DIFFERENT DIVISEES ET DERIVEES

Tiberiu Popoviciu's father

1.
- •
  
  Soit $A[f]=A[f(x)]$ und fonctionnelle linear, donc additive et bonogène, definie sur un espace vectorial $S$ of functions $f=f(x)$ , réelles, de la variable réelle $x$ , defines et continues sur un intervalle $I$ . Nous designaterons par a l'extremité gatche et par $b$ l'extremité droite de l'intervale I. Dans la suite nous supposerons toujours que les éléments de $S$ verfiennent toutes les properties de derivabilité nécessaires pour que les fonctionnelles linéaires considérables aient un sens. Nous supposerons toujours que $S$ contienne tons les polynomes. On suppose toujonts que $a<b$ .

All linear functional $A[f]$ to a degree $d$ exactiode bien determined. Ce degré d'exactitude est le nombre entier $n\geq-1$ , or the wrong number $n=\infty$ , characterized by the property :
$1^{\circ}.n=-1$ . yes $A[1]\neq 0$ .
2. $A\left[x^{i}\right]=0,i=0,1,\ldots,n,A\left[x^{n+1}\right]\neq 0$ ski $A[1]=0$ et si l'un au moins des nombres $A\left[x^{i}\right],t=0,1,\ldots$ is different from zero.
$3^{\circ}.n=\infty$ ski $A\left[x^{i}\right]=0,i=0,1,\ldots$
In the cases $1^{\circ}$ this $2^{\circ}$ le degré d'exactitude est fini. Ce cas a lieu si et seniement si $A[f]$ it is different from zero on a polynomial at least. Dans le cas $3^{\circ}$ , le degree d'exactitude est infini et alors $A[f]$ is null on any polynomial.

Pour qu'une fonetionaelle linéaire $A[f]$ soit nuile sur tout polynome de degré $n$ , il faut et il suffit que son degré d'exactitude soit égal à $n$ au moins (on suppose tonjours que $n<\infty$ ). A degree polynomial $n$ is in good shape $\alpha_{0}x^{n}+\alpha_{1}x^{n-1}-\mid\ldots+\alpha_{n}$ , the coefficients $\alpha_{0},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$ étant: des nombres réelles quelconcons. Si le plus haut coefficient $\alpha_{0}$ evening $\neq 0$ , le polynome est dit de đegré effectif $n$ .
9. - Nous allons nous occuper, en particulier, des fonctionnelles linéaires $A[f]$ qui sont égales à une combinaison linear des valeurs, sur un nombre fini de points, de la fonction $m$ et d'un nombre fini de ses dérivées de divers ordres. Une telle fonetionnelle linear est de la forme
(1)

A[f]=\sum_{i=1}^{p}\sum_{i=0}^{k_{i-1}}a_{i,l}f^{(l)}\left(z_{i}\right)

where, $p,k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}$ sont des nombres naturels donnés, $z_{i},i=1,2,\ldots,p$ , $p$ points distinct de l'intervale $I$ this $a_{i,j},j=0,1,\ldots,k_{i}-1,i=1,2,\ldots$ , $p$ , des nombres indépendants de la function $m$ . The points $z_{t}$ sont les noeuds et les nombres $a_{i,j}$ sont les coefficients de la fonctionnelle lineare (1).

Dans l'expression (1) et relativent au noeud $z_{i}$ figurent les valeurs de la fonction et de ses $k_{i}-1$ premières derivées, donc de ses premières $Who}$ dérivées si nous convenons que la fonction elle même soit sa propre dérivée d'ordre 0 , sur ce point. Pour ce motif nous convenons qu'en $z_{i}$ be confused $Who}$ knots. Then $Who}$ est l'ordre de multiplicity du noeud $z_{i}$ (it is a simple knot if $k_{i}=1$ , double si $k_{i}=2$ , etc.). Nous pouvons dire aussi que $z_{j}$ is a knot of order $Who}$ but multiplicity. De cette façon le nombre total des noeuds distinct ou non (donc chaque noeud compté avec son ordre de multiplicity) est égal à $m=k_{1}+k_{2}+\ldots+k$ The number $m$ evening $\geqq p$ and is equal to $p$ si et seulement si tous les noeuds sont simples.

Ambush $m$ noeuds, simples ou non, peuvent être désignés par $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ . Parmi ces points, exactly $Who}$ coincide with $z_{i}$ pour $i=1,2,\ldots,p$ . De cette manière nous avons numéroté une certaine permutation des noeuds. En principe la permutation, donc le numérotage des noeuds, est arbitraire. Ils existent cependant certains numérotages privilegés, que nous appelerons des numérotages normaux. Dans un numérotage normal, pour tout $I$ , ambush $Who}$ knots $x_{j}$ which coincide with $z_{i}$ are numbered with $Who}$ indices consécutifs. Un numérotage normal est, par ex., $x_{k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{i-1}+v}==z_{i},v=1,2,\ldots,k_{j},i=1,2,\ldots,p\left(k_{0}=0\right)$ In particular, if the following $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ est monotone (non-décroissante ou non-croissante), le numérotage est normal.
3. - La fonctionnelle (identiquement) nulle sur $S$ est de la forme (1), où tous les coefficients $a_{i,j}$ sont égaux à 0 . Cette fonctionnelle linear a le degré d'exactitude égal à $\infty$

Une fonctionnelle linear de la forme (1) ne determinante pas complètement le système des noeuds $z_{1}$ avec leurs ordres de multiplicités respectivefs. In effect, we can add any finite number of nodes without modifying the linear function considered. Il suffit de demonstrer cette property pour un seul noeud $x_{0}$ added to the previous ones. Alors nous pouvons ajouter à $A[f]$ , sans modifier ses valeurs, le terme $0.f\left(x_{0}\right)$ ski $x_{0}$ ne coincide avec auctur de noeuds $z_{i}$ and the result is 0. $f^{\left(k_{i}\right)}\left(z_{i}\right)$ ski $x_{0}=z_{i}$ .

Consider a linear function (1) that does not have zero coefficients. Nous pouvons suppose, sans restrictreindre la généralité, that
(2)

a_{i},k_{i-1}\neq 0,i=1,2,\ldots,p.

Dans ce cas les noeuds sont réduits à leur plus petit nombre puisque, d'une part, si les conditions (2) sont verificaires nous pouvons suppress un certain nombre de noetds sans modifier la fonctionnelle $A[f]$ , et,
d'autre part, on ne peut pas faire de telles suppressions de noeuds si les conditions (2) ne sont pas toutes verificées. Il est facile de voir comment on peut obtenir le nombre minimum des noeuds.

Consider the degree polynomial $m$
(3)

l(x)=\prod_{v=1}^{m}\left(x-x_{v}\right).

Then*)

\begin{gathered}A\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]=a_{i,k_{i}-1}\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]_{x-x_{i}} ^{\left(k_{i}-1\right)}=a_{i,k_{i}-1}\left(k_{i}-1\right)!\prod_{v=1}^{p}\left(z_{i}-z_{v}\right)^{k_{v}}\\ i=1,2,\ldots,p\end{gathered}

qui, d'après l'hypothèse (2) sont tous différences de zéro. Nous avons donc le
Lemme 1. - La fonctionnelle linéaire (1), où les coefficients $a_{i,j}$ ne sont pas tous nuls, a un degré d'exactitude (fini et) au plus égal à $m-2$ .

Il en resultelle que si la fonctionnelle lineare (1) a un degré d'exactitude plus grand que $m-2$ elle est null identically.
4. - Si la fonctionnelle lineare (1) a un degré d'exactitude égal à $m-2$ , elle se réduit, en dehors d'un facteur non nul et indépendant de la fonction $m$ , à la différence divisee d'ordre $m-1$ on the $m$ knots $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ of the function $m$ . Cette différence divisée will be designated by
(4)

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\right]

out of par

La différence divisiee est une fonctionnelle lineare de la forme (1) determined complètente par les conditions de s'annuler sur tout polynome de degree $m-2$ et de se réduire à 1 sur le polynome $x^{n-1}$ .

Les différences divisees jouissent de diverses properties et verificent des formulaes bien connues. Nous allons rappeler les principales formulas qui seront utilisés plus loin.

La différence divisée est symétrique par rapport aux noeuds sur lesques elle est defined. Il en resultelle que dans la notation (4) le numérotage des noeuds est indifferent.

Nous avons la relation de récurrence
(5)

\left[t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q+1};f\right]=\frac{\left[t_{2},t_{1}+\ldots,t_{Q+1};f\right]-\left[t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q};f\right]}{t_{Q+1}}t_{Q+1}

⁰⁰footnotetext: *)

\sum_{v=1}^{p}i,\frac{p}{|i|}

signifieut que dans la somme resp. le produit la valent i de l'indice est exclae.

qui est mue relation entre les différences visivees d'ordre o et les différences visivees dordre $a-1$ . La formule (5) is valid under the only conditions that apply $t_{1},t_{0+1}$ , soient distinct, en supposant, bien entendu, que les différences divisees qu'y figurent aient un sens.

Si tous les noends d'une différence divisee d'ordre a coincident avec le même point $to$ , cette différence divisée est egale à $\frac{1}{\rho^{!}}f^{(\phi)}(\phi)$ . Nous avons donc la formula
(b)

[\underbrace{t}_{\ell+1}t_{1}\ldots,t;f]=\frac{1}{e!}f^{(p)}(t).

Nous avous aussi la formula do decomposilion
(7) $\left[t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q},t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q};f\right]=\left[t_{1},t_{2},\ldots,t _{Q};\frac{f(x)}{\left(x-t_{1}\right)\left(x-t_{2}\right)\ldots\left(x-t_{Q}\right)}\right]+$

-\left[i_{1},i_{2},\ldots,i_{0^{\prime}};\frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)\ldots\left(x-i_{0}\right)}\right]

qui est valid à condition qu'aucun des noeuds $t_{1},t_{2},\ldots,t_{6}$ ne coincident avec l'un des noeuds $i_{1},i_{2},\ldots,i_{Q^{\prime}}$ .

Nous avons aussi la formula de raduction
(8)

\begin{gathered}{\left[t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q},t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q};f(x)\left(x-t_{1}\right)\left(x-t_{2}\right)\ldots\left(x-t_{Q}\right)\right]=}\\ =\left[t_{1},t_{2},\ldots,t_{0};f\right]\end{gathered}

The previous formulas allow you to find the coefficients $c_{i,j}$ de la différence divisiee (1),

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\right]=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=0}^{i_{t}-1}c_{i,j}f^{(h)}\left(z_{i}\right)

(9)

If we pose

h_{i}(x)=\frac{u(x)}{\left(x-z_{i}\right)^{k_{i}}}=\frac{l_{i}}{\mid v=1}\left(x-z_{v}\right)^{k_{v}},i=1,2,\ldots,p

where $l(x)$ est le polynome (3), on appliquant convenablement et plusieurs fois s'il est nécessaire, les formulas (6), (7), 11011 en déduisons

\begin{gathered}{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\right]=\sum_{i=1}^{p}\left[\underline{z}_{i,}z_{i},\ldots,z_{i};\frac{l}{h_{i}}\right]=}\\ =\sum_{i=1}^{p}\frac{1}{(h-1)!}-\left[\frac{f(x)}{h_{i}(x)}\right]_{x-z_{i}}^{(h,-1)}\end{gathered}

We have done

\begin{gathered}c_{i,j}=\frac{1}{\left(h_{i}-1\right)!}\cdot\left(k_{i}-1\right)\left[\frac{1}{l_{i}(n)}\right]_{z=s_{l}}^{\left(k_{i}-1-j\right)}\\ j=0,1,\ldots,h_{i}-1,i=1,2,\ldots,p.\end{gathered}

We have, in particular.

c_{t_{t},k-1}=\frac{1}{\left(h_{t}-1\right)1}\cdot\frac{1}{\frac{p}{|i|}\left(z-z_{v}\right)^{h_{v}}},\quad i=1,2,\ldots,p

On voit que, dans le cas de la différence divisiee (4), les conditions (2) sont verified. Il en resultelle que dans le case de la différence divisiee, la notation (4) met en évidence precisely le système de noends au nombre minimum.
5. - Désignons par $L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\mid x\right)$ , le polynome de Lagrange Termite relativ à la fonction $f$ and on the knots $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ . This is the (unique) polynomial $L(x)$ but degree $m-1$ who verifies equality

L^{(j)}\left(z_{i}\right)=f^{(j)}\left(z_{i}\right),\quad j=0,1,\ldots k_{i}\ldots 1,i=1,2,\ldots,p.

(10)

We have*)
(11)

=\sum_{v=0}^{m-1}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{v}\right)\cdot\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{v+1};f\right].

From (10) it follows that
(12)

A[f]=A\left[L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\mid x\right)\right]

ct, compte tenaut de 1a formule (11),

A[f]=\sum_{v=0}^{m-1}a_{v}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{v-1-1};f\right]

(13)

where

\text{ (14) }\quad a_{v}=A\left[\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right),\ldots\left(x-x_{v}\right)\right],\quad v=0,1,\ldots,m-1.

Si la fonctionnelle jineare considéraire a un degré d'exactitude an moins égal à $n$ ( $0\leq n\leq m-2$ ) we have $a_{v}=0,v=0,1,\ldots,n$ et réciproquement. Si elle a un degré d'exactitude égal à $n(-1\leqq n\leqq m-2)$ we have, moreover, $a_{n-1}=A\left[x^{\prime\prime+1}\right]\neq 0$ et réciproquentent. Cette propriété peut être énoncé sous la forme du

Le mme 2. - Pour que la fonchonnelle linéave (1) ait le degré d'cractitude au moins egal à $n$ , il fawt et il suffit que dans son expression sous la forme (13) Zon ait $a_{0}=a_{1}=\ldots=a_{n}=0$ . In order for the degree of exac-

⁰⁰footnotetext: 4. Yes

v=0

, the product

\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots(x-1v)

est reuplace par 1. De tellen conventions s'applique anssi plus doins a lans fles formulaes analogues

titude soit égal exactement à $n$ il est nécessaire et suffisante que, de plus, l'on ait $a_{n+1}\neq 0$ .
6. - Le résultat précédent est vrai pour un numérotage quelconque des noeuds.

Supposons maintenant que la suite $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ (donc le numérotage respectif) des noeuds jousse de la propriété que si $i,j$ sont denx quelconcons des indices $1,2,\ldots,m$ ,

j-i\geqq n+2\Rightarrow x_{i}\neq x_{j}.

(15)

En appliquant la formula (6) aux différences visivees $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{4};f\right]$ , $v=n+2,n+3,\ldots,m-1$ (ski $m\geq n-3$ ), lorsqu'il est nécessaire, même plusieurs fois (si $m>n-3$ ), nous déduisons la formula ( $m\geq n+3$ ),

	$\displaystyle A[f]=\sum_{v=0}^{m}a_{v}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{v+1};f\right]+$		(16)
	$\displaystyle\quad+\sum_{i=1}^{m-1}\mu_{i}\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1};f\right]$

where the coefficients $a_{y}$ , donnés par (14), et les coefficients $\mu_{i},i=1,2,\ldots m-n-1$ sont indépendants de la function $f$ .

Nous pouvons énoncer alors le
Lemma 3. - Pour que la fonctionnelle lineare (1) ait le degré d'exactilade au moins égal à $n\geq\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\right)-2$ (done pour qu'elle soit nulle sur tont polytome de degré $n\geqq\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\right)-2$ ) $il$ faul et il suffil quelle soil de la forme

A[f]=\sum_{i=1}^{m-n-1}\mu_{i}\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1};f\right]

(17)

look out $\mu_{i},i=1,2,\ldots,m-n-1$ sond des coefficients indépendants de la funclion $f$ .

Pour que, sous les mêmes conditions, le degré d'exachilude soit égal à $n$ , il est, de plus, nécessaive et suffisante que l'on ait $\sum_{i=1}^{m-n-1}\mu_{i}\neq 0$ .

The condition is necessary. En effet, d'une part, sous les hypothèses du lemme, nous pouvons trouver un numérotage des noeuds tel que les conditions (15) soient verfficiés. Un tel numérotage est, par ex., tout numérotage normal*). On the other hand, formula (16) results in formula (17).

⁰⁰footnote text: *). Ils peuvent exist des numérotages, differents d'un numérotage normal, pour les les conditions (15) soient verifiees. Si, par ex., nous avons

p=3,k_{1}=3,h_{2}=h_{3}=2

(donut)

m=7

n=3

, the permutations (

P

z_{1},z_{1},z_{2},z_{2},z_{1},z_{3},z_{3},\left(P^{\prime}\right):z_{1},z_{2},z_{1},z_{1},z_{2},z_{3},z_{3}

donnent des numérotage qui véfétfient les conditions (15). Ces deux numérotages diferent en ce qute la formule (17) correspondante à

(P)

conduit aur memes differences divisees que la permato

(P*):z_{1},z_{1},z_{1},z_{2},z_{2},z_{3},z_{3},qui

correspond à un numerotage nomai, taudis que la formula (17) correspondant à (

P

) conduit à des différences divisees qui né sont pas les memes (datts lent ettsentile). Il en resultelle que le numérotage correspondent à la permutation (i) certane façon, védacibbe à un numérotage normal, tandis qu'il n'en est pas an claire.

$I_{1}a$ condition is sufficient. En effet, toute différence divisee d'ordre $n+1$ is of degree of accuracy $n$ , donc s'annule sur tout polynome de degré $n$ . Il est donc de même pour toute combinaison lineare de telles différences divisées.

Ia sufficiency de la deruière condition du lemme résultée de la formula $A\left[x^{n-1}\right]=\sum_{i=1}^{m-n-1}\mu_{i}$ .
$\mathrm{I}_{\mathrm{r}}\mathrm{a}$ condition $n\geqq\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\right)-2$ du lemme est essentielle. Si cette condition n'est pas vérifíe il peut ne pas exister une relation de la forme (17). This results easily from the fact that si les noetuds d'une fonetionnelle linéaire de la forme (17) sont réduits à leur nombre minimum, parmi ces noeuds il n'existe aucun qui ait un ordre de multiplicity $>n+2$ . By the way, yes $n<\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\right)-2$ , il n'existe aucun numérotage verificant la propriété (15).

II.

7.
- •
  
  Nous allons rappeler la notion de fonctionnelle linear de la forme simple. Ira fonctionnelle linear $A[f]$ , defined on space $S$ est dite de la forme simple s'il existe un nombre entier $n\geqq-1$ as, for you $f_{\epsilon}S$ , l'on ait

A[f]=K.\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2};f\right]

(18)

where $K$ est un coefficient différent de 0 et indépendant de la function $f$ and watch $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2}$ late $n+2$ points distinct de l'intervale $I$ , yes $n\geqq 0$ même de l'intérieur de l'intervale $I$ et qui, en général, peuvent dépendre de la function $f$ The fact that, for $n\geq 0$ , the points $\xi_{i}$ peuvent être choisis à l'intérieur de l'intervale $I$ it results from the properties of the medium of differences divided [6]. Dans ce cas le degré d'exactitude de $A[f]$ is necessarily equal to $n$ . The result is that if une fonctionnelle linear est de la forme simple, elle est de cette forme pour une seule valeur de $n$ . There is an important property that characterizes the functions of the simple form [4] and that can be expressed in the following form:

Lemme 4. - Pour que la fonctionnelle linear $A[f]$ soit de la forme simple, il faut et il suffit qu'il existe un nombre entier $n\geqq-1$ as they say $A[f]\neq 0$ for everything $f_{\in}S$ , convex order $n$ .

La propriété d'être de la forme simple est donc très intimément liée à la notion de fonction convexe d'ordre supérieur.

A function defined on $I$ is called convex in order $n$ si toutes ses différences divisees d'ordre $n+1$ , sur $n+2$ noeuds distinct (appartenant à $I$ ) sont positives. La fonction est dite non-concave d'ordre $n$ (surprise) $I$ ) si toutes ses differences divisees d'ordré $n+1$ sur des points distincts (ou non) sont non-negatives. Une fonction convexe d'ordre $n$ est une fonction non-concave d'ordre $n$ particular.

The number $n$ du lemme 4 est celui qui figure dans la formula (18) correspondante. Down coefficient $K$ of this formula is equal to $A\left[x^{13+1}\right]$ or
to $A[f]$ where $f$ est un polynome quelconque de degree $n+1$ with the plus haut coefficient equal to 1.

If the linear functional $A[f]$ est de la forme simple et si la fonction $f$ has a derivative of order $n+1$ (pour $n\geqq 0$ ) sur l'intérieut de l'intervale $I$ , we have

A[f]=\frac{K}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi),

(19)

where $K$ est un coefficient independent de la function $f$ (d'ailleurs égal à celui qui figure dans la formula (18)) et $\xi$ a point of $I$ , yes $n\geq 0$ , even from the interior of $I$ , et qui dépend, en général, de la fonction $f$ .

Nous retrouvons un cas classique bien connu si $A[f]$ est le reste dans la formula de Taylor. The formula (19) is then the classic form given by Lagrange.
B. - Nous allons rappeler quelques properties des fonctions convexes d'ordre supérieur. Tonte fonction convexe d'ordre $n>0$ sur $I$ est continue sur l'intérieur de $I$ yes yes $n>1$ elle a une dérivée continute d'ordre $n-1$ on the inside of $I$ If the derivative $f^{(n+1)}(x)$ , by order $n+1$ , exists, the condition $f^{(n+1)}(x)\geq 0$ sur $I$ est necessaire et suffisante pour que la fonction soit non-concave d'ordre $n$ sur $I$ . Cette condition est seulement necessaire et la condition $f^{(n+1)}(x)>0$ sur $I$ est seulement suffisante pour que la fonction $f$ be convex in order $n$ sur $I$ Yes $f^{(n+1)}(x)\geq 0$ sur $I$ et s'il n'existe aucun sons-intervale non-nul de $I$ on which $f^{(n+1)}(x)$ soit zero, $f$ is convex in order $n$ sur I. En particulier nous avons le

Lemma 5. - Pour qu'un polynome $f$ effective degree $>n$ convex soil of order $n$ sur $I$ , il faut et il suffit que lon ail $f^{(n+1)}(x)\geq 0$ sur $I$ .

La condition est suffisante puisque la derivativee d'ordre $n+1$ d'un polynome de degré effectif $>n$ n'est pas identiquement nulle, donc ne peut s'annuler que sur un nombre fini ( $\geq 0$ ) but points. Cette derivée ne peut donc s'annuler identiquement sur aucun sous-intervale de longueur positive. A polynomial of degree effectif $n$ is a degree polynomial $n$ qui ne se reduit pas (sur un intervalle de longueur positive) à un polynome de degré $n-1$ .

Convexity of order -1 is equivalent to positivity and nonconcavity of order - 1 to non-negativity of function. La convexité d'ordre 0 est équivalente à la growth et la non-concavité d'ordre 0 à la non-décroissance de la fonction.
9. - Une fonction convexe d'ordre $n$ jouit de la propriété que toute différence divisee d'ordre $n-1$ of this function on $n-1-2$ noeuds qui ne sont pas tous confondus, est positive, à condition, bien entendu, que cette différence divisee existe*)

Consider a linear function of the form (17). Compte tenant du lemme 4, il resultelle que si tous les coefficients $\mu_{i},i=1,2,\ldots$ , $m-n-1$ late $\geq 0$ , or all are $\leq 0$ and if there is at least one

⁰⁰footnotetext: *)

\mathrm{J}_{4}

existence an sem du nr ₁ , donc an sens que la Fonction adnette effeciente less dérivées qui marvientent. dans l'expression (1) de la différence divisee congidéré.

coefficient $\mu_{i}$ différence de zéro pour lequel les noeuds $x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1}$ de la différence divisée correspondente ne sont pas tous confondus, alors la fonctionnelle lineare (17) est du degré d'exactitude $n$ and is of simple form.

La condition que les coefficients $\mu_{i}$ soient du même signe n'est pas, en général, necessaire pour que la fonctionnelle lineare (17) ait lé degree d'exactitude $n$ and be of simple form.

Let us now suppose that $x_{1}\leqq x_{2}\leqq\ldots\leqq x_{m}$ et que les ordres de multiplicity des noeuds distinct soient $\leqq n$ -t 2 . D'après certains résultatées obtenuns déjà [5], il resultelle que si $n=-1,0$ ou 1 , la condition que tous Ies coefficients $\mu_{i}$ de la fonctionnelle linear soient du même signe et qu'il existe au moins un $i$ for which $\mu_{i}\neq 0$ and the knots $x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1}$ ne soient pas tous confondus, est nécessaive et suffisante pour que la fonctionnelle lineare considérable soit du degre d'exactitude $n$ et de la forme simple. Bien, entendu, pour $n=-1$ , la dernière condition, donc que les $x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1}$ ne soient pas confondus, ne se pose pas. Nous allons reprendre ici la demonstration que nous avons, d'ailleurs, donné, avec certaines modifications non essentielles, dans notre travail cité [ $\tilde{b}$ ].

D'après ce qui précède, il suffit de montrer que si la fonctionnelle lineare (17) est du degré d'exacitude $n$ (pour $n=-1,0$ ou 1 ) et est de la forme simple, aucun des coefficients $\mu_{i}$ ne peut être différence de zéro et de signe contraire avec le nombre $A\left[x^{n+1}\right]=\sum_{i=1}^{m-n-1}\mu_{i}$ (which is necessarily $\neq 0$ ). Assuming $\sum_{i=1}^{m-i}\mu_{i}\neq 0$ , la propriété est donc equivalente au fait que les inégalités $\left(\sum_{v=1}^{m-1}\mu_{v}\right)\mu_{i}\geq 0,i=1,2,\ldots,n-n-1$ sont verificieres. Pour la demonstration nous tenons compte du fait que si $f$ est une fonction non-concave d'ordre $n$ , it is necessary that $A[f]$ ne change pas de signe (qu'il soit constantement $\geq 0$ or constantly $\leqq 0$ ). Plus exactement que, sous 1'hypothèse $\sum_{i=1}^{m-1}\mu_{i}\neq 0$ , 1'on ait $\left(\sum_{\nu=1}^{m-1}\mu_{\nu}\right)A[f]\geq 0$ , for any function $f$ non-concave order $n$ .
10. – Pour la demonstration nous alions distingue trois cas, stivant les valeurs $-1,0,1$ but $n$ .

Case 1. $n=-1$ We can suppose. $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}$ et la fonctionnelle linéaire (17) se réduite à $A[f]=\sum_{i=1}^{nt}\mu_{t}f\left(x_{i}\right)$ . Si $0<\varepsilon<<\min_{1=1,2,\ldots,m-1}\left(x_{i+1}-x_{i}\right)$ , la fonction continue

f_{i}(x)=\frac{1}{2\varepsilon}\left(\left|x-x_{i}+\varepsilon\right|+\left|x-x_{i}-\varepsilon\right|-2\left|x-x_{i}\right|\right)

est mon-négative, se réduit à 1 sur $x_{1}$ et à 0 sur les autres noeuds. Nous avons done $A\left[f_{i}\right]=\mu_{i},i=1,2,\ldots,m$ . Il en resulte que $\left(\sum_{v=1}^{m}\mu_{v}\right)\mu_{i}\geq 0,i==1,2,\ldots,m$ , ce qui démontre la propriété.

Cas 2. $n=0$ . Nous pouvons stpposer, sans restreindre la généralité, que tous les mouds soient doubles. Supposons donc que $m$ soit pair et $x_{2i-1}=x_{2t},i=1,2,\ldots,\frac{1}{2},x_{1}<x_{9}<\ldots<x_{ij-1}$ . La fonctionnelle lineaire (17) se réduit à $A[f]=\sum_{f=1}^{n-1}\mu_{f}\left[x_{i},x_{i+1};f\right]$ . Ire cas on quelques wins on tous les noeuds sont simples est compris dans le précédent comme un cas particulier. Si, par ex., an liew du noeud double $x_{2i-1}=x_{2i}$ , nous avons un noend simple qui coincide avec ce point, il suffit de prendre $\mu_{2-1}=0$ dans a formule précédente. Alors la dérivée de la fonction $f$ sur ce point disparait dans l’expression de $A[f]$ .

Il faut maintenant distinguer denx cas, suivant la parité de l’indice $i$ du coefficient $\mu_{1}$ .
$1^{\circ}$ . Soit $i$ pair. Alors les noends $x_{i},x_{i+1}$ sont distincts $\left(x_{i}<x_{i+1}\right)$ et la fonction continue

f_{i}(x)=\frac{1}{2}\left(x_{i+1}-x_{i}+\left|3x-2x_{i}-x_{i+1}\right|-\left|3x-x_{i}-2x_{i+1}\right|\right)

i=2,4,\ldots,m-2

est non-décroissante et nous donne $A\left[f_{l}\right]=\mu_{l}$ . Nous avons done

	$\displaystyle\left(\sum_{v=1}^{m-1}\mu_{v}\right)\mu_{i}\geqq 0$		(20)
	$\displaystyle\text{ pour }i=2,4,\ldots,m-2.$

$2^{\circ}$ . Soit $i$ impair. Alors $x_{i-1}<x_{i}=x_{i+1}<x_{i+2}$ Si $0<\varepsilon<<\min\left(x_{i}-x_{i-1},x_{i+2}-x_{i+1}\right)$ , la fonction continue

\begin{gathered}f_{i}(x)=\frac{1}{2}\left(2\varepsilon+\left|x-x_{i}+\varepsilon\right|-\left|x-x_{i}-\varepsilon\right|\right)\\ i=1,3,\ldots,m-1\end{gathered}

est non-décroissante et nous avons $A\left[f_{i}\right]=\varepsilon\left(\frac{\mu_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}+\frac{\mu_{i+1}}{x_{i+2}-x_{i+1}}\right)+\mu_{i}$ . Si $\mu_{i}\neq 0$ , pour $\varepsilon$ suffisamment petit, $A\left[f_{i}\right]$ est aussi $\neq 0$ et du même signe avec $\mu_{i}$ . On en déduit que l’inégalité (20) est vraie aussi pour $i=1$ . $3,\ldots,m-1$ .

L’inégalité (20) est donc vraie pour $i=1,2,\ldots,m-1$ et la propriété est démontrée.

Cas 3. $n=1$ . Nons potvons supposer, sans restreindre la généralité, que tous les noeuds soient triples. Soit donc $m$ un multiple de 3 et soient $x_{3i-2}=x_{3i-1}=x_{3i},i=1,2,\ldots,\frac{m}{3},x_{1}<x_{4}<x_{7}<\ldots<x_{m-2}$ . La fonctionnelle linéaire (17) se réduit à $A[f]=\sum_{i=1}^{m-2}\mu_{i}\left[x_{i},x_{i+1},x_{i+2};f\right]$ . I.e cas où quelques uns ou tous les noeuds sont doubles ou simples est compris dans le précédent comme un cas particulier. Si par ex., au lieu du noeud triple $x_{3i-2}=x_{3i-1}=x_{3i}$ nous avons un noeud double coincidant avec ce point, il suffit de prendre $\mu_{3i-2}=0$ dans la formule précédente. Alors la
dérivée seconde de la fonction $f$ sur ce point disparait dans l’expression de $A\lceil f$ . Si au lieu d’un noend double, nous avons un noeud simple en ce point, il suffit de prendre $\mu_{3i-2}=0$ et $\mu_{3i-1},\mu_{3i-3}$ de manière que 1 on ait $\left(x_{3i+1}-x_{3}\right)\mu_{3i-3}=\left(x_{3i-2}-x_{3i-3}\right)\mu_{3i-1}$ , pour que dans l’expression de $A[f]$ disparesse anssi la première dérivée de $f$ sur ce point.

Nous allons ici encore distinguer deux cas, suivant les valeurs de l’indice $i$ de $\mu_{i}$ par rapport au diviseur 3.
$1^{\circ}$ . Considérons le pair de cocfficients $\mu_{i},\mu_{i+1}$ où $i+1$ est un multiple de 3. Nons avons $x_{i+1}<x_{i+2}$ et la fonction continute

\begin{gathered}f_{i}(x)=\left(x_{i+2}-x_{i+1}\right)\frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2}\\ i=2,5,8,\ldots,m-4\end{gathered}

où $x_{i+1}<\lambda<x_{i+2}$ est non-concave d’ordre 1 et nous avons

A\left[f_{i}\right]=\frac{\mu_{i}\left(x_{i+2}-\lambda\right)+\mu_{i+1}\left(\lambda-x_{i+1}\right)}{x_{i+2}-x_{i+1}}

On voit que si $\mu_{i}\neq 0$ et $\lambda$ est sulfisamment proche de $x_{i+1},A\left[f_{i}\right]$ est $\neq 0$ et a le mêne signe que $\mu_{1}$ et si $\mu_{i+1}\neq 0$ et $\lambda$ est suffisamment proché de $x_{i+2},A\left[f_{i}\right]$ est $\neq 0$ et a le même signe que $\mu_{i+1}$ . Il en résulte que

\left(\sum_{v=1}^{m-2}\mu_{v}\right)\mu_{v}\geqq 0

(21)

pour $i=2,3,5,6,8,9,\ldots,m-4,m-3$ .
$2^{\circ}$ . Supposons maintenant que $i$ soit congru à 1 modulo 3. Alors $x_{i}==x_{i+1}=x_{i+2}$ . Si $0<\varepsilon<\min\left(x_{i}-x_{i-1},x_{i+3}-x_{i+2}\right)$ , la fonction continue

\begin{gathered}f_{i}(x)=\frac{1}{2}\left[4\varepsilon\left(x-x_{i}\right)+\left(x-x_{i}+\varepsilon\right)\left|x-x_{i}+\varepsilon\right|-\right.\\ \left.-\left(x-x_{i}-\varepsilon\right)\cdot\left|x-x_{i}-\varepsilon\right|\right]\\ i=1,1,7,\ldots,m-2\end{gathered}

est non concave d’ordre 1 et nous avons

A\left[f_{i}\right]=\varepsilon^{2}\left[\frac{\mu_{i-2}-\mu_{i-1}}{\left(x_{i}-x_{i-1}\right)^{2}}+\frac{\mu_{i+2}-\mu_{i+1}}{\left(x_{i+3}-x_{i+2}\right)^{2}}\right]+2\varepsilon\left[\frac{\mu_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}+\frac{\mu_{i+1}}{x_{i+1}-x_{i+2}}\right]+\mu_{i}.

Si $\mu_{i}\neq 0$ , pour suffisamment petit, $A\left[f_{i}\right]$ est $\neq 0$ et est de même signe avec $\mu_{i}$ . Il en résulte que l’inégalité (21.) est vraie aussi pour $i=1,4,7$ , $\ldots,m-2$ . I’inégalité (21) est donc vraie pour $i=1,2,\ldots,m-2$ et la propriété est démontrée.
11. - La propriété mise en évidence pour $n=-1,0$ et 1 n’est plus vraie pour $n>1$ . Pour dénoutrer cette propriété il suffit de montrer que si $n>1,x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+4}$ et si $\mu^{\prime},\mu^{\prime\prime}$ sont deux nombres positifs suffisamment grands ( $\mu^{\prime}+\mu^{\prime\prime}>1$ ), la fonctionnelle linéaire
(22) $\mu^{\prime}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]-\left[x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+3};f\right]+\mu^{\prime\prime}\left[x_{3},x_{1},\ldots,x_{n+4};f\right]$
est (de degré d’exactitude $n$ et) de la forme simple. En effet, introductions entre les noends $x_{i}$ encore $n+3$ noends, en formant ainsi la suite de noeuds $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{2n+7},x_{2i-1}=x_{i},i=1,2,\ldots,n+4$ . Des formules de moyenne des différences divisées [3] il resultelle que

		$\displaystyle{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]=\sum_{i=1}^{n+2}\alpha_{i}\left[x_{i},x_{i+1}^{\prime},\ldots,x_{i+n+1};f\right]}$
		$\displaystyle{\left[x_{2},x_{2},\ldots,x_{n+3};f\right]=\sum_{i=3}^{n+4}\beta_{i}\left[x_{i}^{\prime},x_{i+1}^{\prime},\ldots,x_{i+n+1}^{\prime};f\right]}$

\left[x_{3},x_{4},\ldots,x_{n+4};f\right]=\sum_{i=5}^{n+6}\gamma_{i}\left[x_{i}^{\prime},x_{i+1}^{\prime},\ldots,x_{i+n+1}^{\prime};f\right]

where $\alpha_{i},\beta_{i},\gamma_{i}$ sont des coefficients positifs, indépendants de la fonction $f$ (it $\sum_{i=1}^{n+2}\alpha_{i}=\sum_{i=3}^{n+4}\beta_{i}=\sum_{i=5}^{n+6}\gamma_{i}=1$ ). The linear function (22) can therefore be written sous la forme

\sum_{i=1}^{n+6}\left(\mu^{\prime}\alpha_{i}+\mu^{\prime\prime}\gamma_{i}-\beta_{i}\right)\left[x_{i}^{\prime},x_{i+1}^{\prime},\ldots,x_{i+n+1}^{\prime};f\right]

oh $\alpha_{n+3}=\alpha_{n+4}=\alpha_{n+5}=\alpha_{n+6}=\beta_{1}=\beta_{2}=\beta_{n+5}=\beta_{n+6}=\gamma_{1}=\gamma_{2}=\gamma_{3}==\gamma_{4}=0$ . The property results from the fact that there is no index $i$ for which the coefficients $\alpha_{i},\gamma_{i}$ soient nuls à la fois (on voit facilement que ceci n'est plus vrai pour $n=0$ where $=1$ ).

Enfin rappelons que pour qu'une fonctionnelle linear de la forme (1) ait un degré d'exactitude $n$ et pour qu'elle soit de la forme simple, il faut que les ordres de multiplicity $k_{1},k_{2},\ldots,k_{0}$ des noeuds, supposés réduits à leur nombre minimum, soient tous $\leqq n+2[5]$ .

III.

12.
- •
  
  Nous allons nous occuper du reste de certaines formulaes drapproximation pour la fonctionnelle linéaire $A[f]$ . Ces formulas peuvent être considéraires conme des généralisations de la formule d'interpolation de Lagrange, qui a comme cas particulier la formula de Taylor.

Soit $A[f]$ une fonctionnelle lineare defined sur l'espace $S$ (voir Mr. 1). Nous considerons une suite finie ou infinie de points
(23)

y_{0},y_{1},\ldots

distinct on non. We consider a section
(24)

y_{0},y_{1},\ldots,y_{s}

de cette suite et le polynome de Lagrange-Hermite $L\left(y_{0},y_{1},\ldots,y_{s};f\mid x\right)$ sur ces points et relativet à la fonction $f$ . For everything $x\in I$ This polynomial is a linear function of the form (1). Plus exactly, ce polynome pent être mis sous la forme (1), où les $a_{i,j}$ sont des polynomes indépendants de la function $f$ , le nombre total des noeuds, distincts ou non, étant égal à $s+1^{*}$ ).

Nous avons alors la formula d'approximation

A[f]=A\left[L\left(y_{0},y_{1},\ldots,y_{s};f\mid x\right)\right]+R_{s}[f]

(25)

where $R_{s}[f]$ est le reste de cette formula.
La formula (11) nous donne
*) Il existe des valeurs de $x$ (en nombre fini), pour lesques le nowbre minimum des noeuds est plus petit que $s+1$ .
where

	$\displaystyle A[f]$	$\displaystyle=\sum_{v=0}^{s}c_{v}\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{v};f\right]+R_{s}[f]$		(26)
	$\displaystyle c_{v}$	$\displaystyle=A\left[\prod_{i=0}^{v-1}\left(x-y_{i}\right)\right],v=0,1,\ldots,s$		(27)

The formula (25) is completely characterized by the fact that it is from the form (26), with a rest $R_{s}[f]$ fonctionnelle linear de degree d'exactitude au moins égal à s. En effet, pour tout polynome $f$ but degree $s$ , polynomial $L\left(y_{0},y_{1},\ldots,y_{s};f\mid x\right)$ does not reduce to $f$ , so $R_{s}[f]$ evening zero. Alors les coefficients $c_{v}$ , donnés par la formula (26) sont bien déterminés et, pour $v$ gave, $c_{v}$ is independent of $s$ .

Nous supposons, bien entendu, que les conditions d'existence, données au ur. 1, soient verificieres pour la fonctionnelle lineare $R_{s}[f]$ . Ainsi, les points (24), ou bien les points (23) sils interviennent tous, appartiennent à l'intervale $I$ . The divided differences $\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{v};f\right],v=0$ , $1,\ldots,s$ , existent au sens explicable au nr. 4, etc.

It is clear that if the rest $R_{s}[f]$ est defined, tous les restes précédents $R_{0}[f],R_{1}[f],\ldots,R_{s-1}[f]$ sont également des fonctionnelles linéaires defined sur $S$ .

Dans ce qui suit nous allons étudier quelques cas où le reste $R_{s}[f]$ de la formule d'approximation (25) est de la forme simple.
13. - Consider a linear function $A[f]$ de la forme (1). Except avis contraire, nous nous occuperons exclusively de fonctionnelles linéaires de cette forme. Le reste $R_{s}[f]$ de la formula (25) est alors de la même forme. Les ordres de multiplicity des noeuds peuvent être pris tous $\leqq\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p},s+1\right)$ , so yes $s+2\Longrightarrow\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\right)$ on peut appliquer le lemme 3 et la fonctionnelle linear $R_{s}[f]$ est une combinaison lineare de différences divisees d'ordre $s+1$ To put $R_{s}[f]$ effectively sous a forme (17), il suffit d'abord de realizes un numétotage convenable des noeuds de manière que la condition (15) correspondente soit verified.

Pour aller plus loin nous allons distingter les cas où la suite (24) et la suite des noeuds $z_{1},z_{2},\ldots,z_{p}$ of the linear functional $A[f]$ ont on nondes termes commons. Dans a suite nous examinerons senlement les cas où la coincidence a lietu aup plus avec un seuldes nocuds $z_{i}$ . Soit $z_{1}$ ce noeud, dont l'ordre de multiplicity est $k_{1}$ and suppose that $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ soit un numérotage normal des noeuds de $A[f]$ , where $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{h_{1}}=z_{1}$ . Then (if $p>1$ ) aucun terme de la suite (24) ne coincide pas avec l'un des points $x_{k_{1}+1},x_{k_{1}+2},\ldots,x_{in}$ .

Soit $k\left(0\leqq k\leqq k_{1}\right)$ the smallest among the number $k_{1}$ et le nombre des termes de la suite (24) égaux à $z_{1}$ . Equality $k=0$ signifie qu'aucun des termes de la suite (24) ne coincide avec un noeud $z_{i}$ Yes $k>0$ , parmi les points (24) il y en a au moins $k$ which coincide with $z_{1}$ Let's designate by $s^{r}$ le plus petit index tel que la suite $y_{0},y_{1},\ldots,y_{s^{\prime}-1}$ (yes) $s^{\prime}$ terms) contains at least $k$ equal terms to $z_{1}$ We have $s^{\prime}\equiv k$ yes yes $k=0$ we can take $s^{\prime}=0$ .

Les noeuds de la fonctionalle linéare $R_{s}[f]$ peuvent être écrits dans 1a suite*) $y_{s},y_{s-1},\ldots,y_{0},x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{m}$ Their number is equal to $s+1+m-k$ et le numerotage correspondent à cette suite verific la condition (15) (avec $n=s$ ) yes $s\geq s^{\prime}+m-k-1(\geq m-1)$ It follows that if $m\leqq k$ the linear function $R_{s}[f]$ est null identicalnent**). But inequality $m\leq k$ a lieu si et seulement si tous les noeuds $x_{i}$ sont confondus avec le meme point $z_{1}$ et la sutte (24) contient aut moins $m$ equal terms to $z_{1}$ .

Dans le cas contraire, doic si out bien $p>1$ or well $p=1,k<k_{1}$ (in both cases we have $m>k$ ), we have the formula

R_{s}[f]=\sum_{i=k+1}^{m}\mu_{i}^{(s)}\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{s+1+k-i},x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{i};f\right]

(28)

where the coefficients $\mu_{i}^{(i)}$ sont indépendants de la function $f$ .
We can calculate the coefficient $\mu_{\mu}^{(s)}$ in the following way. Either $x_{m}=z_{\mu}$ . Alors, compte tenant de la formula (1), le coefficient de $f^{\left(k_{\mu}-1\right)}\left(z_{\mu}\right)$ dans le premier membre de (28) est égal à $a_{\mu,k_{\mu}-1}$ et le même coefficient dans le second membre est ègal à $\mu_{n}^{(s)}$ multiplied by

\begin{gathered}\frac{1}{\left(k_{\mu}-1\right)!}\cdot\frac{1}{P^{\prime}\left(z_{\mu}\right)\prod_{v=k+1}^{m-k_{\mu}}\left(z_{\mu}-x_{v}\right)}\text{, si }p>1(\text{ alors }\mu\neq 1)\\ \frac{1}{\left(k_{1}-1\right)!}\cdot\frac{k!}{P^{(k)\left(z_{1}\right)}},\text{ si }p=1,k<k_{1},\end{gathered}

out $P(x)=\prod_{v=0}^{3+1+k-m}\left(x-y_{v}\right)$
It follows that

\mu_{n}^{(s)}=\left\{\begin{array}[]{l}\left(k_{\mu}-1\right)!P\left(z_{\mu}\right)_{v=k+1}^{m-k}\prod_{\mu}\left(z_{\mu}-x_{\nu}\right)a_{\mu,k_{\mu}-1}\text{ si }p>1.\\ \frac{\left(h_{1}-1\right)!}{k!}P^{(k)}\left(z_{1}\right)a_{1,k_{1}-1}\text{ si }p=1,k<k_{1}.\end{array}\right.

En supposani donc que la condition (2) soit verifiée, nous avons $\mu_{n}^{(s)}\neq 0$ .
Il en resultelle que si les hypotheses précédentes sont verificées et si les coefficients $\mu_{i}^{(s)},i=k+1,k+2,\ldots,m$ sont tous du meme signe, le reste $R_{s}[f]$ est de degré d'exactitude s et est de la forme simple. Down coefficient $K$ de la formula (18) correspondante est égal à $R_{s}\left[x^{s+1}\right]=A\left[\prod_{v=0}^{s}\left(x-y_{v}\right)\right]$ .

⁰⁰footnotetext: *) Ce ne sont pas tuéccesairement les noeuds réduits à leur monubre minimum.
*) Ira propriété pent ne pas subsister si

s<s^{\prime}+m-k-1

Dans la suite nous supposerous toujours, sauf avis contraire, que pour la fonctionnelle lineare $A[f]$ condition (2) is verified.
14. - On obteijn un interessant cas particulier en prenant pour $A[f]$ la différence divisiee (4). Pour énoncer la propriété respective, nous allons poser $a^{\prime}=\min\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{p}\right),b^{\prime}=\max\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{p}\right)$ . Donc $\left[a^{\prime},b^{\prime}\right]\subseteq I$ est le plus petit intervalle fermé qui contient les noends de la fonctionnelle $A[f]$ . We then have the

THSORHME 1. - Si soms les hypothèses et les notations prédédentes: $1^{\circ}$ les points (24) sond on bien lows $\leq a^{\prime}$ , or lows $\geq b^{\prime},2^{\circ}$ . nows avons $p>1$ you are welcome $p=1$ of $k<k_{1},3^{\circ}$ . s $=k,s\geq m-1$ , the rest $R_{s}[f]$ from the approximation formula
(29)

\begin{gathered}{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\right]=}\\ =\sum_{y=1}^{s}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};\prod_{i=1}^{v-1}\left(x-y_{i}\right)\right]\cdot\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{v};f\right]+R_{s}[f]\end{gathered}

a le degré d'exactilude s ob ost de la forme simple.
Pour la demonstration il suffira de verifier que les coefficients $\left[t_{i}^{(*)}\right.$ de la formula (28) correspondante sont tous du méme signe. Nous allons calculer ces coefficients.

Nons allons calculer, en général, les coefficients $\mu_{4}^{(s)}$ of formula (28) for $A[f]$ de la forme (1), en supposant que les conditions $2^{\circ}$ this $3^{\circ}$ du théorème 1 soient verifićes. Pour faire le calcul remarks que nous avons*)

A\left[/(x)\left(x-z_{1}\right)^{k}\right]=\sum_{i=k+1}^{m}\mu_{i}^{(5)}\left[x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{i};\frac{f(x)}{s+1+k-i}\left(x-y_{v}\right)\right]

(30)

Ski $k<k_{1}$ cette formule results, en appliquant les formulas (7), (8), par l'identification des parties des expressions de $R_{5}[f]$ tirées de (26) et de (28) et qui contenant seulement les termes correspondents aux noeuds ${z_{i}}$ Yes $h=k_{j}$ la formulae results de la même manière, en identifying les termes qui proviennent des noends $z_{z},z_{a},\ldots,z_{p}$ .

Frenons naintenant comme fonction $f$ polynomial
$\left(x_{i}-y_{s+1+k-i}\right)\prod_{v=k}^{s+k-i}\left(x-y_{v}\right)\prod_{v=k+1}^{i-1}\left(x-x_{v}\right)$ , where $\prod_{v=k+1}^{i-1}\left(x-x_{v}\right)$ pour $i=\ldots+k$ this $\prod_{v=k}^{s+k-m}\left(x-y_{r}\right)$ pours $=m-1$ sont replaced by 1. Alors le second membre de (30) se réduit à $\mu_{i}^{[s]}$ and we get

	$\displaystyle k^{(s)}=\left(x_{i}-y_{s+1+k-i}\right)A\left[\prod_{v=1}^{i-1}\left(x-x_{v}\right)\prod_{v=k}^{s+k-i}\left(x-y_{v}\right)\right]$		(31)
	$\displaystyle i=k+1,k+2,\ldots,m.$

*) Yes $h=0,A\left[f(x)\left(x-z_{1}\right)^{h}\right]$ it is reduced to $d[f]$ .

En revenant au théorème 1, nous avons dans ce cas $A[f]==\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\right]$ et en tenant account de la formula (8),

	$\displaystyle\mu_{i}^{(s)}=\left(x_{i}-y_{s+1+k-i}\right)\cdot\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{m};\prod_{v=k}^{s+k-i}\left(x-y_{v}\right)\right],$		(32)
	$\displaystyle i=k+1,k+2,\ldots,m.$

But the polynomial $\prod_{v=k}^{s+k-i}\left(x-y_{v}\right)$ has a derivative of order $m--i$ negative on the interval $\left(a^{\prime},b^{\prime}\right)$ si les points (24) sont à droite de $b^{\prime}$ this $s-n+1$ est impaired Dans les autres cas, compatibles avec les hypothèses du thèorème 1 , cette derivée est positive sur ( $a^{\prime},b^{\prime}$ ). It results in the coefficients $\mu^{(s)}$ sont positifs si les points (24) sont ou bien à gauche de $a^{\prime}$ or to the right of $b^{\prime}$ this $s-m+1$ est impair et ils sont négatives si les points ( 24 ) sont à droite de $b^{\prime}$ this $s-m+1$ is pair. On a supposed $a^{\prime}<b^{\prime}$ . Lorsque $a^{\prime}=b^{\prime}$ we are in the case $p=1,k<k_{1}$ et on voit facilement que la propriété est encore vraie.

Theorem 1 is proven.
Dans le cas du théorème 1, dans les formulas (27) nous avons $c_{0}=c_{1}==\ldots=c_{m-2}=0$ , done si $s<m-1$ , on the $R_{s}[f]=\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\right]$ .

Le théorème 1 generalise some properties of H . D. Kloostermann [1]. On obtienen ces properties pour

		$\displaystyle x_{i}=x+(i-1)h,i=1,2,\ldots,m(h\neq 0),y_{i}=x,i=0,1,\ldots,s$
		$\displaystyle x_{i}=x,i=1,2,\ldots,m,y_{i}=x+ih,i=0,1,\ldots,s(h\neq 0)$

respectively et si, de plus, nous supposons que la fonction $f$ admete une dérivée continue d'ordre $s+1$ à l'intérieur du plus petit intervalle contenant les points $x_{i},y_{i}$ .
15. - Reprenons la formula (28) et tenons compte des conditions sous lesquences cette formula a été established. Nous pouvons alors trouver une relation simple entre les coefficients $\mu_{i}^{(s)},\mu_{i}^{(s+1)}$ We have

\begin{gathered}R_{s}[f]-c_{s+1}\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{s+1};f\right]=R_{s+1}[f]=\\ =\prod_{i=k+1}^{m}\frac{\mu_{i}^{(s+1)}}{x_{i}-y_{s+2+k-i}}\left\{\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{s+1+k-i},x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{i};f\right]-\right.\\ \left.-\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{s+2+k-i},x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{i-1};f\right]\right\}\end{gathered}

où la seconde différence divisée se réduit à $\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{s+t};f\right]$ pour $i=k+1$ . La formula a un sens, puisque sous les hypotheses signéles, $x_{i}\neq y_{s+2+k-i},i=k+1,k+2,\ldots,m$ .

En comparant avec la formula (28), nous deduisons,

	$\displaystyle\mu_{i}^{(s+1)}=\left(x_{i}-y_{s+2+k-i}\right)\left(\mu_{i}^{(s)}+\mu_{i+1}^{(s)}+\cdots+\mu_{m}^{(s)}\right)$		(33)
	$\displaystyle i=k+1,k+2,\ldots,m.$

Ces formulas permettent d'énoncer le

THEOREM 2. - Sous les hypothèses sous leslénces on a établi la formula (28) el si: $1^{\circ}$ Let's see the points (24) $\leqq a^{\prime}$ how are you all? $\geq b^{\prime}2^{\circ}$ there is a value $s_{0}$ de s pow laquelle tous les coefficients $\mu_{-}^{(s)}$ are the main signs.
the rest $R_{s}[f]$ de la formula d'approximation (25) est du degré d'exactitude $s$ et est de la forme simple pour $s\geq s_{0}$ .

En effet, sous les conditions du théorène, on voit que si les coefficients $\mu_{i}^{(s)}$ sont tous du même signe, les coefficients $\mu_{i}^{(s+1)}$ sont également tous du mème signe.
16. - On peut se demander s'ils existent toujours, pour une fonctionnelle lineare $A[f]$ , de la forme (1) par ex., des valeurs de $s$ for which the rest $R_{s}[f]$ soit de la forme simple, on bien si ce reste soit de la forme simple pour un s assez grand? We will give an example to show that the answer is negative.

Soit $A[f]=f(0)+f^{\prime}(0)$ and let's take the points $y_{v}=(v+1)(v+2)$ , $v=0,1,\ldots$ In this case we have ( $s\geq 0$ ),

\begin{gathered}R_{s}[f]=(-1)^{s}s!(s+1)!\left\{\left[0,0,y_{0},y_{1},\ldots,y_{s-1};f\right]-\right.\\ \left.-(s+2)\left[0,y_{0},y_{1},\ldots,y_{s};f\right]\right\}\end{gathered}

Compte tenant des results antérieurs, $R_{s}[f]$ , qui est du degré d'exactitude $s$ , n'est pas de la forme simple pour aucune valeur de $s\geq 3$ .
17. - The previous example makes the following property present a certain interest,

THEOREM 3. - Sous les hypotheses sous lesquences a dee dabli la formula (28) et si tous les points (23) sont confondus en un même point n'appartenant pas à lintervale owver ( $a^{\prime},b^{\prime}$ ),
down grid $R_{s}[f]$ est du degré d'exactitude s et est de la forme simple pour $s$ sufficiently large.

In this case we have $k=0$ (si les points (24) sont à l'extérieur de $\left[a^{\prime},b^{\prime}\right]$ ) you $h=h_{1}$ (si les points (24) coincident tous avec $a^{\prime}$ or all with $b^{\prime}$ ). Il suffira de donner la demonstration dans le cas $k=0$ .

So then $k=0$ . Les formulas (33) deviennent ( $s\geq m-1$ )

\mu_{i}^{(s+1)}=\left(x_{i}-y_{0}\right)\left(\mu_{i}^{(s)}+\mu_{i+1}^{(s)}+\ldots+\mu_{m}^{(s)}\right),i=1,2,\ldots,n

(31)

Nous allons maintenant choisir les notations de manière que la suite $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n2}$ soit non-décroissante resp. non-croissante suivant que $y_{0}<a^{\prime}$ respectively $y_{0}>b^{\prime}$ . So the numbers $x_{i}-y_{0}$ sont différents de zéro, du même signe et la suite $\left|x_{1}-y_{0}\right|,\left|x_{2}-y_{0}\right|\ldots\ldots\left|x_{m}-y_{0}\right|$ , de leurs valeurs absolutes est non-décroissante.

From (34) we deduce

\mu_{i}^{(s)}=\sum_{i=i}^{mt}M_{i,j}^{(\xi)}\mu_{j}^{(m-1)},i=1,2,\ldots,m.

(35)

where the triangular matrix $\left(M_{i,j}^{(s)}\right)$ evening $(s-n-1)^{\text{ème }}$ power of the triangular matrix
u) $\left(\begin{array}[]{ccc}x_{1}-y_{0}&x_{1}-y_{0}&\ldots\\ 0&x_{1}-y_{0}&\ldots\\ 0&\ldots&\ldots\\ 0&0&\ldots\end{array}\right.$

Let's designate by $W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{r}\right)$ the symmetrical function $\sum z_{1}^{a_{1}}z_{2}^{a_{2}}\ldots z_{t^{\prime}}^{a_{r}}$ , la somme étant étendue aux solutions en entiets non-negatifs de l'équation en $\alpha_{i},\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{r}=i\quad\left(W_{0}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{r}\right)=1\right)$ , We have

	$\displaystyle\Delta I_{i,j}^{(o)}-\left(x_{i}-y_{0}\right)W_{s-m}\left(x_{i}-y_{0},x_{i+1}-y_{0},\ldots,x_{j}-y_{0}\right),$		(36)
	$\displaystyle j=i,i+1,\ldots,mi=1,2,\ldots,m.$

18.
- •
  
  Avant d'aller plus loin nous allons establisher un lemme qui présente un intérêt, independent of the application que nons lui donnons ici,

Lemma 6. - Si tes nombres non-néganifs $z_{1},z_{2},\ldots,z_{r-1}(r>1)$ sond compris dans l'iniervalle $\left[0,z_{r}\right]$ , we do not tolerate inequality

\frac{F_{1}\left(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\ldots,\varepsilon_{r}\right)}{(r-1+i)}\geq\frac{W_{i}\left(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\ldots,z_{r-1}\right)}{(r-2+i)}

(37)

l'gählé dani waie si el senlement si ou bien $i=0$ , or $i>0$ dows les wombres $z_{1},z_{2},\ldots,z_{r}$ sone éganex.

La propriété est innádiate pour $i=0$ and for $i>0$ this $z_{1}=z_{2}==\ldots=r_{r-1}=0$ .

Suppose that $z_{1},z_{2},\ldots,z_{r-1}$ ne soient pas tous nuls. Alors on a nécessairement $z_{r}>0$ . We have

\begin{gathered}W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{r}\right)=\left[z_{1},z_{2},\ldots,z_{r};x^{r-1+i}\right]\\ W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{r-1}\right)=\left[z_{1},z_{2},\ldots,z_{r-1};x^{r-2+i}\right]=\\ =\left[z_{1},z_{2},\ldots,z_{r};x^{r-2+i}\left(t-z_{r}\right)\right]\end{gathered}

oil
$(r-1+i)\left[\frac{w_{i}\left(r_{1},r_{2},\ldots,r_{r}\right)}{\left(r-\frac{1}{1}+i\right)}-\frac{w_{i}\left(r_{1},r_{2},\ldots,r_{r-1}\right)}{\left(r-\frac{2}{i}+i\right)}\right]=W_{i}\left(r_{1},\hat{w}_{2},\ldots,r_{r}\right)-$
$-\frac{y-1+i}{y-1}W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{1-1}\right)-\frac{1}{y-1}\left[z_{1},z_{2},\ldots,z_{r};x^{r-2+i}\left((r-1-1)z_{r}\cdots i,1\right)\right]$ .
But the derivative $(r-1)^{\text{bine }}$ of polynomial $x^{r-2+i}\left[(r-\cdots 1-\mid-i)z_{r}-ix\right]$ good evening $\frac{(v-1-1)!}{(i-1)!}x^{-1}\left(z_{r}-x\right)$ , qui cst positive sur lindervalle $\left(0,z_{r}\right)$ . The result is that the poíynome considered est convexe d'ordre $\psi-2$ . I'inégalité (37) results immediately.

The case of equality is easy to study.
$\mathrm{J}_{\mathrm{e}}$ e lenume a est donc démantado.
Je nombre ( $r-1+i$ ) is precisely the name of the terms of the symmetric function $\left.W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{r}\right)^{1}\right)$

Ski $0<z_{1}\leqq z_{2}\leqq\ldots\leqq z_{r}$ qui est le cas qui nous interesse tout particuliérement dans la demonstration du théorem 3, nous powvons déduiré concore une inégalité remarquable. Dans ce cas nots avons
$(v-1)W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{v}\right)-(v-1-1)W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{v}-1\right)\geq 0,v-2,3,,,v_{.}$ .
Si nous ajoutons membre à membre ces inégalités, nous déduisons $(r>1)$ ,

\frac{W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{i}\right)}{\sum_{v=1}^{T}W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{v}\right)}\geq\frac{i-1}{r-1}

(38)

19.
- •
  
  Revenons à la dénonstration du théorème 3. Compte tenant de (36) et de de (38), nous déduisons

\frac{M_{i,m}^{(s)}}{\sum_{j=i}^{m-1}M_{i,j}^{(s)}}\geq\frac{s-m-1}{m-i}\geq\frac{s-m+1}{m-1},i=1,2,\ldots,m-1

(39)

et de 1a formule (36) nous obtenous

\begin{gathered}\mu_{i}^{(s)}=\left\{\begin{array}[]{c}M_{i,m}^{(s)}\\ \sum_{j=1}^{m-1}M_{i,j}^{(s)}-1,-1,-\frac{\sum_{j=i}^{n-1}\mu_{j}^{(m-1)}M_{i,j}^{(s)}}{\sum_{j=1}^{n-1}M_{i,j}^{(s)}}\end{array}\right\}\sum_{j=i}^{m-1}M_{i,j}^{(s)}\\ i=1,2,\ldots,mi-1.\end{gathered}

Nous remarquons maintenant que : $1^{\circ}$ the sums $\sum_{j=i}^{m-1}M_{i,j}^{(j)},i=1,2,\ldots$ …. $m$ - 1 are different from zero and from the same sign, $2^{\circ}$ down quotient $\sum_{j=1}^{m-1}\mu_{j}^{(m-1)}M_{i,j}^{(s)}/\sum_{j=1}^{m-1}M_{i,j}^{(s)}$ est nne moyenne arithmetic ponderée des nombres $\mu_{i}^{(m-1)},\mu_{i+1}^{(m-1)},\ldots,\mu_{n-1}^{(m-1)}$ . Ces nombres restent compris entre deux nombres fixed, indépendants de $s\left(\right.$ between ${}_{i=1,2,\ldots,m-1}^{\mu_{i}^{(m-1)}}$ this $\left.\max_{i=1,2,\ldots,m-1}^{\mu_{i}^{(m-1)}}\right)$ ,
*) L'inégalité (07) peut aussi s'éctire sons la forme d'une fnégalité entre deux valeurs noyemes.

\sqrt[i]{\frac{W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{r}\right)}{(r-1+i)}}\geq\sqrt[i]{\frac{F_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{1}-1\right)}{(r-2+i)}}

$3^{\circ}\mu_{m}^{(m-1)}$ est différence de zéro, sous les hypothèses du théorème 3 (voir nr. 13). But (39) il resultetre donc que, pour

s>(m-1)\left(1+\max_{i-1,2\ldots\ldots m-1}\left|\frac{\mu_{i}^{(m-1)}}{\mu_{m}^{(m-1)}}\right|\right),

all the numbers $\mu^{(s)},i=1,2,\ldots,m$ sont différents de zéro et du même signe (leur signe est celui de $\left[\operatorname{sg}\left(x_{\mathrm{i}}-y_{0}\right)\right]^{s-m}\cdot\operatorname{sg}\mu_{m}^{(m-1)}$ ).

Le théorème 3 est ainsi démantante pour $k=0$ . Pour $k=k_{1}$ (in this case) $p>1$ ), the demonstration se fait d'une façon tout à fait anaiogue, en nous basant sur les formules ( 33 ) pour $k=k_{1}$ .

Theorem 3 is proven.
20. - Pont domer nut exemple prenous la fonctionnelle linéaire

		$\displaystyle A[f]=f(0)-f(0)-0,8\left[f^{\prime}(0)-\mid f^{\prime}(0)\right]$
		$\displaystyle\quad-1,2\left[f^{\prime}(1)-\mid-f^{\prime}(5)\right]-2,2\times f^{\prime}(3)$

qui est le reste de la formula de quadrature de Hardy [2]

\int_{0}^{6}f(x)dx=0,28[f(0)+f(6)]+1,62[f(1)+f(5)]+2,2\times f(3)+R^{*}[f]

applied to the function $f^{\prime}(x)\left(R^{*}\left[f^{\prime}\right]=A[f]\right)$ .
$A[f]$ est du degré d'exactitude 6 , mais n'est pas de la forme simple [7]. Si nous considerons le développement taylorien

A[f]=\sum_{v=1}^{s}A\left[x^{v}\right]\frac{f^{(v)}(0)}{v\mid}+R_{s}[f]

en vertu du théorème 3 , le reste $R_{s}[f]$ est clu degré d'exactitude s et est de la forme simple pour s assez grand.

We have in this case $p=5,k_{1}=k_{2}=k_{3}=k_{1}=k_{0}=2,m=10$ , $h=s^{\prime}=2,x_{1}=x_{2}=0,x_{3}=x_{4}=1,x_{5}=x_{6}=3,x_{7}=x_{8}=5,x_{9}=x_{10}==6,y_{0}=y_{1}=\ldots=0$ . Nous pouvons appliquer les formulas (31) et nous trouvons

\begin{array}[]{ll}\mu_{3}^{(s)}=A\left[x^{s}\right],&\mu_{7}^{(s)}=5A\left[x^{s-4}(x-1)^{2}(x-3)^{2}\right]\\ \mu_{4}^{(s)}=A\left[x^{s)}(x-1)\right],&\mu_{8}^{(s)}=5A\left[x^{s-5}(x-1)^{2}(x-3)^{2}(x-5)\right]\\ \mu_{5}^{(s)}=3A\left[x^{s-2}(x-1)^{2}\right],&\mu_{9}^{(s)}=6A\left[x^{s-6}(x-1)^{2}(x-3)^{2}(x-5)^{2}\right]\\ \mu_{6}^{(s)}=3A\left[x^{s-3}(x-1)^{2}(x-3)\right],&\mu_{10}^{(s)}=6A\left[x^{s-7}(x-1)^{2}(x-3)^{2}(x-5)^{2}(x-6)\right]\end{array}

A l'aide de ces formulas on peut calculer les coefficients $\mu_{i}^{(9)}$ , doing $s=9$ , en tenant compte du fait que $A[f]$ a le degré d'exactitude 6 et en calculant les nombres

A\left[x^{7}\right]=64,8\quad A\left[x^{8}\right]=1555,2\quad A\left[x^{9}\right]=19828,8

Pour calculer les coefficients $\mu_{i}^{(s)}$ pour $s>9$ , on applique les formulas de récurrence (33) qui deviennent ici

		$\displaystyle\mu_{3}^{(s+1)}=\mu_{3}^{(s)}+\mu_{4}^{(s)}+\mu_{5}^{(s)}+\mu_{6}^{(s)}+\mu_{7}^{(s)}+\mu_{8}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}$
		$\displaystyle\mu_{4}^{(s+1)}=\mu_{4}^{(s)}+\mu_{5}^{(s)}+\mu_{6}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{8}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}$
		$\displaystyle\mu_{5}^{(s+1)}=3\left(\mu_{5}^{(s)}+\mu_{6}^{(s)}+\mu_{7}^{(s)}+\mu_{8}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}\right)$
		$\displaystyle\mu_{6}^{(s)}=3\left(\mu_{6}^{(s)}+\mu_{7}^{(s)}+\mu_{8}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}\right)$
		$\displaystyle\mu_{7}^{(s+1)}=5\left(\mu_{7}^{(s)}+\mu_{8}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}\right)$
		$\displaystyle\mu_{8}^{(s+1)}=5\left(\mu_{8}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}\right)$
		$\displaystyle\mu_{9}^{(s+1)}=6\left(\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}\right),\quad\mu_{10}^{(s+1)}=6\mu_{10}^{(s)}$
		$\displaystyle\quad s=9,0,\ldots$

Il suffit de faire les calculus jusqu'à la valeur 13 de $s$ et nous trouvons les valeurs des coefficients $\mu_{i}^{(i)}$ included in the table

$i\backslash 8$	9	10	11	12	13
3	19828.8	174960	1108792.8	3888777.6	-19594484.2
4	18273.6	155131.2	933832.8	2779984.8	-23483260.8
5	50349.6	4111572.8	2336104.8	5538456	-78789736.8
6	37519.2	259524	1104386.4	-1469858.4	-95405104.8
7	44064	244944	543024	-7971696	-151659216
8	18144	24624	-681696	-10686816	-111800736
9	988.8	-79315.2	-965770.2	-8734003.2	-70439987.2
10	-13608	-81648	-489888	-2939328	-17635988

On voit que le reste est de la forme simple pour $s\geq 13$ .

BIBLIOGRAPHY:

[1] Kloostermann, HD Derivatives and finite differences. Duke Math, Journat, 17, 109-186 (1950).
[3] Popovieiu, T., Introduction à la théorie des différences divisees, Bull. Math, de la Soc. Roumaine des sc., 42, 65-78 (1940).
[4] - Asupra formed restului in ande formula de aprotimare ale analizer. Lacr. Ses. Gen, ştiittifice, Acad. RPR, 183-185, 1950.
[5] - Asupra restudui an whele forwale de deriouse numerica. Studii si Cerc. Mat., III, 53-122 (1952).
[6] - On continuous figural home appliance life. Honey. Can. Acad., II dept. Commun., IV, 353-356 (1954).
[7] - Sw le reste dans cerlaines formales lindaires d'approximation de l'anadyse. Mathematica, 1 (24), 95-142 (1959).
Reçu 1e 28. XI. 1959

Divided differences and derivatives

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DIFFERENT DIVISEES ET DERIVEES

II.

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