Introduction à la théorie des différences divisées

Tiberiu Popoviciu
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Tiberiu Popoviciu

Titre originale

Introduction à la théorie des différences divisées

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Introduction to the theory of divided differences

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T. Popoviciu, Introduction à la théorie des différences divisées, Bull. Math. de la Soc. Roum. des Sci., t. 42 (1940), pp. 65-78 (in French)

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Bull. Math. de la Soc. Roum. des Sci.

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https://www.jstor.org/stable/43769841

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1940 a -Popoviciu- Bull. Math. Soc. Roum. Sci. - Introduction a la theorie des differences divisees.

INTRODUCTION À LA THÉORIE DES DIFFÉRENCES DIVISÉES

PAR

TIBERIU POPOVICIU

Dans ce qui va suivre nous nous proposons de donner la démonstration de plusieurs formules qui interviennent dans la théorie des différences divisées des fonctions d'une variable. La plupart de ces formules se trouvent déjà exposées, sans démonstration, dans notre Thèse 1 1 ^(1){ }^{1}1 ), Ces formules étant d'un usage courant dans la théorie des fonctions convexes d'ordre supérieur, il ne sera pas inutile de les établir ici en toute rigueur. Je me suis décidé de revenir sur ces questions en remarquant l'apparition de quelques travaux où mes résultats ne sont pas cités 2 2 ^(2){ }^{2}2 ).
  1. Le polynome de Lagrange. Considérons n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 points distincts x 1 , x 2 , … , x n + 1 x 1 , x 2 , … , x n + 1 x_(1),x_(2),dots,x_(n+1)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}x1,x2,…,xn+1 et soit f = f ( x ) f = f ( x ) f=f(x)f=f(x)f=f(x) une fonction uniforme définie sur ces points. Nous supposerons que les points x i x i x_(i)x_{i}xi sont sur l'axe réel et que f f fff est une fonction réelle.
Il existe un polynome et un seul de degré n qui prend les valeurs f ( x i ) f x i f(x_(i))\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{i}\right)f(xi) aux points x i , i = 1 , 2 , … , n + 1 3 ) x i , i = 1 , 2 , … , n + 1 3 {:x_(i),i=1,2,dots,n+1^(3))\left.\mathrm{x}_{i}, \mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{n}+1{ }^{3}\right)xi,i=1,2,…,n+13).
L'existence au moins d'un polynome satisfaisant aux conditions imposées peut être démontrée par récurrence. Pour n = 0 n = 0 n=0n=0n=0 la propriété est immédiate. La constante f ( x 1 ) f x 1 f(x_(1))f\left(x_{1}\right)f(x1) (polynome de degré 0 ) satisfait à la condition imposée. Supposons que la propriété soit vraie pour n n nnn et demon-trons-la pour n + 1 n + 1 n+1n+1n+1. Il existe donc, par hypothèse, au moins un polynome P ( x ) P ( x ) P(x)\mathrm{P}(x)P(x) de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 prenant les valeurs f ( x i ) f x i f(x_(i))f\left(x_{i}\right)f(xi) aux points x i , i = 1 x i , i = 1 x_(i),i=1x_{i}, i=1xi,i=1, 2 , … , n 2 , … , n 2,dots,n2, \ldots, n2,…,n. On voit alors que le polynome
P ( x ) + [ f ( x n + 1 ) − P ( x n + 1 ) ] ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) … ( x − x n ) ( x n + 1 − x 1 ) ( x n + 1 − x 2 ) … ( x n + 1 − x n ) P ( x ) + f x n + 1 − P x n + 1 x − x 1 x − x 2 … x − x n x n + 1 − x 1 x n + 1 − x 2 … x n + 1 − x n P(x)+[f(x_(n+1))-P(x_(n+1))]((x-x_(1))(x-x_(2))dots(x-x_(n)))/((x_(n+1)-x_(1))(x_(n+1)-x_(2))dots(x_(n+1)-x_(n)))P(x)+\left[f\left(x_{n+1}\right)-P\left(x_{n+1}\right)\right] \frac{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots\left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{n+1}-x_{1}\right)\left(x_{n+1}-x_{2}\right) \ldots\left(x_{n+1}-x_{n}\right)}P(x)+[f(xn+1)−P(xn+1)](x−x1)(x−x2)…(x−xn)(xn+1−x1)(xn+1−x2)…(xn+1−xn)
est de degré n n nnn et prend les valeurs f ( x i ) f x i f(x_(i))f\left(x_{i}\right)f(xi) aux points x i , i = 1 , 2 , … , n + 1 x i , i = 1 , 2 , … , n + 1 x_(i),i=1,2,dots,n+1x_{i}, i=1,2, \ldots, n+1xi,i=1,2,…,n+1.
L'unicité résulte facilement. Si l'on avait deux polynomes P ( x ) P ( x ) P(x)\mathrm{P}(x)P(x) et Q ( x ) Q ( x ) Q(x)\mathrm{Q}(x)Q(x), non identiques, de degré n n nnn et vérifiant les conditions imposées, la différence P ( x ) − Q ( x ) P ( x ) − Q ( x ) P(x)-Q(x)\mathrm{P}(x)-\mathrm{Q}(x)P(x)−Q(x) serait nulle pour x = x 1 , x 2 , … , x n + 1 x = x 1 , x 2 , … , x n + 1 x=x_(1),x_(2),dots,x_(n+1)x=x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}x=x1,x2,…,xn+1, ce qui est impossible.
Le polynome unique, déterminé tel que nous l'avons vu, s'appelle le polynome (d'interpolation) de Lagrange de la fonction f f fff sur les points x i , i = 1 , 2 , … , n + 1 x i , i = 1 , 2 , … , n + 1 x_(i),i=1,2,dots,n+1\mathrm{x}_{i}, \mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{n}+1xi,i=1,2,…,n+1.
Nous désignerons ce polynome par
(1) P ( x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ∣ x ) . (1) P x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ∣ x . {:(1)P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x).:}\begin{equation*} \mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right) . \tag{1} \end{equation*}(1)P(x1,x2,…,xn+1;f∣x).
La forme générale des polynomes prenant les valeurs f ( x i ) f x i f(x_(i))f\left(x_{i}\right)f(xi) aux points x i , i = 1 , 2 , … , n + 1 x i , i = 1 , 2 , … , n + 1 x_(i),i=1,2,dots,n+1x_{i}, i=1,2, \ldots, n+1xi,i=1,2,…,n+1, est
P ( x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ∣ x ) + ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) … ( x − x n + 1 ) Q ( x ) P x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ∣ x + x − x 1 x − x 2 … x − x n + 1 Q ( x ) P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x)+(x-x_(1))(x-x_(2))dots(x-x_(n+1))Q(x)\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)+\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots\left(x-x_{n+1}\right) \mathrm{Q}(x)P(x1,x2,…,xn+1;f∣x)+(x−x1)(x−x2)…(x−xn+1)Q(x)
Q ( x ) Q ( x ) Q(x)\mathrm{Q}(x)Q(x) élant un polynome quelconque 4 4 ^(4){ }^{4}4 ).
L'unicité du polynome (1) permet d'écrire les formules suivantes, bien connues,
P ( x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ∣ x ) = P x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ∣ x = P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x)=\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)=P(x1,x2,…,xn+1;f∣x)=
= ∑ i = 1 n + 1 f ( x i ) ( x − x 1 ) … ( x − x i − 1 ) ( x − x i + 1 ) … ( x − x n + 1 ) ( x i − x 1 ) … ( x i − x i − 1 ) ( x i − x i + 1 ) … ( x i − x n + 1 ) = ∑ i = 1 n + 1 f ( x i ) ? ( x ) P ′ ( x i ) ( x − x i ) = ∑ i = 1 n + 1   f x i x − x 1 … x − x i − 1 x − x i + 1 … x − x n + 1 x i − x 1 … x i − x i − 1 x i − x i + 1 … x i − x n + 1 = ∑ i = 1 n + 1   f x i ? ( x ) P ′ x i x − x i =sum_(i=1)^(n+1)f(x_(i))((x-x_(1))dots(x-x_(i-1))(x-x_(i+1))dots(x-x_(n+1)))/((x_(i)-x_(1))dots(x_(i)-x_(i-1))(x_(i)-x_(i+1))dots(x_(i)-x_(n+1)))=sum_(i=1)^(n+1)(f(x_(i))?(x))/(P^(')(x_(i))(x-x_(i)))=\sum_{i=1}^{n+1} f\left(x_{i}\right) \frac{\left(x-x_{1}\right) \ldots\left(x-x_{i-1}\right)\left(x-x_{i+1}\right) \ldots\left(x-x_{n+1}\right)}{\left(x_{i}-x_{1}\right) \ldots\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\left(x_{i}-x_{i+1}\right) \ldots\left(x_{i}-x_{n+1}\right)}=\sum_{i=1}^{n+1} \frac{f\left(x_{i}\right) ?(x)}{\mathcal{P}^{\prime}\left(x_{i}\right)\left(x-x_{i}\right)}=∑i=1n+1f(xi)(x−x1)…(x−xi−1)(x−xi+1)…(x−xn+1)(xi−x1)…(xi−xi−1)(xi−xi+1)…(xi−xn+1)=∑i=1n+1f(xi)?(x)P′(xi)(x−xi),
P ( x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ∣ x ) = − | 1 x 1 x 1 2 … x 1 n f ( x 1 ) 1 x 2 x 2 2 … x 2 n f ( x 2 ) … … … … … … … 1 x n + 1 x n + 1 2 … x n + 1 n f ( x n + 1 ) 1 x x 2 … x n 0 | | 1 x 1 x 1 2 … x 1 n 1 x 2 x 2 2 … x 2 n … … … … … … 1 x n + 1 x n + 1 2 … x n + 1 n | P x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ∣ x = − 1 x 1 x 1 2 … x 1 n f x 1 1 x 2 x 2 2 … x 2 n f x 2 … … … … … … … 1 x n + 1 x n + 1 2 … x n + 1 n f x n + 1 1 x x 2 … x n 0 1 x 1 x 1 2 … x 1 n 1 x 2 x 2 2 … x 2 n … … … … … … 1 x n + 1 x n + 1 2 … x n + 1 n P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x)=-(|[1,x_(1),x_(1)^(2),dots,x_(1)^(n),f(x_(1))],[1,x_(2),x_(2)^(2),dots,x_(2)^(n),f(x_(2))],[dots dots,dots,dots,dots,dots,dots],[1,x_(n+1),x_(n+1)^(2),dots,x_(n+1)^(n),f(x_(n+1))],[1,x,x^(2),dots,x^(n),0]|)/(|[1,x_(1),x_(1)^(2),dots,x_(1)^(n)],[1,x_(2),x_(2)^(2),dots,x_(2)^(n)],[dots dots dots,dots,dots,dots],[1,x_(n+1),x_(n+1)^(2),dots,x_(n+1)^(n)]|)\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)=-\frac{\left|\begin{array}{cccccc} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \ldots & x_{1}^{n} & f\left(x_{1}\right) \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \ldots & x_{2}^{n} & f\left(x_{2}\right) \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & x_{n+1} & x_{n+1}^{2} & \ldots & x_{n+1}^{n} & f\left(x_{n+1}\right) \\ 1 & x & x^{2} & \ldots & x^{n} & 0 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccccc} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \ldots & x_{1}^{n} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \ldots & x_{2}^{n} \\ \ldots \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & x_{n+1} & x_{n+1}^{2} & \ldots & x_{n+1}^{n} \end{array}\right|}P(x1,x2,…,xn+1;f∣x)=−|1x1x12…x1nf(x1)1x2x22…x2nf(x2)…………………1xn+1xn+12…xn+1nf(xn+1)1xx2…xn0||1x1x12…x1n1x2x22…x2n………………1xn+1xn+12…xn+1n|
où nous avons posé
(2) f ( x ) = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) … ( x − x n + 1 ) . (2) f ( x ) = x − x 1 x − x 2 … x − x n + 1 . {:(2)f(x)=(x-x_(1))(x-x_(2))dots(x-x_(n+1)).:}\begin{equation*} f(x)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots\left(x-x_{n+1}\right) . \tag{2} \end{equation*}(2)f(x)=(x−x1)(x−x2)…(x−xn+1).
Posons
(3)
[ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ] = ∑ i = 1 n + 1 f ( x i ) P ′ ( x i ) x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f = ∑ i = 1 n + 1   f x i P ′ x i [x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=sum_(i=1)^(n+1)(f(x_(i)))/(P^(')(x_(i)))\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=\sum_{i=1}^{n+1} \frac{f\left(x_{i}\right)}{\mathcal{P}^{\prime}\left(x_{i}\right)}[x1,x2,…,xn+1;f]=∑i=1n+1f(xi)P′(xi)
4 4 ^(4){ }^{4}4 ) Le polynome (1) peut être aussi caractérisé par la propriété extrémale suivante. Il existe un polynome et un seul de degré effectif minimum qui prend les valeurs f ( x i ) f x i f(x_(i))f\left(x_{i}\right)f(xi), pour x = x i , i = 1 , 2 , … , n + 1 x = x i , i = 1 , 2 , … , n + 1 x=x_(i),i=1,2,dots,n+1x=x_{i}, i=1,2, \ldots, n+1x=xi,i=1,2,…,n+1.
qui est le coefficient de x n x n x^(n)x^{n}xn dans le polynome (1). Ce polynome peut alors s'écrire sous les formes suivantes 5 5 ^(5){ }^{5}5 )
P ( x 1 , x 2 , … , x n ; f ∣ x ) + [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ] φ ( x ) x − x n + 1 P ( x 2 , x 3 , … , x n + 1 ; f ∣ x ) + [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ] φ ( x ) x − x 1 P x 1 , x 2 , … , x n ; f ∣ x + x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f φ ( x ) x − x n + 1 P x 2 , x 3 , … , x n + 1 ; f ∣ x + x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f φ ( x ) x − x 1 {:[P(x_(1),x_(2),dots,x_(n);f∣x)+[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f](varphi(x))/(x-x_(n+1))],[P(x_(2),x_(3),dots,x_(n+1);f∣x)+[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f](varphi(x))/(x-x_(1))]:}\begin{aligned} & \mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f \mid x\right)+\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right] \frac{\varphi(x)}{x-x_{n+1}} \\ & \mathrm{P}\left(x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)+\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right] \frac{\varphi(x)}{x-x_{1}} \end{aligned}P(x1,x2,…,xn;f∣x)+[x1,x2,…,xn+1;f]φ(x)x−xn+1P(x2,x3,…,xn+1;f∣x)+[x1,x2,…,xn+1;f]φ(x)x−x1
d'où résulte la relation de récurrence des polynomes de Lagrange
(4) P ( x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ∣ x ) = = ( x − x 1 ) P ( x 2 , x 3 , … , x n + 1 ; f ∣ x ) − ( x − x n + 1 ) P ( x 1 , x 2 , … , x n ; f ∣ x ) x n + 1 − x 1 (4) P x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ∣ x = = x − x 1 P x 2 , x 3 , … , x n + 1 ; f ∣ x − x − x n + 1 P x 1 , x 2 , … , x n ; f ∣ x x n + 1 − x 1 {:[(4)P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x)=],[=((x-x_(1))P(x_(2),x_(3),dots,x_(n+1);f∣x)-(x-x_(n+1))P(x_(1),x_(2),dots,x_(n);f∣x))/(x_(n+1)-x_(1))]:}\begin{gather*} \mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)= \tag{4}\\ =\frac{\left(x-x_{1}\right) \mathrm{P}\left(x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)-\left(x-x_{n+1}\right) \mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f \mid x\right)}{x_{n+1}-x_{1}} \end{gather*}(4)P(x1,x2,…,xn+1;f∣x)==(x−x1)P(x2,x3,…,xn+1;f∣x)−(x−xn+1)P(x1,x2,…,xn;f∣x)xn+1−x1
  1. Les différences divisées. La différence divisée d'ordre n de la fonction f sur les points x 1 , x 2 , … , x n + 1 x 1 , x 2 , … , x n + 1 x_(1),x_(2),dots,x_(n+1)\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots, \mathrm{x}_{n+1}x1,x2,…,xn+1 est caractérisée par les propriétés suivantes :
    a) Elle est une expression linéaire et homogène par rapport à f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , … , f ( x n + 1 ) f x 1 , f x 2 , … , f x n + 1 f(x_(1)),f(x_(2)),dots,f(x_(n+1))\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right), \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right), \ldots, \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{n+1}\right)f(x1),f(x2),…,f(xn+1), avec des coefficients indépendants de la fonction f .
    b) Elle est nulle identiquement pour les fonctions f = 1 , x , x 2 , … f = 1 , x , x 2 , … f=1,x,x^(2),dots\mathrm{f}=1, \mathrm{x}, \mathrm{x}^{2}, \ldotsf=1,x,x2,…, x n + 1 x n + 1 x^(n+1)x^{n+1}xn+1.
    c) Elle se réduit à 1 identiquement pour la fonction f = x n f = x n f=x^(n)\mathrm{f}=\mathrm{x}^{n}f=xn.
L'expression déterminée par ces conditions a a aaa ), b b bbb ), c c ccc ), est unique puisque le système
∑ i = 1 n + 1 λ i x i m = { 0 , m = 0 , 1 , … , n − 1 , 1 , m = n , ∑ i = 1 n + 1   λ i x i m = 0 ,      m = 0 , 1 , … , n − 1 , 1 ,      m = n , sum_(i=1)^(n+1)lambda_(i)x_(i)^(m)={[0",",m=0","1","dots","n-1","],[1",",m=n","]:}\sum_{i=1}^{n+1} \lambda_{i} x_{i}^{m}= \begin{cases}0, & m=0,1, \ldots, n-1, \\ 1, & m=n,\end{cases}∑i=1n+1λixim={0,m=0,1,…,n−1,1,m=n,
est un système de C Ramer C Ramer  C_("Ramer ")\mathrm{C}_{\text {Ramer }}CRamer  en λ 1 , λ 2 , … , λ n + 1 λ 1 , λ 2 , … , λ n + 1 lambda_(1),lambda_(2),dots,lambda_(n+1)\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n+1}λ1,λ2,…,λn+1. Le déterminant de ce système est, en effet, le déterminant de Vandermonde
V ( x 1 , x 2 … , x n + 1 ) = ∏ i < j ( x j − x i ) V x 1 , x 2 … , x n + 1 = ∏ i < j   x j − x i V(x_(1),x_(2)dots,x_(n+1))=prod_(i < j)(x_(j)-x_(i))\mathrm{V}\left(x_{1}, x_{2} \ldots, x_{n+1}\right)=\prod_{i<j}\left(x_{j}-x_{i}\right)V(x1,x2…,xn+1)=∏i<j(xj−xi)
des nombres distincts x i x i x_(i)x_{i}xi.
Remarquons que l'expression (3) vérifie les propriétés a a aaa ), b b bbb ), c c ccc ) puisque
P ( x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; x i ∣ x ) = x i , i = 0 , 1 , … , n − 1 , P x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; x i ∣ x = x i , i = 0 , 1 , … , n − 1 , P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);x^(i)∣x)=x^(i),i=0,1,dots,n-1,\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; x^{i} \mid x\right)=x^{i}, i=0,1, \ldots, n-1,P(x1,x2,…,xn+1;xi∣x)=xi,i=0,1,…,n−1,
c'est donc la valeur de la différence divisée de f sur les points x l x l x_(l)\mathrm{x}_{l}xl.
Désignons par U ( x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ) U x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f U(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f)\mathrm{U}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right)U(x1,x2,…,xn+1;f) le déterminant qu'on obtient de V ( x 1 , x 2 , … , x n + 1 ) V x 1 , x 2 , … , x n + 1 V(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1))V\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right)V(x1,x2,…,xn+1) si on remplace les éléments x i n x i n x_(i)^(n)x_{i}^{n}xin par f ( x i ) f x i f(x_(i))f\left(x_{i}\right)f(xi) respectivement. La différence divisée (3) s'écrit alors
(5) [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ] = U ( x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ) V ( x 1 , x 2 , … , x n + 1 ) (5) x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f = U x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f V x 1 , x 2 , … , x n + 1 {:(5)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=(U(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f))/(V(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1))):}\begin{equation*} \left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=\frac{\mathrm{U}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right)}{\mathrm{V}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right)} \tag{5} \end{equation*}(5)[x1,x2,…,xn+1;f]=U(x1,x2,…,xn+1;f)V(x1,x2,…,xn+1)
sous la forme du quotient de deux déterminants. On voit que la différence divisée (5) est symétrique par rapport aux points x i x i x_(i)\mathrm{x}_{i}xi.
La formule (4) nous donne la formule de récurrence des différences divisées
(6) [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ] = [ x 2 , x 3 , … , x n + 1 ; f ] − [ x 1 , x 2 , … , x n ; f ] x n + 1 − x 1 [ x 1 ; f ] = f ( x 1 ) (6) x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f = x 2 , x 3 , … , x n + 1 ; f − x 1 , x 2 , … , x n ; f x n + 1 − x 1 x 1 ; f = f x 1 {:[(6)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=([x_(2),x_(3),dots,x_(n+1);f]-[x_(1),x_(2),dots,x_(n);f])/(x_(n+1)-x_(1))],[[x_(1);f]=f(x_(1))]:}\begin{gather*} {\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=\frac{\left[x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]-\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f\right]}{x_{n+1}-x_{1}}} \tag{6}\\ {\left[x_{1} ; f\right]=f\left(x_{1}\right)} \end{gather*}(6)[x1,x2,…,xn+1;f]=[x2,x3,…,xn+1;f]−[x1,x2,…,xn;f]xn+1−x1[x1;f]=f(x1)
qui peut aussi servir à les définir et qui justifie leur nom.
Nous pouvons donc écrire
(7) [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; x m ] = { 0 , m = 0 , 1 , … , n − 1 1 , m = n (7) x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; x m = 0 , m = 0 , 1 , … , n − 1 1 , m = n {:(7)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);x^(m)]={[0",",m=0","1","dots","n-1],[1",",m=n]:}:}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; x^{m}\right]= \begin{cases}0, & m=0,1, \ldots, n-1 \tag{7}\\ 1, & m=n\end{cases}(7)[x1,x2,…,xn+1;xm]={0,m=0,1,…,n−11,m=n
Nous avons
(8) [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; C f ] = C [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ] (8) x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; C f = C x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f {:(8)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);Cf]=C[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]:}\begin{equation*} \left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; \mathrm{C} f\right]=\mathrm{C}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right] \tag{8} \end{equation*}(8)[x1,x2,…,xn+1;Cf]=C[x1,x2,…,xn+1;f]
(9) [ x 1 , x 2 … , x n + 1 ; f + g ] = [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ] + [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; g ] x 1 , x 2 … , x n + 1 ; f + g = x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f + x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; g quad[x_(1),x_(2)dots,x_(n+1);f+g]=[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]+[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);g]\quad\left[x_{1}, x_{2} \ldots, x_{n+1} ; f+g\right]=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]+\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; g\right][x1,x2…,xn+1;f+g]=[x1,x2,…,xn+1;f]+[x1,x2,…,xn+1;g]
C étant une constante et f , g f , g f,gf, gf,g deux fonctions définies sur les points x , i = 1 , 2 , … , n + 1 x ,  i = 1 , 2 , … , n + 1 x_(", ")i=1,2,dots,n+1x_{\text {, }} i=1,2, \ldots, n+1x, i=1,2,…,n+1.
Si { f m } f m {f_(m)}\left\{f_{m}\right\}{fm} est une suite convergente de fonctions définies sur les points x i x i x_(i)x_{i}xi, on a évidemment
lim m → ∞ [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f m ] = [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; lim m → ∞ f m ] lim m → ∞   x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f m = x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; lim m → ∞   f m lim_(m rarr oo)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f_(m)]=[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);lim_(m rarr oo)f_(m)]\lim _{m \rightarrow \infty}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f_{m}\right]=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; \lim _{m \rightarrow \infty} f_{m}\right]limm→∞[x1,x2,…,xn+1;fm]=[x1,x2,…,xn+1;limm→∞fm]
donc, si la série ∑ m = 0 ∞ f m ∑ m = 0 ∞   f m sum_(m=0)^(oo)f_(m)\sum_{m=0}^{\infty} f_{m}∑m=0∞fm converge, on a
∑ m = 0 ∞ [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f m ] = [ x 1 , x 2 … , x n + 1 ; ∑ m = 0 ∞ f m ] ∑ m = 0 ∞   x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f m = x 1 , x 2 … , x n + 1 ; ∑ m = 0 ∞   f m sum_(m=0)^(oo)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f_(m)]=[x_(1),x_(2)dots,x_(n+1);sum_(m=0)^(oo)f_(m)]\sum_{m=0}^{\infty}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f_{m}\right]=\left[x_{1}, x_{2} \ldots, x_{n+1} ; \sum_{m=0}^{\infty} f_{m}\right]∑m=0∞[x1,x2,…,xn+1;fm]=[x1,x2…,xn+1;∑m=0∞fm]
De ce qui précède il résulte que la différence divisée d'ordre n n nnn d'un polynome de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 est toujours nulle.
Remarquons encore la formule
f ( x ) − P ( x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ∣ x ) = φ ( x ) [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 , x ; f ] f ( x ) − P x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ∣ x = φ ( x ) x 1 , x 2 , … , x n + 1 , x ; f f(x)-P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x)=varphi(x)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1),x;f]f(x)-\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)=\varphi(x)\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}, x ; f\right]f(x)−P(x1,x2,…,xn+1;f∣x)=φ(x)[x1,x2,…,xn+1,x;f]
qui est une relation simple entre le polynome de Lagrange et la différence divisée.
Application. Calculons les différences divisées (7) pour m m mmm entier > n > n > n>n>n. Sans restreindre la généralité nous pouvons supposer x i ≠ 0 , i = 1 , 2 … x i ≠ 0 , i = 1 , 2 … x_(i)!=0,i=1,2dotsx_{i} \neq 0, i=1,2 \ldotsxi≠0,i=1,2…, n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 et soit | z | < min ( 1 | x 1 | , 1 | x 2 | , … , 1 | x n + 1 | ) , z | z | < min 1 x 1 , 1 x 2 , … , 1 x n + 1 , z |z| < min((1)/(|x_(1)|),(1)/(|x_(2)|),dots,(1)/(|x_(n+1)|)),z|z|<\min \left(\frac{1}{\left|x_{1}\right|}, \frac{1}{\left|x_{2}\right|}, \ldots, \frac{1}{\left|x_{n+1}\right|}\right), z|z|<min(1|x1|,1|x2|,…,1|xn+1|),z étant un paramètre indépendant de x x xxx. Nous avons
z n ( 1 − z x 1 ) ( 1 − z x 2 ) … ( 1 − z x n + 1 ) = ∑ i = 1 n + 1 1 ( 1 − z x i ) ′ o q ′ ( x i ) = = [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; 1 1 − z x ] z n 1 − z x 1 1 − z x 2 … 1 − z x n + 1 = ∑ i = 1 n + 1   1 1 − z x i ′ o q ′ x i = = x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; 1 1 − z x {:[(z^(n))/((1-zx_(1))(1-zx_(2))dots(1-zx_(n+1)))=sum_(i=1)^(n+1)(1)/((1-zx_(i))^(')(o)/(q)^(')(x_(i)))=],[=[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);(1)/(1-zx)]]:}\begin{gathered} \frac{z^{n}}{\left(1-z x_{1}\right)\left(1-z x_{2}\right) \ldots\left(1-z x_{n+1}\right)}=\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{\left(1-z x_{i}\right)^{\prime} \frac{o}{q}^{\prime}\left(x_{i}\right)}= \\ =\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; \frac{1}{1-z x}\right] \end{gathered}zn(1−zx1)(1−zx2)…(1−zxn+1)=∑i=1n+11(1−zxi)′oq′(xi)==[x1,x2,…,xn+1;11−zx]
Mais,
1 1 − z x = z n x n 1 − z x + 1 + z x + z 2 x 2 + … + z n − 1 x n − 1 1 1 − z x = z n x n 1 − z x + 1 + z x + z 2 x 2 + … + z n − 1 x n − 1 (1)/(1-zx)=(z^(n)x^(n))/(1-zx)+1+zx+z^(2)x^(2)+dots+z^(n-1)x^(n-1)\frac{1}{1-z x}=\frac{z^{n} x^{n}}{1-z x}+1+z x+z^{2} x^{2}+\ldots+z^{n-1} x^{n-1}11−zx=znxn1−zx+1+zx+z2x2+…+zn−1xn−1
et en tenant compte de (7), (8), (9),
[ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; 1 1 − z x ] = z n [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; x n 1 − z x ] x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; 1 1 − z x = z n x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; x n 1 − z x [x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);(1)/(1-zx)]=z^(n)[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);(x^(n))/(1-zx)]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; \frac{1}{1-z x}\right]=z^{n}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; \frac{x^{n}}{1-z x}\right][x1,x2,…,xn+1;11−zx]=zn[x1,x2,…,xn+1;xn1−zx]
Si nous posons donc
(10) 1 ( 1 − z x 1 ) ( 1 − z x 2 ) … ( 1 ⋯ z x n + 1 ) = S 0 + S 1 z + S 2 z 2 + … 1 1 − z x 1 1 − z x 2 … 1 ⋯ z x n + 1 = S 0 + S 1 z + S 2 z 2 + … (1)/((1-zx_(1))(1-zx_(2))dots(1cdots zx_(n+1)))=S_(0)+S_(1)z+S_(2)z^(2)+dots\frac{1}{\left(1-z x_{1}\right)\left(1-z x_{2}\right) \ldots\left(1 \cdots z x_{n+1}\right)}=\mathrm{S}_{0}+\mathrm{S}_{1} z+\mathrm{S}_{2} z^{2}+\ldots1(1−zx1)(1−zx2)…(1⋯zxn+1)=S0+S1z+S2z2+… nous avons
S 1 = [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; x i + n ] S 1 = x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; x i + n S_(1)=[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);x^(i+n)]\mathrm{S}_{1}=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; x^{i+n}\right]S1=[x1,x2,…,xn+1;xi+n]
Si nous écrivons que le premier membre de (10) est égal au produit des développements
1 1 − z x i = 1 + z x i + z 2 x i 2 + … + z m x i m + … , i = 1 , 2 , … , n + 1 1 1 − z x i = 1 + z x i + z 2 x i 2 + … + z m x i m + … , i = 1 , 2 , … , n + 1 (1)/(1-zx_(i))=1+zx_(i)+z^(2)x_(i)^(2)+dots+z^(m)x_(i)^(m)+dots,i=1,2,dots,n+1\frac{1}{1-z x_{i}}=1+z x_{i}+z^{2} x_{i}^{2}+\ldots+z^{m} x_{i}^{m}+\ldots, i=1,2, \ldots, n+111−zxi=1+zxi+z2xi2+…+zmxim+…,i=1,2,…,n+1
nous trouvons
S i = [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; x i + n ] = Σ x 1 α 1 x 2 α 2 … x n + 1 α n + 1 S i = x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; x i + n = Σ x 1 α 1 x 2 α 2 … x n + 1 α n + 1 S_(i)=[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);x^(i+n)]=Sigmax_(1)^(alpha_(1))x_(2)^(alpha_(2))dotsx_(n+1)^(alpha_(n+1))\mathrm{S}_{i}=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; x^{i+n}\right]=\Sigma x_{1}^{\alpha_{1}} x_{2}^{\alpha_{2}} \ldots x_{n+1}^{\alpha_{n+1}}Si=[x1,x2,…,xn+1;xi+n]=Σx1α1x2α2…xn+1αn+1
la sommation étant étendue à toutes les solutions entières et positives de l'équation α 1 + α 2 + … + α n + 1 = i α 1 + α 2 + … + α n + 1 = i alpha_(1)+alpha_(2)+dots+alpha_(n+1)=i\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{n+1}=iα1+α2+…+αn+1=i.
3. La formule fondamentale de transformation des différences divisées. Considérons maintenant la fonction f f fff définie sur m m mmm points distincts
(11) x 1 , x 2 , … , x m ( m ≧ n + 1 ) (11) x 1 , x 2 , … , x m ( m ≧ n + 1 ) {:(11)x_(1)","x_(2)","dots","x_(m)quad(m >= n+1):}\begin{equation*} x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m} \quad(m \geqq n+1) \tag{11} \end{equation*}(11)x1,x2,…,xm(m≧n+1)
Pour simplifier les notations nous poserons
(12) Δ j i ( f ) = [ x i , x i + 1 , … , x i + j ; f ] , Δ 0 i ( f ) = f ( x i ) , (13) ξ i , j + 1 ( x ) = ( x − x i ) ( x − x i + 1 ) … ( x − x i + j ) , ξ i , 0 ( x ) = 1 , i = 1 , 2 , … , m − j , j = 0 , 1 , … , m − 1 . (12) Δ j i ( f ) = x i , x i + 1 , … , x i + j ; f , Δ 0 i ( f ) = f x i , (13) ξ i , j + 1 ( x ) = x − x i x − x i + 1 … x − x i + j , ξ i , 0 ( x ) = 1 , i = 1 , 2 , … , m − j , j = 0 , 1 , … , m − 1 . {:[(12)Delta_(j)^(i)(f)=[x_(i),x_(i+1),dots,x_(i+j);f]","Delta_(0)^(i)(f)=f(x_(i))","],[(13)xi_(i,j+1)(x)=(x-x_(i))(x-x_(i+1))dots(x-x_(i+j))","quadxi_(i,0)(x)=1","],[i=1","2","dots","m-j","quad j=0","1","dots","m-1.]:}\begin{align*} \Delta_{j}^{i}(f) & =\left[x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{i+j} ; f\right], \Delta_{0}^{i}(f)=f\left(x_{i}\right), \tag{12}\\ \xi_{i, j+1}(x) & =\left(x-x_{i}\right)\left(x-x_{i+1}\right) \ldots\left(x-x_{i+j}\right), \quad \xi_{i, 0}(x)=1, \tag{13}\\ i & =1,2, \ldots, m-j, \quad j=0,1, \ldots, m-1 . \end{align*}(12)Δji(f)=[xi,xi+1,…,xi+j;f],Δ0i(f)=f(xi),(13)ξi,j+1(x)=(x−xi)(x−xi+1)…(x−xi+j),ξi,0(x)=1,i=1,2,…,m−j,j=0,1,…,m−1.
Ainsi 1 , n + 1 ( x ) 1 , n + 1 ( x ) _(1,n+1)(x){ }_{1, n+1}(x)1,n+1(x) est précisément le polynome (2) déjà considéré. Avec ces notations nous avons
Δ j i ( f ) = ∑ r = i i ⊬ j f ( x r ) φ i , j + 1 ′ ( x r ) Δ j i ( f ) = ∑ r = i i ⊬ j   f x r φ i , j + 1 ′ x r Delta_(j)^(i)(f)=sum_(r=i)^(i⊬j)(f(x_(r)))/(varphi_(i,j+1)^(')(x_(r)))\Delta_{j}^{i}(f)=\sum_{r=i}^{i \nvdash j} \frac{f\left(x_{r}\right)}{\varphi_{i, j+1}^{\prime}\left(x_{r}\right)}Δji(f)=∑r=ii⊬jf(xr)φi,j+1′(xr)
Nous allons maintenant considerer une expression linéaire et homogène de f ( x i ) f x i f(x_(i))f\left(x_{i}\right)f(xi) de la forme
F = ∑ i = 1 m λ i f ( x i ) F = ∑ i = 1 m   λ i f x i F=sum_(i=1)^(m)lambda_(i)f(x_(i))\mathrm{F}=\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} f\left(x_{i}\right)F=∑i=1mλif(xi)
les λ i λ i lambda_(i)\lambda_{i}λi étant indépendants de la fonction f f fff.
On peut toujours mettre une telle expression sous la forme
F = ∑ i = 1 n μ i Δ i − 1 1 ( f ) + ∑ i = 1 m − n v i Δ n i ( f ) F = ∑ i = 1 n   μ i Δ i − 1 1 ( f ) + ∑ i = 1 m − n   v i Δ n i ( f ) F=sum_(i=1)^(n)mu_(i)Delta_(i-1)^(1)(f)+sum_(i=1)^(m-n)v_(i)Delta_(n)^(i)(f)\mathrm{F}=\sum_{i=1}^{n} \mu_{i} \Delta_{i-1}^{1}(f)+\sum_{i=1}^{m-n} v_{i} \Delta_{n}^{i}(f)F=∑i=1nμiΔi−11(f)+∑i=1m−nviΔni(f)
où les μ l μ l mu_(l)\mu_{l}μl et les ν i ν i nu_(i)\nu_{i}νi ne dépendent pas de la fonction t t ttt. Ces coefficients sont complètement déterminés par les coeficients λ r λ r lambda_(r)\lambda_{r}λr. En effet, l'identification nous conduit à un système linéaire de m m mmm équations par rapport aux m m mmm inconnues μ l , ν l μ l , ν l mu_(l),nu_(l)\mu_{l}, \nu_{l}μl,νl. Le déterminant de ce système
1 φ 1 , 2 ′ ( x 2 ) φ 1 , 3 ′ ( x 3 ) … φ 1 , n ′ ( x n ) φ 1 , n + 1 ′ ( x n + 1 ) φ 2 , n + 1 ′ ( x n + 2 ) … φ m − n , n + 1 ′ ( x m ) 1 φ 1 , 2 ′ x 2 φ 1 , 3 ′ x 3 … φ 1 , n ′ x n φ 1 , n + 1 ′ x n + 1 φ 2 , n + 1 ′ x n + 2 … φ m − n , n + 1 ′ x m (1)/(varphi_(1,2)^(')(x_(2))varphi_(1,3)^(')(x_(3))dotsvarphi_(1,n)^(')(x_(n))varphi_(1,n+1)^(')(x_(n+1))varphi_(2,n+1)^(')(x_(n+2))dotsvarphi_(m-n,n+1)^(')(x_(m)))\frac{1}{\varphi_{1,2}^{\prime}\left(x_{2}\right) \varphi_{1,3}^{\prime}\left(x_{3}\right) \ldots \varphi_{1, n}^{\prime}\left(x_{n}\right) \varphi_{1, n+1}^{\prime}\left(x_{n+1}\right) \varphi_{2, n+1}^{\prime}\left(x_{n+2}\right) \ldots \varphi_{m-n, n+1}^{\prime}\left(x_{m}\right)}1φ1,2′(x2)φ1,3′(x3)…φ1,n′(xn)φ1,n+1′(xn+1)φ2,n+1′(xn+2)…φm−n,n+1′(xm) est différent de zéro.
Il reste à voir comment on détermine les coefficients μ i , y i μ i , y i mu_(i),y_(i)\mu_{i}, y_{i}μi,yi. Nous les obtiendrons en choisissant convenablement la fonction f f fff.
Pour avoir les coefficients μ i μ i mu_(i)\mu_{i}μi, prenons pour f f fff le polynome φ 1 , j − 1 = φ 1 , j − 1 ( x ) φ 1 , j − 1 = φ 1 , j − 1 ( x ) varphi_(1,j-1)=varphi_(1,j-1)(x)\varphi_{1, j-1}=\varphi_{1, j-1}(x)φ1,j−1=φ1,j−1(x). Nous avons alors
Δ i − 1 1 ( φ 1 , j − 1 ) = { 0 , i = 1 , 2 , … , j − 1 1 , i = j 0 , i = j + 1 , j + 2 , … , n Δ n t ( ℑ 1 , j − 1 ) = 0 , i = 1 , 2 , … , m − n Δ i − 1 1 φ 1 , j − 1 = 0 , i = 1 , 2 , … , j − 1 1 , i = j 0 , i = j + 1 , j + 2 , … , n Δ n t ℑ 1 , j − 1 = 0 , i = 1 , 2 , … , m − n {:[Delta_(i-1)^(1)(varphi_(1,j-1))={[0",",i=1","2","dots","j-1],[1",",i=j],[0",",i=j+1","j+2","dots","n]:}],[Delta_(n)^(t)(ℑ_(1,j-1))=0","i=1","2","dots","m-n]:}\begin{aligned} \Delta_{i-1}^{1}\left(\varphi_{1, j-1}\right) & = \begin{cases}0, & i=1,2, \ldots, j-1 \\ 1, & i=j \\ 0, & i=j+1, j+2, \ldots, n\end{cases} \\ \Delta_{n}^{t}\left(\Im_{1, j-1}\right) & =0, i=1,2, \ldots, m-n \end{aligned}Δi−11(φ1,j−1)={0,i=1,2,…,j−11,i=j0,i=j+1,j+2,…,nΔnt(ℑ1,j−1)=0,i=1,2,…,m−n
donc
(14) μ j = ∑ i = 1 m λ i f 1 , j − 1 ( x l ) = ∑ i = j m λ i ( x i − x 1 ) ( x i − x 2 ) … ( x i − x j − 1 ) j = 1 , 2 , … , n . (14) μ j = ∑ i = 1 m   λ i f 1 , j − 1 x l = ∑ i = j m   λ i x i − x 1 x i − x 2 … x i − x j − 1 j = 1 , 2 , … , n . {:[(14)mu_(j)=sum_(i=1)^(m)lambda_(i)f_(1,j-1)(x_(l))=sum_(i=j)^(m)lambda_(i)(x_(i)-x_(1))(x_(i)-x_(2))dots(x_(i)-x_(j-1))],[j=1","2","dots","n.]:}\begin{gather*} \mu_{j}=\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} f_{1, j-1}\left(x_{l}\right)=\sum_{i=j}^{m} \lambda_{i}\left(x_{i}-x_{1}\right)\left(x_{i}-x_{2}\right) \ldots\left(x_{i}-x_{j-1}\right) \tag{14}\\ j=1,2, \ldots, n . \end{gather*}(14)μj=∑i=1mλif1,j−1(xl)=∑i=jmλi(xi−x1)(xi−x2)…(xi−xj−1)j=1,2,…,n.
Pour obtenir les coefficients % i % i %_(i)\%_{i}%i, nous prenons pour f f fff les fonctions suivantes
(15) f j ∗ = f j ∗ ( x ) = { 0 , pour x = x 1 , x 2 , … , x j + n − 1 φ j + 1 , n − 1 ( x ) , pour x = x j + n , x j + n + 1 , … , x m j = 1 , 2 , … , m − n (15) f j ∗ = f j ∗ ( x ) = 0 ,  pour  x = x 1 , x 2 , … , x j + n − 1 φ j + 1 , n − 1 ( x ) ,  pour  x = x j + n , x j + n + 1 , … , x m j = 1 , 2 , … , m − n {:(15)f_(j)^(**)=f_(j)^(**)(x)={[0","," pour "x=x_(1)","x_(2)","dots","x_(j+n-1)],[varphi_(j+1,n-1)(x)","," pour "x=x_(j+n)","x_(j+n+1)","dots","x_(m)],[j=1","2","dots",",m-n]:}:}\begin{align*} f_{j}^{*}=f_{j}^{*}(x)= & \begin{cases}0, & \text { pour } x=x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{j+n-1} \\ \varphi_{j+1, n-1}(x), & \text { pour } x=x_{j+n}, x_{j+n+1}, \ldots, x_{m} \\ j=1,2, \ldots, & m-n\end{cases} \tag{15} \end{align*}(15)fj∗=fj∗(x)={0, pour x=x1,x2,…,xj+n−1φj+1,n−1(x), pour x=xj+n,xj+n+1,…,xmj=1,2,…,m−n
Nous avons
Δ i − 1 1 ( f j ∗ ) = 0 , i = 1 , 2 , … , n Δ n i ( f j ∗ ) = { 0 , i = 1 , 2 , … , j − 1 Δ n j ( f j ∗ ) , i = j 0 , i = j + 1 , j + 2 , … , m − n Δ i − 1 1 f j ∗ = 0 , i = 1 , 2 , … , n Δ n i f j ∗ = 0 , i = 1 , 2 , … , j − 1 Δ n j f j ∗ , i = j 0 , i = j + 1 , j + 2 , … , m − n {:[Delta_(i-1)^(1)(f_(j)^(**))=0","i=1","2","dots","n],[Delta_(n)^(i)(f_(j)^(**))={[0",",i=1","2","dots","j-1],[Delta_(n)^(j)(f_(j)^(**))",",i=j],[0",",i=j+1","j+2","dots","m-n]:}]:}\begin{aligned} \Delta_{i-1}^{1}\left(f_{j}^{*}\right) & =0, i=1,2, \ldots, n \\ \Delta_{n}^{i}\left(f_{j}^{*}\right) & = \begin{cases}0, & i=1,2, \ldots, j-1 \\ \Delta_{n}^{j}\left(f_{j}^{*}\right), & i=j \\ 0, & i=j+1, j+2, \ldots, m-n\end{cases} \end{aligned}Δi−11(fj∗)=0,i=1,2,…,nΔni(fj∗)={0,i=1,2,…,j−1Δnj(fj∗),i=j0,i=j+1,j+2,…,m−n
donc
F = y j Δ n j ( f j ∗ ) = f j ∗ ( x j + n ) ( x j + n − x j ) ( x j + n − x j + 1 ) … ( x j + n − x j + n − 1 ) = v j x j + n − x j F = y j Δ n j f j ∗ = f j ∗ x j + n x j + n − x j x j + n − x j + 1 … x j + n − x j + n − 1 = v j x j + n − x j F=y_(j)Delta_(n)^(j)(f_(j)^(**))=(f_(j)^(**)(x_(j+n)))/((x_(j+n)-x_(j))(x_(j+n)-x_(j+1))dots(x_(j+n)-x_(j+n-1)))=(v_(j))/(x_(j+n)-x_(j))\mathrm{F}=y_{j} \Delta_{n}^{j}\left(f_{j}^{*}\right)=\frac{f_{j}^{*}\left(x_{j+n}\right)}{\left(x_{j+n}-x_{j}\right)\left(x_{j+n}-x_{j+1}\right) \ldots\left(x_{j+n}-x_{j+n-1}\right)}=\frac{v_{j}}{x_{j+n}-x_{j}}F=yjΔnj(fj∗)=fj∗(xj+n)(xj+n−xj)(xj+n−xj+1)…(xj+n−xj+n−1)=vjxj+n−xj.
Nous en déduisons
(16) y j = ( x j + n − x j ) ∑ i = 1 m λ i f j ∗ ( x i ) = ( x j + n − x j ) ∑ i = j + n m λ i φ j + 1 , n − 1 ( x i ) = = ( x j + n − x j ) ∑ i = j + n m λ i ( x i − x j + 1 ) ( x i − x j + 2 ) … ( x i − x j + n − 1 ) . (16) y j = x j + n − x j ∑ i = 1 m   λ i f j ∗ x i = x j + n − x j ∑ i = j + n m   λ i φ j + 1 , n − 1 x i = = x j + n − x j ∑ i = j + n m   λ i x i − x j + 1 x i − x j + 2 … x i − x j + n − 1 . {:[(16)y_(j)=(x_(j+n)-x_(j))sum_(i=1)^(m)lambda_(i)f_(j)^(**)(x_(i))=(x_(j+n)-x_(j))sum_(i=j+n)^(m)lambda_(i)varphi_(j+1,n-1)(x_(i))=],[=(x_(j+n)-x_(j))sum_(i=j+n)^(m)lambda_(i)(x_(i)-x_(j+1))(x_(i)-x_(j+2))dots(x_(i)-x_(j+n-1)).]:}\begin{align*} y_{j} & =\left(x_{j+n}-x_{j}\right) \sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} f_{j}^{*}\left(x_{i}\right)=\left(x_{j+n}-x_{j}\right) \sum_{i=j+n}^{m} \lambda_{i} \varphi_{j+1, n-1}\left(x_{i}\right)= \tag{16}\\ & =\left(x_{j+n}-x_{j}\right) \sum_{i=j+n}^{m} \lambda_{i}\left(x_{i}-x_{j+1}\right)\left(x_{i}-x_{j+2}\right) \ldots\left(x_{i}-x_{j+n-1}\right) . \end{align*}(16)yj=(xj+n−xj)∑i=1mλifj∗(xi)=(xj+n−xj)∑i=j+nmλiφj+1,n−1(xi)==(xj+n−xj)∑i=j+nmλi(xi−xj+1)(xi−xj+2)…(xi−xj+n−1).
La formule fondamentale de transformation s'écrit donc finalement sous la forme suivante
(17) ∑ i = 1 m λ i f ( x i ) = ∑ j = 1 n [ ∑ i = j m λ i ρ 1 , j − 1 ( x i ) ] Δ j − 1 1 ( f ) + + ∑ j = 1 m − n [ ( x j + n − x j ) ∑ i = j + n m λ i φ j + 1 , n − 1 ( x l ) ] Δ n j ( f ) (17) ∑ i = 1 m   λ i f x i = ∑ j = 1 n   ∑ i = j m   λ i ρ 1 , j − 1 x i Δ j − 1 1 ( f ) + + ∑ j = 1 m − n   x j + n − x j ∑ i = j + n m   λ i φ j + 1 , n − 1 x l Δ n j ( f ) {:[(17)sum_(i=1)^(m)lambda_(i)f(x_(i))=sum_(j=1)^(n)[sum_(i=j)^(m)lambda_(i)rho_(1,j-1)(x_(i))]Delta_(j-1)^(1)(f)+],[+sum_(j=1)^(m-n)[(x_(j+n)-x_(j))sum_(i=j+n)^(m)lambda_(i)varphi_(j+1,n-1)(x_(l))]Delta_(n)^(j)(f)]:}\begin{align*} & \sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} f\left(x_{i}\right)=\sum_{j=1}^{n}\left[\sum_{i=j}^{m} \lambda_{i} \rho_{1, j-1}\left(x_{i}\right)\right] \Delta_{j-1}^{1}(f)+ \tag{17}\\ & +\sum_{j=1}^{m-n}\left[\left(x_{j+n}-x_{j}\right) \sum_{i=j+n}^{m} \lambda_{i} \varphi_{j+1, n-1}\left(x_{l}\right)\right] \Delta_{n}^{j}(f) \end{align*}(17)∑i=1mλif(xi)=∑j=1n[∑i=jmλiρ1,j−1(xi)]Δj−11(f)++∑j=1m−n[(xj+n−xj)∑i=j+nmλiφj+1,n−1(xl)]Δnj(f)
Pour tout nombre naturel n n nnn nous avons une telle formule. Les coefficients μ i , ν i μ i , ν i mu_(i),nu_(i)\mu_{i}, \nu_{i}μi,νi peuvent aussi être obtenus par des relations de récurrence. Si nous désignons par μ i ( n ) , v i ( n ) μ i ( n ) , v i ( n ) mu_(i)^((n)),v_(i)^((n))\mu_{i}^{(n)}, v_{i}^{(n)}μi(n),vi(n) ces coefficients, pour mettre en évidence le nombre n n nnn, nous avons
μ j ( n ) = μ j ( n − 1 ) , j = 1 , 2 , … , n − 1 μ n ( n ) = v 1 ( n − 1 ) + v 2 ( n − 1 ) + … … + v m − n + 1 ( n − 1 ) v j ( n ) = ( x j + n − x j ) [ v j + 1 ( n − 1 ) + v j + 2 ( n − 1 ) + … + v m − n + 1 ( n − 1 ) ] j = 1 , 2 , … , m − n μ j ( n ) = μ j ( n − 1 ) , j = 1 , 2 , … , n − 1 μ n ( n ) = v 1 ( n − 1 ) + v 2 ( n − 1 ) + … … + v m − n + 1 ( n − 1 ) v j ( n ) = x j + n − x j v j + 1 ( n − 1 ) + v j + 2 ( n − 1 ) + … + v m − n + 1 ( n − 1 ) j = 1 , 2 , … , m − n {:[mu_(j)^((n))=mu_(j)^((n-1))","j=1","2","dots","n-1],[mu_(n)^((n))=v_(1)^((n-1))+v_(2)^((n-1))+dots dots+v_(m-n+1)^((n-1))],[v_(j)^((n))=(x_(j+n)-x_(j))[v_(j+1)^((n-1))+v_(j+2)^((n-1))+dots+v_(m-n+1)^((n-1))]],[j=1","2","dots","m-n]:}\begin{gathered} \mu_{j}^{(n)}=\mu_{j}^{(n-1)}, j=1,2, \ldots, n-1 \\ \mu_{n}^{(n)}=v_{1}^{(n-1)}+v_{2}^{(n-1)}+\ldots \ldots+v_{m-n+1}^{(n-1)} \\ v_{j}^{(n)}=\left(x_{j+n}-x_{j}\right)\left[v_{j+1}^{(n-1)}+v_{j+2}^{(n-1)}+\ldots+v_{m-n+1}^{(n-1)}\right] \\ j=1,2, \ldots, m-n \end{gathered}μj(n)=μj(n−1),j=1,2,…,n−1μn(n)=v1(n−1)+v2(n−1)+……+vm−n+1(n−1)vj(n)=(xj+n−xj)[vj+1(n−1)+vj+2(n−1)+…+vm−n+1(n−1)]j=1,2,…,m−n

4.--Quelques applications de la formule fondamentale.

I. Soient f = f ( x ) , g = g ( x ) f = f ( x ) , g = g ( x ) f=f(x),g=g(x)f=f(x), g=g(x)f=f(x),g=g(x) deux fonctions définies sur les points x i x i x_(i)x_{i}xi. Considérons la différence divisée
F = [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f g ] F = x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f g F=[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);fg]\mathrm{F}=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f g\right]F=[x1,x2,…,xn+1;fg]
du produit f g f g fgf gfg. Dans ce cas nous avons
λ i = g ( x i ) g 1 n + 1 ′ ( x i ) , i = 1 , 2 , … , n + 1 , λ i = 0 , i > n + 1 . λ i = g x i g 1 n + 1 ′ x i , i = 1 , 2 , … , n + 1 , λ i = 0 , i > n + 1 . lambda_(i)=(g(x_(i)))/(g_(1n+1)^(')(x_(i))),i=1,2,dots,n+1,lambda_(i)=0,i > n+1.\lambda_{i}=\frac{g\left(x_{i}\right)}{g_{1 n+1}^{\prime}\left(x_{i}\right)}, i=1,2, \ldots, n+1, \lambda_{i}=0, i>n+1 .λi=g(xi)g1n+1′(xi),i=1,2,…,n+1,λi=0,i>n+1.
Si nous remarquons que ′ 1 , n + 1 = φ 1 , j − 1 ⋅ φ j , n − j + 2 ′ 1 , n + 1 = φ 1 , j − 1 ⋅ φ j , n − j + 2 ^(')_(1,n+1)=varphi_(1,j-1)*varphi_(j,n-j+2){ }^{\prime}{ }_{1, n+1}=\varphi_{1, j-1} \cdot \varphi_{j, n-j+2}′1,n+1=φ1,j−1⋅φj,n−j+2, nous en déduisons
φ 1 , j − 1 ( x i ) = φ 1 , n + 1 ′ ( x i ) φ j , n − j + 2 ′ ( x i ) , pour j ≦ i ≦ n + 1 φ 1 , j − 1 x i = φ 1 , n + 1 ′ x i φ j , n − j + 2 ′ x i , pour  j ≦ i ≦ n + 1 varphi_(1,j-1)(x_(i))=(varphi_(1,n+1)^(')(x_(i)))/(varphi_(j,n-j+2)^(')(x_(i)))", pour "j <= i <= n+1\varphi_{1, j-1}\left(x_{i}\right)=\frac{\varphi_{1, n+1}^{\prime}\left(x_{i}\right)}{\varphi_{j, n-j+2}^{\prime}\left(x_{i}\right)} \text {, pour } j \leqq i \leqq n+1φ1,j−1(xi)=φ1,n+1′(xi)φj,n−j+2′(xi), pour j≦i≦n+1
et la formule (14) nous donne
μ j = ∑ i = j n + 1 g ( x i ) ψ j , n − j + 2 ( x i ) = [ x j , x j + 1 , … , x n + 1 ; g ] , j = 1 , 2 , … , n . μ j = ∑ i = j n + 1   g x i ψ j , n − j + 2 x i = x j , x j + 1 , … , x n + 1 ; g , j = 1 , 2 , … , n . mu_(j)=sum_(i=j)^(n+1)(g(x_(i)))/(psi_(j,n-j+2)(x_(i)))=[x_(j),x_(j+1),dots,x_(n+1);g],j=1,2,dots,n.\mu_{j}=\sum_{i=j}^{n+1} \frac{g\left(x_{i}\right)}{\psi_{j, n-j+2}\left(x_{i}\right)}=\left[x_{j}, x_{j+1}, \ldots, x_{n+1} ; g\right], j=1,2, \ldots, n .μj=∑i=jn+1g(xi)ψj,n−j+2(xi)=[xj,xj+1,…,xn+1;g],j=1,2,…,n.
La formule (16) nous donne
v 1 = g ( x n + 1 ) , v j = 0 , j = 2 , 3 , … v 1 = g x n + 1 , v j = 0 , j = 2 , 3 , … v_(1)=g(x_(n+1)),v_(j)=0,j=2,3,dotsv_{1}=g\left(x_{n+1}\right), v_{j}=0, j=2,3, \ldotsv1=g(xn+1),vj=0,j=2,3,…
Il en résulte que nous avons la formule suivante
(18) [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f g ] = ∑ i = 1 n + 1 [ x 1 , x 2 , … , x i ; f ] ⌊ x i , x i + 1 , … x n + 1 ; g ] x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f g = ∑ i = 1 n + 1   x 1 , x 2 , … , x i ; f x i , x i + 1 , … x n + 1 ; g [x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);fg]=sum_(i=1)^(n+1)[x_(1),x_(2),dots,x_(i);f]|__x_(i),x_(i+1),dotsx_(n+1);g]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f g\right]=\sum_{i=1}^{n+1}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i} ; f\right]\left\lfloor x_{i}, x_{i+1}, \ldots x_{n+1} ; g\right][x1,x2,…,xn+1;fg]=∑i=1n+1[x1,x2,…,xi;f]⌊xi,xi+1,…xn+1;g], qui donne la différence divisée d'un produit. C'est la généralisation de la formule de Leibniz.
II. Le polynome de Lagrange (1) est de Ia forme F. Un calcul simple nous montre que dans ce cas
λ i = S 1 , n + 1 ( x ) ( x − x i ) P 1 , n + 1 ′ ( x i ) , i = 1 , 2 , … , n + 1 , λ i = 0 , i > n + 1 . λ i = S 1 , n + 1 ( x ) x − x i P 1 , n + 1 ′ x i , i = 1 , 2 , … , n + 1 , λ i = 0 , i > n + 1 . lambda_(i)=(S_(1,n+1)(x))/((x-x_(i))P_(1,n+1)^(')(x_(i))),i=1,2,dots,n+1,lambda_(i)=0,i > n+1.\lambda_{i}=\frac{\mathrm{S}_{1, n+1}(x)}{\left(x-x_{i}\right) \mathrm{P}_{1, n+1}^{\prime}\left(x_{i}\right)}, i=1,2, \ldots, n+1, \lambda_{i}=0, i>n+1 .λi=S1,n+1(x)(x−xi)P1,n+1′(xi),i=1,2,…,n+1,λi=0,i>n+1.
La formule (14) nous donne
μ j = P ( x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; φ 1 , j − 1 ∣ x ) = φ 1 , j − 1 ( x ) , j = 1 , 2 , … , n μ j = P x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; φ 1 , j − 1 ∣ x = φ 1 , j − 1 ( x ) , j = 1 , 2 , … , n mu_(j)=P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);varphi_(1,j-1)∣x)=varphi_(1,j-1)(x),j=1,2,dots,n\mu_{j}=\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; \varphi_{1, j-1} \mid x\right)=\varphi_{1, j-1}(x), \mathrm{j}=1,2, \ldots, nμj=P(x1,x2,…,xn+1;φ1,j−1∣x)=φ1,j−1(x),j=1,2,…,n
et
y 1 = ( x n + 1 − x 1 ) P ( x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f 1 ∗ ∣ x ) = = ( x n + 1 − x 1 ) ∗ 1 , n ( x ) f 1 ∗ ( x n + 1 ) ξ 1 , n + 1 ′ ( x n + 1 ) = ξ 1 , n ( x ) , y i = 0 , i > 1 y 1 = x n + 1 − x 1 P x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f 1 ∗ ∣ x = = x n + 1 − x 1 ∗ 1 , n ( x ) f 1 ∗ x n + 1 ξ 1 , n + 1 ′ x n + 1 = ξ 1 , n ( x ) , y i = 0 , i > 1 {:[y_(1)=(x_(n+1)-x_(1))P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f_(1)^(**)∣x)=],[=(x_(n+1)-x_(1))_(**_(1,n))(x)(f_(1)^(**)(x_(n+1)))/(xi_(1,n+1)^(')(x_(n+1)))=xi_(1,n)(x)","y_(i)=0","i > 1]:}\begin{gathered} y_{1}=\left(x_{n+1}-x_{1}\right) \mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f_{1}^{*} \mid x\right)= \\ =\left(x_{n+1}-x_{1}\right){ }_{*_{1, n}}(x) \frac{f_{1}^{*}\left(x_{n+1}\right)}{\xi_{1, n+1}^{\prime}\left(x_{n+1}\right)}=\xi_{1, n}(x), y_{i}=0, i>1 \end{gathered}y1=(xn+1−x1)P(x1,x2,…,xn+1;f1∗∣x)==(xn+1−x1)∗1,n(x)f1∗(xn+1)ξ1,n+1′(xn+1)=ξ1,n(x),yi=0,i>1
et nous obtenons la formule d'interpolation bien connue
P ( x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ∣ x ) = f ( x 1 ) + ( x − x 1 ) [ x 1 , x 2 ; f ] + + ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) [ x 1 , x 2 , x 3 ; f ] + … + ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) … ( x − x n ) [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ] P x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ∣ x = f x 1 + x − x 1 x 1 , x 2 ; f + + x − x 1 x − x 2 x 1 , x 2 , x 3 ; f + … + x − x 1 x − x 2 … x − x n x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f {:[P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x)=f(x_(1))+(x-x_(1))[x_(1),x_(2);f]+],[+(x-x_(1))(x-x_(2))[x_(1),x_(2),x_(3);f]+dots],[+(x-x_(1))(x-x_(2))dots(x-x_(n))[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]]:}\begin{gathered} \mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)=f\left(x_{1}\right)+\left(x-x_{1}\right)\left[x_{1}, x_{2} ; f\right]+ \\ +\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left[x_{1}, x_{2}, x_{3} ; f\right]+\ldots \\ +\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots\left(x-x_{n}\right)\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right] \end{gathered}P(x1,x2,…,xn+1;f∣x)=f(x1)+(x−x1)[x1,x2;f]++(x−x1)(x−x2)[x1,x2,x3;f]+…+(x−x1)(x−x2)…(x−xn)[x1,x2,…,xn+1;f]
III. Prenons
F = [ x n + 1 , x n + 2 , … , x 2 n ; f ] − [ x 1 , x 2 , … , x n ; f ] . F = x n + 1 , x n + 2 , … , x 2 n ; f − x 1 , x 2 , … , x n ; f . F=[x_(n+1),x_(n+2),dots,x_(2n);f]-[x_(1),x_(2),dots,x_(n);f].\mathrm{F}=\left[x_{n+1}, x_{n+2}, \ldots, x_{2 n} ; f\right]-\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f\right] .F=[xn+1,xn+2,…,x2n;f]−[x1,x2,…,xn;f].
On vérifie facilement que μ j = 0 , j = 1 , 2 , … , n μ j = 0 , j = 1 , 2 , … , n mu_(j)=0,j=1,2,dots,n\mu_{j}=0, j=1,2, \ldots, nμj=0,j=1,2,…,n. Nous trouvons
y j = ( x j + n − x j ) { [ x n + 1 , x n + 2 , … , x 2 n ; f j ∗ ] − [ x 1 , x 2 , . , x n ; f j ∗ ] } = = ( x j + n − x n ) [ x n + 1 , x n + 2 , … , x 2 n ; P j + 1 , n − 1 ] = ( x j + n − x j ) y j = x j + n − x j x n + 1 , x n + 2 , … , x 2 n ; f j ∗ − x 1 , x 2 , . , x n ; f j ∗ = = x j + n − x n x n + 1 , x n + 2 , … , x 2 n ; P j + 1 , n − 1 = x j + n − x j {:[y_(j)=(x_(j+n)-x_(j)){[x_(n+1),x_(n+2),dots,x_(2n);f_(j)^(**)]-[x_(1),x_(2),.,x_(n);f_(j)^(**)]}=],[=(x_(j+n)-x_(n))[x_(n+1),x_(n+2),dots,x_(2n);P_(j+1,n-1)]=(x_(j+n)-x_(j))]:}\begin{aligned} y_{j}= & \left(x_{j+n}-x_{j}\right)\left\{\left[x_{n+1}, x_{n+2}, \ldots, x_{2 n} ; f_{j}^{*}\right]-\left[x_{1}, x_{2}, ., x_{n} ; f_{j}^{*}\right]\right\}= \\ = & \left(x_{j+n}-x_{n}\right)\left[x_{n+1}, x_{n+2}, \ldots, x_{2 n} ; \mathscr{P}_{j+1, n-1}\right]=\left(x_{j+n}-x_{j}\right) \end{aligned}yj=(xj+n−xj){[xn+1,xn+2,…,x2n;fj∗]−[x1,x2,.,xn;fj∗]}==(xj+n−xn)[xn+1,xn+2,…,x2n;Pj+1,n−1]=(xj+n−xj)
et nous avons, avec les notations (12), la formule suivante
(19) Δ n − 1 n + 1 ( t ) − Δ n − 1 1 ( f ) = ∑ j = 1 n ( x j + n − x j ) Δ n j ( f ) (19) Δ n − 1 n + 1 ( t ) − Δ n − 1 1 ( f ) = ∑ j = 1 n   x j + n − x j Δ n j ( f ) {:(19)Delta_(n-1)^(n+1)(t)-Delta_(n-1)^(1)(f)=sum_(j=1)^(n)(x_(j+n)-x_(j))Delta_(n)^(j)(f):}\begin{equation*} \Delta_{n-1}^{n+1}(t)-\Delta_{n-1}^{1}(f)=\sum_{j=1}^{n}\left(x_{j+n}-x_{j}\right) \Delta_{n}^{j}(f) \tag{19} \end{equation*}(19)Δn−1n+1(t)−Δn−11(f)=∑j=1n(xj+n−xj)Δnj(f)
qui peut, d'ailleurs, être établie aussi simplement à l'aide de la formule de récurrence (6)
IV. Soit
x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ( 1 ≦ i 1 < i 2 < … < i n + 1 ≦ m ) x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 1 ≦ i 1 < i 2 < … < i n + 1 ≦ m x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1))quad(1 <= i_(1) < i_(2) < dots < i_(n+1) <= m)x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} \quad\left(1 \leqq i_{1}<i_{2}<\ldots<i_{n+1} \leqq m\right)xi1,xi2,…,xin+1(1≦i1<i2<…<in+1≦m)
une suite partielle extraite de la suite (11). Prenons
F = [ x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; f ] F = x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; f F=[x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f]\mathrm{F}=\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f\right]F=[xi1,xi2,…,xin+1;f]
La formule fordamentale (17) nous donne alors
(20) [ x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; f ] = ∑ j = 4 m − n ( x j + n − x j ) [ x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; f j ∗ ] Δ n j ( f ) x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; f = ∑ j = 4 m − n   x j + n − x j x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; f j ∗ Δ n j ( f ) [x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f]=sum_(j=4)^(m-n)(x_(j+n)-x_(j))[x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f_(j)^(**)]Delta_(n)^(j)(f)\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f\right]=\sum_{j=4}^{m-n}\left(x_{j+n}-x_{j}\right)\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f_{j}^{*}\right] \Delta_{n}^{j}(f)[xi1,xi2,…,xin+1;f]=∑j=4m−n(xj+n−xj)[xi1,xi2,…,xin+1;fj∗]Δnj(f).
Remarques. 1 0 1 0 1^(0)1^{0}10. Lorsque F s'annule identiquement pour un polynome quelconque de degré r − 1 r − 1 r-1r-1r−1 nous avons μ j = 0 , j = 1 , 2 , … , r μ j = 0 , j = 1 , 2 , … , r mu_(j)=0,j=1,2,dots,r\mu_{j}=0, j=1,2, \ldots, rμj=0,j=1,2,…,r.
2 0 2 0 2^(0)2^{0}20. La formule (19) est valable même si les x i x i x_(i)x_{i}xi ne sont pas tous disdincts. Il suffit que chacune des suites
x 1 , x 2 , … , x n ; x n + 1 , x n + 2 , … , x 2 n , x j , x j + 1 , … , x j + n , j = 1 , 2 , … , n , x 1 , x 2 , … , x n ; x n + 1 , x n + 2 , … , x 2 n , x j , x j + 1 , … , x j + n , j = 1 , 2 , … , n , {:[x_(1)","x_(2)","dots","x_(n);quadx_(n+1)","x_(n+2)","dots","x_(2n)","],[x_(j)","x_(j+1)","dots","x_(j+n)","quad j=1","2","dots","n","]:}\begin{aligned} & x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; \quad x_{n+1}, x_{n+2}, \ldots, x_{2 n}, \\ & x_{j}, x_{j+1}, \ldots, x_{j+n}, \quad j=1,2, \ldots, n, \end{aligned}x1,x2,…,xn;xn+1,xn+2,…,x2n,xj,xj+1,…,xj+n,j=1,2,…,n,
soit formée par des points distincts. Nous en déduisons que si
α 1 , α 2 , … , α j , β 1 , β 2 , … , β j , α j + 1 = β j + 1 , α j + 2 = β j + 2 , … , α n = β n α 1 , α 2 , … , α j , β 1 , β 2 , … , β j , α j + 1 = β j + 1 , α j + 2 = β j + 2 , … , α n = β n alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(j),beta_(1),beta_(2),dots,beta_(j),alpha_(j+1)=beta_(j+1),alpha_(j+2)=beta_(j+2),dots,alpha_(n)=beta_(n)\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{j}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{j}, \alpha_{j+1}=\beta_{j+1}, \alpha_{j+2}=\beta_{j+2}, \ldots, \alpha_{n}=\beta_{n}α1,α2,…,αj,β1,β2,…,βj,αj+1=βj+1,αj+2=βj+2,…,αn=βn
sont des points distincts, nous avons la formule suivante
[ α 1 , α 2 , … , α n ; f ] − [ β 1 , β 2 , … , β n ; f ] = = ∑ i = 1 j ( α i − β i ) [ α 1 , α 2 , … , α i , β i , β i + 1 , … , β n ; f ] α 1 , α 2 , … , α n ; f − β 1 , β 2 , … , β n ; f = = ∑ i = 1 j   α i − β i α 1 , α 2 , … , α i , β i , β i + 1 , … , β n ; f {:[[alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(n);f]-[beta_(1),beta_(2),dots,beta_(n);f]=],[quad=sum_(i=1)^(j)(alpha_(i)-beta_(i))[alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(i),beta_(i),beta_(i+1),dots,beta_(n);f]]:}\begin{aligned} & {\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n} ; f\right]-\left[\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n} ; f\right]=} \\ & \quad=\sum_{i=1}^{j}\left(\alpha_{i}-\beta_{i}\right)\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{i}, \beta_{i}, \beta_{i+1}, \ldots, \beta_{n} ; f\right] \end{aligned}[α1,α2,…,αn;f]−[β1,β2,…,βn;f]==∑i=1j(αi−βi)[α1,α2,…,αi,βi,βi+1,…,βn;f]
  1. La formule de la moyenne des différences divisées. Nous supposerons maintenant que les points (11) soient ordonnés, donc que
x 1 < x 2 < … < x m . x 1 < x 2 < … < x m . x_(1) < x_(2) < dots < x_(m).x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m} .x1<x2<…<xm.
Le déterminant V ( x 1 , x 2 , … , x n + 1 ) V x 1 , x 2 , … , x n + 1 V(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1))\mathrm{V}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right)V(x1,x2,…,xn+1) a alors une valeur positive et si nous posons
sg α = { − 1 , α < 0 , 0 , α = 0 , 1 , α > 0 , sg α = − 1 , α < 0 , 0 , α = 0 , 1 , α > 0 , sg alpha={[-1","quad alpha < 0","],[0","quad alpha=0","],[1","quad alpha > 0","]:}\operatorname{sg} \alpha=\left\{\begin{array}{r} -1, \quad \alpha<0, \\ 0, \quad \alpha=0, \\ 1, \quad \alpha>0, \end{array}\right.sgα={−1,α<0,0,α=0,1,α>0,
nous avons
s g [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f ] = sgU ( x 1 , x 2 , … x n + 1 ; f ) s g x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; f = sgU x 1 , x 2 , … x n + 1 ; f sg[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=sgU(x_(1),x_(2),dotsx_(n+1);f)s g\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=\operatorname{sgU}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n+1} ; f\right)sg[x1,x2,…,xn+1;f]=sgU(x1,x2,…xn+1;f)
Reprenons alors la formule (20). La suite x l 1 , x i 2 , … , x i n + 1 x l 1 , x i 2 , … , x i n + 1 x_(l_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1))x_{l_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}}xl1,xi2,…,xin+1 est aussi ordonnée et nous avons i n + 1 − i 1 = p ≧ n i n + 1 − i 1 = p ≧ n i_(n+1)-i_(1)=p >= ni_{n+1}-i_{1}=p \geqq nin+1−i1=p≧n. Nous allons démontrer qu'alors tous les coefficients de Δ n j ( f ) Δ n j ( f ) Delta_(n)^(j)(f)\Delta_{n}^{j}(f)Δnj(f) sont ≥ 0 ≥ 0 >= 0\geq 0≥0. La démonstration peut se faire par induction sur le nombre p p ppp. La propriété est évidente pour p = n p = n p=np=np=n, car dans ce cas [ x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; f ] = Δ n i 1 ( f ) x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; f = Δ n i 1 ( f ) [x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f]=Delta_(n)^(i_(1))(f)\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f\right]=\Delta_{n}^{i_{1}}(f)[xi1,xi2,…,xin+1;f]=Δni1(f).
Pour p = n + 1 p = n + 1 p=n+1p=n+1p=n+1, prenons
i 1 = i , i 2 = i + 1 , … , i j = i + j − 1 i j + 1 = i + j + 1 , i j + 2 = i + j + 2 , … , i n + 1 = i + n + 1 i 1 = i , i 2 = i + 1 , … , i j = i + j − 1 i j + 1 = i + j + 1 , i j + 2 = i + j + 2 , … , i n + 1 = i + n + 1 {:[i_(1)=i","i_(2)=i+1","dots","i_(j)=i+j-1],[i_(j+1)=i+j+1","i_(j+2)=i+j+2","dots","i_(n+1)=i+n+1]:}\begin{gathered} i_{1}=i, i_{2}=i+1, \ldots, i_{j}=i+j-1 \\ i_{j+1}=i+j+1, i_{j+2}=i+j+2, \ldots, i_{n+1}=i+n+1 \end{gathered}i1=i,i2=i+1,…,ij=i+j−1ij+1=i+j+1,ij+2=i+j+2,…,in+1=i+n+1
et un calcul simple nous donne alors
(21)
[ x i , x i + 1 , … , x i + j − 1 , x i + j + 1 , … , x i + n + 1 ; f ] = = ( x i + j − x i ) Δ n i ( f ) + ( x i + n + 1 − x i + j ) Δ n i + 1 ( f ) x i + n + 1 − x i x i , x i + 1 , … , x i + j − 1 , x i + j + 1 , … , x i + n + 1 ; f = = x i + j − x i Δ n i ( f ) + x i + n + 1 − x i + j Δ n i + 1 ( f ) x i + n + 1 − x i {:[[x_(i),x_(i+1),dots,x_(i+j-1),x_(i+j+1),dots,x_(i+n+1);f]=],[=((x_(i+j)-x_(i))Delta_(n)^(i)(f)+(x_(i+n+1)-x_(i+j))Delta_(n)^(i+1)(f))/(x_(i+n+1)-x_(i))]:}\begin{gathered} {\left[x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{i+j-1}, x_{i+j+1}, \ldots, x_{i+n+1} ; f\right]=} \\ =\frac{\left(x_{i+j}-x_{i}\right) \Delta_{n}^{i}(f)+\left(x_{i+n+1}-x_{i+j}\right) \Delta_{n}^{i+1}(f)}{x_{i+n+1}-x_{i}} \end{gathered}[xi,xi+1,…,xi+j−1,xi+j+1,…,xi+n+1;f]==(xi+j−xi)Δni(f)+(xi+n+1−xi+j)Δni+1(f)xi+n+1−xi
En général, pour p = n + 1 , i j + 1 − i j = 2 p = n + 1 , i j + 1 − i j = 2 p=n+1,i_(j+1)-i_(j)=2p=n+1, i_{j+1}-i_{j}=2p=n+1,ij+1−ij=2 nous pouvons écrire
[ x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; f ] = ( x i j + 1 − x i 1 ) Δ n i 1 ( f ) + ( x i n + 1 − x i j + 1 ) Δ n i 1 + 1 ( f ) x i n + 1 − x i 1 x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; f = x i j + 1 − x i 1 Δ n i 1 ( f ) + x i n + 1 − x i j + 1 Δ n i 1 + 1 ( f ) x i n + 1 − x i 1 [x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f]=((x_(i_(j)+1)-x_(i_(1)))Delta_(n)^(i_(1))(f)+(x_(i_(n)+1)-x_(i_(j)+1))Delta_(n)^(i_(1)+1)(f))/(x_(i_(n+1))-x_(i_(1)))\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f\right]=\frac{\left(x_{i_{j}+1}-x_{i_{1}}\right) \Delta_{n}^{i_{1}}(f)+\left(x_{i_{n}+1}-x_{i_{j}+1}\right) \Delta_{n}^{i_{1}+1}(f)}{x_{i_{n+1}}-x_{i_{1}}}[xi1,xi2,…,xin+1;f]=(xij+1−xi1)Δni1(f)+(xin+1−xij+1)Δni1+1(f)xin+1−xi1
Supposons maintenant que la propriété soit vraie pour p = n p = n p=np=np=n, n + 1 , … , n + r n + 1 , … , n + r n+1,dots,n+rn+1, \ldots, n+rn+1,…,n+r et démontrons qu'elle sera vraie aussi pour p = n + r + 1 p = n + r + 1 p=n+r+1p=n+r+1p=n+r+1.
Si i n + 1 − i 1 = n + r + 1 i n + 1 − i 1 = n + r + 1 i_(n+1)-i_(1)=n+r+1i_{n+1}-i_{1}=n+r+1in+1−i1=n+r+1, la formule (21) nous donne
[ x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; f ] = = 1 x i n + 1 − x i 1 { ( x i j + 1 − x i 1 ) [ x i 1 , x i 2 , … , x i j , x i j + 1 , x i j + 1 , … , x i n ; f ] + + ( x i n + 1 − x i j + 1 ) [ x i 2 , x i 3 , … , x i j , x i j + 1 , x i j + 1 , … , x i n + 1 ; f ] x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; f = = 1 x i n + 1 − x i 1 x i j + 1 − x i 1 x i 1 , x i 2 , … , x i j , x i j + 1 , x i j + 1 , … , x i n ; f + + x i n + 1 − x i j + 1 x i 2 , x i 3 , … , x i j , x i j + 1 , x i j + 1 , … , x i n + 1 ; f {:[[x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f]=],[=(1)/(x_(i_(n+1))-x_(i_(1))){(x_(i_(j+1))-x_(i_(1)))[x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(j)),x_(i_(j+1)),x_(i_(j+1)),dots,x_(i_(n));f]+:}],[+(x_(i_(n+1))-x_(i_(j+1)))[x_(i_(2)),x_(i_(3)),dots,x_(i_(j)),x_(i_(j+1)),x_(i_(j+1)),dots,x_(i_(n+1));f]]:}\begin{gathered} {\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f\right]=} \\ =\frac{1}{x_{i_{n+1}}-x_{i_{1}}}\left\{\left(x_{i_{j+1}}-x_{i_{1}}\right)\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{j}}, x_{i_{j+1}}, x_{i_{j+1}}, \ldots, x_{i_{n}} ; f\right]+\right. \\ +\left(x_{i_{n+1}}-x_{i_{j+1}}\right)\left[x_{i_{2}}, x_{i_{3}}, \ldots, x_{i_{j}}, x_{i_{j+1}}, x_{i_{j+1}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f\right] \end{gathered}[xi1,xi2,…,xin+1;f]==1xin+1−xi1{(xij+1−xi1)[xi1,xi2,…,xij,xij+1,xij+1,…,xin;f]++(xin+1−xij+1)[xi2,xi3,…,xij,xij+1,xij+1,…,xin+1;f]
où j j jjj est un indice tel que i j + 1 < i j + 1 i j + 1 < i j + 1 i_(j)+1 < i_(j+1)i_{j}+1<i_{j+1}ij+1<ij+1. La propriété résulte immédiatement.
En prenant f = x n f = x n f=x^(n)f=x^{n}f=xn dans (20), on voit que la somme des coefficients dans le second membre est égale à 1 . Nous avons donc la propriété suivante.
Si la suite (11) est ordonnée, toute différence divisée [ x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; f ] x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; f [x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f]\left[\mathrm{x}_{i_{1}}, \mathrm{x}_{i_{2}}, \ldots, \mathrm{x}_{i_{n+1}} ; \mathrm{f}\right][xi1,xi2,…,xin+1;f] sur n + 1 n + 1 n+1\mathrm{n}+1n+1 de ces points est une moyenne arithmétique (généralisée) des différences devisées Δ n 1 ( f ) , Δ n 2 ( f ) , … , Δ n m − n ( f ) Δ n 1 ( f ) , Δ n 2 ( f ) , … , Δ n m − n ( f ) Delta_(n)^(1)(f),Delta_(n)^(2)(f),dots,Delta_(n)^(m-n)(f)\Delta_{n}^{1}(\mathrm{f}), \Delta_{n}^{2}(\mathrm{f}), \ldots, \Delta_{n}^{m-n}(\mathrm{f})Δn1(f),Δn2(f),…,Δnm−n(f). Nous avons donc
[ x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; f ] = ∑ j = 1 m − n A j Δ n j ( f ) A j ≧ 0 , j = 1 , 2 , . . , m − n , ∑ j = 1 m − n A j = 1 x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; f = ∑ j = 1 m − n   A j Δ n j ( f ) A j ≧ 0 , j = 1 , 2 , . . , m − n , ∑ j = 1 m − n   A j = 1 {:[{:[x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f]=sum_(j=1)^(m-n)A_(j)Delta_(n)^(j)(f):}],[A_(j) >= 0","j=1","2","..","m-n","sum_(j=1)^(m-n)A_(j)=1]:}\begin{aligned} & {\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f\right]=\sum_{j=1}^{m-n} \mathrm{~A}_{j} \Delta_{n}^{j}(f)} \\ & \mathrm{A}_{j} \geqq 0, j=1,2, . ., m-n, \sum_{j=1}^{m-n} \mathrm{~A}_{j}=1 \end{aligned}[xi1,xi2,…,xin+1;f]=∑j=1m−n AjΔnj(f)Aj≧0,j=1,2,..,m−n,∑j=1m−n Aj=1
les A j A j A_(j)\mathrm{A}_{j}Aj étant indépendants de la fonction f .
Les coefficients A j A j A_(j)\mathrm{A}_{j}Aj sont donnés par la formule (20). La démonstration précédente nous montre, d'ailleurs, que
A j = 0 , j = 1 , 2 , … , i 1 − 1 , i n + 1 − n + 1 , i n + 1 − n + 2 , … , m − n , A j = 0 , j = 1 , 2 , … , i 1 − 1 , i n + 1 − n + 1 , i n + 1 − n + 2 , … , m − n , A_(j)=0,j=1,2,dots,i_(1)-1,i_(n+1)-n+1,i_(n+1)-n+2,dots,m-n,\mathrm{A}_{j}=0, j=1,2, \ldots, i_{1}-1, i_{n+1}-n+1, i_{n+1}-n+2, \ldots, m-n,Aj=0,j=1,2,…,i1−1,in+1−n+1,in+1−n+2,…,m−n,
ce qu'on peut voir aussi sur la formule (20), en tenant compte de la définition (15) des fonctinns t j ∗ t j ∗ t_(j)^(**)t_{j}^{*}tj∗. Les coefficients A i 1 , A i n + 1 − n A i 1 , A i n + 1 − n A_(i_(1)),A_(i_(n+1)-n)\mathrm{A}_{i_{1}}, \mathrm{~A}_{i_{n+1}-n}Ai1, Ain+1−n sont surement positifs. On peut facilement calculer leurs valeurs. La fonction f i ∗ f i ∗ f_(i)^(**)f_{i}^{*}fi∗ peut être considérée, sur les points x i 1 , x i 2 … , x i n + 1 x i 1 , x i 2 … , x i n + 1 x_(i_(1)),x_(i_(2))dots,x_(i_(n+1))x_{i_{1}}, x_{i_{2}} \ldots, x_{i_{n+1}}xi1,xi2…,xin+1, comme la somme du polynome f 1 + 1 , n − 1 f 1 + 1 , n − 1 _(f_(1)+1,n-1){ }_{f_{1}+1, n-1}f1+1,n−1 de degré n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 et d'une fonction g = g ( x ) g = g ( x ) g=g(x)g=g(x)g=g(x) égale à φ i 1 + 1 , n − 1 ( x i 1 ) φ i 1 + 1 , n − 1 x i 1 varphi_(i_(1)+1,n-1)(x_(i_(1)))\varphi_{i_{1}+1, n-1}\left(x_{i_{1}}\right)φi1+1,n−1(xi1) pour x = x i 1 x = x i 1 x=x_(i_(1))x=x_{i_{1}}x=xi1 et nulle en dehors de ce point. Nous avons alors
A i 1 = ( x i 1 + n − x i 1 ) [ x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; f i ∗ ] = ( x i 1 + n − x i 1 ) [ x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; g ] = = ( − 1 ) n + 1 ( x i 1 + n − x i 1 ) V ( x i 2 , x i 3 , … , x i n + 1 ) q i 1 + 1 , n − 1 ( x i 1 ) V ( x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ) = = ( x i 1 + 1 − x i 1 ) ( x i 1 + 2 − x i 1 ) … ( x i 1 + n − x i 1 ) ( x i 2 − x i 1 ) ( x i 3 − x i 1 ) … ( x i n + 1 − x i 1 ) A i 1 = x i 1 + n − x i 1 x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; f i ∗ = x i 1 + n − x i 1 x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 ; g = = ( − 1 ) n + 1 x i 1 + n − x i 1 V x i 2 , x i 3 , … , x i n + 1 q i 1 + 1 , n − 1 x i 1 V x i 1 , x i 2 , … , x i n + 1 = = x i 1 + 1 − x i 1 x i 1 + 2 − x i 1 … x i 1 + n − x i 1 x i 2 − x i 1 x i 3 − x i 1 … x i n + 1 − x i 1 {:[A_(i_(1))=(x_(i_(1)+n)-x_(i_(1)))[x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));f_(i)^(**)]=(x_(i_(1)+n)-x_(i_(1)))[x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1));g]=],[=((-1)^(n+1)(x_(i_(1)+n)-x_(i_(1)))V(x_(i_(2)),x_(i_(3)),dots,x_(i_(n+1)))q_(i_(1)+1,n-1)(x_(i_(1))))/(V(x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+1))))=],[=((x_(i_(1)+1)-x_(i_(1)))(x_(i_(1)+2)-x_(i_(1)))dots(x_(i_(1)+n)-x_(i_(1))))/((x_(i_(2))-x_(i_(1)))(x_(i_(3))-x_(i_(1)))dots(x_(i_(n+1))-x_(i_(1))))]:}\begin{gathered} \mathrm{A}_{i_{1}}=\left(x_{i_{1}+n}-x_{i_{1}}\right)\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; f_{i}^{*}\right]=\left(x_{i_{1}+n}-x_{i_{1}}\right)\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}} ; \mathrm{g}\right]= \\ =\frac{(-1)^{n+1}\left(x_{i_{1}+n}-x_{i_{1}}\right) \mathrm{V}\left(x_{i_{2}}, x_{i_{3}}, \ldots, x_{i_{n+1}}\right) q_{i_{1}+1, n-1}\left(x_{i_{1}}\right)}{\mathrm{V}\left(x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+1}}\right)}= \\ =\frac{\left(x_{i_{1}+1}-x_{i_{1}}\right)\left(x_{i_{1}+2}-x_{i_{1}}\right) \ldots\left(x_{i_{1}+n}-x_{i_{1}}\right)}{\left(x_{i_{2}}-x_{i_{1}}\right)\left(x_{i_{3}}-x_{i_{1}}\right) \ldots\left(x_{i_{n+1}}-x_{i_{1}}\right)} \end{gathered}Ai1=(xi1+n−xi1)[xi1,xi2,…,xin+1;fi∗]=(xi1+n−xi1)[xi1,xi2,…,xin+1;g]==(−1)n+1(xi1+n−xi1)V(xi2,xi3,…,xin+1)qi1+1,n−1(xi1)V(xi1,xi2,…,xin+1)==(xi1+1−xi1)(xi1+2−xi1)…(xi1+n−xi1)(xi2−xi1)(xi3−xi1)…(xin+1−xi1)
Nous trouvons de la même manière
A i n + 1 − n = ( x i n + 1 − x i n + 1 − 1 ) ( x i n + 1 − x i n + 1 − 2 ) … ( x i n + 1 − x i n + 1 − n ) ( x i n + 1 − x i 1 ) ( x i n + 1 − x i 2 ) … ( x i n + 1 − x i n ) A i n + 1 − n = x i n + 1 − x i n + 1 − 1 x i n + 1 − x i n + 1 − 2 … x i n + 1 − x i n + 1 − n x i n + 1 − x i 1 x i n + 1 − x i 2 … x i n + 1 − x i n A_(i_(n+1)-n)=((x_(i_(n+1))-x_(i_(n+1)-1))(x_(i_(n+1))-x_(i_(n+1)-2))dots(x_(i_(n+1))-x_(i_(n+1)-n)))/((x_(i_(n+1))-x_(i_(1)))(x_(i_(n+1))-x_(i_(2)))dots(x_(i_(n+1))-x_(i_(n))))\mathrm{A}_{i_{n+1}-n}=\frac{\left(x_{i_{n+1}}-x_{i_{n+1}-1}\right)\left(x_{i_{n+1}}-x_{i_{n+1}-2}\right) \ldots\left(x_{i_{n+1}}-x_{i_{n+1}-n}\right)}{\left(x_{i_{n+1}}-x_{i_{1}}\right)\left(x_{i_{n+1}}-x_{i_{2}}\right) \ldots\left(x_{i_{n+1}}-x_{i_{n}}\right)}Ain+1−n=(xin+1−xin+1−1)(xin+1−xin+1−2)…(xin+1−xin+1−n)(xin+1−xi1)(xin+1−xi2)…(xin+1−xin)
Remarque. La démonstration précédente nous montre que les fonctions f j ∗ f j ∗ f_(j)^(**)f_{j}^{*}fj∗ sont non-concaves d'ordre n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 sur les points (11). Cette propriété peut aussi être établie directement.
6. La différence divisée d'une fonction de fonction. Nous avons établi la formule (18) donnant la différence divisée d'un produit de deux fonctions. Considérons maintenant une fonction de fonction G ( f ) G ( f ) G(f)\mathrm{G}(f)G(f) et proposons nous de trouver une expression pour la différence divisée
F = [ x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; G ( f ) ] F = x 1 , x 2 , … , x n + 1 ; G ( f ) F=[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);G(f)]\mathrm{F}=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; \mathrm{G}(f)\right]F=[x1,x2,…,xn+1;G(f)]
Si nous posons f i = f ( x i ) , i = 1 , 2 , … , n + 1 f i = f x i , i = 1 , 2 , … , n + 1 f_(i)=f(x_(i)),i=1,2,dots,n+1f_{i}=f\left(x_{i}\right), i=1,2, \ldots, n+1fi=f(xi),i=1,2,…,n+1, l'expression F est linéaire et homogène en G ( f 1 ) , G ( f 2 ) , … , G ( f n + 1 ) G f 1 , G f 2 , … , G f n + 1 G(f_(1)),G(f_(2)),dots,G(f_(n+1))\mathrm{G}\left(f_{1}\right), \mathrm{G}\left(f_{2}\right), \ldots, \mathrm{G}\left(f_{n+1}\right)G(f1),G(f2),…,G(fn+1), donc de la forme
F = ∑ i = 1 n + 1 λ l G ( f i ) F = ∑ i = 1 n + 1   λ l G f i F=sum_(i=1)^(n+1)lambda_(l)G(f_(i))\mathrm{F}=\sum_{i=1}^{n+1} \lambda_{l} \mathrm{G}\left(f_{i}\right)F=∑i=1n+1λlG(fi)
Nous aurons donc
F = ∑ i = 1 n + 1 μ i [ f 1 , f 2 , … , f i ; G ] F = ∑ i = 1 n + 1   μ i f 1 , f 2 , … , f i ; G F=sum_(i=1)^(n+1)mu_(i)[f_(1),f_(2),dots,f_(i);G]\mathrm{F}=\sum_{i=1}^{n+1} \mu_{i}\left[f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{i} ; \mathrm{G}\right]F=∑i=1n+1μi[f1,f2,…,fi;G]
Nous avons
λ i = 1 j i 1 , n + 1 ′ ( x i ) , i = 1 , 2 … , n + 1 λ i = 1 j i 1 , n + 1 ′ x i , i = 1 , 2 … , n + 1 lambda_(i)=(1)/(j_(i1,n+1)^(')(x_(i))),i=1,2dots,n+1\lambda_{i}=\frac{1}{{\underset{i 1, n+1}{j}}^{\prime}\left(x_{i}\right)}, i=1,2 \ldots, n+1λi=1ji1,n+1′(xi),i=1,2…,n+1
et la formule (14) nous montre que si nous posons
g j = g j ( x ) = ( f − f 1 ) ( f − f 2 ) … ( f − f j − 1 ) , g 1 = 1 j = 1 , 2 , … , n + 1 g j = g j ( x ) = f − f 1 f − f 2 … f − f j − 1 , g 1 = 1 j = 1 , 2 , … , n + 1 {:[g_(j)=g_(j)(x)=(f-f_(1))(f-f_(2))dots(f-f_(j-1))","quadg_(1)=1],[j=1","2","dots","n+1]:}\begin{gathered} g_{j}=g_{j}(x)=\left(f-f_{1}\right)\left(f-f_{2}\right) \ldots\left(f-f_{j-1}\right), \quad g_{1}=1 \\ j=1,2, \ldots, n+1 \end{gathered}gj=gj(x)=(f−f1)(f−f2)…(f−fj−1),g1=1j=1,2,…,n+1
nous avons
(22) μ j = [ x 1 , x 2 , . . x n + 1 ; g j ] , j = 1 , 2 , … , n + 1 (22) μ j = x 1 , x 2 , . . x n + 1 ; g j , j = 1 , 2 , … , n + 1 {:(22)mu_(j)=[x_(1),x_(2),..x_(n+1);g_(j)]","j=1","2","dots","n+1:}\begin{equation*} \mu_{j}=\left[x_{1}, x_{2}, . . x_{n+1} ; g_{j}\right], j=1,2, \ldots, n+1 \tag{22} \end{equation*}(22)μj=[x1,x2,..xn+1;gj],j=1,2,…,n+1
En particulier, nous avons μ 1 = 0 μ 1 = 0 mu_(1)=0\mu_{1}=0μ1=0. Tenant compte de (18), des formules [ x 1 ; f − f 1 ] = 0 , [ x 2 ; f − f 2 ] = 0 x 1 ; f − f 1 = 0 , x 2 ; f − f 2 = 0 [x_(1);f-f_(1)]=0,[x_(2);f-f_(2)]=0\left[x_{1} ; f-f_{1}\right]=0,\left[x_{2} ; f-f_{2}\right]=0[x1;f−f1]=0,[x2;f−f2]=0 et des relations (7), (8), (9), nous pouvons écrire
μ 2 = ∑ i = 3 n + 1 [ x 1 , x 3 , … x i ; f ] [ x i , x i + 1 , … , x n + 1 , x 2 ; f ] μ 2 = ∑ i = 3 n + 1   x 1 , x 3 , … x i ; f x i , x i + 1 , … , x n + 1 , x 2 ; f mu_(2)=sum_(i=3)^(n+1)[x_(1),x_(3),dotsx_(i);f][x_(i),x_(i+1),dots,x_(n+1),x_(2);f]\mu_{2}=\sum_{i=3}^{n+1}\left[x_{1}, x_{3}, \ldots x_{i} ; f\right]\left[x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{n+1}, x_{2} ; f\right]μ2=∑i=3n+1[x1,x3,…xi;f][xi,xi+1,…,xn+1,x2;f]
Ce coefficient est donc une somme de n − 1 n − 1 n-1n-1n−1 produits de différences divisées d'ordre ≥ 1 ≥ 1 >= 1\geq 1≥1 de f f fff, chaque produit étant formé par deux différences divisées dont la somme des ordres est égale à n n nnn. Démontrons qu'en général
Le coefficient μ j μ j mu_(j)\mu_{j}μj est une somme de produits de différences divisées d'ordre ≧ 1 ≧ 1 >= 1\geqq 1≧1 de f f f\mathfrak{f}f, chaque produit étant formé par des différences divisées dont la somme des ordres est égale à n.
Chaque différence divisée est prise, bien entendu, sur certains points de la suite x 1 , x 2 , … , x n + 1 x 1 , x 2 , … , x n + 1 x_(1),x_(2),dots,x_(n+1)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}x1,x2,…,xn+1
La démonstration se fait par induction. Nous avons vu que la propriété est vraie pour le coefficient μ 2 μ 2 mu_(2)\mu_{2}μ2, quel que soit n n nnn. Supposons la propriété vraie pour le coefficient μ j μ j mu_(j)\mu_{j}μj pour toutes les valeurs possibles de n n nnn et démontrons-la pour μ j + 1 μ j + 1 mu_(j+1)\mu_{j+1}μj+1. Nous avons, compte tenant de (22), de la formule (18) et de g j + 1 = g j ( f − f j ) g j + 1 = g j f − f j g_(j+1)=g_(j)(f-f_(j))g_{j+1}=g_{j}\left(f-f_{j}\right)gj+1=gj(f−fj),
(23) μ j + 1 = ∑ i = j + 1 n + 1 [ x 1 , x 2 , … , x j − 1 , x j + 1 , … , x i ; g j ] [ x i , x i + 1 , … , x n + 1 , x j ; f ] (23) μ j + 1 = ∑ i = j + 1 n + 1   x 1 , x 2 , … , x j − 1 , x j + 1 , … , x i ; g j x i , x i + 1 , … , x n + 1 , x j ; f {:(23)mu_(j+1)=sum_(i=j+1)^(n+1)[x_(1),x_(2),dots,x_(j-1),x_(j+1),dots,x_(i);g_(j)][x_(i),x_(i+1),dots,x_(n+1),x_(j);f]:}\begin{equation*} \mu_{j+1}=\sum_{i=j+1}^{n+1}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{j-1}, x_{j+1}, \ldots, x_{i} ; g_{j}\right]\left[x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{n+1}, x_{j} ; f\right] \tag{23} \end{equation*}(23)μj+1=∑i=j+1n+1[x1,x2,…,xj−1,xj+1,…,xi;gj][xi,xi+1,…,xn+1,xj;f]
qui démontre la propriété.
Cette formule nous indique aussi le nombre des termes du coefficient μ j μ j mu_(j)\mu_{j}μj. Soit N j n N j n N_(j)^(n)\mathrm{N}_{j}^{n}Njn le nombre des termes de μ j μ j mu_(j)\mu_{j}μj pour n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 points. Nous avons alos N 2 n = n − 1 N 2 n = n − 1 N_(2)^(n)=n-1\mathrm{N}_{2}^{n}=n-1N2n=n−1 et la formule (23) nous montre que N j + 1 n = N j j − 1 + + N j j + … + N j n − 1 N j + 1 n = N j j − 1 + + N j j + … + N j n − 1 N_(j+1)^(n)=N_(j)^(j-1)++N_(j)^(j)+dots+N_(j)^(n-1)\mathrm{N}_{j+1}^{n}=\mathrm{N}_{j}^{j-1}+ +\mathrm{N}_{j}^{j}+\ldots+\mathrm{N}_{j}^{n-1}Nj+1n=Njj−1++Njj+…+Njn−1 d'où l'on déduit facilement,
N j n = ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋅ ( n − j + 1 ) ( j − 1 ) ! N j n = ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋅ ( n − j + 1 ) ( j − 1 ) ! N_(j)^(n)=((n-1)(n-2)*(n-j+1))/((j-1)!)\mathrm{N}_{j}^{n}=\frac{(n-1)(n-2) \cdot(n-j+1)}{(j-1)!}Njn=(n−1)(n−2)⋅(n−j+1)(j−1)!
Désignons par d r ′ , d r ′ ′ , … d r ′ , d r ′ ′ , … d_(r)^('),d_(r)^(''),dotsd_{r}^{\prime}, d_{r}^{\prime \prime}, \ldotsdr′,dr′′,… des différences divisées d'ordre r r rrr de f f fff prise sur des groupes de r + 1 r + 1 r+1r+1r+1 points de la suite x 1 , x 2 , … , x n + 1 x 1 , x 2 , … , x n + 1 x_(1),x_(2),dots,x_(n+1)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}x1,x2,…,xn+1. Nous avons alors
(24) μ j = ∑ d 1 ′ d 1 ′ ′ … d 1 ( j 1 ) d 2 ′ d 2 ′ ′ … d 2 ( j 2 ) … d n ′ d n ′ ′ … d n ( j n ) (24) μ j = ∑ d 1 ′ d 1 ′ ′ … d 1 j 1 d 2 ′ d 2 ′ ′ … d 2 j 2 … d n ′ d n ′ ′ … d n j n {:(24)mu_(j)=sumd_(1)^(')d_(1)^('')dotsd_(1)^((j_(1)))d_(2)^(')d_(2)^('')dotsd_(2)^((j_(2)))dotsd_(n)^(')d_(n)^('')dotsd_(n)^((j_(n))):}\begin{equation*} \mu_{j}=\sum d_{1}^{\prime} d_{1}^{\prime \prime} \ldots d_{1}^{\left(j_{1}\right)} d_{2}^{\prime} d_{2}^{\prime \prime} \ldots d_{2}^{\left(j_{2}\right)} \ldots d_{n}^{\prime} d_{n}^{\prime \prime} \ldots d_{n}^{\left(j_{n}\right)} \tag{24} \end{equation*}(24)μj=∑d1′d1′′…d1(j1)d2′d2′′…d2(j2)…dn′dn′′…dn(jn)
où
(25) j 1 + j 2 + … + j n = j , j 1 + 2 j 2 + … + n j n = n (25) j 1 + j 2 + … + j n = j , j 1 + 2 j 2 + … + n j n = n {:(25)j_(1)+j_(2)+dots+j_(n)=j","quadj_(1)+2j_(2)+dots+nj_(n)=n:}\begin{equation*} j_{1}+j_{2}+\ldots+j_{n}=j, \quad j_{1}+2 j_{2}+\ldots+n j_{n}=n \tag{25} \end{equation*}(25)j1+j2+…+jn=j,j1+2j2+…+njn=n
La sommation (24) s'étend à toutes les solutions entières et positives ou nulles du système (25) par rapport à j 1 , j 2 , … , j n j 1 , j 2 , … , j n j_(1),j_(2),dots,j_(n)j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{n}j1,j2,…,jn. A toute solution correspondent n ! j 1 ! j 2 ! … j n ! n ! j 1 ! j 2 ! … j n ! (n!)/(j_(1)!j_(2)!dotsj_(n)!)\frac{n!}{j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!}n!j1!j2!…jn! termes dans μ j μ j mu_(j)\mu_{j}μj.
7. Le cas des fonctions dérivables. Nous avons supposé que les points (11) soient tous disticts. On peut aussi supposer le contraire. On obtient alors de (17) des formules limites en faisant tendre plusieurs des points x i x i x_(i)x_{i}xi l'un vers l'autre. Les différences divisées qui s'introduisent ont alors les valeurs que nous avons donné dans notre Thèse 6 6 ^(6){ }^{6}6 ). Nous
supposons, bien etendu, qu'il s'agit maintenant de fonctions définies dans un intervalle contenant les points x i x i x_(i)x_{i}xi et un nombre suffisant de fois dérivables. Par exemple si tous les points viennent se confondre, la formule (18) devient la formule de Leibniz donnant la dérivée nème d'un produit. La formule de la différence divisée d'une fonction de fonction devient la formule donnant la n eme n eme  n^("eme ")n^{\text {eme }}neme  dérivée d'une fonction de fonction.
Bucureşti, le 29 octobre 1940.
  1. 1 1 ^(1){ }^{1}1 ) Tiberiu Popoviciu "Sur quelques propriétés des fonctions d'une ou de deux variables réelles" Thèse, Paris 1933 ou Mathematica, 8, 1-85 (1934).
    2 2 ^(2){ }^{2}2 ) Voir par ex. J. F. Steffensen „Note on divided differences" Danske Vid. Selsk. Math-fys. Medd. 17, Nr. 3, 1-12 (1939).
    3 3 ^(3){ }^{3}3 ) Un polynome de degré n n nnn est une expression de la forme
    c o x n + c 1 x n − 1 + … + c n c o x n + c 1 x n − 1 + … + c n c_(o)x^(n)+c_(1)x^(n-1)+dots+c_(n)c_{o} x^{n}+c_{1} x^{n-1}+\ldots+c_{n}coxn+c1xn−1+…+cn
    les c i c i c_(i)c_{i}ci étant des constantes positives, nulles ou négatives (il suffit de nous limiter au cas réel).
  2. 5 5 ^(5){ }^{5}5 ) En vertu de l'unicité ơu polynome (1). Nous tenons compte du fait qu'un polynome de degré n n nnn est complètement déterminé par la valeur de son premier coefficient et ses valeurs en n n nnn points distincts.
  3. 6 6 ^(6){ }^{6}6 ) Voir loc. cit. 1 1 ^(1){ }^{1}1 ), p. 43.

1940 a -Popoviciu- Bull. Math. Soc. Roum. Sci. – Introduction a la theorie des differences divisees

[MR0013171,  Zbl 0025.39803,JFM 66.0389.01].

1940

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