formula precedentă devine :

sau încă

Dezvoltînd determinantul din membrul al doilea după elementele ultimei coloane, obținem formula (1.1.19), unde funcția \(\varphi(s)\) este dată de formula (1.1.26).

1.1.4. Condițiile la limite ale problemei puse în aliniatul 1.1.1 permit să se studieze funcția \(\varphi\) din formula (1.1.19) a cărei expresie este dată de formula (1.1.26). Pentru aceasta vom da mai multe teoreme :

Această teoremă este evidentă pentru \(k = 0\) și \(k = n-1\) și prin urmare pentru \(n = 2\). Într-adevăr, după formula (1.1.21) pentru \(k = 0\) avem \(\lambda_0 \gt 0\) și pentru \(k = n-1\), avem \((-1)^{n-1}(\lambda_0 + \lambda_1 + \ldots + \lambda_{n-1}) = (-1)^n \lambda_n \gt 0\).

Rămîne să demonstrăm teorema pentru \(k = 1, 2, \ldots, n-2\) și \(n \gt 2\).

Pentru aceasta să considerăm polinomul de interpolare \(h_k(x)\) definit de condițiile

Este evident că polinomul \(h_k(x)\) este de grad cel mult egal cu \(n-1\) și nu este o constantă, pentru că pentru \(k = 1, 2, \ldots, n-2\) avem, conform condițiilor (1.1.28), \(h_k(x_0) = 1\), în timp ce \(h_k(x_{n-1}) = 0\).

Aplicînd teorema lui Rolle la polinomul \(h_k(x)\) și la intervalele \([x_0, x_1]\), \([x_1, x_2]\), \(\ldots\), \([x_{k-1}, x_k]\), \([x_{k+1}, x_{k+2}]\), \(\ldots\), \([x_{n-2}, x_{n-1}]\) deducem că derivata \(h_k'(x)\) are \(n-2\) rădăcini distincte, \(k\) la stînga lui \(x_k\) și \(n-2-k\) la dreapta lui \(x_k\). Rezultă că polinomul \(h_k(x)\) are gradul \(n-1\).

Într-adevăr, să presupunem că gradul lui \(h_k(x)\) ar fi mai mic decît \(n-1\). Derivata lui \(h_k(x)\) anulîndu-se în \(n-2\) puncte distincte, ar fi identic nulă și prin urmare polinomul \(h_k(x)\) ar fi o constantă, ceea ce este imposibil. Deci gradul polinomului \(h_k(x)\) este \(n-1\).

Rezultă că polinomul \(h_k(x)\) nu se anulează pentru \(x \gt x_{n-1}\) și deoarece este descrescător pe intervalul \([x_k, x_{k+1}]\), are semnul lui \((-1)\) pe intervalul \((x_{k+1}, x_{k+2})\), al lui \((-1)^2\) pe intervalul \((x_{k+2}, x_{k+3})\) \(\ldots\), are semnul lui \((-1)^{n-k-1}\) pentru \(x \gt x_{n-1}\). Avem deci

Înlocuind în formula (1.1.20) funcția \(f\) cu polinomul \(h_k\), conform condițiilor (1.1.28) avem \(\lambda_0 + \lambda_1 + \ldots + \lambda_k + \lambda_n h_k(x_n) = 0\) și rezultă că

Însă după inegalitatea (1.1.29) și \((-1)^n \lambda_n \gt 0\), membrul al doilea al formulei (1.1.30) este pozitiv și prin urmare teorema 1.1.2 este demonstrată.

Într-adevăr, conform formulelor (1.1.8) avem formulele (1.1.13) și după inegalitățile (1.1.27), membrii ai doilea ai formulelor (1.1.13) fiind diferiți de zero, rezultă că polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_n\) sînt de gradul \(n-1\).

Într-adevăr, conform consecinței teoremei 1.1.2 derivatele \(\varphi_1^{(n-2)}, \varphi_2^{(n-2)}, \ldots, \varphi_n^{(n-2)}\) sînt polinoame de gradul întîi care au cel mult o rădăcină pe intervalele respective \((x_0, x_1]\), \((x_1, x_2)]\) \(\ldots\), \((x_{n-2}, x_{n-1}]\), \((x_{n-1}, x_n)\).

Însă avem

și prin urmare derivatele \(\varphi_1^{(n-2)}, \varphi_n^{(n-2)}\), nu se anulează pe intervalele \((x_0, x_1]\), \([x_{n-1}, x_n)\). Rezultă atunci că derivata \(\varphi^{(n-2)}\) are cel mult \(n-2\) zerouri pe intervalul \((x_1, x_{n-1})\) și prin urmare pe intervalul \((x_0, x_n)\). Teorema 1.1.3 este deci demonstrată.

1.1.5. Este foarte important să se studieze semnul funcției \(\varphi\) pe intervalul \((x_0, x_n)\). Pentru \(n = 1\), formula (1.1.19) devine

unde \(\varphi(s) = \dfrac{1}{x_1 - x_0}\) și prin urmare funcția \(\varphi\) este pozitivă pe intervalul \((x_0, x_1)\).

Pentru \(n=2\), avem \(\varphi_1(x) = \dfrac{x-x_0}{(x_1-x_0)(x_2-x_0)}\), \(\varphi_2(x) = \dfrac{x_2-x}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\) și prin urmare funcția \(\varphi\) este pozitivă pe intervalul \((x_0, x_2)\).

În general avem teorema următoare:

Pentru demonstrație presupunem că \(n \gt 2\) și observăm că după condițiile la limite (1.1.6), funcția \(\varphi\) este continuă împreună cu derivatele succesive \(\varphi', \varphi'', \ldots, \varphi^{(n-2)}\) pe intervalul \([x_0, x_n]\). În plus avem

Să demonstrăm întîi că funcția \(\varphi\) nu se anulează pe intervalul \((x_0, x_n)\). Pentru aceasta presupunem contrariul, că funcția \(\varphi\) se anulează cel puțin odată pe acest interval, într-un punct \(\xi_1^{(0)}\). Aplicînd teorema lui Rolle la funcția \(\varphi\) și la intervalele \([x_0, \xi_1^{(0)}]\), \([\xi_1^{(1)}, x_n]\) deducem că derivata \(\varphi'\) se anulează cel puțin în două puncte \(\xi_1^{(1)}, \xi_2^{(1)}\) din intervalul \((x_0, x_n)\). Apoi aplicînd teorema lui Rolle la funcția \(\varphi'\) și la intervalele \([x_0, \xi_1^{(1)}]\), \([\xi_1^{(1)}, \xi_2^{(1)}]\), \([\xi_2^{(1)}, x_n]\), deducem că derivata \(\varphi''\) se anulează cel puțin în trei puncte \(\xi_1^{(2)}, \xi_2^{(2)}, \xi_3^{(2)}\) din intervalul \((x_0, x_n)\), \(\ldots\), și așa mai departe. Ajungem la concluzia că derivata \(\varphi^{(n-2)}\) se anulează cel puțin în \(n-1\) puncte \(\xi_1^{(n-2)}, \xi_2^{(n-2)}, \ldots, \xi_{n-1}^{(n-2)}\) ale intervalului \((x_0, x_n)\). Însă aceasta este în contradicție cu teorema 1.1.3 care arată că numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-2)}\) pe intervalul \((x_0, x_n)\) este cel mult egal cu \(n-2\). Trebuie deci să înlăturăm ipoteza că funcția \(\varphi\) se anulează cel puțin o dată pe intervalul \((x_0, x_n)\) și prin urmare ea își păstrează semnul pe acest interval. Avem \(\varphi_1(s) = \lambda_0 \dfrac{(s-x_0)^{n-1}}{(n-1)!} \gt 0\) pe intervalul \((x_0, x_1]\) și prin urmare funcția \(\varphi\) este pozitivă pe intervalul \((x_0, x_n)\). Teorema 1.1.4 este astfel demonstrată.

Pentru a o demonstra este deajuns să înlocuim în formula (1.1.19) funcția \(f(x)\) cu \(x^n\) și să observăm că primul ei membru devine egal cu 1. Formula (1.1.32) rezultă atunci imediat:

Într-adevăr, este suficient să aplicăm la membrul al doilea al formulei (1.1.19) formula mediei și să ținem seamă de formula (1.1.32).

§ 1.2. Formula de interpolare a lui Lagrange

Reprezentarea diferenței divizate a unei funcții \(f\) pe nodurile simple, printr-o integrală definită, conduce în mod remarcabil la formula de interpolare a lui Lagrange, la restul ei și la polinomul de interpolare al lui Lagrange.

1.2.1. Să considerăm o funcție \(f \in C^n[a, b]\) și nodurile simple \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) ale intervalului \((a, b)\), unde \(x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n\) precum și un nod \(x \in (a, b)\), dar care nu coincide cu unul din nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\). Nodul \(x\) poate fi situat la stînga lui \(x_1\), sau la dreapta lui \(x_n\), sau pe intervalul \((x_1, x_n)\), fără să coincidă cu unul din nodurile \(x_2, x_3, \ldots, x_{n-1}\).

Să presupunem întîi că \(x \in (x_i, x_{i+1})\), unde \(i\) este unul din numerele \(1, 2, \ldots, n-1\). În acest caz putem considera reprezentarea integrală a diferenței divizate de ordinul \(n\) a funcției \(f\) pe nodurile \(x_1, \ldots, x_i, x, x_{i+1}, \ldots, x_n\) și să scriem formula

unde am desemnat funcția \(\varphi\) din formula (1.1.19) prin \(\varphi_i(x, s)\), pentru a preciza că ea depinde de nodul \(x \in (x_i, x_{i+1})\).

Se poate înlocui primul membru al formulei (1.2.1) cu:

și să scriem formula (1.2.1) sub forma

Introducînd polinomul

avem \((-1)^n \dfrac{V(x, x_1, \ldots, x_n)}{V(x_1, \ldots, x_n)} = \omega(x)\) și putem să scriem formula (1.2.2) sub forma:

Primul termen al formulei (1.2.4) este un polinom \(L_{n-1}(x)\), pe care-l considerăm pe tot intervalul \([a, b]\) și care are gradul cel mult egal cu \(n-1\). Vom scrie

\(L_{n-1}(x)\) este legat de funcția \(f\) prin următoarele două teoreme:

Într-adevăr, înlocuind în formula (1.2.5) pe \(x\) prin \(x_k\), se obține

și prin urmare avem \(L_{n-1}(x_k) = f(x_k)\) pentru \(k = 1, 2, \ldots, n\).

Într-adevăr, ecuațiile care determină coeficienții polinomului \(P_{n-1}\) sînt

și determinantul acesui sistem este diferit de zero.

Eliminînd constantele \(A_{n-1}, A_{n-2}, \ldots, A_0\) între ecuațiile (1.2.7) și (1.2.9) se găsește

și rezolvînd această ecuație în raport cu \(P_{n-1}(x)\), se găsește că \(P_{n-1}(x) = L_{n-1}(x)\).

Formula (1.2.4) se poate scrie sub forma

aceasta apare ca o formulă de aproximare, care se numește formula de interpolare a lui Lagrange. Funcția \(f\) este aproximată pe intervalul \([a, b]\) cu polinomul \(L_{n-1}\) care se numește polinomul de interpolare al lui Lagrange.

Restul formulei (1.2.10) este

el depinde de \(x\) și de indicele care arată că \(x \in (x_i, x_{i+1})\).

1.2.2. Dacă \(x \lt x_1\), avem reprezentarea integrală

unde am desemnat funcția \(\varphi(s)\) din formula (1.1.19) prin \(\varphi_0(x, s)\) pentru a preciza că ea corespunde la nodul \(x \lt x_1\).

Procedînd ca în aliniatul 1.2.1, se ajunge la formula de interpolare a lui Lagrange

unde restul acestei formule este

Dacă \(x \gt x_n\), avem reprezentarea integrală

unde am desemnat funcția \(\varphi\) din formula (1.1.19) cu \(\varphi_n(x, s)\) pentru a arăta că ea corespunde la nodul \(x \gt x_n\).

Procedînd ca în aliniatul 1.2.1, se ajunge la formula de interpolare a lui Lagrange

unde restul \(R_n(x)\) este dat de formula

1.2.3. Funcția \(\varphi_i(x, s)\) este pozitivă pe intervalul \((x_1, x_n)\), \((i = 1, 2, \ldots, n-1)\), ca și funcțiile \(\varphi_0(x, s)\), \(\varphi_n(x, s)\) pe intervalele \((x, x_n)\), \((x_1, x)\). Avem

și

Rezultă pentru \(R_i(x)\) evaluarea bine cunoscută

unde

și

§ 1.3. Cazul nodurilor în progresie aritmetică

În acest paragraf considerăm diferența divizată de ordinul \(n\) a unei funcții \(f\) pe nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_n\) în progresie aritmetică de rație \(h = x_1 - x_0\). Vom fi astfel conduși să definim diferența de ordinul \(n\) a unei funcții \(f\) pe nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_n\) în progresie aritmetică și la reprezentarea ei integrală cînd \(f \in C^n[x_0, x_n]\).

1.3.1. După cum se știe, diferența divizată \([x_0, x_1, \ldots, x_n; f]\) se bucură de proprietatea de recurență

care se demonstrează ușor plecînd de la formula fundamentală (1.1.17). Pentru a putea aplica formula (1.3.1) de asemenea pentru \(n = 1\), convenim să scriem \([x; f] = f(x)\).

Pentru a aplica formula (1.3.3) de asemenea pentru \(n = 1\), convenim să scriem \(\Delta^0 f(x) = f(x)\).

Ținînd seama de prima parte a acestei definiții, putem scrie

Vom demonstra formula (1.3.5) cu metoda inducției complete. Pentru \(n = 1\), formula este exactă, pentru că ea coincide cu formula (1.3.4).

Să presupunem că formula (1.3.5) este adevărată pentru \(n\) noduri oarecare în progresie aritmetică și să demonstrăm că ea este adevărată pentru \(n + 1\) noduri în progresie aritmetică.

Pentru aceasta aplicăm formula (1.3.1) și avem

ceea ce înseamnă după formula (1.3.3) că

și prin urmare teorema 1.3.1 este demonstrată.

Într-adevăr, această formulă este adevărată pentru \(n = 1\), pentru că ea coincide cu formula de definiție (1.3.2). Mai departe formula (1.3.6) se demonstrează cu metoda inducției complete, utilizînd formula de definiție (1.3.2).

1.3.2. Utilizînd reprezentarea integrală a diferenței divizate

și formula (1.3.5), deducem teorema următoare

1.3.3. Vom face aplicații importante ale formulei (1.3.7).

1°. Să înlocuim întîi în formula (1.3.7), \(f(x) = (x - x_0)^r\), unde \(r \leq n\). Vom avea atunci, ținînd seamă și de formula (1.3.9), identitățile

2°. Înlocuind apoi în formula (1.3.7) \(f(x) = (x - x_0)^{n+1}\), vom avea:

Însă conform formulei (1.1.19), avem

Primul membru al formulei (1.3.12) este

și prin urmare avem, conform formulei (1.3.12),

Revenind la formula (1.3.11) și ținînd seama de formula (1.3.8), vom avea identitatea

Identitățile (1.3.10) și (1.3.13) sînt cunoscute. Interesant este că noi le-am dedus din reprezentarea integrală (1.3.7).

↑ Cuprins

English

§ 2.1. A doua problemă la limite

În acest paragaf vom studia o nouă problemă la limite care ne va conduce la definiția diferenței divizate a unei funcții \(f\) pe nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_k\) multiple de ordinele \(n_0, n_1, \ldots, n_k\), unde \(x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_k\) și unde \(n + 1 = n_0 + n_1 + \ldots + n_k\) precum și la reprezentarea ei printr-o integrală definită, cînd \(f \in C^n[x_0, x_k]\).

2.1.1. Să considerăm nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_k\), unde

care sînt multiple de ordinele \(n_0, n_1, \ldots, n_k\) și să notăm cu \(n\) numărul definit de

La intervalele \([x_0, x_1]\), \([x_1, x_2], \ldots, [x_{k-1}, x_k]\) atașăm polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots \varphi_k\) soluții ale ecuațiilor diferențiale

și calculăm integralele \(\int_{x_0}^{x_1} \varphi_1 f^{(n)}\, ds\), \(\int_{x_1}^{x_2} \varphi_2 f^{(n)}\, ds, \ldots, \int_{x_{k-1}}^{x_k} \varphi_k f^{(n)}\, ds\).

Aplicînd formula generalizată de integrare prin părți vom avea

Adunînd membru cu membru formulele (2.1.4) obținem o formulă de forma

unde funcția \(\varphi\) coincide cu polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_k\) pe intervalele \([x_0, x_1]\), \([x_1, x_2], \ldots, [x_{k-1}, x_k]\) și unde \(\mathscr{P}[f]\) depinde de valorile lui \(f, f', \ldots, f^{(n-1)}\) pe nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_k\).

Relativ la formula (2.1.5) ne punem următoarea:

Pentru aceasta trebuie să introducem condițiile la limite

și încă

Soluția ecuațiilor diferențiale (2.1.3) care satisface la condițiile la limite (2.1.7) relativ la nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_{k-1}\) este dată de formulele

unde coeficienții \(\lambda_0, \lambda_0^{(1)}, \ldots, \lambda_0^{(n_0-1)}, \ldots, \lambda_k, \lambda_{k-1}^{(1)}, \ldots, \lambda_k^{(n_{k-1}-1)}\) sînt constante. Numărul acestor constante este \(n_0 + n_1 + \ldots + n_{k-1} = n - n_k + 1\).

Se determină constantele \(\lambda_0, \ldots, \lambda_{k-1}^{(n_{k-1}-1)}\) scriind că condițiile la limite din punctul \(x_k\) sînt satisfăcute. Avem atunci ecuațiile

Facem convenția ca în ecuațiile (2.1.10) să se considere nuli termenii ai căror exponenți ai lui \(x_k - x_0, x_k - x_1, \ldots, x_k - x_{k-1}\) sînt negativi.

Ecuațiile (2.1.10) se mai pot scrie sub forma

Matricea coeficienților acestui sistem este

Termenii coloanelor de rangul al 2^lea, al 3^lea, \(\ldots\), al \((n_0)\)^lea sînt derivatele termenilor celui dintîi, celui de al 2^lea, \(\ldots\), celui de al \((n_0 - 1)\)^lea al primei coloane. În matrice există un al doilea grup de coloane relativ la coloana lui \((x_k - x_1)^{n_k}\), un al treilea relativ la coloana \((x_k - x_2)^{n_k}\), \(\ldots\), un ultim grup relativ la coloana lui \((x_k - x_{k-1})^{n_k}\).

Matricea (2.1.12) are rangul \(n - n_k\).

Într-adevăr, se demonstrează cu ușurință că determinantul care se obține din matricea (2.1.12) suprimînd ultima coloană nu este nul, pentru că el diferă cu un factor nenul de determinantul lui Vandermonde generalizat

care nu este nul.

Astfel coeficienții \(\lambda_0, \lambda_0^{(1)}, \ldots, \lambda_0^{(n_0-1)}, \ldots, \lambda_{k-1}, \lambda_{k-1}^{(1)}, \ldots, \lambda_{k-1}^{(n_{k-1}-1)}\) sînt determinați afară de un factor. Rezultă că polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_k\), date de formulele (2.1.9), sînt determinate afară de un factor și le putem utiliza.

Se poate înlocui în formula (2.1.5) polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_k\), cu soluția problemei la limite. Atunci \(\mathscr{P}[f]\) se reduce la:

Însă după formulele (2.1.9) avem

Vom nota de asemenea

Funcția \(\varphi_k\) fiind determinată de ultima formulă (2.1.9), cu ajutorul coeficienților \(\lambda_0, \lambda_0^{(1)}, \ldots, \lambda_0^{(n_0-1)}, \ldots, \lambda_{k-1}, \lambda_{k-1}^{(1)}, \ldots, \lambda_{k-1}^{(n_{k-1}-1)}\), noii coeficienți \(\lambda_k, \lambda_k^{(1)} \ldots\) introduși prin formulele (2.1.15) sînt determinați ca și ceilalți coeficienți \(\lambda_0, \ldots, \lambda_{k-1}^{(n_{k-1}-1)}\) în afară de un factor.

Ținînd seamă de toate aceste formule, formula (2.1.13) devine

Înlocuind în formula (2.1.5) polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_k\) cu soluția problemei la limite, putem scrie

2.1.2. O concluzie importantă a acestei formule este că coeficienții \(\lambda_0, \lambda_0^{(1)}, \ldots, \lambda_0^{(n_0-1)}, \ldots, \lambda_k, \lambda_k^{(1)}, \ldots, \lambda_k^{(n_k-1)}\) verifică ecuațiile pe care le-am deduce din formula (2.1.17) înlocuind funcția \(f\) succesiv cu \(1, x, \ldots, x^{n-1}\). Aceste ecuații sînt următoarele:

Matricea sistemului (2.1.18) este

Să notăm cu \(D_0, D_0^{(1)}, \ldots, D_0^{(n_0-1)}, \ldots, D_k, D_k^{(1)}, \ldots, D^{(n_k-1)}\) determinanții matricelor, deduse din matricea (2.1.19), suprimînd succesiv coloana 1^a, a 2^a, \(\ldots\), ultima. Atunci soluția sistemului (2.1.18) este dată de formulele

unde \(H\) este o constantă pe care o vom determina.

Înlocuind în formula (2.1.16) coeficienții \(\lambda_0, \lambda_0^{(1)}, \ldots, \lambda_0^{(n_0-1)}, \ldots, \lambda_k, \lambda_k^{(1)}, \ldots, \lambda_k^{(n_k-1)}\) prin valorile deduse din formulele (2.1.20), se obține

Însă paranteza mare înmulțită cu \((-1)^n\) este egală cu determinantul

și prin urmare

Conform ultimei condiții la limite (2.1.8), \(\mathscr{P}[f]\) trebuie să se reducă la 1 cînd se înlocuiește \(f(x)\) cu \(x^n\). Formula (2.1.23) arată că trebuie să luăm

și prin urmare expresia lui \(\mathscr{P}[f]\) este

Toate constantele \(\lambda_0, \lambda_0^{(1)}, \ldots, \lambda_0^{(n_0-1)}, \ldots, \lambda_k, \lambda_k^{(1)}, \ldots, \lambda_k^{(n_k-1)}\) sînt determinate și problema la limite este complet rezolvată.

Formula (2.1.25) arată că

unde \(\Delta[f]\) este determinantul (2.1.22).

Formula (2.1.27) conduce la teorema următoare:

Reprezentarea integrală (2.1.28) poate fi scrisă și sub forma următoare:

în care am pus în evidență coeficienții lui \(f(x_0), f'(x_0), \ldots, f^{(n_0-1)}(x_0), \ldots, f(x_k), f'(x_k) \ldots, f^{(n_k-1)}(x_k)\).

§ 2.2. Asupra unei proprietăți a coeficienților \(\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_{k-1}\) din formula (2.1.29)

În acest paragraf vom demonstra că coeficienții \(\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_j\) din formula (2.1.29) se bucură de proprietatea exprimată prin \(\lambda_0 + \lambda_1 + \ldots + \lambda_j \neq 0\), pentru \(j = 0, 1, \ldots, k - 1\).

Într-adevăr, după formulele (2.1.20) avem \(\lambda_k^{(n_k-1)} = (-1)^n H D_k^{(n_k-1)}\).

Însă determinantul \(D_k^{(n_k-1)}\) este determinantul lui Vandermonde generalizat

și ținînd seama de formula (2.1.24), avem

ceea ce înseamnă că \(\lambda_k^{(n_k-1)} \neq 0\), și prin urmare teorema este demonstrată.

Teorema 2.2.1 este valabilă și în cazul cînd nodul \(x_k\) este simplu, adică în cazul cînd \(n_k = 1\).

Formula (2.2.1) este înlocuită în acest caz prin

și prin urmare \(\lambda_k \neq 0\).

Pentru a demonstra această teoremă să introducem polinomul de interpolare \(h_j\) definit de următoarele cnondiții:

și

unde se presupune \(n_k \gt 1\).

Numărul condițiilor care determină polinomul \(h_j\) este \(n_0 + n_1 + \ldots + n_{k-1} + n_k - 1 = n\) de unde rezultă că gradul polinomului \(h_j\) este cel mult \(n-1\).

Se poate forma sistemul de ecuații care determină coeficienții polinomului \(h_j(x) = A_0 x^{n-1} + A_1 x^{n-2} + \ldots + A_{n-1}\) prin condițiile (2.2.3) și (2.2.4).

Determinantul sistemului în \(A_0, A_1, \ldots, A_{n-1}\) este determinantul lui Vandermonde generalizat:

care este diferit de zero, astfel că polinomul \(h_j\) este perfect determinat.

Se poate adăuga că polinomul \(h_j\) nu este identic nul, pentru că avem \(h_j(x_0) = 1\), în vreme ce \(h_j(x_k) = 0\) și aceasta este valabil pentru \(j = 0, 1, \ldots, k-1\).

Înlocuind în formula (2.1.29) funcția \(f\) cu polinomul \(h_j\) se obține formula

În această formulă avem \(\lambda_k^{(n_k-1)} \neq 0\), după teorema 2.2.1 și pentru a demonstra teorema 2.2.2, rămîne să se demonstreze că \(h_j^{(n_k-1)}(x_k) \neq 0\).

Să notăm cu \(p\) ordinul cel mai mare al derivatelor care figurează în condițiile (2.2.3) și (2.2.4). Să notăm de asemenea cu \(m_1\) numărul nodurilor \(x_0, x_1, \ldots, x_k\), unde se anulează \(h_j'\) apoi cu \(m_2\) numărul nodurilor \(x_0, x_1, \ldots, x_k\), unde se anulează \(h_j''\), …, și în fine cu \(m_p\) numărul nodurilor \(x_0, x_1, \ldots, x_k\), unde se anulează \(h_j^{(p)}\). Exprimînd în două moduri diferite numărul de condiții (2.2.3) și (2.2.4) avem egalitatea:

de unde rezultă că

Aplicînd succesiv teorema lui Rolle, rezultă că derivata \(h_j'\) are \(k + m_1 - 1\) rădăcini distincte pe intervalul \([x_0, x_k]\), că derivata \(h_j''\) are \(k + m_1 + m_2 - 2\) rădăcini distincte pe intervalul \([x_0, x_k]\), …, că derivata \(h_j^{(p)}\) are

rădăcini pe intervalul \([x_0, x_k]\).

Gradul polinomului \(h_j\) fiind cel mult \(n-1\), al lui \(h_j^{(p)}\) va fi cel mult \(n-p-1\). Însă am arătat mai sus că \(h_j^{(p)}\) are \(n-p-1\) rădăcini distincte pe intervalul \([x, x_k]\).

Deci gradul polinomului \(h_j^{(p)}\) este \(n-p-1\), sau mai mic decît \(n-p-1\). Să demonstrăm că este imposibil, ca gradul lui \(h_j^{(p)}\) să fie mai mic decît \(n-p-1\).

Într-adevăr, să presupunem că polinomul \(h_j^{(p)}\) ar avea gradul mai mic decît \(n-p-1\). Însă cum acest polinom are \(n-p-1\) rădăcini distincte, el este identic nul. Rezultă că derivata \(h_j^{(p-1)}\) trebuie să fie o constantă, care este nulă, pentru că ea se anulează într-unul din punctele \(x_0, x_1, \ldots, x_j\). Deci \(h_j^{(p-1)}\) este un polinom identic nul. Se continuă acest raționament și se ajunge la concluzia că polinomul \(h_j\) trebuie să fie o constantă, ceea ce este imposibil, pentru că \(h_j(x_0) = 1\), în vreme ce \(h_j(x_0) = 0\).

Astfel polinomul \(h_j^{(p)}\) este de gradul \(n-p-1\) și are \(n-p-1\) rădăcini distincte pe intervalul \([x_0, x_k]\).

Aceasta find precizat, putem termina demonstrația teoremei 2.2.3 și să demonstrăm că \(h_j^{(n_k-1)}(x_k) \neq 0\).

Să tratăm întîi cazul \(n_k - 2 \lt p\) și să presupunem că \(h_j^{(n_k-1)}(x_k) = 0\). Reluînd raționamentul făcut prin aplicarea teoremei lui Rolle sîntem conduși să afirmăm că derivata \(h_j^{(p)}\) trebuie să aibă \(n-p\) rădăcini distincte pe intervalul \([x_0, x_k]\) ceea ce este inexact pentru că am demonstrat că numărul rădăcinilor lui \(h_j^{(p)}\) este \(n-p-1\).

Să tratăm în fine cazul \(n_k - 2 = p\) și să presupunem că \(h_j^{(n_k-1)}(x_k) = h_j^{(p+1)}(x_k) = 0\). Derivata \(h_j^{(p)}\) avînd \(n-p-1\) rădăcini distincte pe intervalul \([x_0, x_k]\), derivata ei \(h_j^{(p+1)}\) are \(n-p-2\) rădăcini distincte pe intervalul \((x_0, x_k)\) și încă rădăcina \(x_k\), conform ipotezei noastre. În total derivata \(h_j^{(p+1)}\) are \(n-p-1\) rădăcini distincte pe intervalul \((x_0, x_k)\). Însă aceasta este imposibil pentru că \(h_j^{(p+1)}\) fiind un polinom de gradul \(n-p-2\), are cel mult \(n-p-2\) rădăcini pe intervalul \([x_0, x_k]\). Am ajuns astfel la o contradicție și trebuie să suprimăm ipoteza că \(h_j^{(n_k-1)}(x_k) = 0\), ceea ce înseamnă că \(h_j^{(n_k-1)}(x_k) \neq 0\).

2.2.4. Putem acum să demonstrăm teorema 2.2.2 în cazul \(n_k \gt 1\).

Într-adevăr, avem formula (2.2.5) și am demonstrat teoremele 2.2.1 și 2.2.3 care arată că \(\lambda_j^{(n_k-1)} \neq 0\) și \(h_j^{(n_k-1)}(x_k) \neq 0\). Rezultă că \(\lambda_1 + \lambda_2 + \ldots + \lambda_j \neq 0\), pentru \(j = 0, 1, \ldots, k-1\).

Ne rămîne să demonstrăm teorema 2.2.2 în cazul \(n_k = 1\).

2.2.5. Pentru aceasta introducem polinomul de interpolare pe care-l notăm tot cu \(h_j\) și care este definit de condițiile următoare:

și

unde \(j = 0, 1, \ldots, k-2\).

Numărul condițiilor care determină polinomul \(h_j\) este

de unde rezultă că polinomul \(h_j\) este de grad cel mult egal cu \(n-1\).

Se vede ușor ca în aliniatul 2.2.2 că polinomul \(h_j\) este perfect determinat. În plus \(h_j\) nu este identic nul pentru că oricare ar fi \(j = 0, 1, \ldots, k-2\), avem \(h_j(x_0) = 1\), în vreme ce \(h_j(x_{k-1}) = 0\).

Înlocuind în formula (2.1.29) funcția \(f\) prin polinomul \(h_j\) avem

Conform teoremei 2.2.1, formula (2.2.2′), avem \(\lambda_k \neq 0\).

Ne rămîne să demonstrăm că \(h_j(x_k) \neq 0\), prin teorema următoare:

Să notăm ca în aliniatul 2.2.3 prin \(p\) ordinul cel mai mare al derivatelor care figurează în condițiile (2.2.7) și (2.2.8). Notăm de asemenea cu \(m_1\) numărul punctelor \(x_0, x_1, \ldots, x_{k-1}\), unde se anulează \(h_j'\), prin \(m_2\) numărul punctelor \(x_0, x_1, \ldots, x_{k-1}\), unde se anulează \(h_j''\), …, prin \(m_p\) numărul punctelor \(x_0, x_1, \ldots, x_{k-1}\), unde se anulează \(h_j^{(p)}\). Avem

Aplicînd succesiv teorema lui Rolle deducem că \(h_j'\) are \(k + m_1 - 2\) rădăcini pe intervalul \([x_0, x_{k-1}]\), apoi că \(h_j''\) are \(k + m_1 + m_2 - 3\) rădăcini pe intervalul \([x_0, x_{k-1}]\), …, și că \(h_j^{(p)}\) are \(N = k + m_1 + m_2 + \ldots + m_p - (p + 1) = n - p - 1\) rădăcini pe intervalul \([x_0, x_{k-1}]\).

Se deduce ca în aliniatul 2.2.3 că derivata \(h_j^{(p)}\) este un polinom de gradul \(n-p-1\) care se anulează în \(n-p-1\) puncte distincte din intervalul \([x_0, x_{k-1}]\).

Aceasta fiind precizat, se demonstrează ușor că \(h_j(x_k) \neq 0\).

Într-adevăr, să presupunem că \(h_j(x_k)\) ar fi nul. Atunci aplicînd lui \(h_j\) succesiv teorema lui Rolle, se ajunge la concluzia că \(h_j^{(p)}\) trebuie să aibă încă o rădăcină la dreapta ultimei rădăcini puse în evidență mai sus. Însă aceasta este imposibil pentru că s-a demonstrat că \(h_j^{(p)}\) are numai \(n-p-1\) rădăcini pe intervalul \([x_0, x_{k-1}]\).

Deci \(h_j(x_k) \neq 0\) și prin urmare teorema 2.2.4 este demonstrată.

Într-adevăr, coeficienții lui \(s^{n-1}\) în aceste polinoame sînt

și conform teoremei 2.2.2, ei sînt toți diferiți de zero.

§ 2.3. Asupra unei proprietăți a coeficienților \(\lambda_0, \lambda_0^{(1)}, \ldots, \lambda_0^{(n_0-1)}\) și \(\lambda_k, \lambda_k^{(1)}, \ldots, \lambda_k^{(n_k-1)}\) ai formulei (2.1.29).

Scopul acestui paragraf este de a demonstra o teoremă asupra coeficienților lui \(f(x_0), f'(x_0), \ldots, f^{(n_0-1)}(x_0)\) și \(f(x_k), f'(x_k), \ldots, f^{(n_k-1)}(x_k)\), în diferența divizată

cînd nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_k\) sînt multiple de ordinele \(n_0, n_1, \ldots, n_k\) și \(x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_k\). Vom ține seama de formula

unde \(\Delta[f]\) este determinantul

Este evident că este suficient să se demonstreze numai una din părțile teoremei. Cealaltă parte se demonstrează în mod analog.

Am demonstrat deja că coeficientul \(\lambda_k^{(n_k-1)}\) este diferit de zero, în teorema 2.2.1. Rămîne să demonstrăm teorema 2.3.1 pentru coeficienții \(\lambda_k, \lambda_k^{(1)}, \ldots, \lambda_k^{(n_k-2)}\).

2.3.2. Să demonstrăm întîi că \(\lambda_k \neq 0\). Aceasta revine la a demonstra că determinantul

unde \(n + 1 = n_0 + n_1 + \ldots + n_{k-1} + n_k\), este diferit de zero.

Pentru a scurta scriem determinantul (2.3.2) sub forma

Vom nota

Atunci formula (2.3.3) devine

2.3.3. Să demonstrăm întîi că determinantul

este diferit de zero.

Pentru aceasta considerăm polinomul

care este de gradul \(N\), pentru că coeficientul lui \(x^N\) este determinantul lui Vandermonde generalizat:

care este diferit de zero. Se poate scrie

Polinomul \(\Delta_1\) are toate rădăcinile reale și situate pe intervalul \([x_0, x_{k-1}]\). Derivata \(\Delta_1'\) are de asemenea toate rădăcinile reale și situate pe același interval. Rezultă că \(\Delta_1'(x) \neq 0\), pentru \(x \gt x_{k-1}\) și în particular că \(\Delta_1'(x_k) \neq 0\). Însă \(\Delta_1'(x_k) = d_1\) și prin urmare am demonstrat că \(d_1 \neq 0\).

2.3.4. Pentru a demonstra că determinantul (2.3.5) este diferit de zero, întrebuințăm metoda inducției complete.

Să presupunem că determinantul (2.3.5) este diferit de zero pentru indicele \(j\), ceea ce a fost demonstrat în aliniatul 2.3.3 pentru \(j = 1\) și să demonstrăm că determinantul

este diferit de zero.

Pentru aceasta, introducem polinomul

care este de gradul \(N + j\), pentru că coeficientul lui \(x^{N+j}\) este determinantul \(d_j\), pe care l-am presupus diferit de zero. Se poate scrie

unde \(U_j(x)\) este un polinom de gradul \(j\).

Polinomul \(\Delta_{j+1}\) are \(n_0 + n_1 + \ldots + n_{k-1} = N\) rădăcini reale situate pe intervalul \([x_0, x_{k-1}]\). Derivata lui \(\Delta_{j+1}'\) are \(N-1\) rădăcini reale situate pe același interval și rădăcina \(x_k\) multiplă de ordinul \(j\), cea ce înseamnă că \(\Delta_{j+1}'\) are toate rădăcinile reale și situate pe intervalul \([x_0, x_k]\). Rezultă atunci că derivata \((\Delta_{j+1}')^{(j)} = \Delta_{j+1}^{(j+1)}\) are toate rădăcinile reale și situate pe intervalul \([x_0, x_k)\). Deducem că \(\Delta_{j+1}^{(j+1)}(x_k) \neq 0\). Însă \(\Delta_{j+1}^{(j+1)}(x) = d_{j+1}\) și prin urmare \(d_{j+1} \neq 0\).

Astfel am demonstrat că coeficientul \(\lambda_k\) este diferit de zero.

2.3.5. Pentru a demonstra că \(\lambda_k^{(l)} \neq 0\), unde \(l\) este unul din numerele \(1, 2, \ldots, n_k-2\), trebuie să demonstrăm că determinantul

unde \(n + 1 = n_0 + n_1 + \ldots + n_{k-1} + n_k\), este diferit de zero.

Pentru a scurta, să scriem determinantul precedent sub forma

Vom nota \(n_0 + n_1 + \ldots + n_{k-1} = N\), \(n_k - 1 = l + j\) și prin urmare \(n = N + l + j\). Atunci determinantul (2.3.11) devine

Să demonstrăm întîi că pentru \(j = 1\), determinantul

este diferit de zero.

Pentru aceasta considerăm polinomul

care este de gradul \(N + l\) pentru că coeficientul lui \(x^{N+l}\) este determinantul lui Vandermonde generalizat

care nu este nul.

Putem să scriem

Toate rădăcinile polinomului \(\Delta_{l-1}\) sînt reale și situate pe intervalul \([x_0, x_k]\). Rezultă că rădăcinile derivatelor succesive ale acestui polinom sînt reale și situate pe același interval. În particular rădăcinile lui \(\Delta_{l+1}^{(l+1)}\) sînt toate cuprinse în intervalul \([x_0, x_k)\), astfel că \(\Delta_{l+1}^{(l+1)}(x_k) \neq 0\). Însă \(\Delta_{l+1}^{(l+1)}(x_k) = d_{l+1}^{(l)}\) și prin urmare am demonstrat că \(d_{l+1}^{(l)} \neq 0\).

2.3.6. Vom demonstra că determinantul \(d_{l+j}^{(l)}\) este diferit de zero cu metoda inducției complete. Am văzut deja în aliniatul 2.3.5 că \(d_{l+1}^{(l)} \neq 0\). Vom presupune că pentru indicele \(j\) avem \(d_{l+j}^{(l)} \neq 0\) și vom demonstra că determinantul

este de asemenea diferit de zero.

Pentru aceasta considerăm polinomul

care este de gradul \(N + l + j\), pentru că coeficientul lui \(x^{N+l+j}\) este determinantul \(d_{l+j}^{(l)}\), pe care l-am presupus diferit de zero.

Putem scrie polinomul \(\Delta_{l+j+1}\) sub forma

unde \(U_j(x)\) este un polinom de gradul \(j\).

Polinomul \(\Delta_{l+j+1}\) de gradul \(N + l + j\), are \(N + l\) rădăcini pe intervalul \([x_0, x_k]\). Rezultă că derivata \(\Delta_{l+j+1}^{(l)}\) are \(N + j\) rădăcini pe intervalul \([x_0, x_k]\). Polinomul \(\Delta_{l+j+1}^{(l)}\) nu mai are rădăcina \(x_k\), pentru că \(\Delta_{l+j+1}^{(l)}(x_k)\) este un determinant al lui Vandermonde generalizat care nu este nul. Însă derivata \((\Delta_{l+j+1}^{(l)})' = \Delta_{l+j+1}^{(l+1)}\) are rădăcina \(x_k\) multiplă de ordinul \(j\). În sfîrșit derivata \((\Delta_{l+j+1}^{(l+1)})^{(j)} = \Delta_{l+j+1}^{(l+j+1)}\) de gradul \(N - 1\), are toate rădăcinile lui \(N-1\), reale și situate pe intervalul \([x_0, x_k]\). Avem deci \(\Delta_{l+j+1}^{(l+j+1)}(x_k) \neq 0\). Însă \(\Delta_{l+j+1}^{(l+j+1)}(x_k) = d_{l+j+1}^{(l)}\) și prin urmare \(d_{l+j+1}^{(l)} \neq 0\).

Astfel teorema 2.3.1 este demonstrată.

§ 2.4. Teorema fundamentală asupra funcției \(\varphi\)

Scopul acestui paragraf este să se demonstreze că funcția \(\varphi\) din reprezentarea integrală

este pozitivă pe intervalul \((x_0, x_k)\), ca în cazul nodurilor simple (teorema 1.1.4).

2.4.1. Să notăm cu \(n-n_i-1\) cel mai mic număr din șirul

și să observăm că funcția \(\varphi\) este continuă pe intervalul \([x_0, x_k]\), cu derivatele ei succesive pînă la ordinul \(n-n_i-1\). Derivatele de ordin mai mare ca \(n-n_i-1\) sînt continue pe unele subintervale ale lui \([x_0, x_k]\). În particular funcția \(\varphi\) este continuă cu derivatele ei succesive pînă la ordinul al \(n^{\text{lea}}\) pe fiecare interval \([x_0, x_1], [x_1, x_2], \ldots, [x_{k-1}, x_k]\).

Teorema asupra semnului funcției \(\varphi\) pe intervalul \((x_0, x_k)\) se va deduce ușor din teorema următoare:

Vom demonstra această teoremă în etape utilizînd mai multe leme auxiliare.

2.4.2. Să considerăm un interval \([x_j, x_{j+1})\) cu \(j \gt 0\) și să atașăm numerele \(n-n_j-1\) și \(n-n_{j+1}-1\) la extremitățile lui. Avem

Este suficient să demonstrăm prima parte a lemei.

Pentru aceasta vom demonstra că derivata \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) nu poate avea \(n_j + 1\) zerouri pe intervalul \([x_j, x_{j+1})\).

Într-adevăr, să presupunem că pe intervalul \([x_j, x_{j+1})\) numărul de zerouri al lui \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) este egal cu \(n_j + 1\). Acest număr fiind cel puțin egal cu 2, să aplicăm teorema lui Rolle. Se va deduce că derivata \(\varphi^{(n-j)}\) are \(n_j\) zerouri pe intervalul \([x_j, x_{j+1})\), că \(\varphi^{(n-j+1)}\) are \(n_j - 1\) zerouri pe același interval \(\ldots\), și că \(\varphi^{(n-1)}\) trebuie să aibă un zero pe același interval. Însă aceasta este imposibil pentru că după teorema 2.2.5, derivata \(\varphi^{(n-1)}\) este egală cu constanta \(\lambda_0 + \lambda_1 + \ldots + \lambda_j\), care este diferită de zero. Deci numărul de zerouri al derivatei \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) pe intervalul \([x_j, x_{j+1})\) este cel mult \(m_j = n_j\).

Se demonstrează în același mod partea a doua a lemei.

2.4.3. Să considerăm trei noduri consecutive \(x'_1, x'_2, x'_3\) din mulțimea nodurilor \(x_1, x_2, \ldots, x_{k-1}\), cu ordinele lor de multiplicitate, \(n'_1, n'_2, n'_3\).

Această lemă este evidentă dacă \(n'_2 = n'_1\), pentru că în acest caz, numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n'_1-1)}\) pe intervalul \([x'_1, x'_3)\) este egal cu numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n'_2-1)}\) pe același interval, adică pe intervalul \([x'_1, x'_2)\) și pe \([x'_2, x'_3)\). Însă după prima lemă, acest număr este \(n'_2 + n'_2 = 2n'_2\) și prin urmare lema este demonstrată.

Să presupunem acum că \(n-n'_1-1 \lt n-n'_2-1\) și să demonstrăm că numărul zerourilor derivatei \(\varphi^{(n-n'_1-1)}\) pe intervalul \([x'_1, x'_3)\) este \(m = n'_1 + n'_2\). Pentru aceasta observăm întîi că derivata \(\varphi^{(n-n'_1-1)}\) este continuă pe intervalul \([x'_1, x'_3)\) cu derivatele ei succesive pînă la ordinul \(n-n'_2-1\). Să demonstrăm că este imposibil ca \(\varphi^{(n-n'_1-1)}\) să aibă pe intervalul \([x'_1, x'_3)\), \(n'_1 + n'_2 + 1\) zerouri.

Într-adevăr, presupunînd că \(\varphi^{(n-n'_1-1)}\) ar avea \(n'_1 + n'_2 + 1\) zerouri pe intervalul \([x'_1, x'_3)\), derivata \(\varphi^{(n-n'_1}\) ar trebui să aibă \(n'_1 + n'_2\) pe intervalul \([x'_1, x'_3), \ldots\), și că derivata \(\varphi^{(n-n'_2-1)}\) ar trebui să aibă \(2n'_2 + 1\) zerouri pe intervalul \([x'_1, x'_3)\). Însă aceasta este imposibil pentru că după prima lemă, \(\varphi^{(n-n'_2-1)}\) are cel mult \(n'_2\) zerouri pe intervalul \([x'_1, x'_2)\) și \(n'_2\) zerouri pe intervalul \([x'_2, x'_3)\), adică cel mult \(2n'_2\) zerouri pe intervalul \([x'_1, x'_3)\). Comparînd aceste două rezultate constatăm că este o contradicție și prin urmare numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n'_1-1)}\) pe intervalul \([x'_1, x'_3)\) este cel mult \(m = n'_1 + n'_2\).

A doua parte a lemei se demonstrează în mod analog.

2.4.4. Să considerăm un grup de noduri consecutive \(x'_1, x'_2, \ldots, x'_r\) din mulțimea \(x_1, x_2, \ldots, x_k\), unde \(r \gt 3\) cu ordinele lor de multiplicitate pe care le notăm cu \(n'_1, n'_2, \ldots, n'_r\). Notăm cu \(n-n'-1\) cel mai mic număr din șirul

Avem

Pentru \(r = 3\) șirul (2.4.6) se reduce la primul său termen și a treia lemă se confundă cu a doua lemă, deci ea este adevărată.

Pentru a demonstra a treia lemă întrebuințăm metoda inducției complete și noi știm deja că această lemă este adevărată, pentru \(r = 3\), pentru că în acest caz lema a treia se confundă cu a doua lemă. Vom presupune că a treia lemă a fost demonstrată pentru \(r \lt l\) și o vom demonstra pentru \(r = l\).

În acest scop, vom nota cu \(n - n'_j - 1\) cel mai mic număr al șirului

și cu \(x'_j\), unul din punctele \(x'_2, x'_3, \ldots, x'_{l-1}\) care corespunde la \(n - n'_j - 1\). Avem evident \(j \lt l\).

Dacă \(n - n'_1 - 1 = n - n'_j - 1\), adică \(n'_1 = n'_j\), atunci numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n'_j-1)}\) pe intervalul \([x'_1, x'_l)\) este egal cu numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n'_j-1)}\) pe același interval. Deoarece am admis a treia lemă pentru \(r = j \lt l\) putem s-o aplicăm și deci numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) pe intervalul \([x'_1, x'_l)\) este egal cu suma numărului de zerouri ale lui \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) pe intervalele \([x'_1, x'_j)\) și \([x'_j\ x'_l)\); el este cel mult egal cu \((n'_2 + n'_3 + \ldots + n'_j) + (n'_j + n'_{j+1} + \ldots + n'_{l-1})\) și pentru că \(n'_j = n'_1\), numărul precedent este: \(m = n'_1 + n'_2 + \ldots + n'_{l-1}\) ceea ce demonstrează a treia lemă.

Să presupunem acum că \(n-n'_1-1 \lt n-n'_j-1\) și să demonstrăm că derivata \(\varphi^{(n-n'_1-1)}\) nu poate avea mai mult de \(m = n'_1 + n'_2 + \ldots + n'_{l-1}\) zerouri pe intervalul \([x'_1, x'_l)\).

Pentru aceasta să admitem contrariul, și anume că \(\varphi^{(n-n'_1-1)}\) ar avea

zerouri pe intervalul \([x'_1, x'_l)\). După condițiile la limite (2.1.7) și ipoteza că \(n-n'_j-1\) este cel mai mic din numerele șirului (2.4.9), funcția \(\varphi\) este continuă pe intervalul \([x'_1, x'_l)\) cu derivatele ei succesive pînă la ordinul \(n - n'_j - 1\). Atunci aplicînd teorema lui Rolle se deduce că derivata \(\varphi^{(n-n'_1)}\) ar trebui să aibă \(n'_1 + n'_2 + \ldots + n'_{l-1}\) zerouri pe intervalul \([x'_1, x'_l), \ldots\), și că derivata \(\varphi^{(n-n'_1+n'_1-n'_j-1)} = \varphi^{(n-n'_j-1)}\) ar trebui să aibă

zerouri pe intervalul \([x'_1, x'_l)\).

După a treia lemă pe care am admis-o pentru \(j \lt l\) derivata \(\varphi^{(n-n'_j-1)}\) are \(n'_2 + \ldots + n'_j\) zerouri pe intervalul \([x'_1, x_l^{1})\) și \(n'_j + n'_{j+1} + \ldots + n'_{j-1}\) zerouri pe intervalul \([x'_j, x'_l)\), adică

zerouri pe intervalul \([x_1, x'_l)\). Există o contradicție între numerele (2.4.11) și (2.4.12). De aceea trebuie să îndepărtăm ipoteza că derivata \(\varphi^{(n-n_1^{1}-1)}\) ar avea \(n'_1 + n'_2 + \ldots + n'_{l-1} + 1\) zerouri pe intervalul \([x'_1, x'_l)\) și prin urmare numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n'_1-1)}\) pe intervalul \([x'_1, x'_l)\) este cel mult \(m = n'_1 + n'_2 + \ldots + n'_{l-1}\).

Astfel prima parte a lemei a treia este demonstrată și a doua parte se demonstrează în mod analog.

Să demonstrăm întîi prima parte a lemei.

Pentru aceasta vom demonstra că este imposibil ca derivata \(\varphi^{(n-n_1-1)}\) să aibă \(n_1 + 1\) zerouri pe intervalul \((x_0, x_1)\).

Într-adevăr, să presupunem că \(\varphi^{(n-n_1-1)}\) ar avea \(n_1 + 1\) zerouri pe intervalul \((x_0, x_1)\). Atunci, aplicînd teorema lui Rolle, se deduce că \(\varphi^{(n-n_1)}\) ar trebui să aibă \(n_1\) zerouri pe intervalul \((x_0, x_1), \ldots\) și că \(\varphi^{(n-1)}\) ar trebui să aibă un zerou pe intervalul \((x_0, x_1)\). Însă aceasta este imposibil după teoremele 2.2.2, 2.2.5.

Contradicția pusă în evidență prin acest raționament arată că derivata \(\varphi^{(n-n_1-1)}\) are cel mult \(m = n_1\) zerouri pe intervalul \((x_0, x_1)\).

Să trecem acum la a doua parte a lemei presupunînd că \(n-n_0-1 \geq n-n_1-1\). În acest caz trebuie să se țină seama în raționamente de condițiile la limite din punctul \(x_0\)

Trebuie demonstrat în acest caz că derivata \(\varphi^{(n-n_1-1)}\) are cel mult \(n_0 - 1\) zerouri pe intervalul \((x_0, x_1)\).

Pentru aceasta să demonstrăm că este imposibil ca derivata \(\varphi^{(n-n_1-1)}\) să aibă \(n_0\) zerouri pe intervalul \((x_0, x_1)\).

Atunci se poate aplica teorema lui Rolle ținînd seama de condițiile la limite (2.4.15):

Derivata \(\varphi^{(n-n_1)}\) ar avea \(n_0\) zerouri pe intervalul \((x_0, x_1)\). \(\varphi^{(n-n_1+1)}\) ar avea de asemenea \(n_0\) zerouri pe intervalul \((x_0, x_1), \ldots\) \(\varphi^{(n-n_0)}\) ar avea tot \(n_0\) zerouri pe intervalul \((x_0, x_1)\). Mai departe derivatele succesive ne mai anulîndu-se în \(x_0\), derivata \(\varphi^{(n-n_0+1)}\) ar avea \(n_0 - 1\) zerouri pe intervalul \((x_0, x_1), \ldots\), derivata \(\varphi^{(n-1)}\) ar avea un zerou pe intervalul \((x_0, x_1)\). Însă aceasta este imposibil după teoremele 2.2.2, 2.2.5.

Din nou avem o contradicție și prin urmare numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_1-1)}\), cînd \(n-n_0-1 \geq n-n_1-1\) pe intervalul \((x_0, x_1)\), este cel mult \(m = n_0 - 1\).

A patra lemă este astfel demonstrată.

2.4.6. Să presupunem că în șirul

care corespunde la nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_h\) ultimul termen este mai mic ca ceilalți.

Atunci avem:

Această lemă este adevărată pentru \(h = 1\), pentru că în acest caz, ea coincide cu a patra lemă.

Vom face demonstrația acestei leme, cu metoda inducției complete. Să presupunem că a cincea lemă a fost demonstrată pentru \(h \lt j\) și s-o demonstrăm pentru \(h = j\).

Să considerăm șirul

și să presupunem că \(n - n_j - 1\) este cel mai mic termen al șirului.

Considerăm încă șirul

și să presupunem că \(n-n_j-1\) este cel mai mic termen al șirului.

Să notăm cu \(x_l\) nodul cel mai apropiat de \(x_0\) care corespunde la \(n-n_l-1\).

După condițiile la limite (2.1.7), funcția \(\varphi\) este continuă pe intervalul \([x_0, x_j]\), cu derivatele ei succesive pînă la ordinul \(n-n_l-1\).

Vom examina succesiv următoarele trei cazuri:

1° Să presupunem întîi că \(n-n_0-1 \lt n-n_j-1\). Să demonstrăm că derivata \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) are cel mult \(n_1 + n_2 + \ldots + n_j\) zerouri pe intervalul \((x_0, x_j)\).

Pentru aceasta să presupunem contrariul și anume că \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) ar avea

zerouri pe intervalul \((x_0, x_j)\) și să demonstrăm că această ipoteză conduce la o contradicție.

Putem aplica teorema lui Rolle la derivata \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) și la derivatele ei succesive relativ la intervalul \([x_0, x_j]\). Deducem că \(\varphi^{(n-n_j)}\) ar avea cel mult \(n_1 + n_2 + \ldots + n_j\) zerouri pe intervalul \((x_0, x_j), \ldots\), și că \(\varphi^{(n-n_l-1)}\) ar avea

zerouri pe intervalul \((x_0, x_j)\).

Însă avem \(l \lt j\) și \(n-n_0-1 \lt n-n_l-1\), astfel că numărul de zerouri ale lui \(\varphi^{(n-n_l-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_l)\) este cel mult \(n_1 + n_2 + \ldots + n_l\) după a cincea lemă pe care am admis-o pentru \(l \lt j\). Pe de altă parte, numărul de zerouri ale lui \(\varphi^{(n-n_l-1)}\) pe intervalul \([x_l, x_j)\) este dat de a treia lemă și el este cel mult egal cu \(n_l + n_{l+1} + \ldots + n_{j-1}\). Deci numărul de zerouri al lui \(\varphi^{(n-n_l-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_j)\) este cel mult egal cu

Deoarece există un dezacord între numerele (2.4.23) și (2.4.24) trebuie să înlăturăm ipoteza că \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) ar avea \(n_1 + n_2 + \ldots + n_j + 1\) zerouri pe intervalul \((x_0, x_j)\) și prin urmare \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) are cel mult \(n_1 + n_2 + \ldots + n_j\) zerouri pe intervalul \((x_0, x_j)\).

Astfel a cincia lemă este demonstrată în cazul \(n-n_0-1 \lt n-n_j-1\).

2° Să presupunem că \(n-n_0-1 = n-n_j-1\) și să demonstrăm că numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_j)\) este cel mult \(n_0 - 1 + n_1 + \ldots + n_{j+1}\).

Să presupunem contrariul și anume că numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_j)\) este \(n_0 + n_1 + \ldots + n_{j-1}\). Să demonstrăm că această ipoteză duce la o contrazicere.

Din cauza condițiilor la limite (2.1.7) din punctul \(x_0\), numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) pe intervalul \([x_0, x_j)\) este \(n_0 + n_1 + \ldots + n_{j-1} + 1\), pentru că avînd \(n_j = n_0\), rezultă că \(\varphi^{(n-n_j-1)}(x_0) = \varphi^{(n-n_j-1)}(x_0) = 0\). Aplicînd teorema lui Rolle deducem că \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) are \(n_1 + n_2 + \ldots + n_j\) zerouri pe intervalul \((x_0, x_j), \ldots\), și că \(\varphi^{(n-n_l-1)}\) are

zerouri pe intervalul \((x_0, x_j)\).

Însă numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_l-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_l)\) este după a cincea lemă pe care am admis-o pentru \(l \lt j\), egal cu \(n_1 + n_2 + \ldots + n_l\) și după a treia lemă, numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_l-1)}\) pe intervalul \([x_l, x_j)\) este cel mult \(n_l + n_{l+1} + \ldots + n_{j-1}\). Deci numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_l-1)}\) pe intervalul \([x_0, x_j)\) este suma \((n_1 + n_2 + \ldots + n_l) + (n_l + n_{l+1} + \ldots + n_{j-1})\) adică

Deoarece este o contrazicere între numerele (2.4.25) și (2.4.26) rezultă că trebuie să înlăturăm ipoteza că numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_j)\) este \(n_0 + n_1 + \ldots + n_{j-1}\) și prin urmare el este cel mult egal cu \(n_0 - 1 + n_1 + \ldots + n_{j-1}\).

A cincea lemă este deci demonstrată în cazul \(n-n_0-1 = n-n_j=1\).

3°. Să presupunem în fine că \(n-n_0-1 \gt n-n_j-1\). În acest caz vom examina separat trei cazuri: \(n - n_0 - 1 \lt n - n_l - 1\); \(n - n_0 - 1 = n - n_l - 1\); \(n - n_0 - 1 \gt n - n_l - 1\).

Să demonstrăm că în aceste cazuri numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_j)\) este cel mult \(n_0 - 1 + n_1 + \ldots + n_{j-1}\).

a) Să presupunem întîi că \(n-n_0-1 \lt n-n_l-1\). Pentru că \(n-n_j-1 \lt n-n_0-1\), trebuie să ținem seama că după condițiile la limite (2.1.7) din punctul \(x_0\), avem

Să demonstrăm că este imposibil ca numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_j)\) să fie \(n_0 + n_1 + \ldots + n_{j-1}\).

Într-adevăr, în acest caz numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_j)\) este \(n_0 + n_1 + \ldots + n_{j-1} + 1\). Aplicînd teorema lui Rolle se deduce că numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_j)}\) pe intervalul \([x_0, x_j)\) este încă \(n_0 + n_1 + \ldots + n_{j-1} + 1 \ldots\), și că numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n_0-n_0-1)}\) pe intervalul \([x_0, x_j)\) este încă \(n_0 + n_1 + \ldots + n_{j-1}\). Apoi aplicînd iarăși teorema lui Rolle se deduce că numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_0)}\) pe intervalul \((x_0, x_j)\) este \(n_0 + n_1 + \ldots + n_{j-1}, \ldots\), și că numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_l-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_j)\) este

Însă pentru a avea numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_l-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_j)\), putem aplica a cincea lemă la intervalul \((x_0, x_l)\) pentru că \(l \lt j\) și pe urmă a treia lemă la intervalul \([x_l, x_j)\). Acest număr este cel mult

Numerele (2.4.28) și (2.4.29) fiind diferite, trebuie să îndepărtăm ipoteza că numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_j)\) este \(n_0 + n_1 + \ldots + n_{j-1}\) și prin urmare acest număr este \(n_0 + n_1 + \ldots + n_{j-1} - 1\) ceea ce demonstrează lema noastră.

b) Să considerăm celelalte două cazuri \(n-n_0-1 \geq n-n_l-1\). Trebuie însă să ținem seamă că după condițiile la limite (2.1.7) din punctul \(x_0\), avem

Vom demonstra că numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_j)\) este cel mult egal cu \(n_0 - 1 + n_1 + \ldots + n_{j-1}\).

Pentru aceasta să presupunem că numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_1)\) este \(n_0 + n_1 + \ldots + n_{j-1}\). Aplicînd teorema lui Rolle succesiv și ținînd seama de condițiile (2.4.30) deducem că numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_j)}\) pe intervalul \((x_0, x_j)\) este încă \(n_0 + n_1 + \ldots + n_{j-1}, \ldots\) și că numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_l-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_j)\) este încă

Însă numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_l-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_j)\) poate fi găsit aplicînd a cincea lemă la intervalul \((x_0, x_l)\) ținînd seama că \(n-n_0-1 \geq n-n_l-1\) și aplicînd a treia lemă la intervalul \([x_l, x_j)\). Acest număr este deci

Deoarece este un dezacord între numerele (2.4.31) și (2.4.32) trebuie să îndepărtăm ipoteza că numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_j-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_j)\) este \(n_0 + n_1 + \ldots + n_{j-1}\). Deci el este cel mult \(n_0 - 1 + n_1 + \ldots + n_{j-1}\) și prin urmare a cincea lemă este demonstrată în cazul \(n-n_0-1 \gt n-n_j-1\) și \(n-n_0-1 \geq n-n_l-1\).

A cincea lemă este deci complet demonstrată.

2.4.7. Să considerăm toate nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_k\) cu ordinele lor de multiplicitate \(n_0, n_1, \ldots, n_k\). Să notăm cu \(n-n_i-1\) cel mai mic număr al șirului

și cu \(x_{i_1}, x_{i_2}, \ldots, x_{i_p}\) nodurile care corespund la \(n-n_i-1\), \(x_{i_1}\) fiind cel mai apropiat de \(x_0\). Din precedentele leme rezultă observația următoare:

Într-adevăr, dacă \(n-n_0-1 \lt n-n_i-1\), numărul zerourilor ale lui \(\varphi^{(n-n_i-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_{i_r})\) este egal cu suma zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_i-1)}\) pe intervalele \((x_0, x_{i_1}), [x_{i_1}, x_{i_r}), \ldots, [x_{i_{r-1}}, x_{i_r})\) care sînt date pentru primul interval de leme a cincea și pentru celelalte intervale de lema a treia. Vom avea deci

adică

ceea ce demonstrează formula (2.4.34)

Dacă \(n-n_0-1 \geq n-n_i-1\), același raționament arată că

și pentru că \(n_{i_1} = n_{i_r}\), se poate scrie

ceea ce demonstrează formula (2.4.35).

2.4.8. Să considerăm șirul de noduri \(x_h, x_{h+1}, \ldots, x_k\) și să presupunem că numerele \(n-n_{h+1}-1, n-n_{h+2}-1, \ldots, n-n_{k-1}-1\) sînt mai mari decît \(n-n_h-1\).

Avem:

Demonstrația acestei leme este analoagă cu demonstrația lemei a cincea. Ea se face cu ajutorul metodei inducției complete demonstrînd mai întîi lema, analoagă lemei a patra pentru nodurile \(x_{k-1}, x_k\), și ținînd seama de condițiile la limite din punctul \(x_k\). Apoi se presupune că lema a șasea a fost demonstrată pentru șirul de noduri \(x_h, x_{h+1}, \ldots, x_k\), unde \(h \gt j\) și se demonstrează a șasea lemă pentru \(h = j\).

Se poate adăuga o observație analoagă celei făcute în aliniatul 2.4.7.

2.4.9. Demonstrația teoremei 2.4.1 rezultă imediat din lemele precedente.

Să notăm ca mai sus prin \(n-n_i-1\) cel mai mic număr al șirului \(n-n_1-1, n-n_2-1, \ldots, n-n_{k-1}-1\) și cu \(x_i\) unul din punctele care corespunde la \(n-n_i-1\).

Numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_i-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_k)\) este egal cu suma numerelor zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_i-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_i)\) și \([x_i, x_k)\). El este cel mult egal cu \(N = m + m'\), unde numerele \(m\) și \(m'\) sînt date de lema a cincea și de lema a șasea, prin formulele (2.4.17) și (2.4.36).

1° Dacă \(n-n_0-1\) și \(n-n_k-1 \lt n-n_i-1\), avem \(N = (n_1 + n_2 + \ldots + n_i) + (n_i + \ldots + n_{k-1})\) și ținînd seama că \(n + 1 = n_0 + n_1 + \ldots + n_k\), putem scrie

astfel că formula (2.4.2) este demonstrată.

2° Dacă \(n-n_0-1 \lt n-n_i-1 \leq n-n_k-1\), avem \(N = (n_1 + n_2 + \ldots + n_i) + (n_{i+1} + \ldots + n_k - 1)\) adică

și formula (2.4.3) este demonstrată.

3° Dacă \(n-n_k-1 \lt n-n_i-1 \leq n-n_0-1\) avem \(N = (n_0 - 1 + n_1 + \ldots + n_{i-1}) + (n_i + \ldots + n_{k-1})\) adică

și formula (2.4.4) este demonstrată.

4° Dacă \(n-n_0-1 \geq n-n_i-1\) și \(n-n_k-1 \geq n-n_i-1\), avem \(N = (n_0 - 1 + n_1 + \ldots + n_{i-1}) + (n_{i+1} + \ldots + n_k - 1)\) adică

și formula (2.4.5) este demonstrată.

Să notăm ca în aliniatele precedente prin \(n-n_i-1\) cel mai mic număr al șirului \(n-n_1-1, n-n_2-1, \ldots, n-n_{k-1}-1\), și să observăm că funcția \(\varphi\) este continuă împreună cu derivatele succesive pe intervalul \((x_0, x_k)\) pînă la ordinul \(n-n_i-1\), ceea ce rezultă din condițiile la limite (2.1.7). Să scriem de asemenea condițiile la limite din punctele \(x_0, x_k\)

Pentru a demonstra teorema 2.4.2, presupunem întîi că funcția \(\varphi\) se anulează cel puțin o dată pe intervalul \((x_0, x_k)\). Atunci ținînd seama de această ipoteză și de condițiile la limite (2.4.38) putem să determinăm cu teorema lui Rolle numărul \(N'\) al zerourilor derivatei \(\varphi^{(n-n_i-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_k)\). Însă noi am arătat că numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_i-1)}\) este cel mult egal cu numărul \(N\) determinat de teorema 2.4.1. Vom arăta că există o contradicție între numerele \(N\) și \(N'\), pusă în evidență de relația \(N' = N+1\). Din această contradicție va rezulta că funcția \(\varphi\) nu se anulează pe intervalul \((x_0, x_k)\).

Vom face demonstrația formulei \(N' = N + 1\) în detaliu, reluînd toate cazurile examinate în aliniatul 2.4.9, în care s-a făcut demonstrația teoremei 2.4.1.

1° Să presupunem că \(n-n_0-1\) și \(n-n_k-1 \lt n-n_i-1\). Ne putem limita la cazul \(n-n_0-1 \lt n-n_k-1\).

Aplicînd succesiv teorema lui Rolle și ținînd seamă de condițiile la limite (2.4.38) și de faptul că funcția \(\varphi\) se anulează într-un punct din intervalul \((x_0, x_k)\), se deduce că derivata \(\varphi'\) se anulează în două puncte ale intervalului \((x_0, x_k)\), \(\ldots\), că derivata \(\varphi^{(n-n_0-1)}\) se anulează în \(n - n_0\) puncte ale intervalului \((x_0, x_k)\).

Mai departe derivata \(\varphi^{(n-n_0)}\) se anulează în \(n-n_0+1\) puncte ale intervalului \((x_0, x_k)\), \(\ldots\), derivata \(\varphi^{(n-n_k-1)}\) se anulează în \(n - n_0 + 1\) puncte ale intervalului \((x_0, x_k)\).

În fine, derivata \(\varphi^{(n-n_k)}\) se anulează în \(n-n_0+1\) puncte ale intervalului \((x_0, x_k)\), derivata \(\varphi^{(n-n_k+1)}\) se anulează în \(n-n_0\) puncte ale intervalului \((x_0, x_k)\), \(\ldots\), derivata \(\varphi^{(n-n_i-1)}\) se anulează în \(N' = n + n_i - n_0 - n_k + 2\) puncte ale intervalului \((x_0, x_k)\).

Însă aceasta este imposibil, pentru că după teorema 2.4.1, în cazul \(n-n_0-1 \lt n-n_i-1\), \(n-n_k-1 \lt n-n_i-1\), numărul zerourilor lui \(\varphi^{(n-n_i-1)}\) pe intervalul \((x_0, x_k)\) este cel mult \(N = n + n_i - n_0 - n_k + 1\).

Există deci o contrazicere între numerele \(N\) iși \(N'\); avem \(N' = N + 1\) și prin urmare trebuie să înlăturăm ipoteza că funcția \(\varphi\) se anulează cel puțin odată pe intervalul \((x_0, x_k)\).

Deci, funcția \(\varphi\) nu se anulează pe intervalul \((x_0, x_k)\).

Făcînd raționamente analoage, se ajunge la aceeași concluzie cînd \(n-n_0-1 \geq n-n_k-1\).

2° Să presupunem că \(n-n_0-1 \lt n-n_i-1 \leq n-n_k-1\), și să admitem ca mai sus că funcția \(\varphi\) se anulează cel puțin odată pe intervalul \((x_0, x_k)\). Atunci procedînd ca în cazul precedent, se ajunge la concluzia că derivata \(\varphi^{(n-n_i-1)}\) trebuie să se anuleze în \(N' = n-n_0+1\) puncte ale intervalului \((x_0, x_k)\).

Însă după teorema 2.4.1, derivata \(\varphi^{(n-n_i-1)}\) are cel mult \(N = n-n_0\) zerouri pe intervalul \((x_0, x_k)\).

Există deci o contradicție între numerele \(N\) și \(N'\); avem \(N' = N+1\) și prin urmare trebuie să înlăturăm ipoteza că funcția \(\varphi\) se anulează cel puțin odată pe intervalul \((x_0, x_k)\).

Deci, funcția \(\varphi\) nu se anulează pe intervalul \((x_0, x_k)\).

3°. Să presupunem că \(n-n_k-1 \lt n-n_i-1 \leq n-n_0-1\) și să admitem că funcția \(\varphi\) se anulează cel puțin odată pe intervalul \((x_0, x_k)\). Atunci, procedînd ca în cazurile precedente, se ajunge la concluzia că derivata \(\varphi^{(n-n_i-1)}\) trebuie să se anuleze în \(N' = n-n_k-1\) puncte pe intervalul \((x_0, x_k)\).

Însă după teorema 2.4.1 derivata \(\varphi^{(n-n_i-1)}\) are cel mult \(N = n-n_k\) zerouri pe intervalul \((x_0, x_k)\).

Există deci o contradicție între numerele \(N\) și \(N'\); avem \(N' = N+1\) și prin urmare trebuie să înlăturăm ipoteza că funcția \(\varphi\) se anulează cel puțin o dată pe intervalul \((x_0, x_k)\).

Deci funcția \(\varphi\) nu se anulează pe intervalul \((x_0, x_k)\).

4°. Să presupunem că \(n-n_0 \geq n-n_i-1\) și \(n-n_k-1 \geq n-n_i-1\) și să admitem că funcția \(\varphi\) se anulează cel puțin odată pe intervalul \((x_0, x_k)\). Atunci procedînd ca în cazurile precedente, se ajunge la concluzia că derivata \(\varphi^{(n-n_i-1)}\) trebuie să se anuleze în \(N' = n-n_i\) puncte ale intervalului \((x_0, x_k)\).

Însă după teorema 2.4.1, derivata \(\varphi^{(n-n_i-1)}\) are cel mult \(N = n-n_i-1\) zerouri pe intervalul \((x_0, x_k)\).

Există deci o contradicție între numerele \(N\) și \(N'\); avem \(N' = N+1\) și prin urmare trebuie să înlăturăm ipoteza că funcția \(\varphi\) se anulează cel puțin o dată pe intervalul \((x_0, x_k)\).

Deci, funcția \(\varphi\) nu se anulează pe intervalul \((x_0, x_k)\).

Astfel am demonstrat că în toate cazurile funcția \(\varphi\) nu se anulează pe intervalul \((x_0, x_k)\). Se poate găsi semnul funcției \(\varphi\), observînd că dacă se înlocuiește în formulele (2.1.27) și (2.1.28) funcția \(f(x)\) cu \(x^n\), se găsește \(1 = n! \int_{x_0}^{x_k} \varphi(s)\, ds\), de unde rezultă că funcția \(\varphi\) este pozitivă pe intervalul \((x_0, x_k)\) și avem formula

Într-adevăr, după teorema 2.4.2 funcția \(\varphi\) din reprezentarea integrală (2.1.28) este pozitivă pe intervalul \((x_0, x_k)\) și avem formula (2.4.39). Se poate aplica teorema mediei și sîntem conduși la formula (2.4.40).

Formula (2.4.40) arată că

unde

§ 2.5. Formula de interpolare a lui Lagrange-Hermite

Reprezentarea diferenței divizate a unei funcții \(f\) pe nodurile multiple printr-o integrală definită conduce în mod remarcabil la formula de interpolare a lui Lagrange-Hermite, la restul ei și la polinomul lui Lagrange-Hermite.

2.5.1. Să considerăm o funcție \(f\) definită pe intervalul \((a, b)\) și nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_k\) multiple de ordinele \(n_1, n_2, \ldots, n_k\) și astfel ca \(a \lt x_1 \lt \ldots \lt x_k \lt b\), precum și nodul simplu \(x \in (a, b)\), care nu coincide cu nici unul din nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_k\). Nodul \(x\) poate fi la stînga lui \(x_1\), sau la dreapta lui \(x_k\), sau pe intervalul \((x_1, x_k)\).

Să presupunem întîi că nodul \(x \in (x_i, x_{i+1})\), unde \(i\) este unul din numerele \(1, 2, \ldots, k-1\). Atunci putem considera diferența divizată

și reprezentarea sa integrală

unde numărul \(n\) este dat de formula

și unde am notat funcția \(\varphi\) din formula (2.1.28) cu \(\varphi_i(x, s)\), pentru a arăta că ea depinde de nodul \(x \in (x_i, x_{i+1})\).

Se poate înlocui primul membru al formulei (2.5.2) prin

și prin urmare formula (2.5.2) devine

Însă

astfel că introducînd polinomul

putem scrie

Formula (2.5.5) devine

Primul termen al membrului al doilea este un polinom \(H_{n-1}(x)\) care este de gradul \(n-1\) cel mult. Vom scrie

Relativ la polinomul \(H_{n-1}\) avem următoarele două teoreme :

Într-adevăr, înlocuind în formula (2.5.9) și în derivatele ei succesive ale celor doi membri \(x\) cu \(x_l\), putem scrie

ceea ce arată că

și prin urmare teorema 2.5.1 este demonstrată.

Într-adevăr, ecuațiile care determină coeficienții polinomului \(P_{n-1}\) sînt

și determinantul acestui sistem este diferit de zero.

Eliminînd coeficienții \(A_{n-1}, A_{n-2}, \ldots, A_0\) între ecuațiile (2.5.11) și (2.5.14) se găsește :

Această ecuație rezolvată în raport cu \(P_{n-1}(x)\), comparată cu \(H_{n-1}(x)\), arată că \(P_{n-1} = H_{n-1}\) și prin urmare teorema 2.5.2 este demonstrată.

Formula (2.5.8) se poate scrie sub forma

Ea apare ca o formulă de aproximare, care se numește formula de interpolare a lui Lagrange-Hermite. Funcția \(f\) este aproximată de polinomul \(H_{n-1}\), care se numește polinomul de interpolare al lui Hermite.

Polinomul de interpolare al lui Hermite este dat de formula (2.5.9) sau de teorema 2.5.2.

Restul formulei (2.5.11) este :

el depinde de \(x\) și de indicele \(i\), care arată că \(x \in (x_i, x_{i+1})\), unde \(i\) poate fi \(1, 2, \ldots, k-1\).

2.5.2. Dacă \(x \lt x_1\) avem reprezentarea integrală :

unde am notat funcția \(\varphi\) din formula (2.1.28) prin \(\varphi_0(x, s)\) pentru a arăta că ea corespunde nodului \(x \lt x_1\).

Procedînd ca în aliniatul 2.5.1, se ajunge la formula de interpolare a lui Lagrange-Hermite

unde restul acestei formule este :

Dacă \(x \gt x_k\) avem reprezentarea integrală

unde am notat funcția \(\varphi\) din formula (2.1.28) cu \(\varphi_k(x, s)\) pentru a arăta că ea corespunde nodului \(x \gt x_k\).

Procedînd ca în aliniatul 2.5.1 se ajunge la formula de interpolare a lui Lagrange-Hermite :

unde restul este dat de formula :

2.5.3. Funcția \(\varphi_i(x, s)\) este pozitivă pe intervalul \((x_1, x_n)\) pentru \(i = 1, 2, \ldots, k-1\), întocmai ca și funcțiile \(\varphi_0(x, s), \varphi_k(x, s)\) pe intervalele \((x, x_k), (x_1, x)\). Avem

și

Rezultă pentru resturile \(R_i(x)\) evaluările

pentru \(i = 0, 1, \ldots, k\), unde

și

↑ Cuprins

English

Se știe că se pot determina nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) și coeficienții \(C_1, C_2, \ldots, C_n\) ai formulei de cuadratură

astfel ca restul \(R[f]\) să fie nul, cînd se înlocuiește funcția \(f(x)\) prin \(1, x, \ldots, x^{2n-1}\). Nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) sînt rădăcinile polinomului lui Legendre, asociat intervalului \([a, b]\). Formula (3.1) se numește formula de cuadratură a lui Gauss.

P. Turán [47] a dat o frumoasă extensie formulei de cuadratură a lui Gauss, demonstrînd că se pot determina nodurile și coeficienții formulei de cuadratură

astfel ca restul \(R[f]\) să fie nul cînd se înlocuiește funcția \(f(x)\) prin \(1, x, \ldots, x^{4n-1}\).

Mai general, P. Turán a considerat formule de cuadratură de forma

și a determinat nodurile și coeficienții astfel ca restul \(R[f]\) să fie nul, cînd se înlocuiește funcția \(f(x)\) prin \(1, x, \ldots, x^{2(k+1)n-1}\).

Formulele (3.3) formează o clasă care se numesc formulele lui P. Turán. Pentru \(k = 0\), formula (3.3) devine formula de cuadratură a lui Gauss.

În acest capitol vom determina resturile formulelor de cuadratură ale lui Gauss și P. Turán.

Am arătat că formula de cuadratură a lui Gauss și restul ei pot fi deduse din diferența divizată

unde \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) sînt rădăcinile polinomului lui Legendre asociat intervalului \([a, b]\), și unde se notează \(g' = f\).

Utilizînd teorema 2.4.3 se poate deduce o evaluare a valorii absolute a restului formulei de cuadratură a lui Gauss. Utilizînd reprezentarea integrală (2.1.28) sîntem conduși la reprezentarea integrală a restului \(R[f]\), a formulei de cuadratură a lui Gauss.

Această idee va fi reluată pentru formula de cuadratură a lui P. Turán (3.2) sau pentru formula generală (3.3).

Acest capitol debutează cu reprezentarea integrală a diferenței divizate

după metoda întrebuințată în capitolul II. Însă demonstrația asupra semnului funcției \(\varphi\) pe intervalul \((a, b)\) este mai simplă în cazul diferenței divizate (3.5), decît în cazul general. Aceasta se datorește faptului că în diferența divizată (3.5) nodurile \(a, b\) sînt simple și nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) sînt multiple de același ordin de multiplicitate \(k\).

§ 3.1. Reprezentarea integrală a diferenței divizate \([a, \underbrace{x_1, \ldots, x_1}_{k}, \underbrace{x_2, \ldots, x_2}_{k}, \ldots, \underbrace{x_n, \ldots, x_n}_{k}, b; f]\)

3.1.1. Avînd în vedere reprezentarea integrală a diferenței divizate

să considerăm numărul \(N\), definit de \(N + 1 = 1 + kn + 1\), adică

unde \(k \gt 1\) și să presupunem că \(f \in C^{kn+1}[a, b]\).

Procedăm ca în capitolul II și asociem la intervalele \([a, x_1], [x_1, x_2], \ldots, [x_n, b]\) polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_{n+1}\), soluții ale ecuațiilor diferențiale

Avem formulele următoare :

Aplicînd la fiecare integrală (3.1.4) formula generalizată de integrare prin părți vom avea

Adunînd membru cu membru formulele (3.1.5) se obține formula :

unde \(\mathscr{P}[f]\) depinde de valorile lui \(f\) și ale derivatelor succesive \(f', f'', \ldots, f^{(N-1)}\) pe nodurile \(a, x_1, \ldots, x_n, b\) și unde funcția \(\varphi\) coincide pe intervalele \([a, x_1], [x_1, x_2], \ldots, [x_n, b]\) cu polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_{n+1}\).

Relativ la formula (3.1.6) ne punem problema următoare :

Pentru aceasta trebuie să introducem condițiile la limite :

Soluția acestei probleme la limite se obține ușor. Ecuațiile diferențiale (3.1.3) și condițiile la limite (3.1.8) din punctele \(a, x_1, \ldots, x_n\) sînt satisfăcute cu polinoamele :

unde \(\lambda_0, \lambda_1, \lambda_1^{(1)}, \ldots, \lambda_1^{(k-1)}, \ldots, \lambda_n, \lambda_n^{(1)}, \ldots, \lambda_n^{(k-1)}\) sînt constante.

Se determină constantele \(\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_n^{(k-1)}\) scriind că condițiile la limite (3.1.8) din punctul \(b\) sînt satisfăcute. Se obțin atunci ecuațiile

Introducînd o nouă necunoscută \(\lambda_{n+1}\) prin ecuația

ecuațiile (3.1.10) pot să se scrie sub forma

Numărul necunoscutelor din sistemul (3.1.12) este \(1 + kn + 1 = N + 1\) și numărul ecuațiilor sistemului este \(N\). Rangul matricei coeficienților sistemului (3.1.12) este \(N\). Notînd cu \(D_0, D_1, D_1^{(1)}, \ldots, D_1^{(k-1)}, \ldots, D_n, D_n^{(1)}, \ldots, D_n^{(k-1)}, D_{n+1}\) determinanții matricelor care se obțin din matricea sistemului (3.1.12), suprimînd prima, a doua, \(\ldots\), ultima coloană a matricei sistemului, avem

unde \(H\) este o constantă.

Constantele \(\lambda_0, \lambda_1, \lambda_1^{(1)}, \ldots, \lambda_1^{(k-1)}, \ldots, \lambda_n, \lambda_n^{(1)}, \ldots, \lambda_n^{(k-1)}, \lambda_{n+1}\) fiind determinate afară de un factor \(H\), polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_{n+1}\) sînt de asemenea determinate afară de factorul \(H\). Înlocuind în formula (3.1.6) polinoamele \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_{n+1}\) prin soluția problemei la limite, se găsește pentru \(\mathscr{P}[f]\) expresia

Însă după formulele (3.1.9) avem

Formula (3.1.14) devine

Înlocuind constantele \(\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_1^{(k-1)}, \ldots, \lambda_n^{(k-1)}, \lambda_{n+1}\) prin expresiile lor deduse din formulele (3.1.13) se vede că formula (3.1.16) se reduce la :

Rămîne să se țină seamă și de ultima condiție la limite \(\mathscr{P}[x^N] = 1\). Formula (3.1.17) arată că trebuie să avem

de unde rezultă că \(\mathscr{P}[f]\) se reduce la diferența divizată

În sfîrșit, ținînd seama de formula (3.1.6) avem :

Formula (3.1.20) poate să se scrie de asemenea sub forma :

Vom demonstra acum mai multe teoreme asupra coeficienților formulei (3.1.21) și asupra funcției \(\varphi\).

Pentru \(r = 0\), teorema este evidentă, pentru că după formulele (3.1.13) și (3.1.18) avem

Teorema este încă evidentă pentru \(r = n\), pentru că după prima ecuație din (3.1.12), (3.1.13) și (3.1.18) avem

și

Ne rămîne să demonstrăm teorema pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Pentru aceasta să introducem polinomul de interpolare \(h(x; r) = h(x)\), determinat de condițiile

Este ușor de demonstrat că polinomul \(h\) este perfect determinat de cele \(nk + 1 = N\) condiții (3.1.23). Rezultă că gradul polinomului \(h\) este cel mult \(N-1\).

Adăugăm că polinomul \(h\) nu este identic nul, pentru că oricare ar fi \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), avem \(h(a) = 1\), pe cînd \(h(x_n) = 0\).

Înlocuind în formula (3.1.21) funcția \(f\) prin polinomul \(h\), avem

și teorema 3.1.2 pe care o avem în vedere revine la a demonstra că pentru polinomul \(h\) determinat de condițiile (3.1.23) avem \(h(b) \neq 0\).

Să demonstrăm întîi că polinomul \(h^{(k-1)}\) este de gradul \(N-k\). Aplicînd teorema lui Rolle și ținînd seamă de condițiile (3.1.23) constatăm că derivata \(h'\) se anulează în \(n-1 + n = 2n-1\) puncte distincte ale intervalului \([a, x_n)\), apoi că derivata \(h''\) se anulează în \(2n-2+n\) puncte distincte ale aceluiași interval, \(\ldots\), și, în fine, că derivata \(h^{(k-1)}\) se anulează în \(kn - (k-1) = N-k\) puncte distincte din același interval.

Astfel am pus în evidență pentru polinomul \(h^{(k-1)}\) de gradul \(N-k\) cel mult, \(N-k\) rădăcini distincte ale intervalului \([a, x_n]\). Aceasta ne va ajuta să arătăm că gradul polinomului \(h^{(k-1)}\) este \(N-k\).

Într-adevăr, să presupunem contrariul, că gradul polinomului \(h^{(k-1)}\) ar fi mai mic decît \(N-k\). Atunci, cum polinomul are \(N-k\) rădăcini distincte, el este identic nul și \(h^{(N-k-1)}\) este o constantă, nulă, pentru că \(h^{(N-k-1)}(x_1) = 0\). Se demonstrează în același mod că derivata \(h^{(N-k-2)}\) este nulă, \(\ldots\), și, în sfîrșit, că \(h'\) este nulă. Ar urma ca polinomul \(h\) să fie o constantă, ceea ce este imposibil pentru că \(h(a) = 1\) și \(h(x_n) = 0\).

Deci ipoteza că gradul derivatei \(h^{(k-1)}\) este mai mic decît \(N-k\) trebuie înlăturată și prin urmare gradul lui \(h^{(k-1)}\) este \(N-k\).

Acum putem termina demonstrația și să arătăm că \(h(b) \neq 0\). Să presupunem contrariul și anume că \(h(b) = 0\). Atunci reluînd raționamentele precedente se ajunge la concluzia că derivatele succesive \(h', h'', \ldots, h^{(k-1)}\) trebuie să aibă o rădăcină în plus pe intervalul \((x_n, b)\). Însă aceasta este imposibil pentru că s-a demonstrat că polinomul \(h^{(k-1)}\) de gradul \(N-k\) are \(N-k\) rădăcini distincte pe intervalul \([a, x_n]\). Deci ipoteza că \(h(b) = 0\) trebuie înlăturată și prin urmare \(h(b) \neq 0\).

Teorema 3.1.2 este astfel demonstrată.

Într-adevăr, după formulele (3.1.9) coeficienții lui \(s^{N-1}\) în aceste polinoame sînt

și după teorema 3.1.2 ei sînt toți diferiți de zero.

Într-adevăr, după formulele (3.1.9) și condițiile la limite (3.1.8) din punctul \(b\), avem \(\varphi_1(s) = \lambda_0 \frac{(s-a)^{N-1}}{(N-1)!}\), \(\varphi_{n+1}(s) = -\lambda_{n-1} \frac{(s-b)^{N-1}}{(N-1)!}\) și prin urmare derivata \(\varphi^{(N-k-1)}\) nu se anulează pe intervalele \((a, x_1], [x_n, b)\).

Pe de altă parte, derivatele \(\varphi_2^{(N-k-1)}, \varphi_3^{(N-k-1)}, \ldots, \varphi_n^{(N-k-1)}\) sînt polinoame de gradul \(k\), și coeficienții lui \(\frac{x^k}{k!}\) sînt \(\lambda_0 + \lambda_1, \lambda_0 + \lambda_1 + \lambda_2, \ldots, \lambda_0 + \lambda_1 + \ldots + \lambda_{n-1}\) toți diferiți de zero conform teoremei 3.1.3. Rezultă că derivata \(\varphi^{(N-k-1)}\) are \(k\) zerouri cel mult pe fiecare din intervalele \((x_1, x_2], \ldots, (x_{n-1}, x_n)\) și prin urmare derivata \(\varphi^{(N-k-1)}\) are \(k(n-1)\) zerouri cel mult pe intervalul \((a, b)\).

Teorema 3.1.4 este deci demonstrată.

Pentru a demonstra această teoremă, să arătăm întîi că funcția \(\varphi\) nu se anulează pe intervalul \((a, b)\). Să presupunem contrariul și anume că funcția \(\varphi\) s-ar anula cel puțin într-un punct din intervalul \((a, b)\) și să observăm că după condițiile la limite (3.1.18) funcția \(\varphi\) și derivatele ei succesive \(\varphi', \varphi'', \ldots, \varphi^{(N-k-1)}\) sînt continue pe intervalul \([a, b]\). Atunci aplicînd în mod succesiv teorema lui Rolle, se deduce că derivata \(\varphi'\) trebuie să aibă două zerouri pe intervalul \((a, b)\), că derivata \(\varphi''\) trebuie să aibă trei zerouri pe intervalul \((a, b)\), \(\ldots\), și că derivata \(\varphi^{(N-k-1)}\) trebuie să aibă \(N-k = k(n-1) + 1\) zerouri pe intervalul \((a, b)\). Însă aceasta este imposibil pentru că după teorema 3.1.4, derivata \(\varphi^{(N-k-1)}\) are cel mult \(k(n-1)\) zerouri pe intervalul \((a, b)\). Deci ipoteza că funcția \(\varphi\) s-ar anula cel puțin într-un punct din intervalul \((a, b)\) trebuie înlăturată și prin urmare funcția \(\varphi\) nu se anulează pe intervalul \((a, b)\).

Dacă înlocuim în formula (3.1.20) funcția \(f\) cu \(x^N\), se deduce că \(1 = N! \int_a^b \varphi\, ds\) de unde rezultă că funcția \(\varphi\) este pozitivă pe intervalul \((a, b)\) și că avem formula (3.1.24).

§ 3.2. Formula de cuadratură a lui Gauss

3.2.1. Să considerăm formula de cuadratură a lui Gauss de forma

unde \(p\) este o pondere, funcție integrabilă pe intervalul \([a, b]\) și pozitivă pe intervalul \((a, b)\).

Vom avea atunci identitatea

pentru \(f(x) = x^k\), unde \(k = 0, 1, \ldots, 2n-1\).

Trebuie să scriem că formula (3.2.2) devine o identitate cînd se înlocuiește funcția \(f(x)\) prin

și

Se poate scrie că formula (3.2.2) este valabilă cînd se înlocuiește funcția \(f\) printr-un polinom oarecare \(Q\) de grad cel mult egal cu \(2n-1\).

Să notăm

polinomul care are ca rădăcini nodurile din formula (3.2.2). A determina nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), înseamnă a determina coeficienții polinomului \(\omega_n(x)\).

Polinoamele

unde \(h = 0, 1, \ldots, n-1\), sînt de grad \(n + h \leq 2n-1\).

Înlocuind în formula (3.2.2) funcția \(f\) cu polinoamele \(Q\), se deduc ecuațiile

pentru că polinomul \(\omega_n(x)\) se anulează pentru \(x_1, x_2, \ldots, x_n\).

După cum se știe, ecuațiile (3.2.7) determină polinomul \(\omega_n(x)\) și din aceste ecuații se deduce proprietatea fundamentală de ortogonalitate :

ceea ce înseamnă că polinoamele \(\omega_m\) formează un șir de polinoame ortogonale în raport cu funcția \(p(x)\) și relativ la intervalul \([a, b]\), \(m = 0, 1, \ldots\) și \(\omega_0(x) = 1\).

Se știe că polinomul \(\omega_n(x)\) ai cărui coeficienți sînt determinați de ecuațiile (3.2.7), are toate rădăcinile reale, distincte și cuprinse între \(a\) și \(b\).

Astfel nodurile formulei (3.2.2) sînt rădăcinile polinomului \(\omega_n\). În particular, cînd \(p(x) = 1\), nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) ale formulei (3.2.2) sînt rădăcinile polinomului lui Legendre de grad \(n\) atașat intervalului \([a, b]\).

Odată ce nodurile formulei (3.2.2) au fost determinate, este ușor să se determine coeficienții \(C_1, C_2, \ldots, C_n\). Este suficient să se scrie că formula (3.2.2) devine o identitate cînd se înlocuiește funcția \(f\) prin funcțiile (3.2.3). Sistemul de ecuații

determină coeficienții \(C_1, C_2, \ldots, C_n\), determinantul lui fiind determinantul lui Vandermonde al nodurilor distincte \(x_1, x_2, \ldots, x_n\).

Astfel problema lui Gauss este complet rezolvată [9].

Un alt raționament care conduce la aceste rezultate se găsește în lucrarea [8].

Problema lui Gauss ne conduce la identitățile :

alăturînd la ecuațiile (3.2.9) identitățile care se obțin înlocuind în formula (3.2.2) funcția \(f\) prin funcțiile (3.2.4).

Rămîne acum să determinăm restul \(R[f]\) al formulei de cuadratură a lui Gauss, cînd nodurile și coeficienții au fost determinați prin problema lui Gauss și cînd se presupune că \(f \in C^{2n}[a, b]\). Această problemă a fost tratată în general de noi, cu metoda funcției \(\varphi\), pentru o pondere \(p(x)\) integrabilă pe intervalul \([a, b]\) și pozitivă pe intervalul \((a, b)\), în lucrarea noastră [8].

Însă cînd \(p(x) = 1\), determinarea restului \(R[f]\) poate fi legată de reprezentarea integrală a unei diferențe divizate, după cum vom vedea mai departe.

3.2.2. Să considerăm diferența divizată a funcției \(g\) pe nodurile \(a, b\) simple și nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) distincte și duble :

După cum se știe avem

unde \(V\) este determinantul lui Vandermonde generalizat \(V(a, x_1, x_1, \ldots, x_n, x_n, b)\).

Dacă se dezvoltă determinantul din membrul al doilea al formulei (3.2.12) după elementele ultimei coloane avem

unde

Avem teorema următoare :

Este suficient să facem demonstrația pentru unul din acești coeficienți, de exemplu pentru \(A_1\). Pentru aceasta vom scrie pe \(A_1\) sub forma

unde \(L_1\) este un coeficient care diferă de \(V^{-1}\) prin 1 sau \(-1\).

Adunînd elementele ultimei coloane la elementele primei coloane și punînd alături de \(L_1\) factorul \(1, 2, \ldots, 2n\), putem scrie pe \(A_1\) sub forma :

Între elementele primelor \(n+1\) coloane avem o aceeași combinație liniară, după cum reiese din identitățile (3.2.10). Rezultă că \(A_1 = 0\) și prin urmare teorema 3.2.1 este demonstrată.

3.2.3. Așa fiind, să înlocuim în formula (3.2.13) nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) cu rădăcinile polinomului lui Legendre asociat intervalului \([a, b]\). După teorema 3.2.1, vom avea \(A_1 = 0, \ldots, A_n = 0\) și putem să scriem

Înlocuind în această identitate funcția \(g\) cu 1, deducem că

Pe de altă parte avem

Rezultă că formula (3.2.16) se poate scrie sub forma :

Să înlocuim în această identitate funcția \(g\) prin :

și să împărțim ambii membri cu \(A_{n+1}\). Vom avea formula :

care este chiar formula de cuadratură a lui Gauss, cu nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), rădăcinile polinomului lui Legendre asociat intervalului \([a, b]\) și cu coeficienții

și restul

Dacă utilizăm reprezentarea integrală a diferenței divizate din membrul al doilea al formulei (3.2.23), avem reprezentarea integrală a restului \(R[f]\), cînd \(f \in C^{2n}[a, b]\) :

unde în membrul al doilea figurează funcția \(\varphi\) a reprezentării integrale a diferenței divizate (3.2.11) corespunzînd la nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), rădăcinile polinomului lui Legendre asociat intervalului \([a, b]\).

Avem astfel :

3.2.4. Notînd polinomul

unde \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) sînt rădăcinile polinomului lui Legendre, asociat intervalului \([a, b]\), și înlocuind în formula (3.2.21) funcția \(f\) prin \(\omega_n^2\), obținem

Însă \(\int_a^b \varphi\, ds = \frac{1}{(2n+1)!}\) și prin urmare se deduce din formula precedentă

ceea ce este o interpretare interesantă a coeficientului \(\frac{1}{A_{n+1}}\) din membrul al doilea al formulei (3.2.24).

§ 3.3. Formula de cuadratură a lui P. Turán

3.3.1. Să considerăm formula de cuadratură de forma

unde \(p\) este o funcție integrabilă pe intervalul \([a, b]\) și pozitivă pe intervalul \((a, b)\) și unde în membrul al doilea figurează derivatele \(f^{(l)}(x)\), în nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) pentru \(l = 0, 1, \ldots, 2(s-1)\). Ea a făcut obiectul unor importante cercetări ale lui P. Turán [47] și se numește formula de cuadratură a lui P. Turán.

Vom avea atunci identitatea

pentru \(f(x) = x^k\), \(k = 0, 1, \ldots, 2ns-1\).

P. Turán a arătat că această problemă este legată de o problemă de minimum și anume: să se determine coeficienții \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) astfel ca integrala

unde \(s\) este un număr natural, să fie minimă.

Polinomul care realizează minimul integralei (3.3.3) se numește polinomul minimizant al integralei. Vom da mai departe o demonstrație simplă a teoremei 3.3.1, datorită lui Margareta Frenkel [4]. Polinomul minimizant al integralei (3.3.3) :

se bucură de proprietăți importante, analoage proprietăților polinoamelor lui Legendre.

Vom demonstra întîi :

Pentru \(s = 1\), ecuațiile (3.3.5) exprimă proprietatea polinoamelor lui Legendre de a fi ortogonale în raport cu intervalul \((a, b)\) și cu ponderea \(p\).

Apoi vom demonstra :

Polinomul minimizant \(\omega_n\) este foarte important pentru problema lui P. Turán, pentru că avem :

În fine, vom demonstra că restul \(R[f]\) al formulei de cuadratură (3.3.1) a lui P. Turán, cînd \(f \in C^{2ns}[a, b]\) și \(p(x) = 1\), poate fi legat de reprezentarea integrală a unei diferențe divizate, așa cum am făcut pentru restul formulei lui Gauss [10].

3.3.2. Demonstrația teoremei 3.3.1 a lui D. Jackson, dată de Margareta Frenkel. Să considerăm integrala

unde \(p\) este o funcție integrabilă pe intervalul \([a, b]\) și pozitivă pe intervalul \((a, b)\), \(s\) este un număr natural și \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) sînt coeficienți reali. Vom determina coeficienții \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) în mod unic, pentru ca integrala \(\delta_{2s}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)\) să fie minimă.

Pentru aceasta vom considera funcția

și constatăm că are proprietățile următoare:

1° Avem

2° \(w(\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) este un polinom omogen de gradul \(2s\), ceea ce înseamnă că se poate scrie:

unde \(i_0 + i_1 + \ldots + i_n = 2s\).

3° Avem

dacă și numai dacă \(\lambda_0^2 + \lambda_1^2 + \ldots + \lambda_n^2 = 0\).

Aceste proprietăți sînt evidente.

4° Se pot determina două numere pozitive \(\alpha\) și \(\beta\), \(\alpha \lt \beta\), astfel ca

unde

Într-adevăr, că considerăm mulțimea punctelor din \(\mathbb{R}^{n+1}\) situată pe sfera \(S_1\) de rază 1, adică mulțimea sistemelor de numere \((\mu_0, \mu_1, \ldots, \mu_n)\) pentru care \(|\mu| = 1\). Această mulțime fiind mărginită și închisă și funcția \(w(\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) considerată pe această sferă fiind continuă, putem determina numerele

Numărul \(\alpha\) este pozitiv, pentru că funcția \(w(\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) este pozitivă pe sferă și \(\inf\) ei este atins pe sferă, deci este pozitiv.

Vom avea

Fiind dat un sistem oarecare de numere reale \((\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\), se poate determina un sistem de numere \((\mu_0, \mu_1, \ldots, \mu_n)\), unde \(|\mu| = 1\) și un număr pozitiv \(l\) astfel ca

Funcția \(w(\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) fiind un polinom omogen de gradul \(2s\), avem \(w(\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_n) = l^{2s} w(\mu_0, \mu_1, \ldots, \mu_n)\) și după inegalitățile (3.3.15) avem

Formulele (3.3.16) arată că \(l = |\lambda| = \sqrt{\lambda_0^2 + \lambda_1^2 + \ldots + \lambda_n^2}\) și prin urmare inegalitățile (3.3.17) se pot scrie sub forma

sau încă sub forma

Așa fiind, să înlocuim în integrala (3.3.7) \(\lambda_0 = 1\). Atunci această integrală devine o funcție \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) de \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) :

care este fundamentală pentru această demonstrație și va fi studiată mai departe.

Inegalitățile (3.3.19) devin

Vom asocia funcției \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) numărul \(\nu\), definit de ecuația

Vom avea

Funcția \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) are mai multe proprietăți:

Într-adevăr, după inegalitățile (3.3.21) avem \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n) \geq \alpha(1 + \lambda_1^2 + \ldots + \lambda_n^2)^s\) și pentru \(\lambda_1^2 + \ldots + \lambda_n^2 \gt \nu^2\) vom avea \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n) \gt \alpha(1 + \nu^2)^s = \alpha \dfrac{\beta}{\alpha} = \beta\) și prin urmare prima proprietate este demonstrată.

Pentru a demonstra această proprietate să observăm întîi că punctul \((0, 0, \ldots, 0)\) aparține mulțimii \((\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) pentru care \(\lambda_1^2 + \ldots + \lambda_n^2 \leq \nu^2\) și inegalitățile (3.3.21) arată că \(w(1, 0, \ldots, 0) \leq \beta\). După definiția lui \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) avem

pentru orice punct \((\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) pentru care avem \(\lambda_1^2 + \ldots + \lambda_n^2 \lt \nu^2\). Vom avea, în particular,

și astfel a treia proprietate este demonstrată.

Pentru aceasta observăm că dacă considerăm funcția \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) pentru \(\lambda_1^2 + \ldots + \lambda_n^2 \geq \nu^2\), avem după prima proprietate \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n) \gt \beta\).

Însă dacă considerăm funcția \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) pentru \(\lambda_1^2 + \ldots + \lambda_n^2 \leq \nu^2\) ea are un inf atins pentru \((\lambda_1^0, \ldots, \lambda_n^0)\) și după proprietatea a treia avem

Deci \(I\) este inf funcției \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) pentru \((\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n\) și el este atins în punctul \((\lambda_1^0, \ldots, \lambda_n^0) \in \mathbb{R}^n\) pentru că, după prima proprietate, \(I\) nu poate fi atins pentru \((\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) pentru care avem \(\lambda_1^2 + \ldots + \lambda_n^2 \gt \nu^2\).

Într-adevăr, funcția \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) este definită pentru orice punct \((\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n\) iar punctul \((\lambda_1^0, \ldots, \lambda_n^0)\) unde funcția își atinge inf este un punct interior. Rezultă că \((\lambda_1^0, \ldots, \lambda_n^0)\) este un punct de minim și prin urmare avem formulele (3.3.27).

Această proprietate este legată de inegalitatea

valabilă pentru \(s = 1, 2, \ldots\) și \(u \neq v\), care este un caz particular al inegalității

unde \(A\) și \(B\) sînt două numere reale, pozitive, \(A + B = 1\) și \(u \neq v\).

Inegalitatea (3.3.28) se demonstrează ușor.

Așa fiind, să presupunem că punctul \((\lambda_1^0, \ldots, \lambda_n^0)\), unde funcția \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) își atinge inf, nu este unic, ceea ce înseamnă că există cel puțin două puncte diferite \((\lambda_1^0, \ldots, \lambda_n^0)\) și \((\lambda_1', \ldots, \lambda_n')\), unde inf este atins. Atunci avem

Polinoamele

nu sînt identice. Ele pot să coincidă într-un oarecare număr de puncte \(c_1, c_2, \ldots, c_q\) ale intervalului \([a, b]\), unde \(q \leq n\).

Pe intervalele \((a, c_1), (c_1, c_2), \ldots, (c_q, b)\) vom avea inegalitățile

după cum arată inegalitatea (3.3.28).

Ținînd seama de formulele (3.3.31) putem scrie

valabile pentru fiecare interval \((a, c_1), (c_1, c_2), \ldots, (c_q, b)\).

Înmulțind ambii membri ai acestei inegalități cu \(p(x)\), unde \(x \in (c_i, c_{i+1})\) și integrînd de la \(c_i\) la \(c_{i+1}\), avem

Putem considera inegalitățile (3.3.32) pentru \(i = 0, 1, \ldots, q\), unde \(c_0 = a\), \(c_{q+1} = b\).

Adunînd toate aceste inegalități, membru cu membru, se găsește

adică

Însă noi am presupus că

și rezultă din inegalitatea (3.3.33) că

ceea ce este în contradicție cu definiția lui inf \(w\).

Din această contradicție rezultă unicitatea punctului \((\lambda_1^0, \ldots, \lambda_n^0)\), unde funcția \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) își atinge inf.

Să presupunem că există un punct \((\lambda_1', \ldots, \lambda_n')\) diferit de \((\lambda_1^0, \ldots, \lambda_n^0)\), unde funcția \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) ar avea un minim relativ. Aceasta înseamnă că există un număr \(\gamma \gt 0\), astfel ca pentru orice punct \((\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) dintr-o \(\gamma\)-vecinătate a punctului \((\lambda_1', \ldots, \lambda_n')\) să avem

Să considerăm polinoamele \(\varphi_{\lambda^0}(x) = x^n + \lambda_1^0 x^{n-1} + \ldots + \lambda_n^0\), \(\varphi_{\lambda^1}(x) = x^n + \lambda_1' x^{n-1} + \ldots + \lambda_n'\) și \(\varphi(x) = A\varphi_{\lambda^0}(x) + B\varphi_{\lambda^1}(x)\), unde \(A\) și \(B\) sînt două numere pozitive, \(A + B = 1\). Numerele \(A\), \(B\) vor mai fi supuse la alte condiții pe care le vom preciza mai departe.

Putem scrie

Punctele \((\lambda_1^0, \ldots, \lambda_n^0)\), \((\lambda_1', \ldots, \lambda_n')\) fiind distincte, polinoamele \(\varphi_{\lambda^0}\), \(\varphi_{\lambda^1}\) nu sînt identice. Ele pot coincide într-un oarecare număr de puncte \(d_1, \ldots, d_q\). Să notăm \(d_0 = a\), \(d_{q+1} = b\) și să aplicăm inegalitatea (3.3.29) la fiecare interval \((a, d_1), (d_1, d_2), \ldots, (d_q, b)\). Vom avea

Înmulțind cei doi membrii cu \(p(x)\), apoi integrînd de la \(d_i\) la \(d_{i+1}\) și adunînd membru cu membru aceste inegalități vom avea

Să considerăm acum un număr pozitiv \(\varepsilon \lt \gamma\) și să alegem numărul \(A\) astfel ca

Atunci punctul \((A\lambda_1^0 + B\lambda_1', \ldots, A\lambda_n^0 + B\lambda_n')\) aparține vecinătății \((\lambda_1', \ldots, \lambda_n')\), unde \(\varepsilon \lt \gamma\), pentru că

Să ne întoarcem la inegalitatea (3.3.35) pe care s-o scriem sub forma

sau încă sub forma

Însă \((\lambda_1^0, \ldots, \lambda_n^0)\) fiind punctul unde funcția \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) își atinge inf, paranteza mare din primul membru este pozitivă. În membrul întîi al inegalității (3.3.37) cei doi termeni sînt pozitivi și rezultă că pentru numărul \(A\) care verifică inegalitățile \(A \lt 1\) și \(A|\lambda_i' - \lambda_i^0| \lt \varepsilon\), \(i = 1, 2, \ldots, n\), avem inegalitatea \(w(1, A\lambda_1^0 + B\lambda_1', \ldots, A\lambda_n^0 + B\lambda_n') \lt w(1, \lambda_1', \ldots, \lambda_n')\) care este contrară ipotezei că funcția \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) ar avea un minim în \((\lambda_1', \ldots, \lambda_n')\).

Trebuie să îndepărtăm această ipoteză și prin urmare funcția \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) nu are un minim relativ, în afară de punctul \((\lambda_1^0, \ldots, \lambda_n^0)\), unde ea își atinge inf.

Să presupunem că există un punct \((\lambda_1'', \ldots, \lambda_n'') \in \mathbb{R}^n\), unde funcția \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) ar avea un maxim. Aceasta înseamnă că ar exista un număr pozitiv \(\gamma\), astfel ca pentru orice punct \((\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) dintr-o \(\gamma\)-vecinătate a lui \((\lambda_1'', \ldots, \lambda_n'')\) să avem

Această inegalitate are loc pentru toate punctele \((\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) care verifică condițiile

Să procedăm ca la demonstrația celei de a șaptea proprietăți și să considerăm polinoamele \(\varphi_{\lambda^0}(x) = x^n + \lambda_1^0 x^{n-1} + \ldots + \lambda_n^0\); \(\varphi_\lambda(x) = x^n + \lambda_1 x^{n-1} + \ldots + \lambda_n\), unde \((\lambda_1^0, \ldots, \lambda_n^0)\) este punctul în care funcția \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) își atinge inf și \((\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) este un punct care va fi precizat mai departe.

Considerăm de asemenea polinomul

unde \(A\), \(B\) sînt două numere pozitive, \(A + B = 1\) și unde \(A\) va fi supus încă la alte condiții pe care le vom preciza mai departe. Avem

Să presupunem că punctul \((\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) este dat de ecuațiile

adică

astfel că

Punctele \((\lambda_1^0, \ldots, \lambda_n^0)\), \((\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) fiind distincte, polinoamele \(\varphi_{\lambda^0}\), \(\varphi_\lambda\) nu sînt identice. Procedînd ca la demonstrația celei de a șaptea proprietăți și utilizînd inegalitatea (3.3.29) deducem inegalitatea

Așa fiind, fie \(\varepsilon\) un număr pozitiv, \(\varepsilon \lt \gamma\) și să arătăm că putem alege condiții pentru \(A\), astfel ca punctul \((\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) să fie într-o \(\gamma\)-vecinătate a punctului \((\lambda_1'', \ldots, \lambda_n'')\). Formulele (3.3.42) arată că

Pentru ca punctul \((\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) să fie într-o \(\varepsilon\)-vecinătate a punctului \((\lambda_1'', \ldots, \lambda_n'')\) vom lua pe \(A\) astfel ca

adică

și constatăm că \(A \lt 1\).

Revenind la inegalitatea (3.3.45) putem scrie \(w(1, \lambda_1'', \ldots, \lambda_n'') \lt Aw(1, \lambda_1^0, \ldots, \lambda_n^0) + (1 - A)\, w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) sau încă

Însă paranteza mare este pozitivă pentru că \((\lambda_1^0, \ldots, \lambda_n^0)\) este punctul în care funcția \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) atinge inf său.

Rezultă atunci din inegalitatea (3.3.47) că în punctul \((\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\), avem \(w(1, \lambda_1'', \ldots, \lambda_n'') \lt w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) ceea ce este contrar ipotezei că funcția \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) are un maxim în punctul \((\lambda_1'', \ldots, \lambda_n'')\), care este exprimată prin inegalitățile (3.3.38).

Trebuie deci să înlăturăm această ipoteză și prin urmare funcția \(w(1, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) nu are maxim.

A opta proprietate este astfel demonstrată.

Prin proprietățile funcției

s-a demonstrat că ea are un minim unic egal cu inf său atins în punctul \((\lambda_1^0, \ldots, \lambda_n^0)\).

Coeficienții \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) ai polinomului minimizant sînt determinați de o manieră unică prin ecuațiile (3.3.27), adică prin ecuațiile

care pot fi scrise sub forma

și unde \(\omega_n(x) = x^n + \lambda_1 x^{n-1} + \ldots + \lambda_n\) este polinomul minimizant.

Astfel teoremele 3.3.1 și 3.3.2 sînt demonstrate.

3.3.3. Demonstrația teoremei 3.3.3. Odată determinat polinomul

prin ecuațiile (3.3.5)

unde \(h = 0, 1, \ldots, n - 1\), care-i determină coeficienții \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\), vom demonstra că el are toate rădăcinile sale reale, distincte și cuprinse între \(a\) și \(b\).

Să demonstrăm întîi că polinomul \(\omega_n(x)\) are toate rădăcinile sale reale și cuprinse între \(a\) și \(b\). Pentru aceasta observăm că putem deduce din ecuațiile (3.3.5) identitatea

valabilă pentru orice polinom al cărui grad este cel mult \(n-1\) și să ținem seama că după ipotezele noastre funcția \(p(x)\) este pozitivă pe intervalul \((a, b)\).

Dacă înlocuim în identitatea (3.3.51), \(Q(x) = 1\), trebuie să avem

ceea ce dovedește că polinomul \(\omega_n(x)\) are cel puțin o rădăcină \(x_1\) cuprinsă între \(a\) și \(b\), în caz contrar identitatea (3.3.52) fiind imposibilă.

Să presupunem că am demonstrat că polinomul \(\omega_n(x)\) are \(x_1, x_2, \ldots, x_k\) rădăcini cuprinse între \(a\) și \(b\), \(k \lt n\), ceea ce este adevărat pentru \(k = 1\). Atunci să notăm

unde \(\pi_{n-k}(x)\) este un polinom de gradul \(n-k\). Să demonstrăm că polinomul \(\pi_{n-k}(x)\) trebuie să aibă cel puțin o rădăcină reală cuprinsă între \(a\) și \(b\).

Într-adevăr, să înlocuim în identitatea (3.3.51) polinomul \(\omega_n(x)\) cu formula (3.3.53) și apoi alegînd \(Q(x) = (x - x_1) \ldots (x - x_k)\) putem scrie

ceea ce dovedește că polinomul \(\pi_{n-k}(x)\) are cel puțin o rădăcină reală \(x_{k+1}\), cuprinsă între \(a\) și \(b\), în caz contrar identitatea (3.3.54) fiind imposibilă.

Raționamentul precedent demonstrează că toate rădăcinile polinomului \(\omega_n(x)\) sînt reale și cuprinse între \(a\) și \(b\).

Să demonstrăm acum că rădăcinile polinomului \(\omega_n(x)\) sînt distincte.

Pentru aceasta să presupunem că polinomul \(\omega_n(x)\) ar avea două rădăcini \(x'\), \(x''\) egale, ceea ce ne permite să scriem

unde \(\pi_2(x)\) este un polinom de gradul \(n - 2\).

Dacă alegem în identitatea (3.3.51), \(Q(x) = \pi_2(x)\), putem scrie această identitate sub forma

ceea ce este imposibil.

Deci toate rădăcinile polinomului \(\omega_n(x)\) sînt distincte și teorema 3.3.3 este demonstrată.

3.3.4. Vom da demonstrația teoremei 3.3.4 a lui P. Turán asupra nodurilor și coeficienților formulei

Această formulă trebuie să fie valabilă pentru \(f(x) = x^k\), unde \(k = 0, 1, \ldots, 2ns - 1\).

Pentru determinarea nodurilor și coeficienților formulei (3.3.57) trebuie să scriem că această formulă devine o identitate cînd înlocuim funcția \(f\) prin

și

Se poate de asemenea scrie că formula (3.3.57) este valabilă cînd se înlocuiește funcția \(f\) printr-un polinom oarecare \(Q\) de grad cel mult egal cu \(2sn - 1\).

Să notăm

polinomul care are ca rădăcini nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) ale formulei (3.3.57). A determina nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), înseamnă a determina coeficienții \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) ai polinomului \(\omega_n(x)\).

Polinoamele

unde \(h = 0, 1, \ldots, n - 1\) sînt de gradul \((2s - 1)n + h \leq 2sn - 1\). Se poate scrie polinomul \(Q(x)\) de asemenea sub forma

și se vede că \(Q(x), Q'(x), \ldots, Q^{2(s-1)}(x)\) se anulează pentru \(x = x_1, \ldots, x = x_n\). Rezultă că dacă se înlocuiește în formula (3.3.57) funcția \(f\) prin polinomul (3.3.61) sau (3.3.62) avem ecuațiile

pentru a determina coeficienții \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) ai polinomului \(\omega_n(x)\). Acest sistem este identic cu sistemul (3.3.5) și a fost studiat în demonstrațiile teoremelor 3.3.1 și 3.3.2. S-a arătat că acest sistem are o soluție unică, care dă polinomul minimizant al integralei

În plus s-a demonstrat în teorema 3.3.3 că polinomul \(\omega_n(x)\) are rădăcinile reale, distincte și cuprinse între \(a\) și \(b\).

Deci nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) ale formulei (3.3.57) sînt rădăcinile polinomului minimizant \(\omega_n(x)\) al integralei (3.3.3).

Astfel prima parte a teoremei 3.3.4 este demonstrată.

Rămîne să se determine coeficienții formulei (3.3.57). Pentru aceasta este suficient să se scrie că formula (3.3.57) este satisfăcută cînd se înlocuiește funcția \(f\) cu funcțiile (3.3.58).

Se găsește atunci sistemul de ecuații liniare:

Este un sistem de \(2sn\) ecuații cu \((2s-1)n\) necunoscute \(C_1^{(0)}, C_1^{(1)}, \ldots, C_1^{(2s-1)}, \ldots, C_n^{(0)}, C_n^{(1)}, \ldots, C_n^{(2s-1)}\) al cărui determinant este determinantul lui Vandermonde generalizat \(V(\underbrace{x_1, \ldots, x_1}_{2s}, \ldots, \underbrace{x_n, \ldots, x_n}_{2s})\) care este diferit de zero pentru că nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) sînt distincte.

A doua parte a teoremei 3.3.4 este deci demonstrată. Coeficienții formulei (3.3.57) sînt dați de sistemul de ecuații (3.3.64).

3.3.5. Restul formulei de cuadratură a lui P. Turán, cînd \(p(x) = 1\). Să presupunem că în formula de cuadratură a lui P. Turán (3.3.1) avem \(p(x) = 1\). Atunci se poate determina restul acestei formule printr-o metodă analogă metodei întrebuințate pentru a determina restul formulei lui Gauss (§ 3.2).

În acest scop să considerăm diferența divizată a funcției \(g\) pe nodurile simple \(a, b\) și pe nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) distincte și multiple de ordinele \(2s\):

Avem

unde \(V\) este determinantul lui Vandermonde generalizat,

Să dezvoltăm determinantul din membrul al doilea al formulei (3.3.66) după elementele ultimei coloane. Vom avea

unde \(A_1^{(0)}, A_2^{(0)}, \ldots, A_n^{(0)}\) sînt coeficienții care ne interesează în mod particular în această lucrare. Avem

Fie

polinomul minimizant al integralei

care a fost studiat în aliniatul 3.3.2 și ale cărui rădăcini sînt reale, distincte și cuprinse între \(a\) și \(b\).

Avem:

Este suficient să se facă demonstrația pentru unul din acești coeficienți de exemplu pentru \(A_1^{(0)}\).

Pentru aceasta scriem coeficientul \(A_1^{(0)}\) sub forma

unde \(L_1^{(0)}\) este un coeficient care diferă de \(V^{-1}\) prin 1 sau \(-1\).

Adunînd elementele ultimei coloane la elementele primei coloane și punînd alături de \(L_1^{(0)}\) factorul \(1, 2, \ldots, 2ns\), se poate scrie \(A_1^{(0)}\), sub forma

Însă dacă scriem că formula lui P. Turán (3.3.57) este verificată cînd se înlocuiește funcția \(f\) prin funcțiile (3.3.58) și (3.3.59) avem identitățile

Atunci între elementele primelor \((2s-1)n + 1\) coloane din determinantul formulei (3.3.72) există o aceeași combinație liniară dată de identitatea (3.3.73) și prin urmare \(A_1^{(0)} = 0\).

Astfel teorema 3.3.5 este demonstrată.

Ținînd seamă de teorema 3.3.5, formula (3.3.68) devine, cînd \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) sînt rădăcinile polinomului minimizant \(\pi_n\), al integralei (3.3.71):

Dacă se înlocuiește în această formulă funcția \(g\) prin 1, se vede că

Pe de altă parte, avem

și prin urmare se poate scrie formula (3.3.74) sub forma

Înlocuind în această identitate funcția \(g\) prin

și împărțind cei doi membri cu \(A_{n+1}\), se obține formula

care este chiar formula de cuadratură a lui P. Turán, în care

și restul \(R[f]\) este

Dacă utilizăm reprezentarea integrală a diferenței divizate din membrul al doilea al formulei (3.3.81), cînd \(f \in C^{2ns}[a, b]\), avem reprezentarea integrală a restului \(R[f]\):

unde în membrul al doilea figurează funcția \(\varphi\) a reprezentării integrale a diferenței divizate (3.3.65) corespunzînd nodurilor \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) care sînt rădăcinile polinomului minimizant al integralei (3.3.71).

Astfel am obținut:

3.3.6. Înlocuind în formula de cuadratură a lui P. Turán funcția \(f(x)\) prin \(\pi_n^{2s}(x) = (x - x_1)^{2s}(x - x_2)^{2s} \ldots (x - x_n)^{2s}\), și ținînd seama de expresia (3.3.82) a restului \(R[f]\), avem

Însă

și prin urmare avem:

care leagă coeficientul \(\frac{1}{A_{n+1}}\), al formulei (3.3.82), de polinomul minimizant \(\pi_n\) al integralei (3.3.71).

3.3.7. Problema determinării restului \(R[f]\) se pune de asemenea pentru formulele de cuadratură (3.3.1) ale lui P. Turán cu ponderea \(p\). Această problemă a fost rezolvată de Paraschiva Pavel [28] care a întrebuințat metoda noastră de cercetare, metoda funcției \(\varphi\).

§ 3.4. Extensiunea formulei de cuadratură a lui Gauss

3.4.1. Într-o lucrare anterioară [6] am studiat formula de cuadratură de forma

pe care o considerăm ca o extensie a formulei de cuadratură a lui Gauss, sau încă o formulă de tip Gauss. În această formulă \(\pi\) este o pondere, funcție integrabilă pe intervalul \([a, b]\) și pozitivă pe intervalul \((a, b)\). Relativ la această formulă vom trata întîi următoarea:

Vom avea atunci identitatea

pentru \(f(x) = x^k\), unde \(k = 0, 1, \ldots, 2n + p + q - 1\).

Va trebui să scriem că formula (3.4.2) devine o identitate cînd se înlocuiește funcția \(f\) cu

Se poate scrie de asemenea că formula (3.4.2) este valabilă cînd se înlocuiește funcția \(f\) cu un polinom oarecare \(Q\) de grad cel mult egal cu \(2n + p + q - 1\).

Să notăm

polinomul care are ca rădăcini nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) ale formulei (3.4.2) și să observăm că a determina pe \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) este totuna cu a determina coeficienții \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) ai polinomului \(\omega_n(x)\).

Polinoamele

unde \(h = 0, 1, \ldots, n-1\) au gradul \(n + p + q + h \leq 2n + p + q - 1\).

Înlocuind în formula (3.4.2) funcția \(f\) cu polinomul \(Q\), se deduc ecuațiile

pentru că polinomul \(\omega_n\) se anulează pentru \(x_1, x_2, \ldots, x_n\).

După cum se știe, sistemul format de ecuațiile (3.4.8), unde \(h = 0, 1, \ldots, n-1\), determină polinomul \(\omega_n\) iar ecuațiile (3.4.8) arată că avem proprietatea fundamentală de ortogonalitate

pentru \(n \neq m\), ceea ce înseamnă că polinoamele \(\omega_n\) formează un șir de polinoame ortogonale în raport cu ponderea \(\pi(x) (x-a)^p (b-x)^q\) și cu intervalul \([a, b]\), \(m = 0, 1, \ldots\) și \(\omega_0(x) = 1\).

Se știe că polinomul \(\omega_n\) este determinat de coeficienții (3.4.6) care sînt dați de ecuațiile (3.4.8). El are toate rădăcinile reale, distincte și cuprinse între \(a\) și \(b\).

Astfel prima parte a problemei noastre este rezolvată; nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) ale formulei (3.4.2) sînt rădăcinile polinomului \(\omega_n\).

Odată ce nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) au fost determinate, coeficienții \(C_1, C_2, \ldots, C_n\) rezultă imediat. Se înlocuiește pentru aceasta în identitatea (3.4.2) funcția \(f\) cu polinoamele

unde \(h = 0, 1, \ldots, n-1\).

Obținem sistemul de ecuații

care determină \(C_1, C_2, \ldots, C_n\).

Într-adevăr, determinantul sistemului (3.4.11) este

El este diferit de zero, pentru că rădăcinile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) ale polinomului \(\omega_n\) sînt reale, distincte și cuprinse între \(a\) și \(b\).

Astfel coeficienții \(C_1, C_2, \ldots, C_n\) ai formulei (3.4.2) sînt determinați de sistemul de ecuații (3.4.11).

Se poate adăuga că coeficienții \(C_1, C_2, \ldots, C_n\) sînt pozitivi.

Într-adevăr, înlocuind în identitatea (3.4.2) funcția \(f\) prin polinomul \(Q(x) = (x - a)^p (b - x)^q \left(\frac{\omega_n(x)}{x - x_i}\right)^2\) de grad \(2n + p + q - 2\), avem ecuația

care determină pe \(C_i\) și arată că \(C_i \gt 0\), \(i = 1, 2, \ldots, n\).

Coeficienții \(C_1, C_2, \ldots, C_n\) fiind determinați, se pot determina coeficienții \(A_0, A_1, \ldots, A_{p-1}, B_0, B_1, \ldots, B_{q-1}\) scriind că identitatea (3.4.2) este satisfăcută cînd se înlocuiește funcția \(f\) cu polinomul

unde \(h = 0, 1, \ldots, p + q - 1\). Avem sistemul:

care determină coeficienții \(A_0, A_1, \ldots, A_{p-1}, B_0, B_1, \ldots B_{q-1}\), pentru că determinantul sistemului este determinantul lui Vandermonde generalizat

Astfel problema pusă asupra formulei de cuadratură (3.4.1) este complet rezolvată.

Să determinăm acum restul \(R[f]\) al formulei de cuadratură (3.4.1) cînd nodurile și coeficienții au fost determinați prin problema pusă mai sus și cînd \(f \in C^{2p+p+q}[a, b]\). Această problemă a fost tratată de noi cu metoda funcției \(\varphi\), pentru o pondere oarecare \(\pi(x)\), integrabilă pe intervalul \([a, b]\) și pozitivă pe intervalul \((a, b)\), în lucrarea noastră [6].

Însă cînd \(\pi(x) = 1\), determinarea restului \(R[f]\) poate fi legată de reprezentarea integrală a unei diferențe divizate, după cum vom vedea în continuare.

3.4.2. Să considerăm diferența divizată a unei funcții \(g\) pe nodurile \(a, b\), multiple cu ordinele \(p + 1\), \(q + 1\) și nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) distincte și duble

Procedînd ca în § 3.2 putem scrie

Relativ la această formulă avem:

Este suficient să facem demonstrația pentru unul din acești coeficienți de exemplu pentru \(P_1\).

Notînd

avem

unde \(V\) este determinantul lui Vandermonde generalizat

Putem încă să scriem

unde \(L_1\) diferă de \(V^{-1}\) prin 1 sau \(-1\).

Adunînd elementele ultimei coloane la acelea ale primei coloane, și împărțind apoi elementele liniei a doua, ale liniei a treia, \(\ldots\), ale ultimei linii prin \(1, 2, \ldots, N\), se mai poate scrie \(P_1\) sub forma

Sub această formă se vede că coeficientul \(P_1\) este nul, pentru că \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) fiind rădăcinile polinomului \(\omega_n\), între elementele primelor \(n + p + q + 1\) coloane există o aceiași combinație liniară care rezultă din formula (3.4.2), pentru \(f(x) = x^k\), unde \(k = 0, 1, \ldots, N-1\).

Teorema 3.4.1 este astfel demonstrată.

3.4.3. Așa fiind, să înlocuim în formula (3.4.15) nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) cu rădăcinile polinomului \(\omega_n\), (3.4.7), determinat de ecuațiile (3.4.8). Atunci după teorema 3.4.1 avem \(P_1 = 0, \ldots, P_n = 0\) și formula (3.4.15) devine

Dacă în această identitate se înlocuiește \(g(x)\) cu 1, se deduce că

Pe de altă parte, după teorema 2.3.1 avem \(Q_0 \neq 0\), astfel că formula (3.4.20) se poate scrie

Să înlocuim în această identitate funcția \(g\) cu

și să împărțim cu \(Q_0\). Vom avea formula

care este chiar formula (3.4.1) pe care o avem în vedere și pe care am considerat-o ca o extensiune a formulei de cuadratură a lui Gauss.

În această formulă nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) sînt rădăcinile reale, distincte și cuprinse între \(a\) și \(b\) ale polinomului \(\omega_n\), (3.4.6), dat de ecuațiile (3.4.8) și coeficienții sînt legați de coeficienții diferenței divizate (3.4.20) prin formulele

Restul \(R[f]\) este dat de:

Dacă utilizăm reprezentarea integrală a membrului al doilea al formulei (3.4.25), avem reprezentarea integrală a restului \(R[f]\), cînd \(f \in C^N[a, b]\)

unde în membrul al doilea figurează funcția \(\varphi\) din reprezentarea integrală a diferenței divizate (3.4.14) corespunzînd la rădăcinile polinomului \(\omega_n\), determinat de ecuațiile (3.4.8).

Avem astfel:

3.4.4. Înlocuind în formula (3.4.1) funcția \(f\) cu

unde \(\omega_n\) este polinomul determinat de ecuațiile (3.4.7) și (3.4.8) și care se anulează în \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) și ținînd seama de formula (3.4.26) se obține

Însă pentru reprezentarea integrală (3.4.27) avem \(\int_a^b \varphi\, ds = \frac{1}{(N+1)!}\) și prin urmare:

de unde rezultă că

ceea ce este o interpretare interesantă a coeficientului \(\frac{1}{Q_0}\) din membrul al doilea al formulei (3.4.26).

§ 3.5. Extensiunea formulei de cuadratură a lui P. Turán

3.5.1. Am considerat în § 3.4 o extensie a formulei de cuadratură a lui Gauss. Să considerăm formula de cuadratură de forma

ca o extensie a formulei de cuadratură a lui P. Turán. În această formulă \(\pi\) este o funcție integrabilă pe intervalul \([a, b]\) și pozitivă pe intervalul \((a, b)\).

În membrul al doilea apar derivatele \(f^{(l)}(x_j)\) ale funcției \(f\) pentru \(l = 0, 1, \ldots, 2(s-1)\) și \(j = 1, 2, \ldots, n\). Coeficienții formulei (3.5.1) vor fi precizați de problema fnundamentală următoare, pe care o desemnăm prin:

Vom avea atunci identitatea

pentru \(f(x) = x^k\), unde \(k = 0, 1, \ldots, 2ns + p + q - 1\).

Pentru a determina nodurile și coeficienții formulei (3.5.2) trebuie să scriem identitățile care rezultă cînd se înlocuiește funcția \(f\) prin

și

Se poate de asemenea scrie că formula (3.5.2) este verificată cînd se înlocuiește funcția \(f\) printr-un polinom oarecare \(Q\) de grad cel mult egal cu \(p + q + 2sn - 1\).

Să notăm

polinomul care are ca rădăcini nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) ale identității (3.5.2). A determina nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), este același lucru cu a determina coeficienții \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) ai polinomului \(\omega_n\).

Polinoamele

unde \(h = 0, 1, \ldots, n - 1\), sînt de grad \(p + q + (2s - 1)n + h \lt p + q + 2sn - 1\). Se poate încă scrie polinomul \(Q\) sub forma

și se vede că el are rădăcinile \(a, b, x_1, \ldots, x_n\) multiple de ordinele \(p, q, 2s-1, \ldots, 2s-1\).

Rezultă că dacă se înlocuiește în formula (3.5.2) funcția \(f\) prin polinomul \(Q\), trebuie să avem

pentru \(h = 0, 1, \ldots, n-1\).

Ecuațiile (3.5.8) determină polinomul \(\omega_n\) într-un mod unic. După o teoremă a lui D. Jackson [22], \(\omega_n\) este polinomul minimizant al integralei

și s-a demonstrat, teorema 3.3.3, că polinomul \(\omega_n\) are toate rădăcinile reale, distincte și cuprinse între \(a\) și \(b\).

Deci nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) ale formulei (3.5.2) sînt rădăcinile polinomului minimizant al integralei (3.5.9).

Rămîne să se determine coeficienții formulei (3.5.2).

Pentru aceasta trebuie să se scrie că identitatea (3.5.2) este satisfăcută cînd se înlocuiește funcția \(f\) prin polinoamele (3.5.3).

Vom avea ecuațiile liniare

al căror număr este \((2s-1)n+p+q\) cu \(p+(2s-1)n+q\) necunoscute \(A_0, A_1, \ldots, A_{p-1}, C_j^{(0)}, C_j^{(1)}, \ldots, C_j^{2(s-1)}, j = 1, 2, \ldots, n^{s}\) și \(B_0, B_1, \ldots, B_{q-1}\).

Acest sistem determină toți coeficienții pentru că determinantul său este determinantul lui Vandermonde generalizat

Astfel problema lui P. Turán asupra formulei de cuadratură (3.5.1) este complet rezolvată.

Odată determinate nodurile și coeficienții formulei (3.5.1) rămîne să se determine restul \(R[f]\) al formulei, cînd se presupune că \(f \in C^{2ns+p+q}[a, b]\). Această problemă a fost tratată de P. Pavel, [28], cu metoda funcției \(\varphi\), pentru o pondere \(\pi\) integrabilă pe intervalul \([a, b]\) și pozitivă pe intervalul \((a, b)\).

Dar dacă \(\pi(x) = 1\), determinarea restului \(R[f]\) poate fi legată de reprezentarea integrală a unei diferențe divizate, după cum vom vedea în continuare.

3.5.2. Să considerăm diferența divizată a unei funcții \(g\) pe nodurile \(a, b\) multiple de ordinele \(p + 1, q + 1\) și nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) distincte și multiple de ordinele \(2s\)

Procedînd ca în § 3.2, se poate scrie

Relativ la această formulă avem:

Este suficient să facem demonstrația acestei teoreme pentru unul din coeficienți, de exemplu pentru \(P_1^{(0)}\).

Notînd

avem

unde \(V\) este determinantul lui Vandermonde generalizat

Putem încă scrie

unde \(L_1\) diferă de \(V^{-1}\) prin 1 sau \(-1\).

Adunînd elementele ultimei coloane la elementele primei coloane și împărțind apoi elementele liniei a 2^a, a 3^a, \(\ldots\), a ultimei cu \(1, 2, \ldots, N\), putem să scriem \(P_1^{(0)}\) sub forma

Sub această formă se vede că coeficientul \(P_1^{(0)}\) este nul, pentru că \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) fiind rădăcinile polinomului \(\omega_n\), între elementele primelor \((2s-1)n+p+q+1\) coloane există o aceiași combinație liniară care rezultă din formula (3.5.2).

Teorema 3.5.1 este astfel demonstrată.

3.5.3. Așa fiind, să înlocuim în formula (3.5.12) nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) cu rădăcinile polinomului \(\omega_n\) determinat de ecuațiile (3.5.5), (3.5.8). Atunci după teorema 3.5.1 avem \(P_1^{(0)} = 0, \ldots, P_1^{(0)} = 0\) și formula (3.5.12) devine

Dacă în această identitate se înlocuiește \(g(x)\) cu 1, avem

și după teorema 2.3.1, avem \(Q_0 \neq 0\), astfel că formula (3.5.17) devine

Să înlocuim în această identitate funcția \(g\) prin

și să împărțim cu \(Q_0\). Vom avea formula

care este chiar formula (3.5.1) pe care o avem în vedere și pe care o considerăm ca o extensie a formulei de cuadratură a lui P. Turán.

În formula (3.5.21) nodurile \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) sînt rădăcinile reale, distincte și cuprinse între \(a\) și \(b\) ale polinomului \(\omega_n\) determinat de ecuațiile (3.5.5), (3.5.8) și care este polinomul minimizant al integralei (3.5.9) corespunzător lui \(\pi(x) = 1\) și coeficienții sînt legați de coeficienții diferenței divizate (3.5.17) corespunzătoare rădăcinilor polinomului \(\omega_n\), prin formulele

Restul \(R[f]\) este dat de expresia

Dacă utilizăm reprezentarea integrală a membrului al doilea al formulei (3.5.23), avem reprezentarea integrală a restului \(R[f]\) cînd \(f \in C^N[a, b]\)

unde în membrul al doilea figurează funcția \(\varphi\) din reprezentarea integrală a diferenței divizate (3.5.11) corespunzînd rădăcinilor polinomului \(\omega_n\) determinat de ecuațiile (3.5.5), (3.5.8).

Avem astfel

3.5.4. Înlocuind în formula (3.5.1), unde \(\pi(x) = 1\), funcția \(f\) cu

unde \(\omega_n\) este polinomul determinat de ecuațiile (3.5.5) și (3.5.8) și ținînd seama de formula (3.5.24) avem

Însă pentru reprezentarea integrală (3.5.25), avem \(\int_a^b \varphi\, dt = \frac{1}{(N+1)!}\) și prin urmare

de unde rezultă că

care este o interpretare interesantă a coeficientului \(\frac{1}{Q_0}\) din membrul al doilea al formulei (3.5.24) legată de integrala (3.5.9), al cărui polinom minimizant este \(\omega_n\).

↑ Cuprins

English

În acest capitol se extinde metoda funcției \(\varphi\) expusă în primul capitol pentru a defini diferența divizată a unei funcții de o variabilă și pentru a face reprezentarea ei integrală, la funcții de două variabile. Vom ajunge la această extensie tot printr-o problemă la limite.

§ 4.1. Formula de integrare prin părți pentru funcțiile de două variabile

În acest paragraf se stabilește formula de integrare prin părți pentru integrale duble, și apoi formula de integrare prin părți generalizată.

Formula (4.1.2) a fost numită de acad. M. Nicolescu : formula de integrare prin părți pentru integrale duble [26].

Vom scrie formula (4.1.2) sub forma

unde simbolurile din membrul al doilea sînt următoarele :

Pentru a demonstra formula (4.1.2) vom scrie primul său membru sub forma

și vom aplica la integarala \(\int_{y_1}^{y_2}\) formula de integrare prin părți. Vom avea

Aplicînd la fiecare integrală \(\int_{x_1}^{x_2}\) din nou formula de integrare prin părți se obține:

care este tocmai formula (4.1.2)

Vom spune că formula (4.1.6) este formula de integrare prin părți generalizată pentru integrale duble.

Pentru a demonstra formula (4.1.6) să înlocuim în formula (4.1.3) funcția \(f\) prin \(\dfrac{\partial^{2(n-1)} f}{\partial x^{n-1} \partial y^{n-1}}\). Vom avea

Să înlocuim mai departe în formula (4.1.3) funcția \(\varphi\) prin \(\dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x \partial y}\) și funcția \(f\) prin \(\dfrac{\partial^{2(n-2)} f}{\partial x^{n-2} \partial y^{n-2}}\). Vom avea

Continuăm acest procedeu, pînă ajungem la formula

Adunînd membru cu membru, toate aceste formule, se obține formula (4.1.6).

4.1.3. Să considerăm dreptunghiul

nodurile \(M_{i,k}(x_i, y_k)\), unde

și dreptunghiurile

unde \(i, k = 0, 1, \ldots, n-1\).

Considerăm încă funcțiile \(\varphi_{i,k}\), \((i, k = 0, 1, \ldots, n-1)\), continue pe \(D_{i,k}\), împreună cu derivatele parțiale

În figura 4.1.1 se dă pavajul dreptunghiului \(D\) cu dreptunghiurile \(D_{i,k}\) și sînt marcate nodurile \(M_{i,k}\).

La fiecare dreptunghi \(D_{i,k}\) și la funcțiile \(f, \varphi_{i,k}\) putem să aplicăm formula fundamentală (4.1.6). Adunînd membru cu membru toate aceste formule, se obține formula importantă pentru acest capitol:

unde

Ținînd seama de formulele (4.1.4), putem scrie încă formula (4.1.10) sub forma

Se poate scurta scrierea formulei (4.1.11) făcînd convenția următoare :

Cu această convenție, formula (4.1.11) poate fi scrisă sub forma

pentru că \(\mathscr{P}[f]\) dat de formula (4.1.12) coincide, ținînd seamă de convenția (A), cu \(\mathscr{P}[f]\) dat de formula (4.1.11).

§ 4.2. Problemă la limite

Relativ la formula (4.1.12) sau (4.1.11) se va pune o problemă la limite cu scopul de-a ajunge la definiția diferenței divizate a funcției \(f\) pe nodurile \(M_{i,k}\), \((i, k = 0, 1, \ldots, n)\), și la reprezentarea ei printr-o integrală dublă.

4.2.1. Formula (4.1.12) arată că \(\mathscr{P}[f]\) depinde de \(\left( \dfrac{\partial^{2r} f}{\partial x^r \partial y^r} \right)_{x_i, y_k}\) pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\) și \(i, k = 0, 1, \ldots, n\), de \(\left( \dfrac{\partial^{2r} f}{\partial x^r \partial y^r} \right)_{x, y_k}\) pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\) și \(k = 0, 1, \ldots, n\) precum și de \(\left( \dfrac{\partial^{2r} f}{\partial x^r \partial y^r} \right)_{x_i, y}\) pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\) și \(i = 0, 1, \ldots, n\).

Relativ la formula (4.1.9) și la expresia (4.1.12) a lui \(\mathscr{P}[f]\), este un mare interes a trata următoarea problemă la limite :

Pentru aceasta trebuie să se introducă următoarele condiții la limite :

pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\) și \(i, k = 0, 1, \ldots, n\). Cînd se face \(i = n\), sau \(k = n\), sau \(i = k = 0\) sau încă \(i = k = n\), în condițiile la limite (4.2.2), trebuie să se țină seama de convenția (A) făcută în aliniatul 4.1.3.

Se va nota această problemă la limite cu \((P_{i,k})\) și funcțiile \(\varphi_{i,k}\) vor fi determinate mai întîi pe \(D_{0,0}\), apoi pe \(D_{1,0}, \ldots, D_{n-1,0}\), în continuare pe \(D_{0,1}, \ldots, D_{n-1,1}, \ldots\), și așa mai departe.

Constantele \(C_{i,k}\), \(i, k = 0, 1, \ldots, n\), vor fi determinate, afară de un factor, astfel ca problema să fie posibilă. Pentru a le determina complet se va introduce condiția suplimentară

4.2.2. Problema \((P_{0,0})\). Făcînd în ecuațiile (4.2.1) și în condițiile la limite (4.2.2), \(i = k = 0\), și ținînd seamă de convenția (A), problema \((P_{0,0})\) constă în a determina soluția ecuației cu derivate parțiale

care satisface la condițiile la limite

Această problemă este foarte simplă și are soluția

4.2.3. Problema \((P_{i,0})\), pentru \(i = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(n\). Făcînd în ecuațiile (4.2.1) și în condițiile la limite (4.2.2) \(k = 0\), și ținînd seamă de convenția (A), problema \((P_{i,0})\) constă în a determina soluția ecuației cu derivate parțiale

care satisface la condițiile la limite :

pentru \(i = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(n\), ținînd seama de convenția (A). După cum se vede este vorba de o problemă de recurență. Se va determina întîi \(\varphi_{1,0}\) și apoi cu metoda inducției complete se va determina \(\varphi_{i,0}\) pentru \(i = 1, 2, \ldots, n-1\).

4.2.4. Să integrăm întîi ecuația cu derivate parțiale (4.2.7) pentru \(i = 1\) :

cu condițiile la limite (4.2.8) corespunzînd la \(r = 0\), adică

Se găsește

Apoi se integrează ecuația (4.2.9) cu condițiile (4.2.8) corespunzînd la \(r = 1\) și \(i = 1\), adică

Se găsește

Să presupunem că am demonstrat că

ceea ce este valabil pentru \(r = 1\) și \(r = 2\) și să demonstrăm că aceeași formulă este valabilă și pentru indicele \(r+1\).

Pentru aceasta trebuie să integrăm ecuația (4.2.9ᵣ) cu condițiile la limite (4.2.8) corespunzătoare indicelui \(r\) :

Integrînd se găsește

Formula (4.2.9ᵣ₊₁) deducîndu-se din formula (4.2.9ᵣ) înlocuind pe \(r\) cu \(r+1\), rezultă că formula (4.2.9ᵣ) este generală ; ea este valabilă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n\).

Pentru \(r = n\), avem

4.2.5. Să presupunem că am demonstrat că

ceea ce este adevărat pentru \(i = 1\), pentru că în acest caz, formula (4.2.13) se reduce la formula (4.2.9ₙ). Să demonstrăm că formula (4.2.13) este valabilă de asemenea pentru indicele \(i + 1\).

Pentru aceasta vom integra ecuația cu derivate parțiale

întîi cu condițiile la limite

și mai departe cu condițiile la limite

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Se găsește întîi

după aceea se găsește

și aplicînd metoda inducției complete ca în aliniatul 4.2.4, se găsește

ceea ce arată că formula (4.2.13) este generală; ea este valabilă pentru \(i = 0, 1, \ldots, n-1\).

4.2.6. Rămîne să se scrie că condițiile (4.2.2) sînt satisfăcute pentru \(i = n\), \(k = 0\) și \(r = 0, 1, \ldots, n-1\). Trebuie să ținem seama de convenția (A). Aceste condiții se reduc la:

și

pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

Formula (4.2.13) dă pentru \(i = n-1\).

Pentru \(r = 0\), condiția (4.2.17) este satisfăcută deoarece \(\varphi_{n-1,0}\) este un polinom de gradul \(n-1\) în \(y\), pe cînd condiția (4.2.18) conduce la relația

Pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), condițiile (4.2.17) sînt

și pentru ca ele să fie satisfăcute, trebuie să luăm

Condițiile (4.2.18) sînt satisfăcute, pentru că derivatele \(\frac{\partial^{2(n-r-1)}\varphi_{n-1,0}}{\partial x^{n-r-1}\partial y^{n-r-1}}\) au proprietatea de a fi nule cînd \(x = x_n\), pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Într-adevăr, avem

și paranteza mare este nulă după ecuațiile (4.2.21) pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Relațiile (4.2.20) (și (4.2.21) pot fi scrise sub forma:

și aceste ecuații determină \(C_{0,0}, C_{1,0}, \ldots, C_{n,0}\) afară de un factor. Avem

și prin urmare

Factorul \(H_0\) va fi determinat mai departe.

4.2.7. Problema \((P_{0,k})\) pentru \(k = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(n\). Făcînd în ecuația (4.2.1) și în condițiile la limite (4.2.2), \(i = 0\), și ținînd seamă de convenția (A), problema \((P_{0,k})\) constă în a determina soluția ecuației cu derivate parțiale:

care satisface la condițiile la limite:

pentru \(k = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(n\), ținînd seama de convenția (A).

Se găsește soluția acestei probleme ca în cazul problemei \((P_{i,0})\). Vom avea

unde coeficienții \(C_{0,0}, C_{0,1}, \ldots, C_{0,n}\) sînt dați de ecuațiile

și

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Se poate scrie de asemenea sistemul format de ecuațiile (4.2.27), (4.2.28) sub forma:

4.2.8. Problema \((P_{ik})\), \(i, k = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(n\). Această problemă a fost enunțată în aliniatul 4.2.1. Este o problemă de recurență cu doi indici \(i\) și \(k\). Făcînd întîi \(k = 1\), se va determina \(\varphi_{1,1}, \varphi_{2,1}, \ldots, \varphi_{n-1,1}\). Apoi prin metoda inducției complete se va determina pentru indicele \(k\), funcțiile \(\varphi_{1,k}, \varphi_{2,k}, \ldots, \varphi_{n-1,k}\). Ținînd seama de convenția (A) și de condiția (4.2.3) se vor determina toți coeficienții \(C_{i,k}\).

Să începem prin a determina \(\varphi_{1,1}\). Este vorba de a integra ecuația cu derivate parțiale

cu condițiile la limite

pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

Funcțiile \(\varphi_{0,0}, \varphi_{1,0}, \varphi_{0,1}\) fiind determinate de ecuațiile (4.2.6), (4.2.13), (4.2.26) putem să deducem din formulele (4.2.31) condițiile la limite pentru funcția \(\varphi_{1,1}\) și astfel să determinăm pe \(\varphi_{1,1}\).

Avem

astfel că condițiile (4.2.31) devin pentru \(r = 0\)

se găsește

Pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), condițiile la limite sînt:

Integrînd ecuația (4.2.32) cu condițiile (4.2.31₁), se găsește

Să presupunem că am demonstrat că

ceea ce este adevărat pentru \(r = 2\), pentru că în acest caz formula (4.2.34) coincide cu formula (4.2.33). Să demonstrăm că formula (4.2.34) este valabilă și pentru indicele \(r + 1\). Pentru aceasta trebuie să se integreze ecuația (4.2.34) cu condițiile (4.2.31 ).

Procedînd ca mai sus, se găsește

Această formulă deducîndu-se din formula (4.2.34) înlocuind pe \(r\) cu \(r + 1\) rezultă că formula (4.2.34) este generală; ea este valabilă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n\). Pentru \(r = n\), formula (4.2.34) este

4.2.9. Să presupunem că s-a demonstrat că

ceea ce este adevărat pentru \(i = 1\), pentru că în acest caz, formula (4.2.37) coincide cu formula (4.2.36). Să demonstrăm că formula (4.2.37) este variabilă și pentru indicele \(i + 1\).

Pentru aceasta trebuie să integrăm ecuația ca derivate parțiale

cu condițiile la limite

La aceste condiții mai adăugăm formulele (4.2.37) și (4.2.13) pentru indicii \(i\) și \(i + 1\), pe care le-am demonstrat deja.

Să integrăm întîi ecuația (4.2.38) cu condițiile (4.2.39 ) care sînt următoarele:

Se găsește

Pentru \(r = 1\), formulele (4.2.39₁) dau

Integrînd ecuația (4.2.40) cu aceste condiții, se găsește

Să presupunem că s-a demonstrat că

ceea ce este adevărat pentru \(r = 2\), pentru că, în acest caz, formula (4.2.42) coincide cu formula (4.2.41). Să demonstrăm că formula (4.2.42) este valabilă și pentru indicele \(i + 1\).

Pentru aceasta trebuie să integărm ecuația (4.2.42) cu condițiile (4.2.39ᵣ). Ținînd seama de formulele (4.2.37) și (4.2.13) pentru indicele \(i\) și \(i + 1\), condițiile la limite dau

Integrînd ecuația (4.2.42) cu aceste condiții, se găsește

Formula (4.2.43) se deduce din formula (4.2.42) înlocuind \(r\) cu \(r + 1\). Formula (4.2.42) este deci generală; ea este valabilă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n\). Pentru \(r = n\) avem

Formula (4.2.44) se deduce din formula (4.2.37) înlocuind pe \(i\) cu \(i + 1\). Deci formula (4.2.37) este generală; ea este valabilă pentru \(i = 1, 2, \ldots, n-1\).

4.2.10. Rămîne să se scrie că condițiile (4.2.2) sînt satisfăcute pentru \(i = n\), \(k = 1\) și \(r = 0, 1, \ldots, n-1\). Trebuie să ținem seama de cnonvenția (A). Aceste condiții se reduc la:

Trebuie să se țină seamă de formula (4.2.19)

Pentru \(r = 0\), condiția (4.2.45) este satisfăcută, pentru că \(\varphi_{n-1,1}\) este un polinom de grad \(n-1\) în \(y\). Condiția (4.2.46) se reduce la:

Pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\) avem

Însă după ecuațiile (4.2.21) prima paranteză mare din membrul al doilea este nulă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\). Rămîne

Pentru ca condițiile (4.2.45) să fie satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), trebuie să se ia

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Pe de altă parte, avem

și rezultă din ecuațiile (4.2.48) că condițiile (4.2.46) sînt satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Deci coeficienții \(C_{0,1}, \ldots, C_{n,1}\) sînt determinați de ecuațiile (4.2.47) și (4.2.48). Sistemul format de aceste ecuații se poate scrie încă sub forma

Avem

unde \(H_1\) este un factor care va fi determinat mai departe. Se deduce din aceste ecuații

4.2.11. Să presupunem că s-a demonstrat că

pentru \(j = 1, 2, \ldots, k\) și \(i = 1, 2, \ldots, n-1\) și unde coeficienții \(C_{i,j}\) ai acestei formule sînt dați de ecuațiile:

și

pentru \(j = 0, 1, \ldots, k\) și \(r = 1, 2, \ldots, n-1\). Sistemul format de aceste ecuații mai poate fi scris sub forma:

și dă relațiile următoare:

unde coeficientul \(H_j\) va fi determinat mai departe. Se deduce că

pentru \(i = 0, 1, \ldots, n\).

Formula (4.2.51) este adevărată pentru \(j = 1\), pentru că în acest caz ea coincide cu formula (4.2.37). De asemenea sistemul format de ecuațiile (4.2.52) și (4.2.53) este adevărat pentru \(j = 0, 1\), pentru că în acest caz el coincide cu ecuațiile (4.2.20), (4.2.21) și (4.2.47), (4.2.48).

Vom demonstra mai departe că forumula (4.2.51) este valabilă pentru \(j = k + 1\) și că și coeficiențiii \(C_{0,k+1}, C_{1,k+1}, \ldots, C_{n,k+1}\) sînt dați de ecuațiile (4.2.52), (4.2.53) pentru \(j = k + 1\).

4.2.12. Pentru a demonstra că formula (4.2.51) este valabilă pentru \(j = k + 1\), trebuie să se integreze întîi ecuația cu derivate parțiale

cu condițiile la limite

pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

După formula (4.2.51) și pentru \(i = 1\) și \(j = k\) avem

și apoi după formula (4.2.26) avem

și

Procedînd ca în aliniatul 4.2.8, se demonstrează că pentru \(r = 0\) avem

Mai departe pentru \(r = 1\) avem

și în general pentru indicele \(r\) avem

Această formulă este valabilă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n\) și prin urmare pentru \(r = n\), avem

4.2.13. Să presupunem că s-a demonstrat că

ceea ce este adevărat pentru \(i = 1\), pentru că în acest caz formula (4.2.62) coincide cu formula (4.2.61). Vom demonstra că formula (4.2.62) este valabilă de asemenea cînd se înlocuiește indicele \(i\) cu \(i + 1\).

În acest scop vom integra ecuația cu derivate parțiale

cu condițiile la limite (4.2.2) corespunzînd indicilor \(i + 1\), \(k + 1\), adică

pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

Trebuie să se țină seamă de formula (4.2.51) corespunzînd lui \(j = k\), adică

apoi de aceeași formulă, însă unde indicele \(i\) este înlocuit cu \(i + 1\), adică

și în fine de formula (4.2.62).

Procedînd ca în aliniatul 5.2.8 se demonstrează că pentru \(r = 0\) avem

Mai departe, pentru \(r = 1\) avem

și, în general, pentru indicele \(r\), avem

Această formulă este valabilă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n\). Pentru \(r = n\) avem

ceea ce dovedește că formula (4.2.62) este valabilă cînd se înlocuiește indicele \(i\) cu \(i + 1\). Formula (4.2.62) este deci valabilă pentru \(i = 1, 2, \ldots, n-1\).

4.2.14. Rămîne să scriem că condițiile 4.2.2 sînt satisfăcute pentru \(\varphi_{i,k+1}\) cînd \(i = n\) și \(r = 0, 1, \ldots, n-1\). Ținînd seama de convenția (A), aceste condiții sînt:

Formula (4.2.62) pentru \(i = n-1\) devine

iar formula (4.2.51) pentru \(i = n-1\) și \(j = k\), este

Să considerăm condițiile (4.2.71) și (4.2.72) pentru \(r = 0\); ele sînt

Prima condiție este satisfăcută, \(\varphi_{n-1,k+1}(x_n, y)\) fiind un polinom în \(y\) de gradul \(n-1\). A doua condiție conduce la ecuația

Să considerăm condițiile (4.2.71) și (4.2.72) pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\). Pentru condițiile (4.2.71) avem

Ecuațiile (4.2.53) sînt satisfăcute pentru \(j = 0, 1, \ldots, k\) și \(r = 1, 2, \ldots, n-1\). Primele \(k + 1\) paranteze din membrul al doilea sînt deci nule. Rămîne

și pentru ca condițiile (4.2.71) să fie satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), trebuie să luăm

Pe de altă parte, avem

și după ecuațiile (4.2.76), condițiile (4.2.76) sîsnt satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Astfel am demonstrat că sistemul format de ecuațiile (4.2.52) și (4.2.53) este adevărat de asemenea pentru \(j = k + 1\); el este atunci adevărat pentru \(j = 0, 1, \ldots, n-1\) și formulele (4.2.55) sînt valabile pentru \(i = 0, 1, \ldots, n\) și \(j = 0, 1, \ldots, n-1\).

4.2.15. Trebuie să examinăm condițiile la limite pentru \(\varphi_{i,k}\) în cazul cînd \(i = 0, 1, \ldots, n-1\) și \(k = n\). S-a arătat deja în aliniatul 4.2.7 cînd s-a tratat problema \((P_{0,k})\), că coeficienții \(C_{0,0}, C_{0,1}, \ldots, C_{0,n}\) sînt dați de sistemul de ecuații

Rămîne să arătăm că pentru \(i = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(r = 1, 2, \ldots, n-1\) avem

Pentru aceasta să înlocuim în condițiile (4.2.2), \(k = n\) și să ținem seama de convenția (A). Vom avea condițiile:

și

pentru \(i = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

Putem să scriem \(\varphi_{i,n-1}\) dată de formula (4.2.65) pentru \(k = n-1\), de asemenea sub forma

și vom considera încă aceeași formulă cînd indicele \(i\) este înlocuit cu \(i-1\).

Întîi observăm că condiția (4.2.79) pentru \(r = 0\) este satisfăcută pentru că \(\varphi_{i,n-1}(x, y_n)\) este un polinom de gradul \(n-1\) în \(x\).

Apoi condiția (4.2.80) pentru \(r = 0\) conduce la ecuația

Să examinăm acum condițiile (4.2.79) și (4.2.80) pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\). Avem

Pentru \(i = 1\), această formulă se reduce la:

pentru că după ecuațiile (4.2.28) prima paranteză mare din membrul al doilea este nulă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Pentru ca condițiile (4.2.79) să fie satisfăcute cînd \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), trebuie să luăm

Se demonstrează în același fel că condițiile (4.2.81) pentru \(i = 2, 3, \ldots, n-1\) și \(r = 1, 2, \ldots, n-1\) conduc la ecuațiile (4.2.78).

Pe de altă parte, avem

și după ecuațiile (4.2.78) rezultă că condițiile (4.2.80) sînt satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Ecuațiile (4.2.77) și (4.2.78) conduc la sistemul

valabil pentru \(i = 0, 1, \ldots, n-1\).

4.2.16. S-a determinat funcția \(\varphi_{n-1,0}\), cu formula (4.2.19):

unde constantele \(C_{0,0}, C_{1,0}, \ldots, C_{n,0}\) sînt determinate de ecuațiile

Funcția \(\varphi_{n-1,0}\) se poate scrie de asemenea sub forma

Într-adevăr, avem

Ținînd seama de ecuațiile (4.2.22), formula precedentă devine

ceea ce înseamnă că formula (4.2.87) este demonstrată.

Funcția \(\varphi_{n-1,1}\) poate fi scrisă de asemenea sub forma

Într-adevăr, formula (4.2.37), pentru \(i = n-1\), este

Însă constantele \(C_{0,0}, C_{1,0}, \ldots, C_{n,0}\) și \(C_{0,1}, C_{1,1}, \ldots, C_{n,1}\) fiind legate prin ecuațiile (4.2.21) și

se demonstrează ca mai sus că

de unde rezultă formula (4.2.88).

În general funcția \(\varphi_{n-1,k}\) poate fi scrisă sub forma

Pentru \(k = n-1\), vom avea nevoie de formula

4.2.17. S-a determinat funcția \(\varphi_{0,n-1}\) cu formula (4.2.26) corespunzînd la \(k = n-1\)

unde constantele \(C_{0,0}\), \(C_{0,0}\), \(\ldots, C_{0,n}\) sînt determinate de ecuațiile

Funcția \(\varphi_{0,n-1}\) poate fi scrisă de asemenea sub forma

Într-adevăr, cu ajutorul ecuațiilor (4.2.29) se demonstrează ca în aliniatul 4.2.16 că

și prin urmare avem formula (4.2.92).

Funcția \(\varphi_{i,n-1}\) poate fi scrisă de asemenea sub forma:

Într-adevăr, se ține seamă de formula (4.2.65) pentru \(k = n-1\),

și se demonstrează ca în aliniatul 4.2.16, cu ajutorul sistemelor de ecuații (4.2.86), pentru \(i = 0, 1, \ldots, n-1\), că parantezele mari din membrul al doilea sînt egale cu \(-C_{0,n}\frac{(y-y_n)^{n-1}}{(n-1)!}, \ldots, -C_{i,n}\frac{(y-y_n)^{n-1}}{(n-1)!}\). Formula (4.2.93) rezultă atunci imediat.

Pentru \(i = n-1\), vom avea nevoie de formula

4.2.18. Să determinăm acum constanta \(C_{n,n}\) și să demonstrăm că sistemul de ecuații (4.2.54) care este valabil pentru \(j = 0, 1, \ldots, n-1\) este valabil de asemenea pentru \(j = n\) și că sistemul de ecuații (4.2.86) care este valabil pentru \(i = 0, 1, \ldots, n-1\) este valabil de asemenea pentru \(i = n\).

Să scriem condițiile la limite (4.2.2) corespunzătoare lui \(i = n\), \(k = n\). Ținînd seama de convenția (A) vom avea condițiile

pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

Dacă utilizăm formula (4.2.91), condiția (4.2.95) pentru \(r = 0\) dă ecuația

și dacă utilizăm formula (4.2.94), condiția (4.2.95) pentru \(r = 0\) dă ecuația

Pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), condițiile (4.2.95) sînt satisfăcute, pentru că după formula (4.2.91) sau (4.2.94), avem

și pentru \(x = x_n\) și \(y = y_n\), membrul al doilea este nul pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Să considerăm acum condițiile (4.2.2) pentru \(i = n\), \(k = n-1\) și apoi pentru \(i = n-1\), \(k = n\). Din aceste condiții luăm numai

Pentru \(r = 0\), aceste condiții sînt satisfăcute, astfel că noi putem să le considerăm numai pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Utilizînd formula (4.2.91) avem

Pentru ca condițiile (4.2.99) să fie satisfăcute, trebuie să luăm

Utilizînd formula (4.2.94) vom avea

Pentru ca condițiile (4.2.98) să fie satisfăcute, trebuie să luăm

Astfel constantele \(C_{n,0}, C_{n,1}, \ldots, C_{n,n}\) sînt determinate de sistemul format de ecuațiile (4.2.96) și (4.2.100), adică de sistemul

și constantele \(C_{0,n}, C_{1,n}, \ldots, C_{n,n}\) sînt determinate de sistemul format de ecuațiile (4.2.97) și (4.2.101), adică de sistemul

Deci, sistemul de ecuații (4.2.44) este valabil de asemenea pentru \(j = n\) și sistemul de ecuații (4.2.86) este valabil de asemenea pentru \(i = n\).

O consecință a acestui fapt este că funcția \(\varphi_{n-1,n-1}\) poate fi scrisă de asemenea sub forma

Într-adevăr, să considerăm formula (4.2.91) care dă funcția \(\varphi_{n-1,n-1}\). Se demonstrează ca în aliniatul 4.2.16 că după ecuațiile (4.2.103) avem

și prin urmare avem formula (4.2.104).

4.2.19. În rezumat, avem pe de o parte sistemul de ecuații

care este verificat de constantele \(C_{i,0}, C_{i,1}, \ldots, C_{i,n}\) și aceasta pentru \(k = 0, 1, \ldots, n\) și pe de altă parte sistemul de ecuații

care este verificat de constantele \(C_{i,0}, C_{i,1}, \ldots, C_{i,n}\) și aceasta pentru \(i = 0, 1, \ldots, n\).

Ecuațiile (4.2.105) arată că

și prin urmare

și unde \(H_k\) sînt constante.

Înlocuind în ecuațiile (4.2.106) constantele \(C_{ik}\) prin formulele (4.2.107) pentru \(k = 0, 1, \ldots, n\), indicele \(i\) fiind fixat, avem ecuațiile

care dau

unde \(H\) este o constantă pe care o vom determina prin condiția (4.2.3)

Ecuațiile precedente arată că

și prin urmare

4.2.20. Înlocuind în expresia lui \(\mathscr{P}[f]\) dată de formula (4.1.12) funcțiile \(\varphi_{i,k}\) cu soluția problemei la limite, avem

și utilizînd formulele (4.2.110) putem scrie

Condiția (4.2.3) cere ca

Înlocuind în formula (4.2.112) funcția \(f(x, y)\) prin \(f(x, y) = x^n y^n\), vom avea ecuația

care determină constanta \(H\).

Însă,

astfel că ecuația (4.2.113) devine \(1 = H V(x_0, x_1, \ldots, x_n) V(y_0, y_1, \ldots, y_n)\) și prin urmare

Formulele (4.2.110) dau atunci

pentru \(i, k = 0, 1, \ldots, n\).

Constantele \(C_{i,k}\) fiind determinate, problema la limite este complet rezolvată.

§ 4.3. Diferența divizată de ordinul \(n\) a funcției \(f\), pe o rețea de noduri \(M_{i,k}\), \((i, k = 0, 1, \ldots, n)\) și reprezentarea ei integrală

4.3.1. Cînd se înlocuiește în formula (4.1.12) funcțiile \(\varphi_{i,k}\) cu soluția problemei la limite, funcționala \(\mathscr{P}[f]\) devine

unde coeficienții \(C_{i,k}\) sînt dați de formulele (4.2.115):

pentru \(i, k = 0, 1, \ldots, n\).

Formula (4.3.4) este identică cu formula (4.3.1).

Demonstrația acestei teoreme este foarte simplă. Este suficient să se înlocuiască în formula (4.1.9) funcțiile \(\varphi_{i,k}\) cu soluția problemei la limite tratată în § 4.2 și vom avea

ceea ce înseamnă că avem reprezentarea integrală (4.3.6), unde funcția \(\varphi\) coincide pe fiecare dreptunghi \(D_{ik}\) cu funcția \(\varphi_{i,k}\).

4.3.3. Legătura diferenței divizate a unei funcții de două variabile cu diferența divizată a funcțiilor de o variabilă.

Se știe că dacă se consideră diferența divizată a funcției \(u\) pe nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_n\), atunci avem

unde

și de asemenea dacă se consideră diferența divizată a funcției \(v\) pe nodurile \(y_0, y_1, \ldots, y_n\), atunci avem

unde

Pentru a demonstra această teoremă, este suficient să se țină seamă de formulele (4.3.8), (4.3.10) și (4.3.2).

Revenind la formula (4.3.4) și înlocuind coeficienții \(C_{i,k}\) cu produsul \(\lambda_i \mu_k\), putem să scriem

Ținînd seama de formulele (4.3.9) și (4.3.7) vom avea

adică

Aceasta este formula care a fost luată de T. Popoviciu [31], a priori ca definiție a diferenței divizate a unei funcții de două variabile.

Este evident că se poate scrie de asemenea

4.3.4. Dacă \(u \in C^n[x_0, x_n]\), diferența divizată de ordinul \(n\), a funcției \(u\) pe nodurile \(x_0, x_1, \ldots, x_n\), dată de formula (4.3.7), are o reprezentare integrală

unde \(\psi\) este funcția spline:

care coincide pe intervalele \([x_0, x_1], [x_1, x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n]\), ca polinoamele

De asemenea, dacă \(v \subset C^n[y_0, y_n]\), diferența divizată de ordinul \(n\), a funcției \(v\), pe nodurile \(y_0, y_1, \ldots, y_n\), dată de formula (4.3.9) are o reprezentare integrală

unde \(\theta\) este funcția spline

care coincide pe intervalele \([y_0, y_1], [y_1, y_2], \ldots, [y_{n-1}, y_n]\) cu polinoamele

În reprezentarea integrală (4.3.6) funcția \(\varphi\) coincide pe fiecare dreptunghi \(D_{i,k}\) cu funcția \(\varphi_{i,k}\) dată de formula (4.2.65)

Înlocuind în această formulă constantele \(C_{i,k}\) cu formulele (4.3.11), pentru \(i = 0, 1, \ldots, i\) și \(k = 0, 1, \ldots, k\), formula precedentă se scrie sub forma

Ținînd seama de formulele (4.3.16) și (4.3.19) putem scrie formula precedentă sub forma

și prin urmare avem teorema următoare:

Într-adevăr, este suficient să se constate că această formulă este adevărată pe fiecare dreptunghi \(D_{i,k}\), după cum arată formula (4.3.20).

Într-adevăr, s-a demonstrat că funcțiile spline \(\psi\) și \(\theta\) sînt pozitive, prima pe intervalul \((x_0, x_n)\), a doua pe intervalul \((y_0, y_n)\). Rezultă atunci după formula (4.3.21) că funcția \(\varphi\) este pozitivă pe dreptunghiul deschis \(D\) și este nulă pe frontiera acestui dreptunghi.

Funcția \(\varphi\) este un exemplu de funcție spline de două variabile.

↑ Cuprins

English

În acest capitol se extinde metoda funcției \(\varphi\) la funcții de trei variabile cu scopul de a ajunge la definiția diferenței divizate de odinul \(n\) a unei funcții de trei variabile pe o rețea \(M_{i,j,k}\), \((i, j, k = 0, 1, \ldots, n)\), și la reprezentarea ei printr-o integrală triplă. Vom face această extindere tot cu ajutorul unei probleme la limite [20].

§ 5.1. Formula de integrare prin părți pentru funcțiile de trei variabile

În acest paragraf, vom stabili ca în § 4.1, formula de integrare prin părți pentru integrala triplă și apoi formula de integrare prin părți generalizată.

5.1.1. Se reamintește aici formula de integrare prin părți pentru funcțiile \(f\) și \(\varphi\) continue pe intervalul \([x_1, x_2]\), împreună cu derivatele lor \(f'\) și \(\varphi'\). Această formulă este

Mai departe considerăm funcțiile \(f\) și \(\varphi\) de două variabile, \(x\) și \(y\), continue, împreună cu derivatele lor parțiale

pe un dreptunghi definit de inegalitățile \(x_1 \leq x \leq x_2\), \(y_1 \leq y \leq y_2\).

Relativ la aceste funcții am stabilit în § 4.1 formula de integrare prin părți, pentru integrale duble :

Demonstrația și notațiile din această formulă au fost date în § 4.1.

Într-adevăr, putem scrie după formula de integrare prin părți (5.1.1)

Aplicînd la primele două integrale duble și la integrala dublă \(\int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1}^{y_2} \frac{\partial \varphi}{\partial z} \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\, dx\, dy\), formula de integrare prin părți pentru integralele duble (5.1.3), vom avea

adică

ceea ce înseamnă că avem formula (5.1.5).

5.1.3. Metoda pe care am dat-o pentru a obține formula de integrare prin părți (5.1.5) pentru o integrală triplă, se extinde la integrale multiple în general. Nu insistăm însă asupra acestor extensiuni și trecem la aplicații.

5.1.4. Formula de integrare prin părți generalizată pentru integralele triple. Să presupunem că funcțiile \(f\) și \(\varphi\) de trei variabile \(x, y, z\), sînt continue pe paralelipipedul \(\Delta\) împreună cu derivatele parțiale :

pentru \(p = 1, 2, \ldots, n\).

Cu această ipoteză putem înlocui în formula (5.1.5) derivata parțială \(\dfrac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial z}\) prin \(\dfrac{\partial^{3n} f}{\partial x^n \partial y^n \partial z^n}\). Vom avea

La ultima integrală se poate aplica din nou formula de integrare prin părți, înlocuind funcția \(\varphi\) prin \(\dfrac{\partial^3 \varphi}{\partial x \partial y \partial z}\) și funcția \(\dfrac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial z}\) prin \(\dfrac{\partial^{3(n-1)} f}{\partial x^{n-1} \partial y^{n-1} \partial z^{n-1}}\). Mai departe se poate aplica, la noua integrală triplă, formula de integrare prin părți înlocuind funcția \(\varphi\) prin \(\dfrac{\partial^6 \varphi}{\partial x^2 \partial y^2 \partial z^2}\) și \(\dfrac{\partial^{3(n-2)} f}{\partial x^{n-2} \partial y^{n-2} \partial z^{n-2}}\), \(\ldots\), și așa mai departe.

Se va ajunge în sfîrșit la formula de integrare prin părți generalizată a unei integrale triple

Am obținut astfel :

5.1.5. Să considerăm paralelipipedul \(D\), definit de inegalitățile

și rețeaua de noduri \(M_{i,j,k}\), \((i, j, k = 0, 1, \ldots, n)\), de coordonate \((x_i, y_j, z_k)\), unde

Vom nota cu \(D_{i,j,k}\) paralelipipedul definit de inegalitățile

unde \(i, j, k = 0, 1, \ldots, n-1\).

La fiecare paralelipiped \(D_{i,j,k}\), asociem o funcție \(\varphi_{i,j,k}\) continuă pe \(D_{i,j,k}\) împreună cu derivatele ei parțiale care sînt de același ordin ca derivatele parțiale care figurează în șirul (5.1.6). De asemenea la paralelipipedul \(D\), asociem o funcție \(f\) continuă pe \(D\), împreună cu derivatele parțiale care sînt de același ordin ca derivatele parțiale care figurează în șirul (5.1.6). Atunci se poate aplica la fiecare paralelipiped \(D_{i,j,k}\) și la funcțiile \(f, \varphi_{i,j,k}\) formula generalizată de integrare prin părți pentru integralele triple (5.1.7) sau (5.1.8). Adunînd toate aceste formule membru cu membru, vom avea formula

unde am notat cu \(\mathscr{P}[f]\) funcționala

Cînd nodul \(M_{i,j,k}\) este în interiorul paralelipipedului \(D\), coeficientul lui \(\dfrac{\partial^{3r} f}{\partial x^r \partial y^r \partial z^r}(x_i, y_j, z_k)\) rezultă din formula (5.1.8) aplicată la toate paralelipipedele \(D_{i,j,k}\) cu unul din vîrfuri în punctul \(M_{i,j,k}\). Aceste paralelipipede sînt :

Ținînd seama de formula (5.1.8), coeficientul lui \(\dfrac{\partial^{3r} f}{\partial x^r \partial y^r \partial z^r}(x_i, y_j, z_k)\) în \(\mathscr{P}[f]\) este

Să considerăm nodul \(M_{i,j,0}\) situat pe una din fețele paralelipipedului \(D\), ceea ce înseamnă că \(0 \lt i; j \lt n\) și \(k = 0\). Atunci sînt patru paralelipipede \(D_{i,j,0}\); \(D_{i-1,j-1,0}\); \(D_{i,j-1,0}\); \(D_{i-1,j,0}\) care au ca vîrf nodul \(M_{i,j,0}\).

Coeficientul lui \(\dfrac{\partial^{3r} f}{\partial x^r \partial y^r \partial z^r}(x_i, y_j, z_0)\) în \(\mathscr{P}[f]\) este

Coeficientul lui \(\dfrac{\partial^{3r} f}{\partial x^r \partial y^r \partial z^r}(x_i, y_0, z_k)\) în \(\mathscr{P}[f]\) este

Coeficientul lui \(\dfrac{\partial^{3r} f}{\partial x^r \partial y^r \partial z^r}(x_0, y_j, z_k)\) în \(\mathscr{P}[f]\) este

Formulele (5.1.13), (5.1.14), (5.1.15) sînt scrise pentru \(0 \lt i, j \lt n\); \(0 \lt i, k \lt n\); \(0 \lt j, k \lt n\).

De asemenea coeficienții lui \(\dfrac{\partial^{3r} f}{\partial x^r \partial y^r \partial z^r}(x_i, y_j, z_n)\), \(\dfrac{\partial^{3r} f}{\partial x^r \partial y^r \partial z^r}(x_i, y_n, z_k)\), \(\dfrac{\partial^{3r} f}{\partial x^r \partial y^r \partial z^r}(x_n, y_j, z_k)\) în \(\mathscr{P}[f]\) sînt

Formulele (5.1.16), (5.1.17), (5.1.18) sînt scrise pentru \(0 \lt i, j \lt n\); \(0 \lt i, k \lt n\); \(0 \lt j, k \lt n\).

Coeficientul (5.1.12) al lui \(\dfrac{\partial^{3r} f}{\partial x^r \partial y^r \partial z^r}(x_i, y_j, z_k)\) a fost scris pentru noduri interioare paralelipipedului \(D\), indicii \(i, j, k\) neluînd valori 0 sau \(n\). Se poate face ca coeficienții (5.1.13)—(5.1.18) să intre în coeficientul general făcînd :

Într-adevăr, ținînd seama de această convenție, coeficientul (5.1.12) se reduce la coeficientul (5.1.13) cînd \(k = 0\), coeficientul (5.1.12) se reduce la coeficientul (5.1.16) cînd \(k = n, \ldots\).

Pentru nodurile

situate pe muchiile paralelipipedului \(D\), coeficienții lui \(\dfrac{\partial^{3r} f}{\partial x^r \partial y^r \partial z^r}\) în \(\mathscr{P}[f]\) sînt următorii :

Prin convenția (A), coeficienții (5.1.20) se deduc din coeficientul general făcînd \(j = 0, k = 0, \ldots, j = n, k = n\).

Pentru vîrfurile paralelipipedului \(D\) :

coeficienții lui \(\dfrac{\partial^{3r} f}{\partial x^r \partial y^r \partial z^r}(x_i, y_j, z_k)\) sînt :

Prin convenția (A), coeficienții (5.1.22) se deduc din coeficientul general, făcînd \(i = 0, j = 0, k = 0, \ldots, i = n, j = n, k = n\).

Deci, scriind în \(\mathscr{P}[f]\) termenul general

se obțin toți termenii de această formă, făcînd ca indicii \(i, j, k\) să ia valori de la 0 la \(n\), și ținînd seama de convenția (A).

5.1.6. Coeficientul lui \(\dfrac{\partial^{3r} f}{\partial x^r \partial y^r \partial z}(x_i, y_j, z_k)\) sub semnul \(\int_{x_i}^{x_{i+1}}\) în \(\mathscr{P}[f]\) cînd \(0 \lt j, k \lt n\), rezultă din formula (5.1.8) aplicată la toate paralelipipedele \(D_{i,j,k}\) care au în comun muchea \([x_i, x_{i+1}]\); aceste paralelipipede sînt :

Contribuția acestor paralelipipede pentru a se obține coeficientul lui \(\dfrac{\partial^{3r} f}{\partial x^r \partial y^r \partial z^r}(x_i, y_j, z_k)\) este

Vom spune că (5.1.24) este termenul general de această formă.

Dacă \(k = 0\), însă \(0 \lt j \lt n\), paralelipipedele \(D_{i,j,0}\), \(D_{i,j-1,0}\) au în comun muchea \([x_i, x_{i+1}]\) și avem în \(\mathscr{P}[f]\) :

Dacă \(k = n\), însă \(0 \lt j \lt n\), numai paralelipipedele \(D_{i,j-1,n-1}\), \(D_{i,j,n-1}\) au în comun muchea \([x_i, x_{i+1}]\) și avem în \(\mathscr{P}[f]\) :

De asemenea, dacă \(j = 0\), sau \(j = n\), însă \(0 \lt k \lt n\), numai paralelipipedele \(D_{i,0,k-1}\), \(D_{i,0,k}\) sau \(D_{i,n-1,k-1}\), \(D_{i,n-1,k}\) au în comun muchea \([x_i, x_{i+1}]\) și avem în \(\mathscr{P}[f]\) :

sau

În fine, dacă \(j = 0\), \(k = 0\), numai paralelipipedul \(D_{i,0,0}\) are muchea \([x_i, x_{i+1}]\) și avem în \(\mathscr{P}[f]\)

De asemenea dacă \(j = n\), \(k = 0\), sau \(j = 0\), \(k = n\), sau \(j = n\), \(k = n\) termenii corespunzători analogi cu termenul (5.1.29) sînt

Este de observat că termenii (5.1.25) —(5.1.32) se deduc din termenul general (5.1.24) cu convenția (A), făcută asupra funcției \(\varphi_{i,j,k}\) cînd cel puțin unul din indici este egal cu 0, sau cu \(n\).

Se fac aceleași observații pentru integralele \(\int_{y_j}^{y_{j+1}}\) și \(\int_{z_k}^{z_{k+1}}\) din \(\mathscr{P}[f]\).

Pentru integralele \(\int_{y_j}^{y_{j+1}}\) din \(\mathscr{P}[f]\) avem, în cazul general \(0 \lt i, k \lt n\), termenul general

și toți ceilalți termeni care se obțin din termenul general, cînd cel puțin unul din indicii \(i\), \(k\) are valoarea 0 sau \(n\), ținînd seama de convenția (A).

De asemenea pentru integralele \(\int_{z_k}^{z_{k+1}}\) din \(\mathscr{P}[f]\) avem, în cazul general \(0 \lt i, j \lt n\), termenul general

și toți ceilalți termeni care se obțin din termenul general cînd cel puțin unul din indicii \(i\), \(j\) are valoarea 0 sau \(n\), ținînd seama de convenția (A).

5.1.7. Coeficientul lui \(\dfrac{\partial^{3r} f}{\partial x^r \partial y^r \partial r^r}(x_i, y, z)\) în integrala dublă \(\int_{y_j}^{y_{j+1}} \int_{z_k}^{z_{k+1}}\) din \(\mathscr{P}[f]\), cînd \(0 \lt i \lt n\), rezultă din formula (5.1.8) aplicată la paralelipipedele

Avem astfel termenul general

Pentru \(i = 0\) și \(i = n\) avem termenii :

Acești termeni se deduc din termenul general (5.1.36) făcînd \(i = 0\) și \(i = n\) și ținînd seama de convenția (A).

Pentru integrala dublă \(\int_{x_i}^{x_{i+1}} \int_{z_k}^{z_{k+1}}\) din \(\mathscr{P}[f]\) avem, pentru \(0 \lt j \lt n\), termenul general

și termenii care se obțin din termenul general pentru \(j = 0\) și \(j = n\), ținînd seama de convenția (A).

De asemenea, pentru integrala dublă \(\int_{x_i}^{x_{i+1}} \int_{y_j}^{y_{j+1}}\) din \(\mathscr{P}[f]\) avem, pentru \(0 \lt k \lt n\), termenul general

și termenii care se obțin din termenul general, pentru \(k = 0\) și \(k = n\), ținînd seama de convenția (A).

5.1.8. Reunind rezultatele discuțiilor făcute în aliniatele 5.1.5, 5.1.6, 5.1.7 putem scrie formula (5.1.11) sub forma următoare :

În aplicarea acestei formule, trebuie să se țină seama de convenția (A) și în acest fel se obțin toți termenii formulei (5.1.11).

§ 5.2. Problemă la limite

Formulele (5.1.10) și (5.1.11) sau (5.1.41) din § 5.1 sînt importante după cum vom vedea în paragrafele următoare. Relativ la formula (5.1.41) ne vom pune o problemă la limite cu scopul de a ajunge la definiția diferenței divizate de ordinul \(n\) a funcției \(f\) pe nodurile \(M_{i,j,k}\), unde \(i, j, k = 0, 1, \ldots, n\) și la reprezentarea ei integrală. Această problemă este lungă de tratat și de aceea ea va face obiectul mai multor paragrafe.

5.2.1. Formula (5.1.41) arată că \(\mathscr{P}[f]\) depinde de :

pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\) și \(i, j, k = 0, 1, \ldots, n\).

Atunci prezintă un mare interes să se trateze următoarea problemă la limite :

Pentru aceasta trebuie să se introducă condiții la limite, scriind că coeficienții derivatelor parțiale (5.2.3), (5.2.2) din formula (5.1.41) din \(\int_{y_j}^{y_{j+1}} \int_{z_k}^{z_{k+1}}, \ldots\), și din \(\int_{x_i}^{x_{i+1}}, \ldots\), să fie nuli, ca și coeficienții derivatelor parțiale (5.2.1) să fie nuli pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), în vreme ce ei se reduc la constante pentru \(r = 0\).

Condițiile la limite pe care le vom introduce vor fi deci următoarele :

pentru \(i, j, k = 0, 1, \ldots, n\) și \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

Apoi

pentru \(i, j, k = 0, 1, \ldots, n\) și \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

În fine

pentru \(i, j, k = 0, 1, \ldots, n\) și \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

Cînd se înlocuiește în \(\varphi_{i,j,k}\) unul din indici cu \(-1\) sau \(n\), trebuie să se țină seamă de convenția (A) făcută în aliniatul 5.1.5.

Problema la limite pentru determinarea funcției \(\varphi_{i,j,k}\) pe dreptunghiul \(D_{i,j,k}\) va fi notată cu \((P_{i,j,k})\).

În general, soluția problemei \((P_{i,j,k})\) depinde de soluțiile problemelor \((P_{i-1,j-1,k})\), \((P_{i,j-1,k})\), \((P_{i-1,j,k})\), \((P_{i,j,k-1})\), \((P_{i-1,j-1,k-1})\), \((P_{i,j-1,k-1})\), \((P_{i-1,j,k-1})\) astfel că la prima vedere, pare o problemă dificilă. Însă procedînd cu metodă, se va ajunge a o rezolva.

Se va determina în mod sistematic \(\varphi_{0,0,0}\), \(\varphi_{i,0,0}\), \(\varphi_{0,j,0}\), \(\varphi_{0,0,k}\) pentru \(i, j, k = 1, 2, \ldots, n-1\). Apoi se va determina \(\varphi_{i,j,0}\), \(\varphi_{0,j,k}\) \(\varphi_{i,0,k}\) pentru \(i, j, k = 1, 2, \ldots, n-1\). În fine, se va determina \(\varphi_{i,j,k}\) pentru \(i, j, k = 1, 2, \ldots, n-1\).

Constantele \(C_{i,j,k}\), unde \(i, j, k = 0, 1, \ldots, n\), vor fi determinate astfel ca problema la limite să fie posibilă. Ele nu vor fi determinate prin condițiile la limite precedente, complet și vor depinde de un factor. Pentru a determina acest factor se va pune o nouă condiție

5.2.2. Dacă în condițiile (5.2.5) și (5.2.6) se face \(i = 0\), \(j = 0\), \(k = 0\) și se ține seamă de convenția (A), avem :

Soluția acestei probleme este

5.2.3. Dacă se face în condițiile (5.2.5) și (5.2.6) \(j = 0\), \(k = 0\) și dacă se ține seama de convenția (A), avem :

Se determină \(\varphi_{i,0,0}\) din aproape în aproape ținînd seama că \(\varphi_{0,0,0}\) este dată de formula (5.2.13). Se determină \(\varphi_{1,0,0}\), apoi \(\varphi_{2,0,0}, \ldots\), și așa mai departe ca în aliniatele 4.2.4 și 4.2.5. Se găsește

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n\).

Apoi se presupune că am obținut formula

valabilă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n\), ceea ce este exact pentru \(i = 1\), pentru că în acest caz formula (5.2.19) coincide cu formula (5.2.18).

Pentru a demonstra că formula (5.2.19) este valabilă pentru \(i = 1, 2, \ldots, n\), întrebuințăm metoda inducției complete. Pentru aceasta se integrează ecuația cu derivate parțiale (5.2.14) corespunzînd indicelui \(i + 1\), cu condițiile la limite (5.2.15), (5.2.16), (5.2.17) corespunzînd indicelui \(i + 1\) și ținînd seama de formula (5.2.19). Se obține în acest fel o formulă pentru \(\dfrac{\partial^{3(n-r)} \varphi_{i+1,0,0}}{\partial x^{n-r} \partial y^{n-r} \partial z^{n-r}}\), valabilă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n\) și care se deduce din formula (5.2.19) înlocuind pe \(i\) cu \(i + 1\). Aceasta dovedește că formula (5.2.19) este generală; ea este valabilă pentru \(i = 1, 2, \ldots, n-1\).

Pentru \(i = n - 1\) și \(r = n\), formula (5.2.19) ne dă

Rămîne să se determine constantele \(C_{0,0,0}, C_{1,0,0}, \ldots, C_{n,0,0}\) prin condițiile (5.2.15), (5.2.16), (5.2.17). Pentru \(i = n\) și ținînd seama de convenția (A), condițiile se reduc la :

pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

Pentru \(r = 0\), formula (5.2.20) arată că primele trei condiții (5.2.21) sînt verificate și a patra condiție dă ecuația

Formula (5.2.20) arată că

și pentru ca prima condiție (5.2.21) să fie verificată cînd \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), trebuie să luăm

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Pe de altă parte, avem

și rezultă după ecuațiile (5.2.23) că celelalte condiții (5.2.21) sînt satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Deci constantele \(C_{0,0,0}, C_{1,0,0}, \ldots, C_{n,0,0}\) verifică ecuațiile (5.2.22) și (5.2.23) care pot fi scrise încă sub forma

Se demonstrează ca în aliniatul 4.2.16 că se poate scrie \(\varphi_{n-1,0,0}\) de asemenea sub forma

5.2.4. Dacă în condițiile (5.2.5) și (5.2.6) se face \(i = 0\), \(k = 0\), și se ține seama de convenția (A), avem

Procedînd ca în aliniatul 5.2.3, se demonstrează formula

valabilă pentru \(j = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(r = 1, 2, \ldots, n\).

Se demonstrează că constantele \(C_{0,0,0}, C_{0,1,0}, \ldots, C_{0,n,0}\) sînt determinate de ecuațiile:

și

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\). Acest sistem se poate scrie sub forma:

Aceste ecuații arată că formula (5.2.30) poate fi scrisă pentru \(r = n\) și \(j = n-1\) sub forma

5.2.5. Dacă în condițiile (5.2.5) și (5.2.6) se face \(i = 0\), \(j = 0\) și dacă se ține seama de convenția (A), avem:

Procedînd ca în aliniatul 5.2.3, se demonstrează formula

valabilă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n\) și \(k = 1, 2, \ldots, n-1\)

Constantele \(C_{0,0,0}, \ldots, C_{0,0,n}\) sînt date de ecuațiile

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\). Acest sistem se poate scrie de asemenea sub forma:

Ecuațiile (5.2.41) arată că formula (5.2.39) pentru \(r = n\) și \(k = n-1\) se poate scrie sub forma:

§ 5.3. Problemele \((P_{i,j,0})\), \((P_{0,j,k})\), \((P_{i,0,k})\)

5.3.1. Dacă în condițiile la limite (5.2.5) și (5.2.6) se face \(k = 0\) și se ține seamă de convenția (A), avem:

5.3.2. Se determină întîi funcția \(\varphi_{1,1,0}\) de ecuație cu derivate parțiale (5.3.1) și de condițiile la limite (5.3.2), (5.3.3), (5.3.4) corespunzînd la \(i = 1\), \(j = 1\). Trebuie pentru aceasta să se țină seama de formula (5.2.13), de formula (5.2.19) pentru \(i = 1\) și de formula (5.2.30) pentru \(j = 1\). Atunci procedînd ca în aliniatul 4.2.8, se găsește

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n\).

După aceea se demonstrează prin metoda inducției complete ca în aliniatul 4.2.9, formula

pentru \(i = 1, 2, \ldots n-1\) și \(r = 1, 2, \ldots n\).

Rămîne să se determine constantele \(C_{0,1,0}, \ldots, C_{n,1,0}\) cu condițiile (5.3.2), (5.3.3), (5.3.4) corespunzînd la indicii \(i = n\), și \(j = 1\). Ținînd seama de convenția (A), aceste condiții sînt:

După formulele (5.3.6) și (5.2.20) avem

și

Pentru \(r = 0\), condițiile (5.3.7) sînt:

Primele trei condiții (5.3.10) sînt satisfăcute, deoarece \(\varphi_{n-1,0,0}\) sînt polinoame de gradul \(n-1\) în \(x\), în \(y\) și în \(z\).

Ultima condiție (5.3.10) conduce la ecuația

După formula (5.3.8) avem

Însă formula (5.2.23) arată că prima paranteză mare din membrul al doilea este nulă pentru \(n = 1, 2, \ldots, n-1\). Atunci, pentru ca prima condiție să fie satisfăcută pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), trebuie să luăm

În fine, avem

și după formulele (5.2.23) și (5.3.12) se vede că pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), membrii ai doilea ai acestor formule sînt nuli. Deci celelalte condiții (5.3.7) sînt satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Deci, toate condițiile (5.3.7) sînt satisfăcute și constantele \(C_{0,1,0}, \ldots, C_{n,1,0}\) sînt determinate cu ecuațiile (5.3.11) și (5.3.12). Sistemul format de aceste ecuații poate fi scris, de asemenea, sub forma:

Să presupunem că am demonstrat că pentru \(l = 1, 2, \ldots, j\) avem formula

pentru \(l = 0, 1, 2, \ldots, j\), \(i = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(r = 1, 2, \ldots, n\) și unde constantele \(C_{0,l,0} \ldots, C_{n,l,0}\) sînt determinate de ecuațiile

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\). Acest sistem poate fi scris și sub forma

Sistemele (5.3.16), (5.3.17) sînt valabile pentru \(l = 0, 1, \ldots, j\).

Aceasta este adevărat pentru \(l = 1\), pentru că în acest caz formula (5.3.15) coincide cu formula (5.3.6) și sistemul (5.3.17) coincide cu sistemul (5.3.14).

Vom demonstra că formula (5.3.15) este valabilă și pentru \(i = 1, 2, \ldots, n-1\), \(l = j + 1\) și \(r = 1, 2, \ldots, n\), constantele \(C_{0,j+1,0}, \ldots, C_{n,j+1,0}\) fiind date de sistemul (5.3.16) sau (5.3.17), pentru \(l = j + 1\).

Pentru aceasta integrăm ecuațiile cu derivate parțiale

cu condițiile la limite (5.3.2), (5.3.3), (5.3.4) corespunzînd indicilor \(i\), \(j + 1\).

Vom începe prin a determina \(\frac{\partial^{3(n-r)}\varphi_{1,j+1,0}}{\partial x^{n-r}\partial y^{n-r}\partial z^{n-r}}\) pentru \(r = 1, 2, \ldots, n\) integrînd ecuația \(\frac{\partial^{3n}\varphi_{1,j+1,0}}{\partial x^n \partial y^n \partial z^n} = 0\), cu condițiile la limite precizate mai sus pentru indicii \(1, j + 1\) și ținînd seama de formula (5.3.15) pentru \(i = 1\), \(l = j\) și de formula (5.2.30) care dă \(\frac{\partial^{3(n-2)}\varphi_{0,j,0}}{\partial x^{n-2}\partial y^{n-r}\partial z^{n-r}}\) pentru \(j = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(r = 1, 2, \ldots, n\). Se aplică metoda inducției complete și se găsește formula

mai departe se presupune că avem formula

valabilă pentru \(i' = 1, 2, \ldots, i\), care este adevărată pentru \(i' = 1\), pentru că în acest caz formula (5.3.20) coincide cu formula (5.3.19). Vom demonstra că formula (5.3.20) este valabilă de asemenea pentru \(i' = i + 1\). Pentru aceasta vom integra ecuația cu derivate parțiale

cu condițiile la limite (5.3.2), (5.3.3), (5.3.4) corespunzînd la indicii \(i + 1\), \(j + 1\), \(0\).

Pentru a scrie aceste condiții se va utiliza formula (5.3.20) pentru \(i' = i\) și formula (5.3.15) pentru \(l = j\). Se ajunge la formula care dă derivata \(\frac{\partial^{3(n-r)}\varphi_{i+1,j+1,0}}{\partial x^{n-r}\partial y^{n-r}\partial z^{n-r}}\), valabilă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n\). Se constată că această formulă se obține din formula (5.3.20) înlocuind pe \(i'\) cu \(i + 1\).

Rezultă că formula (5.3.20) este generală, ea este valabilă pentru \(i' = 1, 2, \ldots, n-1\). Însă formula (5.3.20) se deduce din formula (5.3.15) înlocuind pe \(l\) cu \(j+1\). Formula (5.3.15) este deci generală; ea este valabilă pentru \(i = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(l = 1, 2, \ldots, n-1\).

Rămîne să se arate cum se determină constantele \(C_{0,j+1,0}, \ldots, C_{n,j+1,0}\).

5.3.4. Ținînd seamă de convenția (A), condițiile la limite (5.3.2), (5.3.3), (5.3.4) pentru \(i = n\) sînt

Înlocuind în formula (5.3.15), \(i = n-1\), \(l = j+1\), \(n = r\), avem

și mai departe înlocuind \(j + 1\) cu \(j\), avem

Pentru \(r = 0\), primele trei condiții (5.3.21) sînt verificate pentru că \(\varphi_{n-1,j+1,0}\) și \(\varphi_{n-1,j,0}\) sînt polinoame de gradul \(n-1\) în \(z\) și \(y\).

A patra condiție ne dă ecuația

Avem

și pentru că ecuația (5.3.16) este satisfăcută pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(l = 1, 2, \ldots, j\), formula precedentă se reduce la:

Pentru ca prima condiție (5.3.21) să fie verificată pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), trebuie să luăm

care arată că constantele \(C_{0,j+1,0}, \ldots, C_{n-1,j+1,0}\) verifică sistemul (5.3.16), adică sistemul (5.3.17).

Rămîne să se vadă că celelalte condiții (5.3.21) sînt de asemenea satisfăcute.

Avem

și membrul al doilea este nul pentru că după ecuațiile (5.3.16) fiecare paranteză mare este nulă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(l = 0, 1, \ldots, j, j+1\). Deci condițiile (5.3.21) sînt satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Avem

și membrul al doilea este nul după cum arată ecuațiile (5.3.25) pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\). Deci condițiile (5.3.21) sînt satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

În fine, avem

și prin urmare ultima condiție (5.3.21) este satisfăcută pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

5.3.5. Dacă în formula (5.3.15) se face \(i = n-1\) și se ține seamă de sistemele (5.3.17), pentru \(l = 0, 1, \ldots, j\) se obține formula

care va fi utilizată mai departe; ea este valabilă pentru \(j = 0, 1, \ldots, n-1\).

5.3.6. Vrem să arătăm că constantele \(C_{i,j,0}\) verifică de asemenea sistemele de ecuații

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(i = 0, 1, \ldots, n-1\) adică sistemul de ecuații

pentru \(i = 0, 1, \ldots, n-1\).

Sistemul format de ecuațiile (5.3.30) și (5.3.31) este adevărat pentru \(i = 0\), pentru că în acest caz el coincide cu sistemul format de ecuațiile (5.2.31) și (5.2.32).

Pentru aceasta facem în condițiile la limite (5.3.2), (5.3.3) (5.3.4) \(j = n\) și ținem seamă de convenția (A). Vom avea condițiile

pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

Vom scrie formulele (5.3.15) pentru \(l = n-1\) sub forma :

valabil pentru \(i = 0, 1, \ldots, n-1\) și \(r = 1, 2, \ldots, n\).

Făcînd \(r = 0\) în formulele (5.3.33) vom avea condițiile :

Primele trei condiții sînt satisfăcute pentru că \(\varphi_{i,n-1,0}\) și \(\varphi_{i-1,n-1,0}\) sînt polinoame de gradul \(n-1\) în \(x\), în \(y\) și în \(z\).

Ultima condiție (5.3.35) dă ecuația

valabilă pentru \(i = 0, 1, \ldots, n-1\).

Să examinăm acum condițiile (5.3.33) pentru \(r = 1, 2, \ldots n-1\). Avem

și prin urmare

Prima paranteză mare din membrul al doilea este nulă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\) după ecuațiile (5.2.32) și pentru ca primele condiții (5.3.33) să fie satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(i = 1, 2, \ldots, n-1\) trebuie ca ecuațiile (5.3.31) să fie verificate pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\). De asemenea, avem

și se vede după ecuațiile (5.3.31) că celelalte condiții (5.3.33) sînt satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

5.3.7. Să demonstrăm acum că sistemul de ecuații

care este valabil pentru \(j = 0, 1, \ldots, n-1\), este valabil de asemenea pentru \(j = n\), și că sistemul de ecuații

care este valabil pentru \(i = 0, 1, \ldots, n-1\), este valabil de asemenea pentru \(i = n\).

Pentru aceasta observăm că formula

poate fi scrisă, după ecuațiile (5.3.17), pentru \(i = n-1\), sub forma

care este valabilă pentru \(j = 0, 1, \ldots, n-1\).

De asemenea, formula (5.3.36) poate fi scrisă, după ecuațiile (5.3.32), pentru \(j = n-1\), sub forma :

În fine, observăm că făcînd în formula (5.3.38), \(i = n-1\), și în formula (5.3.37), \(j = n-1\), funcția \(\varphi_{n-1,n-1,0}\) poate fi scrisă sub forma

sau sub forma

Să scriem condițiile la limite (5.3.2), (5.3.3), (5.3.4) pentru \(i = n\) și \(j = n\). După convenția (A), aceste condiții sînt

și

Pentru \(r = 0\), condiția (5.3.41) este satisfăcută și condiția (5.3.42) conduce, după formula (5.3.39), la ecuația

și după formula (5.3.40) la ecuația

Să considerăm acum condițiile (5.3.2), (5.3.3), (5.3.4) pentru \(i = n\), \(j = n-1\) și apoi pentru \(i = n-1\), \(j = n\). Din aceste condiții să luăm numai pe următoarele :

și

care sînt satisfăcute pentru \(r = 0\).

Utilizînd formula (5.3.39) avem

și utilizînd formula (5.3.40), avem

Pentru ca condițiile (5.3.45), (5.3.46) să fie satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), trebuie să luăm

și

Sistemul format de ecuațiile (5.3.43) și (5.3.44) arată că sistemul (5.3.17) este valabil de asemenea pentru \(j = n\).

Sistemul format de ecuațiile (5.3.44) și (5.3.48) arată că sistemul (5.3.32) este valabil de asemenea pentru \(i = n\).

Să observăm în fine că după formula (5.3.39) avem

și

și după ecuațiile (5.3.47), se dovedește că condițiile (5.3.41) și (5.3.42) sînt satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

5.3.8. În rezumat soluția problemei la limite puse în aliniatul 5.3.1 este ca în formula (5.3.15), adică

unde constantele \(C_{i,j,0} (i, j = 0, 1, \ldots, n)\) verifică sistemele de ecuații

pentru \(j = 0, 1, \ldots, n\) și

pentru \(i = 0, 1, \ldots, n\).

Ținînd seamă de aceste sisteme, formulele (5.3.39) și (5.3.40) pot fi scrise sub forma

5.3.9. Dacă se face în condițiile la limite (5.2.5) și (5.2.6), \(i = 0\) și se ține seamă de convenția (A), avem

Procedînd ca în aliniatele 5.3.2 — 5.3.8 se demonstrează că soluția acestei probleme este dată de formula

unde constantele \(C_{0,j,k}\) verifică pentru \(j, k = 0, 1, \ldots, n\) sistemele de ecuații

și

Ținînd seama de aceste sisteme se poate scrie

5.3.10. Dacă se face în condițiile la limite (5.2.5) și (5.2.6), \(j = 0\) și dacă se ține seama de convenția (A) avem

Procedînd ca în aliniatele 5.3.2 — 5.3.8 se demonstrează că soluția acestei probleme este dată de formula :

unde constantele \(C_{i,0,k}\) verifică pentru \(i, k = 0, 1, \ldots, n\) sistemele de ecuații

și

§ 5.4. Problema \((P_{i,j,1})\)

În acest paragraf se determină soluția \(\varphi_{i,j,1}\) a problemei \((P_{i,j,1})\), urmînd aceeași metodă ca cea întrebuințată pentru a determina funcția \(\varphi_{i,j,0}\), însă cu noi condiții la limite pe care trebuie să le satisfacă funcțiile \(\varphi_{i,j,1}\). Funcțiile \(\varphi_{i,j,0}\), \(\varphi_{i,0,k}\), \(\varphi_{0,j,k}\), \(\varphi_{i,0,0}\), \(\varphi_{0,j,0}\), \(\varphi_{0,0,k}\), \(\varphi_{0,0,0}\) determinate în paragrafele precedente dar cu noi condiții la limite pentru \(\varphi_{i,j,1}\). Acest paragraf este o introducere la cazul general.

5.4.1. Să determinăm la început funcția \(\varphi_{1,1,1}\)

Trebuie pentru aceasta să se integreze ecuația cu derivate parțiale

cu condițiile la limite (5.2.5), (5.2.6), (5.2.7) corespunzînd la indicii \(i = 1\), \(j = 1\), \(k = 1\). Aceste condiții sînt

mai departe

În fine,

Putem să rezolvăm această problemă pentru că în § 5.2 și § 5.3 am determinat funcțiile \(\varphi_{0,0,0}\), \(\varphi_{1,0,0}\), \(\varphi_{0,1,0}\), \(\varphi_{0,0,1}\), \(\varphi_{1,1,0}\), \(\varphi_{1,0,1}\), \(\varphi_{0,1,1}\).

Am găsit

Atunci, ținînd seama de aceste formule, rezultă că

Integrînd ecuația (5.4.1) cu aceste condiții, se găsește

Mai departe, trebuie să se integreze ecuația (5.4.1) cu condițiile la limite (5.4.2), (5.4.3), (5.4.4). Pentru aceasta este util să se scrie formulele următoare care rezultă din formulele (5.4.5), (5.4.6), (5.4.7) :

Rezultă atunci, după condițiile la limite (5.4.2), (5.4.3), (5.4.4) pentru \(r = 1\) că avem

Integrînd ecuația cu derivate parțiale (5.4.8) cu aceste condiții se găsește

Să presupunem că s-a demonstrat că pentru indicele \(r\) avem

ceea ce este adevărat pentru \(r = 2\), pentru că în acest caz, formula (5.4.11) coincide cu formula (5.4.10).

Vom demonstra că formula (5.4.11) este valabilă și pentru indicele \(r + 1\).

Pentru aceasta vom integra ecuația (5.4.11) cu condițiile la limite (5.4.2), (5.4.3), (5.4.4) relative la indicele \(r\). După formulele (5.4.9) vom avea

Integrînd ecuația cu derivate parțiale (5.4.10) cu aceste condiții se găsește

Formula (5.4.12) se deduce din formula (5.4.11) înlocuind pe \(r\) cu \(r + 1\), ceea ce arată că formula (5.4.11) este generală; ea este valabilă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Am expus în detaliu calculul lui \(\varphi_{1,1,1}\) pentru a se vedea metoda care va fi întrebuințată în mod curent în această lucrare.

5.4.2. Vom demonstra acum formula :

valabilă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(i = 1, 2, \ldots, n-1\).

Întrebuințăm metoda inducției complete și observăm întîi că formula (5.4.13) este valabilă pentru \(i = 1\), deoarece în acest caz ea coincide cu formula (5.4.10). Pentru a o demonstra în general, vom presupune că formula (5.4.13) este adevărată pentru indicele \(i\) și vom demonstra că ea este valabilă și pentru indicele \(i + 1\).

Pentru aceasta vom integra ecuația cu derivate parțiale

cu condițiile la limite (5.4.2), (5.4.4) corespunzînd indicilor \(i + 1, 1, 1\) și pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

Pentru \(r = 0\), sîntem conduși la ecuația

Mai departe, integrînd ecuația (5.4.15) cu condițiile (5.4.2), (5.4.3), (5.4.4) pentru \(r = 1\), se găsește

Prin metoda inducției complete, se demonstrează formula

Această formulă este adevărată pentru \(r = 2\), pentru că în acest caz ea coincide cu formula (5.4.16). Presupunînd că formula (5.4.17) este adevărată pentru indicele \(r\), se demonstrează că ea este adevărată și pentru indicele \(r + 1\), integrînd ecuația (5.4.17) cu condițiile (5.4.2), (5.4.3), (5.4.4) corespunzînd indicelui \(r\). Se ajunge la o formulă care se poate obține din formula (5.4.17), înlocuind pe \(r\) cu \(r + 1\). Aceasta dovedește că formula (5.4.13) este generală; ea este valabilă pentru \(i = 0, 1, \ldots, n-1\) și \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

5.4.3. Pentru a determina constantele \(C_{0,1,1} \ldots, C_{n,1,1}\) facem \(i = n\) în condițiile (5.2.5), (5.2.6), (5.2.7). Vom avea condițiile

Făcînd \(i = n-1\) în formulele (5.4.13), (5.3.15), (5.3.62), (5.2.20), vom avea

La aceste ecuații adăugăm sistemele următoare de ecuații:

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), care rezultă din ecuațiile (5.3.12), (5.3.63) și (5.2.23).

Pentru \(r = 0\) (primele trei condiții (5.4.18) sînt satisfăcute pentru că \(\varphi_{n-1,1,1}\), \(\varphi_{n-1,1,0}\), \(\varphi_{n-1,0,1}\), \(\varphi_{n-1,0,0}\) sînt polinoame de gradul \(n-1\) în \(y\) și în \(z\).

Ultima condiție (5.4.18) conduce la ecuația

După prima ecuație (5.4.19) avem

Însă după ecuațiile (5.4.20) valabile pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\) primele trei paranteze mari ale formulei precedente sînt nule și rămîne:

Această formulă arată că prima condiție (5.4.18) este satisfăcută pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\) dacă luăm

Avem formulele

Aceste formule arată că după sistemele (5.4.20) și (5.4.22) valabile pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), celelalte condiții (5.4.18) sînt satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Astfel am demonstrat că constantele \(C_{0,1,1}, \ldots, C_{n,1,1}\) sînt determinate de ecuațiile (5.4.21) și (5.4.22). Aceste constante verifică sistemul de ecuații

5.4.4. Să presupunem că am demonstrat formula

valabilă pentru \(r = 1, 2, \ldots, 1\); \(i = 0, 1, \ldots, n-1\) și \(l = 1, 2, \ldots, j\).

În această formulă figurează constantele \(C_{0,l,0}, \ldots, C_{n,l,0}\) care verifică sistemele de ecuații

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(l = 0, 1, \ldots, n\); acest sistem se reduce la sistemul

(A se vedea aliniatele 5.3.3, 5.3.4, 5.3.7, 5.3.8).

Presupunem că constantele \(C_{0,l,1}, \ldots, C_{n,l,1}\) verifică sistemul de ecuații

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(l = 0, 1, \ldots, j\). Acest sistem se reduce la sistemul

Pentru \(l = 0\), sistemul (5.4.27) se reduce la sistemul format de ecuațiile (5.3.11) și (5.3.12). Pentru \(l = 1\), sistemul (5.4.27) se reduce la sistemul format de ecuațiile (5.4.21) și (5.4.22).

Vrem să demonstrăm că formula (5.4.24) este încă valabilă pentru \(l = j + 1\) și că constantele \(C_{0,j+1,1}, \ldots, C_{n,j+1,1}\) verifică sistemul (5.4.27), sau (5.4.28) pentru \(l = j + 1\). Pentru aceasta trebuie să se integreze ecuația cu derivate parțiale

cu condițiile la limite (5.2.5), (5.2.6) și (5.2.7) pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\) care corespund la indicii \(i, j + 1, 1\).

5.4.5. Să începem prin a determina \(\varphi_{1,j+1,1}\). Pentru aceasta trebuie să se integreze ecuația cu derivate parțiale (5.4.29) cu condițiile la limite (5.2.5), (5.2.6), (5.2.7) pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\), care corespund la indicii \(1, j + 1, 1\).

Procedînd ca în aliniatul 5.4.2 pentru a demonstra formula (5.4.13) obținem formula

care poate fi scrisă încă sub forma

și care este valabilă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(j = 0, 1, \ldots, n-2\).

5.4.6. Să presupunem că am demonstrat formula

valabilă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n\) și \(h = 0, 1, \ldots, i\). Aceasta este adevărat pentru \(i = 0\) și \(i = 1\), pentru că în aceste cazuri formula (5.4.32) coincide cu formula (5.3.54) (și (5.4.31).

Să demonstrăm că formula (5.4.32) este valabilă și pentru \(h = i + 1\).

Pentru aceasta trebuie să integrăm ecuația cu derivate parțiale

cu condițiile la limită (5.2.5), (5.2.6) și (5.2.7) corespunzătoare indicilor \(i + 1, j + 1, 1\) și pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

Pentru \(r = 0\), se găsește

Pentru \(r = 1\), se găsește

Să demonstrăm că în general avem

Formula (5.4.36) este adevărată pentru \(r = 1\) și \(r = 2\), pentru că ea coincide în aceste cazuri cu formulele (5.4.34), (5.4.35). Pentru a demonstra că formula (5.4.36) este adevărată în general, presupunem că ea este adevărată pentru indicele \(r\) și demonstrăm că este adevărată și pentru indicele \(r + 1\). Pentru aceasta se integrează ecuația (5.4.36) cu condițiile la limite (5.2.5), (5.2.6) și (5.2.7) corespunzătoare indicilor \(i + 1, j + 1, 1\) și indicelui \(r\).

Se găsește

Formula (5.4.37) se deduce din formula (5.4.36) înlocuind pe \(r\) cu \(r + 1\). Rezultă că formula (5.4.36) este generală, ea este valabilă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Pe de altă parte, formula (5.4.36) se deduce din formula (5.4.32) înlocuind pe \(h\) cu \(i + 1\). Rezultă că formula (5.4.32) este generală; ea este valabilă pentru \(h = 0, 1, \ldots, n-1\).

5.4.6. Astfel am demonstrat formula

valabilă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n\) și \(i, j = 0, 1, \ldots, n-1\).

Rămîne să demonstrăm că constantele \(C_{0,j+1,1}, \ldots, C_{n,j+1,1}\) verifică sistemul (5.4.27) sau (5.4.28).

Pentru aceasta scriem că condițiile (5.2.5), (5.2.6) și (5.2.7) sînt verificate cînd se face \(i = n\), \(k = 1\) și se ține seamă de convenția (A).

Vom avea condițiile următoare:

pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

Pentru \(r = 0\), primele trei condiții (5.4.39) sînt satisfăcute pentru că \(\varphi_{n-1,j+1,1}\), \(\varphi_{n-1,j,0}\), \(\varphi_{n-1,j,1}\) sînt polinoame de gradul \(n-1\) în \(y\) și în \(z\).

A patra condiție (5.4.39) conduce la ecuația

Avem formula

Însă după ecuațiile (5.4.25) și (5.4.27) toate parantezele mari din membrul al doilea, afară de ultima, sînt nule pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\). Atunci pentru ca prima condiție (5.4.39) să fie satisfăcută, trebuie să luăm

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), ceea ce demonstrează, cu ecuația (5.4.40), că ecuațiile (5.4.27) sînt valabile de asemenea pentru \(l = j + 1\).

Ne rămîne să demonstrăm că ultimele trei condiții (5.4.39) sînt satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

După formulele (5.4.38) și (5.3.36) avem

Aceste formule arată că după ecuațiile (5.4.25) și (5.4.42) toate parantezele mari din membrul al doilea sînt nule pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), ceea ce dovedește că celelalte condiții la limită (5.4.39) sînt satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

5.4.7. Am demonstrat că constantele \(C_{i,j,0}\) și \(C_{i,j,1}\) verifică sistemele de ecuații (5.4.26) și (5.4.48):

pentru \(j = 0, 1, \ldots, n\), și

pentru \(j = 0, 1, \ldots, n-1\).

Am demonstrat de asemenea că constantele \(C_{i,j,0}\), verifică sistemele de ecuații

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(i = 0, 1, \ldots, n\), adică sistemul de ecuații

pentru \(i = 0, 1, \ldots, n\).

Vrem să demonstrăm că constantele \(C_{i,j,1}\) verifică sistemul de ecuații

pentru \(r = 1, 2. \ldots, n-1\) și \(i = 0, 1, \ldots, n-1\), și

pentru \(i = 0, 1, \ldots, n-1\).

Să facem în condițiile la limite (5.2.5), (5.2.6), (5.2.7), \(j = n\), \(k = 1\) și să ținem seama de convenția (A). Aceste condiții vor fi

pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

Formula (5.4.38) pentru \(j = n-1\) și \(r = n\), poate să se scrie sub forma

și avem formule analoage pentru \(\varphi_{i-1,n-1,1}\), \(\varphi_{i,n-1,0}\) și \(\varphi_{i-1,n-1,0}\) pe care nu le mai scriem.

Considerăm condițiile (5.4.47) pentru \(r = 0\). Primele trei sînt satisfăcute, pentru că funcțiile \(\varphi_{i,n-1,1}\), \(\varphi_{i-1,n-1,1}\), \(\varphi_{i,n-1,0}\), \(\varphi_{i-1,n-1,0}\) sînt polinoame de gradul \(n-1\) în \(x\) și \(z\).

A patra condiție (5.4.47) conduce la ecuația

Să examinăm acum condițiile (5.4.47) pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Avem

Însă după ecuațiile (5.4.45) primele \(i+1\) paranteze mari sînt nule pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Pe de altă parte, pentru ca prima condiție (5.4.47) să fie satisfăcută, pentru \(i = 0\), trebuie să se ia în formula (5.4.50)

ceea ce conduce, cu ecuația (5.4.49) pentru \(i = 0\), la sistemul (5.3.55) pentru \(k = 1\), pe care l-am considerat deja.

Mai departe, pentru ca prima condiție (5.4.47) să fie satisfăcută pentru \(i = 1\), trebuie să se ia în formula (5.4.50)

Din aproape în aproape se demonstrează că avem ecuațiile

și \(i = 0, 1, \ldots, n-1\).

Astfel am demonstrat că constantele \(C_{i,j,1}\) verifică sistemele de ecuații (5.4.45) pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\) și \(i = 0, 1, \ldots, n-1\), adică sistemele de ecuații (5.4.46) pentru \(i = 0, 1, \ldots, n-1\).

Rămîne să se arate că celelalte condiții la limite (5.4.47) sînt satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Pentru aceasta observăm că putem scrie

Ecuațiile (5.3.31) și (5.4.45) arată că celelalte ecuații (5.4.47) sînt satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

5.4.8. Formula (5.4.31) în care facem \(i = n-1\), devine

Însă după sistemele (5.4.43), și (5.4.44) putem să scriem formula (5.4.51) de asemenea sub forma

Mai departe, vom avea nevoie de această formulă pentru \(j = n-1\), adică

În același fel, dacă în formula (5.4.38) se face \(j = n-1\) și se utilizează sistemele (5.3.32) și (5.4.46), avem

și vom avea mai departe nevoie de această formulă pentru \(i = n-1\), adică de

5.4.9. Pentru a demonstra că sistemele de ecuații (5.4.44) și (5.4.46) sînt valabile de asemenea pentru \(j = n\) și \(i = n\), să scriem că condițiile (5.2.5), (5.2.6), (5.2.7) sînt verificate cînd se face \(i = n\), \(j = n\), \(k = 1\), ținînd seama de convenția (A).

Vom avea condițiile următoare:

La aceste condiții alăturăm condițiile (5.2.5), (5.2.6), (5.2.7) pentru \(i = n\), \(j = n-1\), \(k = 1\) și apoi pentru \(i = n-1\), \(j = n\), \(k = 1\). Din aceste ecuații luăm numai următoarele:

Vom utiliza formulele (5.4.53), (5.4.55) precum și formulele

Dacă se consideră condițiile (5.4.56) pentru \(r = 0\), prima este satisfăcută pentru că \(\varphi_{n-1,n-1,1}\) este un polinom de gradul \(n-1\) în \(z\). Dacă se ține seama de formulele (5.4.55), (5.4.39), a doua condiție (5.4.56) conduce la ecuația

și dacă se ține seama de formulele (5.4.59), (5.3.40), a doua condiție (5.4.56) conduce la ecuația

Condițiile (5.4.57), (5.4.58) sînt satisfăcute pentru \(r = 0\), pentru că \(\varphi_{n-1,n-1,1}\) este un polinom de gradul \(n-1\) în \(x\) în \(y\) și în \(z\).

Rămîne să se examineze aceste condiții pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Conform formulelor (5.4.55) și (5.4.53) avem

și

Însă am demonstrat că

și

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), astfel că formulele (5.4.61) și (5.4.62) se reduc la

și

Pentru ca condițiile (5.4.57) și (5.4.58) să fie satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), trebuie să luăm

și

Ecuațiile (5.4.59) și (5.4.63) pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\) arată că sistemul de ecuații (5.4.44) este valabil de asemenea pentru \(j = n\).

De asemenea ecuațiile (5.4.60) și (5.4.64) pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), arată că sistemul de ecuații (5.4.46) este valabil și pentru \(i = n\).

Rămîne să se demonstreze că condițiile (5.4.56) sînt satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

Într-adevăr, după ecuațiile (5.4.55) avem

și

Însă ecuațiile (5.3.47) și (5.4.63) arată că parantezele mari din membrul al doilea al formulelor (5.4.65), (5.4.66) sînt nule pentru \(r = 1, 2, \ldots, \ldots, n-1\) ceea ce dovedește că condițiile (5.4.56) sînt satisfăcute pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\).

5.4.10. În rezumat, soluția problemei la limite \((P_{i,j,1})\) este dată după formulele (5.4.38) de

pentru \(i, j = 0, 1, \ldots, n-1\).

Constantele \(C_{i,j,1}\) verifică sistemele de ecuații

pentru \(j = 0, 1, \ldots, n\) și

pentru \(i = 0, 1, \ldots, n\).

§ 5.5. Cazul general: problema \((P_{i,j,k})\)

5.5.1. Să presupunem că am demonstrat formula

pentru \(i, j = 0, 1, \ldots, n-1\) și \(l = 0, 1, \ldots, k\).

Formula (5.5.1) este adevărată pentru \(l = 0\) și pentru \(l = 1\) pentru că în aceste cazuri ea coincide cu formulele (5.3.15) și (5.4.67).

Vrem să demonstrăm că formula (5.5.1) este valabilă și pentru \(l = k+1\), și prin urmare ea este valabilă pentru \(l = 0, 1, \ldots, n-1\).

Presupunem de asemenea că constantele \(C_{i,j,l}\) verifică sistemele de ecuații

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), \(j = 0, 1, \ldots, n-1\) și \(l = 0, 1, \ldots, k\), adică sistemele

pentru \(j = 0, 1, \ldots, n-1\) și \(l = 0, 1, \ldots, k\).

Presupunem în plus că constantele \(C_{i,j,l}\) verifică sistemele de ecuații

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n-1\), \(i = 0, 1, \ldots, n\) și \(l = 0, 1, \ldots, k\), adică sistemele

pentru \(i = 0, 1, \ldots, n-1\) și \(l = 0, 1, \ldots, k\).

Aceasta este adevărat pentru \(l = 0\), pentru că în acest caz sistemele (5.5.3), (5.5.5) coincid cu sistemele (5.3.17), (5.3.32).

Aceasta este încă adevărat pentru \(l = 1\), pentru că în acest caz sistemele (5.5.3), (5.5.5) coincid cu sistemele (5.4.68), (5.4.69).

Vrem să demonstrăm că sistemele (5.5.2), (5.5.4), adică (5.5.3), (5.5.5) sînt de asemenea valabile pentru \(l = k+1\), și prin urmare ele sînt valabile pentru \(l = 0, 1 \ldots, n-1\).

Vom demonstra mai departe că sistemele (5.5.3), (5.5.5) sînt valabile de asemenea pentru \(l = n\).

5.5.2. Pentru a rezolva problemele puse în aliniatul 5.5.1 întrebuințăm metoda inducției complete.

Vom integra ecuația cu derivatele parțiale

cu condițiile la limite (5.2.5), (5.2.6), (5.2.7) corespunzînd indicilor \(i\), \(j\), \(k+1\), adică

pentru \(i, j = 0, 1, \ldots, n\) și \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

Mai departe

pentru \(i, j = 0, 1, \ldots, n\) și \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

În fine,

pentru \(i, j = 0, 1, \ldots, n\) și \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

5.3.3. Să începem prin a determina \(\varphi_{1,1,k+1}\). Pentru aceasta vom integra ecuația cu derivate parțiale

cu condițiile la limite (5.5.7), (5.5.8), (5.5.9) corespunzînd indicilor \(i = 1\), \(j = 1\).

Aceste condiții fac să intervină funcțiile

Prima din aceste funcții este dată de formula (5.5.1) pentru \(i = 1\), \(j = 1\) și \(l = k\). Funcțiile \(\varphi_{0,0,k}\) și \(\varphi_{0,0,k+1}\) sînt soluțiile problemelor \((P_{0,0,k})\), \((P_{0,0,k+1})\) tratate în aliniatul 5.2.5. Funcțiile \(\varphi_{1,0,k}\) și \(\varphi_{1,0,k+1}\) sînt soluțiile problemelor \((P_{1,0,k})\), \((P_{1,0,k+1})\) tratate în aliniatul 5.3.10. Funcțiile \(\varphi_{0,1,k}\) și \(\varphi_{0,1,k+1}\) sînt soluțiile problemelor \((P_{0,1,k})\), \((P_{0,1,k+1})\) tratate în aliniatul 5.3.9. Toate aceste funcții se pot deduce din formula (5.5.1).

Integrînd ecuația cu derivate parțiale (5.5.10) cu condițiile (5.5.7), (5.5.8), (5.5.9) corespunzînd lui \(r = 0\), se găsește

Mai departe, integrînd ecuația (5.5.11) cu condițiile (5.5.7), (5.5.8), (5.5.9) corespunzînd lui \(r = 1\), se găsește

Să presupunem că s-a demonstrat formula

Această formulă este adevărată pentru \(r = 1\) și \(r = 2\), pentru că în aceste cazuri ea coincide cu formulele (5.5.11) și (5.5.12). Formula (5.5.13) este adevărată de asemenea pentru indicele \(r + 1\), pentru că integrînd ecuația (5.5.13) cu condițiile (5.5.7), (5.5.8), (5.5.9) corespunzînd indicilor \(1, 1, k + 1\) și pentru indicele \(r\) se obține formula (5.5.13), unde indicele \(r\) este înlocuit cu \(r + 1\).

Formula (5.5.13) este deci generală; ea este valabilă pentru \(r = 1, 2, \ldots, n\).

5.5.4. Vom demonstra acum formula

pentru \(r = 1, 2, \ldots, n\) și \(i' = 0, 1, \ldots, n-1\).

Observăm întîi că formula (5.5.14) este adevărată pentru \(i' = 1\), pentru că în acest caz ea coincide cu formula (5.5.13). Mai departe presupunem că formula (5.5.14) este adevărată pentru indicele \(i' = i\) și vom demonstra că ea este adevărată și pentru indicele \(i' = i + 1\).

Pentru a face demonstrația vom integra ecuația cu derivate parțiale

cu condițiile la limite (5.5.7), (5.5.8), (5.5.9) corespunzînd indicilor \(i + 1, 1, k + 1\) și pentru \(r = 0, 1, \ldots, n-1\).

Aceste condiții fac să intervină funcțiile

Funcțiile \(\varphi_{i+1,1,k}\), \(\varphi_{i,1,k}\) sînt date de formula (5.5.1) pentru indicii \(i + 1, 1, k\) și \(i, 1, k\). Funcțiile \(\varphi_{i,0,k}\), \(\varphi_{i',0,k+1}\), \(\varphi_{i+1,0,k}\), \(\varphi_{i+1,0,k+1}\) sînt soluțiile problemelor \((P_{i,0,k})\), \((P_{i,0,k+1})\), \((P_{i+1,0,k})\), \((P_{i+1,0,k+1})\) pe care le-am tratat în aliniatul 5.3.10. În fine, funcția \(\varphi_{i,1,k+1}\) este dată de formula (5.5.14) pentru \(r = n\), pe care am presupus-o valabilă pentru \(i' = i\).

Integrînd ecuația (5.5.15) cu condițiile la limite (5.5.7), (5.5.8), (5.5.9) corespunzînd indicilor \(i + 1, 1, k + 1\) și pentru \(r = 0\), se găsește

Mai departe, integrînd ecuația (5.5.16) cu condițiile la limite (5.5.7), (5.5.8), (5.5.9) corespunzînd indicilor \(i + 1, 1, k + 1\) și pentru \(r = 1\), se găsește