Sur le reste de certaines formules de quadrature

Le reste $R[f]$$R[f]$R[f]R[f]$R[f]$ de la formule de quadrature

où les noeuds $x_{\alpha }$$x_{\alpha }$x_(alpha)x_{\alpha}$x_{\alpha }$ de l'axe réel sont distincts et les $A_{\alpha }$$A_{\alpha }$A_(alpha)A_{\alpha}$A_{\alpha }$ sont des constantes réelles données, est de la forme

La fonction $f$$f$ff$f$ est supposée continue, $m$$m$mm$m$ est le degré d'exactitude de la formule (1), les points ${\xi }_{\alpha }$${\xi }_{\alpha }$xi_(alpha)\xi_{\alpha}${\xi }_{\alpha }$ d'une part et les points ${\xi }_{\alpha }^{\prime }$${\xi }_{\alpha }^{\prime }$xi_(alpha)^(')\xi_{\alpha}^{\prime}${\xi }_{\alpha }^{\prime }$ d'autre part, sont distincts mais dépendent en général de la fonction $f$$f$ff$f$. Les constantes $A,B$$A,B$A,BA, B$A,B$ sont indépendantes de la fonction $f$$f$ff$f$. Enfin $[y_1,y_2,\dots ,y_r;f]$$\left[y_1,y_2,\dots ,y_r;f\right]$[y_(1),y_(2),dots,y_(r);f]\left[y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{r} ; f\right]$[y_1,y_2,\dots ,y_r;f]$ désigne la différence divisée, d'ordre $r-1$$r-1$r-1r-1$r-1$, de la fonction $f$$f$ff$f$ sur les noeuds $y_1,y_2,\dots ,y_r$$y_1,y_2,\dots ,y_r$y_(1),y_(2),dots,y_(r)y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{r}$y_1,y_2,\dots ,y_r$.

Lorsque dans (2) on peut prendre $B=0$$B=0$B=0B=0$B=0$ le reste $R[f]$$R[f]$R[f]R[f]$R[f]$ (ou la formule de quadrature (1)) est dit de la forme simple. Cette dernière notion est en étroite liaison avec la théorie des fonctions convexes d'ordre supérieur [1].

Dans le présent travail on montre comment, sous des hypothèses bien précisées, dans le cas où le reste n'est pas de la forme simple, on peut rétablir une sorte de simplicité par une généralisation convenable de la notion de différence divisée et de la convexité correspondante.
[1] Popoviciu, Tiberiu, Mathematica 1 (24), 95-142 1959.