A classification of Lipschitz functions

unde „o" este un element fixat al spatiului metric $X$$X$XX$X$.
Pentru $Y\subset X$$Y\subset X$Y sub XY \subset X$Y\subset X$, care contine cel puţin două puncte distincte se defineşte funcţionala:

Dacă $Y=\{\mathrm{o}\}$$Y=\{\mathrm{o}\}$Y={o}Y=\{\mathrm{o}\}$Y=\{\mathrm{o}\}$ punem $K_Y(f)=0$$K_Y(f)=0$K_(Y)(f)=0K_{Y}(f)=0$K_Y(f)=0$ pentru orice $f\in X_0^{\mathrm{\#}}$$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$.
Mulțimea $X_0^{\mathrm{\#}}$$X_0^{\mathrm{\#}}$X_(0)^(#)X_{0}^{\#}$X_0^{\mathrm{\#}}$, înzestrată cú operatiile obişnuite de adunare a două functii şi inmulţirea unei funcţii cu. un scalar real devine un spaţiu vectorial real.

Dacă $Y=X$$Y=X$Y=XY=X$Y=X$, atunci functionalà (2) este o normă pe $X_0^{\mathrm{\#}}$$X_0^{\mathrm{\#}}$X_(0)^(#)X_{0}^{\#}$X_0^{\mathrm{\#}}$ şi pentru orice $f\in X_0^{\mathrm{\#}}$$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$ scriem

Spatiul vectorial $X_0^{\mathrm{\#}}$$X_0^{\mathrm{\#}}$X_(0)^(#)X_{0}^{\#}$X_0^{\mathrm{\#}}$, înzestrat cu norma (3) îl numim spafiul normat al functiilor lipschitziene cu valori reale [2].

Fie $Y\subset X$$Y\subset X$Y sub XY \subset X$Y\subset X$ cu $o\in Y$$o\in Y$o in Yo \in Y$o\in Y$. Notăm

Un element $g_0\in Y^{\perp }$$g_0\in Y^{\perp }$g_(0)inY^(_|_)g_{0} \in Y^{\perp}$g_0\in Y^{\perp }$ pentru care infimumul din (6) este atins se numeste element de cea mai bună aproximare a lui $f\in X_0^{\mathrm{\#}}$$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$ prin elementele lui $Y^{\perp }$$Y^{\perp }$Y^(_|_)Y^{\perp}$Y^{\perp }$.

In lucrarea [2] sînt demonstrate următoarele:
Lema 1. Fie $Y\subset X$$Y\subset X$Y sub XY \subset X$Y\subset X$ cu $o\in Y$$o\in Y$o in Yo \in Y$o\in Y$. Atunci pentru orice $f\in X_0^{\mathrm{\#}}$$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$ are loc egalitatea:
(7)

teorema 1. Fie $Y\subset Xcuo\in Y$$Y\subset Xcuo\in Y$Y sub Xcuo in YY \subset X c u o \in Y$Y\subset Xcuo\in Y$. Atunci pentru orice $f\in X_0^{\mathrm{\#}}$$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$ există cel putin o functie $F\in X_0^{\mathrm{\#}}$$F\in X_0^{\mathrm{\#}}$F inX_(0)^(#)F \in X_{0}^{\#}$F\in X_0^{\mathrm{\#}}$ astfel ca
(8)

O functie $F\in X_0^{\mathrm{\#}\mathrm{\#}}$$F\in X_0^{\mathrm{\#}\mathrm{\#}}$F inX_(0)^(##)F \in X_{0}^{\# \#}$F\in X_0^{\mathrm{\#}\mathrm{\#}}$ cu proprietăţile (8) se numeşte o prelungire a lui $f\in X_0^{\mathrm{\#}}$$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$ de pe $Y$$Y$YY$Y$ pe $X$$X$XX$X$.

Două dintre prelungirile lui $f\in X_0^{\mathrm{\#}}$$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$, în conditiile teoremei 1 sînt:

şi din felul cum sînt construite [1, pag. 214] rezultă că ele sînt respectiv cea mai mare şı cea mai mică dintre prelungirile lui $f$$f$ff$f$, în sensul că orice altă prelungire $F$$F$FF$F$ a lui $f$$f$ff$f$ verifică inegalitatea
(10)

Lema 2. Fie $Y\subset X$$Y\subset X$Y sub XY \subset X$Y\subset X$ cu $o\in Y$$o\in Y$o in Yo \in Y$o\in Y$ şi $f\in X_0^{\mathrm{\#}}$$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$. Atunci orice element de cea mai bună aproximare a lui $f$$f$ff$f$ prin elementele lui $Y^{\perp }$$Y^{\perp }$Y^(_|_)Y^{\perp}$Y^{\perp }$ este de forma $f-F$$f-F$f-Ff-F$f-F$, unde $F$$F$FF$F$ este o prelungire a lui $f$$f$ff$f$ de pe $Y$$Y$YY$Y$ pe $X$$X$XX$X$.

Demonstratie. Oricare ar fi o prelungire $F$$F$FF$F$ a lui $f$$f$ff$f$ de pe $Y$$Y$YY$Y$ pe $X$$X$XX$X$, în baza lemei 1 şi a teoremei 1 avem:

deci $f-F\in Y^{\perp }$$f-F\in Y^{\perp }$f-F inY^(_|_)f-F \in Y^{\perp}$f-F\in Y^{\perp }$ este de cea mai bună aproximare pentru $f$$f$ff$f$.
Fie $h\in Y^{\perp }$$h\in Y^{\perp }$h inY^(_|_)h \in Y^{\perp}$h\in Y^{\perp }$ un element de cea mai bună aproximare a lui $f$$f$ff$f$ şi să presupunem că $h\ne f-F$$h\ne f-F$h!=f-Fh \neq f-F$h\ne f-F$ pentru orice prelungire $F$$F$FF$F$. Aceasta înseamnă că
$\Vert f-h{\Vert }_X=d(f,Y^{\perp })=\Vert f{\Vert }_Y$$\Vert f-h{\Vert }_X=d\left(f,Y^{\perp }\right)=\Vert f{\Vert }_Y$||f-h||_(X)=d(f,Y^(_|_))=||f||_(Y)\|f-h\|_{X}=d\left(f, Y^{\perp}\right)=\|f\|_{Y}$\Vert f-h{\Vert }_X=d(f,Y^{\perp })=\Vert f{\Vert }_Y$ si deoarece $h\in Y^{\perp },{(f-h)|}_Y={f|}_Y$$h\in Y^{\perp },{\left.(f-h)\right|}_Y={\left.f\right|}_Y$h inY^(_|_), quad(f-h)|_(Y)=f|_(Y)h \in Y^{\perp},\left.\quad(f-h)\right|_{Y}=\left.f\right|_{Y}$h\in Y^{\perp },{(f-h)|}_Y={f|}_Y$. Prin urmare sînt îndeplinite conditiile (8) din Teorema 1 , adică $f-h$$f-h$f-hf-h$f-h$ este o prelungire a lui $f$$f$ff$f$ de pe $Y$$Y$YY$Y$ pe $X$$X$XX$X$. Deoarece $h\ne f-F$$h\ne f-F$h!=f-Fh \neq f-F$h\ne f-F$ pentru orice $F$$F$FF$F$, atunci există cel puţin un punct $x_0\in X$$x_0\in X$x_(0)in Xx_{0} \in X$x_0\in X$ pentru care, de exemplu

adică

In particular

ceea ce contrazice inegalitatea (10).
Analog, dacă $h\left(x_0\right)<(f-F)\left(x_0\right)$$h\left(x_0\right)<(f-F)\left(x_0\right)$h(x_(0)) < (f-F)(x_(0))h\left(x_{0}\right)<(f-F)\left(x_{0}\right)$h\left(x_0\right)<(f-F)\left(x_0\right)$ pentru orice $F$$F$FF$F$, atunci în particular

aeea ce, din nou contrazice inegalitatea (10). Deci pentru orice $x\in X$$x\in X$x in Xx \in X$x\in X$ avem $h(x)=(f-F)(x)$$h(x)=(f-F)(x)$h(x)=(f-F)(x)h(x)=(f-F)(x)$h(x)=(f-F)(x)$.
2. În cele ce urmează vom da o clasificare a funcţiilor din $X_0^{\mathrm{\#}}$$X_0^{\mathrm{\#}}$X_(0)^(#)X_{0}^{\#}$X_0^{\mathrm{\#}}$, în raport cu comportarea unei astfel de functii faţă de prelungirile ei, în i poteza că $X$$X$XX$X$ este un spatiu metric liniar real. Drept element fixat „o" luăm aici elementul nul $\theta$$\theta$theta\theta$\theta$ al spatiului liniar $X$$X$XX$X$.

Fie $Y\subset X$$Y\subset X$Y sub XY \subset X$Y\subset X$ cu $\theta \in Y$$\theta \in Y$theta in Y\theta \in Y$\theta \in Y$. Fie $x\in Y$$x\in Y$x in Yx \in Y$x\in Y$. Notăm

Definiția 1. Fie $Y\subset \dot{X}$$Y\subset \dot{X}$Y subX^(˙)Y \subset \dot{X}$Y\subset \dot{X}$ cu $\theta \in Y$$\theta \in Y$theta in Y\theta \in Y$\theta \in Y$ şi $f\in X_0^{\mathrm{\#}}$$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$. Spunem că $f$$f$ff$f$ este inferior prelungibilă ((IP)) (respectiv superior prelungibilă ((SP))) pe $Y$$Y$YY$Y$, dacă pentru orice $x\in Y$$x\in Y$x in Yx \in Y$x\in Y$ si pentru orice prelungire $F$$F$FF$F$ a lui $f$$f$ff$f$ de pe $C_x$$C_x$C_(x)C_{x}$C_x$ pe $X$$X$XX$X$ are loc inegalitatea:

pentru orice $y\in {\mathrm{\Gamma }}_x$$y\in {\mathrm{\Gamma }}_x$y inGamma_(x)y \in \Gamma_{x}$y\in {\mathrm{\Gamma }}_x$.
Următoarea teoremă dă o caracterizare a functiilor (IP) ((SP)) pe $\mathbb{Y}\subset X\mathrm{cu}\theta \in Y$$\mathbb{Y}\subset X\mathrm{cu}\theta \in Y$Ysub Xcutheta in Y\mathbb{Y} \subset X \mathrm{cu} \theta \in Y$\mathbb{Y}\subset X\mathrm{cu}\theta \in Y$.
((SP)) pe $Y$$Y$YY$Y$ dacă si numai dacă pentru orice $x\in Y$$x\in Y$x in Yx \in Y$x\in Y$, multimea elementelor de cea mai bună aproximare ale lui $f$$f$ff$f$ prin elementele lui $C_{\frac{1}{x}}$$C_{\frac{1}{x}}$C_((1)/(x))C_{\frac{1}{x}}$C_{\frac{1}{x}}$ este formată din elemente nenegative (nepozitive) pe $Y$$Y$YY$Y$.

Demonstrație. Rezultă din definiția 1 şi lema 2.
O proprietate a funcţiilor (IP) ((SP)) este cuprinsă în
Lema 3. Fie $Y\subset X,\theta \in Y$$Y\subset X,\theta \in Y$Y sub X,theta in YY \subset X, \theta \in Y$Y\subset X,\theta \in Y$ şi $Y\ne \{\theta \}$$Y\ne \{\theta \}$Y!={theta}Y \neq\{\theta\}$Y\ne \{\theta \}$. Dacă $f\in X_0^{\mathrm{\#}}$$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$ este (IP) ((SP)) pe $Y$$Y$YY$Y$, atunci $f\geqq \mathrm{\Phi }(f\leqq \mathrm{\Phi })$$f\geqq \mathrm{\Phi }(f\leqq \mathrm{\Phi })$f >= Phi(f <= Phi)f \geqq \Phi(f \leqq \Phi)$f\geqq \mathrm{\Phi }(f\leqq \mathrm{\Phi })$ pe $Y$$Y$YY$Y$, unde $\mathrm{\Phi }$$\mathrm{\Phi }$Phi\Phi$\mathrm{\Phi }$ este elementul nul al spatiului $X_0^{\mathrm{\#}}$$X_0^{\mathrm{\#}}$X_(0)^(#)X_{0}^{\#}$X_0^{\mathrm{\#}}$.

Demonstrafie. Dacă $f\in X_0^{\mathrm{\#}}$$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$ este (IP) pe $Y\subset X$$Y\subset X$Y sub XY \subset X$Y\subset X$ cu proprietătile din enunţ, luînd $C_0=\{\theta \}$$C_0=\{\theta \}$C_(0)={theta}C_{0}=\{\theta\}$C_0=\{\theta \}$, deoarece ${f|}_{\{\theta \}}={\mathrm{\Phi }|}_{\{\theta \}}$${\left.f\right|}_{\{\theta \}}={\left.\mathrm{\Phi }\right|}_{\{\theta \}}$f|_({theta})= Phi|_({theta})\left.f\right|_{\{\theta\}}=\left.\Phi\right|_{\{\theta\}}${f|}_{\{\theta \}}={\mathrm{\Phi }|}_{\{\theta \}}$, rezultă că $\Vert f{\Vert }_{c_0}=0$$\Vert f{\Vert }_{c_0}=0$||f||_(c_(0))=0\|f\|_{c_{0}}=0$\Vert f{\Vert }_{c_0}=0$. In acest caz, prelungirea lui $f$$f$ff$f$ de pe $\{\theta \}$$\{\theta \}${theta}\{\theta\}$\{\theta \}$ pe $X$$X$XX$X$ este unică si anume este $\mathrm{\Phi }$$\mathrm{\Phi }$Phi\Phi$\mathrm{\Phi }$; deoarece $f$$f$ff$f$ este (IP) pe $Y$$Y$YY$Y$ avem ${f|}_Y\geqq {\mathrm{\Phi }|}_Y$${\left.f\right|}_Y\geqq {\left.\mathrm{\Phi }\right|}_Y$f|_(Y) >= Phi|_(Y)\left.f\right|_{Y} \geqq\left.\Phi\right|_{Y}${f|}_Y\geqq {\mathrm{\Phi }|}_Y$. Pentru functiile (SP) pe $Y$$Y$YY$Y$, demonstratia este analogă.
teorema 3. Fie $Y\subset X$$Y\subset X$Y sub XY \subset X$Y\subset X$ inchisă, $Y\ne \{\theta \},\theta \in Y$$Y\ne \{\theta \},\theta \in Y$Y!={theta},theta in YY \neq\{\theta\}, \theta \in Y$Y\ne \{\theta \},\theta \in Y$ și $f\in X_0^{\mathrm{\#}}$$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$, (IP) pe Y. Dacă există $x_0\in Y,x_0\ne \theta$$x_0\in Y,x_0\ne \theta$x_(0)in Y,x_(0)!=thetax_{0} \in Y, x_{0} \neq \theta$x_0\in Y,x_0\ne \theta$, astfel ca $f\left(x_0\right)=0$$f\left(x_0\right)=0$f(x_(0))=0f\left(x_{0}\right)=0$f\left(x_0\right)=0$, alunci $f=\mathrm{\Phi }$$f=\mathrm{\Phi }$f=Phif=\Phi$f=\mathrm{\Phi }$ pe $[-x_0,x_0]\cap Y$$\left[-x_0,x_0\right]\cap Y$[-x_(0),x_(0)]nn Y\left[-x_{0}, x_{0}\right] \cap Y$[-x_0,x_0]\cap Y$.

Demonstrafie. Dacă $f\in X_0^{\mathrm{\#}}$$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}$f\in X_0^{\mathrm{\#}}$ este (IP) pe $Y$$Y$YY$Y$, conform lemei 3 avem că $f\geqq \mathrm{\Phi }$$f\geqq \mathrm{\Phi }$f >= Phif \geqq \Phi$f\geqq \mathrm{\Phi }$ pe $Y$$Y$YY$Y$. Fie $x_0\in Y,x_0\ne \theta$$x_0\in Y,x_0\ne \theta$x_(0)in Y,x_(0)!=thetax_{0} \in Y, x_{0} \neq \theta$x_0\in Y,x_0\ne \theta$ şi astfel că $f\left(x_0\right)=0$$f\left(x_0\right)=0$f(x_(0))=0f\left(x_{0}\right)=0$f\left(x_0\right)=0$. Considerăm multimea $H=[-x_0,x_0]\cap Y$$H=\left[-x_0,x_0\right]\cap Y$H=[-x_(0),x_(0)]nn YH=\left[-x_{0}, x_{0}\right] \cap Y$H=[-x_0,x_0]\cap Y$. Deoarece $Y$$Y$YY$Y$ este o multime închisă și [ $-x_0,x_0$$-x_0,x_0$-x_(0),x_(0)-x_{0}, x_{0}$-x_0,x_0$ ] este o muļime compactă, rezultă că multimea $H$$H$HH$H$ este compactă ; atunci funcţia ${f|}_H$${\left.f\right|}_H$f|_(H)\left.f\right|_{H}${f|}_H$ işi atinge marginile pe $H$$H$HH$H$. Fie $y_0\in H$$y_0\in H$y_(0)in Hy_{0} \in H$y_0\in H$ astfel că

Dacă $f\left(y_0\right)=0$$f\left(y_0\right)=0$f(y_(0))=0f\left(y_{0}\right)=0$f\left(y_0\right)=0$ atunci, evident $f\equiv \mathrm{\Phi }$$f\equiv \mathrm{\Phi }$f-=Phif \equiv \Phi$f\equiv \mathrm{\Phi }$ pe $H$$H$HH$H$. Să presupunem deci că $f\left(y_0\right)>0$$f\left(y_0\right)>0$f(y_(0)) > 0f\left(y_{0}\right)>0$f\left(y_0\right)>0$, Atunci considerăm segmentul $C_{y_0}=[-y_0,y_0]$$C_{y_0}=\left[-y_0,y_0\right]$C_(y_(0))=[-y_(0),y_(0)]C_{y_{0}}=\left[-y_{0}, y_{0}\right]$C_{y_0}=[-y_0,y_0]$. Evident

In punctul $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$ avem

Deci $0=f\left(x_0\right)<F_1\left(x_0\right)$$0=f\left(x_0\right)<F_1\left(x_0\right)$0=f(x_(0)) < F_(1)(x_(0))0=f\left(x_{0}\right)<F_{1}\left(x_{0}\right)$0=f\left(x_0\right)<F_1\left(x_0\right)$, ceea ce contrazice faptul că $f$$f$ff$f$ este (IP) pe $Y$$Y$YY$Y$. Pentru functiile (SP) pe $Y$$Y$YY$Y$ demonstratia este analogă.

RÁSUMÊ

Dans cette note on présente une classification des fonctions lipschitziennes à valeurs réelles définies sur un espace métrique linéaire réel, par rapport au comportement d'une telle fonction envers ses prolongements. On définit les fonctions prolongeables inférieurement (IP) et prolongeables supérieurement ( SP ) sur un sousensemble $Y$$Y$YY$Y$ de $X$$X$XX$X$ avec $\theta \in Y$$\theta \in Y$theta in Y\theta \in Y$\theta \in Y$. On présente un théorème de caractérisation des fonctions (IP) ((SP)) et deux propriétés dont ces fonctions jouissent.

[1] Czipser J. şi Gehér L., Extension of functions satisfying a Lipschitz condilion. Acta Math. Acad. Sci. Hungar, 6, $213-220$$213-220$213-220213-220$213-220$ (1955).
[2] Mustăţa C., Asupra unor subspatii cebîseviene din spatiul normat al functiilor lipschitziene, Revista de analiză numerică şi teoria aproximației, 2, 1, 81-87 (1973).

Primit la 2. IV. 1973.
Institutul de calcul din Cluj
al Academiei Republicii Socialiste România