Abstrait
Traduction en anglais du titre
On the bounds of the remainder in the linear approximation formulas of analysis
Auteur(s)
T. Popoviciu
Institutul de Calcul
Mots-clés
Pour citer ce travail
T. Popoviciu, Sur la délimitation du reste dans les formules d’approximation linéaires de l’analyse, 1960 Symposium on the numerical treatment of ordinary differential equations, integral and integro-differential equations «Centre international provisoire de Calcul» (Rome, 1960) pp. 441-446 Birkhäuser, Basel (in French) [MR0128598]
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[1] Bernstein, S.N.: Hark. Matem. ob-va, s.2;t. 13, 1-2 (1912)
[2] Birkhoff, G.D.: Trans. Amer. Math. Soc., 7, 107-130 (1906)
[3] Kowalewski, G.: Interpolation undgenäherte Quadratur, 1932
[4] Markoff, A. A.: Differenzenzechnung, 1896
[5] Mises, R.v.: J.f. die reine und augew. Math., 174, 56-67 (1936)
[6] obrechkoff, N.: Abh. preuss. Akad. Wiss., 1940, Nc 4, 1-20
[7] Popoviciu, T.: Mathematica, 8, 1-85 (1934)
[8] ” : ibid., 10, 49-54 (1934)
[9] ” : ibid., 12, 81-92 (1936)
[10] ” : Cucrarile Ses. Gen. Stuntifice a Acad. R. P.R., 1950, p.183-185.
[11] ” : Mathematica, 1 (24), 95-142 (1960)
[12] Radon, J.: Monatshefte f.Math.u.Phys., 42, 389~396 (1935)[13] Ramez, E. Ya.: Zbirnik Praci Institutu Matem. Akad. Nauk. URSR, 3, 21-62 (1939)
[14] Sard, A.: Duke Math. J. 15, 333-345 (1948)
[15] Wigert, S.: Arkiv f. Mat. Astr. och Fysik, Bd. 22B, n. 9, 1-4 (1932).
Paper (preprint) in HTML form
Tiré à part du
Symposium, Centre International Provisoire de Calcul, 1960
Symposium, Centre International Provisoire de Calcul, 1960
Birkhäuser Verlag Basel
SUR LA DÉLIMITATION DU RESTE DANS LES FORMULES D' APPROXIMATION LINÉAIRES DE L' ANALYSE
by Tiberiu Popoviciu
Université de Cluj
Cluj : (Rumania)
- Dans beaucoup de formules d'approximation de l'analyse le reste; ou terme complémentaire, R[f]R[f] est une fonctionnelle linéaire (additive et homogène) définie sur un espace vectoriel SS, formé par des fonctions f=f(x)f=f(x), définies et continues sur un intervalle II de l'axe réel. Les formules habituelles d'interpolation (polynomiale ou trigonométrique), de dérivation et d'intégration numériques, etc', ont un reste de cette forme.
Dans les applications il est important de pouvoir délimiter convenablement le reste R[f]R[f]. Pour cela on a cherché, tout au moins dans des cas particuliers bien déterminés, à mettre le reste sous diverses formes convenables. Par exemple sous la forme d'une intégrale définie ou d'une combinaison linéaire d'un nombre fini de valeurs des dérivées, d'ordres divers, de la fonction ff, etc.
Il existe un grand nombre de travaux sur la structure du reste R[f]R[f]. Je citerai seulement A. A. Markoff [4], G. D. Birkhoff [2]: G. Kowalewski [3], R.v. Mises [5], J. Radon [12], E. Ya. Remez [13]; A. Sard [14].
J^(')J^{\prime} ai obtenu, à l'aide de la théorie des fonctions convexes d'ordre supérieur que j^(')j^{\prime} ai ếtudiée autrefois [7,9], une nouvelle représentation du reste, qui est plus générale et met mieux en évidence sa structure [10,11][10,11].
J^(')J^{\prime} ai obtenu, à l'aide de la théorie des fonctions convexes d'ordre supérieur que j^(')j^{\prime} ai ếtudiée autrefois [7,9], une nouvelle représentation du reste, qui est plus générale et met mieux en évidence sa structure [10,11][10,11].
Dans cette communication je ferai quelques remarques sur cette représentation.
Nous supposerons dans la suite que la fonction ff et la fonctionnelle R[f]R[f] sont réelles et que SS contient tous les polynomes.
2. Nous disons que R[f]R[f] est de la forme simple s'il existe un entier n >= -1n \geq-1 tel que l'on ait
2. Nous disons que R[f]R[f] est de la forme simple s'il existe un entier n >= -1n \geq-1 tel que l'on ait
R[f]=K*[xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n+2);f];quad f in SR[f]=K \cdot\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n+2} ; f\right] ; \quad f \in S
où K=R[x^(n+1)]K=R\left[x^{n+1}\right] est !=0\neq 0, indépendant de la fonction ff et les xi_(i)\xi_{i}, i=1,2,dots,n+2i=1,2, \ldots, n+2 sont n+2n+2 points distincts de l'intervalle II (pouvant en général, dépendre de la fonction ff et même situés à 1^(n)1^{n} intérieur de II. si n >= 0n \geqq 0 ). La notation [xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n+2);f]\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n+2} ; f\right] désigne la différence divisée (d'ardré n+1n+1 ) de la fonction ff sur les noeuds xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n+2)\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n+2}.
Le nombre nn est le degré d'exactitude du reste et jouit de la propriété (caractéristique) que R[f]R[f] est nul sur tout polynome de degré nn, mais que l'on a R[x^(n+1)]!=0R\left[x^{n+1}\right] \neq 0.
De la forme simple est, par exemple, le reste dans la formule de Taylor, dans la formule d'interpolation de Lagrange, dans la formule de quadrature de Gauss, etc.
Rappelons la propriété suivante:
I. La condition nécessaire et suffisante pour que R[f]R[f], supposé du degré d'exdctitude nn, soit de la forme simple est que l'on ait R[f]!=0R[f] \neq 0 pour tout f in Sf \in S, convexe d'ordre nn.
I. La condition nécessaire et suffisante pour que R[f]R[f], supposé du degré d'exdctitude nn, soit de la forme simple est que l'on ait R[f]!=0R[f] \neq 0 pour tout f in Sf \in S, convexe d'ordre nn.
Dans ce cas il est, d'ailleurs, nécessaire que R[f]R[f] garde son signe pour ff convexe d'ordre nn. En remarquant que la fonction x^(n+1)x^{n+1} est bien convexe d'ordre nn, la condition précédente peut aussi s'écrire
{:(2)R[x^(n+1)]R[f] > 0:}\begin{equation*}
R\left[x^{n+1}\right] R[f]>0 \tag{2}
\end{equation*}
La condition (2), pour tout f in Sf \in S convexe d'ordre nn, est donc nécessaire et suffisante pour que R[f]R[f] soit de la forme simple (1). Remarquons que pour cola estaussi nécessaire (mais non pas suffisant) que l^(')l^{\prime} on ait R[x^(n+1)]!=0R\left[x^{n+1}\right] \neq 0 et
{:(3)R[x^(n+1)]R[f] >= 0:}\begin{equation*}
R\left[x^{n+1}\right] R[f] \geqq 0 \tag{3}
\end{equation*}
pour toute fonction f in Sf \in S, non-concave d'ordre nn.
Rappelons que la fonction ff est dite convexe resp, nonconcave d'ordre nn sur II si la différence divisée d'ordre n+1n+1 sur n+2n+2 points distincts quelconques de II reste constamment positive resp. non-négative.
3. Si R[f]R[f] est de la forme simple, on peut le délimiter par la formule
Rappelons que la fonction ff est dite convexe resp, nonconcave d'ordre nn sur II si la différence divisée d'ordre n+1n+1 sur n+2n+2 points distincts quelconques de II reste constamment positive resp. non-négative.
3. Si R[f]R[f] est de la forme simple, on peut le délimiter par la formule
{:(4)|R[f]| <= |R[x^(n+1)]|M:}\begin{equation*}
|R[f]| \leqq\left|R\left[x^{n+1}\right]\right| M \tag{4}
\end{equation*}
ou
{:(5)M=s u p_(x_(i)in I)|[x_(1),x_(2),dots,x_(n+2);f]|:}\begin{equation*}
M=\sup _{x_{i} \in I}\left|\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; f\right]\right| \tag{5}
\end{equation*}
D'ailleurs, si ff a une dérivée d'ordre n+1n+1 (bornée) sur II, le nombre (5) est donné par l'égalité
M=(1)/((n+1)!)s u p_(x in I)|f^((n+1))(x)|.M=\frac{1}{(n+1)!} \sup _{x \in I}\left|f^{(n+1)}(x)\right| .
La délimitation (4) est valable dans un cas plus général que dans celui de la simplicité de R[f]R[f]. Nous avons lapropriéé suivante:
II. La délimitation (4) est valable si R[f]R[f] est de degré l'exactitude n et si l'inégalite (3) est vérifiée pour toute fonction f in Sf \in S, non-concave d'ordre nn.
4. Pour pouvoir affirmer que le reste R[f]R[f] est de la forne simple, il suffit de connaitredescritères permettant d'affirmer que (sous l'hypothèse R[x^(n+1)]!=0R\left[x^{n+1}\right] \neq 0 ) l'inégalité (2) est vépifiée pour tout f in Sf \in S convexe d'ordre nn.
II. La délimitation (4) est valable si R[f]R[f] est de degré l'exactitude n et si l'inégalite (3) est vérifiée pour toute fonction f in Sf \in S, non-concave d'ordre nn.
4. Pour pouvoir affirmer que le reste R[f]R[f] est de la forne simple, il suffit de connaitredescritères permettant d'affirmer que (sous l'hypothèse R[x^(n+1)]!=0R\left[x^{n+1}\right] \neq 0 ) l'inégalité (2) est vépifiée pour tout f in Sf \in S convexe d'ordre nn.
Ici nous allons faire connaître uncritère permettant d' affirmer que (sous l'hypothèse R[x^(n+1)]!=0R\left[x^{n+1}\right] \neq 0 ) l'inégalité (3) est vérifiée pour toute fonction f in Sf \in S, non-concave d'ordre nn, donc in critère permettant d'appliquer la propriété II. Ce critére est basé sur les remarquables propriétés de convergence et de la conservation des caractères de convexité de la fonction ff, par les polynomes correspondant de S.N. Bernstein [1,8,15].
Supposons que I-=[0,1]I \equiv[0,1] et que les éléments de SS aient une dérivée d'ordre j( >= 0)j(\geqq 0) continue sur [0,1][0,1] ( 1 a dérivée d'ordre 0 est la fonction elle même). Considérons alors la fonctionnelle linéaire R[f]R[f], de degré d'exactitude nn et qui est bornée par rapport à la norme
{:(6)||f||=sum_(i=0)^(j)s u p_(x in[0,1])|f^((i))(x)|:}\begin{equation*}
\|f\|=\sum_{i=0}^{j} \sup _{x \in[0,1]}\left|f^{(i)}(x)\right| \tag{6}
\end{equation*}
Posons
pi_(k,l)=((-1)^(n+1))/(n!)int_(x)^(1)(t-x)^(n)t^(k)(1-t)^(l)dt\pi_{k, l}=\frac{(-1)^{n+1}}{n!} \int_{x}^{1}(t-x)^{n} t^{k}(1-t)^{l} d t
Sous les hypothèses précédentes, nous avons la propriété suivante:
III. Pour que l'inégalite (3) soit vérifiée pour toute fonction f in Sf \in S non-concave d'ordre nn il (faut et il) suffit que l'on ait
III. Pour que l'inégalite (3) soit vérifiée pour toute fonction f in Sf \in S non-concave d'ordre nn il (faut et il) suffit que l'on ait
R[x^(n+1)]R[pi_(k,l)] >= 0R\left[x^{n+1}\right] R\left[\pi_{k, l}\right] \geqq 0
quels que soient les entiers non-négatifs kk et ll.
La démonstration résulte du fait que si
La démonstration résulte du fait que si
B_(m)=sum_(i=0)^(m)((m)/(i))f((i)/(m))x^(i)(1-x)^(m-i)B_{m}=\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i} f\left(\frac{i}{m}\right) x^{i}(1-x)^{m-i}
(m >= n+1)(m \geqq n+1)
sont les polynomes de S.N. Bernstein, nous avons, sous les hypothèses précédentes,
sont les polynomes de S.N. Bernstein, nous avons, sous les hypothèses précédentes,
R[B_(m)]=((m-1)!(n+1)!)/(m^(n)(m-n-1)!)sum_(i=0)^(m-n-1)((m-n-1)/(i))[(i)/(m),(i+1)/(m),dots,(i+n+1)/(m);f]R[pi_(i,m-n-1-i)]R\left[B_{m}\right]=\frac{(m-1)!(n+1)!}{m^{n}(m-n-1)!} \sum_{i=0}^{m-n-1}\binom{m-n-1}{i}\left[\frac{i}{m}, \frac{i+1}{m}, \ldots, \frac{i+n+1}{m} ; f\right] R\left[\pi_{i, m-n-1-i}\right]
et
lim_(m rarr oo)R[x^(n+1)]R[B_(m)]=R[x^(n+1)]R[f]\lim _{m \rightarrow \infty} R\left[x^{n+1}\right] R\left[B_{m}\right]=R\left[x^{n+1}\right] R[f]
et où ff est une fonction non-concave d'ordre nn appartenant à SS.
5. Pour donner une application, soit R[f]R[f] le reste dans la formule de quadrature numérique-de N. Obrechkoff [6].
5. Pour donner une application, soit R[f]R[f] le reste dans la formule de quadrature numérique-de N. Obrechkoff [6].
int_(0)^(1)f(x)dx=(2)/(3)f(0)+(1)/(5)f^(')(0)+(1)/(30)f^('')(0)+(1)/(360)f^(''')(0)+\int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{2}{3} f(0)+\frac{1}{5} f^{\prime}(0)+\frac{1}{30} f^{\prime \prime}(0)+\frac{1}{360} f^{\prime \prime \prime}(0)+
+(1)/(3)f(1)-(1)/(30)f^(')(1)+R[f]+\frac{1}{3} f(1)-\frac{1}{30} f^{\prime}(1)+R[f]
où ff a une dérivée d'ordre 3 continue sur [0,1][0,1].
Dans ce cas R[f]R[f] est de degre d'exactitude 5 et est borné par rapport à la norme (6) pour. j=3j=3 。
Dans ce cas R[f]R[f] est de degre d'exactitude 5 et est borné par rapport à la norme (6) pour. j=3j=3 。
Un calcul simple nous donne dans oe.cas
R[x^(6)]=(1)/(105) > 0,quad R[pi_(k,l)]=(1)/(6!)int_(0)^(1)t^(k+2)(1-t)^(l+4)dt > 0R\left[x^{6}\right]=\frac{1}{105}>0, \quad R\left[\pi_{k, l}\right]=\frac{1}{6!} \int_{0}^{1} t^{k+2}(1-t)^{l+4} d t>0
R[x^(6)]=(1)/(105) > 0,quad R[pi_(k,l)]=(1)/(6!)int_(0)^(1)t^(k+2)(1-t)^(l+4)dt > 0R\left[x^{6}\right]=\frac{1}{105}>0, \quad R\left[\pi_{k, l}\right]=\frac{1}{6!} \int_{0}^{1} t^{k+2}(1-t)^{l+4} d t>0
La délimitation (4) est donc bien applicable at nous avons
|R[f]| <= (1)/(105)s u p_(x_(i)in[0,1])|[x_(1),x_(2),x_(3),x_(4),x_(5),x_(8);x_(7);f]||R[f]| \leqq \frac{1}{105} \sup _{x_{i} \in[0,1]}\left|\left[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{8} ; x_{7} ; f\right]\right|
Si la dérivée d'ordre f^((6))f^{(6)} existe sur [0,1][0,1] nous avons
|R[f]| <= (1)/(105)s u p_(x_(i)in[0,1])|[x_(1),x_(2),x_(3),x_(4),x_(5),x_(8);x_(7);f]||R[f]| \leqq \frac{1}{105} \sup _{x_{i} \in[0,1]}\left|\left[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{8} ; x_{7} ; f\right]\right|
Si la dérivée d'ordre f^((6))f^{(6)} existe sur [0,1][0,1] nous avons
|R[f]| <= (1)/(105)*(1)/(6!)s u p_(x in[0,1])|f^((6))(x)||R[f]| \leqq \frac{1}{105} \cdot \frac{1}{6!} \sup _{x \in[0,1]}\left|f^{(6)}(x)\right|
BIBLIOGRAPHIE
[1] Bernstein, S.N.: Hark. Matem. ob-wa, s.2,t. 13, 1-2 (1912)
[2] Birkhoff, G.D.: Trans. Amer. Math. Soc., 7, 107-130 (1906)
[3] Kowalewski, G.: Interpolation undgenäherte Quadratur, 1932
[4] Markoff, A.A.: Differenzenzechnung, 1896
[5] Mises, R.v.: J.f. die reine und augew. Math., 174, 56-67 (1936)
[6] obrechkoff, N.: Abh. preuss. Akad. Wiss., 1940, Nc 4, 1-20
[7] Popoviciu, T.: Mathematica, 8, 1-85 (1934)
[8] " : ibid., 10, 49-54 (1934)
[9] " : ibid., 12, 81-92 (1936)
[10] " : Aucrarile Ses. Gen. Stuntifice a Acad. R. P.R., 1950, p.183-185.
[11] " : Mathematica, 1 (24), 95-142 (1960)
[12] Radon,J.: Monatshefte f.Math.u.Phys., 42, 389-396 (1935)
[13] Ramez, E. Ya.: Zbirnik Praci Institutu Matem. Akad. Nauk. URSR, 3, 21-62 (1939)[2] Birkhoff, G.D.: Trans. Amer. Math. Soc., 7, 107-130 (1906)
[3] Kowalewski, G.: Interpolation undgenäherte Quadratur, 1932
[4] Markoff, A.A.: Differenzenzechnung, 1896
[5] Mises, R.v.: J.f. die reine und augew. Math., 174, 56-67 (1936)
[6] obrechkoff, N.: Abh. preuss. Akad. Wiss., 1940, Nc 4, 1-20
[7] Popoviciu, T.: Mathematica, 8, 1-85 (1934)
[8] " : ibid., 10, 49-54 (1934)
[9] " : ibid., 12, 81-92 (1936)
[10] " : Aucrarile Ses. Gen. Stuntifice a Acad. R. P.R., 1950, p.183-185.
[11] " : Mathematica, 1 (24), 95-142 (1960)
[12] Radon,J.: Monatshefte f.Math.u.Phys., 42, 389-396 (1935)
[14] Sard, A.: Duke Math. J. 15, 333-345 (1948)
[15] Wigert, S.: Arkiv f. Mat. Astr. och Fysik, Bd. 22B, n. 9, 1-4 (1932).