Abstrait
Traduction en anglais du titre
S.N. Bernstein’s Polynomials and the Interpolation Problem
Auteur(s)
T. Popoviciu
Institutul de Calcul
Mots-clés
Pour citer ce travail
T. Popoviciu, Les polynomes de S.N. Bernstein et le problème de l’interpolation. Congresul internațional al matematicienilor, Amsterdam, 1954.
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LES POLYNOMES DE S. N. BERNSTEIN ET LE PROBLÈME DE L'INTERPOLATION 1954
- Les problèmes d'interpolation les plus simples reviennent à substituer à la fonction f(x)f(x), définie dans l'intervalle fermé [a,b][a, b], la fonction
{:(1)F(x;f)=sum_(i=0)^(n)varphi_(i)(x)f(x_(i)):}\begin{equation*}
F(x ; f)=\sum_{i=0}^{n} \varphi_{i}(x) f\left(x_{i}\right) \tag{1}
\end{equation*}
où les points (les noeuds) distincts x_(i)in[a,b]x_{i} \in[a, b] et les fonctions varphi_(i)(x)\varphi_{i}(x), définies dans [a,b][a, b] sont indépendants de la fonction f(x)f(x).
On peut poser le problème de la détermination et de l'étude des procédés (1), qui non seulement restent non-négatifs pour tout f(x)f(x), non-négatif, mais qui en outre conservent aussi certaines propriétés relatives à l'allure de la fonction f(x)f(x). Par ex., qui conservent la monotonie, la convexité, etc., de la fonction f(x)f(x).
2. Si la fonction (1), non seulement reste non-négative pour tout f(x)f(x) non-négatif, dans tout l'intervalle [a,b][a, b], mais conserve dans [a,b][a, b] aussi toute propriété de convexité de tout ordre de la fonction f(x)f(x), les varphi_(i)(x)\varphi_{i}(x) sont des polynomes du degré <= n\leqq n et, plus exactement, F(x;f)F(x ; f) est un polynome du degré <= k\leqq k pour tout polynome f(x)f(x) du degré kk, pour k=0,1,dotsk=0,1, \ldots. En outre il faut et il suffit que les inégalités
2. Si la fonction (1), non seulement reste non-négative pour tout f(x)f(x) non-négatif, dans tout l'intervalle [a,b][a, b], mais conserve dans [a,b][a, b] aussi toute propriété de convexité de tout ordre de la fonction f(x)f(x), les varphi_(i)(x)\varphi_{i}(x) sont des polynomes du degré <= n\leqq n et, plus exactement, F(x;f)F(x ; f) est un polynome du degré <= k\leqq k pour tout polynome f(x)f(x) du degré kk, pour k=0,1,dotsk=0,1, \ldots. En outre il faut et il suffit que les inégalités
sum_(i=0)^(n)(|x_(i)-lambda|+x_(i)-lambda)^(s)varphi_(i)^((s+1))(x) >= 0," pour "x in[a,b],s=0,1,dots\sum_{i=0}^{n}\left(\left|x_{i}-\lambda\right|+x_{i}-\lambda\right)^{s} \varphi_{i}^{(s+1)}(x) \geqq 0, \text { pour } x \in[a, b], s=0,1, \ldots
soient vérifiées [3].
Remarquons encore que si {F_(n)(x;f)}\left\{F_{n}(x ; f)\right\} est une suite infinie de fonctions de la forme (1), qui jouissent de la propriété de conservation de l'allure précisée plus haut, et si cette suite tend dans [a,b][a, b] vers f(x)f(x), pour f(x)=1,x,x^(2)f(x)=1, x, x^{2}, alors la suite converge absolument et uniformément vers f(x)f(x) dans [a,b][a, b], lorsque f(x)f(x) est continue dans cet intervalle.
3. Lé procédé le plus simple de la forme (I) est constitué par les polynomes de S. N. Bernstein [1]
Remarquons encore que si {F_(n)(x;f)}\left\{F_{n}(x ; f)\right\} est une suite infinie de fonctions de la forme (1), qui jouissent de la propriété de conservation de l'allure précisée plus haut, et si cette suite tend dans [a,b][a, b] vers f(x)f(x), pour f(x)=1,x,x^(2)f(x)=1, x, x^{2}, alors la suite converge absolument et uniformément vers f(x)f(x) dans [a,b][a, b], lorsque f(x)f(x) est continue dans cet intervalle.
3. Lé procédé le plus simple de la forme (I) est constitué par les polynomes de S. N. Bernstein [1]
{:(2)B_(n)(x;f)=sum_(i=0)^(n)((n)/(i))+((i)/(n))x^(i)(1-x)^(n-i)quad([a","b]=[0","1]):}\begin{equation*}
B_{n}(x ; f)=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}+\left(\frac{i}{n}\right) x^{i}(1-x)^{n-i} \quad([a, b]=[0,1]) \tag{2}
\end{equation*}
J'ai démontré autrefois [2], que ces polynomes conservent toute propriété de convexité de la fonction f(x)f(x). Mais il y a des propriétés plus complètes. La formule qui donne la dérivée du polynome (2),
B_(n)^(')(x;f)=nsum_(i=0)^(n-1)Delta_((1)/(n))f((i)/(n))((n-1)/(i))x^(i)(1-x)^(n-1-i)B_{n}^{\prime}(x ; f)=n \sum_{i=0}^{n-1} \Delta_{\frac{1}{n}} f\left(\frac{i}{n}\right)\binom{n-1}{i} x^{i}(1-x)^{n-1-i}
nous montre que si f(x)f(x) est formé par mm morceaux monotones (est monotone par segments), le polynome (2) jouit de la même propriété. En général, ss étant un nombre naturel ou 0 , la dérivée d'ordre s+1s+1,
B_(n)^((s+1))(x;f)=n(n-1)dots(n-s)sum_(i=0)^(n-s-1)Delta_((n)/(1))^(s+1)f((i)/(n))((n-s-1)/(i))x^(i)(1-x)^(n-s-1-i)B_{n}^{(s+1)}(x ; f)=n(n-1) \ldots(n-s) \sum_{i=0}^{n-s-1} \Delta_{\frac{n}{1}}^{s+1} f\left(\frac{i}{n}\right)\binom{n-s-1}{i} x^{i}(1-x)^{n-s-1-i}
nous mon'tre que si f(x)f(x) est formé par mm morceaux de fonctions non-concaves ou non-convexes d'ordre ss, le polynome (2) est formé par au plus (m-1)(s+2)(m-1)(s+2) +1 morceaux analogues.
B_(n)^((s+1))(x;f)=n(n-1)dots(n-s)sum_(i=0)^(n-s-1)Delta_((n)/(1))^(s+1)f((i)/(n))((n-s-1)/(i))x^(i)(1-x)^(n-s-1-i)B_{n}^{(s+1)}(x ; f)=n(n-1) \ldots(n-s) \sum_{i=0}^{n-s-1} \Delta_{\frac{n}{1}}^{s+1} f\left(\frac{i}{n}\right)\binom{n-s-1}{i} x^{i}(1-x)^{n-s-1-i}
nous mon'tre que si f(x)f(x) est formé par mm morceaux de fonctions non-concaves ou non-convexes d'ordre ss, le polynome (2) est formé par au plus (m-1)(s+2)(m-1)(s+2) +1 morceaux analogues.
A l'aide des propriétés des fonctions d'ordre nn par segments [3] ón peut encore compléter ces propriétés.
4. Les procédés d'interpolation qui conservent les propriétés de convexité et, en général certaines allures de la fonction f(x)f(x), ont aussi un intérêt pratique. Il est important que dans la représentation graphique d'une fonction provenant d'un problème pratique, les points discrets, obtenus par observations, puissent servir à représenter approximativement la variation du phénomène étudié par une courbe ayant une allure théoriquèment prévue.
4. Les procédés d'interpolation qui conservent les propriétés de convexité et, en général certaines allures de la fonction f(x)f(x), ont aussi un intérêt pratique. Il est important que dans la représentation graphique d'une fonction provenant d'un problème pratique, les points discrets, obtenus par observations, puissent servir à représenter approximativement la variation du phénomène étudié par une courbe ayant une allure théoriquèment prévue.
Bibliographie
[1] S. N. Bernstein, Comm. Charkow, (2) :13, 1-2 (1912) ou Sobranie Socinenie, I, 105.
[2] T. Popoviciu, Mathematica, 10, 45-53 (1934). 419-54
[3] T. Popoviciu, Bull. Acad. Roumaine, XXIV, 409-416 (1942).
Filiala Academiei R.P.R., Str. Pavlov 27 Cluj., R.P.R. (Roumanie).
[2] T. Popoviciu, Mathematica, 10, 45-53 (1934). 419-54
[3] T. Popoviciu, Bull. Acad. Roumaine, XXIV, 409-416 (1942).
Filiala Academiei R.P.R., Str. Pavlov 27 Cluj., R.P.R. (Roumanie).