A monotony property of the best approximation operator in the space of Lipschitz functions

Costica Mustata
(original), Approximation Theory, best approximation, paper

Original title (in Romanian)

O proprietate de monotonie a operatorului de cea mai bună aproximare, în spațiul funcțiilor lipschitziene

Abstract

Authors

Costica Mustata
“Tiberiu Popoviciu” Institute of Numerical Analysis, Romanian Academy, Romania

Keywords

Paper coordinates

C. Mustăţa, A monotony property of the best approximation operator in the space of Lipschitz functions, Rev. Anal. Numer. Teoria Approximatiei 3 (1974) 2, 153-160 (in Romanian).

PDF

https://ictp.acad.ro/wp-content/uploads/2025/07/1974-Mustata-Rev.-An.-Num.-T.-Aprox.-A-monotony-property-of-the-best-approximation-operator-in-Romanian.pdf

About this paper

Journal
Publisher Name
DOI

https://ictp.acad.ro/ranta-ro-72-74/journal/article/view/53

Print ISSN
Online ISSN

MR57 # 6945

google scholar link

[1] Arens, R.F., Eells, J. Jr., On embedding uniform and topological spaces, Pacific J. of Math., 6, 3, 397-405 (1956).
[2] Czipser, J., Geher, L., Extension of funcitons satisfying a Lipschitz condition. Acta Math. Acad. Sci. Hungar, 6, 213-220 (1955).
[3] Johnson, J.A., Banach spaces of Lipschitz functions and vector-valued Lipschitz functions, Trans. Amer. Math. Soc., 148, 1, 147-171 (1970).
[4] Mustata, C., Asupra unor subspații cebișeviene din spațiul normat al funcțiilor lipschitziene. Revista de analiză numerică și teroia aproximației, 2, 1, 81-87 (1973).
[5] Pantelidis, G., Approximationstherie fur metrische lineare Raume, Math. Ann., 184, 30-48 (1969).
[6] Ruess, W., Ein Dualkegel fur p-konvexe topologische lineare Raume, Gesellschaft fur Math. und Datenverarbeitung, Bonn, 60 (1972).
[7] Schwartz, L., Analiz. I. Moskva, (1972).

Paper (preprint) in HTML form

1974-Mustata-Rev.-An.-Num.-T.-Aprox.-A-monotony-property-of-the-best-approximation-operator-in-Roman

O PROPRIETATE DE MONOTONIE A OPERATORULUI DE CEA MAI BUNĂ APROXIMARE, ÎN SPAȚIUL, FUNCȚIILOR LIPSCHITZIENE

de COSTICĂ MUSTĂŢA
(Cluj)
  1. Fie ( X , d X , d X,dX, dX,d ) un spaţiu metric liniar real, cu metrica d d ddd invariantă 1a translații și următoarele mulțimi de funcții definite pe X X XXX, ([4], [5]) :
(1) X 0 # = { f ∣ f : X → R , sup x ≠ y x , y ∈ X | f ( x ) − f ( y ) | d ( x , y ) < ∞ , f ( θ ) = 0 } C X = { f ∣ f : X → R , sup x ≠ θ x ∈ X | f ( x ) | d ( x , θ ) < ∞ , f ( θ ) = 0 şi pentru orice x , y ∈ X , f ( x + y ) ⩽ f ( x ) + f ( y ) } (1) X 0 # = f ∣ f : X → R , sup x ≠ y x , y ∈ X   | f ( x ) − f ( y ) | d ( x , y ) < ∞ , f ( θ ) = 0 C X = f ∣ f : X → R , sup x ≠ θ x ∈ X   | f ( x ) | d ( x , θ ) < ∞ , f ( θ ) = 0  şi pentru   orice  x , y ∈ X , f ( x + y ) ⩽ f ( x ) + f ( y ) } {:[(1)X_(0)^(#)={f∣f:X rarr R,s u p_({:[x!=y],[x","y in X]:})(|f(x)-f(y)|)/(d(x,y)) < oo,f(theta)=0}],[C_(X)={f∣f:X rarr R,s u p_({:[x!=theta],[x in X]:})(|f(x)|)/(d(x,theta)) < oo,f(theta)=0:}" şi pentru "],[" orice "x","y in X","quad f(x+y) <= f(x)+f(y)}]:}\begin{align*} X_{0}^{\#} & =\left\{f \mid f: X \rightarrow R, \sup _{\substack{x \neq y \\ x, y \in X}} \frac{|f(x)-f(y)|}{d(x, y)}<\infty, f(\theta)=0\right\} \tag{1}\\ C_{X} & =\left\{f \mid f: X \rightarrow R, \sup _{\substack{x \neq \theta \\ x \in X}} \frac{|f(x)|}{d(x, \theta)}<\infty, f(\theta)=0\right. \text { şi pentru } \\ & \text { orice } x, y \in X, \quad f(x+y) \leqslant f(x)+f(y)\} \end{align*}(1)X0#={f∣f:X→R,supx≠yx,y∈X|f(x)−f(y)|d(x,y)<∞,f(θ)=0}CX={f∣f:X→R,supx≠θx∈X|f(x)|d(x,θ)<∞,f(θ)=0 şi pentru  orice x,y∈X,f(x+y)⩽f(x)+f(y)}
Mulțimea X 0 # X 0 # X_(0)^(#)X_{0}^{\#}X0# se poate înzestra cu o structură de spațiu vectorial real, în mod obişnuit.
Fie Y Y YYY un subspatiu liniar nenul al lui X X XXX. Definim functionala ‖ . ‖ Y ‖ . ‖ Y ||.||_(Y)\|.\|_{Y}‖.‖Y : X 0 # → R X 0 # → R X_(0)^(#)rarr RX_{0}^{\#} \rightarrow RX0#→R prin
(3) ‖ f ‖ Y = sup x ≠ y x , y ∈ Y | f ( x ) − f ( y ) | d ( x , y ) , f ∈ X 0 # , (3) ‖ f ‖ Y = sup x ≠ y x , y ∈ Y   | f ( x ) − f ( y ) | d ( x , y ) , f ∈ X 0 # , {:(3)||f||_(Y)=s u p_({:[x!=y],[x","y in Y]:})(|f(x)-f(y)|)/(d(x,y))","f inX_(0)^(#)",":}\begin{equation*} \|f\|_{Y}=\sup _{\substack{x \neq y \\ x, y \in Y}} \frac{|f(x)-f(y)|}{d(x, y)}, f \in X_{0}^{\#}, \tag{3} \end{equation*}(3)‖f‖Y=supx≠yx,y∈Y|f(x)−f(y)|d(x,y),f∈X0#,
care, în particular, pentru Y = X Y = X Y=XY=XY=X este o normă pe X 0 # X 0 # X_(0)^(#)X_{0}^{\#}X0# și spațiul normat ( X 0 # , ‖ ⋅ ‖ X X 0 # , ‖ ⋅ ‖ X X_(0)^(#),||*||_(X)X_{0}^{\#},\|\cdot\|_{X}X0#,‖⋅‖X ) este izomorf și izometric cu dualul unui spațiu Banach ([1],[3]).
Are loc următoarea lemă:
Lema 1. Mulțimea C X C X C_(X)C_{X}CX este un con convex din X 0 # X 0 # X_(0)^(#)X_{0}^{\#}X0#. Dacă f f fff este un element din C X C X C_(X)C_{X}CX, atunci
(4) sup x ≠ 0 x ∈ X | f ( x ) | d ( x , θ ) = ‖ f ‖ X (4) sup x ≠ 0 x ∈ X   | f ( x ) | d ( x , θ ) = ‖ f ‖ X {:(4)s u p_({:[x!=0],[x in X]:})(|f(x)|)/(d(x,theta))=||f||_(X):}\begin{equation*} \sup _{\substack{x \neq 0 \\ x \in X}} \frac{|f(x)|}{d(x, \theta)}=\|f\|_{X} \tag{4} \end{equation*}(4)supx≠0x∈X|f(x)|d(x,θ)=‖f‖X
Demonstrație. Faptul că mulţimea C X C X C_(X)C_{X}CX este un con convex este demonstrat în [5]. Să arătăm că C X ⊂ X 0 # C X ⊂ X 0 # C_(X)subX_(0)^(#)C_{X} \subset X_{0}^{\#}CX⊂X0#. Fie f ∈ C X f ∈ C X f inC_(X)f \in C_{X}f∈CX. Atunci, pentru orice x ∈ X x ∈ X x in Xx \in Xx∈X, x ≠ θ x ≠ θ x!=thetax \neq \thetax≠θ avem :
| f ( x ) | d ( x , θ ) ≦ sup x ≠ θ x ∈ X | f ( x ) | d ( x , θ ) = M ( f ) < ∞ | f ( x ) | d ( x , θ ) ≦ sup x ≠ θ x ∈ X   | f ( x ) | d ( x , θ ) = M ( f ) < ∞ (|f(x)|)/(d(x,theta)) <= s u p_({:[x!=theta],[x in X]:})(|f(x)|)/(d(x,theta))=M(f) < oo\frac{|f(x)|}{d(x, \theta)} \leqq \sup _{\substack{x \neq \theta \\ x \in X}} \frac{|f(x)|}{d(x, \theta)}=M(f)<\infty|f(x)|d(x,θ)≦supx≠θx∈X|f(x)|d(x,θ)=M(f)<∞
adică | f ( x ) | ≦ M ( f ) ⋅ d ( x , θ ) | f ( x ) | ≦ M ( f ) ⋅ d ( x , θ ) |f(x)| <= M(f)*d(x,theta)|f(x)| \leqq M(f) \cdot d(x, \theta)|f(x)|≦M(f)⋅d(x,θ). Deoarece f ( x + y ) ≦ f ( x ) + f ( y ) f ( x + y ) ≦ f ( x ) + f ( y ) f(x+y) <= f(x)+f(y)f(x+y) \leqq f(x)+f(y)f(x+y)≦f(x)+f(y) şi metrica d d ddd este invariantă la translaţii avem :
f ( x ) − f ( y ) ≦ f ( x − y ) ≦ | f ( x − y ) | ≦ M ( f ) ⋅ d ( x − y , θ ) = M ( f ) ⋅ d ( x , y ) f ( x ) − f ( y ) ≦ f ( x − y ) ≦ | f ( x − y ) | ≦ M ( f ) ⋅ d ( x − y , θ ) = M ( f ) ⋅ d ( x , y ) f(x)-f(y) <= f(x-y) <= |f(x-y)| <= M(f)*d(x-y,theta)=M(f)*d(x,y)f(x)-f(y) \leqq f(x-y) \leqq|f(x-y)| \leqq M(f) \cdot d(x-y, \theta)=M(f) \cdot d(x, y)f(x)−f(y)≦f(x−y)≦|f(x−y)|≦M(f)⋅d(x−y,θ)=M(f)⋅d(x,y)
şi
f ( x ) − f ( y ) ≧ − f ( y − x ) ≧ − | f ( y − x ) | ≧ − M ( f ) ⋅ d ( x , y ) f ( x ) − f ( y ) ≧ − f ( y − x ) ≧ − | f ( y − x ) | ≧ − M ( f ) ⋅ d ( x , y ) f(x)-f(y) >= -f(y-x) >= -|f(y-x)| >= -M(f)*d(x,y)f(x)-f(y) \geqq-f(y-x) \geqq-|f(y-x)| \geqq-M(f) \cdot d(x, y)f(x)−f(y)≧−f(y−x)≧−|f(y−x)|≧−M(f)⋅d(x,y)
de unde deducem că | f ( x ) − f ( y ) | ≦ M ( f ) ⋅ d ( x , y ) | f ( x ) − f ( y ) | ≦ M ( f ) ⋅ d ( x , y ) |f(x)-f(y)| <= M(f)*d(x,y)|f(x)-f(y)| \leqq M(f) \cdot d(x, y)|f(x)−f(y)|≦M(f)⋅d(x,y), de unde, pentru x ≠ y x ≠ y x!=yx \neq yx≠y avem
‖ f ‖ X = sup x ≠ y x 1 y ∈ X | f ( x ) − f ( y ) | d ( x , y ) ≦ M ( f ) ‖ f ‖ X = sup x ≠ y x 1 y ∈ X   | f ( x ) − f ( y ) | d ( x , y ) ≦ M ( f ) ||f||_(X)=s u p_({:[x!=y],[x_(1)y in X]:})(|f(x)-f(y)|)/(d(x,y)) <= M(f)\|f\|_{X}=\sup _{\substack{x \neq y \\ x_{1} y \in X}} \frac{|f(x)-f(y)|}{d(x, y)} \leqq M(f)‖f‖X=supx≠yx1y∈X|f(x)−f(y)|d(x,y)≦M(f)
adică f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0# şi în plus ‖ f ‖ X ≦ sup x # θ x ∈ X | f ( x ) | d ( x , θ ) ‖ f ‖ X ≦ sup x # θ x ∈ X   | f ( x ) | d ( x , θ ) ||f||_(X) <= s u p_({:[x#theta],[x in X]:})(|f(x)|)/(d(x,theta))\|f\|_{X} \leqq \sup _{\substack{x \# \theta \\ x \in X}} \frac{|f(x)|}{d(x, \theta)}‖f‖X≦supx#θx∈X|f(x)|d(x,θ).
Pe de altă parte, pentru orice x ∈ X , x ≠ θ x ∈ X , x ≠ θ x in X,x!=thetax \in X, x \neq \thetax∈X,x≠θ avem
sup x ≠ θ x ∈ X | f ( x ) | d ( x , θ ) = sup x ≠ θ x ∈ X | f ( x ) − f ( θ ) | d ( x , θ ) ≦ sup x ≠ y x , y ∈ X | f ( x ) − f ( y ) | d ( x , y ) = ‖ f ‖ X sup x ≠ θ x ∈ X   | f ( x ) | d ( x , θ ) = sup x ≠ θ x ∈ X   | f ( x ) − f ( θ ) | d ( x , θ ) ≦ sup x ≠ y x , y ∈ X   | f ( x ) − f ( y ) | d ( x , y ) = ‖ f ‖ X s u p_({:[x!=theta],[x in X]:})(|f(x)|)/(d(x,theta))=s u p_({:[x!=theta],[x in X]:})(|f(x)-f(theta)|)/(d(x,theta)) <= s u p_({:[x!=y],[x","y in X]:})(|f(x)-f(y)|)/(d(x,y))=||f||_(X)\sup _{\substack{x \neq \theta \\ x \in X}} \frac{|f(x)|}{d(x, \theta)}=\sup _{\substack{x \neq \theta \\ x \in X}} \frac{|f(x)-f(\theta)|}{d(x, \theta)} \leqq \sup _{\substack{x \neq y \\ x, y \in X}} \frac{|f(x)-f(y)|}{d(x, y)}=\|f\|_{X}supx≠θx∈X|f(x)|d(x,θ)=supx≠θx∈X|f(x)−f(θ)|d(x,θ)≦supx≠yx,y∈X|f(x)−f(y)|d(x,y)=‖f‖X
şi lema este demonstrată.
2. Vom nota
(5) X 0 s = C X − C X (5) X 0 s = C X − C X {:(5)X_(0)^(s)=C_(X)-C_(X):}\begin{equation*} X_{0}^{s}=C_{X}-C_{X} \tag{5} \end{equation*}(5)X0s=CX−CX
spatiul generat de conul convex C X C X C_(X)C_{X}CX, iar dacă Y Y YYY este un subspaţiu liniar nenul al lui X X XXX şi f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0# vom nota cu f | Y f Y f|_(Y)\left.f\right|_{Y}f|Y restricţia lui f f fff pe subspaţiul Y Y YYY şi
(6) Y X 0 # ⊥ = { f | f ∈ X 0 # , f | Y = 0 } (7) Y X 0 s ⊥ = { f | f ∈ X 0 s , f | Y = 0 } (6) Y X 0 # ⊥ = f f ∈ X 0 # , f Y = 0 (7) Y X 0 s ⊥ = f f ∈ X 0 s , f Y = 0 {:[(6)Y_(X_(0)^(#))^(_|_)={f|f inX_(0)^(#),f|_(Y)=0}],[(7)Y_(X_(0)^(s))^(_|_)={f|f inX_(0)^(s),f|_(Y)=0}]:}\begin{align*} & Y_{X_{0}^{\#}}^{\perp}=\left\{f\left|f \in X_{0}^{\#}, f\right|_{Y}=0\right\} \tag{6}\\ & Y_{X_{0}^{s}}^{\perp}=\left\{f\left|f \in X_{0}^{s}, f\right|_{Y}=0\right\} \tag{7} \end{align*}(6)YX0#⊥={f|f∈X0#,f|Y=0}(7)YX0s⊥={f|f∈X0s,f|Y=0}
Deoarece X 0 s ⊂ X 0 # X 0 s ⊂ X 0 # X_(0)^(s)subX_(0)^(#)X_{0}^{s} \subset X_{0}^{\#}X0s⊂X0# rezultă că Y X 0 s L s ⊂ Y X 0 # # # Y X 0 s L s ⊂ Y X 0 # # # Y_(X_(0)^(s))^(L_(s))subY_(X_(0)^(#))^(#^(#))Y_{X_{0}^{s}}^{L_{s}} \subset Y_{X_{0}^{\#}}^{\#^{\#}}YX0sLs⊂YX0###.
În lucrarea [5] este demonstrată următoarea teoremă:
teorema 1. Fie Y Y YYY un subspatiu nenul al lui X X XXX și f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0#. Atunci, pentru f | Y f Y f|_(Y)\left.f\right|_{Y}f|Y există F ∈ X 0 # F ∈ X 0 # F inX_(0)^(#)F \in X_{0}^{\#}F∈X0# astfel ca
a) f | Y = F | Y f Y = F Y f|_(Y)=F|_(Y)\left.f\right|_{Y}=\left.F\right|_{Y}f|Y=F|Y
b) ‖ f ‖ Y = ‖ F ‖ X ‖ f ‖ Y = ‖ F ‖ X ||f||_(Y)=||F||_(X)\|f\|_{Y}=\|F\|_{X}‖f‖Y=‖F‖X.
Două dintre funcţiile care verifică proprietăţile a) şi b) (vezi [2]) sînt:
F i = inf y ∈ Y [ f ( y ) + ‖ f ‖ Y ⋅ d ( . , y ) ] , F i = inf y ∈ Y   f ( y ) + ‖ f ‖ Y ⋅ d ( . , y ) , F_(i)=i n f_(y in Y)[f(y)+||f||_(Y)*d(.,y)],F_{i}=\inf _{y \in Y}\left[f(y)+\|f\|_{Y} \cdot d(., y)\right],Fi=infy∈Y[f(y)+‖f‖Y⋅d(.,y)],
(8)
F s = sup y ∈ Y [ f ( y ) − ‖ f ‖ Y d ( . , y ) ] . F s = sup y ∈ Y   f ( y ) − ‖ f ‖ Y d ( . , y ) . F_(s)=s u p_(y in Y)[f(y)-||f||_(Y)d(.,y)].F_{s}=\sup _{y \in Y}\left[f(y)-\|f\|_{Y} d(., y)\right] .Fs=supy∈Y[f(y)−‖f‖Yd(.,y)].
Pentru f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0# şi Y Y YYY subspaţiu nenul al lui X X XXX, vom nota
(9) P L Y ( f ) = { F | F ∈ X 0 # , f | Y = F | Y și ‖ f ‖ Y = ‖ F ‖ X } . (9) P L Y ( f ) = F F ∈ X 0 # , f Y = F Y  și  ‖ f ‖ Y = ‖ F ‖ X . {:(9)P_(L)^(Y)(f)={F|F inX_(0)^(#),f|_(Y)=F|_(Y)" și "||f||_(Y)=||F||_(X)}.:}\begin{equation*} P_{L}^{Y}(f)=\left\{F\left|F \in X_{0}^{\#}, f\right|_{Y}=\left.F\right|_{Y} \text { și }\|f\|_{Y}=\|F\|_{X}\right\} . \tag{9} \end{equation*}(9)PLY(f)={F|F∈X0#,f|Y=F|Y și ‖f‖Y=‖F‖X}.
L 1 e m L 1 e m L_(1)em\mathrm{L}_{1} \mathrm{e} \mathrm{m}L1em a 2. Fie f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0# şi Y Y YYY subspatiu nenul al lui X X XXX. Atunci oricare ar fi F ∈ P L Y ( f ) F ∈ P L Y ( f ) F inP_(L)^(Y)(f)F \in P_{L}^{Y}(f)F∈PLY(f) au loc inegalitătile:
(10) F s ( x ) ≦ F ( x ) ≦ F i ( x ) pentru orice x ∈ X (10) F s ( x ) ≦ F ( x ) ≦ F i ( x )  pentru orice  x ∈ X {:(10)F_(s)(x) <= F(x) <= F_(i)(x)" pentru orice "x in X:}\begin{equation*} F_{s}(x) \leqq F(x) \leqq F_{i}(x) \text { pentru orice } x \in X \tag{10} \end{equation*}(10)Fs(x)≦F(x)≦Fi(x) pentru orice x∈X
Demonstratie. Fie F ∈ P L Y ( f ) F ∈ P L Y ( f ) F inP_(L)^(Y)(f)F \in P_{L}^{Y}(f)F∈PLY(f)
Vom arằta că F ( x ) ≦ F i ( x ) F ( x ) ≦ F i ( x ) F(x) <= F_(i)(x)F(x) \leqq F_{i}(x)F(x)≦Fi(x), pentru orice x ∈ X x ∈ X x in Xx \in Xx∈X.
Să presupunem contrariul, adică că există x 0 ∈ X x 0 ∈ X x_(0)in Xx_{0} \in Xx0∈X astfel ca F ( x 0 ) >> F i ( x 0 ) F x 0 >> F i x 0 F(x_(0))>>F_(i)(x_(0))F\left(x_{0}\right)> >F_{i}\left(x_{0}\right)F(x0)>>Fi(x0). Dacă x 0 ∈ Y x 0 ∈ Y x_(0)in Yx_{0} \in Yx0∈Y atunci, deoarece F | Y = F i | Y = f | Y F Y = F i Y = f Y F|_(Y)=F_(i)|_(Y)=f|_(Y)\left.F\right|_{Y}=\left.F_{i}\right|_{Y}=\left.f\right|_{Y}F|Y=Fi|Y=f|Y rezultă că F ( x 0 ) == F i ( x 0 ) F x 0 == F i x 0 F(x_(0))==F_(i)(x_(0))F\left(x_{0}\right)= =F_{i}\left(x_{0}\right)F(x0)==Fi(x0), deci avem o contradicție. Dacă x 0 ∈ Y ¯ x 0 ∈ Y ¯ x_(0)in bar(Y)x_{0} \in \bar{Y}x0∈Y¯, aplicînd Teorema 45 din [7] pag. 104 deducem că F i ( x 0 ) = F ( x 0 ) F i x 0 = F x 0 F_(i)(x_(0))=F(x_(0))F_{i}\left(x_{0}\right)=F\left(x_{0}\right)Fi(x0)=F(x0), din nou contradicție.
Fie x 0 ∈ X − Y ¯ x 0 ∈ X − Y ¯ x_(0)in X- bar(Y)x_{0} \in X-\bar{Y}x0∈X−Y¯, aceasta înseamnă că oarecare ar fi y ∈ Y , d ( x 0 , y ) > 0 y ∈ Y , d x 0 , y > 0 y in Y,d(x_(0),y) > 0y \in Y, d\left(x_{0}, y\right)>0y∈Y,d(x0,y)>0. Dacă F i ( x 0 ) < F ( x 0 ) F i x 0 < F x 0 F_(i)(x_(0)) < F(x_(0))F_{i}\left(x_{0}\right)<F\left(x_{0}\right)Fi(x0)<F(x0), atunci există y 0 ∈ Y ¯ y 0 ∈ Y ¯ y_(0)in bar(Y)y_{0} \in \bar{Y}y0∈Y¯ astfel ca
f ( y 0 ) + ‖ f ‖ Y d ( x 0 , y 0 ) < F ( x 0 ) f y 0 + ‖ f ‖ Y d x 0 , y 0 < F x 0 f(y_(0))+||f||_(Y)d(x_(0),y_(0)) < F(x_(0))f\left(y_{0}\right)+\|f\|_{Y} d\left(x_{0}, y_{0}\right)<F\left(x_{0}\right)f(y0)+‖f‖Yd(x0,y0)<F(x0)
de unde deducem că
f ( y 0 ) − F ( x 0 ) d ( x 0 , y 0 ) < − ‖ f ‖ Y f y 0 − F x 0 d x 0 , y 0 < − ‖ f ‖ Y (f(y_(0))-F(x_(0)))/(d(x_(0),y_(0))) < -||f||_(Y)\frac{f\left(y_{0}\right)-F\left(x_{0}\right)}{d\left(x_{0}, y_{0}\right)}<-\|f\|_{Y}f(y0)−F(x0)d(x0,y0)<−‖f‖Y
sau
F ( y 0 ) − F ( x 0 ) d ( x 0 , y 0 ) < − ‖ f ‖ Y F y 0 − F x 0 d x 0 , y 0 < − ‖ f ‖ Y (F(y_(0))-F(x_(0)))/(d(x_(0),y_(0))) < -||f||_(Y)\frac{F\left(y_{0}\right)-F\left(x_{0}\right)}{d\left(x_{0}, y_{0}\right)}<-\|f\|_{Y}F(y0)−F(x0)d(x0,y0)<−‖f‖Y
Pe de altă parte ‖ F ‖ X = sup x ≠ y x , y ∈ X | F ( x ) − F ( y ) | d ( x , y ) ≧ | F ( y 0 ) − F ( x 0 ) | d ( x 0 , y 0 ) ≧ F ( x 0 ) − F ( y 0 ) d ( x 0 , y 0 ) ‖ F ‖ X = sup x ≠ y x , y ∈ X   | F ( x ) − F ( y ) | d ( x , y ) ≧ F y 0 − F x 0 d x 0 , y 0 ≧ F x 0 − F y 0 d x 0 , y 0 ||F||_(X)=s u p_({:[x!=y],[x","y in X]:})(|F(x)-F(y)|)/(d(x,y)) >= (|F(y_(0))-F(x_(0))|)/(d(x_(0),y_(0))) >= (F(x_(0))-F(y_(0)))/(d(x_(0),y_(0)))\|F\|_{X}=\sup _{\substack{x \neq y \\ x, y \in X}} \frac{|F(x)-F(y)|}{d(x, y)} \geqq \frac{\left|F\left(y_{0}\right)-F\left(x_{0}\right)\right|}{d\left(x_{0}, y_{0}\right)} \geqq \frac{F\left(x_{0}\right)-F\left(y_{0}\right)}{d\left(x_{0}, y_{0}\right)}‖F‖X=supx≠yx,y∈X|F(x)−F(y)|d(x,y)≧|F(y0)−F(x0)|d(x0,y0)≧F(x0)−F(y0)d(x0,y0),
de unde deducem că
− ‖ F ‖ X ⩽ F ( y 0 ) − F ( x 0 ) d ( x 0 , y 0 ) < − ‖ f ‖ Y − ‖ F ‖ X ⩽ F y 0 − F x 0 d x 0 , y 0 < − ‖ f ‖ Y -||F||_(X) <= (F(y_(0))-F(x_(0)))/(d(x_(0),y_(0))) < -||f||_(Y)-\|F\|_{X} \leqslant \frac{F\left(y_{0}\right)-F\left(x_{0}\right)}{d\left(x_{0}, y_{0}\right)}<-\|f\|_{Y}−‖F‖X⩽F(y0)−F(x0)d(x0,y0)<−‖f‖Y
adică ‖ F ‖ X > ‖ f ‖ Y ‖ F ‖ X > ‖ f ‖ Y ||F||_(X) > ||f||_(Y)\|F\|_{X}>\|f\|_{Y}‖F‖X>‖f‖Y, ceeace contrazice (9).
Analog se arată că F s ( x ) ≦ F ( x ) F s ( x ) ≦ F ( x ) F_(s)(x) <= F(x)F_{s}(x) \leqq F(x)Fs(x)≦F(x) pentru orice x ∈ X x ∈ X x in Xx \in Xx∈X și lema e demonstrată.
Le ma 3. Fie Y Y YYY un subspaţiu liniar nenul al lui X X XXX şi f ∈ C X f ∈ C X f inC_(X)f \in C_{X}f∈CX, Atunci, pentru f | Y f Y f|_(Y)\left.f\right|_{Y}f|Y există F ∈ C X F ∈ C X F inC_(X)F \in C_{X}F∈CX astfel ca
a ′ ) f | Y = F | Y a ′ f Y = F Y {:a^('))f|_(Y)=F|_(Y)\left.\mathrm{a}^{\prime}\right)\left.f\right|_{Y}=\left.F\right|_{Y}a′)f|Y=F|Y
b') ‖ f ‖ Y = ‖ F ‖ X ‖ f ‖ Y = ‖ F ‖ X ||f||_(Y)=||F||_(X)\|f\|_{Y}=\|F\|_{X}‖f‖Y=‖F‖X
Demonstratie. Deoarece C X ⊂ X 0 # C X ⊂ X 0 # C_(X)subX_(0)^(#)C_{X} \subset X_{0}^{\#}CX⊂X0# (conform lemei 1) rezultă că pentru f | Y f Y f|_(Y)\left.f\right|_{Y}f|Y există cel puțin o prelungire cu proprietățile a ′ a ′ a^(')a^{\prime}a′ ) și b ′ b ′ b^(')b^{\prime}b′ ) (conform Teoremei 1). Să arătăm că există cel puțin o prelungire care este chiar din C X C X C_(X)C_{X}CX. Intradevăr
F i = inf y ∈ Y [ f ( y ) + ‖ f ‖ Y ⋅ d ( . , y ) ] F i = inf y ∈ Y   f ( y ) + ‖ f ‖ Y ⋅ d ( . , y ) F_(i)=i n f_(y in Y)[f(y)+||f||_(Y)*d(.,y)]F_{i}=\inf _{y \in Y}\left[f(y)+\|f\|_{Y} \cdot d(., y)\right]Fi=infy∈Y[f(y)+‖f‖Y⋅d(.,y)]
este din C X C X C_(X)C_{X}CX; pentru orice x 1 , x 2 ∈ X x 1 , x 2 ∈ X x_(1),x_(2)in Xx_{1}, x_{2} \in Xx1,x2∈X şi orice y 1 , y 2 ∈ Y y 1 , y 2 ∈ Y y_(1),y_(2)in Yy_{1}, y_{2} \in Yy1,y2∈Y avem
F ( x 1 + x 2 ) ≦ f ( y 1 + y 2 ) + ‖ f ‖ Y ⋅ d ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) ≦ f ( y 1 ) + f ( y 2 ) + ‖ f ‖ Y ⋅ d ( x 1 − y 1 , y 2 − x 2 ) ≦ f ( y 1 ) + f ( y 2 ) + ‖ f ‖ Y ⋅ ( d ( x 1 − y 1 , θ ) + d ( θ , y 2 − x 2 ) ) = f ( y 1 ) + f ( y 2 ) + ‖ f ‖ Y ⋅ d ( x 1 , y 1 ) + ‖ f ‖ Y ⋅ d ( x 2 , y 2 ) F x 1 + x 2 ≦ f y 1 + y 2 + ‖ f ‖ Y ⋅ d x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ≦ f y 1 + f y 2 + ‖ f ‖ Y ⋅ d x 1 − y 1 , y 2 − x 2 ≦ f y 1 + f y 2 + ‖ f ‖ Y ⋅ d x 1 − y 1 , θ + d θ , y 2 − x 2 = f y 1 + f y 2 + ‖ f ‖ Y ⋅ d x 1 , y 1 + ‖ f ‖ Y ⋅ d x 2 , y 2 {:[F(x_(1)+x_(2)) <= f(y_(1)+y_(2))+||f||_(Y)*d(x_(1)+x_(2),y_(1)+y_(2)) <= ],[f(y_(1))+f(y_(2))+||f||_(Y)*d(x_(1)-y_(1),y_(2)-x_(2)) <= ],[f(y_(1))+f(y_(2))+||f||_(Y)*(d(x_(1)-y_(1),theta)+d(theta,y_(2)-x_(2)))=],[f(y_(1))+f(y_(2))+||f||_(Y)*d(x_(1),y_(1))+||f||_(Y)*d(x_(2),y_(2))]:}\begin{aligned} F\left(x_{1}+x_{2}\right) \leqq & f\left(y_{1}+y_{2}\right)+\|f\|_{Y} \cdot d\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right) \leqq \\ & f\left(y_{1}\right)+f\left(y_{2}\right)+\|f\|_{Y} \cdot d\left(x_{1}-y_{1}, y_{2}-x_{2}\right) \leqq \\ & f\left(y_{1}\right)+f\left(y_{2}\right)+\|f\|_{Y} \cdot\left(d\left(x_{1}-y_{1}, \theta\right)+d\left(\theta, y_{2}-x_{2}\right)\right)= \\ & f\left(y_{1}\right)+f\left(y_{2}\right)+\|f\|_{Y} \cdot d\left(x_{1}, y_{1}\right)+\|f\|_{Y} \cdot d\left(x_{2}, y_{2}\right) \end{aligned}F(x1+x2)≦f(y1+y2)+‖f‖Y⋅d(x1+x2,y1+y2)≦f(y1)+f(y2)+‖f‖Y⋅d(x1−y1,y2−x2)≦f(y1)+f(y2)+‖f‖Y⋅(d(x1−y1,θ)+d(θ,y2−x2))=f(y1)+f(y2)+‖f‖Y⋅d(x1,y1)+‖f‖Y⋅d(x2,y2)
de unde deducem că
F ( x 1 + x 2 ) ≦ F ( x 1 ) + F ( x 2 ) . F x 1 + x 2 ≦ F x 1 + F x 2 . F(x_(1)+x_(2)) <= F(x_(1))+F(x_(2)).F\left(x_{1}+x_{2}\right) \leqq F\left(x_{1}\right)+F\left(x_{2}\right) .F(x1+x2)≦F(x1)+F(x2).
Pentru f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0# și Y Y YYY subspațiu liniar nenul al lui X X XXX vom nota
(11) P S Y ( f ) = { F | F ∈ C X , f | Y = F | Y și ‖ F ‖ X = ‖ f ‖ Y } . (11) P S Y ( f ) = F F ∈ C X , f Y = F Y  și  ‖ F ‖ X = ‖ f ‖ Y . {:(11)P_(S)^(Y)(f)={F|F inC_(X),f|_(Y)=F|_(Y)" și "||F||_(X)=||f||_(Y)}.:}\begin{equation*} P_{S}^{Y}(f)=\left\{F\left|F \in C_{X}, f\right|_{Y}=\left.F\right|_{Y} \text { și }\|F\|_{X}=\|f\|_{Y}\right\} . \tag{11} \end{equation*}(11)PSY(f)={F|F∈CX,f|Y=F|Y și ‖F‖X=‖f‖Y}.
Dacă f ∈ C X f ∈ C X f inC_(X)f \in C_{X}f∈CX, atunci cu siguranță că P S Y ( f ) ≠ ∅ P S Y ( f ) ≠ ∅ P_(S)^(Y)(f)!=O/P_{S}^{Y}(f) \neq \varnothingPSY(f)≠∅
In plus, din demonstrația Lemei 3, se vede că este suficient ca restricția f | Y f Y f|_(Y)\left.f\right|_{Y}f|Y a lui f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0# să fie subaditivă pe Y Y YYY și atunci P S Y ( f ) ≠ ∅ P S Y ( f ) ≠ ∅ P_(S)^(Y)(f)!=O/P_{S}^{Y}(f) \neq \varnothingPSY(f)≠∅. De asemeni avem
(12) P S Y ( f ) ⊂ P L Y ( f ) (12) P S Y ( f ) ⊂ P L Y ( f ) {:(12)P_(S)^(Y)(f)subP_(L)^(Y)(f):}\begin{equation*} P_{S}^{Y}(f) \subset P_{L}^{Y}(f) \tag{12} \end{equation*}(12)PSY(f)⊂PLY(f)
  1. Fie G G GGG un subspațiu liniar nenul al lui X 0 # X 0 # X_(0)^(#)X_{0}^{\#}X0# şi f ∈ X 0 # f ∈ X 0 # f inX_(0)^(#)f \in X_{0}^{\#}f∈X0# Vom nota
(13) inf g ∈ G ‖ f − g ‖ X = d ( f , G ) (13) inf g ∈ G   ‖ f − g ‖ X = d ( f , G ) {:(13)i n f_(g in G)||f-g||_(X)=d(f","G):}\begin{equation*} \inf _{g \in G}\|f-g\|_{X}=d(f, G) \tag{13} \end{equation*}(13)infg∈G‖f−g‖X=d(f,G)
Dacă pentru orice f ∈ X # # f ∈ X # # f inX_(#)^(#)f \in X_{\#}^{\#}f∈X##, infimumul din (13) este atins vom spune că G G GGG este un subspațiu proximinal al lui X 0 # X 0 # X_(0)^(#)X_{0}^{\#}X0#; dacă G G GGG este un subspațiu proximinal numai pentru elementele unei anumite submulțimi V V VVV a lui X X XXX, vom spune că G G GGG este V V VVV-proximinal. Un element g ∈ G g ∈ G g in Gg \in Gg∈G, pentru care infimumul din (13) este atins se numeşte element de cea mai bună aproximare a lui f f fff prin elementele lui G G GGG.
Le ma 4. Fie Y Y YYY un subspaţiu liniar nenul al lui X X XXX și f ∈ C X f ∈ C X f inC_(X)f \in C_{X}f∈CX. Atunci are loc egalitatea:
(14) d ( f , Y X 0 # ⊥ ) = d ( f , Y X 0 s ⊥ ) (14) d f , Y X 0 # ⊥ = d f , Y X 0 s ⊥ {:(14)d(f,Y_(X_(0)^(#))^(_|_))=d(f,Y_(X_(0)^(s))^(_|_)):}\begin{equation*} d\left(f, Y_{X_{0}^{\#}}^{\perp}\right)=d\left(f, Y_{X_{0}^{s}}^{\perp}\right) \tag{14} \end{equation*}(14)d(f,YX0#⊥)=d(f,YX0s⊥)
Demonstratie. Dacă f ∈ C X f ∈ C X f inC_(X)f \in C_{X}f∈CX, atunci oricare ar fi g ∈ Y X 0 s ⊥ g ∈ Y X 0 s ⊥ g inY_(X_(0)^(s))^(_|_)g \in Y_{X_{\mathbf{0}}^{s}}^{\perp}g∈YX0s⊥ avem:
‖ f ‖ Y = sup x ≠ y x , y ∈ Y | f ( x ) − f ( y ) | d ( x , y ) = sup x ≠ y x , y ∈ Y | ( f − g ) ( x ) − ( f − g ) ( y ) | d ( x , y ) ≦ sup x ≠ y x , y ∈ X | ( f − g ) ( x ) − ( f − g ) ( y ) | d ( x , y ) = ‖ f − g ‖ X ‖ f ‖ Y = sup x ≠ y x , y ∈ Y   | f ( x ) − f ( y ) | d ( x , y ) = sup x ≠ y x , y ∈ Y   | ( f − g ) ( x ) − ( f − g ) ( y ) | d ( x , y ) ≦ sup x ≠ y x , y ∈ X   | ( f − g ) ( x ) − ( f − g ) ( y ) | d ( x , y ) = ‖ f − g ‖ X {:[||f||_(Y)=s u p_({:[x!=y],[x","y in Y]:})(|f(x)-f(y)|)/(d(x,y))=s u p_({:[x!=y],[x","y in Y]:})(|(f-g)(x)-(f-g)(y)|)/(d(x,y)) <= ],[s u p_({:[x!=y],[x","y in X]:})(|(f-g)(x)-(f-g)(y)|)/(d(x,y))=||f-g||_(X)]:}\begin{aligned} \|f\|_{Y}= & \sup _{\substack{x \neq y \\ x, y \in Y}} \frac{|f(x)-f(y)|}{d(x, y)}=\sup _{\substack{x \neq y \\ x, y \in Y}} \frac{|(f-g)(x)-(f-g)(y)|}{d(x, y)} \leqq \\ & \sup _{\substack{x \neq y \\ x, y \in X}} \frac{|(f-g)(x)-(f-g)(y)|}{d(x, y)}=\|f-g\|_{X} \end{aligned}‖f‖Y=supx≠yx,y∈Y|f(x)−f(y)|d(x,y)=supx≠yx,y∈Y|(f−g)(x)−(f−g)(y)|d(x,y)≦supx≠yx,y∈X|(f−g)(x)−(f−g)(y)|d(x,y)=‖f−g‖X
de unde deducem că
‖ f ‖ Y ≦ inf g ∈ Y 1 X 0 s ‖ f − g ‖ X = d ( f , Y X 0 s ⊥ ) ‖ f ‖ Y ≦ inf g ∈ Y 1 X 0 s   ‖ f − g ‖ X = d f , Y X 0 s ⊥ ||f||_(Y) <= i n f_(g in Y(1)/(X_(0)^(s)))||f-g||_(X)=d(f,Y_(X_(0)^(s))^(_|_))\|f\|_{Y} \leqq \inf _{g \in Y \frac{1}{X_{0}^{s}}}\|f-g\|_{X}=d\left(f, Y_{X_{0}^{s}}^{\perp}\right)‖f‖Y≦infg∈Y1X0s‖f−g‖X=d(f,YX0s⊥)
Pe de altă parte, conform Lemei 3, avem
‖ f ‖ Y = ‖ f − ( f − F ) ‖ X ≧ inf g ∈ Y X 0 s ⊥ ‖ f − g ‖ X = d ( f , Y X 0 s ⊥ ) ‖ f ‖ Y = ‖ f − ( f − F ) ‖ X ≧ inf g ∈ Y X 0 s ⊥   ‖ f − g ‖ X = d f , Y X 0 s ⊥ ||f||_(Y)=||f-(f-F)||_(X) >= i n f_(g inY_(X_(0)^(s))^(_|_))||f-g||_(X)=d(f,Y_(X_(0)^(s))^(_|_))\|f\|_{Y}=\|f-(f-F)\|_{X} \geqq \inf _{g \in Y_{X_{0}^{s}}^{\perp}}\|f-g\|_{X}=d\left(f, Y_{X_{0}^{s}}^{\perp}\right)‖f‖Y=‖f−(f−F)‖X≧infg∈YX0s⊥‖f−g‖X=d(f,YX0s⊥)
unde F F FFF verifică proprietățile a ′ a ′ a^(')a^{\prime}a′ ) și b ′ b ′ b^(')b^{\prime}b′ ) din Lema 3 . Un raționament cu totul analog, folosind teorema 1 , conduce 1a ‖ f ‖ Y = d ( f , Y X 0 # ⊥ ) ‖ f ‖ Y = d f , Y X 0 # ⊥ ||f||_(Y)=d(f,Y_(X_(0)^(#))^(_|_))\|f\|_{Y}=d\left(f, Y_{X_{0}^{\#}}^{\perp}\right)‖f‖Y=d(f,YX0#⊥) și lema este demonstrată.
Pentru Y Y YYY subspațiu liniar nenul al lui X X XXX şi f ∈ C X f ∈ C X f inC_(X)f \in C_{X}f∈CX, vom nota cu A Y X 0 # ⊥ ( f ) A Y X 0 # ⊥ ( f ) A_(Y)_(X_(0)^(#))^(_|_)(f)A_{Y}{ }_{X_{0}^{\#}}^{\perp}(f)AYX0#⊥(f) şi A Y ⊥ X 0 s ( f ) A Y ⊥ X 0 s ( f ) A_(Y)(_|_)/(X_(0)^(s))(f)A_{Y} \frac{\perp}{X_{0}^{s}}(f)AY⊥X0s(f) mulțimile elementelor de cea mai bună aproximație ale lui f f fff prin elementele subspaţiilor Y X 0 # ⊥ Y X 0 # ⊥ Y_(X_(0)^(#))^(_|_)Y_{X_{0}^{\#}}^{\perp}YX0#⊥ și Y X 0 s ⊥ Y X 0 s ⊥ Y_(X_(0)^(s))^(_|_)Y_{X_{0}^{s}}^{\perp}YX0s⊥, respectiv.
L e m L e m L^(e)m\mathrm{L}^{\mathrm{e}} \mathrm{m}Lem a 5. Fie Y Y YYY un subspatiu liniar nenul al lui X X XXX. Atunci subspatiile Y X 0 # ⊥ Y X 0 # ⊥ Y_(X_(0)^(#))^(_|_)Y_{X_{0}^{\#}}^{\perp}YX0#⊥ şi Y X 0 s ⊥ Y X 0 s ⊥ Y_(X_(0)^(s))^(_|_)Y_{X_{0}^{s}}^{\perp}YX0s⊥ sint C X C X C_(X)C_{X}CX-proximinale. In plus dacă f ∈ C X f ∈ C X f inC_(X)f \in C_{X}f∈CX, atunci oricare ar fi g ∈ A Y X 0 s ⊥ ( f ) g ∈ A Y X 0 s ⊥ ( f ) g inA_(Y)X_(0)^(s)^(_|_)(f)g \in A_{Y} \stackrel{\perp}{X_{0}^{s}}(f)g∈AYX0s⊥(f), g g ggg este de forma g = f − F g = f − F g=f-Fg=f-Fg=f−F cu F ∈ P S Y ( f ) F ∈ P S Y ( f ) F inP_(S)^(Y)(f)F \in P_{S}^{Y}(\mathrm{f})F∈PSY(f) și oricare ar fi h ∈ A Y X 0 # ⊥ ⊥ ( f ) , h = f − F c u F ∈ P L Y ( f ) h ∈ A Y X 0 # ⊥ ⊥ ( f ) , h = f − F c u F ∈ P L Y ( f ) h inA_(Y_(X_(0)^(#))^(_|_))^(_|_)(f),h=f-FcuF inP_(L)^(Y)(f)h \in A_{Y_{X_{0}^{\#}}^{\perp}}^{\perp}(f), h=f-F c u F \in P_{L}^{Y}(f)h∈AYX0#⊥⊥(f),h=f−FcuF∈PLY(f).
Demonstraţie. Fie f ∈ C X f ∈ C X f inC_(X)f \in C_{X}f∈CX. Atunci, din Lema 4 deducem că
‖ f ‖ Y = ‖ f − ( f − F ) ‖ X = d ( f , Y X 0 s ⊥ ) = d ( f , Y X 0 # ⊥ ) . ‖ f ‖ Y = ‖ f − ( f − F ) ‖ X = d f , Y X 0 s ⊥ = d f , Y X 0 # ⊥ . ||f||_(Y)=||f-(f-F)||_(X)=d(f,Y_(X_(0)^(s))^(_|_))=d(f,Y_(X_(0)^(#))^(_|_)).\|f\|_{Y}=\|f-(f-F)\|_{X}=d\left(f, Y_{X_{0}^{s}}^{\perp}\right)=d\left(f, Y_{X_{0}^{\#}}^{\perp}\right) .‖f‖Y=‖f−(f−F)‖X=d(f,YX0s⊥)=d(f,YX0#⊥).
şi deoarece f − F ∈ Y X 0 s ⊥ ⊂ Y X 0 # ⊥ f − F ∈ Y X 0 s ⊥ ⊂ Y X 0 # ⊥ f-F inY_(X_(0)^(s))^(_|_)subY_(X_(0)^(#))^(_|_)f-F \in Y_{X_{0}^{s}}^{\perp} \subset Y_{X_{0}^{\#}}^{\perp}f−F∈YX0s⊥⊂YX0#⊥, rezultă că cele două subspaţii sînt C X − C X − C_(X)-C_{X}-CX− proximinale.
Să presupunem acum că g ∈ A Y 0 s ⊥ ( f ) g ∈ A Y 0 s ⊥ ( f ) g inA_(Y_(0)^(s))^(_|_)(f)g \in A_{Y_{0}^{s}}^{\perp}(f)g∈AY0s⊥(f). Atunci avem
‖ f − g ‖ X = d ( f , Y ⊥ X 0 s ) = ‖ f ‖ Y ‖ f − g ‖ X = d f , Y ⊥ X 0 s = ‖ f ‖ Y ||f-g||_(X)=d(f,Y_|__(X_(0)^(s)))=||f||_(Y)\|f-g\|_{X}=d\left(f, Y \underset{X_{0}^{s}}{\perp}\right)=\|f\|_{Y}‖f−g‖X=d(f,Y⊥X0s)=‖f‖Y
şi
f | Y = ( f − g ) | Y f Y = ( f − g ) Y f|_(Y)=(f-g)|_(Y)\left.f\right|_{Y}=\left.(f-g)\right|_{Y}f|Y=(f−g)|Y
ceea ce înseamnă că f − g f − g f-gf-gf−g verifică proprietățile a ′ a ′ a^(')a^{\prime}a′ ) și b ′ b ′ b^(')b^{\prime}b′ ) din Lema 3 , deci f − g = F , F ∈ P S Y ( f ) f − g = F , F ∈ P S Y ( f ) f-g=F,F inP_(S)^(Y)(f)f-g=F, F \in P_{S}^{Y}(f)f−g=F,F∈PSY(f) de unde g = f − F g = f − F g=f-Fg=f-Fg=f−F.
La fel se arată că dacă h ∈ A Y 0 # ⊥ ( f ) h ∈ A Y 0 # ⊥ ( f ) h inA_(Y_(0)^(#))^(_|_)(f)h \in A_{Y_{0}^{\#}}^{\perp}(f)h∈AY0#⊥(f), atunci h = f − F cu F ∈ P L Y ( f ) h = f − F cu F ∈ P L Y ( f ) h=f-FcuF inP_(L)^(Y)(f)h=f-F \mathrm{cu} F \in P_{L}^{Y}(f)h=f−FcuF∈PLY(f). Pentru aceasta se foloseşte Teorema 1.
teorema 2. Fie Y Y YYY un subspaţiu nenul al lui X X XXX șif ∈ C X ∈ C X inC_(X)\in C_{X}∈CX. Atunci
(15) A Y X 0 s ⊥ ( f ) ⊂ A Y X 0 # ⊥ ( f ) (15) A Y X 0 s ⊥ ( f ) ⊂ A Y X 0 # ⊥ ( f ) {:(15)A_(YX_(0)^(s))^(_|_)(f)subA_(YX_(0)^(#))^(_|_)(f):}\begin{equation*} A_{Y X_{0}^{s}}^{\perp}(f) \subset A_{Y X_{0}^{\#}}^{\perp}(f) \tag{15} \end{equation*}(15)AYX0s⊥(f)⊂AYX0#⊥(f)
Demonstraţie. Dacă f ∈ C X f ∈ C X f inC_(X)f \in C_{X}f∈CX atunci are loc inclusiunea
P S Y ( f ) ⊂ P L Y ( f ) P S Y ( f ) ⊂ P L Y ( f ) P_(S)^(Y)(f)subP_(L)^(Y)(f)P_{S}^{Y}(f) \subset P_{L}^{Y}(f)PSY(f)⊂PLY(f)
și folosind Lema 5 se deduce (15).
3. Fie acum ( X , | | | ⋅ | | | X , | | | ⋅ | | | X,|||*|||X,|||\cdot|||X,|||⋅||| ), un spațiu p-normat real ( p ∈ ( 0 , 1 ] p ∈ ( 0 , 1 ] p in(0,1]p \in(0,1]p∈(0,1] ) ([5], [ 6 ] ) [ 6 ] ) [6])[6])[6]). Pe X X XXX definim aceleaşi mulţimi de funcţii X 0 # X 0 # X_(0)^(#)X_{0}^{\#}X0# și C X C X C_(X)C_{X}CX, adică
X 0 # = { f : X → R , sup x ≠ y x 1 y ∈ X | f ( x ) − f ( y ) | ‖ x − y ‖ ‖ < ∞ , f ( θ ) = 0 } . C X = { f : X → R , sup x ♯ θ x ∈ X | f ( x ) | ‖ x ‖ ∣ < ∞ , f ( θ ) = 0 şi pentru orice x , y ∈ X , f ( x + y ) < f ( x ) + f ( y ) } . X 0 # = f : X → R , sup x ≠ y x 1 y ∈ X   | f ( x ) − f ( y ) | ‖ x − y ‖ ‖ < ∞ , f ( θ ) = 0 . C X = f : X → R , sup x ♯ θ x ∈ X   | f ( x ) | ‖ x ‖ ∣ < ∞ , f ( θ ) = 0  şi pentru orice  x , y ∈ X , f ( x + y ) < f ( x ) + f ( y ) } . {:[X_(0)^(#)={f:X rarr R,s u p_({:[x!=y],[x_(1)y in X]:})(|f(x)-f(y)|)/(||x-y||||) < oo,f(theta)=0}.],[C_(X)={f:X rarr R,s u p_({:[x♯theta],[x in X]:})(|f(x)|)/(||x||∣) < oo,f(theta)=0" şi pentru orice "x,y in X,:}],[f(x+y) < f(x)+f(y)}.]:}\begin{gathered} X_{0}^{\#}=\left\{f: X \rightarrow R, \sup _{\substack{x \neq y \\ x_{1} y \in X}} \frac{|f(x)-f(y)|}{\|x-y\| \|}<\infty, f(\theta)=0\right\} . \\ C_{X}=\left\{f: X \rightarrow R, \sup _{\substack{x \sharp \theta \\ x \in X}} \frac{|f(x)|}{\|x\| \mid}<\infty, f(\theta)=0 \text { şi pentru orice } x, y \in X,\right. \\ f(x+y)<f(x)+f(y)\} . \end{gathered}X0#={f:X→R,supx≠yx1y∈X|f(x)−f(y)|‖x−y‖‖<∞,f(θ)=0}.CX={f:X→R,supx♯θx∈X|f(x)|‖x‖∣<∞,f(θ)=0 şi pentru orice x,y∈X,f(x+y)<f(x)+f(y)}.
şi în plus, conul
(16) C X p = { f | f ∈ C X , ∀ λ ∈ R , f ( λ x ) = | λ | p . f ( x ) } . (16) C X p = f f ∈ C X , ∀ λ ∈ R , f ( λ x ) = | λ | p . f ( x ) . {:(16)C_(X)^(p)={f|f inC_(X),AA lambda in R,quad f(lambda x)=|lambda|^(p).f(x)}.:}:}\begin{equation*} C_{X}^{p}=\left\{f\left|f \in C_{X}, \forall \lambda \in R, \quad f(\lambda x)=|\lambda|^{p} . f(x)\right\} .\right. \tag{16} \end{equation*}(16)CXp={f|f∈CX,∀λ∈R,f(λx)=|λ|p.f(x)}.
Conul C X p C X p C_(X)^(p)C_{X}^{p}CXp este numit de W W WWW. RUESS ([6]), conul p-seminormelor continue pe spatiul p-normat ( X , ‖ ‖ ⋅ ‖ ‖ X , ‖ ‖ ⋅ ‖ ‖ X,||||*||||X,\| \| \cdot\| \|X,‖‖⋅‖‖ ).
Cu X 0 s p = C X p − C X p Cu X 0 s p = C X p − C X p CuX_(0)^(sp)=C_(X)^(p)-C_(X)^(p)\mathrm{Cu} X_{0}^{s p}=C_{X}^{p}-C_{X}^{p}CuX0sp=CXp−CXp vom nota spațiul generat de conul C X p C X p C_(X)^(p)C_{X}^{p}CXp, iar dacă Y Y YYY este un subspațiu liniar nenul al lui ( X , ‖ ‖ ⋅ ‖ ‖ ) ( X , ‖ ‖ ⋅ ‖ ‖ ) (X,||||*||||)(X,\| \| \cdot\| \|)(X,‖‖⋅‖‖) punem
(17) Y X 0 s p ⊥ = { f | f ∈ X 0 s p , f | Y = 0 } . (17) Y X 0 s p ⊥ = f f ∈ X 0 s p , f Y = 0 . {:(17)Y_(X_(0)^(sp))^(_|_)={f|f inX_(0)^(sp),quad f|_(Y)=0}.:}\begin{equation*} Y_{X_{0}^{s p}}^{\perp}=\left\{f\left|f \in X_{0}^{s p}, \quad f\right|_{Y}=0\right\} . \tag{17} \end{equation*}(17)YX0sp⊥={f|f∈X0sp,f|Y=0}.
Le ma 6. Fie Y Y YYY un subspațu liniar nenul al lui ( X , ‖ ‖ ⋅ ‖ ‖ ) ( X , ‖ ‖ ⋅ ‖ ‖ ) (X,||||*||||)(X,\| \| \cdot\| \|)(X,‖‖⋅‖‖) și f ∈ C X p f ∈ C X p f inC_(X)^(p)f \in C_{X}^{p}f∈CXp. Atunci, pentru f | Y f Y f|_(Y)\left.f\right|_{Y}f|Y există F ∈ C X p F ∈ C X p F inC_(X)^(p)F \in C_{X}^{p}F∈CXp astfel ca
( ′ ′ ) f | Y = F | Y ( ′ ′ ) f Y = F Y {:(('')")"f|_(Y)=F|_(Y):}\begin{equation*} \left.f\right|_{Y}=\left.F\right|_{Y} \tag{$\prime\prime$} \end{equation*}(′′)f|Y=F|Y
b ′ ′ ) b ′ ′ {:b^(''))\left.b^{\prime \prime}\right)b′′)
‖ f ‖ Y = ‖ f ‖ X . ‖ f ‖ Y = ‖ f ‖ X . ||f||_(Y)=||f||_(X).\|f\|_{Y}=\|f\|_{X} .‖f‖Y=‖f‖X.
Demonstraţie. Deoarece C X p ⊂ C X ⊂ X 0 # C X p ⊂ C X ⊂ X 0 # C_(X)^(p)subC_(X)subX_(0)^(#)C_{X}^{p} \subset C_{X} \subset X_{0}^{\#}CXp⊂CX⊂X0#, existenţa unui F ∈ C X F ∈ C X F inC_(X)F \in C_{X}F∈CX cu proprietățile a ′ ′ a ′ ′ a^('')a^{\prime \prime}a′′ ), b ′ ′ b ′ ′ b^('')b^{\prime \prime}b′′ ) este asigurată prin Lema 3, care rămîne evident adevărată pentru cazul cînd ( X , ‖ ‖ ⋅ ‖ ∣ X , ‖ ‖ ⋅ ‖ ∣ X,||||*||∣X,\| \| \cdot \| \midX,‖‖⋅‖∣ ) este un spațiu p p ppp-normat. Mai mult
F i = inf [ f ( y ) + ‖ f ‖ Y ⋅ ‖ ‖ ⋅ − y ‖ ‖ ] F i = inf f ( y ) + ‖ f ‖ Y ⋅ ‖ ‖ ⋅ − y ‖ ‖ F_(i)=i n f[f(y)+||f||_(Y)*||||*-y||||]F_{i}=\inf \left[f(y)+\|f\|_{Y} \cdot\| \| \cdot-y\| \|\right]Fi=inf[f(y)+‖f‖Y⋅‖‖⋅−y‖‖]
este chiar din C X p C X p C_(X)^(p)C_{X}^{p}CXp. Intr-adevăr
F i ( λ x ) = inf y ∈ Y [ f ( y ) + ‖ f ‖ Y ⋅ ‖ ‖ λ x − y ‖ ‖ ] = = inf y ∈ Y [ f ( λ y ) + ‖ f ‖ Y ⋅ ‖ ‖ λ x − λ y ‖ ‖ ] = = inf y ∈ Y [ | λ | p f ( y ) + ‖ f ‖ Y ⋅ | λ | p ⋅ ‖ | x − y ‖ | ] = = | λ | p ⋅ inf y ∈ Y [ f ( y ) + ‖ f ‖ Y ⋅ ‖ | x − y ‖ | ‖ = | λ | p F i ( x ) F i ( λ x ) = inf y ∈ Y   f ( y ) + ‖ f ‖ Y ⋅ ‖ ‖ λ x − y ‖ ‖ = = inf y ∈ Y   f ( λ y ) + ‖ f ‖ Y ⋅ ‖ ‖ λ x − λ y ‖ ‖ = = inf y ∈ Y   | λ | p f ( y ) + ‖ f ‖ Y ⋅ | λ | p ⋅ ‖ | x − y ‖ | ] = = | λ | p ⋅ inf y ∈ Y   f ( y ) + ‖ f ‖ Y ⋅ x − y ‖ = | λ | p F i ( x ) {:[F_(i)(lambda x)=i n f_(y in Y)[f(y)+||f||_(Y)*||||lambda x-y||||]=],[=i n f_(y in Y)[f(lambda y)+||f||_(Y)*||||lambda x-lambda y||||]=],[=i n f_(y in Y)[|lambda|^(p)f(y)+||f||_(Y)*|lambda|^(p)*|||x-y|||]=:}],[=|lambda|^(p)*i n f_(y in Y)[f(y)+||f||_(Y)*|||x-y|||||=|lambda|^(p)F_(i)(x):}]:}\begin{aligned} F_{i}(\lambda x) & =\inf _{y \in Y}\left[f(y)+\|f\|_{Y} \cdot\| \| \lambda x-y\| \|\right]= \\ & =\inf _{y \in Y}\left[f(\lambda y)+\|f\|_{Y} \cdot\| \| \lambda x-\lambda y\| \|\right]= \\ & =\inf _{y \in Y}\left[|\lambda|^{p} f(y)+\|f\|_{Y} \cdot|\lambda|^{p} \cdot\||x-y \||]=\right. \\ & =|\lambda|^{p} \cdot \inf _{y \in Y}\left[f(y)+\|f\|_{Y} \cdot\left\|\left|x-y\left\|\left|\|=|\lambda|^{p} F_{i}(x)\right.\right.\right.\right.\right. \end{aligned}Fi(λx)=infy∈Y[f(y)+‖f‖Y⋅‖‖λx−y‖‖]==infy∈Y[f(λy)+‖f‖Y⋅‖‖λx−λy‖‖]==infy∈Y[|λ|pf(y)+‖f‖Y⋅|λ|p⋅‖|x−y‖|]==|λ|p⋅infy∈Y[f(y)+‖f‖Y⋅‖|x−y‖|‖=|λ|pFi(x)
şi lema e demonstrată.
Evident, avem:
(18) Y X 0 s p ⊥ ⊂ Y X 0 s ⊥ ⊂ Y X 0 # ⊥ (18) Y X 0 s p ⊥ ⊂ Y X 0 s ⊥ ⊂ Y X 0 # ⊥ {:(18)Y_(X_(0)^(sp))^(_|_)subY_(X_(0)^(s))^(_|_)subY_(X_(0)^(#))^(_|_):}\begin{equation*} Y_{X_{0}^{s p}}^{\perp} \subset Y_{X_{0}^{s}}^{\perp} \subset Y_{X_{0}^{\#}}^{\perp} \tag{18} \end{equation*}(18)YX0sp⊥⊂YX0s⊥⊂YX0#⊥
deoarece X 0 s ⊅ ⊂ X 0 s ⊂ X 0 # X 0 s ⊅ ⊂ X 0 s ⊂ X 0 # X_(0)^(s⊅)subX_(0)^(s)subX_(0)^(#)X_{0}^{s \not \supset} \subset X_{0}^{s} \subset X_{0}^{\#}X0s⊅⊂X0s⊂X0#.
Are loc următoarea teoremă:
teorema 3. Fie Y Y YYY un subspațiu liniar nenul al spațiului p-normat ( X , | | | . | | | X , . | | X,|||.|||:}X,\left|\left|\left|.\left|| |\right.\right.\right.\right.X,|||.||| ) și f ∈ C X p f ∈ C X p f inC_(X)^(p)f \in C_{X}^{p}f∈CXp. Atunci
(19) A X 0 s p ⊥ ( f ) ⊂ A Y X 0 s ⊥ ⊥ ( f ) ⊂ A Y X 0 # # ⊥ ( f ) (19) A X 0 s p ⊥ ( f ) ⊂ A Y X 0 s ⊥ ⊥ ( f ) ⊂ A Y X 0 # # ⊥ ( f ) {:(19)A_(X_(0)^(sp))^(_|_)(f)subA_(Y_(X_(0)^(s))^(_|_))^(_|_)(f)subA_(Y_(X_(0)^(#))^(#))^(_|_)(f):}\begin{equation*} A_{X_{0}^{s p}}^{\perp}(f) \subset A_{Y_{X_{0}^{s}}^{\perp}}^{\perp}(f) \subset A_{Y_{X_{0}^{\#}}^{\#}}^{\perp}(f) \tag{19} \end{equation*}(19)AX0sp⊥(f)⊂AYX0s⊥⊥(f)⊂AYX0##⊥(f)
Demonstrație. Este analogă cu demonstrația teoremei 2.

A MONOTONY PROPERTY OF THE OPERATOR OF BEST APPROXIMATION IN THE SPACE OF LIPSCHITZ FUNCTIONS

SUMMARY

In the normed space of Lipschitz functions are given subspace Y 1 , Y 2 Y 1 , Y 2 Y_(1),Y_(2)Y_{1}, Y_{2}Y1,Y2 and a convex cone C C CCC, such that Y 1 ⊂ Y 2 Y 1 ⊂ Y 2 Y_(1)subY_(2)Y_{1} \subset Y_{2}Y1⊂Y2 implies A Y 1 ( f ) ⊂ A Y 2 ( f ) A Y 1 ( f ) ⊂ A Y 2 ( f ) A_(Y_(1))(f)subA_(Y_(2))(f)A_{Y_{1}}(f) \subset A_{Y_{2}}(f)AY1(f)⊂AY2(f), for every function f ∈ C f ∈ C f in Cf \in Cf∈C, where A Y 1 ( f ) A Y 1 ( f ) A_(Y_(1))(f)A_{Y_{1}}(f)AY1(f) and A Y 2 ( f ) A Y 2 ( f ) A_(Y_(2))(f)A_{Y_{2}}(f)AY2(f) are the sets of best approximation of f f fff by elements of Y 1 Y 1 Y_(1)Y_{1}Y1 and respectively Y 2 Y 2 Y_(2)Y_{2}Y2.

BIBLIOGRAFIE

[1] Arens, R. F., Ee11s, J. Jr., On embedding uniform and topological spaces. Pacific J. of Math., 6, 3, 397-405 (1956).
[2] Czipser, J., Gehér, L., Extension of functions satisfiyng a Lipschitz condition. Acta Math. Acad. Sci. Hungar, 6, 213-220 (1955).
[3] Johnson, J. A., Banach spaces of Lipschitz functions and vector-valued Lipschitz functions. Trans. Amer. Math. Soc., 148, 1, 147-171 (1970).
[4] Mustăţa, C., Asupra unor subspații cebişeviene din spațiul normat al functiilor lipschitziene. Revista de de analiză numerică și teoria aproximației, 2, 1, 81-87 (1973).
[5] Pantelidis, G., Approximationstheorie für metrische lineare Räume. Math. Ann., 184, 30-48 (1969).
[6] Ruess, W., Ein Dualkegel für p-konvexe topologische lineare Räume. Gesellschaft für Math. und Datenverarbeitung, Bonn, 60, (1972).
[7] Schwartz, L., Analiz. I, Moskva, (1972).
Institutul de calcul din Cluj al Academiei Republicii Socialiste România
1974

Related Posts