où les points (les noeuds) distincts $x_i\in [a,b]$$x_i\in [a,b]$x_(i)in[a,b]x_{i} \in[a, b]$x_i\in [a,b]$ et les fonctions ${\phi }_i(x)$${\phi }_i(x)$varphi_(i)(x)\varphi_{i}(x)${\phi }_i(x)$, définies dans $[a,b]$$[a,b]$[a,b][a, b]$[a,b]$ sont indépendants de la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$.

On peut poser le problème de la détermination et de l'étude des procédés (1), qui non seulement restent non-négatifs pour tout $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$, non-négatif, mais qui en outre conservent aussi certaines propriétés relatives à l'allure de la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$. Par ex., qui conservent la monotonie, la convexité, etc., de la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$.
2. Si la fonction (1), non seulement reste non-négative pour tout $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ non-négatif, dans tout l'intervalle $[a,b]$$[a,b]$[a,b][a, b]$[a,b]$, mais conserve dans $[a,b]$$[a,b]$[a,b][a, b]$[a,b]$ aussi toute propriété de convexité de tout ordre de la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$, les ${\phi }_i(x)$${\phi }_i(x)$varphi_(i)(x)\varphi_{i}(x)${\phi }_i(x)$ sont des polynomes du degré $\leqq n$$\leqq n$<= n\leqq n$\leqq n$ et, plus exactement, $F(x;f)$$F(x;f)$F(x;f)F(x ; f)$F(x;f)$ est un polynome du degré $\leqq k$$\leqq k$<= k\leqq k$\leqq k$ pour tout polynome $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ du degré $k$$k$kk$k$, pour $k=0,1,\dots$$k=0,1,\dots$k=0,1,dotsk=0,1, \ldots$k=0,1,\dots$. En outre il faut et il suffit que les inégalités

soient vérifiées [3].
Remarquons encore que si $\{F_n(x;f)\}$$\left\{F_n(x;f)\right\}${F_(n)(x;f)}\left\{F_{n}(x ; f)\right\}$\{F_n(x;f)\}$ est une suite infinie de fonctions de la forme (1), qui jouissent de la propriété de conservation de l'allure précisée plus haut, et si cette suite tend dans $[a,b]$$[a,b]$[a,b][a, b]$[a,b]$ vers $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$, pour $f(x)=1,x,x^2$$f(x)=1,x,x^2$f(x)=1,x,x^(2)f(x)=1, x, x^{2}$f(x)=1,x,x^2$, alors la suite converge absolument et uniformément vers $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ dans $[a,b]$$[a,b]$[a,b][a, b]$[a,b]$, lorsque $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est continue dans cet intervalle.
3. Lé procédé le plus simple de la forme (I) est constitué par les polynomes de S. N. Bernstein [1]

J'ai démontré autrefois [2], que ces polynomes conservent toute propriété de convexité de la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$. Mais il y a des propriétés plus complètes. La formule qui donne la dérivée du polynome (2),

nous montre que si $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est formé par $m$$m$mm$m$ morceaux monotones (est monotone par segments), le polynome (2) jouit de la même propriété. En général, $s$$s$ss$s$ étant un nombre naturel ou 0 , la dérivée d'ordre $s+1$$s+1$s+1s+1$s+1$,
$B_n^{(s+1)}(x;f)=n(n-1)\dots (n-s)\sum _{i=0}^{n-s-1}{\mathrm{\Delta }}_{\frac{n}{1}}^{s+1}f\left(\frac{i}{n}\right)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-s-1}{i})x^i(1-x{)}^{n-s-1-i}$$B_n^{(s+1)}(x;f)=n(n-1)\dots (n-s)\sum _{i=0}^{n-s-1} {\mathrm{\Delta }}_{\frac{n}{1}}^{s+1}f\left(\frac{i}{n}\right)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-s-1}{i})x^i(1-x{)}^{n-s-1-i}$B_(n)^((s+1))(x;f)=n(n-1)dots(n-s)sum_(i=0)^(n-s-1)Delta_((n)/(1))^(s+1)f((i)/(n))((n-s-1)/(i))x^(i)(1-x)^(n-s-1-i)B_{n}^{(s+1)}(x ; f)=n(n-1) \ldots(n-s) \sum_{i=0}^{n-s-1} \Delta_{\frac{n}{1}}^{s+1} f\left(\frac{i}{n}\right)\binom{n-s-1}{i} x^{i}(1-x)^{n-s-1-i}$B_n^{(s+1)}(x;f)=n(n-1)\dots (n-s)\sum _{i=0}^{n-s-1}{\mathrm{\Delta }}_{\frac{n}{1}}^{s+1}f\left(\frac{i}{n}\right)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-s-1}{i})x^i(1-x{)}^{n-s-1-i}$
nous mon'tre que si $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est formé par $m$$m$mm$m$ morceaux de fonctions non-concaves ou non-convexes d'ordre $s$$s$ss$s$, le polynome (2) est formé par au plus $(m-1)(s+2)$$(m-1)(s+2)$(m-1)(s+2)(m-1)(s+2)$(m-1)(s+2)$ +1 morceaux analogues.

A l'aide des propriétés des fonctions d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments [3] ón peut encore compléter ces propriétés.
4. Les procédés d'interpolation qui conservent les propriétés de convexité et, en général certaines allures de la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$, ont aussi un intérêt pratique. Il est important que dans la représentation graphique d'une fonction provenant d'un problème pratique, les points discrets, obtenus par observations, puissent servir à représenter approximativement la variation du phénomène étudié par une courbe ayant une allure théoriquèment prévue.

[1] S. N. Bernstein, Comm. Charkow, (2) :13, 1-2 (1912) ou Sobranie Socinenie, I, 105.
[2] T. Popoviciu, Mathematica, 10, 45-53 (1934). 419-54
[3] T. Popoviciu, Bull. Acad. Roumaine, XXIV, 409-416 (1942).
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