Désignons par $f:I\to ℝ$ une fonction où $I$ est un intervalle de l’axe réel. Nous consiérons l’équation

et nous supposons que cette équation admet une seule solution $\overline{x}\in I$. Nous désignons par $F=f\left(I\right)$ l’ensemble des velaurs de la fonction $f$ pour $x\in I$. Nous supposerons que la fonction $f$ admet une fonction inverse $f^{-1}:F\to I$.

Nous désignons par $x_i\in I,i=1,2,\mathrm{\dots },n+1,x_i\ne x_j$ pour $i\ne j$, $n+1$ approximations différentes de la solution $\overline{x}$ de l’équation (1) et nous écrivons $y_i=f\left(x_i\right),i=1,2,\mathrm{\dots },n+1$.

Le polynome

où

vérifie les conditions

Si $\overline{x}\in I,$ alors $0\in F$ et $f^{-1}\left(0\right)=\overline{x}$. En ce cas, en faisent $y=0$ an (2) nous obenons une approximation pour $\overline{x}$, c’est-à-dire

En tenant compte de l’énégalité

et en écrivent $x_{n+2}=L_n(y_1,y_2,\mathrm{\dots },y_{n+1};f^{-1}|0),$ nous obtenons

Nous en déduisons qu’abstraction faite du facteur

$x_{n+2}$ sera une approximation pour $\overline{x}$, d’autant meilleure que les nombres $y_1,y_2,\mathrm{\dots },y_{n+1}$ sont plus proches de $0$.

De’signons à présent par $x_{i+1},x_{i+2},\mathrm{\dots },x_{i+n+1}\in I,n+1$ approximations de la solution $\overline{x},$ alors les nombres

peuvent eux aussi considèrés comme des approximations pour $\overline{x}$.

Nous supposerons à présent que pour tous les $u_1,\mathrm{\dots },u_{n+1}\in F,$

Nous avons alors

Il résulte alors de (10)

Nous consiérons à présent l’équation aux différences

et nous supposons gu’il existe un nombre tel que ${\rho }_s\le d^{{\gamma }_s}$ pour $s=1,2,\mathrm{\dots },n+1$.

Nous associons à l’équation (12) l’équation

En ce cas, la solution de l’équation (12) peut s’exprimer comme suit:

où $t_1,t_2,\mathrm{\dots },t_{n+1}$ sont les racines de l’équation (13) et $C_1,C_2,\mathrm{\dots },C_{n+1}$ se déterminent par les conditions initiales ${\gamma }_s={\gamma }_s^0,s=1,2,\mathrm{\dots },n+1.$

On constate facilement que l’équation (13) admet une seule racine réelle .

Si nous admettons que

alors nous déduisons facilement de (11) que les inégalités (15) ont lieu pour tout $s\in \mathbb{N}$, ce qui signifie que

c’est-à-dire que la suite ${\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ converge vers la solution de l’équation (1).

Nous présenterons par la suite un algorythme de calcul des  valeurs des polynomes ${\omega }_k\left(0\right)$ et ${\omega }_k^{\prime }\left(y_i\right),i=k,k+1,\mathrm{\dots },k+n,$ où

Les polynomes (17) sont utilisés à la construction de la suite de polynomes d’interpolation inverse de Lagrange, qui conduisent à la suite d’approximations ${\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, dont les éléments sont donnés par l’égalité (8).

Il résulte de (17)

d’où nous déduisons la relation

qui nous offre une formule des récurrence pour le calcul des valeurs des polynomes ${\omega }_k$ pour $y=0$.

Pour ${\omega }_{k+1}^{\prime }\left(y\right)$ nous avons

Nous en déduisons les formules de récurrence suivantes:

Les relations de récurrence (18) et (19) nous offrent la posibilité d’obtenir la suite de polynomes d’interpolation inverse de Lagrange, an utilisent à un pas quelconque d’itération certaine éléments qui ont déjà calculés au cours du pas précédent.

Institutul de Matematică

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