Posts by Tiberiu Popoviciu

Tiberiu Popoviciu

Abstrait

?

Auteurs

Tiberiu Popoviciu

Titre originale

Quelques remarques sur une théorème de M. D. Pompeiu

Traduction en anglais du titre

Some remarks on a theorem of M. D. Pompeiu

Mots cle

??

Citer cette travail

T. Popoviciu, Quelques remarques sur une théorème de M. D. Pompeiu, Bull. Math. de la Soc. Roum. des Sci., 43 (1941), pp. 27-44 (in French)

PDF

1941 b -Popoviciu- Bull. Math. de la Soc. Roum. des Sci. – Quelques remarques sur une theoreme de M. Pompeiu

https://ictp.acad.ro/wp-content/uploads/2022/09/1941-b-Popoviciu-Bull.-Math.-de-la-Soc.-Roum.-des-Sci.-Quelques-remarques-sur-une-theoreme-de-M.-Pompeiu_compressed.pdf

Information de cette travail

Journal

??

Publie par

??

DOI

??

Print ISSN

–

Online ISSN

–

Google Scholar citations

MR, ZBL

HTML

1941 b -Popoviciu- Bull. Math. de la Soc. Roum. des Sci. - Quelques remarques sur une theoreme de M.

TIBERIU POPOVICIU

QUELQUES REMARQUES SUR UN THÉORÉME DE M. POMPEIU

QUELQUES REMARQUES SUR UN THÉORÈME DE M. POMPEIU PAR

TIBERIU POPOVICIU

M. D. Pompeiu a démontré 1 1 ^(1){ }^{1}1 ) que si ABC est un triangle équilatéral et P un point de son plan, avec les longueurs PA ― , PB ― , PC ― PA ¯ , PB ¯ , PC ¯ bar(PA), bar(PB), bar(PC)\overline{\mathrm{PA}}, \overline{\mathrm{PB}}, \overline{\mathrm{PC}}PA―,PB―,PC― on peut toujours former un triangle.
On peut énoncer ce résultat sous la forme suivante:
Si ABC est un triangle équilatéral et si P est un point de son plan, on a
PA ― + PB ― + PC ― 3 ≧ 2 3 max ( PA ― , PB ― , PC ― ) . PA ¯ + PB ¯ + PC ¯ 3 ≧ 2 3 max ( PA ¯ , PB ¯ , PC ¯ ) . ( bar(PA)+ bar(PB)+ bar(PC))/(3) >= (2)/(3)max( bar(PA), bar(PB), bar(PC)).\frac{\overline{\mathrm{PA}}+\overline{\mathrm{PB}}+\overline{\mathrm{PC}}}{3} \geqq \frac{2}{3} \max (\overline{\mathrm{PA}}, \overline{\mathrm{~PB}}, \overline{\mathrm{PC}}) .PA―+PB―+PC―3≧23max(PA―, PB―,PC―).
Dans la suite nous nous proposons de généraliser cette propriété pour un polygone régulier d'un nombre quelconque de côtés. Nous ferons aussi quelques autres remarques. Le lecteur se rendra facilement compte que ces problèmes en soulèvent d'autres qu'il serait interessant d'examiner de plus près.

I.

    • Considérons un polygone régulier A 0 A 1 … A n − 1 ( n ≧ 3 ) A 0 A 1 … A n − 1 ( n ≧ 3 ) A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)(n >= 3)\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{1} \ldots \mathrm{~A}_{n-1}(n \geqq 3)A0 A1… An−1(n≧3) et soit P un point de son plan. L'expression
E r ( P ) = PA ― 0 r + PA ― 1 r + … + PA ― n − 1 r PA ― 0 r E r ( P ) = PA ¯ 0 r + PA ¯ 1 r + … + PA ¯ n − 1 r PA ¯ 0 r E_(r)(P)=( bar(PA)_(0)^(r)+ bar(PA)_(1)^(r)+dots+ bar(PA)_(n-1)^(r))/( bar(PA)_(0)^(r))\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})=\frac{\overline{\mathrm{PA}}_{0}^{r}+\overline{\mathrm{PA}}_{1}^{r}+\ldots+\overline{\mathrm{PA}}_{n-1}^{r}}{\overline{\mathrm{PA}}_{0}^{r}}Er(P)=PA―0r+PA―1r+…+PA―n−1rPA―0r
où r r rrr est un nombre positif, est une fonction continue de P dans tout le plan, sauf au point A 0 A 0 A_(0)A_{0}A0, où d'ailleurs elle n'est pas définie.
Nous nous proposons d'étudier le minimum de E r ( P ) E r ( P ) E_(r)(P)\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})Er(P).
Sans restreindre la généralité nous pouvons supposer que les sommets A k A k A_(k)\mathrm{A}_{k}Ak sont représentés dans le plan par les nombres complexes i 2 k π 2 i 2 k π 2 i(2k pi)/(2)i \frac{2 k \pi}{2}i2kπ2
e , k = 0 , 1 , … , n − 1 e , k = 0 , 1 , … , n − 1 e quad,k=0,1,dots,n-1e \quad, k=0,1, \ldots, n-1e,k=0,1,…,n−1 et le point variable P par le nombre complexe ρ e i 0 , ρ ≧ 0 , 0 ≦ θ ≦ 2 π ρ e i 0 , ρ ≧ 0 , 0 ≦ θ ≦ 2 π rhoe^(i0),rho >= 0,0 <= theta <= 2pi\rho e^{i 0}, \rho \geqq 0,0 \leqq \theta \leqq 2 \piρei0,ρ≧0,0≦θ≦2π. Nous avons alors
PA ― k = ρ 2 + 1 − 2 ρ cos ⁡ ( θ − 2 k π n ) , k = 0 , 1 , … , n − 1 . PA ¯ k = ρ 2 + 1 − 2 ρ cos ⁡ θ − 2 k π n , k = 0 , 1 , … , n − 1 . bar(PA)_(k)=sqrt(rho^(2)+1-2rho cos(theta-(2k pi)/(n))),quad k=0,1,dots,n-1.\overline{\mathrm{PA}}_{k}=\sqrt{\rho^{2}+1-2 \rho \cos \left(\theta-\frac{2 k \pi}{n}\right)}, \quad k=0,1, \ldots, n-1 .PA―k=ρ2+1−2ρcos⁡(θ−2kπn),k=0,1,…,n−1.
Si P est le point A 0 ′ A 0 ′ A_(0)^(')\mathrm{A}_{0}^{\prime}A0′ diamétralement opposé à A 0 A 0 A_(0)\mathrm{A}_{0}A0 sur le cercle circonscrit, on a
E r ( A 0 ′ ) = ∑ k = 0 n − 1 | cos ⁡ k π n | r = α < n . E r A 0 ′ = ∑ k = 0 n − 1   cos ⁡ k π n r = α < n . E_(r)(A_(0)^('))=sum_(k=0)^(n-1)|cos((k pi)/(n))|^(r)=alpha < n.\mathrm{E}_{r}\left(\mathrm{~A}_{0}^{\prime}\right)=\sum_{k=0}^{n-1}\left|\cos \frac{k \pi}{n}\right|^{r}=\alpha<n .Er( A0′)=∑k=0n−1|cos⁡kπn|r=α<n.
On a donc sûrement
min E r ( P ) ≦ α . min E r ( P ) ≦ α . minE_(r)(P) <= alpha.\min \mathrm{E}_{r}(\mathrm{P}) \leqq \alpha .minEr(P)≦α.
Mais nous avons
| ρ − 1 | ≦ PA k ≦ ρ + 1 , k = 0 , 1 , … , n − 1 , | ρ − 1 | ≦ PA k ≦ ρ + 1 , k = 0 , 1 , … , n − 1 , |rho-1| <= PA_(k) <= rho+1,quad k=0,1,dots,n-1,|\rho-1| \leqq \mathrm{PA}_{k} \leqq \rho+1, \quad k=0,1, \ldots, n-1,|ρ−1|≦PAk≦ρ+1,k=0,1,…,n−1,
donc
E r ( P ) ≧ n | ρ − 1 | r ( ρ + 1 ) r . E r ( P ) ≧ n | ρ − 1 | r ( ρ + 1 ) r . E_(r)(P) >= (n|rho-1|^(r))/((rho+1)^(r)).\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P}) \geqq \frac{n|\rho-1|^{r}}{(\rho+1)^{r}} .Er(P)≧n|ρ−1|r(ρ+1)r.
Si nous prenons ρ > n 1 r + α 1 r n 1 r − α 1 r ρ > n 1 r + α 1 r n 1 r − α 1 r rho > (n^((1)/(r))+alpha^((1)/(r)))/(n^((1)/(r))-alpha^((1)/(r)))\rho>\frac{n^{\frac{1}{r}}+\alpha^{\frac{1}{r}}}{n^{\frac{1}{r}}-\alpha^{\frac{1}{r}}}ρ>n1r+α1rn1r−α1r, nous avons E r ( P ) > α E r ( P ) > α E_(r)(P) > alpha\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})>\alphaEr(P)>α.
Il en résulte que le minimum de E r ( P ) E r ( P ) E_(r)(P)E_{r}(P)Er(P) est le même que dans un cercle fermé de centre origine et de rayon n 1 r + α 1 r n 1 r − α 1 r n 1 r + α 1 r n 1 r − α 1 r (n^((1)/(r))+alpha^((1)/(r)))/(n^((1)/(r))-alpha^((1)/(r)))\frac{n^{\frac{1}{r}}+\alpha^{\frac{1}{r}}}{n^{\frac{1}{r}}-\alpha^{\frac{1}{r}}}n1r+α1rn1r−α1r. D'autre part
lim E r ( P ) = + ∞ P → A 0 . lim E r ( P ) = + ∞ P → A 0 . {:[ limE_(r)(P)=+oo],[PrarrA_(0).]:}\begin{aligned} & \lim \mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})=+\infty \\ & \mathrm{P} \rightarrow \mathrm{~A}_{0} . \end{aligned}limEr(P)=+∞P→ A0.
On peut donc affirmer que:
Le minimum de E r ( P ) E r ( P ) E_(r)(P)\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})Er(P) est atteint en au moins un point du plan. Remarquons qu'un tel point est nécessairement distinct de l'origine O puisque
E r ( O ) = n . E r ( O ) = n . E_(r)(O)=n.\mathrm{E}_{r}(\mathrm{O})=n .Er(O)=n.
    • Considérons le point P m P m P_(m)\mathrm{P}_{m}Pm representé par le nombre complexe i ( 0 + 2 m π n ) i 0 + 2 m π n i(0+(2m pi)/(n))i\left(0+\frac{2 m \pi}{n}\right)i(0+2mπn)
      pe où m m mmm est un entier. Par suite de la symétrie, on a
∑ k = 0 n − 1 P m A k r ― = ∑ k = 0 n − 1 PA ― k r ∑ k = 0 n − 1   P m A k r ¯ = ∑ k = 0 n − 1   PA ¯ k r sum_(k=0)^(n-1) bar(P_(m)A_(k)^(r))=sum_(k=0)^(n-1) bar(PA)_(k)^(r)\sum_{k=0}^{n-1} \overline{\mathrm{P}_{m} \mathrm{~A}_{k}^{r}}=\sum_{k=0}^{n-1} \overline{\mathrm{PA}}_{k}^{r}∑k=0n−1Pm Akr―=∑k=0n−1PA―kr
Toujours par suite de la symétrie, on voit qu'il suffit d'examiner l'expression E r ( P ) E r ( P ) E_(r)(P)\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})Er(P) seulement pour les points P pour lesquels
(1)
π − π n ≦ θ ≦ π π − π n ≦ θ ≦ π pi-(pi )/(n) <= theta <= pi\pi-\frac{\pi}{n} \leqq \theta \leqq \piπ−πn≦θ≦π
Fixons un tel θ θ theta\thetaθ et faisons varier ρ ρ rho\rhoρ de 0 à + ∞ + ∞ +oo+\infty+∞.
Si nous posons
(2)
t = 2 ρ ρ 2 + 1 t = 2 ρ ρ 2 + 1 t=(2rho)/(rho^(2)+1)t=\frac{2 \rho}{\rho^{2}+1}t=2ρρ2+1
nous avons
E r ( P ) = 1 ( 1 − t cos ⁡ θ ) r 2 ∑ k = 0 n − 1 [ 1 − t cos ⁡ ( θ − 2 k π n ) ] r 2 E r ( P ) = 1 ( 1 − t cos ⁡ θ ) r 2 ∑ k = 0 n − 1   1 − t cos ⁡ θ − 2 k π n r 2 E_(r)(P)=(1)/((1-t cos theta)^((r)/(2)))sum_(k=0)^(n-1)[1-t cos(theta-(2k pi)/(n))]^((r)/(2))\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})=\frac{1}{(1-t \cos \theta)^{\frac{r}{2}}} \sum_{k=0}^{n-1}\left[1-t \cos \left(\theta-\frac{2 k \pi}{n}\right)\right]^{\frac{r}{2}}Er(P)=1(1−tcos⁡θ)r2∑k=0n−1[1−tcos⁡(θ−2kπn)]r2
De (1) il résulte que cos ⁡ θ < 0 cos ⁡ θ < 0 cos theta < 0\cos \theta<0cos⁡θ<0, donc E r ( P ) E r ( P ) E_(r)(P)\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})Er(P) est une fonction continue de t t ttt dans l'intervalle fermé [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1] et est sûrement dérivable dans l'intervalle [ 0 , 1 ) [ 0 , 1 ) [0,1)[0,1)[0,1) ouvert à droite. Nous avons, d'après un calcul facile,
d E r ( P ) d t = = − r ( 1 − t cos ⁡ θ ) r 2 + 1 ∑ k = 0 n − 1 sin ⁡ ( θ − k π n ) sin ⁡ k π n [ 1 − t cos ⁡ ( θ − 2 k π n ) ] r 2 − 1 d E r ( P ) d t = = − r ( 1 − t cos ⁡ θ ) r 2 + 1 ∑ k = 0 n − 1   sin ⁡ θ − k π n sin ⁡ k π n 1 − t cos ⁡ θ − 2 k π n r 2 − 1 {:[(dE_(r)(P))/(dt)=],[=-(r)/((1-t cos theta)^((r)/(2))+1)sum_(k=0)^(n-1)sin(theta-(k pi)/(n))sin((k pi)/(n)[1-t cos(theta-(2k pi)/(n))]^((r)/(2)-1))]:}\begin{gathered} \frac{d \mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})}{d t}= \\ =-\frac{r}{(1-t \cos \theta)^{\frac{r}{2}}+1} \sum_{k=0}^{n-1} \sin \left(\theta-\frac{k \pi}{n}\right) \sin \frac{k \pi}{n}\left[1-t \cos \left(\theta-\frac{2 k \pi}{n}\right)\right]^{\frac{r}{2}-1} \end{gathered}dEr(P)dt==−r(1−tcos⁡θ)r2+1∑k=0n−1sin⁡(θ−kπn)sin⁡kπn[1−tcos⁡(θ−2kπn)]r2−1
et compte tenant de (1),
d E r ( P ) d t < 0 , 0 ≦ t < 1 . d E r ( P ) d t < 0 , 0 ≦ t < 1 . (dE_(r)(P))/(dt) < 0,quad0 <= t < 1.\frac{d \mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})}{d t}<0, \quad 0 \leqq t<1 .dEr(P)dt<0,0≦t<1.
La fonction E r ( P ) E r ( P ) E_(r)(P)\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})Er(P) de t t ttt est donc décroissante dans l'intervale [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1]. Son minimum est atteint seulement pour t = 1 t = 1 t=1t=1t=1 donc, d'après (2), seulement pour ρ = 1 ρ = 1 rho=1\rho=1ρ=1.
Le minimum de l'expression E r ( P ) E r ( P ) E_(r)(P)\mathrm{E}_{\mathrm{r}}(\mathrm{P})Er(P) ne peut être atteint que sur le cercle circonscrit au polygone.
3. - Supposons donc p = 1 p = 1 p=1p=1p=1. L'expression E r ( P ) E r ( P ) E_(r)(P)\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})Er(P) devient
E r ( P ) = 1 sin r ⁡ θ 2 ∑ k = 0 n − 1 | sin ⁡ ( θ 2 − k π n ) | r E r ( P ) = 1 sin r ⁡ θ 2 ∑ k = 0 n − 1   sin ⁡ θ 2 − k π n r E_(r)(P)=(1)/(sin^(r)((theta)/(2)))sum_(k=0)^(n-1)|sin((theta)/(2)-(k pi)/(n))|^(r)\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})=\frac{1}{\sin ^{r} \frac{\theta}{2}} \sum_{k=0}^{n-1}\left|\sin \left(\frac{\theta}{2}-\frac{k \pi}{n}\right)\right|^{r}Er(P)=1sinr⁡θ2∑k=0n−1|sin⁡(θ2−kπn)|r
ou
E r ( P ) = ∑ k = 0 n − 1 | cos ⁡ k π n − u sin ⁡ k π n | r E r ( P ) = ∑ k = 0 n − 1   cos ⁡ k π n − u sin ⁡ k π n r E_(r)(P)=sum_(k=0)^(n-1)|cos((k pi)/(n))-u sin((k pi)/(n))|^(r)\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})=\sum_{k=0}^{n-1}\left|\cos \frac{k \pi}{n}-u \sin \frac{k \pi}{n}\right|^{r}Er(P)=∑k=0n−1|cos⁡kπn−usin⁡kπn|r
en posant
u = cotg θ 2 u = cotg θ 2 u=cotg((theta)/(2))u=\operatorname{cotg} \frac{\theta}{2}u=cotgθ2
C'est une fonction continue de u u uuu dans l'intervalle fermé [ 0 , tg π 2 n ] 0 , tg π 2 n [0,tg((pi)/(2n))]\left[0, \operatorname{tg} \frac{\pi}{2 n}\right][0,tgπ2n] et est surement indéfiniment dérivable dans l'intervalle ouvert ( 0 , tg π 2 n ) 0 , tg π 2 n (0,tg((pi)/(2n)))\left(0, \operatorname{tg} \frac{\pi}{2 n}\right)(0,tgπ2n). On a
d E r ( P ) d u = − r ∑ k = 0 n − 1 sin ⁡ k π n | cos ⁡ k π n − u sin ⁡ k π n | r cos ⁡ k π n − u sin ⁡ k π n d 2 E r ( P ) d u 2 = r ( r − 1 ) ∑ k = 0 n − 1 sin 2 ⁡ k π n | cos ⁡ k π n − u sin ⁡ k π n | r − 2 d E r ( P ) d u = − r ∑ k = 0 n − 1   sin ⁡ k π n cos ⁡ k π n − u sin ⁡ k π n r cos ⁡ k π n − u sin ⁡ k π n d 2 E r ( P ) d u 2 = r ( r − 1 ) ∑ k = 0 n − 1   sin 2 ⁡ k π n cos ⁡ k π n − u sin ⁡ k π n r − 2 {:[(dE_(r)(P))/(du)=-rsum_(k=0)^(n-1)(sin((k pi)/(n)|cos((k pi)/(n))-u sin((k pi)/(n))|^(r)))/(cos((k pi)/(n))-u sin((k pi)/(n)))],[(d^(2)E_(r)(P))/(du^(2))=r(r-1)sum_(k=0)^(n-1)sin^(2)((k pi)/(n)|cos((k pi)/(n))-u sin((k pi)/(n))|^(r-2))]:}\begin{gathered} \frac{d \mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})}{d u}=-r \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\sin \frac{k \pi}{n}\left|\cos \frac{k \pi}{n}-u \sin \frac{k \pi}{n}\right|^{r}}{\cos \frac{k \pi}{n}-u \sin \frac{k \pi}{n}} \\ \frac{d^{2} \mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})}{d u^{2}}=r(r-1) \sum_{k=0}^{n-1} \sin ^{2} \frac{k \pi}{n}\left|\cos \frac{k \pi}{n}-u \sin \frac{k \pi}{n}\right|^{r-2} \end{gathered}dEr(P)du=−r∑k=0n−1sin⁡kπn|cos⁡kπn−usin⁡kπn|rcos⁡kπn−usin⁡kπnd2Er(P)du2=r(r−1)∑k=0n−1sin2⁡kπn|cos⁡kπn−usin⁡kπn|r−2
Nous avons donc
d 2 E r ( P ) d u 2 < 0 , = 0 resp. > 0 , 0 < u < tg π 2 n d 2 E r ( P ) d u 2 < 0 , = 0  resp.  > 0 , 0 < u < tg π 2 n (d^(2)E_(r)(P))/(du^(2)) < 0,=0" resp. " > 0,quad0 < u < tg((pi)/(2n))\frac{d^{2} \mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})}{d u^{2}}<0,=0 \text { resp. }>0, \quad 0<u<\operatorname{tg} \frac{\pi}{2 n}d2Er(P)du2<0,=0 resp. >0,0<u<tgπ2n
suivant que r < 1 , = 1 r < 1 , = 1 r < 1,=1r<1,=1r<1,=1, resp. > 1 > 1 > 1>1>1.
La fonction E r ( P ) E r ( P ) E_(r)(P)\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})Er(P) de u u uuu est donc une fonction continue concave linéaire resp. convexe dans l'intervalle fermé [ 0 , tg π 2 n ] 0 , tg π 2 n [0,tg((pi)/(2n))]\left[0, \operatorname{tg} \frac{\pi}{2 n}\right][0,tgπ2n]. Pour aller plus loin examinons la dérivée première de E r ( P ) E r ( P ) E_(r)(P)\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})Er(P) au voisinage des extrémités.
Si n n nnn est impair, tous les cos ⁡ k π n cos ⁡ k π n cos((k pi)/(n))\cos \frac{k \pi}{n}cos⁡kπn sont ≠ 0 ≠ 0 !=0\neq 0≠0, donc
lim u → + 0 d E r ( P ) d u = − r ∑ k = 0 n − 1 tg k π n | cos ⁡ k π n | r = 0 lim u → + 0   d E r ( P ) d u = − r ∑ k = 0 n − 1   tg k π n cos ⁡ k π n r = 0 lim_(u rarr+0)(dE_(r)(P))/(du)=-rsum_(k=0)^(n-1)tg((k pi)/(n)|cos((k pi)/(n))|^(r))=0\lim _{u \rightarrow+0} \frac{d \mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})}{d u}=-r \sum_{k=0}^{n-1} \operatorname{tg} \frac{k \pi}{n}\left|\cos \frac{k \pi}{n}\right|^{r}=0limu→+0dEr(P)du=−r∑k=0n−1tgkπn|cos⁡kπn|r=0
On peut donc affirmer dans ce cas que le minimum est atteint pour u = 0 u = 0 u=0u=0u=0 si r > 1 r > 1 r > 1r>1r>1 et pour u = tg π 2 n u = tg π 2 n u=tg((pi)/(2n))u=\operatorname{tg} \frac{\pi}{2 n}u=tgπ2n si r < 1 r < 1 r < 1r<1r<1 et seulement pour ces valeurs.
Si n n nnn est pair les cos ⁡ k π n cos ⁡ k π n cos((k pi)/(n))\cos \frac{k \pi}{n}cos⁡kπn sont ≠ 0 ≠ 0 !=0\neq 0≠0 sauf pour k = n 2 k = n 2 k=(n)/(2)k=\frac{n}{2}k=n2. On a donc
lim u → + 0 d E r ( P ) d u = r lim u → + 0 u r − 1 lim u → + 0   d E r ( P ) d u = r lim u → + 0   u r − 1 lim_(u rarr+0)(dE_(r)(P))/(du)=rlim_(u rarr+0)u^(r-1)\lim _{u \rightarrow+0} \frac{d \mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})}{d u}=r \lim _{u \rightarrow+0} u^{r-1}limu→+0dEr(P)du=rlimu→+0ur−1
et par conséquence
lim u → + 0 d E r ( P ) d u = { 0 , pour r > 1 + ∞ , pour r < 1 lim u → + 0   d E r ( P ) d u = 0 ,       pour  r > 1 + ∞ ,       pour  r < 1 lim_(u rarr+0)(dE_(r)(P))/(du)={[0","," pour "r > 1],[+oo","," pour "r < 1]:}\lim _{u \rightarrow+0} \frac{d \mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})}{d u}=\left\{\begin{array}{lr} 0, & \text { pour } r>1 \\ +\infty, & \text { pour } r<1 \end{array}\right.limu→+0dEr(P)du={0, pour r>1+∞, pour r<1
On en déduit immédiatement que si r > 1 r > 1 r > 1r>1r>1 le minimum est atteint pour u = 0 u = 0 u=0u=0u=0. Si r < 1 r < 1 r < 1r<1r<1, la fonction E r ( P ) E r ( P ) E_(r)(P)\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})Er(P) étant concave nous savons que le minimum ne peut être atteint que pour les extrémités
u = 0 , u = tg π 2 n u = 0 , u = tg π 2 n u=0,u=tg((pi)/(2n))u=0, u=\operatorname{tg} \frac{\pi}{2 n}u=0,u=tgπ2n
Pour décider remarquons que dans ce cas ( n n nnn pair)
lim u → tg π 2 n − 0 d E r ( P ) d u = − r cos r − 1 ⁡ π 2 n ∑ k = 0 n − 1 sin ⁡ k π n cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 2 n | cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 2 n | r = = r sin ⁡ π n cos ⁡ π 2 n ∑ k = 0 n − 2 2 cos r ⁡ ( 2 k + 1 ) π 2 n > 0 lim u → tg π 2 n − 0   d E r ( P ) d u = − r cos r − 1 ⁡ π 2 n ∑ k = 0 n − 1   sin ⁡ k π n cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 2 n cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 2 n r = = r sin ⁡ π n cos ⁡ π 2 n ∑ k = 0 n − 2 2   cos r ⁡ ( 2 k + 1 ) π 2 n > 0 {:[lim_(u rarr tg((pi)/(2n))-0)(dE_(r)(P))/(du)=-(r)/(cos^(r-1)((pi)/(2n)))sum_(k=0)^(n-1)(sin((k pi)/(n)))/(cos(((2k+1)pi)/(2n)))|cos(((2k+1)pi)/(2n))|^(r)=],[=(r sin((pi )/(n)))/(cos((pi)/(2n)))sum_(k=0)^((n-2)/(2))cos^(r)(((2k+1)pi)/(2n)) > 0]:}\begin{aligned} \lim _{u \rightarrow \operatorname{tg} \frac{\pi}{2 n}-0} \frac{d \mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})}{d u} & =-\frac{r}{\cos ^{r-1} \frac{\pi}{2 n}} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\sin \frac{k \pi}{n}}{\cos \frac{(2 k+1) \pi}{2 n}}\left|\cos \frac{(2 k+1) \pi}{2 n}\right|^{r}= \\ & =\frac{r \sin \frac{\pi}{n}}{\cos \frac{\pi}{2 n}} \sum_{k=0}^{\frac{n-2}{2}} \cos ^{r} \frac{(2 k+1) \pi}{2 n}>0 \end{aligned}limu→tgπ2n−0dEr(P)du=−rcosr−1⁡π2n∑k=0n−1sin⁡kπncos⁡(2k+1)π2n|cos⁡(2k+1)π2n|r==rsin⁡πncos⁡π2n∑k=0n−22cosr⁡(2k+1)π2n>0
La fonction E r ( P ) E r ( P ) E_(r)(P)\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})Er(P) est donc croissante et son minimum est atteint pour u = 0 u = 0 u=0u=0u=0.
Il reste à examiner le cas spécial r = 1 r = 1 r=1r=1r=1. Nous avons alors
E r ( P ) = { 1 tg π 2 n + u , pour n pair 1 sin ⁡ π 2 n , pour n impair. E r ( P ) = 1 tg π 2 n + u ,       pour  n  pair  1 sin ⁡ π 2 n ,       pour  n  impair.  E_(r)(P)={[(1)/(tg((pi)/(2n)))+u","," pour "n" pair "],[(1)/(sin((pi)/(2n)))","," pour "n" impair. "]:}\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})= \begin{cases}\frac{1}{\operatorname{tg} \frac{\pi}{2 n}}+u, & \text { pour } n \text { pair } \\ \frac{1}{\sin \frac{\pi}{2 n}}, & \text { pour } n \text { impair. }\end{cases}Er(P)={1tgπ2n+u, pour n pair 1sin⁡π2n, pour n impair. 
Pour n n nnn pair le minimum est atteint pour u = 0 u = 0 u=0u=0u=0. Pour n n nnn impair E 1 ( P ) E 1 ( P ) E_(1)(P)\mathrm{E}_{1}(\mathrm{P})E1(P) est constante sur l'ensemble des points considéré, donc son minimum est atteint en tout point de l'intervalle [ 0 , tg π 2 n ] 0 , tg π 2 n [0,tg((pi)/(2n))]\left[0, \operatorname{tg} \frac{\pi}{2 n}\right][0,tgπ2n].
Remarquons maintenant que si θ θ theta\thetaθ croit de π − π n π − π n pi-(pi )/(n)\pi-\frac{\pi}{n}π−πn à π , u = cotg θ 2 π , u = cotg θ 2 pi,u=cotg((theta)/(2))\pi, u=\operatorname{cotg} \frac{\theta}{2}π,u=cotgθ2 décroit de tg π 2 n tg π 2 n tg((pi)/(2n))\operatorname{tg} \frac{\pi}{2 n}tgπ2n à 0 .
Posons maintenant
(3) λ n ( r ) = { ∑ k = 0 n − 1 | cos ⁡ k π n | r , si n est pair r > 0 et si n est impair r ≧ 1 1 cos r ⁡ π 2 n ∑ k = 0 n − 1 | cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 2 n | r , si n est impair 0 < r < 1 . λ n ( r ) = ∑ k = 0 n − 1   cos ⁡ k π n r ,  si  n  est pair  r > 0  et si  n  est impair  r ≧ 1 1 cos r ⁡ π 2 n ∑ k = 0 n − 1   cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 2 n r ,  si  n  est impair  0 < r < 1 . quadlambda_(n)^((r))={[sum_(k=0)^(n-1)|cos((k pi)/(n))|^(r)","" si "n" est pair "r > 0" et si "n" est impair "r >= 1],[(1)/(cos^(r)((pi)/(2n)))sum_(k=0)^(n-1)|cos(((2k+1)pi)/(2n))|^(r)","" si "n" est impair "0 < r < 1.]:}\quad \lambda_{n}^{(r)}=\left\{\begin{array}{l}\sum_{k=0}^{n-1}\left|\cos \frac{k \pi}{n}\right|^{r}, \text { si } n \text { est pair } r>0 \text { et si } n \text { est impair } r \geqq 1 \\ \frac{1}{\cos ^{r} \frac{\pi}{2 n}} \sum_{k=0}^{n-1}\left|\cos \frac{(2 k+1) \pi}{2 n}\right|^{r}, \text { si } n \text { est impair } 0<r<1 .\end{array}\right.λn(r)={∑k=0n−1|cos⁡kπn|r, si n est pair r>0 et si n est impair r≧11cosr⁡π2n∑k=0n−1|cos⁡(2k+1)π2n|r, si n est impair 0<r<1.
Nous pouvons alors énoncer le théorème suivant.
Théorème 1. Si A 0 A 1 … A n − 1 A 0 A 1 … A n − 1 A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{1} \ldots \mathrm{~A}_{\mathrm{n}-1}A0 A1… An−1 est un polygone régulier, r un nombre positif donné et P un point du plan du polygone, on a l'inégalité
E r ( P ) ≧ λ n ( r ) . E r ( P ) ≧ λ n ( r ) . E_(r)(P) >= lambda_(n)^((r)).\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P}) \geqq \lambda_{n}^{(r)} .Er(P)≧λn(r).
L'égalité a lieu si et seulement si:
1 0 n 1 0 n 1^(0)n1^{0} \mathrm{n}10n étant pair et r > 0 r > 0 r > 0\mathrm{r}>0r>0, ou bien n étant impair et r ≧ 1 , P r ≧ 1 , P r >= 1,P\mathrm{r} \geqq 1, \mathrm{P}r≧1,P coüncide avec le point A 0 ′ A 0 ′ A_(0)^(')\mathrm{A}_{0}^{\prime}A0′ du cercle circonscrit diamétralement opposé a ` A 0 a ` A 0 a^(`)A_(0)\grave{a} \mathrm{~A}_{0}a` A0.
2 0 n 2 0 n 2^(0)n2^{0} \mathrm{n}20n étant impair et 0 < r < 1 , P 0 < r < 1 , P 0 < r < 1,P0<\mathrm{r}<1, \mathrm{P}0<r<1,P coïncide avec l'un des sommets opposés à A 0 A 0 A_(0)\mathrm{A}_{0}A0, donc P = A n − 1 2 P = A n − 1 2 P=A_((n-1)/(2))\mathrm{P}=\mathrm{A}_{\frac{\mathrm{n}-1}{2}}P=An−12 ou P = A n + 1 2 P = A n + 1 2 P=A_((n+1)/(2))\mathrm{P}=\mathrm{A}_{\frac{\mathrm{n}+1}{2}}P=An+12.
3 0 n 3 0 n 3^(0)n3^{0} \mathrm{n}30n étant impair et r = 1 , P r = 1 , P r=1,P\mathrm{r}=1, \mathrm{P}r=1,P coïncide avec l'un des points de l'arc du cercle circonscrit compris entre les sommets A n − 1 2 2 , A n + 1 2 2 A n − 1 2 2 , A n + 1 2 2 (A_((n-1)/(2)))/(2),(A_((n+1)/(2)))/(2)\frac{\mathrm{A}_{\frac{\mathrm{n}-1}{2}}}{2}, \frac{\mathrm{~A}_{\frac{\mathrm{n}+1}{2}}}{2}An−122, An+122.
Il s'agit, bien entendu, du cercle circonscrit au polygone.
4. - Le résultat précédent peut se mettre sous diverses formes. L'expression
(4) M r ( P ) = ( PA ― 0 r + PA ― 1 r + … + PA ― n − 1 r n ) 1 r (4) M r ( P ) = PA ¯ 0 r + PA ¯ 1 r + … + PA ¯ n − 1 r n 1 r {:(4)M_(r)(P)=(( bar(PA)_(0)^(r)+ bar(PA)_(1)^(r)+dots+ bar(PA)_(n-1)^(r))/(n))^((1)/(r)):}\begin{equation*} \mathrm{M}_{r}(\mathrm{P})=\left(\frac{\overline{\mathrm{PA}}_{0}^{r}+\overline{\mathrm{PA}}_{1}^{r}+\ldots+\overline{\mathrm{PA}}_{n-1}^{r}}{n}\right)^{\frac{1}{r}} \tag{4} \end{equation*}(4)Mr(P)=(PA―0r+PA―1r+…+PA―n−1rn)1r
est la moyenne de puissance r r rrr des distances PA ― 0 , PA ― 1 , … , PA ― n − 1 PA ¯ 0 , PA ¯ 1 , … , PA ¯ n − 1 bar(PA)_(0), bar(PA)_(1),dots, bar(PA)_(n-1)\overline{\mathrm{PA}}_{0}, \overline{\mathrm{PA}}_{1}, \ldots, \overline{\mathrm{PA}}_{n-1}PA―0,PA―1,…,PA―n−1. On sait que nous avons la limitation supérieur
M r ( P ) ≦ max ( PA ― 0 , PA ― 1 , … , PA ― n − 1 ) M r ( P ) ≦ max PA ¯ 0 , PA ¯ 1 , … , PA ¯ n − 1 M_(r)(P) <= max( bar(PA)_(0), bar(PA)_(1),dots, bar(PA)_(n-1))\mathrm{M}_{r}(\mathrm{P}) \leqq \max \left(\overline{\mathrm{PA}}_{0}, \overline{\mathrm{PA}}_{1}, \ldots, \overline{\mathrm{PA}}_{n-1}\right)Mr(P)≦max(PA―0,PA―1,…,PA―n−1)
Le théorème 1 donne, pour un polygone régulier, une limitation inférieur de M r ( P ) M r ( P ) M_(r)(P)\mathrm{M}_{r}(\mathrm{P})Mr(P). Nous avons le
Théorème 2. Si A 0 A 1 … A n − 1 A 0 A 1 … A n − 1 A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{1} \ldots \mathrm{~A}_{\mathrm{n}-1}A0 A1… An−1 est un polygone régulier, r un nombre positif et P un point du plan du polygone, on a
M r ( P ) ≧ C n ( r ) max ( PA ― 0 , PA ― 1 , … , PA ― n − 1 ) M r ( P ) ≧ C n ( r ) max PA ¯ 0 , PA ¯ 1 , … , PA ¯ n − 1 M_(r)(P) >= C_(n)^((r))max( bar(PA)_(0), bar(PA)_(1),dots, bar(PA)_(n-1))\mathrm{M}_{r}(\mathrm{P}) \geqq \mathrm{C}_{n}^{(r)} \max \left(\overline{\mathrm{PA}}_{0}, \overline{\mathrm{PA}}_{1}, \ldots, \overline{\mathrm{PA}}_{n-1}\right)Mr(P)≧Cn(r)max(PA―0,PA―1,…,PA―n−1)
où
C n ( r ) = ( λ n ( r ) n ) 1 r C n ( r ) = λ n ( r ) n 1 r C_(n)^((r))=((lambda_(n)^((r)))/(n))^((1)/(r))\mathrm{C}_{n}^{(r)}=\left(\frac{\lambda_{n}^{(r)}}{n}\right)^{\frac{1}{r}}Cn(r)=(λn(r)n)1r
Remarquons que
lim n → ∞ λ n ( r ) n = 1 π ∫ 0 π | cos ⁡ x | r d x = 2 π ∫ 0 π 2 cos r ⁡ x d x < 1 lim n → ∞   λ n ( r ) n = 1 π ∫ 0 π   | cos ⁡ x | r d x = 2 π ∫ 0 π 2   cos r ⁡ x d x < 1 lim_(n rarr oo)(lambda_(n)^((r)))/(n)=(1)/(pi)int_(0)^(pi)|cos x|^(r)dx=(2)/(pi)int_(0)^((pi)/(2))cos^(r)xdx < 1\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\lambda_{n}^{(r)}}{n}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}|\cos x|^{r} d x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{r} x d x<1limn→∞λn(r)n=1π∫0π|cos⁡x|rdx=2π∫0π2cosr⁡xdx<1
donc C n ( r ) C n ( r ) C_(n)^((r))\mathrm{C}_{n}^{(r)}Cn(r) pour n ⟶ ∞ n ⟶ ∞ n longrightarrow oon \longrightarrow \inftyn⟶∞ tend vers la valeur moyenne de puissance r r rrr de la fonction cos ⁡ x cos ⁡ x cos x\cos xcos⁡x dans l'intervalle [ 0 , π 2 ] 0 , π 2 [0,(pi)/(2)]\left[0, \frac{\pi}{2}\right][0,π2].
Pour compléter les résultats précédents nous examinerons avec un peu plus de détail, le cas où r r rrr est un nombre entier.
5. - Soit d'abord r = 1 r = 1 r=1r=1r=1. Nous avons alors
λ n ( 1 ) = { 1 tg π 2 n , n pair 1 sin ⁡ π 2 n , n impair λ n ( 1 ) = 1 tg π 2 n ,      n  pair  1 sin ⁡ π 2 n ,      n  impair  lambda_(n)^((1))={[(1)/(tg((pi)/(2n)))",",n" pair "],[(1)/(sin((pi)/(2n)))",",n" impair "]:}\lambda_{n}^{(1)}= \begin{cases}\frac{1}{\operatorname{tg} \frac{\pi}{2 n}}, & n \text { pair } \\ \frac{1}{\sin \frac{\pi}{2 n}}, & n \text { impair }\end{cases}λn(1)={1tgπ2n,n pair 1sin⁡π2n,n impair 
La généralisation directe du théorème de M. D. Pompeiu peut s'énoncer de la manière suivante
Théorème 3. Si A 0 A 1 … A n − 1 A 0 A 1 … A n − 1 A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{1} \ldots \mathrm{~A}_{n-1}A0 A1… An−1 est un polygone régulier et P un point de son plan, on a
M 1 ( P ) = PA ― 0 + PA ― 1 + … + PA ― n − 1 n ≧ C n ( 1 ) max ( PA ― 0 , PA ― 1 , … , PA ― n − 1 ) M 1 ( P ) = PA ¯ 0 + PA ¯ 1 + … + PA ¯ n − 1 n ≧ C n ( 1 ) max PA ¯ 0 , PA ¯ 1 , … , PA ¯ n − 1 M_(1)(P)=( bar(PA)_(0)+ bar(PA)_(1)+dots+ bar(PA)_(n-1))/(n) >= C_(n)^((1))max( bar(PA)_(0), bar(PA)_(1),dots, bar(PA)_(n-1))\mathrm{M}_{1}(\mathrm{P})=\frac{\overline{\mathrm{PA}}_{0}+\overline{\mathrm{PA}}_{1}+\ldots+\overline{\mathrm{PA}}_{n-1}}{n} \geqq \mathrm{C}_{n}^{(1)} \max \left(\overline{\mathrm{PA}}_{0}, \overline{\mathrm{PA}}_{1}, \ldots, \overline{\mathrm{PA}}_{n-1}\right)M1(P)=PA―0+PA―1+…+PA―n−1n≧Cn(1)max(PA―0,PA―1,…,PA―n−1)
où C n ( 1 ) C n ( 1 ) C_(n)^((1))\mathrm{C}_{n}^{(1)}Cn(1) est égal à
1 n ⋅ 1 tg π 2 n ou 1 n ⋅ 1 sin ⁡ π 2 n 1 n ⋅ 1 tg π 2 n  ou  1 n ⋅ 1 sin ⁡ π 2 n (1)/(n)*(1)/(tg((pi)/(2n)))" ou "(1)/(n)*(1)/(sin((pi)/(2n)))\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{\pi}{2 n}} \text { ou } \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\sin \frac{\pi}{2 n}}1n⋅1tgπ2n ou 1n⋅1sin⁡π2n
suivant que n est pair ou impair.
Remarquons que pour n n nnn pair C n ( 1 ) C n ( 1 ) C_(n)^((1))\mathrm{C}_{n}^{(1)}Cn(1) croit et tend vers 2 π 2 π (2)/(pi)\frac{2}{\pi}2π et pour n n nnn impair il décroit et tend vers 2 π 2 π (2)/(pi)\frac{2}{\pi}2π pour n ⟶ ∞ n ⟶ ∞ n longrightarrow oon \longrightarrow \inftyn⟶∞, donc
Conséquence 1. Si A 0 A 1 … A n − 1 A 0 A 1 … A n − 1 A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{1} \ldots \mathrm{~A}_{\mathrm{n}-1}A0 A1… An−1 est un polygone régulier d'un nombre impair de côtés et P un point de son plan, on a
M 1 ( P ) > 2 π max ( PA ― 0 , PA ― 1 , … , PA ― n − 1 ) M 1 ( P ) > 2 π max PA ¯ 0 , PA ¯ 1 , … , PA ¯ n − 1 M_(1)(P) > (2)/(pi)max( bar(PA)_(0), bar(PA)_(1),dots, bar(PA)_(n-1))\mathrm{M}_{1}(\mathrm{P})>\frac{2}{\pi} \max \left(\overline{\mathrm{PA}}_{0}, \overline{\mathrm{PA}}_{1}, \ldots, \overline{\mathrm{PA}}_{n-1}\right)M1(P)>2πmax(PA―0,PA―1,…,PA―n−1)
l'égalité n'étant pas possible et 2 π 2 π (2)/(pi)\frac{2}{\pi}2π ne pouvant être remplacé par aucun autre nombre plus grand.
Pour n = 4 n = 4 n=4n=4n=4 on a C n ( 1 ) = 2 + 1 4 C n ( 1 ) = 2 + 1 4 C_(n)^((1))=(sqrt2+1)/(4)\mathrm{C}_{n}^{(1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{4}Cn(1)=2+14 et nous avons le
Théorème 4. Si ABCD est un carré et P un point de son plan, nous avons l'inégalité
PA ― + PB ― + PC ― + PD ― 4 ≧ 2 + 1 4 max ( PA ― , PB ― , PC ― , PD ― ) PA ¯ + PB ¯ + PC ¯ + PD ¯ 4 ≧ 2 + 1 4 max ( PA ¯ , PB ¯ , PC ¯ , PD ¯ ) ( bar(PA)+ bar(PB)+ bar(PC)+ bar(PD))/(4) >= (sqrt2+1)/(4)max( bar(PA), bar(PB), bar(PC), bar(PD))\frac{\overline{\mathrm{PA}}+\overline{\mathrm{PB}}+\overline{\mathrm{PC}}+\overline{\mathrm{PD}}}{4} \geqq \frac{\sqrt{2}+1}{4} \max (\overline{\mathrm{PA}}, \overline{\mathrm{~PB}}, \overline{\mathrm{PC}}, \overline{\mathrm{PD}})PA―+PB―+PC―+PD―4≧2+14max(PA―, PB―,PC―,PD―)
qui est, d'ailleurs, équivalente aux quatre inégalités
PB ― + PC ― + PD ― ≧ 2 PA ― , PC ― + PD ― + PA ― ≧ 2 PB ― PD ― + PA ― + PB ― ≧ 2 PC ― PA ― + PB ― + PC ― ≧ 2 PD ― . PB ¯ + PC ¯ + PD ¯ ≧ 2 PA ¯ ,      PC ¯ + PD ¯ + PA ¯ ≧ 2 PB ¯ PD ¯ + PA ¯ + PB ¯ ≧ 2 PC ¯      PA ¯ + PB ¯ + PC ¯ ≧ 2 PD ¯ . {:[ bar(PB)+ bar(PC)+ bar(PD) >= sqrt2 bar(PA)",", bar(PC)+ bar(PD)+ bar(PA) >= sqrt2 bar(PB)],[ bar(PD)+ bar(PA)+ bar(PB) >= sqrt2 bar(PC), bar(PA)+ bar(PB)+ bar(PC) >= sqrt2 bar(PD).]:}\begin{array}{ll} \overline{\mathrm{PB}}+\overline{\mathrm{PC}}+\overline{\mathrm{PD}} \geqq \sqrt{2} \overline{\mathrm{PA}}, & \overline{\mathrm{PC}}+\overline{\mathrm{PD}}+\overline{\mathrm{PA}} \geqq \sqrt{2} \overline{\mathrm{~PB}} \\ \overline{\mathrm{PD}}+\overline{\mathrm{PA}}+\overline{\mathrm{PB}} \geqq \sqrt{2} \overline{\mathrm{PC}} & \overline{\mathrm{PA}}+\overline{\mathrm{PB}}+\overline{\mathrm{PC}} \geqq \sqrt{2} \overline{\mathrm{PD}} . \end{array}PB―+PC―+PD―≧2PA―,PC―+PD―+PA―≧2 PB―PD―+PA―+PB―≧2PC―PA―+PB―+PC―≧2PD―.
M. D. Pompeiu a déjà trouvé 2 ) C 4 ( 1 ) > 1 2 C 4 ( 1 ) > 1 2 C_(4)^((1)) > (1)/(2)\mathrm{C}_{4}^{(1)}>\frac{1}{2}C4(1)>12.
6. - Supposons maintenant r = 2 m , m r = 2 m , m r=2m,mr=2 m, mr=2m,m étant un nombre naturel. Calculons λ n ( 2 m ) λ n ( 2 m ) lambda_(n)^((2m))\lambda_{n}^{(2 m)}λn(2m). Nous avons
cos 2 m ⁡ x = 1 2 2 m ( 2 m m ) + 2 ∑ j = 1 m 1 2 2 m ( 2 m m + j ) cos ⁡ 2 j x cos 2 m ⁡ x = 1 2 2 m ( 2 m m ) + 2 ∑ j = 1 m   1 2 2 m ( 2 m m + j ) cos ⁡ 2 j x cos^(2m)x=(1)/(2^(2m))((2m)/(m))+2sum_(j=1)^(m)(1)/(2^(2m))((2m)/(m+j))cos 2jx\cos ^{2 m} x=\frac{1}{2^{2 m}}\binom{2 m}{m}+2 \sum_{j=1}^{m} \frac{1}{2^{2 m}}\binom{2 m}{m+j} \cos 2 j xcos2m⁡x=122m(2mm)+2∑j=1m122m(2mm+j)cos⁡2jx
et d'autre part
∑ k = 0 n − 1 cos ⁡ 2 j k n = { 0 , si j ≡≡ 0 ( mod n ) n , si j ≡ 0 ( mod n ) . ∑ k = 0 n − 1   cos ⁡ 2 j k n = 0 ,       si  j ≡≡ 0 ( mod n ) n ,       si  j ≡ 0 ( mod n ) . sum_(k=0)^(n-1)cos 2j(k)/(n)={[0","," si "j≡≡0(mod n)],[n","," si "j-=0(mod n).]:}\sum_{k=0}^{n-1} \cos 2 j \frac{k}{n}= \begin{cases}0, & \text { si } j \equiv \equiv 0(\bmod n) \\ n, & \text { si } j \equiv 0(\bmod n) .\end{cases}∑k=0n−1cos⁡2jkn={0, si j≡≡0(modn)n, si j≡0(modn).
Nous en déduisons
λ n ( 2 m ) = { n 2 2 m ( 2 m m ) , si m < n n 2 2 m [ ( 2 m m ) + 2 ∑ j = 1 [ m n ] ( 2 m m + j n ) ] , si m ≧ n λ n ( 2 m ) = n 2 2 m ( 2 m m ) ,  si  m < n n 2 2 m ( 2 m m ) + 2 ∑ j = 1 m n   ( 2 m m + j n ) ,  si  m ≧ n lambda_(n)^((2m))={[(n)/(2^(2m))((2m)/(m))","quad" si "m < n],[(n)/(2^(2m))[((2m)/(m))+2sum_(j=1)^([(m)/(n)])((2m)/(m+jn))]","quad" si "m >= n]:}\lambda_{n}^{(2 m)}=\left\{\begin{array}{l} \frac{n}{2^{2 m}}\binom{2 m}{m}, \quad \text { si } m<n \\ \frac{n}{2^{2 m}}\left[\binom{2 m}{m}+2 \sum_{j=1}^{\left[\frac{m}{n}\right]}\binom{2 m}{m+j n}\right], \quad \text { si } m \geqq n \end{array}\right.λn(2m)={n22m(2mm), si m<nn22m[(2mm)+2∑j=1[mn](2mm+jn)], si m≧n
où [ α ] [ α ] [alpha][\alpha][α] est le plus grand entier ≦ α ≦ α <= alpha\leqq \alpha≦α.
Remarquons que dans ce cas le coefficient C n ( 2 m ) C n ( 2 m ) C_(n)^((2m))\mathrm{C}_{n}^{(2 m)}Cn(2m) est indépendant de n pour n > m n > m n > m\mathrm{n}>\mathrm{m}n>m.
Théorème 5. Si m est un nombre naturel, A 0 A 1 … A n − 1 A 0 A 1 … A n − 1 A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{1} \ldots \mathrm{~A}_{\mathrm{n}-1}A0 A1… An−1 un polygone régulier à n > m ( n ⩾ 3 ) n > m ( n ⩾ 3 ) n > m(n >= 3)\mathrm{n}>\mathrm{m}(\mathrm{n} \geqslant 3)n>m(n⩾3) côtés et P un point du plan de ce polygone, on a
M 2 m ( P ) ≧ 1 2 ( 2 m m ) 1 2 m max ( PA ― 0 , PA ― 1 , … , PA ― n − 1 ) M 2 m ( P ) ≧ 1 2 ( 2 m m ) 1 2 m max PA ¯ 0 , PA ¯ 1 , … , PA ¯ n − 1 M_(2m)(P) >= (1)/(2)((2m)/(m))^((1)/(2m))max( bar(PA)_(0), bar(PA)_(1),dots, bar(PA)_(n-1))\mathrm{M}_{2 m}(\mathrm{P}) \geqq \frac{1}{2}\binom{2 m}{m}^{\frac{1}{2 m}} \max \left(\overline{\mathrm{PA}}_{0}, \overline{\mathrm{PA}}_{1}, \ldots, \overline{\mathrm{PA}}_{n-1}\right)M2m(P)≧12(2mm)12mmax(PA―0,PA―1,…,PA―n−1)
Le nombre λ n ( r ) λ n ( r ) lambda_(n)^((r))\lambda_{n}^{(r)}λn(r) peut aussi se calculer facilement si r = 2 m + 1 r = 2 m + 1 r=2m+1r=2 m+1r=2m+1 est un nombre impair. Nous avons dans ce cas
λ n ( 2 m + 1 ) = 2 ∑ k = 0 [ n − 1 2 ] cos 2 m + 1 ⁡ k π n − 1 λ n ( 2 m + 1 ) = 2 ∑ k = 0 n − 1 2   cos 2 m + 1 ⁡ k π n − 1 lambda_(n)^((2m+1))=2sum_(k=0)^([(n-1)/(2)])cos^(2m+1)((k pi)/(n))-1\lambda_{n}^{(2 m+1)}=2 \sum_{k=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \cos ^{2 m+1} \frac{k \pi}{n}-1λn(2m+1)=2∑k=0[n−12]cos2m+1⁡kπn−1
Mais,
cos 2 m + 1 ⁡ x = 1 2 2 m ∑ j = 1 m + 1 ( 2 m + 1 m + j ) cos ⁡ ( 2 j − 1 ) x cos 2 m + 1 ⁡ x = 1 2 2 m ∑ j = 1 m + 1   ( 2 m + 1 m + j ) cos ⁡ ( 2 j − 1 ) x cos^(2m+1)x=(1)/(2^(2m))sum_(j=1)^(m+1)((2m+1)/(m+j))cos(2j-1)x\cos ^{2 m+1} x=\frac{1}{2^{2 m}} \sum_{j=1}^{m+1}\binom{2 m+1}{m+j} \cos (2 j-1) xcos2m+1⁡x=122m∑j=1m+1(2m+1m+j)cos⁡(2j−1)x
et d'autre part
[ n − 1 2 ] cos ⁡ ( 2 j − 1 ) k π n = { 1 2 + 1 2 ⋅ ( − 1 ) j + 1 tg ( 2 j − 1 ) π 2 n , n pair 1 2 + 1 2 ⋅ ( − 1 ) j + 1 sin ⁡ ( 2 j − 1 ) π 2 n , n impair n − 1 2 cos ⁡ ( 2 j − 1 ) k π n = 1 2 + 1 2 ⋅ ( − 1 ) j + 1 tg ( 2 j − 1 ) π 2 n , n  pair  1 2 + 1 2 ⋅ ( − 1 ) j + 1 sin ⁡ ( 2 j − 1 ) π 2 n , n  impair  [(n-1)/(2)]cos(2j-1)(k pi)/(n)={[(1)/(2)+(1)/(2)*((-1)^(j+1))/(tg(((2j-1)pi)/(2n)))","quad n" pair "],[(1)/(2)+(1)/(2)*((-1)^(j+1))/(sin(((2j-1)pi)/(2n)))","quad n" impair "]:}\left[\frac{n-1}{2}\right] \cos (2 j-1) \frac{k \pi}{n}=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{(-1)^{j+1}}{\operatorname{tg} \frac{(2 j-1) \pi}{2 n}}, \quad n \text { pair } \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{(-1)^{j+1}}{\sin \frac{(2 j-1) \pi}{2 n}}, \quad n \text { impair } \end{array}\right.[n−12]cos⁡(2j−1)kπn={12+12⋅(−1)j+1tg(2j−1)π2n,n pair 12+12⋅(−1)j+1sin⁡(2j−1)π2n,n impair 
donc
λ n ( 2 m + 1 ) = { 1 2 2 m ∑ j = 1 m + 1 ( − 1 ) j + 1 ( 2 m + 1 m + j ) tg ( 2 j − 1 ) π 2 n , n pair 1 2 2 m ∑ j = 1 m + 1 ( − 1 ) j + 1 ( 2 m + 1 m + j ) sin ⁡ ( 2 j − 1 ) π 2 n , n impair. λ n ( 2 m + 1 ) = 1 2 2 m ∑ j = 1 m + 1   ( − 1 ) j + 1 ( 2 m + 1 m + j ) tg ( 2 j − 1 ) π 2 n ,      n  pair  1 2 2 m ∑ j = 1 m + 1   ( − 1 ) j + 1 ( 2 m + 1 m + j ) sin ⁡ ( 2 j − 1 ) π 2 n ,      n  impair.  lambda_(n)^((2m+1))={[(1)/(2^(2m))sum_(j=1)^(m+1)((-1)^(j+1)((2m+1)/(m+j)))/(tg(((2j-1)pi)/(2n)))",",n" pair "],[(1)/(2^(2m))sum_(j=1)^(m+1)((-1)^(j+1)((2m+1)/(m+j)))/(sin(((2j-1)pi)/(2n)))",",n" impair. "]:}\lambda_{n}^{(2 m+1)}= \begin{cases}\frac{1}{2^{2 m}} \sum_{j=1}^{m+1} \frac{(-1)^{j+1}\binom{2 m+1}{m+j}}{\operatorname{tg} \frac{(2 j-1) \pi}{2 n}}, & n \text { pair } \\ \frac{1}{2^{2 m}} \sum_{j=1}^{m+1} \frac{(-1)^{j+1}\binom{2 m+1}{m+j}}{\sin \frac{(2 j-1) \pi}{2 n}}, & n \text { impair. }\end{cases}λn(2m+1)={122m∑j=1m+1(−1)j+1(2m+1m+j)tg(2j−1)π2n,n pair 122m∑j=1m+1(−1)j+1(2m+1m+j)sin⁡(2j−1)π2n,n impair. 

II.

  1. M. D. Pompeiu dans son deuxième travail cité démontre que si les quatre longueurs a , b , c , d a , b , c , d a,b,c,da, b, c, da,b,c,d vérifient l'inégalité
a + b + c + d ≧ 2 max ( a , b , c , d ) a + b + c + d ≧ 2 max ( a , b , c , d ) a+b+c+d >= 2max(a,b,c,d)a+b+c+d \geqq 2 \max (a, b, c, d)a+b+c+d≧2max(a,b,c,d)
on peut construire avec ces longueurs un contour polygonal fermé. C'est l'extension de la propriété bien connue qu'avec trois longueurs a , b , c a , b , c a,b,ca, b, ca,b,c telles que
a + b + c ≧ 2 max ( a , b , c ) a + b + c ≧ 2 max ( a , b , c ) a+b+c >= 2max(a,b,c)a+b+c \geqq 2 \max (a, b, c)a+b+c≧2max(a,b,c)
on peut former un triangle.
La généralisation de cette propriété est la suivante.
Théorème 6. La condition nécessaire et suffisante pour qu'avec n longueurs ( n ≧ 3 ) 3 ) a 1 , a 2 , … , a n ( n ≧ 3 ) 3 a 1 , a 2 , … , a n {:(n >= 3)^(3))a_(1),a_(2),dots,a_(n)\left.(\mathrm{n} \geqq 3)^{3}\right) \mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, \mathrm{a}_{n}(n≧3)3)a1,a2,…,an on puisse construire une ligne polygonale fermée est que l'on ait
(5) a 1 + a 2 + … + a n ≧ 2 max ( a 1 , a 2 , … , a n ) a 1 + a 2 + … + a n ≧ 2 max a 1 , a 2 , … , a n quada_(1)+a_(2)+dots+a_(n) >= 2max(a_(1),a_(2),dots,a_(n))\quad a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n} \geqq 2 \max \left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)a1+a2+…+an≧2max(a1,a2,…,an).
L'inégalité (5) est équivalente aux n n nnn inégalités
a 1 + a 2 + … + a i − 1 + a i + 1 + … + a n ≧ a i i = 1 , 2 , … , n a 1 + a 2 + … + a i − 1 + a i + 1 + … + a n ≧ a i i = 1 , 2 , … , n {:[a_(1)+a_(2)+dots+a_(i-1)+a_(i+1)+dots+a_(n) >= a_(i)],[i=1","2","dots","n]:}\begin{gathered} a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{i-1}+a_{i+1}+\ldots+a_{n} \geqq a_{i} \\ i=1,2, \ldots, n \end{gathered}a1+a2+…+ai−1+ai+1+…+an≧aii=1,2,…,n
La condition est nécessaire puisqu'une ligne brisée est au moins aussi longue que le segment unissant ses extrémités.
Il reste à démontrer que la condition est aussi suffisante. Nous allons faire la démonstration par induction complète.
La propriété est vraie et bien connue pour n = 3 n = 3 n=3n=3n=3. Supposons la vraie pour n ( ≥ 3 ) n ( ≥ 3 ) n( >= 3)n(\geq 3)n(≥3) et démontrons-la pour n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 longueurs. Soient a 1 , a 2 , … , a n + 1 , n + 1 a 1 , a 2 , … , a n + 1 , n + 1 a_(1),a_(2),dots,a_(n+1),n+1a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n+1}, n+1a1,a2,…,an+1,n+1 longueurs telles que
a 1 + a 2 + … + a n + 1 ≧ 2 max ( a 1 , a 2 , … , a n + 1 ) a 1 + a 2 + … + a n + 1 ≧ 2 max a 1 , a 2 , … , a n + 1 a_(1)+a_(2)+dots+a_(n+1) >= 2max(a_(1),a_(2),dots,a_(n+1))a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n+1} \geqq 2 \max \left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n+1}\right)a1+a2+…+an+1≧2max(a1,a2,…,an+1)
Sans restreindre la généralité nous pouvons supposer
a 1 ≦ a 2 ≦ … ≦ a n + 1 a 1 ≦ a 2 ≦ … ≦ a n + 1 a_(1) <= a_(2) <= dots <= a_(n+1)a_{1} \leqq a_{2} \leqq \ldots \leqq a_{n+1}a1≦a2≦…≦an+1. Nous avons alors
(6)
a 1 + a 2 + … + a n ≧ a n + 1 a 1 + a 2 + … + a n ≧ a n + 1 a_(1)+a_(2)+dots+a_(n) >= a_(n+1)a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n} \geqq a_{n+1}a1+a2+…+an≧an+1
Soit maintenant AB un segment de longueur a n + 1 a n + 1 a_(n+1)a_{n+1}an+1 et soit C le point de ce segment tel que le segment CB ait la longueur a 1 a 1 a_(1)a_{1}a1. Le segment AC a pour longueur a n + 1 − a 1 a n + 1 − a 1 a_(n+1)-a_(1)a_{n+1}-a_{1}an+1−a1. Il suffit de démontrer qu'avec les longueurs a 1 , a 2 , … , a n , a n + 1 − a 1 a 1 , a 2 , … , a n , a n + 1 − a 1 a_(1),a_(2),dots,a_(n),a_(n+1)-a_(1)a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, a_{n+1}-a_{1}a1,a2,…,an,an+1−a1 on peut construire une ligne polygonale fermée. En effet, on peut alors construire une ligne polygonale fermée AD . . . CA AD . . . CA AD...CA\mathrm{AD} . . . \mathrm{CA}AD...CA avec ces longueurs et la ligne polygonale fermée AD ... CBA sera construite avec les longueurs a 1 , a 2 , … a 1 , a 2 , … a_(1),a_(2),dotsa_{1}, a_{2}, \ldotsa1,a2,…, a n + 1 a n + 1 a_(n+1)a_{n+1}an+1.
Nous avons
max ( a 2 , a 3 , … , a n , a n + 1 − a 1 ) = max ( a n , a n + 1 − a 1 ) max a 2 , a 3 , … , a n , a n + 1 − a 1 = max a n , a n + 1 − a 1 max(a_(2),a_(3),dots,a_(n),a_(n+1)-a_(1))=max(a_(n),a_(n+1)-a_(1))\max \left(a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, a_{n+1}-a_{1}\right)=\max \left(a_{n}, a_{n+1}-a_{1}\right)max(a2,a3,…,an,an+1−a1)=max(an,an+1−a1)
Il suffit donc de démontrer les inégalités
a 2 + a 3 + … + a n ≧ a n + 1 − a 1 a 2 + a 3 + … + a n + 1 + ( a n + 1 − a 1 ) ≧ a n . a 2 + a 3 + … + a n ≧ a n + 1 − a 1 a 2 + a 3 + … + a n + 1 + a n + 1 − a 1 ≧ a n . {:[a_(2)+a_(3)+dots+a_(n) >= a_(n+1)-a_(1)],[a_(2)+a_(3)+dots+a_(n+1)+(a_(n+1)-a_(1)) >= a_(n).]:}\begin{aligned} & a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n} \geqq a_{n+1}-a_{1} \\ & a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n+1}+\left(a_{n+1}-a_{1}\right) \geqq a_{n} . \end{aligned}a2+a3+…+an≧an+1−a1a2+a3+…+an+1+(an+1−a1)≧an.
Or la première n'est autre que l'inégalité (6). La seconde peut s'écrire
( a 2 − a 1 ) + a 3 + … + a n − 1 + a n + 1 ≧ a n a 2 − a 1 + a 3 + … + a n − 1 + a n + 1 ≧ a n (a_(2)-a_(1))+a_(3)+dots+a_(n-1)+a_(n+1) >= a_(n)\left(a_{2}-a_{1}\right)+a_{3}+\ldots+a_{n-1}+a_{n+1} \geqq a_{n}(a2−a1)+a3+…+an−1+an+1≧an
et est vérifiée puisque a 2 ≧ a 1 , a n + 1 ≧ a n a 2 ≧ a 1 , a n + 1 ≧ a n a_(2) >= a_(1),a_(n+1) >= a_(n)a_{2} \geqq a_{1}, a_{n+1} \geqq a_{n}a2≧a1,an+1≧an. On a donc a 2 + a 3 + … + a n + ( a n + 1 − a 1 ) ≧ 2 max ( a 2 , a 3 , … , a n , a n + 1 − a 1 ) a 2 + a 3 + … + a n + a n + 1 − a 1 ≧ 2 max a 2 , a 3 , … , a n , a n + 1 − a 1 a_(2)+a_(3)+dots+a_(n)+(a_(n+1)-a_(1)) >= 2max(a_(2),a_(3),dots,a_(n),a_(n+1)-a_(1))a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}+\left(a_{n+1}-a_{1}\right) \geqq 2 \max \left(a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, a_{n+1}-a_{1}\right)a2+a3+…+an+(an+1−a1)≧2max(a2,a3,…,an,an+1−a1) ce qui démontre la propriété.
8. - Reprenons le théorème 5. Pour n n nnn impair on a
(7) n C n ( 1 ) = 1 sin ⁡ π 2 n ≧ 1 sin ⁡ π 6 = 2 (7) n C n ( 1 ) = 1 sin ⁡ π 2 n ≧ 1 sin ⁡ π 6 = 2 {:(7)nC_(n)^((1))=(1)/(sin((pi)/(2n))) >= (1)/(sin((pi)/(6)))=2:}\begin{equation*} n \mathrm{C}_{n}^{(1)}=\frac{1}{\sin \frac{\pi}{2 n}} \geqq \frac{1}{\sin \frac{\pi}{6}}=2 \tag{7} \end{equation*}(7)nCn(1)=1sin⁡π2n≧1sin⁡π6=2
l'égalité n'étant vraie que pour n = 3 n = 3 n=3n=3n=3. Pour n n nnn pair on a
(8) n C n ( 1 ) = 1 tg π 2 n ≧ 1 tg π 8 = V 2 ― + 1 > 2 (8) n C n ( 1 ) = 1 tg π 2 n ≧ 1 tg π 8 = V 2 ¯ + 1 > 2 {:(8)nC_(n)^((1))=(1)/(tg((pi)/(2n))) >= (1)/(tg((pi)/(8)))=V bar(2)+1 > 2:}\begin{equation*} n C_{n}^{(1)}=\frac{1}{\operatorname{tg} \frac{\pi}{2 n}} \geqq \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{\pi}{8}}=V \overline{2}+1>2 \tag{8} \end{equation*}(8)nCn(1)=1tgπ2n≧1tgπ8=V2―+1>2
on a donc la
Conséquence 2. Si A 0 A 1 … A n − 1 A 0 A 1 … A n − 1 A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{1} \ldots \mathrm{~A}_{\mathrm{n}-1}A0 A1… An−1 est un polygone régulier ( n ≧ 3 ) ( n ≧ 3 ) (n >= 3)(\mathrm{n} \geqq 3)(n≧3) et P un point de son plan, on a
PA ― 0 + PA ― 1 + … + PA ― n − 1 ≧ 2 max ( PA ― 0 , PA ― 1 , … , PA ― n − 1 ) PA ¯ 0 + PA ¯ 1 + … + PA ¯ n − 1 ≧ 2 max PA ¯ 0 , PA ¯ 1 , … , PA ¯ n − 1 bar(PA)_(0)+ bar(PA)_(1)+dots+ bar(PA)_(n-1) >= 2max( bar(PA)_(0), bar(PA)_(1),dots, bar(PA)_(n-1))\overline{\mathrm{PA}}_{0}+\overline{\mathrm{PA}}_{1}+\ldots+\overline{\mathrm{PA}}_{n-1} \geqq 2 \max \left(\overline{\mathrm{PA}}_{0}, \overline{\mathrm{PA}}_{1}, \ldots, \overline{\mathrm{PA}}_{\mathrm{n}-1}\right)PA―0+PA―1+…+PA―n−1≧2max(PA―0,PA―1,…,PA―n−1)
et nous pouvons énoncer le
Théorème 7. Si A 0 A 1 … A n − 1 A 0 A 1 … A n − 1 A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{1} \ldots \mathrm{~A}_{\mathrm{n}-1}A0 A1… An−1 est un polygone régulier ( n ≧ 3 n ≧ 3 n >= 3\mathrm{n} \geqq 3n≧3 ) et P un point de son plan, avec les longueurs PA ― 0 , PA ― 1 , … , PA ― n − 1 PA ¯ 0 , PA ¯ 1 , … , PA ¯ n − 1 bar(PA)_(0), bar(PA)_(1),dots, bar(PA)_(n-1)\overline{\mathrm{PA}}_{0}, \overline{\mathrm{PA}}_{1}, \ldots, \overline{\mathrm{PA}}_{\mathrm{n}-1}PA―0,PA―1,…,PA―n−1 on peut toujours former une ligne polygonale fermée.
C'est le théorème de M. D. Pompeiu pour un polygone régulier quelconque.
Remarquons, qu'en vertu des inégalités (7) et (8), pour n ≧ 4 n ≧ 4 n >= 4n \geqq 4n≧4 il existe surement des polygones non réguliers vérifiant le théorème de M. Pompeiu.
9. - Si r r rrr est un nombre positif, l'unité de longueur étant choisie, on peut considérer les longueurs PA ― 0 r , PA ― 1 r , … , PA ― n − 1 r PA ¯ 0 r , PA ¯ 1 r , … , PA ¯ n − 1 r bar(PA)_(0)^(r), bar(PA)_(1)^(r),dots, bar(PA)_(n-1)^(r)\overline{\mathrm{PA}}_{0}^{r}, \overline{\mathrm{PA}}_{1}^{r}, \ldots, \overline{\mathrm{PA}}_{n-1}^{r}PA―0r,PA―1r,…,PA―n−1r.
Nous avons
lim n → ∞ λ n ( r ) = + ∞ lim n → ∞   λ n ( r ) = + ∞ lim_(n rarr oo)lambda_(n)^((r))=+oo\lim _{n \rightarrow \infty} \lambda_{n}^{(r)}=+\inftylimn→∞λn(r)=+∞
donc il existe un nombre naturel N r N r N_(r)\mathrm{N}_{r}Nr dépendant de r r rrr, tel que
λ n ( r ) ≧ 2 , pour n ≧ N r . λ n ( r ) ≧ 2 ,  pour  n ≧ N r . lambda_(n)^((r)) >= 2,quad" pour "n >= N_(r).\lambda_{n}^{(r)} \geqq 2, \quad \text { pour } n \geqq \mathrm{~N}_{r} .λn(r)≧2, pour n≧ Nr.
Soit r ≦ 1 r ≦ 1 r <= 1r \leqq 1r≦1. Compte tenant de (3), pour n ≧ 3 n ≧ 3 n >= 3n \geqq 3n≧3, nous avons
λ n ( r ) ≧ 1 + 2 | cos ⁡ π n | r ≧ 1 + 2 2 r ≧ 2 , n pair λ n ( r ) ≧ 1 cos r ⁡ π 2 n 2 | cos ⁡ π 2 n | r = 2 , n impair λ n ( r ) ≧ 1 + 2 cos ⁡ π n r ≧ 1 + 2 2 r ≧ 2 , n  pair  λ n ( r ) ≧ 1 cos r ⁡ π 2 n 2 cos ⁡ π 2 n r = 2 , n  impair  {:[lambda_(n)^((r)) >= 1+2|cos((pi )/(n))|^(r) >= 1+(2)/(2^(r)) >= 2","quad n" pair "],[lambda_(n)^((r)) >= (1)/(cos^(r)((pi)/(2n)))2|cos((pi)/(2n))|^(r)=2","quad n" impair "]:}\begin{aligned} & \lambda_{n}^{(r)} \geqq 1+2\left|\cos \frac{\pi}{n}\right|^{r} \geqq 1+\frac{2}{2^{r}} \geqq 2, \quad n \text { pair } \\ & \lambda_{n}^{(r)} \geqq \frac{1}{\cos ^{r} \frac{\pi}{2 n}} 2\left|\cos \frac{\pi}{2 n}\right|^{r}=2, \quad n \text { impair } \end{aligned}λn(r)≧1+2|cos⁡πn|r≧1+22r≧2,n pair λn(r)≧1cosr⁡π2n2|cos⁡π2n|r=2,n impair 
donc.
Théorème 8. Si A 0 A 0 … A n − 1 A 0 A 0 … A n − 1 A_(0)A_(0)dotsA_(n-1)\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{0} \ldots \mathrm{~A}_{\mathrm{n}-1}A0 A0… An−1 est un polygone régulier ( n ≧ 3 n ≧ 3 n >= 3\mathrm{n} \geqq 3n≧3 ), r un nombre positif ≦ 1 ≦ 1 <= 1\leqq 1≦1 et P un point du plan du polygone, avec les longueurs PA ― 0 r , PA ― 1 r , … , PA ― n − 1 r PA ¯ 0 r , PA ¯ 1 r , … , PA ¯ n − 1 r bar(PA)_(0)^(r), bar(PA)_(1)^(r),dots, bar(PA)_(n-1)^(r)\overline{\mathrm{PA}}_{0}^{r}, \overline{\mathrm{PA}}_{1}^{r}, \ldots, \overline{\mathrm{PA}}_{n-1}^{r}PA―0r,PA―1r,…,PA―n−1r on peut toujours former une ligne polygonale fermée.
On peut d'ailleurs remarquer que, pour un n ≧ 3 n ≧ 3 n >= 3n \geqq 3n≧3 donné, λ n ( r ) λ n ( r ) lambda_(n)^((r))\lambda_{n}^{(r)}λn(r) est une fonction décroissante de r r rrr.
Le théorème 7 résulte donc des inégalités (7), (8) et
λ n ( r ) ≧ λ n ( 1 ) , r ≦ 1 λ n ( r ) ≧ λ n ( 1 ) , r ≦ 1 lambda_(n)^((r)) >= lambda_(n)^((1)),r <= 1\lambda_{n}^{(r)} \geqq \lambda_{n}^{(1)}, r \leqq 1λn(r)≧λn(1),r≦1
Pour r > 1 r > 1 r > 1r>1r>1, on ne peut pas prendre N r = 3 N r = 3 N_(r)=3\mathrm{N}_{r}=3Nr=3. Le minimum de N r N r N_(r)\mathrm{N}_{r}Nr croit vers + ∞ + ∞ +oo+\infty+∞ pour r ⟶ ∞ r ⟶ ∞ r longrightarrow oor \longrightarrow \inftyr⟶∞. Des calculs simples nous montrent que
pour r ≦ 2 r ≦ 2 r <= 2r \leqq 2r≦2 on peut prendre N r = 4 N r = 4 N_(r)=4\mathrm{N}_{r}=4Nr=4. Sur le cas r = 2 r = 2 r=2r=2r=2 nous reviendrons plus loin avec plus de précisions.

III.

    • Lorsque r = 2 r = 2 r=2r=2r=2 on peut facilement compléter les résultats du § I.
Considérons n n nnn points formant un polygone quelconque A 0 A 1 … A n − 1 A 0 A 1 … A n − 1 A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{1} \ldots \mathrm{~A}_{n-1}A0 A1… An−1 et soit P un point quelconque, le tout situé dans un même plan. Le cas où les points A k A k A_(k)\mathrm{A}_{k}Ak ne sont pas tous distincts n'est pas exclu.
L'expression
E 2 ( i ) ( P ) = PA ― 0 2 + PA ― 1 2 + … + PA ― n − 1 2 PA ― i 2 E 2 ( i ) ( P ) = PA ¯ 0 2 + PA ¯ 1 2 + … + PA ¯ n − 1 2 PA ¯ i 2 E_(2)^((i))(P)=( bar(PA)_(0)^(2)+ bar(PA)_(1)^(2)+dots+ bar(PA)_(n-1)^(2))/( bar(PA)_(i)^(2))\mathrm{E}_{2}^{(i)}(\mathrm{P})=\frac{\overline{\mathrm{PA}}_{0}^{2}+\overline{\mathrm{PA}}_{1}^{2}+\ldots+\overline{\mathrm{PA}}_{n-1}^{2}}{\overline{\mathrm{PA}}_{i}^{2}}E2(i)(P)=PA―02+PA―12+…+PA―n−12PA―i2
est une fonction de P , continue dans tout le plan, sauf au point A i A i A_(i)\mathrm{A}_{i}Ai.
Nous nous proposons d'étudier le minimum de cette expression.
Soit G le centre de gravité des points A 0 , A 1 , … , A n − 1 A 0 , A 1 , … , A n − 1 A_(0),A_(1),dots,A_(n-1)\mathrm{A}_{0}, \mathrm{~A}_{1}, \ldots, \mathrm{~A}_{n-1}A0, A1,…, An−1. Nous avons
E 2 ( i ) ( P ) = n GP ― 2 + ∑ k = 0 n − 1 GA ― k 2 PA ― i 2 = n GP ― 2 + M 2 2 ( G ) PA ― i 2 E 2 ( i ) ( P ) = n GP ¯ 2 + ∑ k = 0 n − 1   GA ¯ k 2 PA ¯ i 2 = n GP ¯ 2 + M 2 2 ( G ) PA ¯ i 2 E_(2)^((i))(P)=(n bar(GP)^(2)+sum_(k=0)^(n-1) bar(GA)_(k)^(2))/( bar(PA)_(i)^(2))=n( bar(GP)^(2)+M_(2)^(2)(G))/( bar(PA)_(i)^(2))\mathrm{E}_{2}^{(i)}(\mathrm{P})=\frac{n \overline{\mathrm{GP}}^{2}+\sum_{k=0}^{n-1} \overline{\mathrm{GA}}_{k}^{2}}{\overline{\mathrm{PA}}_{i}^{2}}=n \frac{\overline{\mathrm{GP}}^{2}+\mathrm{M}_{2}^{2}(\mathrm{G})}{\overline{\mathrm{PA}}_{i}^{2}}E2(i)(P)=nGP―2+∑k=0n−1GA―k2PA―i2=nGP―2+M22(G)PA―i2
avec la notation (4).
Si le sommet A i A i A_(i)A_{i}Ai coïncide avec G G GGG on a
E 2 ( i ) ( P ) = n + ∑ k = 0 n − 1 GA ― k 2 PA ― i 2 E 2 ( i ) ( P ) = n + ∑ k = 0 n − 1   GA ¯ k 2 PA ¯ i 2 E_(2)^((i))(P)=n+(sum_(k=0)^(n-1) bar(GA)_(k)^(2))/( bar(PA)_(i)^(2))\mathrm{E}_{2}^{(i)}(\mathrm{P})=n+\frac{\sum_{k=0}^{n-1} \overline{\mathrm{GA}}_{k}^{2}}{\overline{\mathrm{PA}}_{i}^{2}}E2(i)(P)=n+∑k=0n−1GA―k2PA―i2
et on voit alors que
min E 2 ( i ) ( P ) = n min E 2 ( i ) ( P ) = n minE_(2)^((i))(P)=n\min \mathrm{E}_{2}^{(i)}(\mathrm{P})=nminE2(i)(P)=n
mais ce minimum n'est atteint par aucun point P du plan, sauf si tous les points A k A k A_(k)\mathrm{A}_{k}Ak sont confondus.
Si A i A i A_(i)A_{i}Ai ne coïncide pas avec G G GGG, le minimum de E 2 ( i ) ( P ) E 2 ( i ) ( P ) E_(2)^((i))(P)E_{2}^{(i)}(P)E2(i)(P) ne peut être atteint que pour un point de la droite GA i GA i GA_(i)\mathrm{GA}_{i}GAi. En effet, sur la circonférence d'un cercle de centre A i A i A_(i)\mathrm{A}_{i}Ai le minimum ne peut être atteint qu'aux points où cette circonférence coupe la droite GA i ∗ GA i ∗ GA_(i^(**))\mathrm{GA}_{i^{*}}GAi∗
Si P est sur la droite GA i GA i GA_(i)\mathrm{GA}_{i}GAi nous pouvons écrire
E 2 ( i ) ( P ) = n ( 1 − λ ) 2 GA ― i 2 + M 2 2 ( G ) λ 2 GA ― i 2 E 2 ( i ) ( P ) = n ( 1 − λ ) 2 GA ¯ i 2 + M 2 2 ( G ) λ 2 GA ¯ i 2 E_(2)^((i))(P)=n((1-lambda)^(2) bar(GA)_(i)^(2)+M_(2)^(2)(G))/(lambda^(2) bar(GA)_(i)^(2))\mathrm{E}_{2}^{(i)}(\mathrm{P})=n \frac{(1-\lambda)^{2} \overline{\mathrm{GA}}_{i}^{2}+\mathrm{M}_{2}^{2}(\mathrm{G})}{\lambda^{2} \overline{\mathrm{GA}}_{i}^{2}}E2(i)(P)=n(1−λ)2GA―i2+M22(G)λ2GA―i2
où λ λ lambda\lambdaλ est un paramètre réel. On a notamment P = λ G + ( 1 − λ ) A i ′ P = λ G + ( 1 − λ ) A i ′ P=lambdaG+(1-lambda)A_(i^('))\mathrm{P}=\lambda \mathrm{G}+(1-\lambda) \mathrm{A}_{i^{\prime}}P=λG+(1−λ)Ai′
Le minimum est atteint seulement pour
λ = GA ― i 2 + M 2 2 ( G ) GA ― i 2 λ = GA ¯ i 2 + M 2 2 ( G ) GA ¯ i 2 lambda=( bar(GA)_(i)^(2)+M_(2)^(2)(G))/( bar(GA)_(i)^(2))\lambda=\frac{\overline{\mathrm{GA}}_{i}^{2}+\mathrm{M}_{2}^{2}(\mathrm{G})}{\overline{\mathrm{GA}}_{i}^{2}}λ=GA―i2+M22(G)GA―i2
et nous avons
min E 2 ( i ) ( P ) = n M 2 2 ( G ) GA i 2 + M 2 2 ( G ) min E 2 ( i ) ( P ) = n M 2 2 ( G ) GA i 2 + M 2 2 ( G ) minE_(2)^((i))(P)=n(M_(2)^(2)(G))/(GA_(i)^(2)+M_(2)^(2)(G))\min \mathrm{E}_{2}^{(i)}(\mathrm{P})=n \frac{\mathrm{M}_{2}^{2}(\mathrm{G})}{\mathrm{GA}_{i}^{2}+\mathrm{M}_{2}^{2}(\mathrm{G})}minE2(i)(P)=nM22(G)GAi2+M22(G)
On voit que dans ce cas
min E 2 ( i ) ( P ) < n min E 2 ( i ) ( P ) < n minE_(2)^((i))(P) < n\min \mathrm{E}_{2}^{(i)}(\mathrm{P})<nminE2(i)(P)<n
    • Considérons maintenant les expressions
E 2 ( 0 ) ( P ) , E 2 ( 1 ) ( P ) , … , E 2 ( n − 1 ) ( P ) E 2 ( 0 ) ( P ) , E 2 ( 1 ) ( P ) , … , E 2 ( n − 1 ) ( P ) E_(2)^((0))(P),E_(2)^((1))(P),dots,E_(2)^((n-1))(P)\mathrm{E}_{2}^{(0)}(\mathrm{P}), \mathrm{E}_{2}^{(1)}(\mathrm{P}), \ldots, \mathrm{E}_{2}^{(n-1)}(\mathrm{P})E2(0)(P),E2(1)(P),…,E2(n−1)(P)
Chacune à un minimum. Le plus petit de ces minima,
(9) i = 0 , 1 , … , n − 1 [ min ( P ) E 2 ( i ) ( P ) ] (9) i = 0 , 1 , … , n − 1 min ( P )   E 2 ( i ) ( P ) {:(9)i=0","1","dots","n-1[min_((P))E_(2)^((i))(P)]:}i=0,1, \ldots, n-1\left[\begin{array}{l} \min _{(\mathrm{P})} \mathrm{E}_{2}^{(i)}(\mathrm{P}) \tag{9}\\ \end{array}\right](9)i=0,1,…,n−1[min(P)E2(i)(P)]
est donc déterminé et dépend du polygone A 0 A 1 … A n − 1 A 0 A 1 … A n − 1 A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{1} \ldots \mathrm{~A}_{n-1}A0 A1… An−1.
Lorsque le polygone varie, ce minimum a un maximum. Nous nous proposons de déterminer ce maximum.
Les résultats du No. précédent nous montrent que si tous les points A k A k A_(k)\mathrm{A}_{k}Ak sont confondus le minimum (9) est égal à n n nnn. Dans la suite nous excluons ce cas.
Si s s sss des points A k ( 1 ≦ s ≦ n ) A k ( 1 ≦ s ≦ n ) A_(k)(1 <= s <= n)\mathrm{A}_{k}(1 \leqq s \leqq n)Ak(1≦s≦n) sont distincts de G et si d , d ′ d , d ′ d,d^(')d, d^{\prime}d,d′ sont respectivement la plus grande et la plus petite des distances de G à ces points, on a
s d ′ 2 n ≦ M 2 2 ( G ) ≦ s d 2 n s d ′ 2 n ≦ M 2 2 ( G ) ≦ s d 2 n (sd^('2))/(n) <= M_(2)^(2)(G) <= (sd^(2))/(n)\frac{s d^{\prime 2}}{n} \leqq \mathrm{M}_{2}^{2}(\mathrm{G}) \leqq \frac{s d^{2}}{n}sd′2n≦M22(G)≦sd2n
et le nombre (9) est ≧ d ′ 2 d 2 ⋅ n s n + s ≧ d ′ 2 d 2 ⋅ n s n + s >= (d^('2))/(d^(2))*(ns)/(n+s)\geqq \frac{d^{\prime 2}}{d^{2}} \cdot \frac{n s}{n+s}≧d′2d2⋅nsn+s, l'égalité étant possible et ayant lieu effectivement seulement si d = d ′ d = d ′ d=d^(')d=d^{\prime}d=d′. D'autre part
n s n + s ≦ n 2 n s n + s ≦ n 2 (ns)/(n+s) <= (n)/(2)\frac{n s}{n+s} \leqq \frac{n}{2}nsn+s≦n2
l'égalité n'étant vraie que pour s = n s = n s=ns=ns=n. Il en résulte que le maximum de (9) est n 2 n 2 (n)/(2)\frac{n}{2}n2 et est atteint seulement si les distances GA ― k GA ¯ k bar(GA)_(k)\overline{\mathrm{GA}}_{k}GA―k sont toutes égales. Nous pouvons donc énoncer la propriété suivante, généralisation du théorème 5 pour m = 1 m = 1 m=1m=1m=1.
Théorème 9. Si A 0 A 1 … A n − 1 A 0 A 1 … A n − 1 A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{1} \ldots \mathrm{~A}_{\mathrm{n}-1}A0 A1… An−1 est un polygone inscrit dans un cercle dont le centre coüncide avec le centre de gravité G des sommets A k A k A_(k)\mathrm{A}_{\mathrm{k}}Ak et si P est un point du plan de ce polygone, on a
(10) M 2 ( P ) ≧ 1 2 max ( PA ― 0 , PA ― 1 , … , PA ― n − 1 ) (10) M 2 ( P ) ≧ 1 2 max PA ¯ 0 , PA ¯ 1 , … , PA ¯ n − 1 {:(10)M_(2)(P) >= (1)/(sqrt2)max( bar(PA)_(0), bar(PA)_(1),dots, bar(PA)_(n-1)):}\begin{equation*} \mathrm{M}_{2}(\mathrm{P}) \geqq \frac{1}{\sqrt{2}} \max \left(\overline{\mathrm{PA}}_{0}, \overline{\mathrm{PA}}_{1}, \ldots, \overline{\mathrm{PA}}_{n-1}\right) \tag{10} \end{equation*}(10)M2(P)≧12max(PA―0,PA―1,…,PA―n−1)
l'égalité étant vraie seulement si P coïncide avec le symétrique par rapport à G de l'un des points A k A k A_(k)\mathrm{A}_{\mathrm{k}}Ak.
Si le polygone A 0 A 1 … A n − 1 A 0 A 1 … A n − 1 A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{1} \ldots \mathrm{~A}_{n-1}A0 A1… An−1 ne vérifie pas la condition précédente il existe au moins un point P pour lequel l'inégalité (10) n'est pas vérifiée.
La polygone „maximisant" est un triangle équilatéral pour n = 3 n = 3 n=3n=3n=3 et est un rectangle pour n = 4 n = 4 n=4n=4n=4.
12. - L'inégalité (10) nous donne encore la propriété suivante.
Théorème 10. Si A 0 A 1 … A n − 1 A 0 A 1 … A n − 1 A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{1} \ldots \mathrm{~A}_{\mathrm{n}-1}A0 A1… An−1 est un polygone à n ≧ 4 n ≧ 4 n >= 4n \geqq 4n≧4 sommets inscrit dans un cercle dont le centre coüncide avec le centre de gravité des points A k A k A_(k)\mathrm{A}_{\mathrm{k}}Ak et si P est un point du plan de ce polygone, avec les longueurs PA ― 0 2 , PA ― 1 2 , … , PA ― n − 1 2 PA ¯ 0 2 , PA ¯ 1 2 , … , PA ¯ n − 1 2 bar(PA)_(0)^(2), bar(PA)_(1)^(2),dots, bar(PA)_(n-1)^(2)\overline{\mathrm{PA}}_{0}^{2}, \overline{\mathrm{PA}}_{1}^{2}, \ldots, \overline{\mathrm{PA}}_{n-1}^{2}PA―02,PA―12,…,PA―n−12 on peut construire une ligne polygonale fermée.
Pour n = 4 n = 4 n=4n=4n=4 on a, en particulier, la propriété caractéristique du rectang exprimée par le
Theorème 11. Si ABCD est un rectangle et P un point de son plan, avec les longueurs PA ― 2 , PB ― 2 , PC ― 2 , PD ― 2 PA ¯ 2 , PB ¯ 2 , PC ¯ 2 , PD ¯ 2 bar(PA)^(2), bar(PB)^(2), bar(PC)^(2), bar(PD)^(2)\overline{\mathrm{PA}}^{2}, \overline{\mathrm{~PB}}^{2}, \overline{\mathrm{PC}}^{2}, \overline{\mathrm{PD}}^{2}PA―2, PB―2,PC―2,PD―2 on peut toujours construire une ligne polygonale fermée.
La propriété n'est vraie pour aucun autre quadrilatère ABCD .

IV.

    • Nous avons considéré jusqu'ici n n nnn point A 0 , A 1 , … , A n − 1 A 0 , A 1 , … , A n − 1 A_(0),A_(1),dots,A_(n-1)\mathrm{A}_{0}, \mathrm{~A}_{1}, \ldots, \mathrm{~A}_{n-1}A0, A1,…, An−1 dans un plan et le point P variant dans ce plan. On peut supposser, plus généralement, que ces points sont dans un espace a un nombre quelconque de dimensions. En particulier le problème traité au § III se résout immédiatement dans l'espace à un nombre quelconque de dimensions. Le théorème 9 se généralise immédiatement et il n'est même pas nécessaire d'insister ici sur cette question.
Considérons maintenant, au lieu d'un polygone régulier A 0 A 1 … A n − 1 A 0 A 1 … A n − 1 A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{1} \ldots \mathrm{~A}_{n-1}A0 A1… An−1 une circonférence Γ Γ Gamma\boldsymbol{\Gamma}Γ.
Nous avons alors le théorème suivant, limite du théorème 2.
Théorème 12. Si P est un point du plán de la circonférence Γ Γ Gamma\GammaΓ et M r ( P ) M r ( P ) M_(r)(P)\mathrm{M}_{\mathrm{r}}(\mathrm{P})Mr(P) la valeur moyenne de puissance r > 0 r > 0 r > 0\mathrm{r}>0r>0 des distances PA ― d u PA ¯ d u bar(PA)du\overline{\mathrm{PA}} d uPA―du point P à un point A de 1 ', on a l'inégalité
M r ( P ) ≧ ( 2 π ∫ 0 π 2 cos r ⁡ x d x ) 1 r PP ― 1 M r ( P ) ≧ 2 π ∫ 0 π 2   cos r ⁡ x d x 1 r PP ¯ 1 M_(r)(P) >= ((2)/(pi)int_(0)^((pi)/(2))cos^(r)xdx)^((1)/(r)) bar(PP)_(1)\mathrm{M}_{r}(\mathrm{P}) \geqq\left(\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{r} x d x\right)^{\frac{1}{r}} \overline{\mathrm{PP}}_{1}Mr(P)≧(2π∫0π2cosr⁡xdx)1rPP―1
où P 1 P 1 P_(1)\mathrm{P}_{1}P1 est le point de Γ Γ Gamma\GammaΓ le plus éloigné de P .
L'égalité a lieu seulement şi P est sur la circonférence r .
On voit immédiatement que le passage à la limite est parfaitement justifié. Il est facile d'ailleurs de démontrer directement la propriété.
14. - Dans le cas r = 2 r = 2 r=2r=2r=2 on peut encore se poser un problème plus complet.
Considérons dans le plan une courbe continue I. Plus précisément une courbe représentée paramétriquement par
x = f ( t ) , y = g ( t ) x = f ( t ) , y = g ( t ) x=f(t),y=g(t)x=f(t), y=g(t)x=f(t),y=g(t)
où f ( t ) , g ( t ) f ( t ) , g ( t ) f(t),g(t)f(t), g(t)f(t),g(t) sont deux fonctions continues de t t ttt dans un intervalle fermé [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b].
Soit P un point du plan et M 2 ( P ) M 2 ( P ) M_(2)(P)\mathrm{M}_{2}(\mathrm{P})M2(P) la valeur moyenne quadratique des distances du point P aux point de la courbe Γ Γ Gamma\GammaΓ. On a alors, x , y x , y x,yx, yx,y étant les coordonnées de P ,
M 2 2 ( P ) = 1 b − a ∫ a b { [ x − f ( t ) ] 2 + [ y − g ( t ) ] 2 } d t M 2 2 ( P ) = 1 b − a ∫ a b   [ x − f ( t ) ] 2 + [ y − g ( t ) ] 2 d t M_(2)^(2)(P)=(1)/(b-a)int_(a)^(b){[x-f(t)]^(2)+[y-g(t)]^(2)}dt\mathrm{M}_{2}^{2}(\mathrm{P})=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}\left\{[x-f(t)]^{2}+[y-g(t)]^{2}\right\} d tM22(P)=1b−a∫ab{[x−f(t)]2+[y−g(t)]2}dt
Etudions le minimum du rapport
M 2 ( P ) PA ― 0 M 2 ( P ) PA ¯ 0 (M_(2)(P))/( bar(PA)_(0))\frac{\mathrm{M}_{2}(\mathrm{P})}{\overline{\mathrm{PA}}_{0}}M2(P)PA―0
ou mieux du rapport
E 2 ( A 0 ) ( P ) = M 2 2 ( P ) PA ― 0 2 E 2 A 0 ( P ) = M 2 2 ( P ) PA ¯ 0 2 E_(2)^((A_(0)))(P)=(M_(2)^(2)(P))/( bar(PA)_(0)^(2))\mathrm{E}_{2}^{\left(\mathrm{A}_{0}\right)}(\mathrm{P})=\frac{\mathrm{M}_{2}^{2}(\mathrm{P})}{\overline{\mathrm{PA}}_{0}^{2}}E2(A0)(P)=M22(P)PA―02
où A 0 A 0 A_(0)\mathrm{A}_{0}A0 est un point donné de Γ Γ Gamma\GammaΓ.
Si G est le centre de gravité de la ligne Γ Γ Gamma\GammaΓ, nous avons encore
E 2 ( A 0 ) ( P ) = GP ― 2 + M 2 2 ( G ) PA ― 0 2 E 2 A 0 ( P ) = GP ¯ 2 + M 2 2 ( G ) PA ¯ 0 2 E_(2)^((A_(0)))(P)=( bar(GP)^(2)+M_(2)^(2)(G))/( bar(PA)_(0)^(2))\mathrm{E}_{2}^{\left(\mathrm{A}_{0}\right)}(\mathrm{P})=\frac{\overline{\mathrm{GP}}^{2}+\mathrm{M}_{2}^{2}(\mathrm{G})}{\overline{\mathrm{PA}}_{0}^{2}}E2(A0)(P)=GP―2+M22(G)PA―02
On voit, comme au § précédent, que si A 0 A 0 A_(0)\mathrm{A}_{0}A0 coïncide avec G , on a
min E 2 ( A 0 ) ( P ) = 1 min E 2 A 0 ( P ) = 1 minE_(2)^((A_(0)))(P)=1\min E_{2}^{\left(\mathrm{A}_{0}\right)}(\mathrm{P})=1minE2(A0)(P)=1
et ce minimum n'est pas atteint si, comme nous le supposons, la ligne Γ Γ Gamma\mathbf{\Gamma}Γ ne se réduit pas à un point.
Si A 0 A 0 A_(0)\mathrm{A}_{0}A0 ne coïncide pas avec G le minimum est égal à
min E 2 ( A 0 ) ( P ) = M 2 2 ( G ) GA 0 2 + M 2 2 ( G ) min E 2 A 0 ( P ) = M 2 2 ( G ) GA 0 2 + M 2 2 ( G ) minE_(2)^((A_(0)))(P)=(M_(2)^(2)(G))/(GA_(0)^(2)+M_(2)^(2)(G))\min E_{2}^{\left(A_{0}\right)}(P)=\frac{M_{2}^{2}(G)}{\mathrm{GA}_{0}^{2}+M_{2}^{2}(G)}minE2(A0)(P)=M22(G)GA02+M22(G)
Pour que
min ( A 0 ) [ min ( P ) E 2 ( A 0 ) ( P ) ] min A 0   min ( P )   E 2 A 0 ( P ) min_((A_(0)))[min_((P))E_(2)^((A_(0)))(P)]\min _{\left(\mathrm{A}_{0}\right)}\left[\begin{array}{c} \min _{(\mathrm{P})} \mathrm{E}_{2}^{\left(\mathrm{A}_{0}\right)}(\mathrm{P}) \\ \end{array}\right]min(A0)[min(P)E2(A0)(P)]
soit maximum il faut que GA ― 2 GA ¯ 2 bar(GA)^(2)\overline{\mathrm{GA}}^{2}GA―2 où A est un point courant de I se réduise à une constante. En effet, si d d ddd est. le maximum et d ′ d ′ d^(')d^{\prime}d′ le minimum de GA ― GA ¯ bar(GA)\overline{\mathrm{GA}}GA―, on a
d ′ ≦ M 2 ( G ) ≦ d d ′ ≦ M 2 ( G ) ≦ d d^(') <= M_(2)(G) <= dd^{\prime} \leqq \mathrm{M}_{2}(\mathrm{G}) \leqq dd′≦M2(G)≦d
l'égalité, n'étant possible, par suite de la continuité des fonctions f ( t ) f ( t ) f(t)f(t)f(t), g ( t ) g ( t ) g(t)g(t)g(t), que si GA ― 0 GA ¯ 0 bar(GA)_(0)\overline{\mathrm{GA}}_{0}GA―0 est constante. Le minimum (11) est donc
≥ d ′ 2 2 d 2 ≥ d ′ 2 2 d 2 >= (d^('2))/(2d^(2))\geq \frac{d^{\prime 2}}{2 d^{2}}≥d′22d2
Mais d ′ 2 2 d 2 ≦ 1 2 d ′ 2 2 d 2 ≦ 1 2 (d^('2))/(2d^(2)) <= (1)/(2)\frac{d^{\prime 2}}{2 d^{2}} \leqq \frac{1}{2}d′22d2≦12, l'égalité n'étant possible que si d ′ = d d ′ = d d^(')=dd^{\prime}=dd′=d. Il en résulte que le maximum de (11) est égal à 1 2 1 2 (1)/(2)\frac{1}{2}12 et ce maximum est atteint seulement si G A ― G A ¯ bar(GA)\overline{\mathrm{G} A}GA― est constante. Pour cela, on le voit facilement, il faut et il suffit que Γ Γ Gamma\GammaΓ soit une circonférence et que P soit sur cette circonférence. On a donc finalement le
Théorème 13. Si Γ Γ Gamma\GammaΓ est une circonférence et P un point du plan de cette circonférence, on a
(12) M 2 ( P ) ≧ 1 V 2 PP 1 ― (12) M 2 ( P ) ≧ 1 V 2 PP 1 ¯ {:(12)M_(2)(P) >= (1)/(V2) bar(PP_(1)):}\begin{equation*} \mathrm{M}_{2}(\mathrm{P}) \geqq \frac{1}{V 2}{\overline{\mathrm{PP}_{1}}} \tag{12} \end{equation*}(12)M2(P)≧1V2PP1―
P 1 P 1 P_(1)\mathrm{P}_{1}P1 étant le point de Γ Γ Gamma\GammaΓ le plus éloigné de P .
Si Γ Γ Gamma\GammaΓ est une courbe continue différente d'une circonférence il existe au moins un point P du plan pour lequel l'inégalité (12) n'est pas vraie.
Bucureşti, 11 Decemvrie 1941.
  1. 1 ) 1 ) ^(1)){ }^{1)}1) D. Pompeiu. „Une identité entre nombres complexes et un théorème de géométrie élémentaire". Bulletin de Mathématique et de Physique, 6, 6-7 (1936).
  2. 2 2 ^(2){ }^{2}2 ) D. Pompeiu „La géométrie et les imaginaires: démonstration de quelques théorèmes élémentaires". Bulletin de Mathématiques et de Physique, 11,
    (1941).
  3. 3 3 ^(3){ }^{3}3 ) En réalité la propriété est vraie aussi pour n = 2 n = 2 n=2n=2n=2, mais dans ce cas elle est évidente.

[MR0012412, Zbl 0060.34208].

Related Posts