Sur certaines formules de quadrature de degré d’exactitude maximum

où $z_1,z_2,\dots ,z_p$$z_1,z_2,\dots ,z_p$z_(1),z_(2),dots,z_(p)z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{p}$z_1,z_2,\dots ,z_p$ sont $p(>0)$$p(>0)$p( > 0)p(>0)$p(>0)$ points distincts de l'axe réel. Ces sônt les noeuds de la formule et $k_1,k_2,\dots ,k_p$$k_1,k_2,\dots ,k_p$k_(1),k_(2),dots,k_(p)k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{p}$k_1,k_2,\dots ,k_p$ sont $p$$p$pp$p$ nombres naturels, les ordres de multiplicité des noeuds $z_1,z_2,\dots ,z_p$$z_1,z_2,\dots ,z_p$z_(1),z_(2),dots,z_(p)z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{p}$z_1,z_2,\dots ,z_p$ respectifs. Nous pouvons supposer que $k_i$$k_i$k_(i)k_{i}$k_i$ noeuds sont confondus dans le point $z_i$$z_i$z_(i)z_{i}$z_i$, donc que $z_i$$z_i$z_(i)z_{i}$z_i$ est un noeud d'ordre $k_i$$k_i$k_(i)k_{i}$k_i$ de multiplicité. Le nombre total des noeuds distincts ou non est égal à $k_1+k_2+\dots \dots +k_p=m$$k_1+k_2+\dots \dots +k_p=m$k_(1)+k_(2)+dots dots+k_(p)=mk_{1}+k_{2}+\ldots \ldots+k_{p}=m$k_1+k_2+\dots \dots +k_p=m$, où $m$$m$mm$m$ est donc un nombre naturel tel que $m⩾p⩾1$$m⩾p⩾1$m >= p >= 1m \geqslant p \geqslant 1$m⩾p⩾1$.

En ce qui concerne la fonction $f$$f$ff$f$ nous pouvons supposer qu'elle est définie et continue sur un intervalle contenant les points $-1,1$$-1,1$-1,1-1,1$-1,1$ et les noeuds $z_i,i=1$$z_i,i=1$z_(i),i=1z_{i}, i=1$z_i,i=1$, $2,\dots ,p$$2,\dots ,p$2,dots,p2, \ldots, p$2,\dots ,p$. De plus, $f$$f$ff$f$ admet un certain nombre de dérivées, pour que le second membre de la formule (1), où les accents signifient des dérivations successives, ait un sens. Les $c_{i,j}$$c_{i,j}$c_(i,j)c_{i, j}$c_{i,j}$ sont des coefficients indépendants de la fonction $f$$f$ff$f$, les coefficients de la formule (1) et $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$ est le reste de la formule de quadrature considérée. De nombreux auteurs dont nous-même avons étudié [3, 4] la structure de ce reste.
2. La formule (1), ou bien le reste $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$ de cette formule, ont un degré d'exactitude. C'est le nombre entier $n⩾-1$$n⩾-1$n >= -1n \geqslant-1$n⩾-1$ complètement déterminé par la condition que $R(P)$$R(P)$R(P)R(P)$R(P)$ soit nul sur tout polynome $P$$P$PP$P$ de degré $n^{\ast }$$n^{\ast }$n^(**)n^{*}$n^{\ast }$ et que $R\left(x^{n+1}\right)\ne \ne 0$$R\left(x^{n+1}\right)\ne \ne 0$R(x^(n+1))≠≠0R\left(x^{n+1}\right) \neq \neq 0$R\left(x^{n+1}\right)\ne \ne 0$. On dit aussi que la formule (1), ou le reste $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$ de cette formule, est de degré d'exactitude $n.R(f)$$n.R(f)$n.R(f)n . R(f)$n.R(f)$ est, d'ailleurs, comme les deux autres termes de la formule (1), une fonctionnelle linéaire (additive et homogène) définie sur un certain ensemble linéaire des fonctions $f$$f$ff$f$. Dans la suite on peut toujours supposer $n⩾0$$n⩾0$n >= 0n \geqslant 0$n⩾0$, le cas $n=-1$$n=-1$n=-1n=-1$n=-1$ n'intervenant pas. La condition $n⩾0$$n⩾0$n >= 0n \geqslant 0$n⩾0$ est, d'ailleurs, équivalente à l'égalité $2=\sum _{i=0}^p{c}_{i,0}$$2=\sum _{i=0}^p c_{i,0}$2=sum_(i=0)^(p)c_(i,0)2=\sum_{i=0}^{p} c_{i, 0}$2=\sum _{i=0}^p{c}_{i,0}$.
3. Les noeuds $z_i$$z_i$z_(i)z_{i}$z_i$ et leurs ordres de multiplicité $k_i,i=1,2,\dots ,p$$k_i,i=1,2,\dots ,p$k_(i),i=1,2,dots,pk_{i}, i=1,2, \ldots, p$k_i,i=1,2,\dots ,p$, étant donnés, mais quelconques, la condition $n⩾m-1$$n⩾m-1$n >= m-1n \geqslant m-1$n⩾m-1$ détermine complètement la formule de quadrature (1), donc les coefficients $c_{i,j},j=0,1,\dots ,k_i-1$$c_{i,j},j=0,1,\dots ,k_i-1$c_(i,j),j=0,1,dots,k_(i)-1c_{i, j}, j=0,1, \ldots, k_{i}-1$c_{i,j},j=0,1,\dots ,k_i-1$,

$i=1,2,\dots ,p$$i=1,2,\dots ,p$i=1,2,dots,pi=1,2, \ldots, p$i=1,2,\dots ,p$, de cette formule. On peut alors obtenir facilement ces coefficients, en appliquant la formule (1) au polynome d'interpolation de Lag-range-Hermite de degré $m-1$$m-1$m-1m-1$m-1$ de la fonction $f$$f$ff$f$ correspondant aux noeuds $z_i$$z_i$z_(i)z_{i}$z_i$, comptés avec leurs ordres de multiplicité respectifs. Il est inuțil d'écrire ici ce polynome et les valeurs des coefficients $c_{i,j}q{u}^{\prime }$$c_{i,j}q{u}^{\prime }$c_(i,j)qu^(')c_{i, j} q u^{\prime}$c_{i,j}q{u}^{\prime }$ on en déduit. Dans quelques cas particuliers considérés plus loin nous donnerons leurs valeurs explicites.

Dans la suite nous supposerons toujours qu'il s'agit d'une telle formule de quadrature (1).
4. Le degré d'exactitude de la formule est alors égal à $n=m+q-1$$n=m+q-1$n=m+q-1n=m+q-1$n=m+q-1$, où l'entier non-négatif $q$$q$qq$q$ est caractérisé par la propriété que le polynome

est orthogonal à tout polynome de degré $q-1$$q-1$q-1q-1$q-1$, donc que

pour tout polynome $Q$$Q$QQ$Q$ de degré $q-1$$q-1$q-1q-1$q-1$ et que

Pour la démonstration voir, par exemple, l'un des nos travaux cilés [4]. Retenons la propriété exprimée par le
Lemme 1. Si la formule de quadrature (1) est de degré d'exactitude $n==m+q-1$$n==m+q-1$n==m+q-1n= =m+q-1$n==m+q-1$, où $q⩾0$$q⩾0$q >= 0q \geqslant 0$q⩾0$, le polynome (2) change de signe, à l'intèrieur de l'intervalle $[-1,1]$$[-1,1]$[-1,1][-1,1]$[-1,1]$, au moins $q$$q$qq$q$ fois.

C'est une conséquence immédiate de l'orthogonalité.
5. Nous pouvons chercher à imposer aux noeuds $z_i$$z_i$z_(i)z_{i}$z_i$ des conditions supplémentaires pour obtenir un ordre d'exactitude le plus grand possible. L'entier non-négatif $q$$q$qq$q$ est au plus égal à $p$$p$pp$p$ [4] et le maximun $p$$p$pp$p$ de $q$$q$qq$q$ peut être atteint. Nous dirons alors (donc si $q=p$$q=p$q=pq=p$q=p$ ) que la formule de quadrature (1) est de degré d'exactitude maximum ou encore qu'elle est du type Gauss. De telles formules ont été étudiées par plusieurs auteurs parmi lesquels nous signalons L. Tchakaloff [5], P. Turán [6], A. Ossicini [1, 2], nous les avons considérées dans nos travaux cités [3, 4]. Nous remarquons, en passant, qu'on a aussi considéré des problèmes analogues pour des fonctionnelles linéaires plus générales que le premier membre de la formule (1).

Retenons, en particulier, la propriété exprimée par le
Théorème 1. Pour qu'il existe au moins une formule du type Gauss, de la forme indiquée plus haut, il faut et il suffit que les ordres de multiplicité $k_1,k_2,\dots ,k_p$$k_1,k_2,\dots ,k_p$k_(1),k_(2),dots,k_(p)k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{p}$k_1,k_2,\dots ,k_p$, supposés donnés, des noeuds $z_1,z_2,\dots ,z_p$$z_1,z_2,\dots ,z_p$z_(1),z_(2),dots,z_(p)z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{p}$z_1,z_2,\dots ,z_p$ soient tous impairs.

Nous pouvons résumer la démonstration de la façon suivante:
La condition est nécessaire d'après le lemme 1.
La condition est aussi suffisante. En effet, si les nombres $k_i$$k_i$k_(i)k_{i}$k_i$ sont tous impairs, le polynome de $p$$p$pp$p$ variables $z_1,z_2,\dots ,z_p$$z_1,z_2,\dots ,z_p$z_(1),z_(2),dots,z_(p)z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{p}$z_1,z_2,\dots ,z_p$,

est positif sur tout l'espace à $p$$p$pp$p$ dimensions. Il a donc un minimum positif qui est atteint sur un point de minimum relatif. On peut voir facilement que pour un point de minimum (absolu) ( $z_1,z_2,\dots ,z_p$$z_1,z_2,\dots ,z_p$z_(1),z_(2),dots,z_(p)z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{p}$z_1,z_2,\dots ,z_p$ ) les coordonnées $z_1,z_2,\dots ,z_p$$z_1,z_2,\dots ,z_p$z_(1),z_(2),dots,z_(p)z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{p}$z_1,z_2,\dots ,z_p$ sont distinctes.

Sur un tel point on a

Il suffit alors de remarquer que le système (4) est équivalent à l'orthogonalité du polynome (2) avec tout polynome de degré $p-1$$p-1$p-1p-1$p-1$.
6. Il résulte de ce qui précède, que les nombres $k_i,i=1,2,\dots ,p$$k_i,i=1,2,\dots ,p$k_(i),i=1,2,dots,pk_{i}, i=1,2, \ldots, p$k_i,i=1,2,\dots ,p$ étant supposés toujours impairs, dans toute formule (1) du type Gauss, les noeuds $z_1,z_2,\dots ,z_p$$z_1,z_2,\dots ,z_p$z_(1),z_(2),dots,z_(p)z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{p}$z_1,z_2,\dots ,z_p$ sont distincts et à l'intérieur de l'intervalle $[-1,1]$$[-1,1]$[-1,1][-1,1]$[-1,1]$.

Mais, à ma connaissance, on ne sait pas encore quel est le nombre exact de formules distinctes du type Gauss, pour un système donné d'ordres de multiplicité (impairs). Il semble que ce nombre est égal au nombre des permutations distinctes des nombres $k_1,k_2,\dots ,k_p$$k_1,k_2,\dots ,k_p$k_(1),k_(2),dots,k_(p)k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{p}$k_1,k_2,\dots ,k_p$, à toute permutation correspondant une formule du type Gauss bien déterminée. Ceci est vrai si $k_1=k_2==\dots =k_p$$k_1=k_2==\dots =k_p$k_(1)=k_(2)==dots=k_(p)k_{1}=k_{2}= =\ldots=k_{p}$k_1=k_2==\dots =k_p$. Il y a alors une seule formule du type Gauss.

Deux formules sont, d'ailleurs, distinctes si et seulement si les polynomes (2) correspondants sont différents.

Le but de ce petit travail est de résoudre complètement ce problème dans quelques cas particuliers, différents de celui où les ordres de multiplicité sont tous égaux. Nous complétons ainsi certains de nos résultats antérieurs [3].
7. Considérons le cas $p=2,k_1=k,k_2=1$$p=2,k_1=k,k_2=1$p=2,k_(1)=k,k_(2)=1p=2, k_{1}=k, k_{2}=1$p=2,k_1=k,k_2=1$. Le cas $k=3$$k=3$k=3k=3$k=3$ a été considéré antérieurement [3]. Supposons maintenant que $k$$k$kk$k$ soit impair quelconque. Les noeuds $z_1,z_2$$z_1,z_2$z_(1),z_(2)z_{1}, z_{2}$z_1,z_2$ sont alors donnés par le système

Si nous posons

le système peut s'écrire

En éliminant $z_2$$z_2$z_(2)z_{2}$z_2$, le noeud $z_1$$z_1$z_(1)z_{1}$z_1$ est donné par (5) et par l'équation réciproque en $y$$y$yy$y$

qui a exactement 2 racines réelles positives et distinctes (séparées par 1).
Il en rásulte que dans le cas étudié nous avons exáctement deux formules du type Gauss qui sont confondues pour $k=1$$k=1$k=1k=1$k=1$ dans la formule classique de Gauss, mais sont bien distincts pour $k>1$$k>1$k > 1k>1$k>1$. En effet, le noeud $z_2$$z_2$z_(2)z_{2}$z_2$ s'obtient de l'une des équations (6) et la tháorie]précédente nous montre qu'il sera complétement déterminé, différent de $z_1$$z_1$z_(1)z_{1}$z_1$ et compris strictement entre -1 et 1 .

Pour $k=3$$k=3$k=3k=3$k=3$ nous avons déjà donné la valeur explicite de $z_1$$z_1$z_(1)z_{1}$z_1$ (donc aussi de $z_2$$z_2$z_(2)z_{2}$z_2$ ) et de la formule (1) correspondante. $z_1$$z_1$z_(1)z_{1}$z_1$ et $z_2$$z_2$z_(2)z_{2}$z_2$ sont alors des irrationalités quadratiques. Pour $k>3$$k>3$k > 3k>3$k>3$ la nature arithmétique de $z_1$$z_1$z_(1)z_{1}$z_1$ et $z_2$$z_2$z_(2)z_{2}$z_2$ semble être plus compliquée.
8. Pour calculer $z_1$$z_1$z_(1)z_{1}$z_1$ il faut résoudre d'abord l'équation réciproque (7). Pour cela nous posons

Alors $y^s+1/y^s$$y^s+1/y^s$y^(s)+1//y^(s)y^{s}+1 / y^{s}$y^s+1/y^s$ est égal à un polynome $P_s(t)$$P_s(t)$P_(s)(t)P_{s}(t)$P_s(t)$ en $t$$t$tt$t$, de degré $s$$s$ss$s$, donné par la relation de récurrence

L'équation en $t$$t$tt$t$ est donc

De ce qui précède il résulte que cette équation en $t$$t$tt$t$ a une racine réelle $>2$$>2$> 2>2$>2$. On vérifie facilement qu'elle a aussi la racine double -2 .

Pour $k=1$$k=1$k=1k=1$k=1$ et $k=3$$k=3$k=3k=3$k=3$ le premier membre de (9) est

respectivement, ce qui donne les résultats signalés bien connus.
Pour $k=5$$k=5$k=5k=5$k=5$ l'équation (9) devient

et on vérifie que cette équation n'a plus de racines positives rationnelles.
9. Considérons encore le cas $p=3,k_1=k,k_2=k_3=1$$p=3,k_1=k,k_2=k_3=1$p=3,k_(1)=k,k_(2)=k_(3)=1p=3, k_{1}=k, k_{2}=k_{3}=1$p=3,k_1=k,k_2=k_3=1$. Le cas $k=3$$k=3$k=3k=3$k=3$ a déjà été considéré antérieurement [3]. Supposons que $k$$k$kk$k$ soit impair quelconque. . Les noeuds $z_1,z_2,z_3$$z_1,z_2,z_3$z_(1),z_(2),z_(3)z_{1}, z_{2}, z_{3}$z_1,z_2,z_3$ sont donnés par le système

En écrivant (5) et en éliminant $z_2$$z_2$z_(2)z_{2}$z_2$ et $z_3$$z_3$z_(3)z_{3}$z_3$, on trouve que $y$$y$yy$y$ est donné par l'équation

ou, en faisant les calculs,

avec

Remarquons que $A,B,C,D,E$$A,B,C,D,E$A,B,C,D,EA, B, C, D, E$A,B,C,D,E$ sont positifs.

Si nous désignons par $\phi (y)$$\phi (y)$varphi(y)\varphi(y)$\phi (y)$ le premier membre de l'équation, nous avons $\phi (0)<0$$\phi (0)<0$varphi(0) < 0\varphi(0)<0$\phi (0)<0$ et ${\phi }^{\prime }(1)=12(k+3)-(k+7)A-(k+5)B-(k+3)C-(k+1)D-$${\phi }^{\prime }(1)=12(k+3)-(k+7)A-(k+5)B-(k+3)C-(k+1)D-$varphi^(')(1)=12(k+3)-(k+7)A-(k+5)B-(k+3)C-(k+1)D-\varphi^{\prime}(1)=12(k+3)-(k+7) A-(k+5) B-(k+3) C-(k+1) D-${\phi }^{\prime }(1)=12(k+3)-(k+7)A-(k+5)B-(k+3)C-(k+1)D-$ - $(k-1)E<0$$(k-1)E<0$(k-1)E < 0(k-1) E<0$(k-1)E<0$. La règle des signes de Descartes nous montre alors que l'équation réciproque (11) a exactement 3 racines réelles et positives qui sont distinctes, dont l'une est égale à 1 .

De l'orthogonalité et du lemme 1 il résulte que pour un $z_1$$z_1$z_(1)z_{1}$z_1$ déterminé le polynome $(x-z_2)(x-z_3)$$\left(x-z_2\right)\left(x-z_3\right)$(x-z_(2))(x-z_(3))\left(x-z_{2}\right)\left(x-z_{3}\right)$(x-z_2)(x-z_3)$ est déterminé complètement, $z_2,z_3$$z_2,z_3$z_(2),z_(3)z_{2}, z_{3}$z_2,z_3$ étant distincts, compris strictement entre -1 et 1 et étant différents de $z_1$$z_1$z_(1)z_{1}$z_1$.

Dans ce cas nous avons donc exactement 3 formules du type Gauss. Si $k=1$$k=1$k=1k=1$k=1$ ces trois formules sont confondues avec la formule classique de Gauss avec 3 noeuds. Mais si $k>1$$k>1$k > 1k>1$k>1$ les trois formules sont distinctes. L'une correspond à la valeur 0 de $z_1$$z_1$z_(1)z_{1}$z_1$ et les deux autres à deux valeurs de $z_1$$z_1$z_(1)z_{1}$z_1$ symétriques par rapport à l'origine.

Remarquons que, dans ce cas, le nombre des permutations distinctes des nombres $k_1,k_2,k_3$$k_1,k_2,k_3$k_(1),k_(2),k_(3)k_{1}, k_{2}, k_{3}$k_1,k_2,k_3$ est bien égale à 3 .
10. Toujours dans le cas particulier considéré, la formule du type Gauss correspondant au noeud $z_1=0$$z_1=0$z_(1)=0z_{1}=0$z_1=0$ peut être obtenue explicitement sous une forme assez simple.

En posant $z_1=0$$z_1=0$z_(1)=0z_{1}=0$z_1=0$ dans le système (10) on obtient $(x-z_2)(x-z_3)=x^2-{\lambda }^2$$\left(x-z_2\right)\left(x-z_3\right)=x^2-{\lambda }^2$(x-z_(2))(x-z_(3))=x^(2)-lambda^(2)\left(x-z_{2}\right)\left(x-z_{3}\right)=x^{2}-\lambda^{2}$(x-z_2)(x-z_3)=x^2-{\lambda }^2$, où $\lambda =\sqrt{(k+2)/(k+4)}$$\lambda =\sqrt{(k+2)/(k+4)}$lambda=sqrt((k+2)//(k+4))\lambda=\sqrt{(k+2) /(k+4)}$\lambda =\sqrt{(k+2)/(k+4)}$. Nous avons donc $z_2=\sqrt{(k+2)/(k+4)},z_3==-\sqrt{(k+2)/(k+4)}$$z_2=\sqrt{(k+2)/(k+4)},z_3==-\sqrt{(k+2)/(k+4)}$quadz_(2)=sqrt((k+2)//(k+4)),quadz_(3)==-sqrt((k+2)//(k+4))\quad z_{2}=\sqrt{(k+2) /(k+4)}, \quad z_{3}= =-\sqrt{(k+2) /(k+4)}$z_2=\sqrt{(k+2)/(k+4)},z_3==-\sqrt{(k+2)/(k+4)}$.

Écrivons la formule de quadrature sous la forme