Original title (in Romanian)
O clasificare a funcțiilor Lipschitziene
Abstract
Authors
Costica Mustata
“Tiberiu Popoviciu” Institute of Numerical Analysis, Romanian Academy, Romania
Keywords
Paper coordinates
C. Mustăţa, A classification of Lipschitz functions, Rev. Anal. Numer. Teoria Approximatiei 3 (1974) 1, 107-111 (in Romanian).
About this paper
Print ISSN
Online ISSN
MR 52 #670
google scholar link
[1] Czipser, J. si Geher, L., Extension of funcitons satisfying a Lipschitz condition, Acta Math. Acad. Sci. Hungar, 6 213-220 (1955)
[2] Mustăța, C., Asupra unor spații cebîșeviene din spațiul normat al funcțiilor lipschitiziene, Revista de analiză numerică și teopria aproximației, 2, 1, 81-87, 1973.
Paper (preprint) in HTML form
O CLASIFICARE A FUNCTIILOR LIPSCHITZIENE
de
COSTICA MUSTATA
(Cluj)
- Fie XX un spatiu metric cu metrica dd. Pe XX se defineşte următoatéa multime de functii:
{:(1)X_(0)^(#)={f:X rarr R,s u p_({:[x!=y],[x","y in X]:})(|f(x)-f(y)|)/(d(x,y)) < oo,f(0)=0}:}\begin{equation*}
X_{0}^{\#}=\left\{f: X \rightarrow R, \sup _{\substack{x \neq y \\ x, y \in X}} \frac{|f(x)-f(y)|}{d(x, y)}<\infty, f(0)=0\right\} \tag{1}
\end{equation*}
unde „o" este un element fixat al spatiului metric XX.
Pentru Y sub XY \subset X, care contine cel puţin două puncte distincte se defineşte funcţionala:
Pentru Y sub XY \subset X, care contine cel puţin două puncte distincte se defineşte funcţionala:
{:(2)K_(Y)(f)=s u p_({:[x!=y],[x","y inY]:})(|f(x)-f(y)|)/(d(x,y))","quad f inX_(0)^(#).:}\begin{equation*}
K_{Y}(f)=\sup _{\substack{x \neq y \\ x, y \in \mathcal{Y}}} \frac{|f(x)-f(y)|}{d(x, y)}, \quad f \in X_{0}^{\#} . \tag{2}
\end{equation*}
Dacă Y={o}Y=\{\mathrm{o}\} punem K_(Y)(f)=0K_{Y}(f)=0 pentru orice f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}.
Mulțimea X_(0)^(#)X_{0}^{\#}, înzestrată cú operatiile obişnuite de adunare a două functii şi inmulţirea unei funcţii cu. un scalar real devine un spaţiu vectorial real.
Mulțimea X_(0)^(#)X_{0}^{\#}, înzestrată cú operatiile obişnuite de adunare a două functii şi inmulţirea unei funcţii cu. un scalar real devine un spaţiu vectorial real.
Dacă Y=XY=X, atunci functionalà (2) este o normă pe X_(0)^(#)X_{0}^{\#} şi pentru orice f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#} scriem
{:(3):.quad||f||_(X)=s u p_({:[x!=y],[x","y in X]:})(|f(x)-f(y)|)/(d(x,y)).:}\begin{equation*}
\therefore \quad\|f\|_{X}=\sup _{\substack{x \neq y \\ x, y \in X}} \frac{|f(x)-f(y)|}{d(x, y)} . \tag{3}
\end{equation*}
Spatiul vectorial X_(0)^(#)X_{0}^{\#}, înzestrat cu norma (3) îl numim spafiul normat al functiilor lipschitziene cu valori reale [2].
Fie Y sub XY \subset X cu o in Yo \in Y. Notăm
{:(4)K_(Y)(f)=||f||_(Y)" pentru orice "f inX_(0)^(#)",":}\begin{equation*}
K_{Y}(f)=\|f\|_{Y} \text { pentru orice } f \in X_{0}^{\#}, \tag{4}
\end{equation*}
{:[Y^(_|_)={f inX_(0)^(#),f|_(Y)=0}","],[(6)d(f,Y^(_|_))=i n f_(g in Y _|_)||f-g||_(X).]:}\begin{gather*}
Y^{\perp}=\left\{f \in X_{0}^{\#},\left.f\right|_{Y}=0\right\}, \\
d\left(f, Y^{\perp}\right)=\inf _{g \in Y \perp}\|f-g\|_{X} . \tag{6}
\end{gather*}
Un element g_(0)inY^(_|_)g_{0} \in Y^{\perp} pentru care infimumul din (6) este atins se numeste element de cea mai bună aproximare a lui f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#} prin elementele lui Y^(_|_)Y^{\perp}.
In lucrarea [2] sînt demonstrate următoarele:
Lema 1. Fie Y sub XY \subset X cu o in Yo \in Y. Atunci pentru orice f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#} are loc egalitatea:
(7)
Lema 1. Fie Y sub XY \subset X cu o in Yo \in Y. Atunci pentru orice f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#} are loc egalitatea:
(7)
||f||_(Y)=d(f,Y^(_|_))\|f\|_{Y}=d\left(f, Y^{\perp}\right)
teorema 1. Fie Y sub Xcuo in YY \subset X c u o \in Y. Atunci pentru orice f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#} există cel putin o functie F inX_(0)^(#)F \in X_{0}^{\#} astfel ca
(8)
(8)
f|_(Y)=F|_(Y)quad" si "quad||f||_(Y)=||F||_(X).\left.f\right|_{Y}=\left.F\right|_{Y} \quad \text { si } \quad\|f\|_{Y}=\|F\|_{X} .
O functie F inX_(0)^(##)F \in X_{0}^{\# \#} cu proprietăţile (8) se numeşte o prelungire a lui f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#} de pe YY pe XX.
Două dintre prelungirile lui f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}, în conditiile teoremei 1 sînt:
{:[(9)F_(1)(x)=i n f_(y in Y)[f(y)+||f||_(Y)d(x,y)]],[F_(2)(x)=s u p_(y in Y)[f(y)-||f||_(Y)d(x,y)]]:}\begin{align*}
& F_{1}(x)=\inf _{y \in Y}\left[f(y)+\|f\|_{Y} d(x, y)\right] \tag{9}\\
& F_{2}(x)=\sup _{y \in Y}\left[f(y)-\|f\|_{Y} d(x, y)\right]
\end{align*}
şi din felul cum sînt construite [1, pag. 214] rezultă că ele sînt respectiv cea mai mare şı cea mai mică dintre prelungirile lui ff, în sensul că orice altă prelungire FF a lui ff verifică inegalitatea
(10)
(10)
F_(2)(x) <= F(x) <= F_(1)(x),quad x in X.F_{2}(x) \leqq F(x) \leqq F_{1}(x), \quad x \in X .
Lema 2. Fie Y sub XY \subset X cu o in Yo \in Y şi f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}. Atunci orice element de cea mai bună aproximare a lui ff prin elementele lui Y^(_|_)Y^{\perp} este de forma f-Ff-F, unde FF este o prelungire a lui ff de pe YY pe XX.
Demonstratie. Oricare ar fi o prelungire FF a lui ff de pe YY pe XX, în baza lemei 1 şi a teoremei 1 avem:
||f-(f-F)||_(X)=||F||_(X)=||f||_(Y)=d(f,Y^(_|_)),\|f-(f-F)\|_{X}=\|F\|_{X}=\|f\|_{Y}=d\left(f, Y^{\perp}\right),
deci f-F inY^(_|_)f-F \in Y^{\perp} este de cea mai bună aproximare pentru ff.
Fie h inY^(_|_)h \in Y^{\perp} un element de cea mai bună aproximare a lui ff şi să presupunem că h!=f-Fh \neq f-F pentru orice prelungire FF. Aceasta înseamnă că
||f-h||_(X)=d(f,Y^(_|_))=||f||_(Y)\|f-h\|_{X}=d\left(f, Y^{\perp}\right)=\|f\|_{Y} si deoarece h inY^(_|_), quad(f-h)|_(Y)=f|_(Y)h \in Y^{\perp},\left.\quad(f-h)\right|_{Y}=\left.f\right|_{Y}. Prin urmare sînt îndeplinite conditiile (8) din Teorema 1 , adică f-hf-h este o prelungire a lui ff de pe YY pe XX. Deoarece h!=f-Fh \neq f-F pentru orice FF, atunci există cel puţin un punct x_(0)in Xx_{0} \in X pentru care, de exemplu
Fie h inY^(_|_)h \in Y^{\perp} un element de cea mai bună aproximare a lui ff şi să presupunem că h!=f-Fh \neq f-F pentru orice prelungire FF. Aceasta înseamnă că
||f-h||_(X)=d(f,Y^(_|_))=||f||_(Y)\|f-h\|_{X}=d\left(f, Y^{\perp}\right)=\|f\|_{Y} si deoarece h inY^(_|_), quad(f-h)|_(Y)=f|_(Y)h \in Y^{\perp},\left.\quad(f-h)\right|_{Y}=\left.f\right|_{Y}. Prin urmare sînt îndeplinite conditiile (8) din Teorema 1 , adică f-hf-h este o prelungire a lui ff de pe YY pe XX. Deoarece h!=f-Fh \neq f-F pentru orice FF, atunci există cel puţin un punct x_(0)in Xx_{0} \in X pentru care, de exemplu
h(x_(0)) > (f-F)(x_(0))h\left(x_{0}\right)>(f-F)\left(x_{0}\right)
adică
(f-h)(x_(0)) < F(x_(0))" pentru orice "F". "(f-h)\left(x_{0}\right)<F\left(x_{0}\right) \text { pentru orice } F \text {. }
In particular
(f-h)(x_(0)) < F_(2)(x_(0))(f-h)\left(x_{0}\right)<F_{2}\left(x_{0}\right)
ceea ce contrazice inegalitatea (10).
Analog, dacă h(x_(0)) < (f-F)(x_(0))h\left(x_{0}\right)<(f-F)\left(x_{0}\right) pentru orice FF, atunci în particular
Analog, dacă h(x_(0)) < (f-F)(x_(0))h\left(x_{0}\right)<(f-F)\left(x_{0}\right) pentru orice FF, atunci în particular
(f-h)(x_(0)) > F_(1)(x_(0))(f-h)\left(x_{0}\right)>F_{1}\left(x_{0}\right)
aeea ce, din nou contrazice inegalitatea (10). Deci pentru orice x in Xx \in X avem h(x)=(f-F)(x)h(x)=(f-F)(x).
2. În cele ce urmează vom da o clasificare a funcţiilor din X_(0)^(#)X_{0}^{\#}, în raport cu comportarea unei astfel de functii faţă de prelungirile ei, în i poteza că XX este un spatiu metric liniar real. Drept element fixat „o" luăm aici elementul nul theta\theta al spatiului liniar XX.
2. În cele ce urmează vom da o clasificare a funcţiilor din X_(0)^(#)X_{0}^{\#}, în raport cu comportarea unei astfel de functii faţă de prelungirile ei, în i poteza că XX este un spatiu metric liniar real. Drept element fixat „o" luăm aici elementul nul theta\theta al spatiului liniar XX.
Fie Y sub XY \subset X cu theta in Y\theta \in Y. Fie x in Yx \in Y. Notăm
{:(11)C_(x)=[-x","x]={y in X:y=-lambda x+(1-lambda)x","lambda in[0","1]}",":}\begin{equation*}
C_{x}=[-x, x]=\{y \in X: y=-\lambda x+(1-\lambda) x, \lambda \in[0,1]\}, \tag{11}
\end{equation*}
{:(12)Gamma_(x)=Y-C_(x).:}\begin{equation*}
\Gamma_{x}=Y-C_{x} . \tag{12}
\end{equation*}
Definiția 1. Fie Y subX^(˙)Y \subset \dot{X} cu theta in Y\theta \in Y şi f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}. Spunem că ff este inferior prelungibilă ((IP)) (respectiv superior prelungibilă ((SP))) pe YY, dacă pentru orice x in Yx \in Y si pentru orice prelungire FF a lui ff de pe C_(x)C_{x} pe XX are loc inegalitatea:
{:(13)f(y) >= F(y)(" respectiv "f(y) <= F(y)):}\begin{equation*}
f(y) \geqq F(y)(\text { respectiv } f(y) \leqq F(y)) \tag{13}
\end{equation*}
pentru orice y inGamma_(x)y \in \Gamma_{x}.
Următoarea teoremă dă o caracterizare a functiilor (IP) ((SP)) pe Ysub Xcutheta in Y\mathbb{Y} \subset X \mathrm{cu} \theta \in Y.
((SP)) pe YY dacă si numai dacă pentru orice x in Yx \in Y, multimea elementelor de cea mai bună aproximare ale lui ff prin elementele lui C_((1)/(x))C_{\frac{1}{x}} este formată din elemente nenegative (nepozitive) pe YY.
Următoarea teoremă dă o caracterizare a functiilor (IP) ((SP)) pe Ysub Xcutheta in Y\mathbb{Y} \subset X \mathrm{cu} \theta \in Y.
((SP)) pe YY dacă si numai dacă pentru orice x in Yx \in Y, multimea elementelor de cea mai bună aproximare ale lui ff prin elementele lui C_((1)/(x))C_{\frac{1}{x}} este formată din elemente nenegative (nepozitive) pe YY.Demonstrație. Rezultă din definiția 1 şi lema 2.
O proprietate a funcţiilor (IP) ((SP)) este cuprinsă în
Lema 3. Fie Y sub X,theta in YY \subset X, \theta \in Y şi Y!={theta}Y \neq\{\theta\}. Dacă f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#} este (IP) ((SP)) pe YY, atunci f >= Phi(f <= Phi)f \geqq \Phi(f \leqq \Phi) pe YY, unde Phi\Phi este elementul nul al spatiului X_(0)^(#)X_{0}^{\#}.
O proprietate a funcţiilor (IP) ((SP)) este cuprinsă în
Lema 3. Fie Y sub X,theta in YY \subset X, \theta \in Y şi Y!={theta}Y \neq\{\theta\}. Dacă f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#} este (IP) ((SP)) pe YY, atunci f >= Phi(f <= Phi)f \geqq \Phi(f \leqq \Phi) pe YY, unde Phi\Phi este elementul nul al spatiului X_(0)^(#)X_{0}^{\#}.
Demonstrafie. Dacă f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#} este (IP) pe Y sub XY \subset X cu proprietătile din enunţ, luînd C_(0)={theta}C_{0}=\{\theta\}, deoarece f|_({theta})= Phi|_({theta})\left.f\right|_{\{\theta\}}=\left.\Phi\right|_{\{\theta\}}, rezultă că ||f||_(c_(0))=0\|f\|_{c_{0}}=0. In acest caz, prelungirea lui ff de pe {theta}\{\theta\} pe XX este unică si anume este Phi\Phi; deoarece ff este (IP) pe YY avem f|_(Y) >= Phi|_(Y)\left.f\right|_{Y} \geqq\left.\Phi\right|_{Y}. Pentru functiile (SP) pe YY, demonstratia este analogă.
teorema 3. Fie Y sub XY \subset X inchisă, Y!={theta},theta in YY \neq\{\theta\}, \theta \in Y și f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}, (IP) pe Y. Dacă există x_(0)in Y,x_(0)!=thetax_{0} \in Y, x_{0} \neq \theta, astfel ca f(x_(0))=0f\left(x_{0}\right)=0, alunci f=Phif=\Phi pe [-x_(0),x_(0)]nn Y\left[-x_{0}, x_{0}\right] \cap Y.
teorema 3. Fie Y sub XY \subset X inchisă, Y!={theta},theta in YY \neq\{\theta\}, \theta \in Y și f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}, (IP) pe Y. Dacă există x_(0)in Y,x_(0)!=thetax_{0} \in Y, x_{0} \neq \theta, astfel ca f(x_(0))=0f\left(x_{0}\right)=0, alunci f=Phif=\Phi pe [-x_(0),x_(0)]nn Y\left[-x_{0}, x_{0}\right] \cap Y.
Demonstrafie. Dacă f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#} este (IP) pe YY, conform lemei 3 avem că f >= Phif \geqq \Phi pe YY. Fie x_(0)in Y,x_(0)!=thetax_{0} \in Y, x_{0} \neq \theta şi astfel că f(x_(0))=0f\left(x_{0}\right)=0. Considerăm multimea H=[-x_(0),x_(0)]nn YH=\left[-x_{0}, x_{0}\right] \cap Y. Deoarece YY este o multime închisă și [ -x_(0),x_(0)-x_{0}, x_{0} ] este o muļime compactă, rezultă că multimea HH este compactă ; atunci funcţia f|_(H)\left.f\right|_{H} işi atinge marginile pe HH. Fie y_(0)in Hy_{0} \in H astfel că
f(y_(0))=max_(y in H)f(y) >= 0f\left(y_{0}\right)=\max _{y \in H} f(y) \geqq 0
Dacă f(y_(0))=0f\left(y_{0}\right)=0 atunci, evident f-=Phif \equiv \Phi pe HH. Să presupunem deci că f(y_(0)) > 0f\left(y_{0}\right)>0, Atunci considerăm segmentul C_(y_(0))=[-y_(0),y_(0)]C_{y_{0}}=\left[-y_{0}, y_{0}\right]. Evident
In punctul x_(0)x_{0} avem
||f||_(C_(y_(0))) >= (|f(0)-f(y_(0))|)/(d(0,y_(0))) > 0\|f\|_{C_{y_{0}}} \geqq \frac{\left|f(0)-f\left(y_{0}\right)\right|}{d\left(0, y_{0}\right)}>0
{:[f(x_(0))-i n f_(z inC_(y_(0)))[f(z)+||f||_(C_(y_(0)))d(x_(0),z)] <= ],[ <= -min_(z inC_(y_(0)))f(z)-||f||_(C_(y_(0)))*i n f_(z inC_(y_(0)))d(x_(0),z)=],[=-||f||_(C_(y_(0)))*i n f_(z inC_(x_(0)))d(x_(0),z) < 0]:}\begin{gathered}
f\left(x_{0}\right)-\inf _{z \in C_{y_{0}}}\left[f(z)+\|f\|_{C_{y_{0}}} d\left(x_{0}, z\right)\right] \leqq \\
\leqq-\min _{z \in C_{y_{0}}} f(z)-\|f\|_{C_{y_{0}}} \cdot \inf _{z \in C_{y_{0}}} d\left(x_{0}, z\right)= \\
=-\|f\|_{C_{y_{0}}} \cdot \inf _{z \in C_{x_{0}}} d\left(x_{0}, z\right)<0
\end{gathered}
Deci 0=f(x_(0)) < F_(1)(x_(0))0=f\left(x_{0}\right)<F_{1}\left(x_{0}\right), ceea ce contrazice faptul că ff este (IP) pe YY. Pentru functiile (SP) pe YY demonstratia este analogă.
UNE CLASSIFICATION DES FONCTIONS LIPSCHITZIENNES
RÁSUMÊ
Dans cette note on présente une classification des fonctions lipschitziennes à valeurs réelles définies sur un espace métrique linéaire réel, par rapport au comportement d'une telle fonction envers ses prolongements. On définit les fonctions prolongeables inférieurement (IP) et prolongeables supérieurement ( SP ) sur un sousensemble YY de XX avec theta in Y\theta \in Y. On présente un théorème de caractérisation des fonctions (IP) ((SP)) et deux propriétés dont ces fonctions jouissent.
BIBLIOGRAFIE;
[1] Czipser J. şi Gehér L., Extension of functions satisfying a Lipschitz condilion. Acta Math. Acad. Sci. Hungar, 6, 213-220213-220 (1955).
[2] Mustăţa C., Asupra unor subspatii cebîseviene din spatiul normat al functiilor lipschitziene, Revista de analiză numerică şi teoria aproximației, 2, 1, 81-87 (1973).
[2] Mustăţa C., Asupra unor subspatii cebîseviene din spatiul normat al functiilor lipschitziene, Revista de analiză numerică şi teoria aproximației, 2, 1, 81-87 (1973).
Primit la 2. IV. 1973.
Institutul de calcul din Cluj
al Academiei Republicii Socialiste România
Institutul de calcul din Cluj
al Academiei Republicii Socialiste România