T. Popoviciu, Notes sur les fonctions convexes d’ordre supérieur (V), Bull. de la Sect. Sci. de l’Acad. Roum., 22 (1940), pp. 351-356 (in French) [MR0002561, JFM 66.0242.02].
Sur ce travail
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Bulletin de la Section Scientifique de l’Académie Roumaine
étant donnés et les coefficients p_(i)p_{i} étant indépendants de la fonction ff.
Les conditions nécessaires et suffisantes, que doivent satisfaire les coefficients p_(i)p_{i}, pour qu'il en soit ainsi, s'obtiennent facilement, par exemple, à l'aide de la formule que nous pouvons appeler la formule fondamentale de transformation des différences divisées. Cette formule s'écrit ^(2){ }^{2} )
f={[0","quad" pour "x=x_(1)","x_(2)","dots","x_(j+n)],[(x-x_(j+1))(x-x_(j+2))dots(x-x_(j+n))","" pour "x=x_(j+n+1)","x_(j+n+2)","dots","x_(m)],[quad j=1;2","dots","m-n-I]:}f=\left\{\begin{array}{l}
0, \quad \text { pour } x=x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{j+n} \\
\left(x-x_{j+1}\right)\left(x-x_{j+2}\right) \ldots\left(x-x_{j+n}\right), \text { pour } x=x_{j+n+1}, x_{j+n+2}, \ldots, x_{m} \\
\quad j=1 ; 2, \ldots, m-n-\mathbf{I}
\end{array}\right.
nous obtenons
Lorsque la fonction ff est définie dans un intervalle contenant les points (2) les conditions (3) ne sont plus nécessaires pour n > 1n>1. Pour que l'inégalité (I) ait lieu, quelle que soit la fonction ff définie dans un intervalle contenant à son intérieur les points (2), il faut et il suffit que cette inégalité soit vraie pour tout polynome de degré nn et pour toute fonction de la forme (|x-lambda|+x-lambda)^(n),lambda(|x-\lambda|+x-\lambda)^{n}, \lambda étant une constante. En effet, toute fonction non-concave d'ordre nn est la limite d'une suite de fonctions qui sont, à un polynome additif de degré nn près, des sommes de telles fonctions (|x-lambda|+x-lambda)^(n)(|x-\lambda|+x-\lambda)^{n} à coefficients positifs ^(3){ }^{3} ).
On trouve ainsi les égalités nécessaires et suffisantes.
qui ne sont autre que A_(1)=A_(2)=dots=A_(n+1)=0A_{1}=A_{2}=\ldots=A_{n+1}=0, exprimant que le premier membre de (I) est identiquement nul pour tout polynome de degré eta\eta.
On trouve ensuite les inégalités nécessaires et suffisantes
^(3){ }^{3} ) Tiberiu Popoviciu, Sur le prolongement des fonctions convexes d'ordre supérieur, Bull. Math. Soc. Roumaine des Sci., 36, 75-108 (1934).
2. On peut généraliser l'inégalité ( x ) en introduisant aussi les valeurs des dérivées de ff aux points x_(i)x_{i}. Pour simplifier supposons ff définie dans un intervalle contenant les points (2). Si n > 1n>1 la fonction ff, non-concave d'ordre nn, a des dérivées continues t^('),t^(''),dots,t^((n-1))t^{\prime}, t^{\prime \prime}, \ldots, t^{(n-1)} et des dérivées à gauche du d et à droite d'ordre n,f_(g)^((n)),f_(d)^((n))*[f_(g)^((n))=(f^((n-1)))_(g)^('),f_(d)^((n))=(f^((n-1)))_(d)^(')]n, f_{g}^{(n)}, f_{d}^{(n)} \cdot\left[f_{g}^{(n)}=\left(f^{(n-1)}\right)_{g}^{\prime}, f_{d}^{(n)}=\left(f^{(n-1)}\right)_{d}^{\prime}\right] en tout point intérieur.
On peut alors chercher les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'on ait
où 0 <= k_(i) <= n0 \leqq k_{i} \leqq n et f^((n))f^{(n)} désigne l'une des dérivées f_(g)^((n)),f_(d)^((n))f_{g}^{(n)}, f_{d}^{(n)} (non pas nécessairement la même pour tous les x_(i)x_{i} ), quelle que soit la fonction ff, non-concave d'ordre nn dans un intervalle contenant à son intérieur les points bar(x)_(i)\bar{x}_{i}. On voit facilement que les conditions nécessaires et suffisantes sont encore que l'inégalité ait lieu pour tout polynome de degré nn et pour toute fonction de 1a forme (|x-lambda|+x-lambda)^(n)(|x-\lambda|+x-\lambda)^{n}. Ces conditions peuvent donc s'écrire
Le premier membre est la limite d'une différence divisée d'ordre n+In+I, lorsque k_(i)+Ik_{i}+I de ses n+2n+2 points tendent vers x_(i),i=I,2,dots,mx_{i}, i=I, 2, \ldots, m. Il est facile d'obtenir la forme explicite de cette différence divisée généralisée.
3. On peut aussi établir, quelques fois, l'exactitude de l'inégalité (4) en exprimant le premier membre sous la forme d'une somme de différences
divisées d'ordre n+1n+1 (de la forme généralisée (5)) choisies convenablement. Nous allons établir de cette façon une inégalité particulière intéressante. Soient x_(1) < x_(2) < dots < x_(n)nx_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n} n points distincts de l'axe réel et posons
Soient xi_(1) < xi_(2) < dots < xi_(n-I)\xi_{1}<\xi_{2}<\ldots<\xi_{n-\mathrm{I}} les zéros, tous réels, de la dérivée varphi^(')(x)\varphi^{\prime}(x) du polynome varphi(x)\varphi(x). Nous avons
La formule (6) peut donc s'écrire (n-I)/(n)[x_(1),x_(2),dots,x_(n);f]-(I)/(n)[xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n-1);f^(')]=\frac{n-\mathrm{I}}{n}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f\right]-\frac{\mathrm{I}}{n}\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n-1} ; f^{\prime}\right]=
et nous pouvons énoncer le théorème suivant
Si x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} sont nn points de l'axe réels et xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n-1)\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n-1} sont les zéros de la dérivée du polynome varphi(x)=(x-x_(1))(x-x_(2))dots(x-x_(n))\varphi(x)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots\left(x-x_{n}\right), toute fonction ff, non-concave d'ordre nn dans un intervalle contenant à son intérieur les points xx, vérifie l'inégalité
(7) quad(n-1)[x_(1),x_(2),dots,x_(n);f] >= [xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n-1);t^(')]\quad(n-1)\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f\right] \geq\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n-1} ; t^{\prime}\right].
Nous avons démontré la propriété dans le cas oì les points x_(i)x_{i} sont distincts. Elle reste vraie aussi, par suite de la continuité, lorsque ces points ne sont pas distincts [les différences divisées étant alors de la forme généralisée (5)].
Remarques I. On voit facilement que si de plus la fonction ff est convexe d'ordre nn, l'égalité dans (7) ne peut avoir lieu que si x_(1)=x_(2)=dots=x_(n)x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}.
II. La restriction que les x_(i)x_{i} soient à l'intérieur de l'intervalle de définition de ff n'est pas essentielle. Le résultat reste le même si l'une ou les deux extrémités de cet intervalle coïncident avec un zéro simple de varphi(x)\varphi(x). Le résultat est vraie même sans restriction si la fonction est dérivable un nombre suffisant de fois aux extrémités de l'intervalle.
4. Du théorème précédent nous pouvons tirer quelques conclusions simples. Désignons par xi_(I)^((i)),xi_(2)^((j)),dots,xi_(n-i)^((i))\xi_{\mathrm{I}}^{(i)}, \xi_{2}^{(j)}, \ldots, \xi_{n-i}^{(i)} les zéros de la dérivée d'ordre ii de varphi(x)\varphi(x). Nous avons alors, dans les mêmes conditions, (n-1)![x_(1),x_(2),dots,x_(n);f] >= (n-2)![xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n-1);f^(')] >= dots(n-1)!\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f\right] \geqq(n-2)!\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n-1} ; f^{\prime}\right] \geqq \ldots dots >= (n-i-I)![xi_(I)^((i)),xi_(2)^((i)),dots,xi_(n-i)^((i));f^((i))] >= dots >= [xi_(I)^((n-I));f^((n-I))]\ldots \geq(n-i-\mathrm{I})!\left[\xi_{\mathrm{I}}^{(i)}, \xi_{2}^{(i)}, \ldots, \xi_{n-i}^{(i)} ; f^{(i)}\right] \geq \ldots \geq\left[\xi_{\mathrm{I}}^{(n-\mathrm{I})} ; f^{(n-\mathrm{I})}\right].
Mais,
donc:
Si la fonction ff est non-concave d'ordre nn dans un intervalle conterunt les points x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, nous avons l'inégalité
Si f est convexe d'ordre nn, l'égalitén'est possible que pour x_(1)=x_(2)=dots=x_(n)x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}. Prenons, en particulier, la fonction f=x^(n+r-1)f=x^{n+r-1}. Alors si rr est un nombre
naturel, la différence divisée [x_(1),x_(2),dots,x_(n);//]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; /\right] est égale à la fonction symétrique bien connue
Désignons par Wr' les mêmes fonctions symétriques de xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n-1)\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n-1} et, en général, par W_(r)^((i))W_{r}^{(i)} les fonctions symétriques correspondantes de xi_(1)^((i))\xi_{1}^{(i)}, xi_(2)^((i)),dots,xi_(n-i)^((i))\xi_{2}^{(i)}, \ldots, \xi_{n-i}^{(i)}. Remarquons que la fonction x^(n+r-1)x^{n+r-1} est convexe d'ordre nn dans l'intervalle (-oo,+oo)(-\infty,+\infty) si rr est tun nombre naturel pair et est convexe d'ordre nn dans ( 0,+oo0,+\infty ) si rr est un nombre naturel impair. Nous pouvons donc énoncer la propriété suivante:
Si x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} sont les zéros, tous réels, d'un polynome de degré nn et xi_(r)^((i)),xi_(2)^((i)),dots,xi_(n-i)^((i))\xi_{\mathrm{r}}^{(i)}, \xi_{2}^{(i)}, \ldots, \xi_{n-i}^{(i)} sont les zéros de la iema dérivée de ce polynome (xi_(r)^((n-1))=:}{:(x_(1)+x_(2)+dots+x_(n))/(n))\left(\xi_{\mathrm{r}}^{(n-1)}=\right. \left.\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}\right), nous avons les inégalités
pour tout nombre naturel pair r >= 2r \geq 2.
Si, de plus, les zéros x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} sont non-négatifs, ces inégalités sont vraies aussi pour r >= 3r \geq 3 impair.
Le signe >=\geq ne devient == dans ces inégalités que si x_(1)=x_(2)=dots=x_(n)x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}.
L'inégalité (7) est à rapprocher de l'inégalité de M. K. T o d à 4)
valable pour toute fonction non-concave d'ordre I^(5)I^{5} ). Pour f=x^(p)f=x^{p} où, p >=p \geq I ou p < 0p<0, cette inégalité revient à celle de MM. H. E. B i a y ^(6){ }^{6} ) ẹt S. Kake y a ^(7){ }^{7} )
qui est à rapprocher de (8).
Cernăufi, le 27 février 1940.
^(1)){ }^{1)} La note III est sous presse dans Mathematica, 16, 74-86. La note IV doit paraître dans cette même revue. ^(2){ }^{2} ) Pour les notations voir mes travaux antérieurs.
^(4){ }^{4} ) K. Toda, On certain functional inequalities, Journal of the Hiroshima. Univ., A,, 427-40 (1934). ^(5){ }^{5} ) Voir aussi la note III, loc. cil. (1). ^(6){ }^{6} ) H. E. B r a y, On the zeros of a polynomial and of its devivatives, Aner. Journal of Math., 53, 864-872 (1931). ^(7){ }^{7} ) S.K a ke y a, On an inequality between the roots of an equation and its derivative, Proceedings Phys.-Math. Soc. Japan (3), 15, 149-154 (1933).
