"Babeş-Bolyai" University

Faculty of Mathematics and Physics

Research Seminars

Seminar on Mathematical Analysis

Preprint Nr.7, 1988, pp.167-178

Délimitations des Erreurs Dans la Résolution Numérique des Systèmes D’Équations

Ion Păvăloiu

Désignons par $\left(X_{i},\rho_{i}\right),\ i=1,2$ deux espaces métriques complets et par $X\ =X_{1}\times X_{2}$ le produit cartésien de ces espaces. Nous désignerons par $F_{1}:X\rightarrow X_{1}$ et $F_{2}:X\rightarrow X_{2}$ deux applications de l’espace $X$ en $X_{1}$ , respectivement en $X_{2}$ et nous considérons le système d’équations suivant:

(1)		$\displaystyle x_{1}$	$\displaystyle=F_{1}\left(x_{1},x_{2}\right)$
	$\displaystyle x_{2}$	$\displaystyle=F_{2}\left(x_{1},x_{2}\right),\qquad\left(x_{1},x_{2}\right)\in X.$

Pour résoudre le système (1) nous adopterons le procédé itératif de type Gauss-Seidel suivant:

(2)		$\displaystyle x_{1}^{\left(n+1\right)}$	$\displaystyle=F_{1}\left(x_{1}^{\left(n\right)},x_{2}^{\left(n\right)}\right)$
	$\displaystyle x_{2}^{\left(n+1\right)}$	$\displaystyle=F_{2}\left(x_{1}^{\left(n+1\right)},x_{2}^{\left(n\right)}\right% ),\qquad n=0,1,\ldots;\left(x_{1}^{\left(0\right)},x_{2}^{\left(0\right)}% \right)\in X$

Dans les travaux [2], [3] nous avons étudié la convergence de la méthode (2) dans l’hypothèse que les applications $F_{1}$ et $F_{2}$ remplissent des conditions de type Lipschitz dans tout l’espace $X$ .

Dans la travail [4] nous avons obtenu des délimitations des erreurs dans la résolutions numérique du système (1) à l’aide d’une méthode de type (2), dans laquelle les applications $F_{1}\$ et $F_{2}$ sont remplacées par deux autres applications $F_{1}^{\ast}$ et $F_{2}^{\ast}$ , qui remplissent certaines conditions de rapprochement de $F_{2}$ et $F_{1}$ dans tout l’espace $X$ .

Dans les applications de cette théorie à la résolution d’une classe d’équations concrètes, les conditions imposées aux applications $F_{1},F_{2},F_{1}^{\ast}$ et $F_{2}^{\ast}$ dans tout l’espace $X$ sont genantes, à cause du fait que l’espace $X$ peut ne pas ètre borné.

Dans ce qui suit nous étudierons ce problème dans l’hypothèse où $F_{1}$ et $F_{2}$ remplissent des conditions de type Lipschitz et des conditions de rapprochement de $F_{1}^{\ast}$ et $F_{2}^{\ast}$ dans cerains sous-ensembles bornés $D_{1}\subset X_{1}$ et $D_{2}\subset X_{2}$ .

Désignons par conséquent par $D_{1}$ et $D_{2}$ deux ensembles bornés des espaces $X_{1}$ respectivement $X_{2}$ et par $D=D_{1}\times D_{2}$ leur produit cartésian. Considérons deux suites $\left(f_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ et $\left(g_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ dont les éléments remplissent les conditions:

(3)		$\displaystyle f_{n}$	$\displaystyle\leq\alpha\ f_{n-1}+\beta\ g_{n-1}$
	$\displaystyle g_{n}$	$\displaystyle\leq a\ f_{n}+b\ g_{n-1},\qquad n=1,2,\ldots,$

où $\alpha,\beta,$ $a$ et $b$ sont des nombres réels non-négatifs et $f_{n}\geq 0,$ $g_{n}\geq 0$ pour tout $n=0,1,\ldots$ .

Nous associerons au système (3) le système d’équations suivant en les inconnues $h$ et $k$ :

(4)		$\displaystyle\alpha+\beta h$	$\displaystyle=h\ k$
	$\displaystyle a\ k+b$	$\displaystyle=n\ k$

Dans les travaux [2], [3] et [4] nous avons montré que si les nombres $\alpha,\beta,\ a$ et $b$ vérifient les relations

(5)		$\displaystyle\alpha+b+a\beta$	$\displaystyle<2$
	$\displaystyle\left(1-\alpha\right)\left(1-b\right)-a\beta$	$\displaystyle>0$
	$\displaystyle b$	$\displaystyle>0,\ \alpha>0$

alors le système (4) admet les solutions réelles $\left(h_{i},k_{i}\right),\ i=1,2$ pour lesquelles $0<h_{i}k_{i}<1$ et que l’une des solutions vérifie les conditions $h_{1}>0,\ k_{1}>0$ . De plus, les éléments des suites $\left(f_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ $\left(g_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ vérifient les relations

(6)		$\displaystyle f_{n}$	$\displaystyle\leq C\ h_{1}^{n-1}\ k_{1}^{n-1}$
	$\displaystyle g_{n}$	$\displaystyle\leq C\ h_{1}^{n}\ k_{1}^{n-1},\qquad n=1,2,\ldots,$

où $C=\max\{\alpha f_{0}+\beta g_{0},\frac{af_{1}+bg_{0}}{h_{1}}\}.$

Si nous écrivons $p_{1}=h_{1},k_{1}$ alors on constate aisément à l’aide de (4) que $p_{1}$ vérifie l’équation

(7)

p^{2}-\left(b+\beta a+\alpha\right)p+b\alpha=0.

Désignons par $d_{1}>0$ un nombre tel que $S_{1}\subseteq D_{1}$ , $S_{2}\subseteq D_{2}$ , où

(8)		$\displaystyle S_{1}$	$\displaystyle=\left\{x\in X_{1}:\rho_{1}\big{(}x,x_{1}^{\left(0\right)}\big{)}% \leq\tfrac{d_{1}}{1-p_{1}}\right\}$
	$\displaystyle S_{2}$	$\displaystyle=\left\{x\in X_{2}:\rho_{2}\big{(}x,x_{2}^{\left(0\right)}\big{)}% \leq\tfrac{d_{1}h_{1}}{1-p_{1}}\right\}$

En ce qui concerne la convergence des suites $\big{(}x_{1}^{\left(n\right)}\big{)}_{n=0}^{\infty},\ \big{(}x_{2}^{\left(n% \right)}\big{)}_{n=0}^{\infty}$ on a le théorème suivant:

Théorème 1.

Si les applications $F_{1},F_{2}$ vérifient les conditions

i.

$\displaystyle\rho_{1}\left(F_{1}\left(x_{1},y_{1}\right),F_{1}\left(x_{2},y_{2% }\right)\right)$ $\displaystyle\leq\alpha\rho_{1}\left(x_{1},x_{2}\right)+\beta\rho_{2}\left(x_{% 2},y_{2}\right)$

$\displaystyle\rho_{2}\left(F_{2}\left(x_{1},y_{1}\right),F_{2}\left(x_{2},y_{2% }\right)\right)$ $\displaystyle\leq a\rho_{1}\left(x_{1},x_{2}\right)+b\rho_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)$

pour toutes les $\left(x_{1},x_{2}\right),\ \left(y_{1},y_{2}\right)\in D;$
ii.

Les nombres $\alpha,\ \beta,$ $a$ et $b$ vérifient les relations (5);
iii.

Les éléments $x_{1}^{\left(1\right)}$ et $x_{2}^{\left(1\right)}$ des suites $\big{(}x_{1}^{\left(n\right)}\big{)}_{n=0}^{\infty},\big{(}x_{2}^{\left(n% \right)}\big{)}_{n=0}^{\infty}$ vérifient les conditions $\rho_{1}\big{(}x_{1}^{\left(0\right)},x_{1}^{\left(1\right)}\big{)}<d_{1}$ et $\rho_{2}\big{(}x_{2}^{\left(0\right)},x_{2}^{\left(1\right)}\big{)}\leq d_{1}h% _{1}$ .

Alors sont vraies les propriétés suivantes:

j.

Ces suites $\big{(}x_{1}^{\left(n\right)}\big{)}_{n=0}^{\infty},\big{(}x_{2}^{\left(n% \right)}\big{)}_{n=0}^{\infty}$ construites à l’aide du procédé (2) sont convergentes;
jj.

Si l’on écrit $\bar{x}_{1}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{1}^{\left(n\right)}$ et $\bar{x}_{2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{2}^{\left(n\right)}$ alors $\left(\bar{x}_{1},\bar{x}_{2}\right)\in S$ où $S=S_{1}\times S_{2}$ et $\left(\bar{x}_{1},\bar{x}_{2}\right)$ est la seul solution du système (1) dans l’ensemble $S$ ;
jjj.

Les relations suivantes ont lieu

$\displaystyle\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},x_{1}^{\left(n\right)}\right)$ $\displaystyle\leq\tfrac{d_{1}p_{1}^{n}}{1-p_{1}}$

$\displaystyle\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},x_{2}^{\left(n\right)}\right)$ $\displaystyle\leq\tfrac{d_{1}h_{1}p_{1}^{n}}{1-p_{1}}$

Démonstation.

De i. et de (2) nous déduisons les inéqualités suivantes

	$\displaystyle\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(2\right)},x_{1}^{\left(1\right)}\right)$	$\displaystyle\leq\alpha\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(1\right)},x_{1}^{\left(0% \right)}\right)+\beta\rho_{2}\left(x_{1}^{\left(1\right)},x_{2}^{\left(0\right% )}\right)$
		$\displaystyle\leq\alpha d_{1}+\beta d_{1}h_{1}\leq d_{1}p_{1}$

	$\displaystyle\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(2\right)},x_{2}^{\left(1\right)}\right)$	$\displaystyle\leq a\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(2\right)},x_{1}^{\left(1\right)}% \right)+b\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(1\right)},x_{2}^{\left(0\right)}\right)$
		$\displaystyle\leq ad_{1}p_{1}+bd_{1}h_{1}\leq d_{1}h_{1}p_{1}.$

Nous montrons à présent que $x_{1}^{\left(2\right)}\in S_{1}$ et $x_{2}^{\left(2\right)}\in S_{2}$ . Nous avons en effet

	$\displaystyle\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(2\right)},x_{1}^{\left(0\right)}\right)$	$\displaystyle\leq\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(2\right)},x_{1}^{\left(1\right)}% \right)+\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(1\right)},x_{1}^{\left(0\right)}\right)$
	$\displaystyle d_{1}+d_{1}\ p_{1}$	$\displaystyle<\tfrac{d_{1}}{1-p_{1}},$

	$\displaystyle\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(2\right)},x_{2}^{\left(0\right)}\right)$	$\displaystyle\leq\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(2\right)},x_{2}^{\left(1\right)}% \right)+\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(1\right)},x_{2}^{\left(0\right)}\right)$
		$\displaystyle\leq d_{1}h_{1}+d_{1}\ p_{1}h_{1}\leq\tfrac{h_{1}d_{1}}{1-p_{1}}$

d’où il résulte que $x_{1}^{\left(2\right)}\in S_{1},x_{2}^{\left(2\right)}\in S_{2}$ .

Nous supposerons à présent que les inègalités suivantes ont lieu

(9)		$\displaystyle\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(i\right)},x_{1}^{\left(i-1\right)}\right)$	$\displaystyle\leq d_{1}p_{1}^{i-1}$
	$\displaystyle\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(i\right)},x_{2}^{\left(i-1\right)}\right)$	$\displaystyle\leq d_{1}h_{1}p_{1}^{i-1}$

pour $i=1,2,\ldots,k$ et

(10)

x_{1}^{\left(k\right)}\in S_{1},\ x_{2}^{\left(k\right)}\in S_{2}.

En tenant compte de ii., nous déduisons des hypothèses (9) et (10) et de i.

	$\displaystyle\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(k+1\right)},x_{1}^{\left(k\right)}\right)$	$\displaystyle=\rho_{1}\left(F_{1}(x_{1}^{\left(k\right)},x_{2}^{\left(k\right)% }),F_{1}(x_{1}^{\left(k-1\right)},x_{2}^{\left(k-1\right)})\right)$
		$\displaystyle\leq\alpha\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(k\right)},x_{1}^{\left(k-1% \right)}\right)+\beta\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(k\right)},x_{2}^{\left(k-1% \right)}\right)$
		$\displaystyle\leq d_{1}p_{1}^{k-1}\left(\alpha+\beta h_{1}\right)=d_{1}p_{1}^{k}$

et en tenant compte de l’inégalité ci-dessus nous déduisons de manière analogue

\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(k+1\right)},x_{2}^{\left(k\right)}\right)\leq d_{1}% \cdot h_{1}\cdot p_{1}^{k}

d’où il résulte que les relations (9) ont également lieu pour $i=k+1$ . Nous montrerons maintenant que $x_{1}^{\left(k+1\right)}\in S_{1}$ et $x_{2}^{\left(k+1\right)}\in S_{2}$ . Il résulte des inégalités ci-dessus

	$\displaystyle\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(k+1\right)},x_{1}^{\left(0\right)}\right)$	$\displaystyle\leq\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(k+1\right)},x_{1}^{\left(k\right)}% \right)+\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(k\right)},x_{1}^{\left(k-1\right)}\right)+% \ldots\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(1\right)},x_{1}^{\left(0\right)}\right)$
		$\displaystyle\leq d_{1}+d_{1}p_{1}+d_{1}p_{1}^{2}+\ldots+d_{1}p_{1}^{k}<\tfrac% {d_{1}}{1-p_{1}}$

et de manière analogue

\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(k+1\right)},x_{2}^{\left(0\right)}\right)<\tfrac{d_% {1}h_{1}}{1-p_{1}}.

Du fait que les inégalités (9) ont lieu pour tout $i=1,2,\ldots,$ il resulte que les suites $\left(x_{1}^{\left(n\right)}\right)_{n=0}^{\infty}$ et $\left(x_{2}^{\left(n\right)}\right)_{n=0}^{\infty}$ sont fondamentales et que les inégalités suivantes sont vraies

(11)		$\displaystyle\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(n+s\right)},x_{1}^{\left(n\right)}\right)$	$\displaystyle\leq\tfrac{d_{1}p_{1}^{n}}{1-p_{1}}$
	$\displaystyle\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(n+s\right)},x_{2}^{\left(n\right)}\right)$	$\displaystyle\leq\tfrac{d_{1}h_{1}p_{1}^{n}}{1-p_{1}}$

pour tout $n=0,1,\ldots;$ $s=1,2,\ldots$ .

De l’hypothèse que les espace $X_{1}$ et $X_{2}$ sont des espaces completes il résulte que les suites $\left(x_{n}^{\left(n\right)}\right)_{n=0}^{\infty}$ et $\left(x_{2}^{\left(n\right)}\right)_{n=0}^{\infty}$ sont convergentes.

En pasant à la limite pour $s\rightarrow\infty$ nous déduisons de (11)

(12)		$\displaystyle\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},x_{1}^{\left(n\right)}\right)$	$\displaystyle\leq\tfrac{d_{1}p_{1}^{n}}{1-p_{1}}$
	$\displaystyle\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},x_{2}^{\left(n\right)}\right)$	$\displaystyle\leq\tfrac{d_{1}h_{1}p_{1}^{n}}{1-p_{1}}$

Il en résulte, pour $n=0,$ que $\bar{x}_{1}\in S_{1}$ et $\bar{x}_{2}\in S_{2}$ . Nous montrerons que $\left(\bar{x}_{1},\bar{x}_{2}\right)$ est la seul solution du sytème (1) à la propríeté que $\bar{x}_{1}\in S_{1}$ et $\bar{x}_{2}\in S_{2}$ .

Supposons par l’absurde que le sustème (1) a une autre solution $\left(\bar{y}_{1},\bar{y}_{2}\right)$ à la propriété $\bar{y}_{1}\in S_{1}$ , $\bar{y}_{2}\in S_{2}$ . En tenant compte de i., il en résulte les inégalités

	$\displaystyle\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\bar{y}_{1}\right)$	$\displaystyle\leq\tfrac{\beta a}{\left(1-\alpha\right)\left(1-b\right)}\cdot% \rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\bar{y}_{1}\right)$
	$\displaystyle\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\bar{y}_{2}\right)$	$\displaystyle\leq\tfrac{\beta a}{\left(1-\alpha\right)\left(1-b\right)}\cdot% \rho_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)$

et de (5) il résulte que $\frac{\beta a}{\left(1-\alpha\right)\left(1-b\right)}<1$ . Par conséquent les inégalités ci-dessus ont lieu si et seulement si $\bar{x}_{1}=\bar{y}_{1}$ et $\bar{x}_{2}=\bar{y}_{2}$ . ∎

Nous considérons à présent deux applications $F_{1}^{\ast}:D\rightarrow X_{1}$ et $F_{2}^{\ast}:D\rightarrow X_{2}$ , où $D=D_{1}\times D_{2}$ .

Nous supposerons que $F_{1}^{\ast},$ $F_{2}^{\ast},$ $F_{1}$ et $F_{2}$ vérifient les relations

(13)		$\displaystyle\rho_{1}\left(F_{1}^{\ast}\left(u,v\right),F_{1}\left(u,v\right)\right)$	$\displaystyle\leq\delta_{1}$
	$\displaystyle\rho_{2}\left(F_{2}^{\ast}\left(u,v\right),F_{2}\left(u,v\right)\right)$	$\displaystyle\leq\delta_{2}$

pour tout $\left(u,v\right)\in D,$ où $\delta_{1}>0,$ $\delta_{2}>0$ sont des nombres donnés. En vu de résoudre le système (1) nous consideŕrons à présent à la place du procédé (2) la procédé itératif suivant:

(14)		$\displaystyle\xi_{1}^{\left(n+1\right)}$	$\displaystyle=F_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n\right)},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)$
	$\displaystyle\xi_{2}^{\left(n+1\right)}$	$\displaystyle=F_{2}\left(\xi_{1}^{\left(n+1\right)},\xi_{2}^{\left(n\right)}% \right),\quad n=0,1,\ldots\xi_{1}^{\left(0\right)}=x_{1}^{\left(0\right)},\xi_% {2}^{\left(0\right)}=x_{2}^{\left(0\right)},$

Dans ce qui suit nous procéderons à la délimitation des erreurs au cas où pour la résolution du système (1) nous utilisons à la place du procédé (2) le procédé (14). Nous écrivons

(15)		$\displaystyle\theta_{1}$	$\displaystyle=\tfrac{\beta\delta_{2}+\left(1-b\right)\delta_{1}}{\left(1-% \alpha\right)\left(1-b\right)-a\beta}$
	$\displaystyle\theta_{2}$	$\displaystyle=\tfrac{\left(1-\alpha\right)\delta_{2}+a\delta_{1}}{\left(1-% \alpha\right)\left(1-b\right)-a\beta}$

et désignons par $S_{1}^{\ast},S_{2}^{\ast}$ les ensembles suivants:

(16)		$\displaystyle S_{1}^{\ast}$	$\displaystyle=\left\{x\in X_{1}:\rho_{1}\left(x,x_{1}^{\left(0\right)}\right)% \leq d_{1}+\tfrac{d_{1}}{1-p_{1}}+\theta_{1}\right\}$
	$\displaystyle S_{2}^{\ast}$	$\displaystyle=\left\{x\in X_{2}:\rho_{2}\left(x,x_{2}^{\left(0\right)}\right)% \leq d_{1}h_{1}+\tfrac{d_{1}h_{1}}{1-p_{1}}+\theta_{2}\right\}.$

Dans ces notations nous démontrerons le théoreme suivant:

Théorème 2.

Si les hypothèses du Théorème 1 sont satisfaites et si de plus les conditions suivantes sont remplies:

i ${}_{1}.$

Les aplications $F_{1},F_{2},F_{1}^{\ast}$ et $F_{2}^{\ast}$ remplissent les conditions (13);
i ${}_{2}.$

$S_{1}^{\ast}\subseteq D_{1},\ S_{2}^{\ast}\subseteq D_{2}$ ,

alors quels que soient les nombres réels $\varepsilon_{1},$ $\varepsilon_{2}$ qui vérifient les relations $\varepsilon_{1}>2\theta_{1},\ \varepsilon_{2}>2\theta_{2}$ , il existe un $n^{\prime}\in{\mathbb{N}}$ tel que $\rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n+1\right)},\xi_{1}^{\left(n\right)}\right)\leq% \varepsilon_{1}$ , et $\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(n+1\right)},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)\leq% \varepsilon_{2}$ pour tout $n>n^{\prime}$ et, de plus, les propriétés suivantes sont vraies:

j ${}_{1}.$

$\xi_{1}^{\left(n\right)}\in S_{1},$ $\xi_{2}^{\left(n\right)}\in S_{2}$ pour tout $n=1,2,\ldots;$

{}_{2}.

Les inégalités suivantes sont vraies:

	$\displaystyle\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n+1\right)}\right)$	$\displaystyle\leq\tfrac{\beta\left(a\varepsilon_{1}+b\varepsilon_{2}\right)+% \alpha\varepsilon_{1}\left(1-b\right)}{\left(1-\alpha\right)\left(1-b\right)-a% \beta}+\tfrac{\varepsilon_{1}}{2}$
	$\displaystyle\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\xi_{2}^{\left(n+1\right)}\right)$	$\displaystyle\leq\tfrac{a\left(\alpha\varepsilon_{1}+\beta\varepsilon_{2}% \right)+b\varepsilon_{2}\left(1-\alpha\right)}{\left(1-\alpha\right)\left(1-b% \right)-a\beta}+\tfrac{\varepsilon_{2}}{2}$

pour tout $n>n^{\prime}$ , où $\left(\bar{x}_{1},\bar{x}_{2}\right)$ est le solution du système (1).

Démonstration.

Nous montrerons d’abord que les propriétés j₁ sont vraies. Du fait que nous avons supposé que $\xi_{1}^{\left(0\right)}=x_{1}^{\left(0\right)},\xi_{2}^{\left(0\right)}=x_{2}% ^{\left(0\right)},$ il résulte de (14) et de i.

	$\displaystyle\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(1\right)},\xi_{1}^{\left(1\right)}\right)$	$\displaystyle=\rho_{1}\left(F_{1}\left(x_{1}^{\left(0\right)},x_{2}^{\left(0% \right)}\right),F_{1}^{\ast}\left(\xi_{1}^{\left(0\right)},\xi_{2}^{\left(0% \right)}\right)\right)$
		$\displaystyle\leq\delta_{1}+\alpha\rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(0\right)}x_{1}^% {\left(0\right)}\right)+\beta\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(0\right)}x_{2}^{% \left(0\right)}\right)=\delta_{1}$

En tenant compte de iii., nous en déduisons

	$\displaystyle\rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(1\right)},x_{1}^{\left(0\right)}\right)$	$\displaystyle\leq\rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(1\right)},x_{1}^{\left(1\right)}% \right)+\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(1\right)},x_{1}^{\left(0\right)}\right)$
		$\displaystyle\leq\delta_{1}+d_{1}\leq d_{1}+\tfrac{d_{1}}{1-p_{1}}+\theta_{1}$

vu qu’évidemment $\delta_{1}\leq\theta_{1}$ , d’où il résulte $\xi_{1}^{\left(1\right)}\in S_{1}^{\ast}$ .

Nous avons de manière analogue

	$\displaystyle\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(1\right)},\xi_{2}^{\left(1\right)}\right)$	$\displaystyle=\rho_{2}\left(F_{2}\left(x_{1}^{\left(1\right)},x_{2}^{\left(0% \right)}\right),F_{2}^{\ast}\left(\xi_{1}^{\left(1\right)},\xi_{2}^{\left(0% \right)}\right)\right)$
		$\displaystyle\leq\delta_{2}+a\rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(1\right)},x_{1}^{% \left(1\right)}\right)+b\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(0\right)},x_{2}^{\left(0% \right)}\right)\leq\delta_{2}+a\delta_{1}$

En tenant compte de iii. nous en déduisons

\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(1\right)},x_{2}^{\left(0\right)}\right)\leq\rho_{% 2}\left(\xi_{2}^{\left(1\right)},x_{2}^{\left(1\right)}\right)+\rho_{2}\left(x% _{2}^{\left(1\right)},x_{2}^{\left(0\right)}\right)\leq\delta_{2}+a\delta_{1}+% d_{1}h_{1}.

En tenant compte du fait que $\delta_{2}+a\delta_{1}\leq\theta_{2}$ il en résulte que

\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(1\right)},x_{2}^{\left(0\right)}\right)\leq h_{1}% d_{1}+\tfrac{h_{1}d_{1}}{1-p_{1}}+\theta_{2}

et par conséquent $\xi_{2}^{\left(1\right)}\in S_{2}^{\ast}$ .

Nous supposerons à présent par induction que $\xi_{1}^{\left(n-1\right)}\in S_{1}^{\ast}$ et $\xi_{2}^{\left(n-1\right)}\in S_{2}^{\ast}$ .

Nous avons alors

(17)		$\displaystyle\rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n\right)},x_{1}^{\left(n\right)}\right)$	$\displaystyle=\rho_{1}\left(F_{1}\left(x_{1}^{\left(n-1\right)},x_{2}^{\left(n% -1\right)}\right),F^{\ast}\left(\xi_{1}^{\left(n-1\right)},\xi_{2}^{\left(n-1% \right)}\right)\right)$
		$\displaystyle\leq\alpha\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(n-1\right)},\xi_{1}^{\left(n% -1\right)}\right)+\beta\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(n-1\right)},\xi_{2}^{\left(n% -1\right)}\right)+\delta_{1}$

(18)		$\displaystyle\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(n\right)},x_{2}^{\left(n\right)}\right)$	$\displaystyle=\rho_{2}\left(F_{2}\left(x_{1}^{\left(n\right)},x_{2}^{\left(n-1% \right)}\right),F_{2}^{\ast}\left(\xi_{1}^{\left(n\right)},\xi_{2}^{\left(n-1% \right)}\right)\right)$
		$\displaystyle\leq a\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(n\right)},\xi_{1}^{\left(n\right% )}\right)+b\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(n-1\right)},\xi_{2}^{\left(n-1\right)}% \right)+\delta_{2}.$

On montre par induction, à partir des relations ci-dessus, que

(19)		$\displaystyle\rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n\right)},x_{1}^{\left(n\right)}\right)$	$\displaystyle\leq d_{1}h_{1}^{n-1},k_{1}^{n-1}+\theta_{1}$
	$\displaystyle\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(n\right)},x_{2}^{\left(n\right)}\right)$	$\displaystyle\leq d_{1}h_{1}^{n},k_{1}^{n-1}+\theta_{2},$

d’où nous déduisons:

\rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n\right)},x_{1}^{\left(0\right)}\right)\leq\rho_{% 1}\left(\xi_{1}^{\left(n\right)},x_{1}^{\left(n\right)}\right)+\rho_{1}\left(x% _{1}^{\left(n\right)},x_{1}^{\left(0\right)}\right)\leq d_{1}+\tfrac{d_{1}}{1-% p_{1}}+\theta_{1}

\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(n\right)},x_{2}^{\left(0\right)}\right)\leq\rho_{% 2}\left(\xi_{2}^{\left(n\right)},x_{2}^{\left(n\right)}\right)+\rho_{2}\left(x% _{2}^{\left(n\right)},x_{2}^{\left(0\right)}\right)\leq d_{1}h_{1}+\tfrac{d_{1% }h_{1}}{1-p_{1}}+\theta_{2}

c’est’-à-dire $\xi_{1}^{\left(n\right)}\in S_{1}^{\ast},$ $\xi_{2}^{\left(n\right)}\in S_{2}^{\ast}$ .

Des hypothèses du Théorème 2 et du fait que $\xi_{1}^{\left(n\right)}\in S_{1}^{\ast},\xi_{2}^{\left(n\right)}\in S_{2}^{\ast}$ pour tout $n\in N$ , il résulte les relations suivantes:

\rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n+1\right)},\xi_{1}^{\left(n\right)}\right)\leq% \alpha\rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n\right)},\xi_{1}^{\left(n-1\right)}\right)% +\beta\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(n\right)},\xi_{2}^{\left(n-1\right)}\right)% +2\delta_{1}

\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(n+1\right)},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)\leq a% \rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n+1\right)},\xi_{1}^{\left(n\right)}\right)+b\rho% _{2}\left(\xi_{2}^{\left(n\right)},\xi_{2}^{\left(n-1\right)}\right)+2\delta_{2}

pour $n=0,1,\ldots$ .

Des inégalités ci-dessus nous déduisons les inégalités suivantes:

(20)		$\displaystyle\rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n+1\right)},\xi_{1}^{\left(n\right)}\right)$	$\displaystyle\leq d_{1}h_{1}^{n-1}\cdot k_{1}^{n-1}+2\theta_{1}$
	$\displaystyle\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(n+1\right)},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)$	$\displaystyle\leq d_{1}h_{1}^{n}\cdot k_{1}^{n-1}+2\theta_{2},\qquad n=1,2,\ldots$

On déduit immédiatement de (20) que si $\varepsilon_{1}>2\theta_{1},$ et $\varepsilon_{2}>2\theta_{2},$ alors il existe $n^{\prime}\in{\mathbb{N}}$ tel que pour $n>n^{\prime}$ $\rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n+1\right)},\xi_{1}^{\left(n\right)}\right)\leq% \varepsilon_{1}$ et $\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(n+1\right)},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)\leq% \varepsilon_{2}$ c’est-à-dire que le procédé itératif (14) peut étre arrété alors que la distance entre deux itérations successives est suffisamment petite.

Nous évaluerons à présent les distances entre les solutions $\bar{x}_{1}$ et $\bar{x}_{2}$ du système (1) et les éléments des suites $\left(\xi_{1}^{\left(n\right)}\right)_{s=0}^{\infty},$ respectivement $\left(\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)_{s=0}^{\infty}$ . Nous supposerons que le procédé itératif (14) est arrété lorsque $\rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n+1\right)},\xi_{1}^{\left(n\right)}\right)\leq% \varepsilon_{1}$ et $\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(n+1\right)},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)\leq% \varepsilon_{2}$ .

En tenant compte de ce qui a été démontre’ ci-dessus et des hypothèses du Théorème 2, nous avons:

	$\displaystyle\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n+1\right)}\right)$	$\displaystyle\leq\alpha\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n\right)}% \right)+\beta\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)+\delta_% {1}$
	$\displaystyle\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\xi_{2}^{\left(n+1\right)}\right)$	$\displaystyle\leq a\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n+1\right)}\right)% +b\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)+\delta_{2}$

Il résulte des inégalités ci-dessus

	$\displaystyle\left(1-\alpha\right)\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n+1% \right)}\right)$	$\displaystyle\leq\alpha\varepsilon_{1}+\beta\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\xi_{2}^% {\left(n\right)}\right)+\delta_{1}$
	$\displaystyle\left(1-b\right)\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\xi_{2}^{\left(n+1% \right)}\right)$	$\displaystyle\leq a\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n+1\right)}\right)% +b\varepsilon_{2}+\delta_{2}$

c’est-à-dire

(21)		$\displaystyle\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n+1\right)}\right)$	$\displaystyle\leq\tfrac{\alpha\varepsilon_{1}}{1-\alpha}+\tfrac{\beta}{1-% \alpha}\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)+\tfrac{\delta% _{1}}{1-\alpha}$
	$\displaystyle\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\xi_{2}^{\left(n+1\right)}\right)$	$\displaystyle\leq\tfrac{a}{1-b}\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n+1% \right)}\right)+\tfrac{b\varepsilon_{2}}{1-b}+\tfrac{\delta_{2}}{1-b}$

d’où il résulte

(22)

\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\xi_{2}^{\left(n+1\right)}\right)\leq\tfrac{a\left(% \alpha\varepsilon_{1}+\beta\varepsilon_{2}\right)+b\left(1-\alpha\right)% \varepsilon_{2}}{\left(1-\alpha\right)\left(1-b\right)-a\beta}+\tfrac{% \varepsilon_{2}}{2}.

Du fait que $n>n^{\prime}+1$ , i s’ensuit que la seconde inégalité de (21) est également vraie si nous remplacons $n+1$ par $n$ , c’est-à-dire que

\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)\leq\tfrac{a}{1-b}% \rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n\right)}\right)+\tfrac{b\varepsilon_% {2}}{1-b}+\tfrac{\delta_{2}}{1-b}

inégalité qui associée à l’inégalité de (21) nous donne

(23)

\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n+1\right)}\right)\leq\tfrac{\beta% \left(a\varepsilon_{1}+b\varepsilon_{2}\right)+\alpha\left(1-b\right)% \varepsilon_{1}}{\left(1-\alpha\right)\left(1-b\right)-a\beta}+\tfrac{% \varepsilon_{1}}{2}

∎

Bibliographie

[1]
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Résumé

Dans ce travail on fournit des délimitations pour les erreurs commises dans la résolution numérique à l’aide de la méthode de Gauss-Seidel -d’un système de deux équations à deux inconnues dans des expaces métriques.

Si $\left(X_{i},\rho_{i}\right),\ i=1,2,$ sont deux espaces métriques complets et $F_{1}:X_{1}\times X_{2}\rightarrow X_{1}$ et $F_{2}:X_{1}\times X_{2}\rightarrow X_{2}$ deux applications, alors on applique en vue de la résolution du système $x_{1}=F_{1}\left(x_{1},x_{2}\right),\ x_{2}=F_{2}\left(x_{1},x_{2}\right),$ la méthode de Gauss-Seidel et on donne des conditions suffisantes pour la convergence du procédé utilisé.

On désingne par $D_{1}\subset X_{1}$ et $D_{2}\subset X_{2}$ deux ensembles bornées de $X_{1}$ et $X_{2}$ et on considère ensuite deux opérateurs $F_{1}^{\ast}:D_{1}\times D_{2}\rightarrow X_{1}\ F_{2}^{\ast}:D_{1}\times D_{2% }\rightarrow X_{2}$ qui vérifient par rapport à $F_{1}$ et $F_{2}$ les conditions: $\rho_{1}\left(F_{1}\left(x_{1},x_{2}\right),F_{1}^{\ast}\left(x_{1},x_{2}% \right)\right)\leq\varepsilon_{1},\ \rho_{2}\left(F_{2}\left(x_{1},x_{2}\right% ),F_{2}^{\ast}\left(x_{1},x_{2}\right)\right)\leq\varepsilon_{2}$ pour chaque $\left(x_{1},x_{2}\right)\in D_{1}\times D_{2}$ . Dans ces conditions on applique en vue de la résolution du système initial la méthode de Gauss-Seidel au système $x_{1}=F_{1}^{\ast}\left(x_{1},x_{2}\right),\ x_{2}=F_{2}^{\ast}\left(x_{1},x_{% 2}\right)$ . Dans ces conditions on donne des délimitations de la distance entre la solution du système et la solution approximative.

Ion Păvăloiu

Institutul de Matematică

Oficiul Poştal 1

C.P. 68

3400 Cluj-Napoca

Romania

This Note is in final form and no version of it is or will be submitted for publication elsewhere.

Error estimations in the numerical solving of the systems of equations

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