Reçu le 8 Juin 1936.

La fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ a en chaque point un maximum (ou borne supérieure) $\mathrm{M}(f;x)$$\mathrm{M}(f;x)$M(f;x)\mathrm{M}(f ; x)$\mathrm{M}(f;x)$ et un minimum (ou borne inférieure) $m(f;x)$$m(f;x)$m(f;x)m(f ; x)$m(f;x)$. Le nombre $\mathrm{M}(f;x)$$\mathrm{M}(f;x)$M(f;x)\mathrm{M}(f ; x)$\mathrm{M}(f;x)$ est la limite du maximum de $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ dans un intervalle contenant le point $x$$x$xx$x$ quand cet intervalle tend vers le point $x$$x$xx$x$. Le nombre $m(f;x)$$m(f;x)$m(f;x)m(f ; x)$m(f;x)$ a une définition analogue. Le nombre $\mathrm{M}(f;x)$$\mathrm{M}(f;x)$M(f;x)\mathrm{M}(f ; x)$\mathrm{M}(f;x)$ peut devenir égal à $+\mathrm{\infty }$$+\mathrm{\infty }$+oo+\infty$+\mathrm{\infty }$ et le nombre $m(f;x)$$m(f;x)$m(f;x)m(f ; x)$m(f;x)$ peut devenir égal à $-\mathrm{\infty }$$-\mathrm{\infty }$-oo-\infty$-\mathrm{\infty }$ et cesdeux circonstances peuvent aussi se présenter en même temps. On a toujours $m(f;x)\le f(x)\le \le \mathrm{M}(f;x)$$m(f;x)\le f(x)\le \le \mathrm{M}(f;x)$m(f;x) <= f(x)≤≤M(f;x)m(f ; x) \leq f(x) \leq \leq \mathrm{M}(f ; x)$m(f;x)\le f(x)\le \le \mathrm{M}(f;x)$.

Nous allons attacher à la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ une autre fonction $F(x)$$F(x)$F(x)F(x)$F(x)$ qui prend au point $x$$x$xx$x$ toutes les valeurs comprises entre $m(f;x)$$m(f;x)$m(f;x)m(f ; x)$m(f;x)$ et $\mathrm{M}(f;x)$$\mathrm{M}(f;x)$M(f;x)\mathrm{M}(f ; x)$\mathrm{M}(f;x)$, ces extrémités inclues si elles sont finies. Si $\mathrm{M}(f;x)=+\mathrm{\infty }$$\mathrm{M}(f;x)=+\mathrm{\infty }$M(f;x)=+oo\mathrm{M}(f ; x)=+\infty$\mathrm{M}(f;x)=+\mathrm{\infty }$ la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ prend, au point $x$$x$xx$x$, toutes les valeurs plus grandes qu'un certain nombre fixe et il y a une propriété analogue si $m(f;x)=-\mathrm{\infty }$$m(f;x)=-\mathrm{\infty }$m(f;x)=-oom(f ; x)=-\infty$m(f;x)=-\mathrm{\infty }$. Lorsque $\mathrm{M}(f;x)=+\mathrm{\infty }$$\mathrm{M}(f;x)=+\mathrm{\infty }$M(f;x)=+oo\mathrm{M}(f ; x)=+\infty$\mathrm{M}(f;x)=+\mathrm{\infty }$ et $m(f;x)=-\mathrm{\infty }$$m(f;x)=-\mathrm{\infty }$m(f;x)=-oom(f ; x)=-\infty$m(f;x)=-\mathrm{\infty }$ en même temps, la fonction
$\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$ prend toutes les valeurs possibles au point $x$$x$xx$x$. La fonction $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$ est en général multiforme. Pour que $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ soit continue il faut et il suffit que la fonction attachée $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$ soit uniforme, les fonctions $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ et $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$ coincident alors partout.
2. La fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est univalente si elle ne prend qu'une seule fois chacune de ses valeurs, et cette notion d'univalence peut évidemment s'étendre aussi aux fonctions multiformes. Une fonction continue et univalente est nécessairement monotone mais l'univalence seule ne suffit pas pour affirmer que la fonction est monotone ( ${}^1$${}^1$^(1){ }^{1}${}^1$ ).

Nous nous proposons de démontrer la propriété suivante:
I. Pour que la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ soit monotone il faut et il suffit que la fonction $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$, attachée à $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$, soit univalente.

La condition est évidemment nécessaire et il reste à montrer qu'elle est aussi suffisante. Nous la démontrerons aux Nos. suivants.
3. Supposons donc que $F(x)$$F(x)$F(x)F(x)$F(x)$ soit univalente. On voit facilement qu'alors en tout point $x$$x$xx$x$ les nombres $\mathrm{M}(f;x),m(f;x)$$\mathrm{M}(f;x),m(f;x)$M(f;x),m(f;x)\mathrm{M}(f ; x), m(f ; x)$\mathrm{M}(f;x),m(f;x)$ sont finis. Marquons les points $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ sur l'axe réel et prenons un point $x$$x$xx$x$ de $(a,b)$$(a,b)$(a,b)(a, b)$(a,b)$. Figurons les points représentatifs des valeurs $m(f;x)$$m(f;x)$m(f;x)m(f ; x)$m(f;x)$ et $\mathrm{M}(f;x)$$\mathrm{M}(f;x)$M(f;x)\mathrm{M}(f ; x)$\mathrm{M}(f;x)$. Soit AA' la verticale qui contient les valeurs de $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$ au point $x{}^{(2)}$$x{}^{(2)}$x^((2))x{ }^{(2)}$x{}^{(2)}$. Figurons aussi les droites BB ', CC ' parallèles à l'axe réel et passant par les points représentatifs des valeurs $m(f;x),\mathrm{M}(f;x)$$m(f;x),\mathrm{M}(f;x)$m(f;x),M(f;x)m(f ; x), \mathrm{M}(f ; x)$m(f;x),\mathrm{M}(f;x)$. Le plan est ainsi décomposé en plusieurs régions. Il y a d'abord la bande comprise entre BB', CC' y compris les bords. Ensuite quatre cadrans CM $(f;x){\mathrm{A}}^{\prime },{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{M}(f;x)\mathrm{C}$$(f;x){\mathrm{A}}^{\prime },{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{M}(f;x)\mathrm{C}$(f;x)A^('),A^(')M(f;x)C(f ; x) \mathrm{A}^{\prime}, \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{M}(f ; x) \mathrm{C}$(f;x){\mathrm{A}}^{\prime },{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{M}(f;x)\mathrm{C}$ ', ${\mathrm{B}}^{\prime }m(t;x)\mathrm{A},\mathrm{A}m(f;x)\mathrm{B}$${\mathrm{B}}^{\prime }m(t;x)\mathrm{A},\mathrm{A}m(f;x)\mathrm{B}$B^(')m(t;x)A,Am(f;x)B\mathrm{B}^{\prime} m(t ; x) \mathrm{A}, \mathrm{A} m(f ; x) \mathrm{B}${\mathrm{B}}^{\prime }m(t;x)\mathrm{A},\mathrm{A}m(f;x)\mathrm{B}$ numérotés respectivement par (I), (II), (III), (IV). Les seules valeurs prises par la fonction $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$ dans la bande sont sur le segment $m(f;x)\mathrm{M}(f;x)$$m(f;x)\mathrm{M}(f;x)$m(f;x)M(f;x)m(f ; x) \mathrm{M}(f ; x)$m(f;x)\mathrm{M}(f;x)$. La bande BB', CC' peut d'ailleurs se réduire à une seule droite parallèle à l'axe réel. La propriété I sera démontrée si nous établissons la façon dont les valeurs de la fonction $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$, prises en dehors du point $x$$x$xx$x$, se distribuent dans les cadrans (I)-(IV).
4. I. Les valeurs prises à gauche de $x$$x$xx$x$ sont ou bien toutes dans le cadran (II) ou bien toutes dans le cadran (III).

La démonstration est très simple. Supposons le contraire. Il est clair qu'en tout point à gauche de $x$$x$xx$x$ les valeurs de $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$ sont toutes dans l'un des cadrans (II), (III). Soient maintenant $x_1$$x_1$x_(1)x_{1}$x_1$ et $x_2$$x_2$x_(2)x_{2}$x_2$ deux points à gauche de $x$$x$xx$x$ tels que les valeurs $\mathrm{F}\left(x_1\right)$$\mathrm{F}\left(x_1\right)$F(x_(1))\mathrm{F}\left(x_{1}\right)$\mathrm{F}\left(x_1\right)$ soient toutes dans (II) et les valeurs $\mathrm{F}\left(x_2\right)$$\mathrm{F}\left(x_2\right)$F(x_(2))\mathrm{F}\left(x_{2}\right)$\mathrm{F}\left(x_2\right)$ toutes dans (III). Désignons par J ${\mathrm{J}}_1$${\mathrm{J}}_1$J_(1)\mathrm{J}_{1}${\mathrm{J}}_1$ l'intervalle ( $x_1,x_2$$x_1,x_2$x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2}$x_1,x_2$ ) et prenons son milieu $x_4^{\prime }$$x_4^{\prime }$x_(4)^(')x_{4}^{\prime}$x_4^{\prime }$. Prenons comme intervalle ${\mathrm{J}}_2(x_1,x_4^{\prime })$${\mathrm{J}}_2\left(x_1,x_4^{\prime }\right)$J_(2)(x_(1),x_(4)^('))\mathrm{J}_{2}\left(x_{1}, x_{4}^{\prime}\right)${\mathrm{J}}_2(x_1,x_4^{\prime })$ ou ( $x_1^{\prime },x_2$$x_1^{\prime },x_2$x_(1)^('),x_(2)x_{1}^{\prime}, x_{2}$x_1^{\prime },x_2$ ) tel qu'aux extrémités les valeurs soient dans des cadrans diftérents. Répétant le procédé on construit une suite d'intervalles ${\mathrm{J}}_1,{\mathrm{J}}_2,\dots ,{\mathrm{J}}_m,\dots$${\mathrm{J}}_1,{\mathrm{J}}_2,\dots ,{\mathrm{J}}_m,\dots$J_(1),J_(2),dots,J_(m),dots\mathrm{J}_{1}, \mathrm{~J}_{2}, \ldots, \mathrm{~J}_{m}, \ldots${\mathrm{J}}_1,{\mathrm{J}}_2,\dots ,{\mathrm{J}}_m,\dots$ tels que chacun est la moitié du précédent et qu'aux extrémités les valeurs de $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$ sont toujours dans des cadrans différents. Les intervalles ${\mathrm{J}}_m$${\mathrm{J}}_m$J_(m)\mathrm{J}_{m}${\mathrm{J}}_m$ tendent, pour $m\to \mathrm{\infty }$$m\to \mathrm{\infty }$m rarr oom \rightarrow \infty$m\to \mathrm{\infty }$, vers un point limite $\xi$$\xi$xi\xi$\xi$. Il en résulte immédiatement que $\mathrm{M}(f;\xi \ge \mathrm{M}(f;x)$$\mathrm{M}(f;\xi \ge \mathrm{M}(f;x)$M(f;xi >= M(f;x)\mathrm{M}(f ; \xi \geq \mathrm{M}(f ; x)$\mathrm{M}(f;\xi \ge \mathrm{M}(f;x)$ et $m(f;\xi )\le m(f;x)$$m(f;\xi )\le m(f;x)$m(f;xi) <= m(f;x)m(f ; \xi) \leq m(f ; x)$m(f;\xi )\le m(f;x)$, ce qui est manifestement en contradiction avec l'univalence de $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$.

On démontre de la même manière que:
III. Los valeurs prises à droite de $x$$x$xx$x$ sont ou bien toutes dans le cadran (I) ou bien toutes dans le cadran (IV).

Enfin, pour préciser la distribution de toutes les valeurs de $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$, nous démontrerons la propriété suivante:

IIII. Les valeurs prises en dehors du point $x$$x$xx$x$ sont ou bien toutes dans les cadrans (I) et (III) ou bien toutes dans les cadrans (II) et (IV).

Il suffira de démontrer, par exemple, que les valeurs ne peuvent pas être toutes dans les cadrans (I) et (II). Supposons le contraire et soit $\mathrm{F}\left(x_0\right)$$\mathrm{F}\left(x_0\right)$F(x_(0))\mathrm{F}\left(x_{0}\right)$\mathrm{F}\left(x_0\right)$ une valeur prise en un point $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$ à gauche de $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$. En vertu de la définition de $\mathrm{M}(f;x)$$\mathrm{M}(f;x)$M(f;x)\mathrm{M}(f ; x)$\mathrm{M}(f;x)$ et des propriétés déjà démontrées, toutes les valeurs prises par $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$ à droite de $x$$x$xx$x$ doivent être plus petites que $\mathrm{F}\left(x_0\right)$$\mathrm{F}\left(x_0\right)$F(x_(0))\mathrm{F}\left(x_{0}\right)$\mathrm{F}\left(x_0\right)$. D'autre part, toujours en vertu de la définition de $\mathrm{M}(f;x)$$\mathrm{M}(f;x)$M(f;x)\mathrm{M}(f ; x)$\mathrm{M}(f;x)$, la fonction $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$ prend à gauche de $x$$x$xx$x$ des valeurs aussi près que l'on veut de $\mathrm{M}(f;x)$$\mathrm{M}(f;x)$M(f;x)\mathrm{M}(f ; x)$\mathrm{M}(f;x)$. Il en résulterait donc que la valeur $\mathrm{M}(f;x)$$\mathrm{M}(f;x)$M(f;x)\mathrm{M}(f ; x)$\mathrm{M}(f;x)$ est prisa en tout point à droite de $x$$x$xx$x$ ce qui est impossible.

De ce que nous avons démontré il est facile de déduire que $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est croissante ou décroissante. la propriété I est donc complètement établie.
5. Quoique la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$, n'est pas définie aux points $a$$a$aa$a$ et $b$$b$bb$b$ on peut prolonger la fonction $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$, attachée à $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$, sur ces points les nombres $\mathrm{M}(f;a),m(f;a)$$\mathrm{M}(f;a),m(f;a)$M(f;a),m(f;a)\mathrm{M}(f ; a), m(f ; a)$\mathrm{M}(f;a),m(f;a)$ et $\mathrm{M}(f;b),m(f;b)$$\mathrm{M}(f;b),m(f;b)$M(f;b),m(f;b)\mathrm{M}(f ; b), m(f ; b)$\mathrm{M}(f;b),m(f;b)$ étant définis. On peut alors voir facilement que si la fonction $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$ ainsi prolongée est univalente, elle est nécessairement bornée. Il est aisé d'en déduire la propriété suivante:
I. Pour que la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ soit monotone est bornée il faut et il suffit que la fonction attachée $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$, prolongée sur les extrémités a et $b$$b$bb$b$, soit univalente.
6. Passons maintenant à l'étude des fonctions convexes ou concaves d'ordre $n(n\ge 1)$$n(n\ge 1)$n(n >= 1)n(n \geq 1)$n(n\ge 1)$.Nous supposons qu'on connaisse les principales propriétés et les notations que nous avons employé dans cette théorie ${}^{(3)}$${}^{(3)}$^((3)){ }^{(3)}${}^{(3)}$. Disons d'abord ce que nous entendons par fonction (uniforme ou multiforme) multivalente d'ordre $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$. Une telle fonction prend au plus $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ fois la même valeur qu'un polynome de degré $n$$n$nn$n$ (plus exactement de degré au plus égal à $n$$n$nn$n$ ) et ceci quel que soit le polynome considéré. La multivalence a donc ici un sens différent comme d'habitude.

Supposons "que la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ soit continue et multivalente d'ordre $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$. Soient $x_1<x_2<\dots <x_{n+1}n+1$$x_1<x_2<\dots <x_{n+1}n+1$x_(1) < x_(2) < dots < x_(n+1)n+1x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1} n+1$x_1<x_2<\dots <x_{n+1}n+1$ points dans ( $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ) et $\mathrm{P}(x_1,x_2,\dots ,x_{n+1};f\mid x)$$\mathrm{P}\left(x_1,x_2,\dots ,x_{n+1};f\mid x\right)$P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x)\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)$\mathrm{P}(x_1,x_2,\dots ,x_{n+1};f\mid x)$ le polynome le Lagrange prenant les valeurs $f\left(x_i\right)$$f\left(x_i\right)$f(x_(i))f\left(x_{i}\right)$f\left(x_i\right)$ aux point $x_i$$x_i$x_(i)x_{i}$x_i$. La différence $f\left(x_i\right)-\mathrm{P}(x_1,x_2,\dots ,x_{n+1};f\mid x)$$f\left(x_i\right)-\mathrm{P}\left(x_1,x_2,\dots ,x_{n+1};f\mid x\right)$f(x_(i))-P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x)f\left(x_{i}\right)-\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)$f\left(x_i\right)-\mathrm{P}(x_1,x_2,\dots ,x_{n+1};f\mid x)$ est différente de zéro et garde le même signe dans chacun des intervalles ouverts $(a,x_1),(x_1,x_2),\dots ,(x_{n+1},b)$$\left(a,x_1\right),\left(x_1,x_2\right),\dots ,\left(x_{n+1},b\right)$(a,x_(1)),(x_(1),x_(2)),dots,(x_(n+1),b)\left(a, x_{1}\right),\left(x_{1}, x_{2}\right), \ldots,\left(x_{n+1}, b\right)$(a,x_1),(x_1,x_2),\dots ,(x_{n+1},b)$. Or, je dis que dans deux intervalles consécutifs cette différence prend des valeurs de signes contraires. Supposons en effet que les valeurs dans ( $x_i,x_{i+1}$$x_i,x_{i+1}$x_(i),x_(i+1)x_{i}, x_{i+1}$x_i,x_{i+1}$ ), ( $x_{i+1},x_{i+2}$$x_{i+1},x_{i+2}$x_(i+1),x_(i+2)x_{i+1}, x_{i+2}$x_{i+1},x_{i+2}$ ) $(x_0=a,x_{n+2}=b)$$\left(x_0=a,x_{n+2}=b\right)$(x_(0)=a,x_(n+2)=b)\left(x_{0}=a, x_{n+2}=b\right)$(x_0=a,x_{n+2}=b)$ soient de même signe. Prenons alors un point $x^{\prime }$$x^{\prime }$x^(')x^{\prime}$x^{\prime }$ dans l'intervalle ( $x_l,x_{i+1}$$x_l,x_{i+1}$x_(l),x_(i+1)x_{l}, x_{i+1}$x_l,x_{i+1}$ ) et considérons le polynome de Lagrange $\mathrm{P}(x_1,x_2,\dots ,x_i,x^{\prime },x_{i+2},\dots ,x_{n+1};f\mid x)$$\mathrm{P}\left(x_1,x_2,\dots ,x_i,x^{\prime },x_{i+2},\dots ,x_{n+1};f\mid x\right)$P(x_(1),x_(2),dots,x_(i),x^('),x_(i+2),dots,x_(n+1);f∣x)\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i}, x^{\prime}, x_{i+2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)$\mathrm{P}(x_1,x_2,\dots ,x_i,x^{\prime },x_{i+2},\dots ,x_{n+1};f\mid x)$. L'équation
$\mathrm{P}(x_1,x_2,\dots ,x_{n+1};f\mid x)=\mathrm{P}(x_1,x_2,\dots ,x_i,x^{\prime },x_{l+2},\dots ,x_{n+1};f\mid x)$$\mathrm{P}\left(x_1,x_2,\dots ,x_{n+1};f\mid x\right)=\mathrm{P}\left(x_1,x_2,\dots ,x_i,x^{\prime },x_{l+2},\dots ,x_{n+1};f\mid x\right)$P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x)=P(x_(1),x_(2),dots,x_(i),x^('),x_(l+2),dots,x_(n+1);f∣x)\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)=\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i}, x^{\prime}, x_{l+2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right)$\mathrm{P}(x_1,x_2,\dots ,x_{n+1};f\mid x)=\mathrm{P}(x_1,x_2,\dots ,x_i,x^{\prime },x_{l+2},\dots ,x_{n+1};f\mid x)$ n'est pas identiquement vérifiée et est de degré $n$$n$nn$n$. Elle a les racines $x_1,x_2,\dots ,x_i,x_{i+2},\dots ,x_{n+1}$$x_1,x_2,\dots ,x_i,x_{i+2},\dots ,x_{n+1}$x_(1),x_(2),dots,x_(i),x_(i+2),dots,x_(n+1)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i}, x_{i+2}, \ldots, x_{n+1}$x_1,x_2,\dots ,x_i,x_{i+2},\dots ,x_{n+1}$, donc aucun autre racine. Compte tenant de la continuité on en déduit facilement que, si $x$$x$xx$x$ ' est suffisamment près de $x_{i+1}$$x_{i+1}$x_(i+1)x_{i+1}$x_{i+1}$, il existe au moins un point $x^{\prime \prime }$$x^{\prime \prime }$x^('')x^{\prime \prime}$x^{\prime \prime }$ dans ( $x_{i+1},x_{i+2}$$x_{i+1},x_{i+2}$x_(i+1),x_(i+2)x_{i+1}, x_{i+2}$x_{i+1},x_{i+2}$ ) tel que

ce qui est en contradiction avec la propriété de multivalence.
Considérons $n+3$$n+3$n+3n+3$n+3$ points $x_1<x_2<\dots <x_{n+3}$$x_1<x_2<\dots <x_{n+3}$x_(1) < x_(2) < dots < x_(n+3)x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+3}$x_1<x_2<\dots <x_{n+3}$. Les différences $f(x)-\mathrm{P}(x_1,x_2,\dots ,x_{n+1};f\mid x),f(x)-\mathrm{P}(x_2,x_3,\dots ,x_{n+2};f\mid x)$$f(x)-\mathrm{P}\left(x_1,x_2,\dots ,x_{n+1};f\mid x\right),f(x)-\mathrm{P}\left(x_2,x_3,\dots ,x_{n+2};f\mid x\right)$f(x)-P(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x),f(x)-P(x_(2),x_(3),dots,x_(n+2);f∣x)f(x)-\mathrm{P}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x\right), f(x)-\mathrm{P}\left(x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n+2} ; f \mid x\right)$f(x)-\mathrm{P}(x_1,x_2,\dots ,x_{n+1};f\mid x),f(x)-\mathrm{P}(x_2,x_3,\dots ,x_{n+2};f\mid x)$ pronent alors des valeurs de mêmes signes au point $x_{n+3}$$x_{n+3}$x_(n+3)x_{n+3}$x_{n+3}$. On Je voit facilement en remarquant, par exemple, que le second polynome de Lagrange se déduit du premier par une déformation continue. Si maintenant nous considérons $m\ge n+2$$m\ge n+2$m >= n+2m \geq n+2$m\ge n+2$ points
(1)

on voit que les différences divésées d'ordre $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$

${}^{(3)}$${}^{(3)}$^((3)){ }^{(3)}${}^{(3)}$ Voir Tiberiu Popoviciu, "Sur quelques propriétés des fonctions d'une et de deux variables réelles". Mathematica t. V11l, p. 1-86.
sont toutes différentes de zéro et de même signe. Toute différence divisée prise sur $n+2$$n+2$n+2n+2$n+2$ point quelconque de la suite (1) sera différente de zéro et aura le même signe. Enfin deux différences divisées quelconques $[x_1,x_2,\dots ,x_{n+2};f],[x_1^{\prime },x_2^{\prime },\dots ,x_{n+2}^{\prime }]$$\left[x_1,x_2,\dots ,x_{n+2};f\right],\left[x_1^{\prime },x_2^{\prime },\dots ,x_{n+2}^{\prime }\right]$[x_(1),x_(2),dots,x_(n+2);f],[x_(1)^('),x_(2)^('),dots,x_(n+2)^(')]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; f\right],\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{n+2}^{\prime}\right]$[x_1,x_2,\dots ,x_{n+2};f],[x_1^{\prime },x_2^{\prime },\dots ,x_{n+2}^{\prime }]$ sont différentes de zéro et ont le même signe. Il suffit on effet de ranger tous les points $x_i,x_i$$x_i,x_i$x_(i),x_(i)x_{i}, x_{i}$x_i,x_i$ en une suite (1). Nous pouvons donc énoncer la propriété suivante:
II. Si la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est continue et multivalente d'ordre $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ elle est nécessairement convexe ou concave d'ordre n.
7. La multivalence d'ordre $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ ne suffit par pour affirmer la convexité ou la concavité d'ordre $n\left({}^4\right)$$n\left({}^4\right)$n(^(4))n\left({ }^{4}\right)$n\left({}^4\right)$. Nous démontrerons la propriété suivante:
III. Pour que la tonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ soit convexe ou concave d'ordre $n$$n$nn$n$ il faut et il suffit que la fonction $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$, attachée à $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ soit multivalente d'ordre $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$.

La condition est évidemment nécessaire. Il reste à montrer qu'elle est aussi suffisante.
8. Je dis d'abord que:

Si $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$ est multivalente d'ordre $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ elle est bornée en tout point de (a, b).

Supposons, par exemple, qu'en un point $x,\mathrm{M}(f;x)=+\mathrm{\infty }$$x,\mathrm{M}(f;x)=+\mathrm{\infty }$x,M(f;x)=+oox, \mathrm{M}(f ; x)=+\infty$x,\mathrm{M}(f;x)=+\mathrm{\infty }$. Il existe alors nécessairement une suite de points $x_1,x_2,\dots ,x_m,\dots$$x_1,x_2,\dots ,x_m,\dots$x_(1),x_(2),dots,x_(m),dotsx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}, \ldots$x_1,x_2,\dots ,x_m,\dots$ de $(a,b)$$(a,b)$(a,b)(a, b)$(a,b)$ tendant vers $x$$x$xx$x$ et une suite de valeurs $\mathrm{F}\left(x_1\right),\mathrm{F}\left(x_2\right),\dots ,\mathrm{F}\left(x_m\right),\dots$$\mathrm{F}\left(x_1\right),\mathrm{F}\left(x_2\right),\dots ,\mathrm{F}\left(x_m\right),\dots$F(x_(1)),F(x_(2)),dots,F(x_(m)),dots\mathrm{F}\left(x_{1}\right), \mathrm{F}\left(x_{2}\right), \ldots, \mathrm{F}\left(x_{m}\right), \ldots$\mathrm{F}\left(x_1\right),\mathrm{F}\left(x_2\right),\dots ,\mathrm{F}\left(x_m\right),\dots$, prises en ces points, et tendant vers $+\mathrm{\infty };\mathrm{F}\left(x_m\right)\to +\mathrm{\infty }$$+\mathrm{\infty };\mathrm{F}\left(x_m\right)\to +\mathrm{\infty }$+oo;F(x_(m))rarr+oo+\infty ; \mathrm{F}\left(x_{m}\right) \rightarrow+\infty$+\mathrm{\infty };\mathrm{F}\left(x_m\right)\to +\mathrm{\infty }$ pour $m\to \mathrm{\infty }$$m\to \mathrm{\infty }$m rarr oom \rightarrow \infty$m\to \mathrm{\infty }$. Soit $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ le polynome de Lagrange prenant les valeurs $\mathrm{F}\left(x_1\right),\mathrm{F}\left(x_2\right),\dots \dots ,\mathrm{F}\left(x_n\right),\mathrm{F}\left(x_m\right)(m>n)$$\mathrm{F}\left(x_1\right),\mathrm{F}\left(x_2\right),\dots \dots ,\mathrm{F}\left(x_n\right),\mathrm{F}\left(x_m\right)(m>n)$F(x_(1)),F(x_(2)),dots dots,F(x_(n)),F(x_(m))(m > n)\mathrm{F}\left(x_{1}\right), \mathrm{F}\left(x_{2}\right), \ldots \ldots, \mathrm{F}\left(x_{n}\right), \mathrm{F}\left(x_{m}\right)(m>n)$\mathrm{F}\left(x_1\right),\mathrm{F}\left(x_2\right),\dots \dots ,\mathrm{F}\left(x_n\right),\mathrm{F}\left(x_m\right)(m>n)$ aux points $x_1,x_2,\dots ,x_n,x_m$$x_1,x_2,\dots ,x_n,x_m$x_(1),x_(2),dots,x_(n),x_(m)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, x_{m}$x_1,x_2,\dots ,x_n,x_m$. On voit facilement que, pour $m$$m$mm$m$ suffisamment grand, il existe une valeur $\mathbf{F}(x)$$\mathbf{F}(x)$F(x)\mathbf{F}(x)$\mathbf{F}(x)$ au point $x$$x$xx$x$ telle que $\mathrm{F}(x)=\mathrm{P}(x)$$\mathrm{F}(x)=\mathrm{P}(x)$F(x)=P(x)\mathrm{F}(x)=\mathrm{P}(x)$\mathrm{F}(x)=\mathrm{P}(x)$. Ceci résulte de la continuité d'un
${}^{(4)}$${}^{(4)}$^((4)){ }^{(4)}${}^{(4)}$ La fonction

est bien bivalente mais n'est pas convere ou concave d'ordre 1. Cette fonction est même discontinue au point $\frac{1}{2}$$\frac{1}{2}$(1)/(2)\frac{1}{2}$\frac{1}{2}$. Il est facile de construire un exems ple pour $n$$n$nn$n$ quelconque.
polynome et est en contradiction avec la propriété de multivalence d'ordre $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$.
9. Passons à la démonstration de la propriété III et supposons donc que $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$ soit multivalente d'ordre $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$. Considérons encore $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ points $x_1<x_2\dots <x_{n+1}$$x_1<x_2\dots <x_{n+1}$x_(1) < x_(2)dots < x_(n+1)x_{1}<x_{2} \ldots<x_{n+1}$x_1<x_2\dots <x_{n+1}$ dans $(a,b)$$(a,b)$(a,b)(a, b)$(a,b)$ et certaines valeurs déterminées $\mathrm{F}\left(x_1\right),\mathrm{F}\left(x_2\right),\dots ,\mathrm{F}\left(x_{n+1}\right)$$\mathrm{F}\left(x_1\right),\mathrm{F}\left(x_2\right),\dots ,\mathrm{F}\left(x_{n+1}\right)$F(x_(1)),F(x_(2)),dots,F(x_(n+1))\mathrm{F}\left(x_{1}\right), \mathrm{F}\left(x_{2}\right), \ldots, \mathrm{F}\left(x_{n+1}\right)$\mathrm{F}\left(x_1\right),\mathrm{F}\left(x_2\right),\dots ,\mathrm{F}\left(x_{n+1}\right)$ de la fonction $\mathrm{F}(x)$$\mathrm{F}(x)$F(x)\mathrm{F}(x)$\mathrm{F}(x)$ en ces points. Soit $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ le polynome de Lagrange prenant les valeur $\mathrm{F}\left(x_i\right)$$\mathrm{F}\left(x_i\right)$F(x_(i))\mathrm{F}\left(x_{i}\right)$\mathrm{F}\left(x_i\right)$ aux points $x_t$$x_t$x_(t)x_{t}$x_t$. Nous avons la propriété suivante :
${\mathrm{III}}_{\mathrm{I}}$${\mathrm{III}}_{\mathrm{I}}$III_(I)\mathrm{III}_{\mathrm{I}}${\mathrm{III}}_{\mathrm{I}}$. La différence $\mathrm{F}(x)-\mathrm{P}(x)$$\mathrm{F}(x)-\mathrm{P}(x)$F(x)-P(x)\mathrm{F}(x)-\mathrm{P}(x)$\mathrm{F}(x)-\mathrm{P}(x)$ est différente de zéro et prend des valeurs de même signe dans chacun des intervalles ouverts ( $a,x_1$$a,x_1$a,x_(1)a, x_{1}$a,x_1$ ), $(x_1,x_2),\dots ,(x_{n+1},b)$$\left(x_1,x_2\right),\dots ,\left(x_{n+1},b\right)$(x_(1),x_(2)),dots,(x_(n+1),b)\left(x_{1}, x_{2}\right), \ldots,\left(x_{n+1}, b\right)$(x_1,x_2),\dots ,(x_{n+1},b)$.

Autrement dit, les valeurs de la fonction $F(x)$$F(x)$F(x)F(x)$F(x)$ restent, dans chaque intervalle $(x_i,x_{i+1})(x_0=a,x_{n+2}=b)$$\left(x_i,x_{i+1}\right)\left(x_0=a,x_{n+2}=b\right)$(x_(i),x_(i+1))(x_(0)=a,x_(n+2)=b)\left(x_{i}, x_{i+1}\right)\left(x_{0}=a, x_{n+2}=b\right)$(x_i,x_{i+1})(x_0=a,x_{n+2}=b)$, du même coté du polynome $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$. La démonstration se fait exactement comme pour la propriété II.

Si on fait prendre à $F\left(x_l\right)$$F\left(x_l\right)$F(x_(l))F\left(x_{l}\right)$F\left(x_l\right)$ toutes les valeurs comprises entre $m(f;x_l),\mathrm{M}(f;x_{li})$$m\left(f;x_l\right),\mathrm{M}\left(f;x_{li}\right)$m(f;x_(l)),M(f;x_(li))m\left(f ; x_{l}\right), \mathrm{M}\left(f ; x_{l i}\right)$m(f;x_l),\mathrm{M}(f;x_{li})$ et pour chaque point $x_l$$x_l$x_(l)x_{l}$x_l$, on obtient une famille de polynomes $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$. Cette famille à une fonction limite supérieure ${\varphi }_1(x)$${\varphi }_1(x)$phi_(1)(x)\phi_{1}(x)${\varphi }_1(x)$ et une fonction limite inférieure ${\varphi }_2(x)$${\varphi }_2(x)$phi_(2)(x)\phi_{2}(x)${\varphi }_2(x)$. Tout point situé dans la bande formée par les fonctions ${\varphi }_1(x),{\varphi }_2(x)$${\varphi }_1(x),{\varphi }_2(x)$phi_(1)(x),phi_(2)(x)\phi_{1}(x), \phi_{2}(x)${\varphi }_1(x),{\varphi }_2(x)$ jouit de la propriété qu'il existe un polynome de la famille passant par ce point. On peut donc remarquer que les valeurs de $F(x)$$F(x)$F(x)F(x)$F(x)$ prises en dehors des points $x_l$$x_l$x_(l)x_{l}$x_l$ sont toutes extérieures à la bande compris entre ${\varphi }_1(x)$${\varphi }_1(x)$phi_(1)(x)\phi_{1}(x)${\varphi }_1(x)$ et ${\varphi }_2(x)$${\varphi }_2(x)$phi_(2)(x)\phi_{2}(x)${\varphi }_2(x)$.

Démontrons maintenant la propriété suivant:
${\mathrm{III}}_{\mathrm{II}}$${\mathrm{III}}_{\mathrm{II}}$III_(II)\mathrm{III}_{\mathrm{II}}${\mathrm{III}}_{\mathrm{II}}$. La différence $\mathrm{F}(x)-\mathrm{P}(x)$$\mathrm{F}(x)-\mathrm{P}(x)$F(x)-P(x)\mathrm{F}(x)-\mathrm{P}(x)$\mathrm{F}(x)-\mathrm{P}(x)$ est de signe contraire dans deux intervalles consécutifs ( $x_i,x_{i+1}$$x_i,x_{i+1}$x_(i),x_(i+1)x_{i}, x_{i+1}$x_i,x_{i+1}$ ), ( $x_{i+1},x_{i+2}$$x_{i+1},x_{i+2}$x_(i+1),x_(i+2)x_{i+1}, x_{i+2}$x_{i+1},x_{i+2}$ ).