"Babeş-Bolyai" University

Faculty of Mathematics and Physics

Research Seminars

Seminar on Functional Analysis and Numerical Methods

Preprint Nr.1, 1987, pp.121-129

Estimation des Erreurs dans la Resolution Numérique des systemes d’equations dans des espaces metriques ${}^{\ast})$

Ion Păvăloiu

{}^{\ast})

This paper is in a final form and no version of it will be submitted for publication elsewhere

Désignons par $\left(X_{i},\rho_{i}\right),\ i=1,2$ deux espaces métriques complets et par $X=X_{1}\times X_{2}$ le produit cartésien de ces espaces.

Nous désignons par $F_{1}:X\rightarrow X_{1}$ et $F_{2}:X\rightarrow X_{2}$ deux applications et nous considérons le système d’équations suivant:

(1)		$\displaystyle x_{1}$	$\displaystyle=F_{1}\left(x_{1},x_{2}\right)$
	$\displaystyle x_{2}$	$\displaystyle=F_{2}\left(x_{1},x_{2}\right),\qquad\left(x_{1},x_{2}\right)\in X.$

Pour la résolution du système d’équations (1) nous considérons le procédé itératif suivant, du type Gauss-Seidel:

(2)		$\displaystyle x_{1}^{\left(n+1\right)}$	$\displaystyle=F_{1}\left(x_{1}^{\left(n\right)},x_{2}^{\left(n\right)}\right)$
	$\displaystyle x_{2}^{\left(n+1\right)}$	$\displaystyle=F_{2}\left(x_{1}^{\left(n+1\right)},x_{2}^{\left(n\right)}\right% ),\qquad n=0,1,\ldots,\left(x_{1}^{\left(0\right)},x_{2}^{\left(0\right)}% \right)\in X.$

En ce qui concerne la convergence des suites nous avons le Théorème suivant [1]:

THÉORÈME 1.

Si les applications $F_{1}\$ et $F_{2}$ vérifient les conditions

	$\displaystyle\rho_{1}\left(F_{1}\left(x_{1},y_{1}\right),F_{1}\left(x_{2},y_{2% }\right)\right)$	$\displaystyle\leq\alpha\rho_{1}\left(x_{1},x_{2}\right)+\beta\rho_{2}\left(y_{% 1},y_{2}\right),$
	$\displaystyle\rho_{2}\left(F_{2}\left(x_{1},y_{1}\right),F_{2}\left(x_{2},y_{2% }\right)\right)$	$\displaystyle\leq a\rho_{1}\left(x_{1},x_{2}\right)+b\rho_{2}\left(y_{1},y_{2}\right)$

pour tous les $\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right)\in X$ , ou $\alpha,\beta,a$ et $b$ sont des nombres réels nonnégatifs;

Si les nombres $\alpha,\beta,a$ et $b$ vérifient les relations

	$\displaystyle\alpha+b+a\beta$	$\displaystyle<2$
	$\displaystyle\left(1-\alpha\right)\left(1-b\right)$	$\displaystyle>a\beta,\qquad b>0,\ \ \alpha>0$

alors le système (1) admet une seul solution $\left(\bar{x}_{1},\bar{x}_{2}\right)\in X\$ et les suites $\ \big{(}x_{1}^{\left(n\right)}\big{)}_{n=0}^{\infty},\ \big{(}x_{2}^{\left(n% \right)}\big{)}_{n=0}^{\infty}$ sont convergentes:

\lim_{n\rightarrow\infty}x_{1}^{\left(n\right)}=\bar{x}_{1},\quad\lim_{n% \rightarrow\infty}x_{2}^{\left(n\right)}=\bar{x}_{2}.

Démonstration.

Nous désignons par $\left(f_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ et $\left(g_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ deux suites de nombres non-négatifs dont les éléments vérifient les relations

(3)		$\displaystyle f_{n}$	$\displaystyle\leq\alpha f_{n-1}+\beta g_{n-1}$
	$\displaystyle g_{n}$	$\displaystyle\leq af_{n}+bg_{n-1},\qquad n=1,2,\ldots$

Nous associons aux relations (3) le système d’équations en les inconnues $h$ et $k$ suivant

(4)		$\displaystyle\alpha+\beta h$	$\displaystyle=hk$
	$\displaystyle ak+b$	$\displaystyle=nk$

Nous montrerons par la suite que le système (4) admet une solutions réelle $\left(h_{i},k_{i}\right)\$ pour laquelle $0\leq h_{i}k_{i}<1$ si et seulement si les nombres $a,b,\alpha$ et $\beta$ remplissent les conditions du Théorème 1.

Nous supposons que le système (4) admet les solutions $\left(h_{i},k_{i}\right)$ , $i=1,2$ pour lesquelles les conditons $0<h_{i}k_{i}<1$ sont remplies. On vérifie immèdiatement que du système (4) résultent les équations suivantes:

(5)		$\displaystyle\beta h^{2}-\left(b+\beta a-\alpha\right)h-\alpha a$	$\displaystyle=0$
	$\displaystyle ak^{2}-\left(\alpha+\beta a-b\right)k-\beta b$	$\displaystyle=0$

(6)

p^{2}-\left(b+\beta a+\alpha\right)p-b\alpha=0

où l’on a désigné par $p$ le produit $h k .$ Les équations (5) nous montrent que les solutions $\left(h_{i},k_{i}\right),\ i=1,2$ du système (4) sont réelles et de l’équation (6) et des conditions $0<p_{i}<1,$ $i=1,2$ il résulte $f(0)>0$ , $f(1)>0$ et $b+\beta a+\alpha<2,$ où $f\left(p\right)=p^{2}-\left(b+\beta a+\alpha\right)p+b\alpha$ . Il est évident que la condition $f(0)>0$ est remplie parce que $\alpha>0,b>0$ , $f(1)>0$ et $b+a\beta+\alpha<2$ représentent les relations de l’hypothèse du Théorème 1.

Si nous supposons à présent que les relations de l’hypothèse du Théorème 1 sont vérifiées, alors il est évident que $f\left(1\right)>0,$ $f\left(0\right)>0$ et $b+a\beta+\alpha<2,$ ce qui nous montre que l’équation (6) a ses deux racines positives et moindres que l’unité. En tenant compte des équations (5), nous constatons facilement que le système (4) admet une solution $\left(h_{1},k_{1}\right)$ pour laquelle $h_{1}>0,\ k_{1}>0.$

Nous montrons à présent que si les éléments des suites $\left(f_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ et $\left(g_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ vérifient les relations (3) où les nombres $\alpha,\beta,a$ et $b$ vérifient l’hypothèse du théorème 1, alors il existe une constante $C>0$ , indépendente de $n$ telle que pour chaque $n=1,2,\ldots$ ont lieu les relations

(7)		$\displaystyle f_{n}$	$\displaystyle\leq Ch_{1}^{n-1}k_{1}^{n-1}$
	$\displaystyle g_{n}$	$\displaystyle\leq Ch_{1}^{n}k_{1}^{n-1}$

et les séries $\sum_{i=0}^{\infty}f_{i}$ et $\sum_{i=0}^{\infty}g_{i}$ sont convergentes.

Désignons par $C$ un nombre réel qui vérifie l’inégalité

(8)

C\geq\max\left\{\alpha f_{0}+\beta g_{0},\tfrac{af_{1}+bg_{0}}{h_{1}}\right\}

où $\left(h_{1},k_{1}\right)$ est la solution positive du système (4).

De (8) et (3) nous déduisons pour $n=1$

f_{1}\leq C\ \ \ \ \text{and\quad}g_{1}\leq Ch_{1}

donc les relations (7) sont vérifiées pour $n=1.$

Nous supposons que les inégalités suivantes ont lieu:

f_{k-1}\leq C\ h_{1}^{k-2}\cdot k_{1}^{k-2},\qquad g_{k-1}\leq C\ h_{1}^{k-1}% \cdot k_{1}^{k-2},\qquad k=2,\ldots,n

De (3) et (4) nous déduisons

	$\displaystyle f_{n}$	$\displaystyle\leq\alpha f_{n-1}+\beta g_{n-1}\leq Ch_{1}^{n-2}k_{1}^{n-2}\left% (\alpha+\beta h_{1}\right)=Ch_{1}^{n-1}k_{1}^{n-1}$
	$\displaystyle g_{n}$	$\displaystyle\leq af_{n}+bg_{n-1}\leq C\ h_{1}^{n-1}k_{1}^{n-2}\left(ak_{1}+b% \right)=Ch_{1}^{n}k_{1}^{n-1}$

ce qui nous montre que les relations (7) on lieu pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Il est évident que les séries $\sum_{i=0}^{\infty}f_{i}$ et $\sum_{i=0}^{\infty}g_{i}$ sont convergentes, parce que de (7) il s’ensuit qu’elles sont majorées par deux séries géométriques à raison moindre que l’unité.

De (2) et de l’hypothèse du Théorème 1 nous déduisons les relations:

(9)		$\displaystyle\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(n+1\right)},x_{1}^{\left(n\right)}\right)$	$\displaystyle\leq\alpha\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(n\right)},x_{1}^{\left(n-1% \right)}\right)+\beta\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(n\right)},x_{2}^{\left(n-1% \right)}\right)$
	$\displaystyle\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(n+1\right)},x_{2}^{\left(n\right)}\right)$	$\displaystyle\leq a\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(n+1\right)},x_{1}^{\left(n\right% )}\right)+b\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(n\right)},x_{2}^{\left(n-1\right)}\right% ),\quad n=0,1,\ldots$

Nous posons à présent en (9) $f_{i}=\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(i+1\right)},x_{1}^{\left(i\right)}\right),g_{% i}=\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(i+1\right)},x_{2}^{\left(i\right)}\right),$ $i=0,1,2,\ldots$ et nous obtenons les relations (3). En tenant compte des hypothèses du Théorème 1 nous en déduisons les relations

(10)		$\displaystyle\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(i+1\right)},x_{1}^{\left(i\right)}\right)$	$\displaystyle\leq C\ h_{1}^{i-1}\cdot k_{1}^{i-1}$
	$\displaystyle\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(i+1\right)},x_{2}^{\left(i\right)}\right)$	$\displaystyle\leq C\ h_{1}^{i}\cdot k_{1}^{i-1},\quad i=1,2,\ldots$

Nous montrerons à présent que suites $\left(x_{1}^{\left(n\right)}\right)_{n=0}^{\infty}$ et $\left(x_{2}^{\left(n\right)}\right)_{n=0}^{\infty}$ sont convergentes.

Nous avons en effet

(11)		$\displaystyle\rho_{1}\left(x_{1}^{\left(n+s\right)},x_{1}^{\left(n\right)}\right)$	$\displaystyle\leq f_{n+s-1}+f_{n+s-2}+\ldots+f_{n}$
		$\displaystyle\leq p_{1}^{n-1}C\left(1+p_{1}+p_{1}^{2}+\ldots+p_{1}^{s-1}\right% )\leq\tfrac{Cp_{1}^{n-1}}{1-p_{1}}$

où $p_{1}=h_{1}k_{1}$ .

Nous déduisons de la même facon

(12)

\rho_{2}\left(x_{2}^{\left(n+s\right)},x_{2}^{\left(n\right)}\right)\leq g_{n+% s-1}+g_{n+s-2}+\ldots+g_{n}\leq\tfrac{Ch_{1}p_{1}^{n-1}}{1-p_{1}}.

En tenant compte que $0<p_{1}<1$ et du fait que les espaces $X_{1}$ et $X_{2}$ sont complets, il résulte que les suites $\big{(}x_{1}^{\left(n\right)}\big{)}_{n=0}^{\infty}$ et $\big{(}x_{2}^{\left(n\right)}\big{)}_{n=0}^{\infty}$ sont convergentes.

Si nous posons $\bar{x}_{1}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{1}^{\left(n\right)}$ and $\bar{x}_{2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{2}^{\left(n\right)}$ alors en tenant compte de la continuité des applications $F_{1}$ et $F_{2}$ et en passant à la limite dans les égalités (2) lorsque $n\rightarrow\infty$ il résulte que $\left(\bar{x}_{1},\bar{x}_{2}\right)$ répresente une solution du système (1).

En ce qui concerne l’unicité de la solution, nous supposerons par l’absurde que le système (1) n’a pas une solution unique.

Désignons par $\left(\bar{x}_{1},\bar{x}_{2}\right)$ et $\left(\bar{y}_{1},\bar{y}_{2}\right)$ deux solutions du système (1). Il résulte de la première condition du théorème 1:

	$\displaystyle\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\bar{y}_{1}\right)$	$\displaystyle\leq\alpha\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\bar{y}_{1}\right)+\beta\rho_% {2}\left(\bar{x}_{2},\bar{y}_{2}\right)$
	$\displaystyle\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\bar{y}_{2}\right)$	$\displaystyle\leq a\ \rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\bar{y}_{1}\right)+b\rho_{2}% \left(\bar{x}_{2},\bar{y}_{2}\right)$

	$\displaystyle\left(1-\alpha\right)\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\bar{y}_{1}\right)$	$\displaystyle\leq\beta\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\bar{y}_{2}\right)$
	$\displaystyle\left(1-b\right)\rho_{2}\left(\bar{x}_{1},\bar{y}_{2}\right)$	$\displaystyle\leq a\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\bar{y}_{1}\right).$

Nous en déduisons

\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\bar{y}_{1}\right)\leq\tfrac{\beta\ a}{\left(1-% \alpha\right)\left(1-b\right)}\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\bar{y}_{1}\right)

\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\bar{y}_{2}\right)\leq\tfrac{\beta\ a}{\left(1-% \alpha\right)\left(1-b\right)}\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\bar{y}_{2}\right),

mais $\frac{\beta\ a}{\left(1-\alpha\right)\left(1-b\right)}<1$ par conséquent les dernière inégalités ont lieu si et seulement si $\bar{x}_{1}=\bar{y}_{1}$ et $\bar{x}_{2}=\bar{y}_{2}.$

Il résulte de (11) et (12) pour $s\rightarrow\infty$

\rho_{1}\big{(}\bar{x}_{1},x_{1}^{\left(n\right)}\big{)}\leq\tfrac{C\cdot p_{1% }^{n-1}}{1-p_{1}}\qquad et\quad\rho_{2}\big{(}\bar{x}_{2},x_{2}^{\left(n\right% )}\big{)}\leq\tfrac{Ch_{1}p_{1}^{n}}{1-p_{1}},\quad n=1,2,\ldots

∎

Désignons à présent par $F_{1}^{\ast}:X\rightarrow X_{1},\ F_{2}^{\ast}:X\rightarrow X_{2}$ deux autres applications qui vérifient auprès de $F_{1}$ et $F_{2}$ les conditions

(13)		$\displaystyle\rho_{1}\left(F_{1}^{\ast}\left(u,v\right),F_{1}\left(u,v\right)\right)$	$\displaystyle\leq\delta_{1}$
	$\displaystyle\rho_{2}\left(F_{2}^{\ast}\left(u,v\right),F_{2}\left(u,v\right)\right)$	$\displaystyle\leq\delta_{2}$

pour tout $\left(u,v\right)\in X,$ où $\delta_{1}>0,\ \delta_{2}>0$ sont deux nombres réels donnés.

A côte du procédé itératif (2) nous considérons le procédé itératif suivant:

(14)		$\displaystyle\xi_{1}^{\left(n+1\right)}$	$\displaystyle=F_{1}^{\ast}\left(\xi_{1}^{\left(n\right)},\xi_{2}^{\left(n% \right)}\right)$
	$\displaystyle\xi_{2}^{\left(n+1\right)}$	$\displaystyle=F_{2}^{\ast}\left(\xi_{1}^{\left(n+1\right)},\xi_{2}^{\left(n% \right)}\right),\quad n=0,1,\ldots,\ \big{(}\xi_{1}^{\left(0\right)},\xi_{2}^{% \left(0\right)}\big{)}\in X.$

En ce qui suit nous procéderons à la délimitation des erreurs au cas où la racine $\left(\bar{x}_{1},\bar{x}_{2}\right)$ du système (1) est approchée par des éléments des suites $\left(\xi_{1}^{\left(n\right)}\right)_{n=0}^{\infty}\left(\xi_{2}^{\left(n% \right)}\right)_{n=0}^{\infty}$ générées à l’aide du procédé (14). Nous n’avons évidemment aucune information concernant les applications $F_{1}^{\ast}$ et $F_{2}^{\ast}$ si non qu’elles vérifient les relations (13), c’est pourquoi nous ne pouvons rien affirmer relativement à la convergence des suites $\left(\xi_{1}^{\left(n\right)}\right)_{n=0}^{\infty}$ et $\left(\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)_{n=0}^{\infty}.$

Nous montrerons par la suite que le processus du calcul des éléments des suites $\left(\xi_{1}^{\left(n\right)}\right)_{n=0}^{\infty}$ et $\left(\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)_{n=0}^{\infty}$ peut être certainement arrêté quand $\rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n+1\right)},\xi_{1}^{\left(n\right)}\right)<% \varepsilon_{1}$ et $\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(n+1\right)},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)<% \varepsilon_{2},$ si $\varepsilon_{1}$ et $\varepsilon_{2}$ sont convenablement choisis par rapport aux nombres $\delta_{1},\delta_{2},a,b,\alpha$ et $\beta.$

Nous avons en effet

	$\displaystyle\rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n+1\right)},\xi_{1}^{\left(n\right)}% \right)=$	$\displaystyle\rho_{1}\left(F_{1}^{\ast}\left(\xi_{1}^{\left(n\right)},\xi_{2}^% {\left(n\right)}\right),F_{1}^{\ast}\left(\xi_{1}^{\left(n-1\right)},\xi_{2}^{% \left(n-1\right)}\right)\right)$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\rho_{1}\left(F_{1}^{\ast}\left(\xi_{1}^{\left(n\right)},\xi_{2}^% {\left(n\right)}\right),F_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n\right)},\xi_{2}^{\left(n% \right)}\right)\right)$
		$\displaystyle+\rho_{1}\left(F_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n\right)},\xi_{2}^{\left% (n\right)}\right),F_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n-1\right)},\xi_{2}^{\left(n-1% \right)}\right)\right)$
		$\displaystyle+\rho_{1}\left(F_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n-1\right)},\xi_{2}^{% \left(n-1\right)}\right),F_{1}^{\ast}\left(\xi_{1}^{\left(n-1\right)},\xi_{2}^% {\left(n-1\right)}\right)\right)$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\alpha\rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n\right)},\xi_{1}^{\left(n-1% \right)}\right)+\beta\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(n\right)},\xi_{2}^{\left(n-1% \right)}\right)+2\delta_{1}.$

Pour $\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(n+1\right)},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)$ nous avons de la même manière

\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(n+1\right)},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)\leq a% \rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n+1\right)},\xi_{1}^{\left(n\right)}\right)+b\rho% _{2}\left(\xi_{2}^{\left(n\right)},\xi_{2}^{\left(n-1\right)}\right)+2\delta_{% 2}.

Si nous écrivons maintenant $f_{n}^{\ast}=\rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n+1\right)},\xi_{1}^{\left(n\right)}% \right),g_{n}^{\ast}=\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(n+1\right)},\xi_{2}^{\left(n% \right)}\right),$ $n=0,1,\ldots$ alors les inégalités ci-dessus s’écrivent

(15)		$\displaystyle f_{n}^{\ast}$	$\displaystyle\leq\alpha f_{n-1}^{\ast}+\beta\ g_{n-1}^{\ast}+2\delta_{1}$
	$\displaystyle g_{n}^{\ast}$	$\displaystyle\leq a\ f_{n}^{\ast}+b\ g_{n-1}^{\ast}+2\delta_{2}.$

Si nous nous plaçon dans les hypothèses du Théorème 1, alors il existe une constante $C_{1}$ indépendente de $n$ , telle que nous avons les relations suivantes:

(16)		$\displaystyle f_{n}^{\ast}$	$\displaystyle\leq C_{1}h_{1}^{n-1}k_{1}^{n-1}+\tfrac{2\left[\beta\delta_{2}+% \left(1-b\right)\delta_{1}\right]}{\left(1-\alpha\right)\left(1-b\right)-a\beta}$
	$\displaystyle g_{n}^{\ast}$	$\displaystyle\leq C_{1}h_{1}^{n}k_{1}^{n-1}+\tfrac{2\left[\left(1-\alpha\right% )\delta_{2}+a\delta_{1}\right]}{\left(1-\alpha\right)\left(1-b\right)-a\beta},% \qquad n=1,2,\ldots$

où $\left(h_{1},k_{1}\right)$ est la solution du système (4) qui vérifie les conditions: $0<h_{1}k_{1}<1,\ h_{1}>0,\ k_{1}>0$ .

En effet, si nous choisissons $C_{1}$ tel que

	$\displaystyle C_{1}\geq\max$	$\displaystyle\left\{\left\|\alpha f_{0}^{\ast}+\beta g_{0}^{\ast}+2\delta_{1}-% \tfrac{2\left[\beta\delta_{2}+\left(1-b\right)\delta_{1}\right]}{\left(1-% \alpha\right)\left(1-b\right)-a\beta}\right\|,\right.$
		$\displaystyle\quad\left.\tfrac{1}{h_{1}}\left\|af_{1}^{\ast}+bg_{0}^{\ast}+2% \delta_{2}-\tfrac{2\left[\left(1-\alpha\right)\delta_{2}+a\delta_{1}\right]}{% \left(1-\alpha\right)\left(1-b\right)-a\beta}\right\|\right\}$

alors il est évident que

	$\displaystyle f_{1}^{\ast}$	$\displaystyle\leq\alpha f_{0}^{\ast}+\beta g_{0}^{\ast}+2\delta_{1}\leq C_{1}+% \tfrac{2\left[\beta\delta_{2}+\left(1-b\right)\delta_{1}\right]}{\left(1-% \alpha\right)\left(1-b\right)-a\beta}$
	$\displaystyle g_{1}^{\ast}$	$\displaystyle\leq a\ f_{1}^{\ast}+b\ g_{0}^{\ast}+2\delta_{2}\leq C_{1}h_{1}+% \tfrac{2\left[\left(1-\alpha\right)\delta_{2}+a\delta_{1}\right]}{\left(1-% \alpha\right)\left(1-b\right)-a\beta}$

et les inégalités (16) sont vérifiées pour $n=1$ .

Nous supposons que les relations (16) sont vérifiées pour chaque $n=1,2,\ldots s$ et nous montrerons qu’elles ont lieu également pour $n=s+1$ . Nous déduisons de (15)

	$\displaystyle f_{s+1}^{\ast}$	$\displaystyle\leq\alpha C_{1}h_{1}^{s-1}k_{1}^{s-1}+\beta\ C_{1}h_{1}^{s}k_{1}% ^{s-1}+\tfrac{2\alpha\left[\beta\delta_{2}+\left(1-b\right)\delta_{1}\right]}{% \left(1-\alpha\right)\left(1-b\right)-a\beta}+\tfrac{2\beta\left[\left(1-% \alpha\right)\delta_{2}+a\delta_{1}\right]}{\left(1-\alpha\right)\left(1-b% \right)-a\beta}+2\delta_{1}$
		$\displaystyle=C_{1}h_{1}^{s-1}k_{1}^{s-1}\left(\alpha+\beta\ h_{1}\right)+% \tfrac{2\left[\beta\delta_{2}+\left(1-b\right)\delta_{1}\right]}{\left(1-b% \right)\left(1-\alpha\right)-a\beta}$
		$\displaystyle=C_{1}h_{1}^{s}k_{1}^{s}+\tfrac{2\left[\beta\delta_{2}+\left(1-b% \right)\delta_{1}\right]}{\left(1-\alpha\right)\left(1-b\right)-a\beta}.$

On montre de la même manière que la seconde inégalité (16) a égalament lieu pour $n=s+1$ .

Si à pre’sent nous supposons que

(17)		$\displaystyle\varepsilon_{1}$	$\displaystyle>\tfrac{2\left[\beta\delta_{2}+\left(1-b\right)\delta_{1}\right]}% {\left(1-\alpha\right)\left(1-b\right)-a\beta}$
	$\displaystyle\varepsilon_{2}$	$\displaystyle>\tfrac{2\left[\left(1-\alpha\right)\delta_{2}+a\delta_{1}\right]% }{\left(1-\alpha\right)\left(1-b\right)-a\beta}$

alors les relations (16) nous assurent qu’il existe un $n^{\prime}\in N$ tel que pour tout $n>n^{\prime}$ nous ayons les inégalités $\rho_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n+1\right)},\xi_{1}^{\left(n\right)}\right)<% \varepsilon_{1}$ et $\rho_{2}\left(\xi_{2}^{\left(n+1\right)},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)<% \varepsilon_{2}.$ Désignons par $\varepsilon_{1}$ et $\varepsilon_{2}$ deux nombres positifs qui vérifient les relations (17) et $n>n^{\prime}+1$ . Nous proposons d’évaluer dans ces conditions les distances entre $\bar{x}_{1}$ et $\xi_{1}^{\left(n+1\right)}$ et $\bar{x}_{2}$ et $\xi_{2}^{\left(n+1\right)},$ c’est -à-dire la délimitation des erreurs au cas de la résolution du système (1) à l’aide d’un procédé d’approximation de la forme (14) où les applications $F_{1}^{\ast}$ et $F_{2}^{\ast}$ dépendent de $F_{1}$ et $F_{2}$ par les relations (13). En tenant compte des hypothèses dans lesquelles nous nous sommes placés, nous aurons

	$\displaystyle\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n+1\right)}\right)=$	$\displaystyle\rho_{1}\left(F_{1}\left(\bar{x}_{1},\bar{x}_{2}\right),F_{1}^{% \ast}\left(\xi_{1}^{\left(n\right)},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)\right)$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\rho_{1}\left(F_{1}\left(\bar{x}_{1},\bar{x}_{2}\right),F_{1}% \left(\xi_{1}^{\left(n\right)},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)\right)$
		$\displaystyle+\rho_{1}\left(F_{1}\left(\xi_{1}^{\left(n\right)},\xi_{2}^{\left% (n\right)}\right),F_{1}^{\ast}\left(\xi_{1}^{\left(n\right)}l\xi_{2}^{\left(n% \right)}\right)\right)$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\alpha\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n\right)}\right)+% \beta\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)+\delta_{1}.$

Nous avons de manière analogue pour $\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\xi_{2}^{\left(n+1\right)}\right):$

\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\xi_{2}^{\left(n+1\right)}\right)\leq a\ \rho_{1}% \left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n+1\right)}\right)+b\ \rho_{2}\left(\bar{x}_{% 2},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)+\delta_{2}

Nous déduisons des inégalités ci-dessus

	$\displaystyle\left(1-\alpha\right)\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n+1% \right)}\right)$	$\displaystyle\leq\alpha\varepsilon_{1}+\beta\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\xi_{2}^% {\left(n\right)}\right)+\delta_{1}$
	$\displaystyle\left(1-b\right)\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\xi_{2}^{\left(n+1% \right)}\right)$	$\displaystyle\leq a\ \rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n+1\right)}% \right)+b\ \varepsilon_{2}+\delta_{2}$

c’est-à-dire

(18)		$\displaystyle\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n+1\right)}\right)$	$\displaystyle\leq\left(\tfrac{\alpha}{1-\alpha}\varepsilon_{1}+\tfrac{\beta}{1% -\alpha}\rho_{2}\left(\bar{x}_{1},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)+\tfrac{% \delta_{1}}{1-\alpha}\right)$
	$\displaystyle\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\xi_{2}^{\left(n+1\right)}\right)$	$\displaystyle\leq\tfrac{a}{1-b}\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n+1% \right)}\right)+\tfrac{b}{1-b}\varepsilon_{2}+\tfrac{\delta_{2}}{1-b}$

d’où il résulte

(19)

\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\xi_{2}^{\left(n+1\right)}\right)\leq\tfrac{a\left(% \alpha\varepsilon_{1}+\beta\varepsilon_{2}\right)+b\left(1-\alpha\right)% \varepsilon_{2}}{\left(1-\alpha\right)\left(1-b\right)-a\beta}+\tfrac{% \varepsilon_{2}}{2}

Du fait que $n>n^{\prime}+1$ , il résulte que la seconde inégalité de (18) a lieu aussi au cas où nous mettons $n$ à la place de $n+1,$ c’est-à-dire

\rho_{2}\left(\bar{x}_{2},\xi_{2}^{\left(n\right)}\right)\leq\tfrac{a}{1-b}% \rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n\right)}\right)+\tfrac{b\varepsilon_% {2}}{1-b}+\tfrac{\delta_{2}}{1-b}

Cette inégalité et la première inégalité (18) nous donnent

(20)

\rho_{1}\left(\bar{x}_{1},\xi_{1}^{\left(n+1\right)}\right)\leq\tfrac{\beta% \left(a\varepsilon_{1}+b\varepsilon_{2}\right)+\alpha\varepsilon_{1}\left(1-b% \right)}{\left(1-\alpha\right)\left(1-b\right)-a\beta}+\tfrac{\varepsilon_{1}}% {2}

Bibliographie

[1] ^†^†margin: $\leftarrow$ clickable Păvăloiu, I., La résolution des systèmes operationnelles a l’aide des methodes iteratives, Mathematica, 11(34), 1969, 137–141.
[2] Urabe, M., Error estimation in numerical solution of equation by iteration processes, J. Sci. Hiroshima Univ., Ser. A-I, 26 (1962), 77–91.

Error estimations in the numerical solving of systems of equations in metric spaces

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THÉORÈME 1.

Démonstration.

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