Abstrait
Traduction en anglais du titre
On the finite increments formula
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T. Popoviciu, Sur la formule des accroissements finis, Mathematica, 23 (1947-1948), pp. 123-126 (in French).
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Mathematica
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MATHEMATICA
TIBERIU POPOVICIU:
SUR LA FORMULE DES ACCROISSEMENTS FINIS
SUR LA FORMULE DES ACCROISSEMENTS FINIS
PAR
TIBERIU POPOVICIU
-
- Soit f(x)f(x) une fonction continue dans l'intervalle borné et fermé [a,b][a, b]. Nous désignerons par X le point d'abscisse xx de l'axe réelle et par X^(')X^{\prime} le point de coordonnées (x,f(x))(x, f(x)). En particulier A,A^('),B,B^(')A, A^{\prime}, B, B^{\prime} sont les points (a,0),(a,f(a),(b,0),(b,f(b))(a, 0),(a, f(a),(b, 0),(b, f(b)). Nous désignerons aussi par
[x_(1),x_(2);f]=(f(x_(2))-f(x_(1)))/(x_(2)-x_(1))\left[x_{1}, x_{2} ; f\right]=\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}
la différence divisée de la fonction f(x)f(x) sur les points x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2} et par
[x_(1),x_(2),x_(3);f]=([x_(2),x_(3);f]-[x_(1),x_(2);f])/(x_(3)-x_(1))\left[x_{1}, x_{2}, x_{3} ; f\right]=\frac{\left[x_{2}, x_{3} ; f\right]-\left[x_{1}, x_{2} ; f\right]}{x_{3}-x_{1}}
la différence divisée de cette même fonction sur les points x_(1),x_(2),x_(8)x_{1}, x_{2}, x_{8}.
L'aire du trapèze XX^(')Y^(')Y(x <= y)\mathrm{X} \mathrm{X}^{\prime} \mathrm{Y}^{\prime} \mathrm{Y}(x \leqq y) est alors, par définiton, égale à
L'aire du trapèze XX^(')Y^(')Y(x <= y)\mathrm{X} \mathrm{X}^{\prime} \mathrm{Y}^{\prime} \mathrm{Y}(x \leqq y) est alors, par définiton, égale à
varphi(x,y)=(1)/(2)[f(x)+f(y)](y-x)\varphi(x, y)=\frac{1}{2}[f(x)+f(y)](y-x)
La formule des accroissements finis résulte de la remarque que l'un au moins des extrema (maximum ou minimum) absolus de la somme des aires des trapèzes AA^(')X^(')X,XX^(')B^(')BA A^{\prime} X^{\prime} X, X X^{\prime} B^{\prime} B est nécessairement atteint en au moins un point de l'intervalle ouvert (a,b)(a, b). En effet, cette somme est égale à
F_(1)(x)=(1)/(2)[f(a)+f(x)](x-a)+(1)/(2)[f(x)+f(b)](b-x)\mathrm{F}_{1}(x)=\frac{1}{2}[f(a)+f(x)](x-a)+\frac{1}{2}[f(x)+f(b)](b-x)
et F_(1)(x)\mathrm{F}_{1}(x) est une fonction continue de xx dans [a,b][a, b], prenant la même valeur (1)
F_(0)=varphi(a,b)\mathrm{F}_{0}=\varphi(a, b)
aux extrémités a,ba, b de cet intervalle. Si la dérivée f^(')(x)f^{\prime}(x) existe dans l'intervalle ouvert ( a,ba, b ), on en conclut l'existence d'au moins un x in(a,b)x \in(a, b) tel que l'on ait F_(1)^(')(x)=0F_{1}^{\prime}(x)=0, donc
f^(')(x)=[a,b;f]=(f(b)-f(a))/(b-a)f^{\prime}(x)=[a, b ; f]=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
-
- Considérons nn points x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} dans l'intervalle [a,b][a, b] et supposons toujours que a <= x_(1) <= x_(2) <= cdots <= x_(n) <= ba \leqq x_{1} \leqq x_{2} \leqq \cdots \leqq x_{n} \leqq b. La somme des aires des trapèzes AA^(')X_(1)^(')X_(1),X_(1)X_(1)^(')X_(2)^(')X_(2),dots,X_(n-1)X_(n-1)^(')X_(n)^(')X_(n),X_(n)X_(n)^(')B^(')BA A^{\prime} X_{1}^{\prime} X_{1}, X_{1} X_{1}^{\prime} X_{2}^{\prime} X_{2}, \ldots, X_{n-1} X_{n-1}^{\prime} X_{n}^{\prime} X_{n}, X_{n} X_{n}^{\prime} B^{\prime} B est égale à
{:[(2)F_(n)(M)=F_(n)(x_(1),x_(2),dots,x_(n))=],[=(1)/(2)sum_(i=0)^(n)[f(x_(i))+f(x_(i+1))](x_(i+1)-x_(i))=sum_(i=0)^(n)varphi(x_(i),x_(i+1))]:}\begin{align*}
\mathrm{F}_{n}(\mathrm{M}) & =\mathrm{F}_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)= \tag{2}\\
& =\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n}\left[f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{i+1}\right)\right]\left(x_{i+1}-x_{i}\right)=\sum_{i=0}^{n} \varphi\left(x_{i}, x_{i+1}\right)
\end{align*}
en posant x_(0)=a,x_(n+1)=bx_{0}=a, x_{n+1}=b et en désignant par M le point de coordonnées (x_(1),x_(2),dots,x_(n))\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) dans l'espace ordinaire à nn dimensions. F_(n)(x_(1),x_(2),dots,x_(n))\mathrm{F}_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) est alors une fonction continue de x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} dans un domaine borné et fermé DD. Ce domaine DD est formé par un simplexe M_(0)M_(1)dotsM_(n)M_{0} M_{1} \ldots M_{n} dont les sommets sont les points
{:[M_(i)ubrace((a,a,dots,aubrace)_(i)","ubrace(b,b,dots,bubrace)_(n-i))","quad i=0","1","dots","n],[(M_(0)(b,b,dots,b),quadM_(n)(a,a,dots,a)).]:}\begin{aligned}
& \mathrm{M}_{i} \underbrace{(a, a, \ldots, a}_{i},\underbrace{b, b, \ldots, b}_{n-i}), \quad i=0,1, \ldots, n \\
&\left(\mathrm{M}_{0}(b, b, \ldots, b), \quad \mathrm{M}_{n}(a, a, \ldots, a)\right) .
\end{aligned}
Les points intérieurs M(x_(1),x_(2),dots,x_(n))M\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) de DD sont alors caractérisés par les inégalités a < x_(1) < x_(2) < cdots < x_(n) < ba<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}<b. Le point M appartient à la face D_(i)D_{i} opposée au sommet M_(i)M_{i} de DD si x_(i)=x_(i+1)x_{i}=x_{i+1} et ce point MM est un point intérieur de cette face si a < x_(1) < cdots < x_(i)=x_(i+1) < x_(i+2)<<cdots < x_(n) < ba<x_{1}<\cdots<x_{i}=x_{i+1}<x_{i+2}< <\cdots<x_{n}<b.
De la formule (2) il résulte immédiatement que si M(x_(1),x_(2),dots,x_(n))M\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) est sur la face D_(i)D_{i} on a
F_(n)(M)=F_(n-1)(x_(1),x_(2),dots,x_(i),x_(i+2),x_(i+3),dots,x_(n))\mathrm{F}_{n}(\mathrm{M})=\mathrm{F}_{n-1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i}, x_{i+2}, x_{i+3}, \ldots, x_{n}\right)
En particulier nous avons
(3)
(3)
{:[F_(n)(a,x_(1),x_(2),dots,x_(n-1))=F_(n)(x_(1),x_(1),x_(2),dots,x_(n-1))=],[=F_(n)(x_(1),x_(2),x_(2),x_(3),dots,x_(n-1))=dots=F(x_(1),x_(2),dots,x_(n-2),x_(n-1),x_(n-1))=],[=F_(n)(x_(1),x_(2),dots,x_(n-1),b)=F_(n-1)(x_(1),x_(2),dots,x_(n-1))","]:}\begin{aligned}
& \mathrm{F}_{n}\left(a, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}\right)=\mathrm{F}_{n}\left(x_{1}, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}\right)= \\
= & \mathrm{F}_{n}\left(x_{1}, x_{2}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n-1}\right)=\ldots=\mathrm{F}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-2}, x_{n-1}, x_{n-1}\right)= \\
= & \mathrm{F}_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}, b\right)=\mathrm{F}_{n-1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}\right),
\end{aligned}
ce qui nous montre que F_(n)(M)F_{n}(M) prend les mêmes valeurs sur les faces D_(i)D_{i} ' i=0,1,dots,ni=0,1, \ldots, n. L'interprétation géométrique de ce fait est d'ailleurs très simple.
Enfin nous pouvons remarquer aussi que
(4)
(4)
F_(n)(M_(i))=F_(0),quad i=0,1,dots,n,\mathrm{F}_{n}\left(\mathrm{M}_{i}\right)=\mathrm{F}_{0}, \quad i=0,1, \ldots, n,
F_(0)\mathrm{F}_{0} étant défini par (1).
3. - Ceci étant nous pouvons démontrer le
3. - Ceci étant nous pouvons démontrer le
Théorème 1. - Si la fonction f(x)f(x) est continue dans l'intervalle fermé [a,b][a, b] et est dérivable dans l'intervalle ouvert (a,b)(a, b), la fonction
F_(n)(x_(1),x_(2),dots,x_(n))\mathrm{F}_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) atteint au moins un de ses extrema absolus en au moins un point intérieur du domaine D .
F_(n)(x_(1),x_(2),dots,x_(n))\mathrm{F}_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) atteint au moins un de ses extrema absolus en au moins un point intérieur du domaine D .
La fonction F_(n)(M)\mathrm{F}_{n}(\mathrm{M}) prend la valeur F_(0)\mathrm{F}_{0}. Si cette fonction se réduit à une constante le théorème est démontré. Dans le cas contraire, et pour fixer les idées, supposons que F_(n)(M)F_{n}(M) prenne des valeurs > F_(0)>F_{0}. Il suffit alors de démontrer que le maximum de F_(n)(M)F_{n}(M) est atteint en un point intérieur de D.
Nous pouvons démontrer maintenant le théorème par induction complète sur nn. Supposons que le théorème soit vrai pour la fonction F_(n-1)(x_(1),x_(2),dots,x_(n-1))\mathrm{F}_{n-1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}\right). Nous allons démontrer que le maximum de F_(n)(M)\mathrm{F}_{n}(\mathrm{M}) ne peut être atteint seulement sur les faces D_(i)D_{i} du domaine DD. Dans le cas contraire ce maximum serait atteint en un point interieur de la face D_(i)D_{i}, par suite des égalités (3), (4) et par suite de l'hypothèse que le théorème est vérifié pour la fonction F_(n-1)\mathrm{F}_{n-1}. Soit (x_(1),x_(2),dots,x_(i),x_(i),x_(i+1),dots,x_(n-1))\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i}, x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{n-1}\right) un point intérieur de D_(i)D_{i} où le maximum est atteint. Nous avons a < x_(1)<<x_(2) < dots < x_(n-1) < ba<x_{1}< <x_{2}<\ldots<x_{n-1}<b et du fait qu'à l'intérieur de DF_(n)(M)\mathrm{D} \mathrm{F}_{n}(\mathrm{M}) prend des valeurs plus petites il résulte que
F_(n)(x_(1),x_(2),dots,x_(i),t,x_(i+1),dots,x_(n-1)) < F_(n-1)(x_(1),x_(2),dots,x_(n-1)),x_(i) < t < x_(i+1)\mathrm{F}_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i}, t, x_{i+1}, \ldots, x_{n-1}\right)<\mathrm{F}_{n-1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}\right), x_{i}<t<x_{i+1},
F_(n)(x_(1),x_(2),dots,x_(i),t,x_(i+1),dots,x_(n-1)) < F_(n-1)(x_(1),x_(2),dots,x_(n-1)),x_(i) < t < x_(i+1)\mathrm{F}_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i}, t, x_{i+1}, \ldots, x_{n-1}\right)<\mathrm{F}_{n-1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}\right), x_{i}<t<x_{i+1},
i=0,1,dots,n-1i=0,1, \ldots, n-1
ou
varphi(x_(i),t)+varphi(t,x_(i+1)) < varphi(x_(i),x_(i+1)),x_(i) < t < x_(i+1),quad i=0,1,dots,1-n\varphi\left(x_{i}, t\right)+\varphi\left(t, x_{i+1}\right)<\varphi\left(x_{i}, x_{i+1}\right), x_{i}<t<x_{i+1}, \quad i=0,1, \ldots, 1-n. Un calcul simple nous donne
varphi(x_(i),t)+varphi(t,x_(i+1)) < varphi(x_(i),x_(i+1)),x_(i) < t < x_(i+1),quad i=0,1,dots,1-n\varphi\left(x_{i}, t\right)+\varphi\left(t, x_{i+1}\right)<\varphi\left(x_{i}, x_{i+1}\right), x_{i}<t<x_{i+1}, \quad i=0,1, \ldots, 1-n. Un calcul simple nous donne
{:[{:x_(i+1))-varphi(x_(i),t)-varphi(t,x_(i+1))=],[=(1)/(2)(x_(i+1)-x_(i))(t-x_(i))(x_(i+1)-t)[x_(i),t,x_(i+1);f]=],[=(1)/(2)(x_(i+1)-x_(i))(t-x_(i)){[x_(i),x_(i+1);f]-[x_(i),t;f]}=],[=(1)/(2)(x_(i+1)-x_(i))(t-x_(i+1)){[x_(i),x_(i+1);f]-[x_(i+1),t;f]}]:}\begin{aligned}
& \left.x_{i+1}\right)-\varphi\left(x_{i}, t\right)-\varphi\left(t, x_{i+1}\right)= \\
& =\frac{1}{2}\left(x_{i+1}-x_{i}\right)\left(t-x_{i}\right)\left(x_{i+1}-t\right)\left[x_{i}, t, x_{i+1} ; f\right]= \\
& =\frac{1}{2}\left(x_{i+1}-x_{i}\right)\left(t-x_{i}\right)\left\{\left[x_{i}, x_{i+1} ; f\right]-\left[x_{i}, t ; f\right]\right\}= \\
& =\frac{1}{2}\left(x_{i+1}-x_{i}\right)\left(t-x_{i+1}\right)\left\{\left[x_{i}, x_{i+1} ; f\right]-\left[x_{i+1}, t ; f\right]\right\}
\end{aligned}
et l'inégalité (5) permet d'écrire
[x_(i),t;f] < [x_(i),x_(i+1);f] < [x_(i+1),t;f],quadx_(i) < t < x_(i+1),quad i=0,1,dots,n-1\left[x_{i}, t ; f\right]<\left[x_{i}, x_{i+1} ; f\right]<\left[x_{i+1}, t ; f\right], \quad x_{i}<t<x_{i+1}, \quad i=0,1, \ldots, n-1.
Faisant tendre tt vers x_(i)x_{i} puis vers x_(i+1)x_{i+1}, nous en déduisons
d'où
[x_(i),t;f] < [x_(i),x_(i+1);f] < [x_(i+1),t;f],quadx_(i) < t < x_(i+1),quad i=0,1,dots,n-1\left[x_{i}, t ; f\right]<\left[x_{i}, x_{i+1} ; f\right]<\left[x_{i+1}, t ; f\right], \quad x_{i}<t<x_{i+1}, \quad i=0,1, \ldots, n-1.
Faisant tendre tt vers x_(i)x_{i} puis vers x_(i+1)x_{i+1}, nous en déduisons
d'où
{:[f^(')(x_(i)) <= [x_(i),x_(i+1);f]",",i=1","2","dots","n-1],[[x_(i),x_(i+1);f] <= f^(')(x_(i+1))",",i=0","1","dots","n-2]:}\begin{array}{ll}
f^{\prime}\left(x_{i}\right) \leqq\left[x_{i}, x_{i+1} ; f\right], & i=1,2, \ldots, n-1 \\
{\left[x_{i}, x_{i+1} ; f\right] \leqq f^{\prime}\left(x_{i+1}\right),} & i=0,1, \ldots, n-2
\end{array}
ou bien
[a,x_(1);f] <= [x_(1),x_(2),;f] <= [x_(2),x_(3);f] <= dots <= [x_(n-1),b;f]\left[a, x_{1} ; f\right] \leqq\left[x_{1}, x_{2}, ; f\right] \leqq\left[x_{2}, x_{3} ; f\right] \leqq \ldots \leqq\left[x_{n-1}, b ; f\right]
(7)
[x_(i),x_(i+1),x_(i+2);f] >= 0,quad i==0,1,dots,n-2.\left[x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2} ; f\right] \geqq 0, \quad i==0,1, \ldots, n-2 .
La fonction f(x)f(x) est donc non-concave (d'ordre 1 ) sur les points aa, x_(1),dots,x_(n-1),bx_{1}, \ldots, x_{n-1}, b. On sait alors qu'on a aussi
(8)
(8)
[a,x_(i),b;f] >= 0,quad i=1,2,dots,n-1\left[a, x_{i}, b ; f\right] \geqq 0, \quad i=1,2, \ldots, n-1
Mais, je dis que ces inégalités sont en contradiction avec
{:(9)F_(n-1)(x_(1),x_(2),dots,x_(n-1)) > F_(0):}\begin{equation*}
\mathrm{F}_{n-1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}\right)>\mathrm{F}_{0} \tag{9}
\end{equation*}
qui résulte de l'hypothèse faite sur les points x_(1),x_(2),dots,x_(n-1)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}. En effet, un calcul simple nous donne
sum_(i=1)^(n-1)[varphi(a,x_(i))+( bar(varphi))(x_(i),b)-varphi(a,b)]=(b-a)[F_(n-1)(x_(1),x_(2),dots,x_(n-1))-F_(0)]\sum_{i=1}^{n-1}\left[\varphi\left(a, x_{i}\right)+\bar{\varphi}\left(x_{i}, b\right)-\varphi(a, b)\right]=(b-a)\left[\mathrm{F}_{n-1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}\right)-\mathrm{F}_{0}\right]
et, compte tenant de (6),
-(1)/(2)sum_(i=1)^(n-1)(x_(i)-a)(b-x_(i))[a,x_(i),b;f]=F_(n-1)(x_(1),x_(2),dots,x_(n-1))-F_(0)-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n-1}\left(x_{i}-a\right)\left(b-x_{i}\right)\left[a, x_{i}, b ; f\right]=\mathrm{F}_{n-1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}\right)-\mathrm{F}_{0}
ce qui prouve notre affirmation.
Cette contradiction démontre le théorème 1 puisque pour n=1n=1 la propriété résulte facilement.
Cette contradiction démontre le théorème 1 puisque pour n=1n=1 la propriété résulte facilement.
L'exemple de la fonction
f(x)={[(x-a)^(2)",",x in[a,(a+b)/(2)]],[(x-b)^(2)",",x in[(a+b)/(2),b]]:}f(x)= \begin{cases}(x-a)^{2}, & x \in\left[a, \frac{a+b}{2}\right] \\ (x-b)^{2}, & x \in\left[\frac{a+b}{2}, b\right]\end{cases}
nous montre que la propriété exprimée par le théorème 1 n'est plus vraie en générale si la fonction ff n'est pas dérivable en tout point de l'intervalle (a,b)(a, b).
4. - Nous avons
4. - Nous avons
{:[(delF_(n)(x_(1),x_(2),dots,x_(n)))/(delx_(i))=(1)/(2)[f^(')(x_(i))(x_(i+1)-x_(i-1))-f(x_(i+1))+f(x_(i-1))]],[i=1","2","dots","n]:}\begin{gathered}
\frac{\partial F_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)}{\partial x_{i}}=\frac{1}{2}\left[f^{\prime}\left(x_{i}\right)\left(x_{i+1}-x_{i-1}\right)-f\left(x_{i+1}\right)+f\left(x_{i-1}\right)\right] \\
i=1,2, \ldots, n
\end{gathered}
et nous déduisons le
Théorème 2. - Si la fonction f(x)f(x) est continue dans l'intervalle fermé [a,b][a, b] et est dérivable dans l'intervalle ouvert (a,b)(a, b) on peut trouver nn points distincts x_(1),x_(2),dots,x_(n),x_(1) < x_(2) < dots < x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n} de (a,b)(a, b) tel que l'on ait
Théorème 2. - Si la fonction f(x)f(x) est continue dans l'intervalle fermé [a,b][a, b] et est dérivable dans l'intervalle ouvert (a,b)(a, b) on peut trouver nn points distincts x_(1),x_(2),dots,x_(n),x_(1) < x_(2) < dots < x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n} de (a,b)(a, b) tel que l'on ait
{:[f^(')(x_(i))=[x_(i-1),x_(i+1);f]=(f(x_(i+1))-f(x_(i-1)))/(x_(i+1)-x_(i-1))],[i=1","2","dots","n quad(x_(0)=a,x_(n+1)=b)]:}\begin{gathered}
f^{\prime}\left(x_{i}\right)=\left[x_{i-1}, x_{i+1} ; f\right]=\frac{f\left(x_{i+1}\right)-f\left(x_{i-1}\right)}{x_{i+1}-x_{i-1}} \\
i=1,2, \ldots, n \quad\left(x_{0}=a, x_{n+1}=b\right)
\end{gathered}
L'interprétation géométrique est simple.