Les fonctions convexes

ACTUALITES SCIENTIFIQUES ET INDUSTRIELLES

EXPOSÉS SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS

Publiés sous lia direction de
Paul MONTEL
Membre de l’Institut
Professeux à la Faculté des Sciences de l’Université de Paris

LES

FONCTIONS CONVEXES

PAR

TIBERIU POPOVICIU

Professeur à l’Université de Jassy

PARIS
HERMANN & $\mathrm{C}^{\mathrm{i}}$ , ÉDITEURS
6, Rue de la Sorbonne, 6
soolei
1944

INTRODUCTION

Depuis que Jensen écrivait ces lignes dans son mémoire, aujourd’hui classique [27] $({}^{1})$ , l’importance de la notion de convexité s’est considérablement accrue dans beaucoup de branches des mathématiques modernes, et, en particulier, dans la géométrie et la théorie des fonctions.

Dans ce petit livre, j’expose les principales propriétés et quelques généralisations des fonctions convexes d’une ou de plusieurs variables. J’ai divisé ce travail en quatre chapitres. J’étudie dans le premier la théorie des fonctions d’ordre $n$ , dont les fonctions convexes habituelles sont un cas particulier $(n=1)$ . Les fonctions d’ordre $n$ sont définies par certaines inégalités et en vérifient d’autres qui ont, surtout pour $n=1$ , de nombreuses applications. Dans le second chapitre, je passe rapidement en revue ces inégalités dont les applications sont exposées dans d’excellents ouvrages, comme par exemple dans Inequalities de MM. Hardy, Littlewood et Pólya [21 h]. Je signale aussi quelques autres propriétés des fonctions d’ordre $n$ . Dans le troisième chapitre, j’examine quelques généralisations des fonctions d’ordre $n$ . Le quatrième chapitre est consacré aux fonctions convexes de deux ou plusieurs variables. Je me borne presque exclusivement au cas des deux variables parce que, d’une part, les propriétés les plus simples s’étendent immédiatement au cas de plus de deux variables et que, d’autre part, les propriétés plus compliquées n’ont pas encore été étudiées suffisamment.

⁰⁰footnotetext: ⁽¹⁾ Les nos en caractères gras entre crochets renvoient à la bibliographie placée à la fin.

La bibliographie n’a pas la prétention d’être complète. Je ne signale que les travaux effectivement utilisés pour la rédaction de ce livre.

Comme d’habitude, je ne donne pas les démonstrations ; le lecteur les trouvera dans les mémoires originaux auxquels je renvoie. J’indique brièvement les démonstrations de quelques propriétés qui ne se trouvent pas dans ces mémoires. Pour toutes les autres définitions et propriétés sans indications sur la démonstration ni références à la bibliographie, je prie le lecteur de se reporter à ma Thèse [47 a].

J’espère que la lecture de ce petit ouvrage sera utile à ceux qui chercheraient à combler les lacunes, encore très nombreuses, de cette théorie.

Qu’il me soit permis d’exprimer mes plus vifs remerciements à M. Paul Montel pour l’honneur qu’il m’a fait en me demandant d’écrire ce livre sur un sujet qu’il a, d’ailleurs, lui-même enrichi d’importantes contributions.

NOTIONS PRÉLIMINAIRES ET NOTATIONS

Nous considérons des fonctions $f=f(x)$ , réelles, de la variable réelle $x$ , finies et uniformes sur un ensemble linéaire quelconque $E$ .

Nous désignerons par $a=\min E$ , $a\leqq b=\max E$ les extrémités (gauche et droite) de $E$ . Lorsque nous dirons qu’un ensemble est fermé, nous supposerons qu’il contient ses extrémités, donc qu’il est borné. Pour simplifier, nous écrivons $x,y,\ldots\in E$ au lieu de $x\in E,y\in E,\ldots$ , et nous écrivons $x\in E$ si le point $x$ de $E$ est à l’intérieur de l’intervalle $(a,b)$ . Un sous-ensemble $E_{1}$ de $E$ est complètement intérieur à $E$ si ses extrémités sont à l’intérieur de l’intervalle $(a,b)$ . Un tel sous-ensemble est donc toujours borné. Nous écrivons dans ce cas $E_{1}\subset E$ . Un sous-ensemble $E_{1}$ de $E$ est une section de $E$ si, ou bien il est formé par un seul point, ou bien, avec $x_{1},x_{2}\in E_{1}$ , tous les points de $E$ appartenant à l’intervalle $(x_{1},x_{2})$ appartiennent à $E_{1}$ . Si une section contient ses extrémités $c\leqq d$ , nous la désignerons aussi par $(cEd)$ . L’intersection de deux sections est ou bien vide ou bien encore une section de $E$ $({}^{1})$ . La réunion de deux sections ayant au moins un point commun est encore une section. Deux sections dont la réunion n’est pas une section sont dites séparées par $E$ ; alors il existe au moins un point de $E$ qui est à gauche de tous les points de l’une des sections et à droite de tous les points de l’autre section. Plusieurs sections de $E$ sont des sections séparées de $E$ si elles sont séparées deux à deux par $E$ . Nous désignerons comme d’habitude par $E^{\prime},E^{\prime\prime},\ldots$ les dérivés successifs de $E$ . La presque-fermeture $\dot{E}$ de $E$ est l’ensemble de tous les points de $E$ et de $E^{\prime}$ , sauf les extrémités de $E$ qui n’appartiennent pas à $E$ . Si $\dot{E}=E$ , nous dirons que l’ensemble $E$ est presque fermé.

Nous dirons qu’une fonction $f$ est continue sur un ensemble $E$ si elle est continue en tout point de $E^{\prime}$ . Nous dirons que $f$ a une dérivée (d’un certain ordre et avec une certaine définition) si cette dérivée existe en tout point $x$ où il est possible de la définir, et nous dirons que $f$ a une dérivée continue sur $E$ si cette dérivée est continue sur son ensemble de définition.

Nous désignerons par $[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f]$ la différence divisée d’ordre $n$ de $f$ sur les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$ . Ces différences divisées sont définies par la relation de récurrence

,\ldots,x_{n+1};f\begin{gathered}=\frac{[x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+1};f]-[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f]}{x_{n+1}-x_{1}},\\ =f(x).{}\end{gathered}

et on voit qu’elles sont symétriques par rapport aux points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$ . Désignons par $V(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1})$ le déterminant de Vandermonde des nombres $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$ et par $\mathrm{U}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f)$ ce que devient ce déterminant si on remplace les éléments $x_{i}^{n}$ de la dernière colonne par $f(x_{i})$ respectivement. Nous avons

[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f]=\frac{\mathrm{U}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f)}{\mathrm{V}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1})}.

Nous désignerons par $\mathrm{P}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\mid x)$ le polynôme de Lagrange, donc le polynôme de degré effectif minimum, prenant les valeurs $f(x_{i})$ aux points $x_{i}$ . C’est un polynôme de degré $n$ , en convenant d’appeler ainsi un polynôme de degré effectif $\leqq n$ . Si nous posons $\varphi(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots(x-x_{n+1})$ , nous avons

		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n+1}\frac{f(x_{i})}{\varphi^{\prime}(x_{i})},$
	$\displaystyle P(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\mid x)$	$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n+1}\frac{\varphi(x)f(x_{i})}{(x-x_{i})\varphi^{\prime}(x_{i})}.$

f(x)-\mathrm{P}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\mid x)=\varphi(x)[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1},x;f].

Sauf avis contraire, ou sauf si l’écriture n’indique pas expressément le contraire, nous supposerons dans ces notations que $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1}$ et on a alors $\mathrm{V}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1})>0$ , donc

\operatorname{sg}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f]=\operatorname{sg}\mathrm{U}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f),

( $\operatorname{sg}\alpha=1,0,-1$ suivant que $\alpha=,>,<0$ ).
Remarquons aussi l’importante propriété

[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};x^{m}]=\begin{cases}0,&m=0,1,\ldots,n-1,\\ 1,&m=n,\end{cases}

identiquement dans les $x_{i}$ et qui caractérise les différences divisées. Dans le chapitre IV, nous considérons des fonctions $f(x,y)$ réelles, des variables réelles $x,y$ , finies et uniformes dans un certain domaine plan $D$ . Nous supposerons toujours que $D$ est un domaine convexe borné, fermé ou non. Un sous-domaine de $D$ est complètement intérieur à $D$ si sa frontière n’a aucun point commun avec la frontière de $D$ . Nous supposerons, d’ailleurs, toujours que le sous-domaine considéré est lui aussi convexe. Plus particulièrement, nous supposerons que $D$ est un rectangle fermé $R$ ,

(a\leqq x\leqq b,\quad c\leqq y\leqq d).

D’après A. Marchaud [36], un réseau d’ordre $(m,n)$ est un système de $m$ parallèles à l’axe $\mathrm{O}y$ et de $n$ parallèles à l’axe $\mathrm{O}x$ . Les points d’intersection des droites d’un réseau sont les nœuds de ce réseau. Suivant une dénomination de A. Marchaud [36], un pseudo-polynôme d’ordre $(m,n)$ est une fonction de la forme

\sum_{i=0}^{m}x^{i}A_{i}(y)+\sum_{j=0}^{n}y^{j}B_{j}(x),

où $A_{i}(y)$ sont des fonctions d’une variable $y$ dans $(c,d)$ et $B_{j}(x)$ des fonctions d’une variable $x$ dans $(a,b)$ . Un pseudo-polynôme est donc défini dans le rectangle $R$ . Un pseudo-polynôme d’ordre $(m,n)$ est complètement déterminé par ses valeurs sur un réseau d’ordre $(m+1,n+1)$ . Considérons $(m+1)(n+1)$ points $(x_{i},y_{j})$ , $i=1,2,\ldots,m+1$ , $j=1,2,\ldots,n+1$ , de $R$ . Ce sont les nœuds du réseau $x=x_{i},y=y_{j}$ , d’ordre $(m+1,n+1)$ . En prenant la différence divisée d’ordre $m$ de $f(x,y)$ sur les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}$ , $y$ étant regardé comme fixe, nous avons la fonction de $y$ ,

F(y)=[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1};f(x,y)],

et en prenant la différence divisée d’ordre $n$ de $f(x,y)$ sur les points $y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}$ , $x$ étant regardé comme fixe, nous avons la fonction de $x$ ,

G(x)=[y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1};f(x,y)].

On vérifie immédiatement que

[y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1};F]=[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1};G].

La valeur commune de ces nombres peut être désignée par

\left[\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}\end{array};f\right]

et s’appelle la différence divisée d’ordre $(m,n)$ de $f(x,y)$ sur les points $(x_{i},y_{j})$ . Nous poserons

	$\displaystyle\varphi(x)$	$\displaystyle=(x-x_{1})\cdots(x-x_{m+1}),$
	$\displaystyle\psi(y)$	$\displaystyle=(y-y_{1})\cdots(y-y_{n+1}),$

et nous pouvons écrire

\left[\begin{array}[]{l}x_{1},\ldots,x_{m+1}\\ y_{1},\ldots,y_{n+1};f\end{array}\right]=\sum_{i=1}^{m+1}\sum_{j=1}^{n+1}\frac{f(x_{i},y_{j})}{\varphi^{\prime}(x_{i})\psi^{\prime}(y_{j})}.

La différence divisée d’ordre $(m+1,n+1)$ d’un pseudo-polynôme d’ordre $(m,n)$ est nulle identiquement. Sauf avis contraire, nous supposerons que $x_{1}<\cdots<x_{m+1},y_{1}<\cdots<y_{n+1}$ .
Nous désignerons par $[\alpha]$ le plus grand entier $\leqq\alpha$ .
Nous poserons $(m_{1},n_{1})<\text{ resp. }\leqq(m,n)$ si $m_{1}\leqq m,n_{1}\leqq n$ et $m_{1}+n_{1}<\text{ resp. }\leqq m+n$ . Enfin, nous employons les abréviations max et min pour la borne supérieure et la borne inférieure, et d.d. pour la différence divisée.

CHAPITRE I

LES FONCTIONS D’ORDRE $n$

1. Définition. La fonction $f$ est dite convexe, non-concave, polynomiale, non-convexe, concave d’ordre $n$ sur $E$ si l’inégalité

[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f]>,\geq,=,\leqq,<0

(1)

est satisfaite, quels que soient les $n+2$ points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}\in E$ . Toutes ces fonctions sont des fonctions d’ordre $n$ $({}^{1})$ . Pour $n=0$ , nous avons les fonctions monotones : croissantes, non décroissantes, constantes, non croissantes, resp. décroissantes. Pour $n=1$ , nous avons les fonctions convexes, non-concaves. Si $f$ est convexe, non-concave, etc., d’ordre $n$ , la fonction $-f$ est concave, non-convexe, etc., d’ordre $n$ , et réciproquement. Considérons la fonction $f$ définie sur $m$ points

x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{m},\quad m\geq n+2.

(2)

et employons les notations

\Delta_{k}^{i}=[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+k};f],\quad i=1,\ldots,m-k.

(3)

Alors

\Delta_{n+1}^{i}>,\geq,=,\leqq,<0.

(4)

\mathrm{P}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\mid x)<,\leqq,=,\geqq,>f(x),

(5)

est vérifiée, quels que soient $x_{n+1}<x,\quad x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1},x\in\mathbf{E}$ .
Cette définition est équivalente à la définition du $n^{0}1$ .
On peut remplacer l’inégalité (5) par

\begin{gathered}\mathrm{P}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\mid x)<,\leqq,\cdots,>(-1)^{n-i+1}f(x)\\ x_{i}<x<x_{i+1}\ (x<x_{1}\text{ pour }i=0),\quad x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1},x\in E.\end{gathered}

Pour $n=1$ voir L. Galvani [19]. Dans ce cas, en nous limitant aux fonctions non-concaves, la propriété signifie que le point $(x,f(x))$ est non au-dessus ou non au-dessous de la droite joignant les points $(x_{1},f(x_{1})),(x_{2},f(x_{2}))$ suivant que $x$ est à l’intérieur ou à l’extérieur de l’intervalle $(x_{1},x_{2})$ . Il en résulte que tout point de la courbe $y=f(x)$ est non-au-dessus de toute ligne polygonale inscrite, pourvu que l’abscisse de ce point soit comprise entre les abscisses des points extrêmes de la ligne polygonale.

Si $f$ est d’ordre $n$ et si $[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f]=0$ , elle est polynomiale d’ordre $n$ sur $(x_{1}Ex_{n+2})$ , donc se réduit sur cette section aux valeurs d’un polynôme de degré $n$ .

Une fonction convexe ou concave d’ordre $n$ ne peut coïncider avec un polynôme de degré $n$ en plus de $n+1$ points. La réciproque est vraie si la fonction est continue.

Supposons que $E$ soit l’intervalle $(a,b)$ et soit $F$ la fonction attachée à $f$ , prenant au point $x$ toutes les valeurs comprises entre le minimum et le maximum de $f$ en ce point (cette fonction est en général multiforme). Pour que la fonction $f$ soit convexe ou concave d’ordre $n$ dans $(a,b)$ , il faut, et il suffit que la fonction attachée $F$ ne coïncide pas avec un polynôme de degré $n$ en plus de $n+1$ points $[47\mathrm{g}]$ . En général, les fonctions d’ordre $n$ peuvent être caractérisées par le fait que, si un polynôme de degré $n$ coïncide avec la fonction attachée $F$ en plus de $n+1$ points, il coïncide avec $F$ en un intervalle fermé.
3.—Toute fonction d’ordre $n$ est bornée sur toute section $E_{1}\subset E$ . Si $a,b\in\mathbf{E}$ , la fonction est bornée sur $E$ . Lorsque $E$ est borné, toute fonction non-concave d’ordre impair est bornée inférieurement sur $E$ .

Pour une fonction d’ordre $n\geq 1$ et $c\in E^{\prime},c\in E$ , la limite de $f(x)$ pour $E\ni x\to c$ existe. De plus, toute fonction d’ordre $n\geq 1$ est uniformément continue sur tout $E_{1}\subset E$ . Pour que ce que nous avons dit ait un sens précis, il faut définir la continuité en $c\in E^{\prime}$ par l’existence de la limite de $f(x)$ lorsque $E\ni x\to c$ , ce qui n’est pas une extension essentielle dans le cas des fonctions d’ordre $\geq 1$ .

Si $a\in E^{\prime}$ ou $a=-\infty$ , $\lim f(x)=f(a+0)$ pour $E\ni x\to a$ , existe ou est $+\infty$ ou $-\infty$ . Si $a\in E$ , on a $f(a)\leqq$ ou $\geqq f(a+0)$ , suivant que $f$ est non-concave d’ordre pair ou impair. Une propriété analogue a lieu pour l’extrémité droite $b$ . On a $f(b)\geq$ ou $\leqq f(b-0)$ suivant que $f$ est non-concave ou non-convexe d’ordre $n$ . Pour une fonction non-concave d’ordre $1$ telle que $b=+\infty$ et $\lim f(x)=+\infty$ pour $E\ni x\to b$ , on peut trouver un nombre $\alpha>0$ tel que $f(x)>\alpha x$ pour $x$ assez grand. Si $f$ est non-concave d’ordre $n$ et si elle n’est pas non-convexe d’ordre $n-1$ sur $E$ , on peut trouver, dans les mêmes conditions, un $\alpha>0$ tel que $f(x)>\alpha x^{n}$ . En effet, on peut alors trouver $n+1$ points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1}$ tels que $[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f]>0$ et l’inégalité de définition $\mathrm{U}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1},x;f)\geqq 0,\ x_{n+1}<x$ nous donne

f(x)\geq[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f]x^{n}+\cdots,

les termes non écrits formant un polynôme de degré $n-1$ en $x$ .
4.—Supposons $E$ fermé. Toute fonction non-concave d’ordre $n$ impair est semi-continue supérieurement, donc atteint son maximum. Mais une telle fonction peut ne pas atteindre son minimum. Telle est, par exemple, la fonction $f(0)=1,f(x)=x,0<x\leqq 1$ , qui est non-concave d’ordre impair quelconque dans $(0,1)$ . Une fonction d’ordre pair peut n’atteindre ni son maximum ni son minimum. Telle est la fonction $f(0)=f(2)=0,f(x)=1-x,0<x<2$ , qui est d’ordre pair quelconque dans $(0,2)$ .

Soient $E_{M}$ l’ensemble des $x$ où max $f$ sur $E$ et $E_{m}$ l’ensemble des $x$ où min $f$ sur $E$ sont atteints. Si $f$ est non-concave d’ordre $n$ , $E_{M}$ est formé par au plus $\left[\frac{n+3}{2}\right]$ sections séparées de $E$ et, s’il n’est pas formé par une seule section, il contient au plus $n+1$ points.

5.—Définition

La fonction $f$ , jouissant de certaines propriétés de convexité sur $E$ , sera dite prolongeable sur $E_{1}$ si on peut trouver une fonction $f_{1}$ définie sur la réunion de $E$ et $E_{1}$ , jouissant des mêmes propriétés de convexité et telle que $f_{1}=f$ sur $E$ .

présente au plus $k$ variations de signes.
Pour une fonction d’ordre $n$ et pour un k donné, il existe une insinité de décompositions (7) (E étant infini), telle que sur chaque $\mathrm{E}_{i}$ la fonction soit d’ordre $n-k$ . Le nombre $m$ des sous-ensembles $\mathrm{E}_{i}$ a alors un minimum $h$ . Si $m=h$ , la fonction n’est d’ordre $n-k$ sur aucun des ensembles $\mathrm{E}_{i}+\mathrm{E}_{i+1},i=1,2,\ldots,h-1$ . La fonction est alors alternativement non-concave et non-convexe d’ordre $n-k$ sur les ensembles $\mathrm{E}_{i}$ . D’ailleurs, si $h=k+1$ et si $f$ est nonconcave d’ordre $n$ sur E , elle est non-concave d’ordre $n-k$ sur $\mathbf{E}_{n}$ .

Réciproquement, pour que la fonction soit d’ordre $n$ sur $\mathbf{E}$ , il suffit que, quels que soient le polynôme $P$ de degré $n$ et le sous-ensemble fini (2) de $E$ , la suite (8), correspondant à (2) et à la fonction $f-P$ , présente au plus $n$ variations de signe. Dans cet énoncé, on peut d’ailleurs ne considérer que les suites (2) ayant $n+3$ points $[47\,k]$ .

Les fonctions qui admettent une décomposition (7) de la nature précédente constituent une importante généralisation des fonctions d’ordre $n$ . Nous les étudierons dans un autre travail. Remarquons seulement que [47 n].

La condition nécessaire et suffisante pour qu’on puisse décomposer E en au plus deux sous-ensembles consécutifs tel que sur chacun la fonction soit monotone, la monotonie étant de sens opposés sur les doux sous-ensembles, est que $f$ ou - $f$ vérifie l’inégalit,é

f\left(x_{2}\right)\leq\max\left[f\left(x_{1}\right),f\left(x_{3}\right)\right],\quad x_{1}<x_{2}<x_{3},\quad x_{1},x_{2},x_{3}\in\mathrm{E}.

Dans cette classe entrent non seulement les fonctions d’ordre 1, mais aussi toutes celles qui sont non-négatives et dont la pème puissance, $p>1$ , est d’ordre 1 .
8. - Le voisinage $V_{x}^{k}$ d’un point $x$ est une section de $E$ ayant au moins $k$ points à gauche et au moins $k$ points à droite de $x$ . Si par excoption, il n’y a que $r<k$ ( $r\geq 0$ ; points à gauche (à droite)
de $x,\mathrm{~V}_{x}^{k}$ doit contenir tous ces points et en plus au moins $2k-r$ points à droite (à gauche) de $x$ . Le voisinage $V_{a}^{k}$ doit contonir avec $x_{1}\in\mathrm{~V}_{a}^{k}$ tous les points de l’intervalle fermé ( $a,x_{1}$ ) appartenant à E. U en est de même pour un $\mathrm{V}_{b}^{k}$ .

Déprinition. - La fonction $f$ est dite localement convexe, nonconcace,…, etc., d’ordre n sur E si à tout $x\in\dot{E}$ correspond un poisinage $\mathrm{V}_{x}^{k}$ où la fonction est convexe, non-concave,… etc., d’ordre n [47 1].

Toute fonction localement convexe, non-concave,… etc., d’ordre $n$ sur N , avec $k=\left[\frac{n+2}{2}\right]$ , est convexe, non-concave, … ote., d’ordre n sur E [47 1].

Dans la définition on ne peut pas remplacer la condition $x\in\dot{E}$ par la condition moins restrictive $x\in$ E. Par exemple, avec cette nouvelle définition, la fonction

f(x)=0,\quad 0\leqq x<1,\quad f(x)=x-1,\quad 1<x\leq 2

est localoment polynomiale d’ordre $n\geq 1$ (quel que soit k) et pourtant cetto fonction n’est pas d’ordre $n$ .

Dans le cas d’un intervalle, on peut remplacer $V_{r}^{h}$ par un voisinage au sons ordinaire. Pour $n=1$ nous retrouvons une propriété de J. Blaquier [8].

On peut aussi imposer à un voisinage $V_{x}^{k}$ d’autres conditions entratnant la convexité. On peut dire que / a localement une droite d’appui sur E si, quel que soit $x_{0}=$ E, il existe un voisinage $V_{x_{0}}^{1}$ et une droite non verticale passant par le point ( $\left.x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)$ , laissant la courbe $y=f(x)$ non-au-dessous de cette droite pour $a\in\mathbb{V}_{x_{0}}^{t}$ . Alors toute fonction définie et continue sur l’ensemble presque formé E, qui a localement une droite d’appui, est non-concave d’ordre 1 sur E. On peut même démontrer la propriété suivante :

Si $f$ est définie et semi-continue supérieurement sur un ensemble presque formé E ot si, quel quo soit $x_{0}\equiv$ . E, on peut irouver deux points $x^{\prime}<x_{0}<x^{\prime\prime}$ tels que dans tout voisinage $V_{x_{0}}^{1}\subset\left(x^{\prime},x^{\prime\prime}\right)$ il existe deux points $x_{1},x_{2},x_{1}<x_{0}<x_{2}$ vérifiant l’inégalité $\left[x_{0},x_{1},x_{2};f\right]\geqq 0$ , la fonction est non-concave d’ordre 1 sur $E$ [471].

Pour la démonstration il suffit de remarquer que, si $f$ n’est pas non-concave d’ordre 1 , on peut trouver trois points $x_{1},x_{2},x_{3}$ , $x_{1}<x_{2}<x_{3}$ de E de manière que $\left[x_{1},x_{2},x_{3};f\right]<0$ . Les extrémités de Vensemble (fermé) sur lequel le maximum $(>0)$ de la fonction $f(x)-\frac{x-x_{3}}{x_{1}-x_{3}}f\left(x_{1}\right)-\frac{x-x_{1}}{x_{3}-x_{1}}f\left(x_{3}\right)$ sur la section $\left(x_{1}\mathrm{E}x_{2}\right)$ est attent, sont des points $x_{0}\in$ . E pour lesquels on ne peut pas trouver les points $x^{\prime},x^{\prime\prime}$ satisfaisant à la propriété demandée.

La propriété d’être d’ordre n n’est pas une propriété locale. Mais, si à tout $x\in\dot{E}$ correspond un voisinage $V_{x}^{k}$ , avec $k=\left[\frac{n+3}{2}\right]$ , où $f$ est convexe ou concáve d’ordre $n$ , cette fonction est convexe ou concave d’ordre $n$ sur E [471].
9. - Dans l’étude des fonctions d’ordre $n$ il est tout indiqué d’introduire deux autres classes de fonctions déjà considérées par E. Hopp [23] dans le cas d’un intervalle.

Définition. - La nème borne de la fonction f sur E est définie par

\Delta_{n}=\Delta_{n}[f;\mathbf{E}]=\max_{(\mathbb{E})}\left|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]\right|

Si $\Delta_{n}$ est un nombre fini la fonction est dite à nème différence dipisée bornée sur E .

Dúfinition. - La nène pariation totale de la fonction $f$ sur $\mathbf{E}$ est définie par

V_{u}=V_{n}[f;E]=\max\sum_{i=1}^{m-1}\left|\Delta_{n}^{i+1}-\Delta_{n}^{i}\right|

le maximum étant pris pour tous les sous-ensembles finis (2) de E.
Si $\mathrm{V}_{\text{a }}$ est un nombre fini la fonction est dite à nème pariation bornée sur E.

Nous supposerons que E soit borné.
Si $n=1$ , nous avons les fonctions vérifiant une condition de Lipschitz ordinaire et une généralisation des fonotions à variation bornée déjà donnée par Ch. de la Vallée Poussin [62], F. Rhesz [50 a] eb A. Winternitz [65].

Sur l’ensemble fini (2), $\Delta_{n}$ coïncide avec le maximum des
nombres $\left|\Delta_{n}^{1}\right|,\left|\Delta_{n}^{2}\right|,\ldots,\left|\Delta_{n}^{m-n}\right|$ . De là résulte que, si $\mathbf{E}$ est quelconque, on peut trouver un $x_{0}$ de la fermeture de $\mathbf{E}$ tel que dans tout voisinage $\mathrm{V}_{x_{0}}^{k}$ , avec $k=\left[\frac{n+1}{2}\right]$ , on ait $\Delta_{n}\left[f;\mathrm{V}_{x_{0}}^{lk}\right]=\Delta_{n}[f;\mathrm{E}]$ [47 1]. On en déduit que si $f$ est à nème d. d. bornée dans le voisinage (au sens ordinaire) de tout point $x\in\mathrm{E}^{\prime}$ , elle est à nème d. d. bornée sur E.

Toute fonction à nème d. d. bornée est aussi à (n - 1) ème d. d. bornée done, en particulier, est bornée.

Toute fonction à nème variation bornée est aussi à nème d. d. bornée et à $(n-1)^{\text{ème }}$ variation bornée. De même toute fonetion à nème d. d. bornée est à ( $n-1$ )ème variation bornée.

Toute fonction d’ordre $n$ est à nème variation bornée, done aussi à nème d. d. bornée sur toute section $\mathrm{E}_{1}\subset.\mathrm{E}$ . D’ailleurs si $\Delta_{n}$ est fini on peut trouver un nombre $\alpha$ tel que $f+\alpha x^{n}$ (par exemple $\alpha=\left|\Delta_{n}\right|$ ) soit d’ordre $n-1$ . Pour qu’il en soit ainsi il suffit même que les d. d. d’ordre $n$ soient bornées supérieurement ou inférieurement.

Toute fonction $f$ à $n^{\text{ème }}$ variation bornée est la différence de deux fonctions non-concaves d’ordre $-1,0,1,\ldots,n$ et dont les nème variations totales ne dépassent pas celle de $f$ . Ce résultat a été obtenu par E. Hopf [23] dans le cas d’un intervalle et pour $n=1$ par A. Winternitz [65]. Pour $n=0$ , on obtient un théorème classique de C. Jordan sur les fonctions à variation bornée habituelles. Dans le cas général il existe une telle décomposition $f=\varphi-\psi$ , où les fonctions $\varphi$ , $\psi$ sont les plus petites possibles. Pour $n=0,1\mathrm{G}$ . Ascoli [1 a, 1 b ] a retrouvé ces propriétés par des considérations très intéressantes.
10. - Nous allons maintenant étudier les dérivées des fonctions d’ordre $n$ . Nous supposerons E fermé et $f$ bornée sur E.

Nous allons adopter une définition directe de la nème dórivée, plus restrictive que la définition habituelle, mais qui s’impose dans l’étude des fonctions d’ordre $n$ .

Par définition, la $n^{eme}$ dérivée $f^{(n)}=f^{(n)}(x)$ au point $x\in\mathrm{E}^{\prime}$ est la limite, si elle existe, de $n!\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]$ lorsque les points $x_{i}$ tendent d’une manière quelconque vers $x$ . La nòme dérivée peut ainsi être définie en tout point de E’ tandis que la $n^{\text{ème }}$ dérivée au sens ordinaire ne se définit que sur les points de $\mathrm{E}^{(n)}$ .

Pour que $f^{(n)}$ existe en un point $x\in\mathrm{E}^{\prime}$ il faut et il suffit qu’à tout $\varepsilon>0$ corresponde un voisinage $V$ (au sens ordinaire) tel que l’on ait

	$\displaystyle\left\|\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]-\left[x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+2};f\right]\right\|<\varepsilon$		(9)
	$\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}\in\mathrm{~V}.$

Pour que $f^{(n)}$ soit continue sur $\mathrm{E}^{\prime}$ il faut et il suffit que cette condition soit réalisée uniformément sur E’. D’ailleurs, si $f^{(n)}$ existe en toul point do $\mathrm{E}^{\prime}$ elle est continue sur $\mathrm{E}^{\prime}$ . Si $f^{(n)}$ existe en un $x_{0}\in\mathrm{E}^{\prime}$ la fonetion est à nòme d. d. hornée dans le voisinage de $x_{0}$ , done si $f^{(n)}$ existe en tout point de E’, la fonction $f$ est, à nème d. d. bomée sur E. Il est clair, d’autre part, que si $f$ est à ( $n+1$ )cane d. $d$ . bornée sur $E,f^{(n)}$ existe en tout point de $E$ .

Les relations qui existent entre $f^{(n)}$ et la nème dérivée au sens ordinaire ont élé étudiées dans le cas d’un intervalle par ’Th. J. Stuelpes [56], E. Hopp [23], Ph. Franklin [17] eb dans le cas d’un ensemble E quelonque par nousmême. En parliculier, si $f^{(n)}$ existe en un point, $x_{0}\in\mathrm{E}^{(n)}$ , la dérivée d’ordre $n$ au sons ordinaire existe aussi en ee point et lui est égale.

On peut aussi définir une dérivée directe d’ordre n à gauche $f_{b^{\prime}}^{(\prime\prime)}$ et une dérivée directe d’ordre $n$ à droite $f_{d}^{(n)}$ au point $x\in E_{5}^{\prime}$ . Par définition $f_{g}^{(n)}(x)\left[f_{d}^{(n)}(x)\right]$ est égale à la límite, si elle existe, de $n!\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};/\right]$ lorsque les points $x_{i}\leq x\left[x_{i}\geq x\right]$ de $E$ tendent, d’une manière quelconque vers $x$ . Pour l’existence de ces dérivées il y a des conditions nécessaires et suffisantes analogues à celle exprimée par l’inégalité (9). Il est clair que si $x\in\mathrm{E}^{\prime}$ n’est limite que d’un côté, on ne définit que la nème dérivée de ce côté, qui est alors identique à $f^{(n)}$ . Si $x\in\mathrm{E}^{\prime}$ est limite de deux côtés of $f^{(n)}(x)$ oxiste, $f_{g}^{(n)}(x),f_{l}^{(n)}(x)$ existent aussi et lui sont égales. Mais $f_{g}^{(m)}(x),f_{d}^{(n)}(x)$ peuvent exister et mêmo être égales sans que $f^{(n)}(x)$ existe. Par exemple, pour la fonction $f(x)=|x|,x\in(-1,1)$ , $f_{g}^{\prime\prime}(0),f_{d}^{\prime\prime}(0)$ existent et sont toutes les deux égales à zéro, mais $f^{\prime\prime}(0)$ n’existe pas. On voit aussi que, si $f_{y}^{(\prime\prime)}\left[f_{d}^{(\prime\prime)}\right]$ existe on tout point de E’, e’est une fonction continue à gauche (à droite) sur E’.
11. – Passons aux fonctions d’ordre n. Toute fonetion d’ordre $n>1$ a des dérivées continues d’ordre $1,2,\ldots,n-1$ sur tonte sec-
tion $\mathrm{E}_{1}\in$ . E. On peut même démontrer que, si $f$ est d’ordre $n\geqq 1$ dans l’intervalle ( $a,b$ ), elle a des dérivées continues d’ordre $\alpha<n(x>0)$ au sens de liouville-Riemann dans tout $(c,d)\subset\cdot(a,b)$ . Il en est, d’ailleurs, ainsi pour toute fonction à $n^{\text{òme }}$ d. d. bornée, comme l’a montré P. Montel [39 a]. Dans ce cas les dérivées d’ordre entier existent et sont continues dans tout l’intervalle (a, b) et A. Marghaud [36] a montré qu’il en est ainsi aussi pour les dérivées d’ordre non entier.

Toute fonction d’ordre $n>1$ a une dérivée à gauche d’ordre $n$ et une dérivée à droite d’ordre $n$ , continues à gauche resp. à droite sur toute section $\mathrm{E}_{1}\subset$ . E. Bien enteadu $f_{g}^{(n)}\left(y_{d}^{(n)}\right)$ n’est pas définie en un point $x\in\mathrm{E}^{\prime}$ qui est limite seulement de droite (de gauche), mais alors $f^{(n)}=f_{d}^{(n)}\left(f^{(n)}=f_{g}^{(n)}\right)$ existe en ce point. Pour que ce que nous dirons ici soit cohérent nous pourrons supposer que $f_{g}^{(n)}\left(f_{l}^{(n)}\right)$ soit prolongée par $f^{(n)}$ sur ces points. L’existence des dérivées d’ordre $n$ résulte du fait que la d. d. $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]$ est monotone, de même sens, par rapport à chacune des variable $x_{i}$ . D’ailleurs, $f_{g}^{(n)},f_{d}^{(n)}$ coïncident avec la dérivée à gauche et la dérivée à droite de $f^{(n-1)}$ en un point $x\in\mathrm{E}^{\prime\prime}$ . Si en un point $x\in\mathrm{E}^{\prime}$ on a $f_{g}^{(n)}=f_{l}^{(n)}$ , la dérivée d’ordre $n,f^{(n)}$ existe aussi et leur est égale. La dérivée $f^{(n)}$ est continue sur tout $\mathrm{E}_{1}\subset\mathrm{E}$ sur lequel elle existe, comme l’a remarqué L. Galvani [19] pour $n=1$ . Si $x<x^{\prime}$ , $x,x^{\prime}\in\mathrm{E}^{\prime}$ , on a

f_{l}^{(n)}(x)\leqq\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]\leqq f_{k^{\prime}}^{(n)}\left(x^{\prime}\right),\quad x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}\in\left(x\left[x^{\prime}\right)\right.

f_{g}^{(n)}(x)\leqq f_{d}^{(n)}(x)\leqq f_{b}^{(n)}\left(x^{\prime}\right)\leqq f_{d}^{(n)}\left(x^{\prime}\right)

pourvu que $/$ soit non-concave d’ordre $n$ sur E. Lensemble des $x$ sur lequel $f_{g}^{(n)}\neq f_{d}^{(n)}$ est d’ailleurs au plus dénombrable, comme Pont remarqué F. Bernstein [5] et L. Galvant [19] pour $n=1$ . Pour $n=1$ l’existence des dérivées de deux côtés a été établie déjà par O. Stolz [57] et J. L. W. V. Jensen [27].

Si $f$ est non-concave d’ordre $n,f^{(k)}$ est non-concave d’ordre $n-k$ . De même, $f_{g}^{(n)},f_{d}^{(n)}$ sont non-décroissantes et $f^{(n+1)},f_{g}^{(n+1)}$ , $f^{(n+1}$ sont non-négatives partout où olles existent.

Il reste à examiner ce qui se passe aux extrémités de E. Si
a E E la d. d. n I , $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1};f\right]$ tend vers une limite on vors $+\infty$ , ou $-\infty$ , si les $x_{i}-a$ tendent vers a. Si a e E’ cotte limite coincide avec la limite, au sens propre ou impropre, de $f_{11}^{(n)}$ et de $f_{a}^{(n)}$ lorsque $\mathbf{E}^{\prime}\Rightarrow x=a$ tend vers $a$ . Si, de plus, la fonchion est continue en a et si la limite existe (au sens propre ou impropre), $f_{a}^{(n)}(a)$ , done $f^{(n)}(a)$ existe (au sens propre ou impropre) et est égale à cotte limite. Il est clair d’ailleurs que cetite limite est ¡ + $\infty$ si la fonction est non-concave d’ordre n et est - - os si la fonetion est non-convexe d’ordre $n$ . Si la fonction est à kóme d. d. bornée au voisinage de a, toutes les dérivées $f^{(i)}(a),i=1,2,\ldots$ , $k$ existent et ceoi pour $k\leqq n$ . On peut faire des remarques analogues relativement à l’extrémité $b$ .

D’après une remarque (dans le cas $n=1$ , hypothèse qui d’ailleurs n’est pas ici essentielle) de W. Blasumke ot C. Pick [9], si $f$ est d’ordre 1 sur E et si $a\in\mathrm{E}^{\prime\prime}$ , on a

(x-a)f_{g}^{\prime}(x)\rightarrow 0,\quad(x-a)f_{d}^{\prime}(x)\rightarrow 0,

si $E^{\prime}\exists x=$ a tend vers $a$ . Compte tenant des résultats du $n^{\circ}7$ et des inégalités ontre les dérivées d’une fonction dordre $n$ (voir plus loin no 16), nous pouvons démontrer que dans le cas d’une fonction d’ordre $n(\geq 1)$ nous avons de même,

		$\displaystyle(x-a)^{x}f(x)(x)\rightarrow 0,\quad k=1,2,\cdots,n-1,$
		$\displaystyle(x-a)^{n}f_{g}^{(n)}(x)\rightarrow 0,\quad(x-a)^{n}f_{x}^{(n)}(x)\rightarrow 0,$

lorsque $E^{\prime}\Rightarrow x\neq a$ tend vers $a$ . Une propriété analogue a lieu à l’extrémité droite $b$ de E. Il ne faut pas oublier quo nous supposons E fermé, done borné, done $f$ est bornée sur E.

Dans le cas $E=$ intervalle ouvert $(a,b)$ , les propriétés sont plus précises. Pour que / soit non-conoave resp. convexe d’ordre $n>1$ il faut ot il suffit que $f(k),k\geq n-1$ , existe dans ( $a,b$ ) et soit non-concave d’ordre n - . k. De mème, il faut et il susstit que $f^{(n)}$ existe et soit non-décroissante resp. croissante, sauf peut-etro sur un ensemble au plus dénombrable (pour $n=1$ voir [19]). Si $f^{(n+1)}$ existe, la condition $f^{(n+1)}\geq 0$ est nécessaire el suffisante pour la non-concavité eu $f^{(n+1)}>0$ est suffisante pour la convexilé de $f$ . Nous avons aussi dans ce cas $nA_{n}[f;E]==A_{n-1}\left[f^{\prime};E\right]$ et $nV_{n}[f;E]=V_{n-1}\left[f^{\prime};E\right]$ , quelles que solont les bornes et les variations totales finies ou infinies.

Toujoups d’après L. Gasvary [19], l’existence d’un unique ,
$x_{1}<\xi<x_{2}$ pour tout $x_{1},x_{2}\in(a,b)$ dans la formule des accroissements finis $\left[x_{1},x_{2};f\right]=f^{\prime}(\xi)$ , est nécessaire et suffisante pour la convexité ou la concavité d’ordre 1 de la fonction dérivable $f$ dans (a, b). A. Terracini [58], remarque, d’ailleurs, qu’on a $\xi\geq\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ suivant que $f^{\prime\prime}\cdot f^{\prime\prime\prime}\geq 0$ , en supposant l’existence de ces dérivées.

Si $f$ est d’ordre $n>2$ et $\Delta_{0}$ est le maximum de $|f|$ dans l’intervalle fermé ( $a,b$ ), on a
(10) $\left|f^{\prime}\right|\leqq\overline{b-a},\left|f^{\prime}\sqrt{(x-a)(b-x)}\right|\leqq\mathrm{B}n\Delta_{0},\quad x\in(a+\lambda,b-\lambda)$
avec

\begin{gathered}A=8(7+4\sqrt{3})/3<38,\quad B=2(7+4\sqrt{3})<28\\ \lambda=(b-a)\left(1-\cos\frac{\pi}{2n}\right)/\left(1+\cos\frac{\pi}{n}\right)\end{gathered}

Les inégalités (10) sont analogues aux inégalités

|f|\leqq\frac{2n^{2}\Delta_{0}}{b-a},\quad\left|f^{\prime}\sqrt{(x-a)(b-x)}\right|\leqq n\Delta_{0},\quad x\in(a,b)

de A. Markofp [37] et S. Bernstein [7 b], lorsque $f$ est un polynome de degré $n$ .
P. Montel [39 b] a remarqué, dans le cas $n=0$ , que l’intégrale $\int_{a}^{r}f(t)dt$ , d’une fonction non-concuve resp. convexe d’ordre $n$ , est non-concave resp. convexe d’ordre $n+1$ . On voit, d’ailleurs, que si $k$ est un entier positif, et $f$ sommable et non-concave d’ordre $n$ dans $(a,b)(n\geq 1)$ , l’intégrale d’ordre $k$

\int_{a}^{x}(x-t)^{k-1}f(t)dt

est non-concave d’ordre $n+k$ dans $(a,b)$ .
Si $\varphi(t)$ est une fonction non-décroissante et bornée dans l’intervalle ( $a,b$ ), l’intégrale de Stieltjes

f(x)=\int_{a}^{b}\mathrm{G}_{n}(x,t)d\varphi(t)

(11)

où

\mathrm{G}_{n}(x,t)=\frac{1}{n!}\left[\frac{|x-t|+x-t}{2}\right]^{n},

existe et représente une fonction non-concave d’ordre n à nòmed. d. bornée dans $(a,b)$ . On voit, d’ailleurs, que si $n>1$ ,

		$\displaystyle\qquad f(k)(x)=\int_{a}^{b}G_{n-k}(x,b)d\varphi(t),\quad k=1,2,\cdots,n-1$
		$\displaystyle\text{ et si }n\geqq 1,$
		$\displaystyle\qquad f_{g}^{(n)}(x)=\varphi(x-0)\cdots\varphi(a),\quad f_{d}^{(n)}(x)=\varphi(x+0)+\varphi(a)$
		$\displaystyle\text{ pour tout }x\in(a,b)\text{. }$
		$\displaystyle\text{ Réciproquement, toute fonction non-coñcave d'ordre }n(\geqq 1)$
		$\displaystyle\text{ ot à nème d. d. bornée dans }(a,b)\text{ peut se mettre, à un polynome }$
		$\displaystyle\text{ additif de degré }n\text{ près, sous la forme (11). Il suffi, de prendre, par }$
		$\displaystyle\text{ exemple, }\varphi(t)=f_{d}^{(n)}(t)\text{ et d'ajouter le polynome }$

\sum_{i=0}^{n}\frac{(x-a)^{i}}{i!}f^{(i)}(a).

W. Blaschke et G. Pick [9] ont démontré, dans le cas $n=1$ que la représentation par une intégrale de Stieltjes est toujours possible. En effet, l’intégrale

\Phi(t)=\int_{c}^{t}(x-a)(b-x)df_{d}^{\prime}(x)

où $c=\frac{a+b}{2}$ , existe pour $a<t<b$ et est une fonction non-décroissante, bornée dans l’intervalle ouvert ( $a,b$ ). En pronant pour $\Phi(a)$ une valeur convenable $\leqq\Phi(a+0)$ et pour $\Phi(b)$ une valeur convenable $\geq$ □ ( $b-0$ ), nous avons la représentation

f(x)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}H(x,b)d\Phi(b)

avoc

\mathbf{H}(x,t)=\begin{cases}\frac{x-b}{b-t},&t\leq x\\ \frac{a-x}{t-a},&t\leq x\end{cases}

valable pour tout point $x$ intérieur à l’intervalle ( $a,b$ ).
12. - On peut étudier aussi des dérivées définies autrement.

Pour simplifier supposons $f$ définie dans l’intervalle borné ( $a,b$ ). Supposons qu’at tout $x\in\cdot(a,b)$ corresponde un ensemble $e$ de couples de points ( $x^{\prime},x^{\prime\prime}$ ), tels que $x^{\prime}<x<x^{\prime\prime}$ et que tout roi-
sinage $\mathrm{V}_{x}^{1}$ contienne au moins un couple ( $x^{\prime},x^{\prime\prime}$ ). Le max. of lo min. de $2\left[x^{\prime},x,x^{\prime\prime};n\right]$ tendent, pour $\lambda\rightarrow 0$ , lorsque les points $x^{\prime},x^{\prime\prime},\left(x^{\prime},x^{\prime\prime}\right)\in e$ restent dans l’intervalle ( $x-\lambda,x+\lambda$ ), vers les limites (propres ou impropres) $\overline{\mathbf{D}}^{2}f(x),\underline{\mathbf{D}}^{2}f(x)$ . Nous pouvons appeler $\bar{D}^{2}/(x)$ une dérivée seconde supérieure généralisée en $x$ et $\mathrm{D}^{2}f(x)$ une dérivée seconde inférieure généralisée en $x$ . Si, en tout point $x\in\cdot(a,b)$ , nous avons défini les nombres $\overline{\mathrm{D}}^{2}f(x),\overline{\mathrm{D}}^{2}f(x)$ , nous avons une dérivée seconde supérieure resp. inférieure généralisée dans ( $a,b$ ). Si $f$ est deux fois dérivable on a évidemment. $\overline{\mathrm{D}}^{2}f(x)=\bar{D}^{2}f(x)=f^{\prime\prime}(x)$ .

Nous avons alors la propriété suivante :
Si $f$ est semi-continue supérieurement et s’il existe une dérivée seconde supérieure $\mathbb{D}^{2}f(x)$ telle que

\bar{D}^{2}f(x)\geqq 0,\quad x\in\cdot(a,b)

la fouction $f$ est non-concave d’ordre 1 dans $(a,b)$ .
En effet, soit $\mu=$ min $\bar{D}^{2}f(x)$ dans $(a,b)$ . Nous avons $\mu\geq 0$ . Si $\mu>0$ , la propriété pésulte de la propriété démontrée à la sin du no 8. Pour $\mu=0$ , la propriété résulte du fait qu’alors $f+\alpha x^{2}$ où $\alpha>0$ est dans le cas $\mu>0$ . Les fonctions $f+\alpha x^{2},\alpha>0$ sont done non-concaves d’ordre 1 , il en est de même pour leur limite $f$ si $\alpha\rightarrow 0$ (voir plus loin $\mathrm{n}^{\circ}17$ ).

Dans le cas particulier $x^{\prime}=x\cdots h,x^{\prime\prime}=x+h,0<h<\varepsilon$ , $\varepsilon>0,\mathrm{D}^{2}f(x),\mathrm{D}^{2}f(x)$ sont, les dérivées secondes généralisées habituelles et la propriété précédente est due à S. Saks [51 a].

CHAPITRE II

PROPRIETES DIVERSES DES FONCTIONS D’ORDRE n

13.
- •
  
  Pour une fonction non-concave d’ordre 1 nous avons l’inégalité classique

f\left(\frac{p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\cdots+p_{m}x_{m}}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{m}}\right)\leqq\frac{p_{1}f\left(x_{1}\right)+p_{2}f\left(x_{2}\right)+\cdots+p_{m}f\left(x_{m}\right)}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{m}},

(12)

où $p_{i}>0$ , donnée dans un cas particulier par O. Hölder [22], et dans le cas général par J. L. W. V. Jensen [27]. Si $f$ est convexe l’égalité n’est possible que pour $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{m}$ .
A. del Chiaro [15] a généralisé cette inégalité par la suivante

f\left[\frac{\mid p\varphi dx}{\int pdx}\right]\leqq\frac{\int pf(\varphi)dx}{\int pdx},

(13)

les intégrales étant prises de $a$ à $b$ et où $p(x)$ est sommable et presque partout $>0,\varphi(x)$ mesurable et bornée dans $(a,b),f(x)$ nonconcave d’ordre 1 dans $(m,\mathrm{M}),m=\min\varphi,\mathrm{M}=\max$ . Si $f$ est convexe et q n’est pas presque partout une constante, nous avons le signe ¡ dans (13). Dans des cas particuliers, l’inégalité (13) a déjà été signalée par J. L. W. V. Jensen [27] et G. Pólya [46 a].

Toutes ces inégalités résultent du principe suivant : Soit $f$ non-concave d’ordre 1 sur E et F. une famille de fonctions $\varphi$ d’une ou de plusieurs variables, définies sur un ensemble $\mathrm{E}^{*}$ de manière que : ${}^{10}\varphi$ est uniforme et toutes ses valeurs appartiennent à E , 20 si $\varphi_{1},\varphi_{2}\in\mathscr{I}$ , on a aussi $k\varphi_{1}\in\mathfrak{J},\varphi_{1}+\varphi_{2}\in\mathscr{F},k$ étant une constante réelle, $3^{0}$ si $\varphi\in\mathscr{I}$ , on a aussi $f(\varphi)\in\mathscr{I},4^{0}1\in\mathscr{I}$ . Soit alors Ω[φ] une opération fonctionnelle linéaire non-négative, définie pour la famille $\mathscr{F}^{\circ}$ , dont les valeurs appartiennent à E et telle que $\Omega[1]=1$ . On a done :
$1^{\circ}\Omega[k\varphi]=k\Omega[\varphi]$ si $k$ est une constante,
$2^{\circ}\Omega\left[\varphi_{1}+\varphi_{2}\right]=\Omega\left[\varphi_{1}\right]+\Omega\left[\varphi_{2}\right]$ ,
$3^{\circ}\Omega[\varphi]\geqq 0$ si $\varphi\geqq 0$ .
L’inégalité

f(\Omega[\varphi])\leqq\Omega[f(\varphi)],

résulte alors de (6) comme l’a remarqué B. Jessen [28 a]. En particularisant la famille sh et en choisissant convenablement l’opération $\Omega$ , E. J. MeShane [38] a obtenu diverses inégalités et a aussi étudié les cas où le signe = a lieu. En particulier, la famille peut être formée par une certaine classe de fonctions d’un nombre quelconque $m$ de variables et l’opération $\Omega$ exprimée par une intégrate $m$ -uple.
H. P. Mulholland [40] démontre que, pour que l’on ait

f\left(\frac{\Sigma p_{i}x_{i}}{\Sigma p_{i}}\right)\leqq\mathrm{A}\frac{\Sigma p_{i}f\left(\mathrm{~B}x_{i}\right)}{\Sigma p_{i}},\quad p_{i}>0,

A, B étant deux constantes positives données, il faut et il suffit qu’on puisse trouver une fonction $\varphi$ non-concave d’ordre 1 telle que

\varphi(x)\leqq f(x)\leqq\mathrm{A}\varphi(\mathrm{~B}x).

Considérons la moyenne quasi-arithmétique

\Re_{\varphi}=\varphi^{-1}\left(\frac{\Sigma p_{i}\varphi\left(x_{i}\right)}{\Sigma p_{i}}\right),\quad\text{ ou }\quad\Re_{\varphi}=\varphi^{-1}\left(\int_{0}^{1}\varphi(g)dx\right),

$g$ étant une fonction convenable de $x$ et $\varphi^{-1}$ la fonction inverse de $\varphi$ . B. Jessen [28 a, 28 b] démontre que si $\varphi$ , $\psi$ sont continues, $\varphi$ monotone, $\psi$ croissante, l’inégalité $\mathcal{M}_{\varphi}\leqq\mathcal{M}_{\psi}$ pour tous les $x_{i},p_{i}>0$ ou les fonctions $g$ , revient à l’inégalité de Jensen. Il faut et il suffit en effet, pour qu’il en soit ainsi, que $\psi\left(\varphi^{-1}\right)$ soit nonconcave d’ordre 1. K. Knopp [32 a] remarque, d’ailleurs, que, pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que

\varphi^{-1}\left(\frac{\varphi(x)+\varphi(y)}{2}\right)\leqq\psi^{-1}\left(\frac{\psi(x)+\psi(y)}{2}\right)

pour tous les $x,y$ dans l’intervalle de définition des fonctions.
14. - Des inégalités limitant supérieurement le second nombre de (12) ou de (13) ont été établies sous certaines hypothèses restrictives faites sur les $x_{i}$ ou sur les fonctions $p,\varphi$ .

⁰⁰footnotetext: Tibere Popovigiu.

Soit f continue et non-concave d’ordre 1 dans l’intervalle formé $(0,1)\left({}^{1}\right)$ . Posons

\mathrm{A}=\int_{0}^{1}\varphi dx,\quad\mathrm{~A}_{j}=\int_{0}^{1}f(\varphi)dx

où, pour simplifier, nous pouvons supposer p continue dans $(0,1)$ , telle que $0\leqq\alpha\leqq\phi\leqq\beta\leqq 1,\alpha<\beta$ . L’inégalité de Jensen s’écrit alora $\mathrm{B}_{f}=\Lambda_{f}-f(A)\geqq 0$ . Si, de plus, $\varphi$ est non-concave d’ordre $0,1,\ldots,n$ nous avons [47 1 ],

\Lambda_{l}\leq\int_{0}^{1}fl\alpha+j(j+1)\left[\left(\mathrm{A}-\frac{jx+\beta}{j+1}\right)+\left(\frac{(j-1)\alpha+\beta}{j}-\mathrm{A}\right)x\right]x^{j-1},dx

(14)

\frac{j\alpha+\beta}{j+1}\leqq\Lambda\leqq\frac{(j-1)\alpha+\beta}{i},\quad 2\leqq i\leqq n

et.
(15) $A_{1}\leq\frac{\beta+n\alpha-(n+1)A}{\beta-\alpha}f(\alpha)+\frac{(n+1)(A-\alpha)}{n(\beta-\alpha)\sqrt[n]{\beta-\alpha}}\int_{\alpha}^{\beta}\frac{f(x)dx}{\sqrt[n]{(x-\alpha)^{n-1}}}$ si $a\subseteq A\leqq\frac{n\alpha+\beta}{n+1}$ .

Si, de plus, la fonetion $f$ est convexe, l’égalité dans (14) n’est possible que si φ est égale au polynome qui figure comme argument de $f$ dans le second membre et dans (15) seulement si

\psi=\alpha+(\beta-\alpha)\left[\frac{|x-\lambda|+x-\lambda}{2(1-\lambda)}\right]^{n},\quad\lambda=\frac{\beta+n\alpha-(n+1)\mathrm{A}}{\beta-\alpha}.

Ces résultats conduisent à la limitation supérieure de $\mathbf{B}_{f}$ . D’après K. Knopp [32 b] on a, si p est non-décroissante,

\mathrm{B}_{1}\leqq\max_{(\alpha,\beta)}\left[\frac{(\beta-x)f(\alpha)+(x-\alpha)f(\beta)}{\beta-\alpha}-f(x)\right].

Le maximum du second membre est atteint pour une seule valeur $x_{1}$ de $x$ , si $f$ est convexe. Le maximum de $\mathrm{B}_{f}$ n’est alors altoint que par des fonctions discontinues, par exemple par

\varphi=\begin{cases}\alpha,&0\leqq x\leqq\frac{\beta-x_{1}}{\beta-\alpha},\\ \beta,&\frac{\beta-x_{1}}{\beta-\alpha}\leq x\leq 1.\end{cases}

(1) On peut passer facilement à un intervalle fermé ( $a,b$ ) quelconque.

Lorsque e est continue, mon-décroissante et non-concave d’ordre 1, on a [47, 4 ],

\left.B_{1}\leqq\max_{\left(\alpha,\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}f(\alpha)+\frac{2(x-\alpha)}{\beta-\alpha}\int_{\alpha}^{\beta}[f(t)-f(\alpha)]dt-f(x)\right\}

l’égalité n’étant possible, si f est convexe, que pour une seule valeur $x_{3}$ de $x$ et pour la fonction

\varphi=\alpha+(\beta-\alpha)\frac{|x-\lambda|+x-\lambda}{2(1-\lambda)},\quad\lambda=\frac{\beta+\alpha-2x_{0}}{\beta-\alpha}.

Dans la démonstration que nous avons donnée à ces résultats [47r], nous avons supposé, de plus, que $f$ a des dérivées finies en 0 ot 1. On peut facilement voir que cette restriction n’est pas essentielle.
J. Favard [16] a démontré, entre autres, que

A_{I}\leqq\int_{0}^{1}f(2xA)dx

si $\varphi,0\leqq m\leqq\varphi\leqq\mathrm{M}$ , est non-convexe d’ordre 1 dans $(0,1)$ et $j$ non-concave (intégrable) dans $\left(0,M_{1}\right),M_{1}=\max(M,2A)$ . Si $f$ est, de plus, convexe l’égalité n’est possible que pour les fonctions
$\varphi=\mu x,\quad\mu(1-x),\quad\mu[(1-2\lambda)x+\lambda-|x-\lambda|],\quad\mu>0,\quad 0<\lambda<1$ .
15. - On a cherché à déterminer les inégalités de la forme
(16) $\sum_{i=1}^{m}p_{i}f\left(x_{i}\right)\geqq 0,\quad x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{m},\quad p_{i}\neq 0,\quad i=1,2,\ldots,m$ ,
valables pour toutes les fonctions non-concaves d’ordre n. La condition nécessaire et suffisante est que l’on ait [47 h, 47 [],

	$\displaystyle\sum_{i=1}^{m}p_{i}x_{i}^{k}=0,\quad k=0,1,\ldots,n$		(17)
	$\displaystyle\sum_{i=1}^{r}p_{i}\left(x_{i}-x_{r+1}\right)\left(x_{i}-x_{r+2}\right)\cdots\left(x_{i}-x_{r+n}\right)\leqq 0$
	$\displaystyle r=1,2,\ldots,m-n-1$

On suppose, bien entendu, qu’il s’agit d’une fonction définie sur les points $x_{i}$ . Lorsque la fonction est définie dans un intervalle contenant les points $x_{i}$ , les conditions précédentes ne sont plus
nécessaires pour $n>1$ . Dans co cas les conditions nécessaires et suffisantes sont (17) et

-\sum_{r=1}^{r}p_{i}\left(x_{i}-x\right)^{n}=\sum_{\begin{subarray}{c}i=r+1\\ r=1,2,\ldots,m-n-1\end{subarray}}^{m}p_{i}\left(x_{i}-x\right)^{n}\geq 0,\quad x\in\left(x_{r},x_{r+1}\right),

Lorsque la fonotion est convexe d’ordro $n$ le signe ¿ a lieu dans (16).

Considérons $r$ points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{r}$ et $r$ nombres positifs $\lambda_{1},\lambda_{3},\ldots,\lambda_{r}$ Parmi tous des polynomes de degré $m$ de la forme $P(x)=x^{n}+\ldots$ , il en existe un et un seul $\mathrm{P}_{m}(x)$ rendant minimum Pexpression $\sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}\left[\mathrm{P}\left(x_{i}\right)\right]^{3}$ . Nous avons ainsi une suite de polynomes

1=P_{0},P_{1},\ldots,P_{r-1},\quad P_{r}=\prod_{i=1}^{r}\left(x-x_{i}\right)

qui sont orthogonaux, on ce sens que

\sum_{i=1}^{\sum_{i=1}P_{\alpha}\left(x_{i}\right)P_{\beta}\left(x_{i}\right)=0,\quad\alpha\neq\beta.}

Les zéros du polynome $\mathrm{P}_{m}(m<r)$ sont tous réels, distincts et à l’intérieur de l’intervalle ( $x_{1},x_{r}$ ). De plus, les zéros du polynome $P_{s,s}\leq m$ , sont séparés par les zéros $y_{1}\leq y_{2}\leq\ldots\leq y_{m}$ de $P_{m}$ , $m\leqq r$ , e’est-à-dire que la suite

\mathrm{P}_{s}\left(y_{1}\right),\mathrm{P}_{s}\left(y_{2}\right),\quad\ldots,\mathrm{P}_{s}\left(y_{m}\right)

présente $s$ variations [47 b], ce qui précise beaucoup la distribution des points $x_{i},y_{i}$ .

Les zéros $y_{i}$ de $\mathrm{P}_{m}$ sont déterminés par le système

\sum_{i=1}^{m}\mu_{i}y_{i}^{s}=\sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}x_{i}^{s},\quad s=0,1,\ldots,2m-1,

qui donno aussi les nombres positifs $\mu_{i},i=1,2,\ldots,m$ , que nous appolons les poids du polynome $\mathrm{P}_{m}$ . Les $\lambda_{i}$ sont les poids de $\mathrm{P}_{r}$ .

Toute fonction définie sur les points $x_{i},y_{i}$ et non-concave J’ordre impair $n=2m-1$ , vérifie l’inégalité

\sum_{i=1}^{m}1n_{i}f\left(y_{i}\right)\leqq\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}/\left(x_{i}\right),\quad\left(m\geq 1,\quad r>\frac{n+1}{2}\right).

Pour $r=m+1$ , l’inégalité revient à l’inégalité de définition. Si, de plus, la fonction est convexe nous avons le signe $<[47\mathrm{i}]$ .

Soient, maintenant $z_{1}<z_{2}<\ldots<z_{m}$ les zéros, tous réels et distincts, du polynome $\mathrm{P}_{n}+\rho\mathrm{P}_{m+1}$ . Nous avons le système

\sum_{i=1}^{m}v_{i}z_{i}^{s}=\sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}x_{i}^{s},\quad s=0,1,\cdots,2m-2

qui détermine aussi les poids positifs $\nu_{i}$ du polynome $\mathrm{P}_{m}+\rho\mathrm{P}_{m+1}$ .
Toute fonction non-concave d’ordre pair $n=2m-2$ , définie sur les points $x_{i},z_{i}$ vérifie l’inégalité

\sum_{i=1}^{m}v_{i}f\left(z_{i}\right)\equiv\sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}f\left(x_{i}\right),\quad\left(m\geq 1,\quad r\geq\frac{n+2}{2}\right)

pourvu que le nombre $\rho$ soit choisi de manière que $y_{1}\leqq x_{1}$ , qui pour $r=m$ revient à l’inégalité de définition. Lorsque la fonction est convexe le signe ¡ a lieu [47 1].

Pour $m=1$ on peut voir aussi que, si $f$ est continue et croissante, ou décroissante, il existe un seul $z_{1}$ tel que

f\left(z_{1}\right)=\frac{\sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}f\left(x_{i}\right)}{\sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}},\quad x_{1},\leq x_{2}\leq\cdots\leq x_{r},

et, si $x_{1}<x_{r}$ , on a $x_{1}<z_{1}<x_{r}[210]$ .
Dans le cas $n$ quelconque, on peut faire $r\rightarrow\infty$ et obtenir airsi des inégalités analogues à cello de J. L. W. V. Jensen [voir 47 1].
16. - L’inégalité (16) peut, aussi être écrite sous la forme

\sum_{i=1}^{m}f\left(x_{i}\right)\geq\sum_{i=1}^{m}f\left(y_{i}\right),

(18)

$x_{1}\leqq x_{2}\leqq\ldots\leqq x_{m},y_{1}\leqq y_{2}\leqq\ldots\leqq y_{m}$ , si les rapports mutuels dess coefficients $p_{i}$ sont rationnels.

Pour que cette inégalité soit vérifiée pour toute fonction / nondécroissante, il faut et il suffit que $x_{i}\geq y_{i},i=1,2,\ldots m$ , les cas d’égalités étant immédiats.
G. H. Hardy, J. L. Liptlewood et G. Pólya [21 a] et J. Kaba-

MATA [31] onl examiné J’inégalité (18) pour une sonction nonconcave d’ordre 1. La condition nécessaire et suffisante cherchée egt alors

\begin{gathered}x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{i}\leq y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{i},\quad i=1,2,\ldots,m-1,\\ x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}=y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{m}.\end{gathered}

Cette condition est équivalente à la suivante[21 b]: On peut trouver $m^{2}$ nombres non-négatifs $p_{ij}$ tels que

	$\displaystyle y_{i}=$	$\displaystyle p_{i1}x_{1}+p_{i2}x_{2}+\cdots+p_{im}x_{m,}\quad i=1,2,\cdots,m$
		$\displaystyle\sum_{i=1}^{m}p_{ij}=\sum_{j=1}^{m}p_{ij}=1,\quad i,j=1,2,\cdots,m$

Dans cette catégorie rentre l’inégalité de K. Tons [59]

\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}f\left(x_{i}\right)\geq\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^{m-1}f\left(y_{i}\right)

valable pour tonte fonction non-concave d’ordre 1 , les $y_{i}$ étant les zéros de la dérivée du polynome $\prod_{i=1}^{m}\left(x-x_{i}\right)$ , l’égalité n’étant possible pour une fonction convexe, que si $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{m}$ . Pour les fonctions de la forme $x^{p}(p\geq 1$ ou $p<0)$ , cette inégalité a été déjà étudiée par H. E. Bray [12] et S. Kakeya [30 c].

Linégalité de M. Pethovitch [44]

\sum_{i=1}^{m}f\left(x_{i}\right)\leqq(m-1)f(0)+f\left(\sum_{i=1}^{m}x_{i}\right),\quad x_{i}\geq 0,

ou l’inégalité plus générale

\sum_{i=1}^{9}p_{i}f\left(x_{i}\right)\leq\left(p_{i}-1\right)f(0)+1\left(\sum_{i=01}^{9}p_{i}x_{i}\right),\quad x_{i}\geq 0,\quad p_{i}>0

où $f$ est non-concave d’ordre 1 dans $(0,+\infty)$ fermé à gauche, peut. se rattacher aux inégalités (16) et (18).

Pour que l’on ait, $\varphi,\psi$ , étant non-décroissantes.

\int_{a}^{b}f(\varphi)dx\leqq\int_{a}^{b}f(\psi)dx

(19)

pour toute fonction $f$ continue et non-concave d’ordre 1, il faut eb il suffit que

\left.\int_{\xi}^{b}\varphi dx\leqq\int_{\xi}^{b}\psi dx,\quad a\leqq\zeta\leqq b\quad\text{ (pour }\xi=a,\text{ le signe est }=\right)

ou bien, sous une autre forme, équivalente à celle-ci,

\left.\int_{a}^{b}|\varphi-\lambda|dx\leqq\int_{a}^{b}|\psi-\lambda|dx,\quad\text{ (pour }\lambda=0,\text{ le signe est }=\right)

quelle que soit la constante $\lambda$ [21 b].
Tous ces résultats s’obtiennent facilement, en remarquant que, pour qu’une inégalité de la forme indiquée soit vraie pourtoute fonction non-concave d’ordre $n$ , il faut et il suffit qu’elle soit vraie pour un polynome de degré $n$ et pour les fonctions de la forme $(|x-\lambda|+x-\lambda)^{n}$ , $\lambda$ élant une constante.

Comme une application de (19), on peut considérer l’inégalité

\frac{1}{2h}\int_{x\rightarrow h}^{x+h}f(t)dt\leqq\frac{f(x+h)+f(x-h)}{2},\quad x+h,x-h\in\cdot(a,b).

qui est vérifiée par toute fonction non-concave d’ordre 1 dans ( $a,b$ ). Réciproquement, toute fonction sommable et semi-continue supérieurement, qui vérifie cette inégalité, quels que soient $x$ ot $h$ possibles, est non-concave d’ordre 1 dans $(a,b)$ .
T. Rado [48 b] a généralisé celte inégalité de la manière suivante : l’inégalité

	$\displaystyle{\left[\frac{1}{2h}\int_{x-h}^{x+h}[f(t)]^{\alpha}dt\right]^{\frac{1}{\alpha}}\leqq\left[\frac{f(x+h)^{\beta}+f(x-h)^{\beta}}{2}\right]^{\frac{1}{\beta}}}$		(20)
	$\displaystyle x+h,x-h\in\cdot(a,b)$

est vérifiée par toute fonction continue, positive et non-concave d’ordre 1 dans $(a,b)$ si, et seulement si $\alpha\leq-2,\beta\geq 0$ , ou $-2\leqq\alpha\leqq-\frac{1}{2},3\beta\geqq\alpha+2$ , ou $-\frac{1}{2}\leqq\alpha\leqq 1,\beta\supseteq\alpha\log 2/\log(\alpha+1)$ , ou, enfin, $\alpha\geq 1,3\beta\geq\alpha+2$ . Si $3\beta-\alpha-2\leq 0$ et si la fonotion continue et positive $f$ satisfait à l’négalité (20), elle est nonconcave d’ordre 1 dans $(a,b)$ . Il en résulte que les fonctiona continues, positives et non-concaves d’ordre 1 sont carachérisées par l’inégalité (2), si $3\beta=\alpha+2et-2\leq\alpha\leq-\frac{1}{2}$ ou $\alpha\geq 1$ .
17. — On peut aussi établir des inégalités entre les valeurs de la fonction $f$ et de ses dérivées jusqu’à un certain ordre. Pour simplifier, supposons $f$ définie dans un intervalle contenant les points $x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{m}$ . Pour que l’inégalité (21) $\sum_{i=1}^{m}\sum_{i=0}^{k_{i}}p_{ij}(i)\left(x_{i}\right)\geq 0,\quad\sum_{i=0}^{k_{i}}\left|p_{ij}\right|\neq 0,\quad i=1,2,\ldots,m_{i}$ ,
oin $0\leqq k_{i}\leqq n$ ot $f^{(n)}$ désigne l’une des dérivées $f_{g}(n),f_{d}^{(n)}$ (non pas nécossairement la même pour lous les $x_{1}$ ), soit vénifiée pour touba fonction non-concave d’ordre n, il faut ot il susist que

		$\displaystyle\sum_{i=1=1}^{m}\sum_{j=0}^{k_{i}}\operatorname{pys}_{i}(s-1)\cdots(s-j+1)x_{i}^{s-j}=0,\quad s=0,1,\ldots,n,$
		$\displaystyle\sum_{i=r+1j=0}^{m}p_{ij}n(n-1)\cdots(n-j+1)\left(x_{i}-x\right)^{x_{n}-1}\geq 0,\quad x\in\left(x_{r},x_{r+1}\right)\text{, }$
		$\displaystyle r=1,2,\ldots,m-1.$

En particulier, dans le cas $\sum_{i=1}^{m}\left(k_{i}+1\right)=n+2$ , l’inégalité (21) n’est autre que la limite de l’inégalité de définition (1) lorsque les points $x_{i}$ tendent l’un vers l’autre par groupes de $k_{i}+1,k_{a}+1$ , …, sem +1 points. On peut écrire cette inëgalité sous la forme

\left[\frac{x_{1},x_{1},\ldots,x_{1}}{k_{1}+1},x_{2},x_{2},\ldots,x_{2},\ldots,x_{m,}^{x_{m}+1},\ldots,x_{m};n\right]\geq 0

et lo premier membre est un quotient de deux déterminants qu’on obtient facilement de la d. d. d’ordre $n+1$ par application répétée de la régle de LjHospital. En particulier, pour $m=2,k_{1}=k$ , nous obtenons

	$\displaystyle(-1)^{n-k+1}$	$\displaystyle{\left[\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}(n-\cdots,\cdots-a)^{i}f(i)(a)-\right.}$
		$\displaystyle\left.-\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^{f}(n-k)(n-i)!(b-a)^{if(i)}(b)\right]\geq 0,\quad a<b.$

Si la fonction $f$ est convexe d’ordre $n$ , dans toutes ces inégalités le signe ¿ a lieu.
18. - Une fonction peut jouir à la fois de plusieurs propriétés de convexité. En particulier, les fonctions qui sont non-concaves d’ordre $0,1,\ldots,n$ s’appellent aussi ( $n+1$ ) - fois monotones et interviennent dans divers problèmos d’Analyse Mathématique. Les fonctions non-concaves de tout ordre ontier non-négatifs sont aussi appelées fonctions complètement monotones. Nous dirons un mot sur ces fonctions au Chap. suivant.

Il existe des fonctions défnies sur un onsemble fini, jouissant
de plusieurs propriétés de convexité données d’avance, pourvu que, si la propriété d’ordre $n$ est de polynomialité, toute propriété d’ordre $>n$ soit aussi de polynomialité. D’ailleurs une fonction polynomiale d’ordre $n$ doit nécessairement être convexe, polynomiale ou concave d’ordre $n-1$ . On peut aussi trouver des fonctions (polynomes) jouissant d’un nombre fini de propriétés de convexité ou concavité choisies arbitrairement dans un intervalle $(a,b)$ [47 d]

La famille des fonctions d’ordre $n$ est invariable par une transformation linéaire. Si $f,g$ sont des fonctions jouissant des mêmes propriétés de convexité, les fonctions cf, $f+g$ jouissent aussi des mêmes propriétés si $c$ est une constante positive, la convexité et la polynomialité étant regardées comme des cas particuliers de la non-concavité. On peut aussi préciser les caractères de convexité du produit $fg$ et de la fonction de fonction $f(g)$ . Par exemple, si $f$ est non-concave d’ordre - $1,0,1,\ldots,n$ et $g$ non-concave d’ordre - $1,0,1,\ldots,n$ ou non-convexe d’ordre - $1,0,1,\ldots,n$ , le produit $fg$ est aussi non-concave ou non-convexe d’ordre - 1,0 , $1,\ldots,n$ . Si $f,g$ sont $n$ -fois monotones, $f(g)$ est aussi $n$ -fois monotone,… etc. De telles propriétés ont déjà été établies par J. L. W. V. Jensen [27]. pour les fonctions monotones et les fonctions d’ordre 1.

La limite d’une suite convergente $\left|f_{m}\right|$ de fonctions jouissant des mêmes propriétés de convexité, jouit encore des mêmes propriétés. D’après P. Montel [ 39 b] si les $f_{m}$ sont non-concaves d’ordre 1 et également bornées sur un sous-ensemble complètement intérieur à E, $\overline{\text{ im }}f_{m}$ et max $f_{m}$ sont aussi non-concaves d’ordre 1 sur ce sous-ensemble. Ces propriétés restent vraies pour les fonctions d’ordre -1 ou 0 et aussi pour les fonctions qui possèdent deux ou trois propriétés d’ordre - 1,0 et 1 , mais nesont évidemment pas vraie pour les fonctions d’ordre $>1$ . Pour le voir, il suffit de prendre la famille de deux fonctions $x$ , - $x$ , qui sont d’ordre $n>1$ , mais leur fonction maximum $|x|$ n’est pas d’ordre $n>1$ dans un intervalle contenant l’origine. G. Valiron [61 a] a précisé les résultats précédents en remarquant que si $f(x;t)$ est continue en $x$ et $t$ pour $a\leqq x\leqq b,\alpha\leqq t\leqq\beta$ et convexe d’ordre 1 en $x$ pour tout $t$ , la fonction max $f(x;t)$ sur $\mathbf{E}_{t}\subset(\alpha,\beta)$ est aussi convexe d’ordre 1 dans $(a,b)$ . L’exemple
$f(x;t)=\frac{\sqrt{16-t^{2}}-\sqrt{16-(2x-t)^{2}}}{2},\quad-1<x<1,\quad-1\leqq t\leqq 1$ ,
nous montre que cette proprièté ne peut s’étendre au cas $n>1$ . Au contraire, comme G. Valiron [ $\mathbf{61}$ al] le remarque aussi dans le cas $n=1$ , l’intégrale $\int_{x}^{\beta}f(x;t)dt$ est non-concave resp.convexe dordre $n$ si $f(x;i)$ est non-concave resp. convexe d’ordren pour Lout $t$ . Ici il suffit d’ailleurs que l’intégrale existe au sens de Lebesgue, quel que soit $x$ et on peut, évidemment, remplacer ( $a,b$ ) par un ensemble E queleonque, et ( $x,\beta$ ) par un ensemble mesurable queleonque.

Toute famille de fonctions non-coneaves d’ordre 1 et également bornées sur E est aussi également continue done normale sur toute section c. E. M. Nicolesco [41] a démontré que la famille est normale pourvu que les fonctions soient également bornées supéricurement et en déduit que toute suite monotone de fonctions non-concaves d’ordre 1 qui converge en un point $x_{0}\in\cdot E$ converge uniformément sur toute section c . E.
19. - P. Montea [39 b] et G. Valiron [61 a] ont démontré que pour que $\log/$ soit non-concave resp. convexe d’ordre 1 il faut et il suffit que $e^{xy}f$ soit non-concave resp. convexe d’ordre 1 pour toutes les valeurs de la constante $\alpha$ .

Soit $F(t)$ une fonction croissante dans ( $-\infty,+\infty$ ). Si la fonction $F(f+P)$ est non-concave resp. convexe d’ordre $n(\geq 1)$ sur E, quel que soit le polynome P de degré $n$ sans terme constant, la fonction $f$ est non-concave resp. convexe d’ordre $n$ sur E. En effet, si l’on détermine le polynome P tel que

f\left(x_{i}\right)+P\left(x_{i}\right)=p,\quad i=1,2,\ldots,n+1,

On a

f\left(x_{n+2}\right)+P\left(x_{n+2}\right)=\rho+\frac{U\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right)}{V\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}\right)}

et l’inégalité

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};F\right]\geqq 0\text{ resp. }>0,

nous donne

\mathrm{F}\left(\int\left(x_{n+2}\right)+\mathrm{P}\left(x_{n+2}\right)\right)\geqq\mathrm{resp}.>\mathrm{F}(\rho),

d’où la propriété. Pour $n=0$ la propriété est banale. Si $F(f)$ est non-décroissante resp. croissante, $f$ ost évidemment non-décroissante resp. croissante sur E.

Mais il y a des résultats beaucoup plus complets. Supposons $F(t)$ continue dans ( $-\infty,++\infty$ ), et soit $f$ une fonction continue dans l’intervalle ( $a,b$ ). En suivant un raisonnement de S. Saks [51 c], on peut démontrer que, si $\mathrm{F}(f+\alpha x+\beta)$ est non-concave d’ordre 1 , quelles que soient les constantes $\alpha,\beta$ , alors : $1^{\circ}\mathrm{F}$ est non-concave d’ordre 1 ; $2^{\circ}$ ou bien $F$ est, constante, ou $f$ est linéaire, on F est non-décroissante ol $f$ est non-concave d’ordre 1 , ou enfin F est non-croissante et $f$ est non-convexe d’ordre 1 . Si $n>1$ les questions se présentent beaucoup plus simplement. Supposons, pour simplifier encore, que $F$ et $f$ sont ( $n+1$ ) fois dérivables. Alors, si $\mathrm{F}(/-\mathrm{F})$ est non-concave d’ordre n, quel que soit lo polynome P de degré $n$ , la fonction F est nécessairement linéaire. Soit, on effet, $\xi$ une valeur de $t,x_{0}$ une valeur de $x$ et $\alpha$ un nombre quelconque. Nous pouvons déterminer le polynome P de manière que l’on ait

	$\displaystyle f\left(x_{0}\right)+\mathrm{P}\left(x_{0}\right)=\xi,$	$\displaystyle f^{(k)}\left(x_{0}\right)+\mathrm{P}(k)\left(x_{0}\right)=1,\quad k=1,2,\ldots,n-1$
		$\displaystyle f^{(n)}\left(x_{0}\right)+\mathrm{P}(n)\left(x_{0}\right)=\alpha.$

La formule de la dérivée $(n+1)^{\text{àme d'une fonetion de fonetion }}$ nous donne alors, pour $x=x_{01}$

\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}\Gamma(f+P)=(n+1)\alpha F^{\prime\prime}(\xi)+A\geqq 0,

A étant un nombre indépendant de $\alpha$ . On en déduil, $\Gamma^{\prime\prime}(\xi)=0$ , done $F$ est linéaire. On voit d’ailleurs que, de plus, ou bion $F$ est constante, ou bien F est, non-décroissante et f non-concavo d’ordro $n$ , ou bien $F$ est non-croissante et / non-convexe d’ordre n.
P. Montel [39 b] et G. Valiron [61 a] ont également démontré que, si log / est non concave resp. conveze d’ordre 1 en $\log x$ , la fonotion $\log\int_{0}^{x}/(x)dx$ est aussi non concave resp. convexe d’ordre 1 en $\log x$ .
20. – D’après J. Pál [43], tonte fonetion continuo non-ooneave d’ordre 1 dans un intervalle fermé, peut èbro approehéo indéfniment par des polynomes non-coneaves d’ordre 1. Toute fonetion $f$ , continue dans l’intervalle fermé $(a,b)$ est la limite d’une suite de polynomes, jouissant des mêmes propriétés de convexilé que f
el convergente uniformément dans tout l’intervalle [47 d]. Ceoi est réalisé par les polynomes de S. Bernstern [7 a],

\mathrm{P}_{n}=\mathrm{P}_{n}(x;f)=\frac{1}{(b-a)^{n}}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}f\left(a+i\frac{b-a}{n}\right)(x-a)^{i}(b-x)^{n-i}.

De plus, toute fonction continue et non-concave d’ordre $n$ dans (a, b) est la limite d’une suite uniformément convergente de polynomes d’ordre $n$ dans $(-\infty,+\infty)[470]$ .

La $k$ òne borne de $P_{m}$ est $\leqq$ la kème borne de $f$ pour $k=0,1$ et est en général ¡ la, kòme borne de $f$ pour $k>1$ . De même la hème variation totale de $\mathrm{P}_{n}$ est $\leq$ celle de $f$ pour $k=0,1$ et est en général ¡ que celle de / pour $k>1$ [47d].

On a, d’ailleurs,

\left|f(x)-P_{n}(x;f)\right|\leqq\frac{3}{2}m\left(\frac{b-a}{\sqrt{n}}\right),\quad x\in(a,b),

$\omega(\delta)$ étant le module d’oscillation de $/[47\mathrm{~d}]$ .
Toute fonction continue et d’ordre $n$ dans $(a,b)$ est la limite d’une suite uniformément convergente de fonctions élémentajres (voir no 6) d’ordre $n$ [47 c]. Supposons, d’abord, que $f$ ail une dérivée continue d’ordre $n-1$ dans l’intervalle fermé $(a,b)$ , c’est alors une fonction non-concave d’ordre 1. On peut trouver une ligne polygonale $y=\varphi(x)$ inscrite dans la courbe $y=f^{(n-1)}(x)$ , de manière que l’on ait

\left|f^{(n-1)}-\varphi\right|<\frac{(n-1)!\epsilon}{(b-a)^{n-1}},\quad x\in(a,b),

& ¿ q quelconque étant donné d’avance. φ est une fonction élémentaire d’ordre 1. La fonction élémentaire d’ordre n

\varphi^{*}(x)=\int_{a}^{b}\mathrm{C}_{n-2}(x;t)\varphi(t)dt+\sum_{i=1}^{n-2}\frac{(x-a)^{i}}{i!}f^{(i)}(a),

vérifte alors l’inégalité.

\left|f(x)\cdots\varphi^{*}(x)\right|<\varepsilon,\quad x\in(a,b).

Dans le cas général, il suffit de remarquer qu’on peut trouver d’abord une fonction $f_{1}$ ayant une ( $n-1$ )ème dérivée continue telle que max $\left|f-f_{1}\right|$ soit aussi petit que l’on veut.

Remarquons, d’ailleurs, comme le fait L. Galvani [19] dans le
cas $n=1$ , que pour toute fonction non-concave d’ordre $n$ dans ( $a,b$ ) nous avons une décomposition de la forme

f(x)=f^{*}(x)+x_{i=1}^{\infty}c_{i}\left[\frac{\left|x-x_{i}\right|+x-x_{i}}{2}\right]^{n},\quad x\in\cdot(a,b),

où $x_{i}\in(a,b),c_{i}=0,\sum_{i=1}^{\infty}c_{i}<+\infty$ et $f$ est non-concave d’ordre $n$ ayant une dérivée d’ordre $n$ continue dans l’intervalle ouvert $(a,b)$ . Lea $x_{i}$ sont les points de discontinuité de la $n^{\text{ome }}$ dérivée do $f$ eb

c_{i}=\frac{1}{n!}\left[f_{d}^{(n)}\left(x_{i}\right)-f_{g}^{(n)}\left(x_{i}\right)\right].

21.
- •
  
  Le polynome de Tchebycheff, ou le polynome de meilleure approximation de degré $n,\mathrm{~T}_{n}$ d’une fonction continue $f$ , définie sur un ensemble fermé E, est le polynome rendant minimum l’expression max $|f-\mathrm{P}|$ sur E, où P parcourt i’ensemble des polynomes de degré $n$ . Le polynome $\mathrm{T}_{n}$ est earactérisó complètoment par le fait que $f-\mathrm{T}_{n}$ atteint les valeurs $\pm\max\left|/-\mathrm{T}_{n}\right|$ en au moins $n+2$ points consécutifs avec des signes alternés, comme l’a démontré E. Borel [11].

Si $f$ est, de plus, non concave d’ordre $n$ , ne se réduisant pas à un polynôme de degré $n$ , on peut trouver seulement $n+2$ points consécutifs où

f-\mathrm{T}_{n}=\pm\max\left|f-\mathrm{T}_{n}\right|

avec des signes alternés. Autrement dit, si $f$ est non concave d’ordre $n$ , sans être polynomiale d’ordre $n$ , les polynômes $\mathrm{T}_{n},\mathrm{T}_{n+1}$ sont distincts, donc $\mathrm{T}_{n+1}$ est effectivement de degré $n+1$ .

Réciproquement, si $f$ est une fonction continue dans l’intervalle fermé $(a,b)$ et si, quel que soit l’intervalle fermé $(c,d)\subset(a,b)$ , le polynôme de Tchebychev de degré $n+1$ de $f$ dans $(c,d)$ est effectivement de degré $n+1$ , la fonction $f$ est convexe ou concave d’ordre $n$ dans $(a,b)$ $[47]$ .

On peut aussi remarquer que, si $f$ est d’ordre $n$ , la valeur max $\left|f-T_{n}\right|$ est nécessairement atteinte aux extrémités $a$ et $b$ . On a, d’ailleurs,

\left[f(a)-T_{n}(a)\right]\left[f(b)-T_{n}(b)\right]\leq 0\quad\text{ou}\quad\geq 0

suivant que $n$ est pair ou impair.

Réciproquement, si $f$ est continue dans l’intervalle fermé $(a,b)$ et si, quel que soit l’intervalle fermé $(c,d)\subset(a,b)$ , le polynôme $T_{n}$ de $f$ dans $(c,d)$ vérifie les égalités

\left|f(c)-\mathrm{T}_{n}(c)\right|=\left|f(d)-\mathrm{T}_{n}(d)\right|=\max_{(c,d)}\left|f-\mathrm{T}_{n}\right|,

la fonction $f$ est d’ordre $n$ dans $(a,b)$ $[47]$ .

22. Considérons l’intégrale

I(\varphi)=\int_{a}^{b}\varphi(x)dx

Si $f$ est mesurable et bornée dans l’intervalle fermé ( $a,b$ ), l’expression $\mathrm{I}(|f-\mathrm{P}|)$ a un minimum lorsque P parcourt l’ensemble des polynomes de degré $n$ . Ce minimum est atteint par au moins un polynome $\mathrm{P}_{n}$ , qui est unique si $f$ est continue, comme l’a démontré D. Jackson [26]. En particulier, pour $f=x^{n+1}$ , A. Korkine, G. Zolotarefe [31 bis] et M. Fujewara [18] ont montré que
(22) $x^{n+1}-\mathrm{P}_{n}=\frac{(b-a)^{n+1}\sin(n+2)\theta}{2^{2n+2}}+\quad 0=\arccos\frac{2x-a-b}{\sin\theta};\quad$ a done $(n+2)\left(x^{n+1}-P_{n}\right)$ est la dérivée du polynome

\frac{(b-a)^{n+2}}{2^{2n+3}}\cos(n+2)0

qui s’écarte, parmi tous ceux de la forme $x^{n+1}+\ldots$ , lo moins possible de zéro dans l’intervalle ( $a,b$ ). Les zéros du polynome (22) sont

t_{k}^{(n)}=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\cos\frac{k}{n+2},\quad k=1,2,\ldots,n+1

On peut donc dire quo le minimum de $I\left(\left|x^{n+1}-P\right|\right)$ est, réalisé par le polynome de Lagrange $\mathrm{P}\left(t_{1}^{(n)},t_{2}^{(n)},\ldots,t_{n+1}^{(n)};x^{n+1}\mid x\right)$ .

Soit $n=0$ et $f$ une fonction monotone (non constante) qu’on peut supposer être non-décroissante. Le problème rovient alors à déterminer le minimum de $I(|f-\lambda|)$ comme fonction de $\lambda$ . Le minimum est encore atteint par $\mathrm{P}\left(t_{1}^{(0)};f\mid x\right)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ , ce qui résulte de l’inégalité

(2x-a-b)f(x)\geqq 2\int_{\frac{a+b}{2}}^{x}f(t)dt

équivalente à l’inégalité $\left[x,x,\frac{a+b}{2};F\right]\geq 0$ , vérifiée par la fonc-
tion $\mathrm{F}(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ , non-concave d’ordre 1. H. Steinhaus [55] a démontré que, si $n=1$ , le minimum est fourni par le polynome $\mathrm{P}\left(t_{1}^{(1)},t_{2}^{(1)};f\mid x\right)$ si $f$ est d’ordre 1. Enfin, V. Hruska [24] a montré. que, pour $n$ quelconque, le minimum est donné par le polynome $\mathrm{P}\left(t_{1}^{(n)},t_{2}^{(n)},\ldots,t_{n+1}^{(n)};f(x)\right.$ lorsque $f^{(n+1)}$ existe et est $\geqq 0$ . On en déduit facilement que le résultat subsiste si $f$ est seulement d’ordre $n$ .

CHAPITRE III

GENÉRALISATIONS DES FONCTIONS D’ORDRE $n$

23.
- •
  
  Il parait que O. Stolz [57] a le premier introduit les fonctions convexes, en démontrant que pour l’existence des dérivées à gauche et à droite, ’ $f_{g}{}^{\prime}$ et $f_{d}{}^{\prime}$ , en tout point d’un intervalle ouvert ( $a,b$ ) où la fonction continue $f$ est définie, il suffit qu’à tout $x$ correspond un $n>0$ tel que l’on ait

f(x+h)+f(x-h)-2f(x)\geqq(\mathrm{ou}\leqq)0,

(23)

pour $|h|<n$ . Cet auteur démontre que (23) entraîne l’inégalité

\left[x_{1},x_{2},x_{3};f\right]\geqq(\mathrm{ou}\leqq)0,\quad a\leqq x_{1}<x_{2}<x_{3}\leqq b.

Mais c’est J. L. W. V. Jensen [27] qui a lo promier étudié d’une façon systématíque les fonctions vérifiant l’inégalité (23).

Considérons les différences d’ordre $n$ ,

\delta_{h}^{n}f(x)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(x+ih)

de la fonction $f$ , définie dans l’intervalle $(a,b)$ . La différence $\partial_{h}^{h}f(x)$ est, à un facteur indépendant de la fonction près, une d. d. d’ordre $n$ ,

\hat{o}_{h}^{n}f(x)=n!h^{n}[x,x+h,x+2h,\ldots,x+nh;f].

Définition. - Nous dirons que la fonction $f$ , définie dans l’intervalle $(a,b)$ est convexe, non-concave, polynomiale, non-convexe resp. concave d’ordre $n(\mathrm{~J})$ , ou au sens de Jensen, dans ( $a,b$ ) suipant que l’inégalité
$\hat{o}_{h}^{n+1}f(x)>,\geqq$ , =, sesp. $<0,\quad x,x+(n+1)h\in(a,b),\quad h>0$ , est satisfaite.

Toutes ces fonctions sont des fonctions d’ordre n (J).
On en déduit immédiatement que, pour ces fonctions, l’inégalité (1) est vérifiée, pourvu que les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}$ se divisent rationnelloment, c’est-à-dire que les rapports $\frac{x_{n+2}-x_{i}}{x_{i}-x_{1}}$ soient rationnels.

La définition pout s’étendre à tout ensemble E qui est tel qu’avec $x_{1},x_{2}\in\mathrm{E}$ on a toujours $\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\in\mathrm{E}$ . Ainsi on peut étendre la définition à tout ensemble de points rationnels, mais dans ce cas, d’après la remarque précédente, ces fonctions sont d’ordre n au sens ordinaire (du chap. I).

Toute fonction convexe, non-concave, … etc. d’ordre $n(J)$ sur $E$ est convexe, non-concave, … etc. d’ordre $n$ au sens ordinaire sur tout sous-ensemble de $E$ dont les points se divisent rationnellement.
24.—Toute fonction convexe, non-concave, … etc., d’ordre $n$ au sens ordinaire dans $(a,b)$ est évidemment convexe, non-concave, … etc., d’ordre $n(J)$ dans $(a,b)$ . Si $n=0$ , la réciproque est vraie naturellement puisque les deux définitions coïncident, mais si $n>0$ , la réciproque n’est vraie que si l’on fait certaines hypothèses restrictives sur la fonction $f$ . Il en est ainsi si la fonction est continue dans $(a,b)$ ou, plus généralement, si la fonction est bornée dans $(a,b)$ . J. L. W. V. Jensen [27] a démontré que, pour la fonction non-concave d’ordre $1$ , il suffit même qu’elle soit bornée supérieurement. P. Tortorici [60 a] a donné une nouvelle démonstration de cette propriété. La propriété réciproque est vraie aussi lorsque la fonction est mesurable dans $(a,b)$ , comme l’ont démontré pour $n=1$ H. Blumberg [10] et W. Sierpiński [54 b]. W. Sierpiński [54 c] a même démontré que, pour $n=1$ et la fonction non-concave, il suffit qu’il existe une fonction mesurable $\varphi$ telle que $f=\varphi$ . A. Ostrowski [42] démontre une propriété analogue.

L’étude des fonctions linéaires (d) revient on somme à Téfade de l’équalion de Caveny.

f(x+y)=f(x)+f(y),

(24)

dont la solution continue est $\Delta x$ , A élant, une constante. En eflet, sí $f$ est linéate (J) la fonction $f(x)$ - $f(0)$ vérifie l’óquation (24). Relabivement à ceble équalion, G. Dandoux [14]démontre que la
solution est encore Aæ pourvu que / soit bornée supórieurement où inférieurement dans un intervalle sini. D’après H. Lebesaus [35], S. Banach [3] et W. Sterpinski [54 a] il en est encore ainsi si l’on suppose / mesurable. M. Kac [29] ( ¹ ) en a donné récemment une élégante démonstration. M. Kormes [33] a montré qu’il suffit même que $f$ soit bornée sur un ensemble mesurable de mesure $>0$ . On peut, d’ailleurs, démontrer, pour toutes les hypothèses signalées, qu’il suffit qu’elles soient, réalisées dans un intervalle si petit. soit il. De même l’hypothèse de M. Kormes est applicable à toutes les fonctions d’ordre $n$ quelconque.

Faisons une petite disgression sur les équations de la forme

\delta_{h}^{n}f(x)=0.

(25)

P. Montel [39 a] a démontré que si $f$ est continue et (25) est vérifiée pour tout $x$ et pour deux valeurs fixes $\omega_{1},\omega_{2}(\angle 0)$ de $h$ , dont le rapport est irrationnel, la fonction $f$ est un polynome de degré $n-1$ . Il en est ainsi même si $f$ est continue seulement en n points $[47$ e]. Nous avons étudié les généralisations de l’équation (25) dans un autre travail [47 s].
25. - Disons quelques mots sur les fonctions discontinues d’ordre $n(J)$ . Des remarques faites plus haut il résulte que si $f$ est. d’ordre $n(\geq 1)(J)$ , elle est uniformément continue sur l’ensemble des points qui divisent rationnellement l’intervalle $(a,b)$ et qui appartiennent à un sous-intervalle $c\cdot(a,b)$ . On retrouve ainsi, pour $n=1$ , une propriélé de F. Berinstein [5].

Soit $f$ non-concave d’ordre $1(J)$ dans $(a,b)$ fermé. F. Bennstenn et G. Doetser [6] oni démontré que, si fn’est pas bornée inférieurement dans l’intervalle ( $a,b$ ), elle n’est bornée inférieurement en aucum point de ( $a,b$ ). Ces auteurs ont aussi démontré que, si $m(x)$ est la fonction borne inférieure de $f$ et si $f\neq m$ en un point $x\in\cdot(a,b)$ , la fonction $f$ n’est bornée supérieurement en aucun point, et les points représentatifs $(x,f(x))$ de la courbe $y=f(x)$ sont partout denses au-dessus de $y=m(x)$ . La fonction $m(x)$ est, d’ailleurs non-concave d’ordre 1 si / est bornée inférieurement.

⁰⁰footnotetext: (1) Les démonstrations de MM. W. Srerpinski et M. Kac sont particulièrement importantes puisqu’elles n’emploient pas l’axiome de Zermelo. Au contraire, les résultats qui suivent ici sont démontrés à l’aide de cet axiome (plus exactement à l’aide du fait qu’un ensemble peut être bien ordonnó).

Dans le cas contraire, les points représentatifs ( $x,f(x)$ ) sont partout denses dans la bande comprise entre les ordonnées a et b. G. Hamel. [20] remarque aussi que, si $f$ est linéaire (J) dans ( $-\infty$ , + $\infty$ ), les points représentatifs sont partout denses dans le plan.
G. Hamel [20] a construit la fonction linéaire (J)la plus générale en résolvant l’équation (24). A une constante additive près, cette fonction est de la forme

\left.\int r_{1}\alpha+r_{2}\beta+\cdots\right)=r_{1}f(\alpha)+r_{2}f(\beta)+\cdots,

où $r_{1},r_{2},\ldots$ sont des nombres rationnels, $\alpha,\beta,\ldots$ les éléments d’une base Ho des nombres réels, done des nombres tels que tout $x$ peut être représenté d’une manière unique sous la forme

x=r_{1}^{\alpha}+r_{2}^{\beta}+\cdots,\quad\alpha,\beta,\cdots\in\mathcal{H},

avec un nombre fini de nombre rationnels $r_{1},r_{2},\ldots$ non nuls el enfin $f(\alpha),f(\beta),\ldots$ sont des nombres donnés queleonques.
M. H. Ingraham [25] a généralisé ce résultat donnant la solution générale de l’équation (25).
26. - En ne considérańt que des d. d. sur des points équidistants de la fonction / définie dans un intervalle ( $a,b$ ), que nous pouvons supposer ouvert, on peut encore définir une nème borne $\Delta_{n}^{*}$ , qui est, par définition, le maximum de la valeur absolue de la d. d. $\frac{1}{n!h^{n}}\delta_{n}^{n}/(x)$ dans l’intervalle $(a,b)$ . Si $A_{n}^{*}$ est, fini, la fonetion $f+A_{n}^{2}x^{2}$ est non-concave d’ordre $n-1(J)$ .

Toute d. d. d’ordre $n$ de $t$ , prise sur des points qui se divisent rationnellement, est comprise entre — $\Delta_{n}^{*}$ et $\Delta_{n}^{*}$ , d’où l’on déduit que si $f$ est continue, $A_{n}^{*}=A_{n},A_{n}$ étant, la nème borne définje au $n^{\circ}9.11$ en résulte aussi que, si $n\geq 2$ et si $f$ est bomée ou mesurable et $\Delta_{n}^{*}$ est fini, la fonotion est continue,
S. Saks [51 b] remarque que, si la fonction / est dérivable, et

\lim_{h\rightarrow 0}h^{-3}2_{2h}f(x-3h)\geq 0,\quad x\in\cdot(a,b),

elle est non-concave d’ordre 2 dans $(a,b)$ . S. Verblunsky 63 a] démontre, d’ailleurs, que, si / est dérivable dams l’intervaile formé ( $a,b$ ), et si la dérivée troisième généralisée

\lim_{h\rightarrow 0}(2h)^{-3}r_{2h}^{3}f(x-3h)=q(x),\quad\text{ ae }(a,b)

existe, on a, pour $a<c<d<b,3h_{1}=d-c$ ,

\min_{(c,d)}p(x)\leqq\left[\left(2h_{1}\right)^{-3}\delta_{2}^{3}h_{1}f\left(x-3h_{1}\right)\right]_{x=c}\leq\max_{(c,d)}p(x),

et trouve une propriété analogue pour la différence du quatrième ordre $\delta\frac{1}{h}f(x-2h)[63\mathrm{~b}]$ .

Remarquons aussi que, d’après A. Marchauo [36], si f est bornée dans l’intervalle fermé $(a,b)$ et $\delta_{h}^{n}f(x)\rightarrow 0$ , uniformément par rapport à $x$ , la fonction est continue. De mòme si $h^{-n}\hat{\delta}^{n}/f(x)\rightarrow g(x)$ , uniformément, $f$ a une nème dérivée continue égale à $g(x)$ . Ces résultats subsistent si on suppose la fonction $f$ mesurable [47 q], comme l’a démontré, pour la deuxième propriélé, aussi H. WiitMEY [64].
27. - S. Bernstern [7 b] considère les fonctions $f$ qui vérifient leq inégalités $\delta_{h}^{n}f(x)\geq 0,h>0,n=1,2,\ldots$ dans un intervalle (a, b). Ce sont les fonotions complètem nt monotones au sens du no 17 ( ¹ ). Ces fonctions sont done contanes et indéfniment dérivables. De plus, S. Berenstern démontre qu’elles sont analyliques al développables suivant les puissances de $x$ - a dans un intervalle $(a-p,a+p),p\geq b-a$ . Pour qu’une fonction soit la dilsérence de deux fonctions complètement monotones dans ( $a,b$ ), il faut et il suffit qu’elle soil analytique et développable suivant les puissances de $x-a$ dans $(a-p,a+p)$ , avec $p\geq b-a$ . Les fonctions qui sont belles que $\delta_{h}^{n}f(x)$ est de signe invariable pour chaque entier positif $n$ , sont eneove analybiques et développables suivant les puissances do $x-a$ dans $(a-p,a+p)$ , avec $\rho\geq\frac{b-a}{4}$ .
S. Bennstern [7e] a fait une étude systémalique des fontions oomplèterhent monotones dans $(-\infty,0)$ et a déterminé celles qui prennent, avoc leurs n promières ou avec toutes leurs dérivées, des valeurs données pour $x=0$ . Ce problème est étroitement lié au problème des moments puisqu’une fonction complètement monotone dans ( $\cdots\infty$ , 0) est représentable par une intégrale de la forme

f(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{tx}d\varphi(t)

oì φ est non-décroissante.

⁰⁰footnotetext: (1) M. 3. Bernstenn les appolle absolument monotones.

28. - On peut aussi généraliser les fonctions d’ordre n d’une autre manière. Considérons un intervalle fini et fermé $(\alpha,\beta)$ contenant l’ensemble borné E. Soit

f_{0},f_{1},\ldots,f_{n},\ldots

(26)

une suite finie ou infinie de fonctions définies dans $(a,b)$ . On dit que ces fonctions forment une base lorsqu’une combinaison linéaire $c_{0}f_{0}+c_{1}f_{1}+\ldots+c_{n}f_{n}$ , avec des coefficients constants $c_{i}$ , est complètement déterminée par ses valeurs en $n+1$ points distinets et ceci quels que soient $n$ et les $n+1$ points considérés.

Désignons par $\mathrm{D}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}\right)$ le déterminant

\left|f_{0}\left(x_{i}\right)f_{1}\left(x_{i}\right)\cdots f_{n}\left(x_{i}\right)\right|,i=1,2,\ldots,n+1

et par $\mathrm{D}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right)$ le déterminant

\left|f_{0}\left(x_{i}\right)f_{1}\left(x_{i}\right)\cdots f_{n}\left(x_{i}\right)f\left(x_{i}\right)\right|,i=1,2,\ldots,n+2,

$f$ étant une fonction quelconque. Pour que les fonctions (26) forment une base, il faut et il suffit que l’on ait $\mathrm{D}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}\right)=0$ pour $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}\in(\alpha,\beta)$ et distincts et pour $n=0,1,\ldots$ Nous dirons encore que les fonctions (26) forment un système (T) si

\begin{gathered}\mathrm{D}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}\right)>0,x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n+1},\\ x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}\in(\alpha,\beta)n=0,1,2,\ldots\end{gathered}

Si les fonctions (26) sont continues et forment une base, ces fonctions forment un système (T), à condition de changer éventuellement le signe de certaines de ces fonctions.

Dans la suite nous considérons uniquement de suites (26) formant un système (T).

Définition. - Nous dirons que la fonction $f$ est convexe, nonconcave, polynomiale, non-convexe, concave (T), ou bien par rapport aux fonctions $f_{0},f_{1},\ldots,f_{n}$ , sur E , si l’inégalité

\mathrm{D}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right)>,\geqq,=,\leqq,<0

est vérifiée, quels que soient $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+2},x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}\in\mathrm{E}$ [47 f].

Pour simplifier le langage nous dirons que toutes ces fonctions sont des fonctions (T).

La convexité (ou la concavité) (T) exprime en somme la propriété que $f_{0},f_{1},\ldots,f_{n},f(ou-1)$ forment un système (T). Réciproquement dans un système (T) toute fonction est convexe (T) par rapport aux fonctions qui la précèdent dans la suite (26).

Une fonetion polynomiale (T) se réduit aux valeurs sur E d’une combinason linéare $c_{0}f_{0}+c_{1}f_{1}+\ldots+c_{n}f_{n}$ des fonctions (26). Dailleurs on peut caxactériser géométriquement une fonction (T) ù l’aide de ces combinaisons linéaires, tout comme dans le cas particulier $f_{0}=1,f_{1}=x,\ldots,f_{n}=x^{\prime\prime},\ldots$ que nous arons jusquici éludié.

Pour que toute fonction (T) soit bornée sur tout $\mathrm{E}_{2}\subset\cdot\mathrm{E}_{1}$ , if faut et il suffit que les fonotions $f_{10},f_{1,\ldots},f_{n}$ soient, bomess sur tont $E_{1}\subset$ E Si $a,b$ , E E , la propriété s’ótend à bout l’onsemble E. Er partioulier, pour que les fonctions d’un système (T) soient. bomées, il fant et il suffit que la première fonction fo soit bornée [47f]. On a une propriété analogue en ce qui concerne la continuité d’une panction (T) sur un $E_{1,}\cdots\cdot E_{1}$ si $n\geq 1$ . En particulier, les fonctions d’m système (T) sont continues dans l’intervalle ouport ( $*,\beta$ ) si, et senlement si, les deux premières fonetions $f_{0},f_{1}$ soni continues dans cet intervalle. On a la mène propriéle, en prenant, au lieu de la propriété de continuicé, la propriété d’étre à première d. d. bomée el mème, sous corbaines condilions restrictives, d’être à kème (k¿1) d. d. bomée [47 f].

Les résultats précédents peuvent être ébendus, sous certaines conditions, au cas un peu plus général où $f_{0}$ s’annule un nombre fini de fois dans $(\alpha,\beta)$ . Si, par exemple, $n\geq 1$ et / ${}_{0},f_{1}$ sont continues, on peut d’abord considérer les intervalles où $f_{0}$ ne s’annule pas et ensuite les intervalles qui contiennent un zéro de $f_{0}$ et où $f_{1}n$ e s’annulé pas, intervalles qui existent, puisque $f_{0},f_{1}$ ne penvent pas s’annuler on mème temps. Dans ces intervalles il suffit d’inverhir le rôle des fonotions $f_{0},f_{1}$ .

Les fonctions ( $T$ ), dans le cas $n=1$ , onli été inforduites par E. Phragmen et E. Lindelöf [45] qui ont considéré lo cas

f_{0}=\cos x,\quad f_{1}=\sin x

qui a son importance dans la théorie des fonctions d’une variable complexe. Les fonctions (T) dans l’intervalle $(\varepsilon,\pi-\varepsilon),\varepsilon>0$ sont, alors, celles pour lesquelles le déterminant,

\left|\begin{array}[]{ccc}\cos x_{1}&\sin x_{1}&f\left(x_{1}\right)\\ \cos x_{2}&\sin x_{2}&f\left(x_{2}\right)\\ \cos x_{3}&\sin x_{3}&f\left(x_{3}\right)\end{array}\right|,\quad x_{1}<x_{2}<x_{3},\quad x_{1},x_{2};x_{3}\in(\varepsilon,\pi\ldots\varepsilon)

ne change pas de signe. De ce que nous avons dit, il résulte que
$f$ est continue et même vérifie une condition de Lieschitz ordinaire dans tout intervalle complètement intérieur.
A. Winternitz [65] a généralisé ces résultats, en considérant, lo cas où $f_{0},f_{1}$ sont à première variation bornée dans un intervalle $(\alpha,\beta)$ et a démontré qualors loute fonction $(T)$ dans $(\alpha,\beta)$ est à première variation bornée dans tout intervalle $c\cdot(\alpha,\beta)$ et admet done une dérivée à gauche et une dérivée à droite en un point $x\subset(x,3)$ qui sont à variations bornées (d’ordre 0 ) dans hout intervalle $c\cdot(\alpha,\beta)$ .

Le cas des fonctions d’ordre 1 dans $(0,1)$ revient au cas $f_{0}=1-xf_{1}=x$ . J. Radon [49] a déjà démontré ces résultats dans le cas $f_{0}=(1-x)^{p},f_{1}=x^{p},p\geqslant 1$ dans $(0,1)$ . Les résultats ont aussi été retrouvés par G. Polya [46 b] dans le cas (27) et par G. Valirov [ 61 b] dans le cas général, sous une forme qui revient à celle de A. Winternitz [65]. J. Radon [49], dans te cas qu’il a éludié, et A. Winternita [06] dans le cas genéral, ont étendu les résultats de W. Blaschke el G. Prok [9] (voir No 11) sur la représentation de ces fonctions par uno integrate de Stiejljes.

On peul remarquer que les Lonobiois de s. Rabon [40] jouissent encore de la propriébe qu’an peui diviser Pinkervalle ( 0,1 ) en deux intervalles parliek dans lesques la fonction est, monotone. Dailleurs la pem pussance ( $p=1$ ) d’une sonction non-convexe d’ordre 1 et non-négalive dans $(0,1)$ est non-convexe au sens de J. Radon. Il en esl, de mème de ta pam puissance d’une fonction non-concave d’ordre 1 eb non-positive dans ( 0,1 ) si $p$ est un entier positif impair.

Supposons, plus géuéralement, que $f_{0},f_{1},\ldots,f_{n}$ sont des solutions linéairement indépendantes d’une équabion différentielle linéare d’ordre $n+1$ ,

L(y)\equiv y^{(n+1)}+\varphi_{1}y^{(n)}+\varphi_{2}y^{(n-1)}+\cdots+\varphi_{n}+1y=0,

où les coefficients soat des fonotions continues dans $(\alpha,\beta)$ . Aloxs houte fonction (T) est à nème d. d. bornée sur tont $\mathrm{E}_{1}\in$ . F.

Le cas du Chap. I correspond à l’équation $y^{(n-1)}=0$ . Le cas (27) à l’équation $y^{\prime\prime}+y=0$ . Le cas de J. Radon à l’équation $x(1-x)y^{\prime\prime}+(p-1)(2x-1)y^{\prime}-p(p-1)y=0$ dans un intorvalle $c\cdot(0,1)$ .

Si la fonction (T) a dans ce cas une ( $n+1$ ) 4 ne dérivée, la noncavité (T) s’exprime par l’inégalité $L(j)\geq 0$ . La condition $L(j)>0$ ost susinante pour la convexilé (T).

Disons encore que S. Kakeya [30 a] a déterminé les conditions nécessaires et suffsantes pour qu’il existe une fonction f $(n+1)$ fois dérivable, telle que $\mathrm{L}(j)\geq 0$ et prenant, avec ses $m$ premières dérivées, los valeurs données

f^{(i)}(\alpha)=a_{i},\quad f^{(i)}(\beta)=b_{i}\quad i=0,1,\ldots,n_{s}

ce qui généralise un problème de prolongement examiné au no 6.
29. - Pour terminer avec les fonctions d’une variable disons que E. F. Beckenbach [4] a donné une généralisation oncore plus étendue. Cette généralisation est la suivante:

Considérons, dans un intervalle ouvert ( $a,b$ ), une famillo de fonetions $\mathrm{F}=\mathrm{F}(x;\lambda,\mu)$ dépendant de deux paramètres $\lambda,\mu$ et satisfaisant aux conditions suivantes : $1^{\circ}$ chaque fonction de la famille est continue dans $(a,b);20$ il existe une et une seule fonction de la famille satisfaisant au système

F\left(x_{1};\lambda,\mu\right)=y_{1},\quad F\left(x_{2};\lambda,\mu\right)=y_{2}

(28)

pour tout couple de points distincts $x_{1},x_{2}$ , de $(a,b)$ et pour tout $y_{1},y_{2}$ .
E. F. Beckenbach dit alors que la fonction $t$ , définie dans l’intervalle ouvert ( $a,b$ ), est une fonction sous- $F^{\prime}$ si, quels que soient les points $a<x_{1}<x_{2}<b$ , on a $f(x)\leqq\mathrm{F}_{12}(x)$ , le second membre désignant la fonction $\mathrm{F}(x;\lambda,\mu)$ qui vérifie les égalités (28) pour $y_{1}=f\left(x_{1}\right),y_{2}=f\left(x_{2}\right)$ . Le principal résultat obtenu est que toute fonction sous-F est continue dans $(a,b)$ .

On peut généraliser encore, en considérant des convexités par rapport à une famille $F\left(x;\lambda_{1},\lambda_{2},..,\lambda_{n+1}\right)$ dépendant de $n+1$ paramêtres $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n+1}$ , tels que le système

\mathrm{F}\left(x_{i};\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n+1}\right)=y_{1}\quad i=1,2,\cdots,n+1

ait toujours une seule fonction $F$ comme solution. On peut aussi considérer des fonctions définies seulement sur un ensemble E quelconque appartenant à ( $a,b$ ).

CHAPITRE IV

LES HONCTIONS CONVEXES
DE DEUX OU PLUSIEURS VARIABLOS

30.
- •
  
  Un pseudo polynome d’ordre ( $m,n$ ) n’est pas nécessairement boné el eneore moins conlinu dans R. Mais, s’il est bomé resp. continu sur un réseau d’ordre ( $m+1$ , $n+1$ ), il est une fonction bornée resp. continue dans R. De même si un tel pseudopolynome admet des dérivées partielles $f_{x^{r}}^{(r)},f_{y^{s}}^{(s)}$ resp. des dérivées partielles continues $f_{x^{r}}^{(r)},f_{y^{s}}^{(s)}$ sur un réseau d’ordre ( $\left.m+1,n+1\right)$ il a dans R des dérivées partielles $f_{x^{1/2}y^{\beta}}^{(\alpha+\beta)}$ resp. des dérivées partielles continues $1^{\left(\alpha+\beta^{\beta}\right)},\operatorname{avec}x\leqq r,\beta\leqq s$ .

Dans l’étude des fonctions $f$ dans $R$ il est eommode d’introduire le nombre

\mathrm{A}_{m,n}=\underset{(\mathrm{R})}{\max}\left|\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}\end{array};\right|

que nous appelons la borne d’ordre $(m,n)$ de la fonction / dans R. Si $\Delta_{m,n}$ est fini la fonction est à d. d. d’ordre ( $m$ ; n) bornée.

En particulier, une fonction à d. d. d’ordre ( $m,n$ ) bornée est à mane d. d. bornée par rapport à $x$ pour toutes les valeurs de $y$ , mais la réciproque n’est évidemment pas vraie. Une fonction bomée est une fonction ì d. d. d’ordre $(0,0)$ bomée.

Un pseudo polynome d’ordre ( $m-1,n-1$ ) est évidemment à d. d. d’ordre $(m,n)$ bomée, mais ses d. d. d’ordre $\left(m_{1},n_{1}\right)<(m,n)$ pouvent ne pas être bornées dans R. Pour qu’il en soit ainsi pour toub ordre $\leq(m,n)$ , il faut et, il suffil que ses d. d. d’ordre (m, 0) et d’ordre $(0,n)$ soient, bornées sur un réseau d’ordre $(m,n)$ . De plus, si le pseudo-polynome est à d. d. d’ordre $\left(m_{1},n_{3}\right)$ el d’oráre $\left(m_{2},n_{1}\right)$ bornées, avec $m_{1}\geq m_{2},n_{1}\geq n_{2}$ , il est, à d. d. dondre ( $m^{\prime},n^{\prime}$ ) bornée, avec $m_{1}\geq m^{\prime}\geq m_{3},n_{1}\geq n^{\prime}\geq n_{2}$

Toute fonction à d. d. d’ordre ( $m,n$ ) bornée est la somme d’une fonction ayont toutes ses d. d. d’ordre $\leq(m,n)$ bornées eb d’un pseudo-polynome d’ordre ( $m-1,n-1$ ). Done, pour que toutes les d. d. d’ordre $\leqq(m,n)$ d’une fonction soient bornées, il faut et il sustit que sa d. d. d’ordre ( $m,n$ ) soit bornée et que ses d. d. d’ordre $(m,0)$ et d’ordre $(0,n)$ soient bornées sur un réseau d’ordre ( $m,n$ ).

Une fonction continue par rapport à l’une des variables et également continue par rapport à l’autre, est continue dans R. En particulier done, wne fonction à d. d. d’ordre $(1,0)$ bornés et continue par rapport à y est continue dans R. Il en résulte que toute fonction à d. d. d’ordre ( $m,n$ ) bornée, avec $m\geq 1,n\geq 1$ , continue sur un réseau d’ordre ( $m,n$ ), est continue dans R.

Si une fonction $f$ à d. d. d’ordre $(m,n)$ bornée a une dérivée parlielle $f_{x,}^{\prime}$ cette dérivée est une fonction à d. d. d’ordre $(m-1,n)$ bornée. On en déduit que, si de plus les dérivées $f_{a^{m-1}}^{(m-1)}$ , $f_{y^{m-1}}^{(n-1)}$ sont, continues sur un réseau d’ordre ( $m,n$ ), la fonction a des dérivées partielles $f_{ay^{3}}^{(r+s)},r\leq m-1,s\leq n-1$ , à d. d. d’ordre ( $m-r,n-s$ ) bornées dans R.
P. Montex [39 a] et A. Marchaud [36] ont aussi démontré que, pour une fonction à d. d. d’ordre $(m,0)$ et d’ordre $(0,n)$ bornées, toutes ies déri vées partielles $\int_{r^{\prime}y^{s}}^{(r+s)}$ existent et sont continues dans R., pourvu que $\frac{r}{m}+\frac{s}{n}<1$ . II en résulte que, si une fonction est à d. d. d’ordre ( $m$ - m’, n) et d’ordre ( $m,n$ - $n^{\prime}$ ) bornées, elle est aussi à d. d. d’ordre ( $m-r,n-s$ ) bornée, pourvu que.

\frac{r}{m^{\prime}}+\frac{s}{n^{\prime}}>1,\quad m\geq m^{\prime}>0,\quad n\geq n^{\prime}>0,\quad r\leq m^{\prime},\quad s\leq n^{\prime}.

$1. - Passons maintenant à la définition de la convexité.
Tout d’aberd la définition suivante s’impose.
Difinttion. - La fonction $f$ est dite convexe, non-concave, polynomiale, non-convexe, concave d’ordre ( $m,n$ ) dans le rectangle R si l’inégalité

\left[\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+2};f\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+2}\end{array}\right]>,\rightleftarrows,=,\leq,<0

est satisfaite, quels que soient les points $\left(x_{i},y_{j}\right),i=1,2,\ldots,m+2$ ,
$i=1,2,\ldots,n+2$ , appartenant à R et formant les nouds d’un résean d’ordre ( $m,n$ ).

Toutes ces fonctions sont des fonctions d’ordre ( $m,n$ ).
Les valeurs -1 de $m$ et $n$ ne sont pas exclues. Une fonction convexe, non-conoave,… etc. d’ordre $(m,-1)$ est une fonction qui est convexe, non-concave,… ete., d’ordre $m$ par rapport à $x$ pour hontes les valeurs de $y$ .

Une fonction polynomiale d’ordre ( $m,n$ ) est un pseudo-polynome d’ordee ( $m,n$ ). Si $f$ est d’ordre ( $m,n$ ) et si

\left\lfloor\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+2}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n-2}\end{array};t=0,\right.

elle se réduit à un pseudo-polynome d’ordre ( $m,n$ ) dans le rectangle

\left(x_{1}\leqq x\leqq x_{m+2};y_{1}\leqq y\leqq y_{n+2}\right).

Une définition géométrique, analogue à celle donnée dans le cas d’une seule variable, peut être obtenue à l’aide des pseudopolynomes. Considérons le pseudo-polynome

\mathrm{P}\left(\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+1}\\ y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1}\end{array};f\binom{x}{y}\right.

La non-concavité resp. la convexité d’ordre ( $m,n$ ) s’exprime parle fait que la fonction doit être, en tout point du rectangle

\left(x_{i}<x<x_{i+1},y_{j}<y<y_{j+1}\right)

non-au-dessous resp. au-dessus ou non-au-dessus resp. au dessous du pseudo-polynome suivant que $m+n-i-j$ est pair ou impair. Ceci est valable aussi pour $i=0,m+1,j=0,n+1$ , dans les rectangles

\begin{array}[]{ll}\left(a\leqq x<x_{1},\right.&\left.c\leqq y<y_{1}\right),\\ \left(a\leqq x<x_{1},\right.&\left(x_{n+1}<x\leqq b,\quad c\leqq y<y_{1}\right)\\ \left(x_{n+1}<x\leqq b,\quad y_{n+1}<y\leqq b\right).\end{array}

On en déduit immédiatement que si une fonction d’ordre $(m,n)$ est bornée sur un réseau

x=x_{i},\quad y=y_{n},\quad i=1,2,\ldots,m+2,\quad j=1,2,\ldots,n+2,

d’ordre ( $m+2,n+2$ ), elle est bornée dańs les rectangles

\left(a\leq x\leq b,\quad y_{1}\leq y\leq y_{n+2}\right),\quad\left(x_{1}\leq x\leq x_{m+2},\quad c\leq y\leq d\right)

On peut encore voir facilement que, lorsque les d. d. d’ordre ( $m+1,n$ ) et ( $m,n+1$ ), d’une fonction d’ordre ( $m,n$ ), sont bornées sur un réseau

x=x_{i},\quad y=y_{j},\quad i=1,2,\ldots,2m+2,\quad j=1,2,\ldots,2n+2,

diordre ( $2m+2,2n+2$ ), ces d. d. sont bornées dans le reeLaugle
(30)

\left(x_{m+1}\leq x\leq x_{m+2},y_{n+1}\leq y\leq y_{n+3}\right).

Pour que, de plus, les d. d. de tout, ordre¡ ( $m+1,n+1$ ) soient, bomées dans le rectangle (30), il faut el il suffit que les d. d. d’ordre ( $m+1,0$ ) et d’ordre ( $0,n+1$ ) soient bornées sur un réseau dordre ( $m+1,n+1$ ) dont les neuds appartiennent à (30).

Les propriétés de dérivabilité des fonctions d’ordre ( $n,n$ ) résultent de celles des fonebions is d. d. homées. Si la dériwée (rens), $r\leq m+1,s\leq n+1,r+s<m+n+2$ existe, c’ost une sonction d’ordre ( $m-r,n-s$ ), preseutant lo même caractère de convexité. Lorsque $f_{a^{n+1}}^{(n+n+2)}$ existe, elle est non-négative. La condition $f_{(m+n+2)}^{(m+1)}\geq 0$ est, d’aillours, nécessairo et sufflsante pour la non-conoavité, et $f_{25+n+2)}^{(m+1)}\geq 0$ est suffisante pour la convexibé d’ordre ( $m,n$ ) dans R.

Les fonotions dordre (m, n) peuvent être définies aussi dans un domaine queloonque D.

On peut aussi définir des fonctions dordre (ni, n) en imposant senlement la condition que, pour tout groupe de $n+2$ valeura $y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+2}$ de $y$ , la fonetion de $x,\left[y_{n},y_{2},\ldots,y_{n+2};f\right]$ soit d’ordre $n$ ot, pour tout groupe de $m+2$ valeurs $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+2}$ de $x$ , la sonction de $y,\left[x_{1},x_{21}\ldots,x_{m+2};f\right]$ soit d’ordre $m$ . Nous n’insistons pas sur cette généralisation, nous considérerons seulement les cas partionliors $m=0,n=0$ aux numéros suivants.
32. - Faisons le changement de variables

x=\alpha x^{\prime}+\beta y^{\prime},\quad y=\gamma x^{\prime}+\delta y^{\prime},\quad\alpha\hat{b}-\beta y,0.

(31)

Nous dirons que cette transformation définit une direction Ceci signifie qu’on a pris un nouveau système d’axes Oæ’y’. En partioulier, le système initial Oæy définit la direction la. Nons pourons supposer, sans restreindre la généralité, que $\alpha^{2}+\gamma^{2}==\beta^{2}+\mathrm{o}^{2}=1$ .

Le changement de variables (31) transforme la fonction / en und Sonction $f_{1}\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)$ de $x^{\prime}$ et $y^{\prime}$ . Les d. d. de $f$ dans la direction $t$ sont alors les $d.d$ . de $f_{1}$ comme fonetion de $x^{\prime};y^{\prime}$ . On peut alors
définir des fonctions qui présentent une propriété de convexité dans une direction quelconque, mais ces fonctions reviennent, par un changement de variables simple, aux fonctions précédemment définies.

Or peut aussi considérer des fonctions qui présentent une propriété de convoxité dans deux ou plusieurs directions distinctes ou non. Par exemple, une fonction qui est polynomiale (non pas nécessairement de mème ordre) dans deux directions, se réduti en général à un polynome en $x$ et $y$ . Il en est sûrement ainsi si les directions sont $t_{0}$ et $t$ avec $\alpha\beta\gamma\delta\neq 0$ , à un nouveau changement de variables près. Si, de plus, la fonction est polynomiale d’ordre ( $m,n$ ) dans la direction $t_{0}$ et polynomiale d’ordre ( $m^{\prime},n^{\prime}$ ) dans la direction $t$ , elle se réduit à un polynome de degré $\leqq m+n+m^{\prime}+$ - $n^{\prime}+2$ . Les seules fonctions polynomiales d’ordre $(m,n)$ dans toutes les directions sont les polynomes de degré $<m+n+1$ , mais on peut, trouver des polynomes de degré $m+n+1$ polynomiales d’ordre ( $m,n$ ) dans une infinité de directions [47 s].

Laissons de côté ces généralités et revenons aux cas les phus simples, qui sont, d’ailleurs, les plus importants.
P. Mondex [39 e] a ótudié les fonctions / non-concaves d’ordre 1 par rapport à a pour toute valeur de $y$ et non-concave d’ordre 1 par rapport à $y$ pour toute valeur de $x$ , en les appelant doublement convexes, fonctions qui ont été également considérées par N. Krutkos [34].

Plus généralement, nous dirons qu’une fonction $f$ est d’ordre $n$ en $x$ resp. d’ordre $n$ en $y$ si elle est d’ordre $n$ par rapport à x pour toute valeur de $y$ resp. d’ordeo $n$ par rapport à $y$ pour toute valour de $x$ . Nous dirons aussi qu’une fonotion est doublement d’ordre $[m,n]$ si olle est d’ordre $m$ en $x$ et d’ordre $n$ on $y$ . Remarquons que dans ces défnitions on n’exige pas que la fonction présonte le même caractèro de convexité d’orcér m par rapport à $x$ pour toutes les valeurs de y ou qu’elle présente le mème caractore de convexilé d’ordre n par rapport à y pour tontes les valeurs de $x$ . En particulier si / est non-oonoavo dordre n par mpport à $x$ (ear rapport à $y$ ) pour toute valeur de $y[$ de $x]$ nons rebrouvons une fonction d’ordre ( $n,0$ ) [d’ordre ( $0,n$ )]. Il est elair ce qu’il faut entendre par une fonction donblement mon-concave d’ordre [m, n]. Les fonctions de P. Montel sont doublement nonconcares d’ordre [1,1].

On démontre que toute fonction d’ordre $m$ en $x$ el continue par rapport à y est à d. d. dordre ( $m$ , 0) bornée dans bout rectangle c . R. H suffit mème, pour qu’il en soit ainsi, que $f$ soit bornée en $y$ dans tóut intervalle $c\cdot(c,d)$ , pour toute valeur $x\in\cdot(a,b)$ . Une fonetion doublement d’ordre $[m,n],m\geq 1,n\geq 1$ est done à d. d. d’ordre ( $m,0$ ) et d’ordre ( $0,n$ ) bornées, done est continue et, d’après P. Montel [39 a], a une dérivée partielle $f_{a^{r}y^{s}}^{(x+s)}$ eontinue, pourru que $\frac{F}{m}+\frac{s}{n}<1$ , dans tout rectangle complètement intérieur.

Les fonetions deublement non-coneaves d’ordre $[0,0]$ ont été examinées par W. H. Young et G. C. Young [66]. Si ( $x_{n},y_{n}$ ) est, un point de R , oes fonctions jouissent de la propriété que, si une suite de points $\left(x_{p},y_{p}\right),p=1,2,\ldots$ de Retond vers $\left(x_{1},y_{0}\right)$ de maniere, que l’on ail constamment $x_{p}>x_{0},y_{p}>y_{0}$ ou $x_{p}<x_{0}$ , $y_{p}<y_{0},f\left(x_{p},y_{p}\right)$ lend vers une limile $\geq f\left(x_{0},y_{0}\right)$ ou $\leqq f\left(x_{0},y_{0}\right)$ . Ces auteurs ont également étudié le cas où, de plus, la fonction est non-conoave dordre ( 0,0 ).

On peut aussi considerer des fonctions doublement polymomiales d’ordre $[m,n]$ qui sont polynomiales d’ordre $m$ en $x$ et polynomiales d’ordre n en y. Ces sont évidemment des polynomes de degré $m$ en $x$ ot de degré $n$ on $y$ , dono ce qu’on peut appeler un polynome de degré (m, n).
33. - On peut en fin définir des fonetions dans un domaine D, qui présentent certaines propriétés de convexité dans toute direction.

En particulier, nous dirons que / est complètement d’ordre n dans D si elle est d’ordre $n$ sur toute droite coupant le domaine D, autrement dit elle est d’ordre ( $n,0$ ) dans toute direction. Lorsque n est pair il n’y a pas lieu de faire des distinotions entre la convexité et la concayité. Au contraire, si n est impair, on peut définir des fonotions complètement convexes, non-concaves,… ebe. d’ordre n.

Une fonotion complètement d’ordro $n$ est, en particalier, doublement d’ordre $[n,n]$ , done elle est continue en tout point intérieus de D si $n>0$ . Une fonction complètement d’ordre 0 est bornée dans tout $D_{1}c\cdot D$ . Une fonction complétement d’ordre’n a des dérivées partielles d’ordre $<n$ continues en tout point
intérieur. Si, en particulier, les dérivées partielles d’ordre $n+1$ existent, la fonction

\sum_{i=0}^{n+1}\binom{n+1}{i=0}\cos^{n-i+1}\alpha\sin^{i}\alpha\frac{\partial^{n+1}f}{\partial x^{n-i+1}\partial y^{i}}

(32)

doit ètre de signe invariable sur toute droite faisant l’angle $\alpha$ avec l’axe $0x$ . Si, de plus, la fonction est complètement non-concave d’ordre $n$ impair, pour toute $x,y$ , le polynome (32) doit être nonnégatif. En particulier, les conditions

f_{x^{2}}^{\prime\prime\prime}\geq 0,\quad f_{x^{2}}^{\prime\prime}f_{y^{2}}^{\prime\prime}-\left(f_{xy}^{\prime\prime}\right)^{2}\geq 0

sont nécessaires et suffisantes pour la complète non-concavité, et

f_{x^{2}}^{\prime\prime\prime}>0,\quad f_{2}^{\prime\prime}f_{y^{2}}^{\prime\prime}-\left(f_{xy}^{\prime\prime}\right)^{2}>0

sont suffisantes pour la complète convexité d’ordre 1 de $f$ , en supposant, bien entendu, que les dérivées secondes existent.

L’inégalité de J. L. W. V. Jensen [27] peut ôtro étendue aux fonctions complètement non-concaves d’ordro 1. Nous avons l’inégalité, établie par F. Sibrani [53],

f\left(\frac{\Sigma p_{i}x_{i}}{\Sigma p_{i}},\frac{\Sigma p_{i}y_{i}}{\Sigma p_{i}}\right)\leqq\frac{\Sigma p_{i}f\left(x_{i},y_{i}\right)}{\Sigma p_{i}},\quad p_{i}>0.

(33)

E. J. McSuane [38] a généralisé cetto inégalité pour deux ou plusiours variables, comme dans le cas d’une seule variable.

Une fonction complètement polynomiale d’ordre $n$ se réduit à un polynome de degré $n$ dans D.
34. – Si $f$ , g sont deux fonctions non-concaves d’ordre ( $m,n$ ), cf et $f+g$ , où $c$ est une constante positive, sont encore des fonclions non-concaves d’ordre ( $m,n$ ). La limite d’une suite convergeate de fonctions non-concaves d’ordre $(m,n)$ est encore nonconcave d’ordre ( $m,n$ ). D’ailleurs, toute fonction continue dons R présentant une ou plusieurs propriétés de convexité bien déterminées est la limite d’une suite uniformément convergente dans R de polynomes présentant les mêmes propriétés de convexité, comme nous le montre les polynomes de S . Barnsterin de doux variables

\left.\frac{1}{(b-a)^{p}(d-c)^{p}}\sum_{i=0;0;0}^{\eta}\binom{p}{i}\binom{q}{j}f_{i}^{\prime}a+i\frac{b-a}{p},c+j^{d-c}\frac{d-c}{q}\right).

M. Nicoresco [41] a démontré, comme dans le cas d’une variable, qu’une famille de fonctions doublement non-concaves d’ordre 1 et également bornée supérieurement dans $D$ , est normale à l’intérieur do $D$ , et en déduit que toute suite non-décroiasante de fonctions doublement non-concaves d’ordre 1 qui converge en un point e. D, converge uniformément à lintérieur de D.
J. L. W. V. Jensen [27] a déjà remarqué qu’une fonetion doublement non concave d’ordre 1. n’est pas nécessairement complèhement d’ordre 1.
F. Riesz [50-6] généralise les fonctions non-concaves d’ordre 1 d’une variable par lés fonctions sous-harmoniques de deux ou plusieurs variables. Une fonction $f$ est sous-harmonique dans D si, $\mathrm{D}_{1}$ étant un sous-domaine quelconque de D , elle est, en tout point de $D_{1}$ , non au-dessus de toute fonction harmonique qu’elle ne dépasse pas en aucun point de la frontière de $\mathrm{D}_{1}$ . Si la fonetion sous-harmonique est continue, ou plus généralement si l’integrale suivante existe, elle est caractérisée par le fait qu’elle reste en tout point e . D, non-au-dessus de sa valeur moyenne prise sur une circonférence ayant co point pour contre et appartenant à D. La fonction sous-harmonique $f$ est donc caractérisée par l’inégalité

f(x,y)\leq\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x+r\cos\theta,y+r\sin\theta)d\theta

quels que soient $(x,y)\in\cdot\mathrm{D}$ et $r<$ (si D est fermé $\leqq$ ) que la distance du point $(x,y)$ à la frontière de D .

L’ébude des fonctions sous-harmoniques sort du cadre de ce livre. Nous nous contenterons de rappeler quelques résultais on rapport avec les fonctions convexes.
P. Monter [39 b] a démontré que toute fonction doublement non-concave d’ordre 1 est sous-harmonique. Coite propriété n’ost pas vraie pour les fonctions doublement d’ordre 1.
P. Montel [39 b] et T. Rado [48 a] ont démontré que la condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit sous-harmonique est que $e^{f+\alpha x+\beta y}$ le soit, pour toutes les valeurs des constantes $\alpha,\beta$ . P. Montel [39 c] a montré que la propriété subsiste aussi pour les fonctions doublement non-concaves d’ordre 1 et les fonetions complètement non-concaves d’ordre 1.

Soil $F(t)$ une fonction continue dans $(-\infty,+\infty)$ et $/$ continue
dans D. S. Saks [51 a] démontre que si $\mathrm{F}(f+\alpha x+\beta y+\gamma)$ est sous-harmonique pour toutes les valeurs des constantes $\alpha,\beta,\gamma$ , la fonction $F$ est non-concave d’ordre 1 et : $1^{\circ}$ ou bien $F$ est une constante ; $2^{\circ}$ ou bien $f$ est harmonique; $30^{\circ}$ ou bien F est nondécroissante et $f$ est sous-harmonique ; $4^{\circ}$ ou bien enfiu $F$ est noneroissante et - / est sous-harmonique. Ces propriétés subsistent pour les fonctions doublement non-concaves d’ordre 1 et les fonclions complètement non-concaves d’ordre 1. Dans le cas $2^{\circ}$ , la fonction harmonique doit alors être un polynome de la forme $\mathrm{A}xy+\mathrm{B}x+\mathrm{C}y+\mathrm{D}$ , resp. un polynome de la forme $\mathrm{A}x+\mathrm{B}y+\mathrm{C}$ .
35. - Comme dans le cas d’une variable, on peut définir aussi des fonctions plus générales en ne considérant que des d. d. sur des réseaux formés par des droites équidistantes. Considérons la différence d’ordre ( $m,n$ )

\delta_{h,k}^{m,n}f(x,y)=\sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n}(-1)^{m+n-i-y}\binom{m}{i}\binom{n}{j}f(x+ih,y+jk),

qui est, à un facteur indépendant de la fonction près, une d d. d’ordre ( $m,n$ ),

\varepsilon_{h,k}^{m,n}f(x,y)=m!n!h^{m}k^{n}\left[\begin{array}[]{l}x,x+h,\cdots,x+mh\\ y,y+k,\cdots,y+nk\end{array};f\right].

A l’aide de ces différences, on peut définir des fonctions convexes, non-concaves,… etc., d’ordre ( $m$ , $n$ ) ( $J$ ) dans R , qui coincident, d’ailleurs, avec des fonctions couvexes, non-concaves,… otc. d’ordre ( $m,n$ ) au sens ordinaire, si la fonetion ost continue dans R. On peut voir facilement qu’il en est encore ainsi si la fouction est bornée ou linéairement mesurable dans R. En effot, dans cos cas, pour chague valeur de $y$ el, $k,y,y+(n+1)k\in(c,d)$ , la fonction ${\underset{a,k}{o}}_{o,n+1}^{\prime}f(x,y)$ de $x$ , est hornée, ou mesurable, et d’ordre $m$ , done d’ordre m au sens ordinaire. Nous avons done Pinegalité

\left[\begin{array}[]{l}x_{1},x_{2},\ldots,x_{m+2}\\ y,y+k,\ldots,y+(n+1)k;f\end{array}\right]\equiv 0,

en supposant la fonction non-concave d’ordre $(m,n)(J)$ L’inégalité généralo (29) pésulte alors du fait qu’en fixant $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+3}$ , la fonction de $y,\left[x_{1},x_{2},\ldots x_{n+2};\right]$ est bornée, ou mesurable, nonconcave d’ordre r (J). Il importe de remarquer quo la linéaire mesurabilité ne peut ôtre remplacée par la mesurabilité superfi-

mesuralilo, de Péquation (24) dana lintervalto (a,b), et oloisag do manióroquo $\chi(a)=\chi(b)=0$ . On a olop $\chi(r)=0$ on tomb point. a qui divise raljennellement Pinbervalle ( $a,b$ ). La sonebion

		$\displaystyle f\left(x,\frac{c+a}{2}\right)=x(x),\quad x\in(a,b),$
		$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2},y\right)=\chi\left(\frac{ad-bc+u(b-a)}{d-c}\right),\quad y\in(c,d),$
		$\displaystyle f(x,y)=0,x-\frac{a+b}{2},y=\frac{c+d}{2}$

mi bien polynomiale d’ordm ( $m,m$ ) (J), $m\geq 1,n\geq 1$ , mais n’est óvidemment, pas un proudo-polynomo.

On pout amasi délinir dos fonctions complòtement d’ordro n (I). Considérons, on parlioulior, le cas $n=1$ ol onviageons lo oas de m variables. Considérons dono une fonction $\left.f(\mathrm{P})=f\left(x_{1},x_{2}\right),\ldots,x_{m}\right)$ désinie, complèbement non-concave d’ordre $1(J)$ dans lo domaine convexo at borné D. Ces forchions sont carachériséss par L’inégalité

f\left(\frac{\mathrm{P}+\mathrm{P}^{\prime}}{2}\right)\leq\frac{1}{2}\left(f(\mathrm{P})+f\left(\mathrm{P}^{\prime}\right)\right)

où $P,P^{\prime}\in D$ , et $\frac{P+P^{\prime}}{2}$ est le milieu du segment $PP^{\prime}$ . Ces foncliona consbitaent la gótóralisabion donnée par J. L. W. W. IExsem [27] des fonctions d’uno vasiablo qu’il a étadiées. Ces fonctions: sonl nou-concaves d’ordre 1. (J) sur loute droite coupant le domaine D. On en dóduib, aved P. Tontonca [60a], qu’une fonebion eompetoment mon-eoneave d’ordre 1 (3), ot bornée supérieuvement dans D, est complètement non-concave d’ordre 1 au aens ordinaire. Si D ost fermé on pent remarquer, avee II. Budarsmo [10], qu’il suffit môme que la fonetion soib bornée supéricuremsnt, sur Ia frontióre F de D. En olleb, soib P m poini inberiour de D. Une droibe passont par Po oupe la frontiore Fen Pa, Pa. Le rapport des segments P. ${}_{1},\mathrm{PP}_{2}$ varie d’une façon eontinue loruque la droibe hourne autour de $P$ et nest pas en général constant, donc prend nécesairemont une valour rabionnolle. Il on résnlle qu’on peub ehoisir leg points $\mathrm{P}_{1},\mathrm{P}_{2}$ de manière que $f\left(\mathrm{P}^{2}\right)$ max $\left[/\left(\mathrm{P}_{1}\right),f\left(\mathrm{P}_{2}\right)\right]$ . Ce raisonomement n’est en défaut quo si Is ost un hyper-sphère do centre $P$ , done au plus pour un point, doù la propriebé. A. Corucer [13] a fait la remarque que, si (P) est bornée superieu-
rement sur un segment $\mathrm{A}_{0}\mathrm{~B}_{0}$ , elle est bornée sur tout segment parallèle à $\mathrm{A}_{0}\mathrm{~B}_{0}$ , d’extrémités $\in\cdot\mathrm{D}$ . On peut en conclure que, si $f$ est mesurable, elle est complètement non-concave d’ordre 1 au sens ordinaire.
P. Tortorici [60 b] remarque aussi que, si D est fermé, le maximum de $f(\mathrm{P})$ , supposée continue, n’est atteint que sur la frontière, à moins que la fonction ne soit pas une constante. Si $f(P)$ atteint son minimum sur la frontière $F$ , il en est ainsi dans tout $\mathrm{D}_{1}\subset\mathrm{D}$ , propriété qui est analogue à celle qui précise l’allure de monotonie dans le cas d’une seule variable. Cet auteur précise aussi l’ensemble des points P ou min f(P) est ableint.

La surface représentative de la fonction $f(\mathrm{P})$ jouit de la propriété qu’en tout point correspondant à $\mathrm{P}\in\cdot\mathrm{D}$ il existe un hyperplan d’appui, c’est-à-dire que, par un tel point, on peut faire passer un hyperplan laissant la surface non-au dessus. L. Galvan1 [19] démonbre, dans le cas de deux variables, que, pour qu’un plan tangent existe en un point représentatif correspondant à $P$ , il faub et il suffil que la fonotion soit dérivable sur deux droites distinctes passant par $P$ , done, en particulier, que les dérivées partiolles $f_{x}^{\prime},f_{y}^{\prime}$ existent en ce point. D’ailleurs, l’ensemble des points P pour lesquels le plan tangent n’existe pas, est de première catégorie, donc est formé par la réunion d’un nombre fini ou d’une infinité dénombrable d’ensembles non-denses dans D.

Remarquons encore que, si l’ensemble où la fonotion continue $f+\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+\ldots+\alpha_{n}x_{m}$ atteint son minimum est convexe, quels que soient les constantes $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,x_{n}$ la fonction $f$ est complètement non-concave d’ordre 1. Pour le maximum, le théorème de S. Saks [51 a] ne s’élend pas, puisque le sait que / + $x_{1}x_{1}+$ + $\alpha_{3}x_{2}+\ldots+\alpha_{m}x_{m}$ ableint son maximum sur la frontione de $D_{1,}$ quels que soient, $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}$ et le domaine $D_{1}\subset D_{2}$ , carachérise les fonetions sous-harmoniques, qui ne sons pas, on général, complèlement non-concaves d’ordre 1 [5% a].
36. - L. Galvani [19] a également défini une convexibé (d’ordre 1) sur un ensemble plan E queloonque.
ba fonchion $f$ est non-concave sur E si, quels que soient les points $\Lambda\left(x_{1},y_{1}\right),\mathrm{B}\left(x_{2},y_{2}\right),\mathrm{C}\left(x_{3},y_{3}\right)$ de E , non colinóaros, la valeur de $f$ en tout point ( $x,y$ ) appartenant au triangle formé ABG, est non au-dessus du plen déterminé par les hrois point’s représenta-
tils $\left(x_{i},y_{i},f\left(x_{i},y_{i}\right)\right),t=1,2,3$ . On définit de la mênemanière la convexilé, polynomialité,… ete., sur E.

Si $f$ est non-eonare avee eette définition elle est non-concave dordre 1 sur tout soug-ensemble de E appartenant à uno droite. L. GALFANI [19] a démontre un certain nombro de propriótes de cos fonctions. Si ( $x,y),\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)$ sont deux points de F, appartenam, au triangle $\triangle BC$ , le point $(x,y,f(x,y))$ est à l’axtériour de langle triodze formé par le point ( $\left.x^{\prime},y^{\prime},\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)\right)$ et les points A, B, C. La fonetion est horné dans toul triangle ABC, pourvu que les points où sont prises les valeurs de / appratioment à E.

Si E se réduit à undomaine D, ces fonctions sent. Idonticutes aux fonctions complètement non-concares d’ondre 1.
37. - Poin terminer, signalóms encore qusquas genemalisations des fonctions convexes de plusieurs variables.
G. Aumann $[2\mathrm{a}]$ défnit la sonelion non-coneave $f\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}\right)$ dans le rectangle $a\leqq x_{i}=b,i=1,2,\ldots$ , ma l’aide des moyentes qu’il a introduites [2 b]. Une moyenne $M\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)$ est definie par les propriétés suivantes :

10 M est continue et symétrique en $x_{2}$ appartenant à Jintervalle $(a,b)$ ;

20 il existe un $p>0$ tel que si $x_{1}\geqslant x_{2}\ldots\ldots x_{n}$ on ait

\begin{gathered}x_{n}-M\geq p\left(x_{n}-x_{1}\right),\quad M-x_{1}\geq p\left(x_{n}-x_{1}\right)\\ 30\text{ si }x_{i}\leq x_{i}^{\prime},i=1,2,\ldots n,\text{ on }a\\ M\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)\leq M\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{n}^{\prime}\right)\end{gathered}

De cette moyenne de $n$ nombres $x_{i}$ on déduit une autre de $n+1$ nombres par le procédé suivant. Soient $x_{1}\leq x_{1}\geq\ldots\leq x_{n=1}$ des points de ( $a$ , B) et posons

x_{n+2,i}^{\prime}=\mathrm{M}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n+1}\right),\quad i=1,2,\ldots,n+1.

Nors

a\leqq x_{1}^{\prime}\leqq x_{2}^{\prime}\leqq\cdots\leqq x_{n+1}^{\prime\prime}\leqq b.

De ces nombres, nous déduisons par te même procédé,

u\leqq x_{1}^{\prime\prime}\leqq x_{2}^{\prime\prime}\leqq\cdots\leqq x_{n+1}^{\prime\prime}\leq b

et aínsi de suite.
On a alors
$\lim x_{1}^{(p)}=\lim x_{2}^{(p)}=\cdots=\lim x_{n+1}^{(p)}=\mathrm{M}^{\prime}\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n+1}\right)$ pour $p\rightarrow\infty$ ,
qui est encore une moyenne, mais de $n+1$ nombres. L’auteur l’appelle la moyenne supérieure (Obermittel) de $\mathrm{M}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)$ .

Soient maintenant $M_{i}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right),i=1,2,\ldots,m,m$ moyennes dans $(a,b)$ et $\mathrm{N}\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\right)$ une moyenne dans $(\alpha,\beta)$ où $z=\min f_{\text{, }}\beta=$ max 1 . La non-concavité de la fonction $f$ est alors définie par l’inégalité

\begin{gathered}f\left(M_{1}\left(x_{11},x_{12},\ldots,x_{1n}\right),M_{2}\left(x_{21},x_{22},\ldots,x_{2n}\right),\ldots,M_{m}\left(x_{m1},x_{m2},\ldots,x_{mn}\right)\right)\leqq\\ \leqq\mathrm{N}\left(f\left(x_{11},x_{21},\ldots,x_{m1}\right),\ldots,\quad f\left(x_{1n},x_{2n},\ldots,x_{mn}\right)\right)\end{gathered}

quels que soient $x_{ij}\in(a,b),i=1,2,\ldots,m,j=1,2,\ldots,n$ .
G. Aumann [2 a] dit alors que $f$ est convexe par rapport à $\left[\mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2},\ldots,\mathrm{M}_{m};\mathrm{N}\right]$ et démontre que la fonction est alors aussi convexe par rapport à $\left[M_{1}^{\prime},M_{2}^{\prime},\ldots,M_{m}^{\prime};N^{\prime}\right]$ , où $M_{i}^{\prime},N^{\prime}$ sont les moyennes supérieures de $\mathrm{M}_{i},\mathrm{~N}$ , et que, si la fonction est bornée, elle est continue. En particularisant les moyennes qui entrent dans cette définition et la fonction $f$ , on obtient diverses inégalités intéressantes.
I. Schur [52] considère les fonctions symétriques $/\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}\right)$ qui vérifient l’inégalité

f\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}\right)\leqq f\left(\mathbf{X}_{1},\mathbf{X}_{2},\ldots,\mathbf{X}_{m}\right)

(34)

où

\mathrm{X}_{k}=\sum_{i=1}^{m}a_{ki}x_{i},\quad k=1,2,\ldots,m,\quad a_{ki}\geq 0,\quad\sum_{i=1}^{m}a_{ki}=\sum_{k=1}^{m}a_{ki}=1.

Si une telle fonction est dérivable, on a $\left(x_{k}-x_{i}\right)\left(f_{x_{k}}^{\prime}-f_{x_{i}}^{\prime}\right)\leqq 0$ . En supposant que $f_{x_{k}}^{\prime}=f_{x_{i}}^{\prime}$ entraîne $f_{x_{k}}^{\prime\prime}-2f_{x_{k}x_{i}}^{\prime\prime}+f_{x_{i}^{2}}^{\prime\prime}<0$ , l’égalité dans (34), n’est possible que si les $X_{k}$ sont une permutation des $x_{i}$ .

Cette propriété de convexité est vérifiée par les fonctions symétriques fondamentales $c_{i}=\Sigma x_{1}x_{2}\cdots x_{i}$ , par les fonctions $\frac{c_{i+1}}{c_{i}}$ , par les fonctions $\sum_{\begin{subarray}{c}i=1\\ i=1\end{subarray}}^{m}\varphi\left(x_{i}\right)$ , où $\varphi$ est une fonction non-convexte d’ordre 1 et même par les sonctions

\varphi\varphi\left(x_{1}\right)_{\varphi}\left(x_{2}\right)\cdots\varphi\left(x_{i}\right)

si φ est, de plus, non-négative.

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Les fonctions convexes

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ACTUALITES SCIENTIFIQUES ET INDUSTRIELLES

EXPOSÉS SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS

LES

PAR

TIBERIU POPOVICIU

INTRODUCTION

NOTIONS PRÉLIMINAIRES ET NOTATIONS

CHAPITRE I

LES FONCTIONS D’ORDRE $n$

5.—Définition

CHAPITRE II

PROPRIETES DIVERSES DES FONCTIONS D’ORDRE n

CHAPITRE III

GENÉRALISATIONS DES FONCTIONS D’ORDRE $n$

CHAPITRE IV

LES HONCTIONS CONVEXES
DE DEUX OU PLUSIEURS VARIABLOS

BIBLIOGRAPHIE

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NOTIONS PRÉLIMINAIRES ET NOTATIONS

CHAPITRE I

LES FONCTIONS D’ORDRE nn

5.—Définition

CHAPITRE II

PROPRIETES DIVERSES DES FONCTIONS D’ORDRE n

CHAPITRE III

GENÉRALISATIONS DES FONCTIONS D’ORDRE nn

CHAPITRE IV

LES HONCTIONS CONVEXES DE DEUX OU PLUSIEURS VARIABLOS

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