Notes sur les généralisations des fonctions convexes d’ordre supérieur (I)

Tiberiu Popoviciu
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Abstrait

Traduction en anglais du titre

The generalized Newton quadrature

Auteur(s)

T. Popoviciu
Institutul de Calcul

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1940 e -Popoviciu- Disquisit. Math. Phys. – Notes sur les generalisations des fonctions convexes d’ordre superieur (I)

Pour citer ce travail

T. Popoviciu, Notes sur les généralisations des fonctions convexes d’ordre supérieur (I), Disquisitiones mathematicae et physicae, 1 (1940), pp. 35-42 (in French) [MR0021038, JFM 66.0241.01].

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Disquisitiones mathematicae et physicae

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1940 e -Popoviciu- Disquisit. Math. Phys. - Notes sur les generalisations des fonctions convexes d_o

NOTES SUR LES GÉNÉRALISATIONS DES FONCTIONS CONVEXES D'ORDRE SUPÉRIEUR (I)

PARTIBERIU POPOVICIU

Dans une série de notes intitulées «Notes sur les fonctions convexes d'ordre supérieur» nous poursuivons l'étude des fonctions d'ordre n n nnn. Dans cette nouvelle série de notes nous nous proposons d'examiner les diverses classes de fonctions qui généralisent les fonctions d'ordre n n nnn d'une variable.

Les fonctions d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ).

  1. Rappelons d'abord la définition des fonctions d'ordre n. La fonction f = f ( x ) f = f ( x ) f=f(x)f=f(x)f=f(x), réelle, finie, uniforme et définie sur un enscmble linéaire quelconque E E EEE est dite d'ordre n n nnn sur E E EEE si sa différence divisée d'ordre n + 2 , [ x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; f ] n + 2 , x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; f n+2,[x_(1),x_(2),dots,x_(n+2);f]n+2,\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; f\right]n+2,[x1,x2,…,xn+2;f] ne change pas de signe sur E E EEE. Plus exactement nous avons la définition suivante
La fonction f est consexe, non-concave, polynomiale, non-consexe resp. concape d'ordre n n nnn sur E E EEE, suipant que l'inégalité
(1)
[ x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; f ] > , ≧ , = , ≦ resp. < 0 x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; f > , ≧ , = , ≦  resp.  < 0 [x_(1),x_(2),dots,x_(n+2);f] > , >= ,=, <= " resp. " < 0\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; f\right]>, \geqq,=, \leqq \text { resp. }<0[x1,x2,…,xn+2;f]>,≧,=,≦ resp. <0
est sérifiée, quels que soient les points x 1 , x 2 , … , x n + 2 ε E x 1 , x 2 , … , x n + 2 ε E x_(1),x_(2),dots,x_(n+2)epsi Ex_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} \varepsilon Ex1,x2,…,xn+2εE.
La convexité et la polynomialité d'ordre n n nnn sont des cas particuliers do la non-concavité d'ordre n n nnn. Si f f fff est convexe, non-concave,... ctc. d'ordre n n nnn, la fonction − f − f -f-f−f este concave, non-convexe,... etc., d'ordre n n nnn et réciproquement. On peut donc prendre comme type de fonction d'ordre n n nnn la fonction non-concave d'ordre n n nnn.
En particulier, la définition s'applique pour n = − 1 n = − 1 n=-1n=-1n=−1 et nous avons alors les fonctions qui ne changent pas de signe sur E E EEE, plus exactement les fonctions positives, non-négatives, identiquement nulles, non-positives resp. négatives. Pour n = 0 n = 0 n=0n=0n=0 nous avons les fonctions monotones,
croissantes, non-décroissantes, constantes, non-croissantes resp. décroissantes. Enfin, pour n = 1 n = 1 n=1n=1n=1, nous avons les fonctions convexes, non-concaves, linéaires, non-convexes resp. concaves habituelles.
Il est clair que les fonctions d'ordre n n nnn ne sont ainsi définies que sur des ensembles E E EEE ayant au moins n + 2 n + 2 n+2n+2n+2 points. Toutefois, dans certains énoncés, il est utile de supposer que toute fonction définie sur moins de n + 2 n + 2 n+2n+2n+2 points est d'ordre n n nnn et indifféremment convexe ou concave d'ordre n n nnn.
Nous désignérons par { x 1 , x 2 , … , x m } x 1 , x 2 , … , x m {x_(1),x_(2),dots,x_(m)}\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right\}{x1,x2,…,xm} une suite ordonnée de points, done de points tels que l'on ait x 1 < x 2 < … < x n x 1 < x 2 < … < x n x_(1) < x_(2) < dots < x_(n)x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}x1<x2<…<xn. Pour que la fonction f f fff soit convexe, non-concave, polynomiale, non-convexe, resp. concave d'ordre n n nnn sur la suite ordonnée { x 1 , x 2 , … , x m } ( m ≥ n + 2 ) x 1 , x 2 , … , x m ( m ≥ n + 2 ) {x_(1),x_(2),dots,x_(m)}(m >= n+2)\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right\}(m \geq n+2){x1,x2,…,xm}(m≥n+2), il faut et il suffit que l'on ait
Δ n + 2 i ( f ) > , ≥ , = , ≦ resp . < 0 , i = 1 , 2 , … , m − n − 1 , Δ n + 2 i ( f ) > , ≥ , = , ≦ resp . < 0 , i = 1 , 2 , … , m − n − 1 , Delta_(n+2)^(i)(f) > , >= ,=, <= resp. < 0,i=1,2,dots,m-n-1,\Delta_{n+2}^{i}(f)>, \geq,=, \leqq \mathrm{resp} .<0, i=1,2, \ldots, m-n-1,Δn+2i(f)>,≥,=,≦resp.<0,i=1,2,…,m−n−1,
en posant
(2) Δ j i ( f ) = [ x i , x i + 1 , … , x i + j ; f ] , Δ 0 i ( f ) = f ( x i ) i = 1 , 2 , … , m − j , j = 0 , 1 , … , m − 1 (2) Δ j i ( f ) = x i , x i + 1 , … , x i + j ; f , Δ 0 i ( f ) = f x i i = 1 , 2 , … , m − j , j = 0 , 1 , … , m − 1 {:[(2)Delta_(j)^(i)(f)=[x_(i),x_(i+1),dots,x_(i+j);f]","Delta_(0)^(i)(f)=f(x_(i))],[i=1","2","dots","m-j","j=0","1","dots","m-1]:}\begin{gather*} \Delta_{j}^{i}(f)=\left[x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{i+j} ; f\right], \Delta_{0}^{i}(f)=f\left(x_{i}\right) \tag{2}\\ i=1,2, \ldots, m-j, j=0,1, \ldots, m-1 \end{gather*}(2)Δji(f)=[xi,xi+1,…,xi+j;f],Δ0i(f)=f(xi)i=1,2,…,m−j,j=0,1,…,m−1
Cette propriété est une conséquence immédiate de ce que nous pouvons appeler le théorème de la moyenne des différences divisées. Ce théorème exprime la propriété que toute différence divisée [ x i 1 , x i 2 , … , x i n + 2 ; f ] x i 1 , x i 2 , … , x i n + 2 ; f [x_(i_(1)),x_(i_(2)),dots,x_(i_(n+2));f]\left[x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n+2}} ; f\right][xi1,xi2,…,xin+2;f] sur n + 2 n + 2 n+2n+2n+2 points de la suite ordonnée { x 1 , x 2 , … , x m } x 1 , x 2 , … , x m {x_(1),x_(2),dots,x_(m)}\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right\}{x1,x2,…,xm}, est une moyenne arithmétique (généralisée) des différences divisées
Δ n + 1 1 ( f ) , Δ n + 1 2 ( f ) , … , Δ n + 1 m − n − 1 ( f ) . Δ n + 1 1 ( f ) , Δ n + 1 2 ( f ) , … , Δ n + 1 m − n − 1 ( f ) . Delta_(n+1)^(1)(f),Delta_(n+1)^(2)(f),dots,Delta_(n+1)^(m-n-1)(f).\Delta_{n+1}^{1}(f), \Delta_{n+1}^{2}(f), \ldots, \Delta_{n+1}^{m-n-1}(f) .Δn+11(f),Δn+12(f),…,Δn+1m−n−1(f).
  1. Nous allons maintenant généraliser les fonctions d'ordre n n nnn en introduisant les fonctions d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ).
Soit e = { x 1 , x 2 , … , x m } e = x 1 , x 2 , … , x m e={x_(1),x_(2),dots,x_(m)}e=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right\}e={x1,x2,…,xm} un sous-ensemble (une suite) fini de E E EEE.
Définition 1. Nous dirons que la suite (avec les notations (2))
(3) Δ n + 1 1 ( f ) , Δ n + 1 2 ( f ) , … , Δ n + 1 m − n − 1 ( f ) , (3) Δ n + 1 1 ( f ) , Δ n + 1 2 ( f ) , … , Δ n + 1 m − n − 1 ( f ) , {:(3)Delta_(n+1)^(1)(f)","Delta_(n+1)^(2)(f)","dots","Delta_(n+1)^(m-n-1)(f)",":}\begin{equation*} \Delta_{n+1}^{1}(f), \Delta_{n+1}^{2}(f), \ldots, \Delta_{n+1}^{m-n-1}(f), \tag{3} \end{equation*}(3)Δn+11(f),Δn+12(f),…,Δn+1m−n−1(f),
est la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 correspondante à la suite e e eee, ou simplement la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 de e e eee. En particulier, la suite d 0 d 0 d_(0)d_{0}d0 de e e eee est
f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , … , f ( x m ) f x 1 , f x 2 , … , f x m f(x_(1)),f(x_(2)),dots,f(x_(m))f\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right), \ldots, f\left(x_{m}\right)f(x1),f(x2),…,f(xm)
Introduisons maintenant la définition suivante.
Définition 2. Nous dirons que la fonction f f fff est d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ) sur E E EEE si le nombre maximum des variations des suites d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1, de toutes les suites finies e de E E EEE, est égal à k k kkk.
Le nombre k k kkk est égal à 0 ou à un nombre naturel. La définition exige done que k k kkk soit fini, done que le nombre des variations des suites d n + n d n + n d_(n+n)d_{n+n}dn+n soit borné. Il est clair qu'il existe alors au moins une suite e e eee dont la
suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 présente exactement k k kkk variations. Le nombre n n nnn peut prendre les valeurs − 1 , 0 , 1 , 2 , … − 1 , 0 , 1 , 2 , … -1,0,1,2,dots-1,0,1,2, \ldots−1,0,1,2,…
Les fonctions d'ordre ( n ∣ 0 n ∣ 0 n∣0n \mid 0n∣0 ) coincident avec les fonctions d'ordre n n nnn.
Pour simplifier le langage, nous dirons que l'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ) est plus petit, au plus égal, égal, au moins égal resp. plus grand que l'ordre ( n ∣ k ′ n ∣ k ′ n∣k^(')n \mid k^{\prime}n∣k′ ) suivant que k < , ⩽ , = , ⩾ k < , ⩽ , = , ⩾ k < , <= ,=, >=k<, \leqslant,=, \geqslantk<,⩽,=,⩾ resp. > k ′ > k ′ > k^(')>k^{\prime}>k′.
Il est clair que si f f fff est d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ) sur E E EEE, elle est au plus d'ordre ( n ∣ k ) ( n ∣ k ) (n∣k)(n \mid k)(n∣k) sur tout E 1 ⊂ E E 1 ⊂ E E_(1)sub EE_{1} \subset EE1⊂E. Si f f fff est d'ordre ( n ∣ k ) ( n ∣ k ) (n∣k)(n \mid k)(n∣k), la fonction c f c f cfc fcf, où c c ccc est une constante non nulle est aussi d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ). Il en est de même de la fonction f + P f + P f+Pf+Pf+P, où P P PPP est un polynome quelconque de degré n n nnn.
3. Les fonctions d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ) sont done caractérisées par une propriété des suites d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 des sous-ensembles finis de E E EEE. Nous devons donc étudier d'abord de plus près la structure de ces suites d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1.
D'un théorème plus général de M. I. Schoenberg 1 1 ^(1){ }^{1}1 ), il résulte le
Lemme 1. Si γ i , μ i , i = 1 , 2 , … , m − 1 γ i , μ i , i = 1 , 2 , … , m − 1 gamma_(i),mu_(i),i=1,2,dots,m-1\gamma_{i}, \mu_{i}, i=1,2, \ldots, m-1γi,μi,i=1,2,…,m−1 sont des nombres non négatifs, le nombre des variations de la suite
(4) λ 1 c 1 + μ 1 c 2 , λ 2 c 2 + μ 2 c 3 , … , λ m − 1 c m − 1 + μ m − 1 c m λ 1 c 1 + μ 1 c 2 , λ 2 c 2 + μ 2 c 3 , … , λ m − 1 c m − 1 + μ m − 1 c m lambda_(1)c_(1)+mu_(1)c_(2),lambda_(2)c_(2)+mu_(2)c_(3),dots,lambda_(m-1)c_(m-1)+mu_(m-1)c_(m)\lambda_{1} c_{1}+\mu_{1} c_{2}, \lambda_{2} c_{2}+\mu_{2} c_{3}, \ldots, \lambda_{m-1} c_{m-1}+\mu_{m-1} c_{m}λ1c1+μ1c2,λ2c2+μ2c3,…,λm−1cm−1+μm−1cm
est au plus égal au nombre des pariations de la suite
(5)
c 1 , c 2 , … , c m c 1 , c 2 , … , c m c_(1),c_(2),dots,c_(m)c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{m}c1,c2,…,cm
Nous complétons cétte propriété par le
Lemme 2. Si les suites (4) et (5) ont le même nombre k k kkk de variations, les premiers termes non nuls dans ces suites ont le même signe et les derniers termes non nuls ont aussi le même signe.
Dans une suite (5) le premier terme non nul est le terme c s c s c_(s)c_{s}cs tel que c 1 = c 2 = … = c s − 1 = 0 , c s ≠ 0 c 1 = c 2 = … = c s − 1 = 0 , c s ≠ 0 c_(1)=c_(2)=dots=c_(s-1)=0,c_(s)!=0c_{1}=c_{2}=\ldots=c_{s-1}=0, c_{s} \neq 0c1=c2=…=cs−1=0,cs≠0 et le dernier terme non nul est défini d'une façon analogue. La démonstration du lemme 2 se fait facilement par induction sur le nombre k k kkk. On suppose bien entendu que, si k = 0 k = 0 k=0k=0k=0, aucune des suites (4), (5) n'est identiquement nulle.
Considérons maintenant une suite finie e = { x 1 , x 2 , … , x m } e = x 1 , x 2 , … , x m e={x_(1),x_(2),dots,x_(m)}e=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right\}e={x1,x2,…,xm} de E E EEE. Nous avons le
Théorème 1. Le nombre des variations de la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 d'une suite partielle de e est au plus égal au nombre des pariations de la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 de e.
Il suffit évidemment de démontrer la propriété pour les suites partielles e l = { x 1 , x 2 , … , x j − 1 , x j + 1 … , x m } , l ≦ j ≦ m e l = x 1 , x 2 , … , x j − 1 , x j + 1 … , x m , l ≦ j ≦ m e_(l)={x_(1),x_(2),dots,x_(j-1),x_(j+1)dots,x_(m)},l <= j <= me_{l}=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{j-1}, x_{j+1} \ldots, x_{m}\right\}, l \leqq j \leqq mel={x1,x2,…,xj−1,xj+1…,xm},l≦j≦m de e e eee. Soient (3) la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 de e e eee et
(6)
Δ n + 1 ∗ 1 ( f ) , Δ n + 1 ∗ 2 ( f ) , … , Δ n + 1 ∗ m − n − 2 ( f ) Δ n + 1 ∗ 1 ( f ) , Δ n + 1 ∗ 2 ( f ) , … , Δ n + 1 ∗ m − n − 2 ( f ) Delta_(n+1)^(**1)(f),Delta_(n+1)^(**2)(f),dots,Delta_(n+1)^(**m-n-2)(f)\Delta_{n+1}^{* 1}(f), \Delta_{n+1}^{* 2}(f), \ldots, \Delta_{n+1}^{* m-n-2}(f)Δn+1∗1(f),Δn+1∗2(f),…,Δn+1∗m−n−2(f)
la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 de e j e j e_(j)e_{j}ej. Nous avons
(7) { Δ n + 1 ∗ i ( f ) = Δ n + 1 i ( f ) , Δ n + 1 ∗ i ( f ) = ( x j − x i ) Δ n + 1 i ( f ) + ( x i + n + 2 − x j ) Δ n + 1 i + 1 ( f ) x i + n + 2 − x i i = j − n − 1 , j − n , … , j − 1 Δ n + 1 ∗ i ( f ) = Δ n + 1 i + 1 ( f ) , i = j , j + 1 , … , m − n − 2 (7) Δ n + 1 ∗ i ( f ) = Δ n + 1 i ( f ) , Δ n + 1 ∗ i ( f ) = x j − x i Δ n + 1 i ( f ) + x i + n + 2 − x j Δ n + 1 i + 1 ( f ) x i + n + 2 − x i i = j − n − 1 , j − n , … , j − 1 Δ n + 1 ∗ i ( f ) = Δ n + 1 i + 1 ( f ) , i = j , j + 1 , … , m − n − 2 {:(7){[Delta_(n+1)^(^(**)i),(f)=Delta_(n+1)^(i)(f)","],[Delta_(n+1)^(^(**)i)(f)=((x_(j)-x_(i))Delta_(n+1)^(i)(f)+(x_(i+n+2)-x_(j))Delta_(n+1)^(i+1)(f))/(x_(i+n+2)-x_(i)),],[,i=j-n-1","j-n","dots","j-1],[Delta_(n+1)^(^(**)i)(f)=Delta_(n+1)^(i+1)(f)",",i=j","j+1","dots","m-n-2]:}:}\begin{cases}\Delta_{n+1}^{{ }^{*} i} & (f)=\Delta_{n+1}^{i}(f), \tag{7}\\ \Delta_{n+1}^{{ }^{*} i}(f)=\frac{\left(x_{j}-x_{i}\right) \Delta_{n+1}^{i}(f)+\left(x_{i+n+2}-x_{j}\right) \Delta_{n+1}^{i+1}(f)}{x_{i+n+2}-x_{i}} & \\ & i=j-n-1, j-n, \ldots, j-1 \\ \Delta_{n+1}^{{ }^{*} i}(f)=\Delta_{n+1}^{i+1}(f), & i=j, j+1, \ldots, m-n-2\end{cases}(7){Δn+1∗i(f)=Δn+1i(f),Δn+1∗i(f)=(xj−xi)Δn+1i(f)+(xi+n+2−xj)Δn+1i+1(f)xi+n+2−xii=j−n−1,j−n,…,j−1Δn+1∗i(f)=Δn+1i+1(f),i=j,j+1,…,m−n−2
et la propriété résulte du lemme 1. Dans les formules (7) les deux premiers groupes sont à supprimer si j = 1 j = 1 j=1j=1j=1. Le premier groupe est à supprimer et dans le second i i iii varie de 1 à j − 1 j − 1 j-1j-1j−1 si 1 < j ≤ n + 2 1 < j ≤ n + 2 1 < j <= n+21<j \leq n+21<j≤n+2. Il en est de même pour les deux derniers groupes si i ≧ m − n − 1 i ≧ m − n − 1 i >= m-n-1i \geqq m-n-1i≧m−n−1.
Il en résulte aussi que si la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 d'une suite partielle de e e eee présente exactement autant de variations que la suite (3), les premiers termes non nuls dans les deux suites d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 ont le même signe et les derniers termes non nuls ont aussi le même signe.
4. Considérons une fonction f f fff définie sur E E EEE et un entier n ≥ − 1 n ≥ − 1 n >= -1n \geq-1n≥−1.
Definition 3. Nous dirons que la suite finie e = { x 1 , x 2 , … , x m } e = x 1 , x 2 , … , x m e={x_(1),x_(2),dots,x_(m)}e=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right\}e={x1,x2,…,xm} de E E EEE est irréductible si on ne peut supprimer aucun point de e sans diminuer le nombre des variations de sa suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1.
Dans le cas contraire nous dirons que la suite e est réductible.
11 est clair que la réductibilité dépend de n n nnn, de la fonction / / //// et du nombre k k kkk des variations de la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 de e e eee. Nous verrons que si n n nnn et k k kkk sont donnés, le nombre des termes d'une suite irréductible a un maximum indépendant de la fonction f f fff.
Dans le cas k = 0 k = 0 k=0k=0k=0, pour que e e eee soit irréductible il faut et il suffit qu'il soit formé par n + 2 n + 2 n+2n+2n+2 points. Dans les démonstrations qui vont suivre nous supposerons k > 0 k > 0 k > 0k>0k>0. Les résultats pour k = 0 k = 0 k=0k=0k=0 s'en déduisent facilement.
Pour que e e eee soit irréductible il faut et il suffit, d'après le théorème 1, que les suites d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 des suites particlles e j = { x 1 , x 2 , … , x i − 1 , x j + 1 , … e j = x 1 , x 2 , … , x i − 1 , x j + 1 , … e_(j)={x_(1),x_(2),dots,x_(i-1),x_(j+1),dots:}e_{j}=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i-1}, x_{j+1}, \ldots\right.ej={x1,x2,…,xi−1,xj+1,…, x m } , j = 1 , 2 , … , m x m , j = 1 , 2 , … , m {:x_(m)},j=1,2,dots,m\left.x_{m}\right\}, j=1,2, \ldots, mxm},j=1,2,…,m présentent toutes moins de variations que la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 de e e eee. Pour que la suite e e eee soit réductible il faut et il sulfit que la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 de l'une au moins des suites c j c j c_(j)c_{j}cj présente exactement autant de variations que la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 de e e eee.
Soient toujours (3) la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 de e e eee et (6) la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1, de e j e j e_(j)e_{j}ej. Les formules (7) nous montrent que si la suite partielle
Δ n + 1 j − n − 1 ( f ) , Δ n + 1 j − n ( f ) , … , Δ n + 1 j ( f ) Δ n + 1 j − n − 1 ( f ) , Δ n + 1 j − n ( f ) , … , Δ n + 1 j ( f ) Delta_(n+1)^(j-n-1)(f),Delta_(n+1)^(j-n)(f),dots,Delta_(n+1)^(j)(f)\Delta_{n+1}^{j-n-1}(f), \Delta_{n+1}^{j-n}(f), \ldots, \Delta_{n+1}^{j}(f)Δn+1j−n−1(f),Δn+1j−n(f),…,Δn+1j(f)
ne présente pas de variations, le nombre des variations des suites (3),
(6) est le même. Il en résulte immédiatement que si la suite partielle de (3).
(8) Δ n + 1 α − n ( f ) , Δ n + 1 α − n + 1 ( f ) , … , Δ n + 1 β ( f ) , a < β Δ n + 1 α − n ( f ) , Δ n + 1 α − n + 1 ( f ) , … , Δ n + 1 β ( f ) , a < β quadDelta_(n+1)^(alpha-n)(f),Delta_(n+1)^(alpha-n+1)(f),dots,Delta_(n+1)^(beta)(f),a < beta\quad \Delta_{n+1}^{\alpha-n}(f), \Delta_{n+1}^{\alpha-n+1}(f), \ldots, \Delta_{n+1}^{\beta}(f), a<\betaΔn+1α−n(f),Δn+1α−n+1(f),…,Δn+1β(f),a<β,
ne présente pas de variations, la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1, de la suite { x 1 , x 2 , … x 1 , x 2 , … {x_(1),x_(2),dots:}\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots\right.{x1,x2,…, x α , x β + 1 , … , x m } x α , x β + 1 , … , x m {:x_(alpha),xbeta_(+1),dots,x_(m)}\left.x_{\alpha}, x \beta_{+1}, \ldots, x_{m}\right\}xα,xβ+1,…,xm} présente exactement autant de variations que la suite (3). On voit lacilement comment il faut modifier la propriété si
a − n < 1 ou β > m − n − 1 a − n < 1  ou  β > m − n − 1 a-n < 1" ou "beta > m-n-1a-n<1 \text { ou } \beta>m-n-1a−n<1 ou β>m−n−1
On en déduit qu'on peut toujours trouver un e ⋆ ≦ e e ⋆ ≦ e e^(***) <= ee^{\star} \leqq ee⋆≦e dont la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 présente autant de variations que la suite (3) et dans laquelle les deux premiers termes sont non nuls et de signe contraires et les deux derniers termes sont aussi non nuls et de signes contraires. Il en résulte:
Théorème 2. Si (3) est la suile d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 d'uné suite irréductible e, nous awons
Δ n + 1 1 ( f ) ⋅ Δ n + 1 2 ( f ) < 0 , Δ n + 1 m − n − 2 ( f ) ⋅ Δ n + 1 m − n − 1 ( f ) < 0 . Δ n + 1 1 ( f ) ⋅ Δ n + 1 2 ( f ) < 0 , Δ n + 1 m − n − 2 ( f ) ⋅ Δ n + 1 m − n − 1 ( f ) < 0 . Delta_(n+1)^(1)(f)*Delta_(n+1)^(2)(f) < 0,Delta_(n+1)^(m-n-2)(f)*Delta_(n+1)^(m-n-1)(f) < 0.\Delta_{n+1}^{1}(f) \cdot \Delta_{n+1}^{2}(f)<0, \Delta_{n+1}^{m-n-2}(f) \cdot \Delta_{n+1}^{m-n-1}(f)<0 .Δn+11(f)⋅Δn+12(f)<0,Δn+1m−n−2(f)⋅Δn+1m−n−1(f)<0.
Théorème 3. Lorsque k = 0 , 1 k = 0 , 1 k=0,1k=0,1k=0,1, toute suite irréductible e a n + k + 2 n + k + 2 n+k+2n+k+2n+k+2 points.
En particulier si k = 1 k = 1 k=1k=1k=1, la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 d'un e e eee irréductible est formée par deux termes non nuls et de signes contraires.
On voit aussi, facilement:
Théorème 4. Lorsque n = − 1 , 0 n = − 1 , 0 n=-1,0n=-1,0n=−1,0, toute suite irréductible e a n + k + 2 n + k + 2 n+k+2n+k+2n+k+2 points.
Il est clair que les termes de la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 de e e eee sont alors tous différents de zéro et alternativement positifs et négatifs.
Examinons le cas n ≧ 1 n ≧ 1 n >= 1n \geqq 1n≧1. Supposons que dans les formules (7) on ait α > n , m − n − 1 ≥ β ≥ α + 2 α > n , m − n − 1 ≥ β ≥ α + 2 alpha > n,m-n-1 >= beta >= alpha+2\alpha>n, m-n-1 \geq \beta \geq \alpha+2α>n,m−n−1≥β≥α+2 et que la suite partielle (8) présente une variation. On peut alors trouver un γ γ gamma\gammaγ tel que α − n < γ ≦ β α − n < γ ≦ β alpha-n < gamma <= beta\alpha-n<\gamma \leqq \betaα−n<γ≦β, Δ n + 1 γ ( f ) ≠ 0 Δ n + 1 γ ( f ) ≠ 0 Delta_(n+1)^(gamma)(f)!=0\Delta_{n+1}^{\gamma}(f) \neq 0Δn+1γ(f)≠0 et que les suites
(9) Δ n + 1 α − n ( f ) , Δ n + 1 α − n + 1 ( f ) , … , Δ n + 1 γ − 1 ( f ) (10) Δ n + 1 γ ( f ) , Δ n + 1 γ + 1 ( f ) , … , Δ n + 1 β ( f ) (9) Δ n + 1 α − n ( f ) , Δ n + 1 α − n + 1 ( f ) , … , Δ n + 1 γ − 1 ( f ) (10) Δ n + 1 γ ( f ) , Δ n + 1 γ + 1 ( f ) , … , Δ n + 1 β ( f ) {:[(9)Delta_(n+1)^(alpha-n)(f)","Delta_(n+1)^(alpha-n+1)(f)","dots","Delta_(n+1)^(gamma-1)(f)],[(10)Delta_(n+1)^(gamma)(f)","Delta_(n+1)^(gamma+1)(f)","dots","Delta_(n+1)^(beta)(f)]:}\begin{gather*} \Delta_{n+1}^{\alpha-n}(f), \Delta_{n+1}^{\alpha-n+1}(f), \ldots, \Delta_{n+1}^{\gamma-1}(f) \tag{9}\\ \Delta_{n+1}^{\gamma}(f), \Delta_{n+1}^{\gamma+1}(f), \ldots, \Delta_{n+1}^{\beta}(f) \tag{10} \end{gather*}(9)Δn+1α−n(f),Δn+1α−n+1(f),…,Δn+1γ−1(f)(10)Δn+1γ(f),Δn+1γ+1(f),…,Δn+1β(f)
ne présentent pas de variations. Dans (9) il y a, d'ailleurs, au moins un terme non nul et de signe contraire avec Δ n + 1 γ ( f ) Δ n + 1 γ ( f ) Delta_(n+1)^(gamma)(f)\Delta_{n+1}^{\gamma}(f)Δn+1γ(f). Les résultats précédents nous montrent qu'on peut supposer que les suites (9), (10) aient chacune au plus n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 termes. On peut, en effet, revenir à ce cas en supprimant un certain nombre de points x i x i x_(i)x_{i}xi sans modifier le nombre des variations de la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 de e e eee. Il en résulte aussi que les suites (9) et (10) ont chacune au moins deux termes. Si maintenant la suite (9) a au plus n n nnn termes, en supprimant le point x a + 1 x a + 1 x_(a+1)x_{a+1}xa+1 on ne diminue pas le nombre des variations de la suite (8) et par suite on ne diminue pas le nombre
de variations de la suite (3). Si la suite (9) a n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 termes on arrive au même résultat en supprimant le point x a + 2 x a + 2 x_(a+2)x_{a+2}xa+2. On en déduit que si la suite (3) présente k k kkk variations, on peut trouver un e ⋆ ≦ e e ⋆ ≦ e e^(***) <= ee^{\star} \leqq ee⋆≦e dont la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 présente k k kkk variations et qui est formé par au plus [ k 2 ] n + k + 1 k 2 n + k + 1 [(k)/(2)]n+k+1\left[\frac{k}{2}\right] n+k+1[k2]n+k+1 termes 1 1 ^(1){ }^{1}1 )

Il en résulte le

Théorème 5. Si n ≧ 0 n ≧ 0 n >= 0n \geqq 0n≧0, toute suite irréductible, dont la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 présente k k kkk pariations, a au plus [ k + 6 2 ] n + k + 2 k + 6 2 n + k + 2 [(k+6)/(2)]n+k+2\left[\frac{k+6}{2}\right] n+k+2[k+62]n+k+2 points.
On peut remarquer qu'en supprimant le point x α + 1 x α + 1 x_(alpha+1)x_{\alpha+1}xα+1, on ne diminue pas le nombre des variations de la suite (3) si β = α + 1 β = α + 1 beta=alpha+1\beta=\alpha+1β=α+1 et Δ n + 1 γ − 1 ( f ) = 0 Δ n + 1 γ − 1 ( f ) = 0 Delta_(n+1)^(gamma-1)(f)=0\Delta_{n+1}^{\gamma-1}(f)=0Δn+1γ−1(f)=0. En appliquant cette propriété au cas n = 1 n = 1 n=1n=1n=1, on voit facilement que si n = − 0 , 1 n = − 0 , 1 n=-0,1n=-0,1n=−0,1 et si la suite (3) présente k k kkk variations, on peut trouver un e ⋆ ⩽ e e ⋆ ⩽ e e^(***) <= ee^{\star} \leqslant ee⋆⩽e dont la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 présente k k kkk variations et a tous ses termes non nuls. Done
Théorème 6. Lorsque n = − 1 , 0 , 1 n = − 1 , 0 , 1 n=-1,0,1n=-1,0,1n=−1,0,1, tous les termes de la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 d'une suite irréductible e sont différents de zéro.
On peut voir facilement que dans les suites d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1, de toutes les suites partielles irréductibles de e e eee, dont les suites d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 ont autant de variations que la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 de e e eee, les premiers termes sont de même signe et les derniers termes sont aussi de même signe.
Il est évident, d'ailleurs, que si e e eee est réductible, on peut trouver un e ⋆ < e e ⋆ < e e^(***) < ee^{\star}<ee⋆<e irréductible dont la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 présente exactement autant de variations que la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 de e e eee.
4 bis. Le nombre maximum des points d'une suite irréductible peut effectivement être atteint. Il suffit de considérer le cas n > 0 n > 0 n > 0n>0n>0. Prenons la suite e = { 1 , 2 , … , m } , m = [ k + 2 2 ] n + k + 2 e = { 1 , 2 , … , m } , m = k + 2 2 n + k + 2 e={1,2,dots,m},m=[(k+2)/(2)]n+k+2e=\{1,2, \ldots, m\}, m=\left[\frac{k+2}{2}\right] n+k+2e={1,2,…,m},m=[k+22]n+k+2 et choisissons la fonction f f fff de manière que l'on ait
Δ n + 1 i ( n + 2 ) + 1 ( f ) = 1 , i = 0 , 1 , … , [ k 2 ] Δ n + 1 i ( n + 2 ) ( f ) = Δ n + 1 j ( n + 2 ) + 2 ( f ) = − n − 2 i = 1 , 2 , … , [ k 2 ] , i = 0 , 1 , … , [ k − 1 2 ] Δ n + 1 i ( f ) ≦ 0 , i ≠ 0 , 1 , 2 , ( mod n + 2 ) Δ n + 1 i ( n + 2 ) + 1 ( f ) = 1 , i = 0 , 1 , … , k 2 Δ n + 1 i ( n + 2 ) ( f ) = Δ n + 1 j ( n + 2 ) + 2 ( f ) = − n − 2 i = 1 , 2 , … , k 2 , i = 0 , 1 , … , k − 1 2 Δ n + 1 i ( f ) ≦ 0 , i ≠ 0 , 1 , 2 , ( mod n + 2 ) {:[Delta_(n+1)^(i(n+2)+1)(f)=1","quad i=0","1","dots","[(k)/(2)]],[Delta_(n+1)^(i(n+2))(f)=Delta_(n+1)^(j(n+2)+2)quad(f)=-n-2],[i=1","2","dots","[(k)/(2)]","quad i=0","1","dots","[(k-1)/(2)]],[Delta_(n+1)^(i)(f) <= 0","i!=0","1","2","(mod n+2)]:}\begin{array}{r} \Delta_{n+1}^{i(n+2)+1}(f)=1, \quad i=0,1, \ldots,\left[\frac{k}{2}\right] \\ \Delta_{n+1}^{i(n+2)}(f)=\Delta_{n+1}^{j(n+2)+2} \quad(f)=-n-2 \\ i=1,2, \ldots,\left[\frac{k}{2}\right], \quad i=0,1, \ldots,\left[\frac{k-1}{2}\right] \\ \Delta_{n+1}^{i}(f) \leqq 0, i \neq 0,1,2,(\bmod n+2) \end{array}Δn+1i(n+2)+1(f)=1,i=0,1,…,[k2]Δn+1i(n+2)(f)=Δn+1j(n+2)+2(f)=−n−2i=1,2,…,[k2],i=0,1,…,[k−12]Δn+1i(f)≦0,i≠0,1,2,(modn+2)
La suite e e eee est alors irréductible. Cet exemple nous montre que si n > 1 n > 1 n > 1n>1n>1 la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 d'une suite e e eee irréductible peut avoir effectivement des termes nuls.
5. Revenons aux fonctions d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ). Introduisons d'abord la Définition 4. Nous dirons que la suite finie e de E ′ E ′ E^(')E^{\prime}E′ est une suite maximisante, pour la fonction f f fff d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ), si sa suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 présente exactement k k kkk pariations.
Il existe évidemment des suites maximisantes. Toute suite finie de E E EEE qui contient une suite partielle maximisante est encore maximisante. On en déduit immédiatement que si la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 de e e eee présente k k kkk variations, la fonction est d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ) sur e e eee. Il en résulte aussi que dans les suites d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 des suites maximisantes, les premiers termes non nuls ont le même signe et les derniers termes non nuls ont aussi le même signe. Le signe du dernier terme non nul (ou du premier terme non nul) est donc caractéristique pour la fonction.
Détinition 5. Nous dirons que la fonction f d'ordre (n ∣ k ∣ k ∣k\mid k∣k ) est d'ordre ( n ∣ k ) + ( n ∣ k ) + (n∣k)^(+)(n \mid k)^{+}(n∣k)+ou d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ) − − ^(-){ }^{-}−suipant que le dernier terme non nul de la suite d n + 1 d n + 1 d_(n+1)d_{n+1}dn+1 d'une suite maximisante de E E EEE est positif ou négatif.
Les fonctions d'ordre ( n ∣ 0 ) + ( n ∣ 0 ) + (n∣0)^(+)(n \mid 0)^{+}(n∣0)+sont les fonctions non-concaves d'ordre n n nnn et les fonctions d'ordre ( n ∣ 0 n ∣ 0 n∣0n \mid 0n∣0 )- les fonctions non-convexes d'ordre n n nnn. Les fonctions polynomiales d'ordre n n nnn échappent ainsi à cette définition, mais nous pouvons convenir qu'une telle fonction soit indifféremment d'ordre ( n ∣ 0 ) + ( n ∣ 0 ) + (n∣0)^(+)(n \mid 0)^{+}(n∣0)+ou d'ordre ( n ∣ 0 ) − ( n ∣ 0 ) − (n∣0)^(-)(n \mid 0)^{-}(n∣0)−.
Si f f fff est d'ordre ( n ∣ k ) + ( n ∣ k ) + (n∣k)^(+)(n \mid k)^{+}(n∣k)+resp. d'ordre ( n ∣ k ) − ( n ∣ k ) − (n∣k)^(-)(n \mid k)^{-}(n∣k)−, il en est de même de c f c f cfc fcf, où c c ccc est une constante positive et de la fonction f + . P f + . P f+.Pf+. Pf+.P, où P P PPP est un polynome de degré n n nnn. La fonction - f f fff est d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k )- resp. d'ordre ( n ∣ k ) + ( n ∣ k ) + (n∣k)^(+)(n \mid k)^{+}(n∣k)+.
Si la fonction / / //// n'est pas d'ordre ≦ ( n ∣ k ) ≦ ( n ∣ k ) <= (n∣k)\leqq(n \mid k)≦(n∣k) sur E E EEE, on peut trouver un sous-ensemble de E E EEE sur lequel f f fff soit d'ordre ( n ∣ k + 1 n ∣ k + 1 n∣k+1n \mid k+1n∣k+1 ). On voit aussi, facilement, qu'on peut trouver un sous-ensemble fini de E E EEE sur lequel f f fff soit d'ordre ( n ∣ k ) + ( n ∣ k ) + (n∣k)^(+)(n \mid k)^{+}(n∣k)+et un sous-en emble fini de E E EEE sur lequel f f fff soit d'ordre ( n ∣ k ) − ( n ∣ k ) − (n∣k)^(-)(n \mid k)^{-}(n∣k)−.
6. Rappelons la propriété bien connue, exprimée par le Lomme 3. Si la suite
(11) c 2 − c 1 , c 3 − c 2 , … , c m − c m − 1 (11) c 2 − c 1 , c 3 − c 2 , … , c m − c m − 1 {:(11)c_(2)-c_(1)","c_(3)-c_(2)","dots","c_(m)-c_(m-1):}\begin{equation*} c_{2}-c_{1}, c_{3}-c_{2}, \ldots, c_{m}-c_{m-1} \tag{11} \end{equation*}(11)c2−c1,c3−c2,…,cm−cm−1
présente k k kkk variations, la suite
(12) c 1 , c 2 , … , c m (12) c 1 , c 2 , … , c m {:(12)c_(1)","c_(2)","dots","c_(m):}\begin{equation*} c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{m} \tag{12} \end{equation*}(12)c1,c2,…,cm
présente au plus k + 1 k + 1 k+1k+1k+1 variations.
Nous pouvons completer ce lemme par le suivant
Lemme 4. Si la suite (11) présente k ( ≥ 0 ) k ( ≥ 0 ) k( >= 0)k(\geq 0)k(≥0) sariations et la suite (12) exactement k + 1 k + 1 k+1k+1k+1 pariations, les derniers termes non nuls dans les deux suites sont de même signe.
Considérons la fonction f ( x i ) = c i , i = 1 , 2 , … , m f x i = c i , i = 1 , 2 , … , m f(x_(i))=c_(i),i=1,2,dots,mf\left(x_{i}\right)=c_{i}, i=1,2, \ldots, mf(xi)=ci,i=1,2,…,m sur l'ensemble e = { x 1 , x 2 , … , x m } e = x 1 , x 2 , … , x m e={x_(1),x_(2),dots,x_(m)}e=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right\}e={x1,x2,…,xm}. Si m = k + 2 m = k + 2 m=k+2m=k+2m=k+2 et la suite (12) présente k + 1 k + 1 k+1k+1k+1 variations, la suite (11) présente nécessairement k k kkk variations et le lemme se démontre facilement. Si m > k + 2 m > k + 2 m > k+2m>k+2m>k+2, la fonction étant d'ordre ( − 1 ∣ k + 1 ) ( − 1 ∣ k + 1 ) (-1∣k+1)(-1 \mid k+1)(−1∣k+1) sur e e eee, on peut trouver une suite partielle e ∗ = { x 1 ∗ , x 2 ∗ … , x k + 2 ∗ } e ∗ = x 1 ∗ , x 2 ∗ … , x k + 2 ∗ e^(**)={x_(1)^(**),x_(2)^(**)dots,x_(k+2)^(**)}e^{*}=\left\{x_{1}^{*}, x_{2}^{*} \ldots, x_{k+2}^{*}\right\}e∗={x1∗,x2∗…,xk+2∗} de k + 2 k + 2 k+2k+2k+2. termes de e e eee, maximisante et irréductible. f f fff est aussi d'ordre ( 0 ∣ k ) ( 0 ∣ k ) (0∣k)(0 \mid k)(0∣k) et par rapport à cet ordre e e eee et e ∗ e ∗ e^(**)e^{*}e∗ sont maximisantes. Le lemme 4 en résulte immédiatement.
Compte tenu des égalités
Δ n + 1 i ( f ) = Δ n i + 1 ( f ) − Δ n i ( f ) x n + i + 1 − x i , i = 1 , 2 , … , m − n − 1 Δ n + 1 i ( f ) = Δ n i + 1 ( f ) − Δ n i ( f ) x n + i + 1 − x i , i = 1 , 2 , … , m − n − 1 Delta_(n+1)^(i)(f)=(Delta_(n)^(i+1)(f)-Delta_(n)^(i)(f))/(x_(n+i+1)-x_(i)),quad i=1,2,dots,m-n-1\Delta_{n+1}^{i}(f)=\frac{\Delta_{n}^{i+1}(f)-\Delta_{n}^{i}(f)}{x_{n+i+1}-x_{i}}, \quad i=1,2, \ldots, m-n-1Δn+1i(f)=Δni+1(f)−Δni(f)xn+i+1−xi,i=1,2,…,m−n−1
relatives à un e = { x 1 , x 2 , … , x m } e = x 1 , x 2 , … , x m e={x_(1),x_(2),dots,x_(m)}e=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right\}e={x1,x2,…,xm}, le lemme 3 nous donne le
Théorème 7. Toute fonction d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ), n ≥ 0 n ≥ 0 n >= 0n \geq 0n≥0, est au plus d'ordre ( n − 1 ∣ k + 1 ) ( n − 1 ∣ k + 1 ) (n-1∣k+1)(n-1 \mid k+1)(n−1∣k+1). En général, toute fonction d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ) est au plus d'ordre ( n − 1 ∣ k + i ) ( n − 1 ∣ k + i ) (n-1∣k+i)(n-1 \mid k+i)(n−1∣k+i), quel que soit i = 1 , 2 , … , n + 1 i = 1 , 2 , … , n + 1 i=1,2,dots,n+1i=1,2, \ldots, n+1i=1,2,…,n+1.
Du lemme 4 il résulte encore la propriété plus complète suivante.
Théorème 8. Si une fonction d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ) + + ^(+){ }^{+}+est d'ordre ( n − 1 ∣ k + 1 n − 1 ∣ k + 1 n-1∣k+1n-1 \mid k+1n−1∣k+1 ), elle est nécessairement d'ordre ( n − 1 ∣ k + 1 ) + ( n − 1 ∣ k + 1 ) + (n-1∣k+1)^(+)(n-1 \mid k+1)^{+}(n−1∣k+1)+. En général, si la fonction est d'ordre ( n − i ∣ k + i n − i ∣ k + i n-i∣k+in-i \mid k+in−i∣k+i ), elle est nécessairement d'ordre ( n − i ∣ k + i ) + n − i ∣ k + i ) + n-i∣k+i)^(+)n-i \mid k+i)^{+}n−i∣k+i)+, quel que soit i = 1 , 2 , … , n + 1 i = 1 , 2 , … , n + 1 i=1,2,dots,n+1i=1,2, \ldots, n+1i=1,2,…,n+1.
Dans les notes suivantes nous examinerons quelques propriétés des fonctions d'ordre ( n ∣ k n ∣ k n∣kn \mid kn∣k ).
Manuscrit regu le 2 mai 1940.
  1. 1 1 ^(1){ }^{1}1 ) I. Schoenberg: Uber variationsvernindernde lineare Transformationen, Math, Zeitschrift, 32, 321-328, (1930).
  2. 1 1 ^(1){ }^{1}1 ) Nous désignons, comme d'habitude, par [ a ] [ a ] [a][a][a] le plus grand entier ≦ a ≦ a <= a\leqq a≦a.
1940

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