1. 1.
   • —

     Dans le présent travail nous ne considérons que des équations algébriques à coefficients réels. Si le coefficient đu terme de plus haut degré d’une telle équation est égal à 1 , les racines sont des fonctions continues par rapport aux autres coefficients. Il en résulte, en paticulier, que si une telle équation a exactement N racines dans levoisinage d’un certain point et si N-1 de ces racines sont réelles, la Nème est aussi, nécessarement, réelle. Nous tiendrons compte encore du fait que si une suite de polynomes de degré $N$, ayant tous leurs zéros réels, tend vers un polynome limite, cette limite est de degré $\leq N$ et a tous ses zéros réels. Par le passage à la limite, certaines des racines àe l’équation limite peuvent disparaitre à l’infini et alors 1a degré est inférieur à $N$.

     Report issue for preceding element

Etant donné un polynome $\mathrm{P}(x)$ de degré $n(n\geq 1)$, nous nous proposons de chercher une condition pour l’éxistence d’un autre polynome $Q(x)$ tel que la dérivée de l’équation $P(x)\cdot Q(x)=0$ àit toutes ses racines réelles. Plus exactement, nous établirons que si un tel polynome $Q(x)$ existe on peut en trouver un autre tel que la dérivée du produ t ait un certain nombre limité, nombre ne dépendant que du degré du. polynome $\mathrm{P}(x)$, de racines distinctes.

Dans le cas général le polynome $\mathrm{P}(x)$ peut se mettre sous la forme

où, $q_{\nu}\geq 2,v=1,2,\ldots,r;\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{r}$ sont réels et distincts et $\mathrm{P}_{1}(x)$ est aun polynome de degré $n-\sum_{\nu=1}^{r}q_{\nu}$ dont les zéros réels sont tous distincts æt différents des $\beta_{\nu}$. Posons $k=n-\sum_{\nu=1}^{r}q_{\nu}+r$, le nombre $k$ représente alors la somme du nombre des zéros réels distincts et du nombre des zéros complexes du polynome $\mathrm{P}(x)$.

Supposons qu’il existe un polynome $Q(x)$ de degré $m$ vériniant la propriété, donc un polynome

stel que si $\mathrm{F}(x)=\mathrm{P}(x)\cdot\mathrm{Q}(x)$, l’équation

ait toutes ses racines réelles.
Nous avons alors
${}^{T}{}^{\prime}(x)=\mathrm{C}\left(x-\beta_{1}\right)^{q_{1}-1}\left(x-\beta_{2}\right)^{q_{2}\cdot 1}\ldots\left(x-\beta_{r}\right)^{qr-1}\left(x-\alpha_{1}\right)^{p_{1}}\left(x-\alpha_{2}\right)^{p_{2}}\ldots\left(x-\alpha_{s}\right)^{p_{s}}$ où, $\quad p_{\mu}\geq 1,\mu=1,2,\ldots s,\sum_{\nu=1}^{r}q_{\nu}-r+\sum_{\mu=1}^{s}p_{\mu}=n+m-1$,
$\mathscr{H}_{1}<\alpha_{2}<\ldots<\alpha_{s}$ et C est une constante.

2. - Admettons, pour le moment, que les zéros $\alpha_{\mu}$ sont tous distincts des zéros $\beta_{\nu}$ et supposons que $s\geq k$.

Remplaçons d’abord le polynome $Q(x)$ par un polynome

dont les coefficients $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{m}$ sont variables.
Posons $\Phi(x)=\mathrm{P}(x).\phi(x)$ ot écrivons les conditions
(2)

$j_{\mu}=1,2,\ldots,p_{\mu}-1,\quad\mu=1,2,\ldots,s\quad$ (aucun $j_{\mu}$ si $p_{\mu}=1$ )
$j_{\mu}=p_{\mu},\quad\mu=k+1,\quad k+2,\ldots,s\quad$ (aucun si $s=k$ ).

Considérons les systèmes de $m$ é fuations qu’on obtient en ajoutant au système (2) succesivement les équations, linéaires par rapport waux inconnues $\xi_{\mathrm{j}}$,

Aucune des équations (2) et (3) ne se rêduit identiquement à zéro, puisqu’autrement $\mathrm{P}(x)$ devrait posséder au moins un des zéros $\alpha_{\mu}$ avec un degré de multiplicité au moins égal à 2 . Le système total formé par les équations (2) et (3) est compatible puisqu’il est, par construction, vérifié par les valeurs

:soit la première qui avec (2) donne un système de $m$ équations avec un déterminant non nul. Nous pouvons alors, parmiles équations (2) et des $\sigma-1$ premières équations (3), en choisir $m-1$ qui soient linéairesment indépendantes et qui donnent avec (5) un système avec un déterminant non nul. Les équations négligées seront des conséquences de ces $m-1$ équations.

Considérons ce dernier système de $m$ équations et substituons à l’équation (5) la suivante

où, $\varepsilon$ est un nombre positit. Le déterminant du système ainsi obtenu sera alors différent de zéro tout au moins pour des valeurs suffisamment petites de $\varepsilon$. Résolvant ce système on trouve pour les $\xi_{\mathrm{j}}$ de _S valeurs qui sont des fonctions continues de $\varepsilon$ pour $\varepsilon$ assez petit et se réduisent aux valeurs initiales (4) pour $\varepsilon=0$.

Il en résulte qu’on peut déterminer le polynome $\phi(x)$ do manière
que $\Phi^{\prime}(x)=0$ ait les racines indiquées, avec leur ordre de multiplicités, par les égalités (2) et en plus $k$ autres racines $\alpha_{1}^{\prime},\alpha_{2}^{\prime},\ldots,\alpha^{\prime}{}_{k}$. Ici nous avons $\alpha_{1}^{\prime}=\alpha_{1},\alpha_{2}^{\prime}=\alpha_{2},\ldots,\alpha_{\sigma-1}^{\prime}=\alpha_{\sigma-1},\alpha_{\sigma}^{\prime}=\alpha_{\sigma}+\varepsilon$ et $\alpha_{\sigma+1}^{\prime}$, $\alpha^{\prime}{}_{\sigma+2},\ldots,\alpha^{\prime}{}_{k}$ sont des fonctions continues de $\varepsilon$ et se réduisent be $\alpha_{\sigma+1},\alpha_{\sigma+2},\ldots,\alpha_{k}$ pour $\varepsilon=0$. Pour $\varepsilon$ suffisamment petit ces racinessont réelles et on a

Faisons croître $\varepsilon$ à partir de la valeur initiale 0 . Deux cas sont. alors à priori possibles,
$1^{0}$. Pour une première valeur $\varepsilon=\varepsilon_{1}>0$ il se produit des coüneidences entre les racines (7). Donnons à $\varepsilon$ cette valeur et soit $Q_{4}(x)$ la polynome $\phi(x)$ correspondent. Le produit $\mathrm{F}_{1}(x)=\mathrm{P}(x).\mathrm{Q}_{1}(x)$ jouit alors de la propriété que l’équation dérivée $\mathrm{F}^{\prime}{}_{1}(x)=0$ a encore toutesses racines réelles. Les $p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{\sigma}-1$ premières racines de cette équation coïncident avec les $p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{\sigma}-1$ premières racines de l’équation (1) mais sa $\left(p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{\sigma}\right)^{\text{ome }}$ racine est plus grande que la ( $\left.p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{\sigma}\right)^{\text{èmu }}$ racine de (1).
20. Il y a une première valeur $0<\varepsilon_{2}<\varepsilon_{1}$ telle que si $\varepsilon\rightarrow\varepsilon_{2}$ certains des coefficients $\xi_{\mathrm{j}}$ deviennent infinis. Dans ce cas, en faisant tendre $\varepsilon$ vers $\varepsilon_{2}$, les inégalités (7) se maintiennent mais certaines desracines $\alpha^{\prime}\mu(\mu>\sigma)$ tendent vers l’infini. Par ce passage à la limite on trouve un polynome $Q^{*}(x)$ de degré plus petit que $m$ tel que si $\mathrm{F}^{*}(x)=\mathrm{P}(x)\cdot\mathrm{Q}^{*}(x)$ l’équation $\mathrm{F}^{*\prime}(x)=0$ ait toutes ses racines réelles

Remarquons que nous sommes encore dans ce cas si $\varepsilon_{1}$ n’existepas, alors $\varepsilon_{2}$ peut être égal à $+\infty$.
4. - Si pour le polynome $\mathrm{F}_{1}(x)$ on a encore $s\geq k$ nous répétons sur ce polynome le procédé employé. Nous devons arriver finalement à la propriété suivante

Si on a $s\geq k$ les trois cas suivants peuvent se présenter :
10. On tombe sur un polynome du type $\mathrm{F}(x)$ pour lequel $\mathrm{s}<k_{\text{a }}$.
2. On tombe sur un polynome du type $\mathrm{F}^{*}(x)=\mathrm{P}(x)\cdot\mathrm{Q}^{*}(x)$ oì $\mathrm{Q}^{*}(x)$ est de degré < m.
$3^{\circ}$. On tombe sur un polynome du type $\mathrm{F}_{1}(x)$ pour lequel la plus : petite racine de l’équation dérivée $\mathrm{F}_{1}^{\prime}(x)=0$ est plus grande que $\alpha_{1}$.

Le cas $3^{0}$ veut dire qu’on arrive à $\sigma=1$. En effet, si aucun des cas $1^{0},2^{0},3^{0}$ n’arrive par pour $\mathrm{F}_{1}(x)$ nous répétons le procédé en déduisant de $\mathrm{F}_{1}(x)$ un $\mathrm{F}_{2}(x)$, de $\mathrm{F}_{2}(x)$ un $\mathrm{F}_{3}(x)$, et ainsi de suite. Si nousn’arrivons pas à démontrer la propriété après un nombre fini de tellesopérations, nous considérons la suite infinie $\mathrm{F}_{1}(x),\mathrm{F}_{2}(x),\ldots,\mathrm{F}_{\nu}(x),\ldots$

Faisant $\nu\rightarrow\infty$ nous arrivons à une équation limite $\mathrm{F}_{\omega}(x)=0$ du même ^t ype. Si $\mathrm{F}_{\omega}(x)$ ne vérifie pas la propriété nous recommençons le procédé sur ce polynome et ainsi de suite transfiniment. Nous formons ainsi un ensemble de polynomes du type $F(x)$ tel qu’aucun ne vérifie la propriété. Il y a un ensemble correspondant formé par les premières racines des équations dérivées, un autre ensemble formé par les secondes racines des équations dérivées ,… etc. Un de ces ensembles est non borné (supérieurement) d’après la définition même de l’ensemble des polynomes du type $\mathrm{F}(x)$. Or ceci est en contradiction avec l’hypothèse qu’on n’arrive pas au cas $2^{0}$.

La propriété est donc démontrée.
5. - A l’aide de ces observations nous pouvons démontrer maintenant la propriété suivante

S’il existe un polynome $Q(x)$ (de degré $m$ ) tel que la dérivée de l’équation $\mathrm{P}(x),\mathrm{Q}(x)=0$ ait toutes ses racines réelles, il existe certainement un polynome $\mathrm{R}(x)$ (de degré $\leq m$ ) tel que la dérivée de l’équation $\mathrm{P}(x)\cdot\mathrm{R}(x)=0$ ait toutes ses racines réelles dont au plus $k+r-1$ distinctes.

Dans le cas $1^{0}$ la propriété est démontrée.
Dans le cas $3^{0}$ on continue le procédé. En raisonnant comme plus haut on voit qu’on doit arriver à $1^{0}$ ou $9^{0}$.

Dans le cas $2^{0}$ on a abaissé le degré du polynome $Q(x)$ et on combine alors la démonstration avec un raisonnement d’induction complète en remarquant que si $m=0$ on est toujours dans le cas $1^{0}$ puisqu’alors $s\leq\sum_{\mu=1}^{s}p_{\mu}=n-\sum_{\nu=1}^{r}q_{\nu}+r-1=k-1$.

La propriété est donc complètement démontrée.
6. - N’oublions pas que nous avons supposé qu’aucune des : racines $\alpha_{\mu}$ ne coïncide avec une racine $\beta_{\nu}$. Dans le cas contraire _γ nous modifions les polynomes $\mathrm{P}(x)$ et $Q(x)$. Si par exemple $\alpha_{\mu}=\beta_{\nu}$, $\mathrm{F}(x)$ est divisible par $\left(x-\beta_{\nu}\right)^{q_{\nu}+p_{\mu}}$ donc $Q(x)$ par $\left(x-\beta_{\nu}\right)^{p_{\mu}}$. Nous écrivons $\left(x-\beta_{\nu}\right)^{p_{\mu}}\mathrm{P}(x)$ au lieu de $\mathrm{P}(x)$ et nous prenons pour $\mathrm{Q}(x)$ son quotient par $\left(x-\beta_{\nu}\right)^{p_{\mu}}$. Nous faisons ce changement pour chaque couple $\alpha_{\mu},\beta_{\nu}$ coincidant et chaque fois que cela arrive. Remarquons que : les nombres $k$ et $r$ ne changent pas par cette modification. On en déduit que la propriété est tout à fait générale.

Notons encore que, sans préciser la nature des zéros du polynome $\mathrm{P}(x)$, nous pouvons énoncer la propriété suivante,

S’il existe ur polynome $\mathrm{Q}(x)$ tel que la dérivée de l’équation$\mathrm{P}(x)\cdot\mathrm{Q}(x)=0$ ait toutes ses racines réelles, il existe certainement un polynome $\mathrm{R}(x)$ tel que la dérivée de l’équation $\mathrm{P}(x).\mathrm{R}(x)=0$ ait toutes ses racines réelles dont au plus $n-1$ distinctes.

%. - Considérons un polynome de la forme

$Q(x)$ étant un autre polynome, $c,d\neq 0$ des constantes réelles et $p$ un entier positif.

Nous nous proposons de démontrer que,
L’équation dérivée $\mathrm{F}^{\prime}(x)=0$ ne peut avoir toutes ses racines réelles.

Remarquons d’abord que la propriété est indépendante des valeurs des constantes $c$ et $d$ puisqu’une transformation réelle et linéaire n’influe pas sur la realité des racines de la dérivée.

Pour démontrer la propriété supposons le contraire. Il existe alors un polynome $Q(x)$ de degré $m$

tel que la dérivée du polynome $F(x)=x^{p}\left(x^{2}+1\right)\cdot Q(x)$ soit de la forme

où, $p_{\mu}\geq 1,\mu=1,2,\ldots,s,p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{s}=m+2$ et $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots$
$\alpha_{s}$ sont réels, distincts et différents de zéro. Nous pouvons supposer que $\alpha_{1}$ est positif et que les autres $\alpha_{\mu}$ sont tous négatifs ou positifs et plus grands que $\alpha_{1}$. Nous fixons deux de ces racines $\alpha_{\gamma}$ et $\alpha_{\delta}$. Si $p_{1}>1$ nous prenons $\gamma=1,\delta=2$ et si $p_{1}=1$ nous prenons $\gamma=3$, $\delta=2$.
8. - Supposons $s>1$. Introduisons à la place de $Q(x)$ le polynome

à coefficients variables et posons $\Phi(x)=(x-\varepsilon)^{p}\left[(x-\varepsilon)^{2}+1\right]\phi(x),\varepsilon$ étant un nombre positif.

Déterminons le polynome $\phi(x)$ par les conditions
(8) $\quad\Phi^{\left(j_{\mu}\right)}\left(\alpha_{\mu}\right)=0,\quad j_{\mu}=1,2,\ldots,p_{\mu}-1,\mu=\gamma,\delta\quad$ (aucun si $p_{\mu}=1$ ) $j_{\mu}=1,2,\ldots,p_{\mu}$ pour tous les $\mu$ différents de $\gamma$ et $\delta$, qui est un système linéaire par rapport aux $m$ inconnues $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{m}$. Désignons par $D(\varepsilon)$ le déterminant de ce système.
9. - Supposons d’abord $D(0)=0(1)$. Le système (8) est indéterminé. Il existe donc deux polynomes distincts $\phi_{1}(x),\phi_{2}(x)$ tel que si $\Phi_{1}(x)=x^{p}\left(x^{2}+1\right)\phi_{1}(x),\Phi_{2}(x)=x^{n}\left(x^{2}+1\right)\phi_{2}(x)$, les polynomes $\Phi_{1}^{\prime}(x),\Phi_{2}^{\prime}(x)$ soient tous les deux divisibles par $\frac{\mathrm{F}^{\prime}(x)}{\left(x-\alpha_{\gamma}\right)\left(x-\alpha_{\delta}\right)}$. Si nous formons la difference $\Phi_{3}(x)=x^{p}\left(x^{2}+1\right)$. [ $\phi_{1}(x)-\phi_{2}(x)$ ] nous voyons que le polynome $\Phi^{\prime}{}_{3}(x)$ de degré $<m+p+1$ est divisible par le polynome $\frac{\mathrm{F}^{\prime}(x)}{\left(x-\alpha_{\gamma}\right)\left(x-\alpha_{\delta}\right)}$ de degré $m+p-1$. Il en résulte que $\Phi_{3}(x)$ a tous ses zéros réels.

Le problème est ainsi réduit au caş où le degré m du polynome $\mathrm{Q}(x)$ est devenu plus petit.
10. - Supposons maintenant que $D(0)\neq 0$. Alors $\xi_{1},\xi_{2},\ldots\xi_{m}$ seront des fonctions continues de $\varepsilon$ dans le voisinage de $\varepsilon=0$ et se réduisent respectivement à $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ pour $\varepsilon=0$. L’équation $\Phi^{\prime}(x)=0$ aura les racines $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{s}$ avec l’ordre de multiplicité indiqué par (8) et en outre deux racines $\alpha_{\gamma}^{\prime},\alpha_{\delta}^{\prime}$ qui sont continues en $\varepsilon$ pour les valeurs suffisamment petites de $\varepsilon$ et se réduisent à $\alpha_{\gamma}$ et $\alpha_{\delta}$ pour $\varepsilon=0$.

Faisant croître $\varepsilon$ à partir de la valeur 0 les cas suivants peuvent se présenter,
10. $\alpha_{\gamma}^{\prime},\alpha_{\delta}^{\prime}$ restent distincts, donc réels, jusqu’à ce que $\varepsilon$ coïncide avec $\alpha_{1}$.
$2^{0}$. Il existe une valeur $0<\varepsilon_{1}<\alpha_{1}$ tel que pour $\varepsilon=\varepsilon_{1}$ les racines $\alpha_{\gamma}^{\prime},\alpha_{\delta}^{\prime}$ coïncident.
30. Il existe une valeur $0<\varepsilon_{2}<\varepsilon_{1}$ tel que pour $\varepsilon\rightarrow\varepsilon_{2}$ au moins une des racines $\alpha^{\prime}{}_{\gamma},\alpha^{\prime}{}_{\delta}$ tend vers infini.

Dans le cas $1^{0}$ en faisant croître $\varepsilon$ jusqu’à $\alpha_{4}$ on a rédait le problème au cas où $p$ est remplacé par $p+p_{1}$ et $m$ pari $m-p_{1}$.

Dans le cas $3^{\circ}$ en faisant $\varepsilon\rightarrow\varepsilon_{2}$ on réduit le prob’ème au cac où, $p$ restant fixe, le degré du polynome $\phi(x)$ devient $<m$.

Dans le cas $2^{a}$, en appliquant une transformation linéaire, on voit qu’il existe un polynome $\mathrm{F}_{1}(x)=x^{p}\left(x^{2}+1\right)\mathrm{Q}_{1}(x)$ du même type, $Q_{1}(x)$ étant encore de degré $m$ mais le plus petit zéro positif de loc dérivée $\mathrm{F}^{\prime}{}_{1}(x)$ est plus petit que $\alpha_{1}$.
11. - On voit donc que ce procédé de réduction nous conduit. aux quatre cas suivants,
$1^{\circ}$. On arrive au cas où $s=1$.

$3^{\circ}$. On arrive a faire croître l’exposant $p$ et à faire diminuer, en même temps, le degré du polynome $Q(x)$.
$4^{\circ}$. On arrive à un polynome $Q(x)$ où $\alpha_{1}$ et devenu plus petit.
Dans le cas $4^{0}$ nuus répétons le procédé et un raisonnement analogue à celui employé dans le No 5 nous montre alors qu’il faut quenous tombions sur $1^{0},2^{0}$, ou $3^{0}$.

Finalement, en raisonnant par récurrence, on voit que la propriétésera prouvée si nous faisons la démonstration dans les trois cas suivants

1. 1.

   $m=0$,

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2. 2.

   $s=1$.

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3. 3.

   $s\curvearrowleft 2,p_{1}=1$.

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4. 4.
   • —

     Achevons maintenant la démonstration en discutant les trois derniers cas.

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Dans le premier cas $\mathrm{F}(x)=x^{p}\left(x^{2}+1\right)$ et l’équation

a évidemment des racines imaginaires.
Dans le second cas il faut que le système de $m+1$ équations

linéaires par rapport aux $m$ coefficients $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ soit compatible.
Le déterminant de ce système est le déterminant de Wronskis $\mathbf{W}\left(f_{1},f_{2},\ldots,f_{m+1}\right)$ relatif aux fonctions

calculées pour $x=\alpha_{1}$.
Posons

aalors

On connait la relation ( ² )

Me second membre étant précisement le déterminant du système (9).
Nous trouvons facilement que $\mathrm{W}\left(g_{1},g_{2},\ldots,g_{m+2}\right)$, à un facteur numérique près, est égal à

Supposons d’abord $p=1$. Si nous posons $x=\operatorname{cotg}\theta$ nous déduissons par un calcul simple

On voit done que

Remarquons maintenant que

donc

Le déterminant du système (9) ne peut donc être nul ce qui est cen contradiction avec la compatibilité du système.

Dans le troisième cas les conclusions sont les mêmes sauf qu’au Aieu de la racine $\alpha_{1}$ nous prenons $\alpha_{2}$ dans la formation du système (9).

La propriété est donc complètement démontrée.

III.

Sur la distribution des racines des équations algébriques dont l’équation dérivée a toutes ses racines réelles.
13. - Considérons un polynome $f(x)$ divisible par $\left(x^{2}+1\right)$ et tel que $f^{\prime}(x)=0$ ait toutes ses racines réolles. De l’étude précédente résulte alors que l’équation $f(x)=0$ ne peut avoir de racines réelles tropaprochées de l’origine.

Supposons que
(10)

où $c$ est positif, $g(x)$ un polynome de degré $m$ et $f^{\prime}(x)=0$ a toutes : ses racines réelles. La racine $c$ a alors un minimum positif que nous nous proposons de déterminer. Ce minimum, on peut l’établir facilement, est nécessairement atteint pour au moins un polynome $g(x)$ de degré $<m$.

D’après la propriété générale, démontrée dans le § I (3), il suffit : d’examiner le cas où

$\alpha,\beta$ réels et $p+q=m+2$.
Nous écrivons encore $\Phi(x)=(x-c+\varepsilon)\left(x^{2}+1\right)\phi(x)$ avec $\varepsilon>0$ m $\phi^{\prime}(x)=x^{m}+\xi_{1}x^{m-1}+\ldots+\xi_{m}$ et nous posons les conditions

Cie système nous montre, exactement comme plus haut, que si $\alpha\neq\beta$ ou bien on peut diminuer la racine $c$, ou bien il existe un polynome $\Phi(x)$ avee $\varepsilon=0$ et $\phi(x)$ de degré $<m$ tel que $\Phi^{\prime}(x)=0$ ait encore toutes ses racines réelles.

Un raisonnement par récurrence nous montre donc que le minimum de la racine e sera déterminé par les polynomes de la forme (10),. (11) pour lesquels $\alpha=\beta$.
14. - Ces polynomes sont de la forme
(12)

$\alpha$, A étant doux constantes réelles. Il faut écrire que $f(x)$ est divisible
(3) On peut éviter l’emploi de cette propriété. Nous en tenons compte uniquement pour simplifier l’exposé.
par ( $x^{2}+1$ ). En posant $\alpha=\operatorname{cotg}\theta$ on trouve

d’où les $n-1$ solutions

Il faut maintenant distinguer deux cas.
Si $n$ est pair l’équation $f(x)=0$ n’a des racines réelles que si $\nu$ est pair aussi et les racines sont alors

La plus petite racine positive est $\operatorname{cotg}\frac{(n-2)\pi}{2n}=\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}$ et la plus grande racine négative, comme il était à prévoir par raison de simétrie, est égale à $-\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}$.

Si $n$ est impair l’équation $f(x)=0$ a toujours une racine réelle qui est

La plus petite racine positive est encore $\lg\frac{\pi}{n}$ et la plus grande racine négative $-\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}$.

Finalement donc, en tenant compte aussi d’une transformation linéaire, nous arrivons au théorème suivant

Si l’équation dérivée $f^{\prime}(x)=0$ d’une équation algébrique de de degré $n$ a toutes ses racines réelles et si l’équation $f(x)=0$ a un couple de racines imaginaires conjuguées a $\pm ib$, cette équation ne peut avoir aucune racine réelle dans l’intervalle

Les limites ne sont atteintes respectivement que pour les équations

C étant une constante.
15. – Nous allons restreindre maintenant le problème en imposant au polynome $g(x)$ de la formule (10) la condition d’avoir lui aussi tous ses zéros réels.

Considérons donc le polynome

où, $p_{1},p_{2},\ldots,p_{s}\geq 1,c>0,\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{s}$ sont réels, distincts et tous négatifs et plus grands que $c$. Enfin l’équation dérivée $f^{\prime}(x)=0$ a toutes ses racines réelles.

La racine $c$ a encore un minimum qui est évidemment atteint et qui (sauf pour $n=3$ ou 4) est plus grand que le minimum obtenu dans le problème plus général, puisque les polynomes (12) ne peuvent avoir plus de deux zéros réels. L’existence d’au moins un polynome de la forme (13) resultera d’ailleurs, comme dans le problème précédent, de la construction même du polynome donnant ce minimum.

• —

  Nous allons chercher à déterminer ce minimum.

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L’équation dérivée $f^{\prime}(x)=0$ a d’abord $n-s-3$ racines communes avec $f(x)=0$ et en plus $s+2$ racines distinctes de $c$ et des $\alpha_{\nu}$. De ses dernières $s$ sont certainement distincte et séparées par $c$ et les $\alpha_{\nu}$. Ces $s+2$ racines peuvent donc présenter les configurations suivantes
$1^{0}$. Toutes sont distinctes.
$2^{\circ}$. Une est une racine double.
$3^{\circ}$. Deux sont des racines doubles.
$4^{0}$. Une est une racine triple.
Dans le cas $1^{0}$ le polynome (13) ne donne évidemment pas le minimum puisqu’on peut diminuer un peu la valeur de $c$ de manière que, par suite de la continuité, la réalité de zéros de l’équation dérivée ne souffre pas de changement.

Il en est de même dans le cas $3^{\circ}$ puisqu’aucun couple de racines doubles ne peut devenir un couple de racines imaginaires conjuguées, en vertu du théorème de Rolle ( ⁴ ).

Dans le cas $2^{0}$ soit $\beta$ la racine double et posons

Nous avons

⁽⁴⁾ Dans ce cas, les $s+2$ racines en question se réduisent à $s$ racimes distinctes qui sont séparées par les racines de l’équation $f(x)=0$.

Le coefficient de $\alpha_{1}$ n’est pas nul puisqu’autrement l’autre terme adevrait aussi être nul, donc $h(\beta)=0$, ce qui est impossible car nous savons que $f(\beta)\neq 0$.

On peut donc diminuer $c$ et déterminer la valeur correspondante $\alpha_{1}^{\prime}$ de $\alpha_{1}$ par l’équation (14) de manière que si $f_{1}(x)\curvearrowleft h(x)\left(x-\alpha_{1}^{\prime}\right)$, ce polynome soit encore de la forme (13).

Il en résulte que le minimum de la racine c ne peut être atteint que si $f^{\prime}(x)=0a$, en dehors des zéros communs avec $f(x)=0$, une racine triple.
16. - Supposons donc que l’équation dérivée ait une racine triple, distincte des racines de l’équation primitive et supposons aussi que $s\geq 2$. Posons

set désignons par $\beta$ la racine triple en question.
Le système en $A$ et $B$

est alors compatible par construction. Si son déterminant est $\neq 0$, on de voit immédiatement, on peut diminuer la valeur de $c$.

Si le déterminant de ce système est nul la seconde équation est une conséquence de la première. Il existe donc une infinité de valeurs $A_{1},B_{1}$ voisines de $A,B$ vérifiant le système (15). Prenons un système de telles valeurs $A_{1},B_{1}$ et posons

On voit que le polynome

est de la forme (13), est de degré $n-1$ ou $n-2$ et sa dérivée a tous ses zéros réels. Le zéro $\beta$ est en $\epsilon$ ffet au moins double et ce zéro ne peut appartenir au polynome primitif puisque $\left.h^{\prime}\beta\right)\neq 0$.

En completant donc la démonstration par un raisonnement par récurrence on voit que le minimum de c ne peut être atteint par un polynome de la forme (13) pour lequel $s>1$.

Remarquons que la démonstation précédente exclut le cas $s=0$, donc le cas où

1. 74.

   Dans ce cas la dérivée n’a que deux zéros différents de $c$ et ile est clair que le minimum ne peut avoir lieu que si ces deux racines : coïncident. Ce cas d’ailleurs est compris dans le cas $1^{0}$ du No. précédent.

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Finalement donc, le minimum de la racine c ne peut être donnê que par les polynomes de la forme

dont la dérivée a un zéro triple différent de $c$ et d ou, pour le second, un zéro double différènt de c.
17. - Prenons d’abord le polynome

Nous avons

Les deux zéros de la dérivée sont égales si $c=\sqrt{r(r+2)}$. Nous : trouvons ainsi pour $c$ un minimum relatif égal à $\sqrt{3}$.

Examinons maintenant le cas

Nous avons

$\mathrm{E}(x)=(q+3)x^{3}-[3d+(q+2)c]x^{2}+(q+1+2cd)x-(d+qc)$.
Il faut donc déterminer $c$ et $d$ de manière que l’équation $\mathrm{E}(x)=0$ ait toutes ses racines confondues. Désignant par e cette racine on doit. avoir

Eliminant $d$ et $e$ entre ces équations on trouve, en fais nt les calculs, que $c$ vérifie l’équation
(16)

L’élimination de $e$ nous donne en effet