T. Popoviciu, Sur les fonctions convexes d’une variable réelle, Comptes Rendus de l’Academie des Sciences de Paris, 190 (1930), pp. 1481-1483 (in French).
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Comptes rendus de l’Académie des Sciences
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Publisher: Académie des Sciences, Paris; Elsevier, Paris.
ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur les fonctions convexes d'une variable réelle. Note ( ^(2){ }^{2} ) de M. T. Popovici.
I. Nous considérons des fonctions uniformes, réelles de la variable réelle xx, définies sur un ensemble linéaire et borné E. Posons
Par définition, la fonction f(x)f(x) est convexe, non concave, polynomiale, ^((1)){ }^{(1)} Nous le montrerons avec plus de détails dans un Mémoire ultérieur. (^(2))\left({ }^{2}\right) Séance du ir juin 1930.
C. R., 19.30, 1* Semestre. (T. 190, N•25.)
concave ou non concexe d'ordre nn, suivant que l'expression
est > , >= , < , <= 0>, \geq,<, \leq 0, pour tout ensemble de n+2n+2 points x_(1),x_(2),dots,x_(n+2)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} appartenant à E. Toutes ces fonctions forment la classe des fonctions d'ordre nn. Si f(x)f(x) est convexe ou non concave, la fonction - f(x)f(x) est concave ou non convexe de mème ordre.
Une fonction d'ordre n > 0n>0, définie et bornée sur un ensemble fermé, est continue, sauf peut-être aux extrémités.
Une fonction d'ordre donné, définie sur un ensemble fermé, atteint son maximum et son minimum.
Une fonction convexe ou concave d'ordre nn ne peut prendre plus de n+1n+1 fois la mème valeur. Une fonction convexe et bornée d'ordre nn, définie sur un ensemble dense dans un intervalle, atteint son maximum en [(n+3)/(2)]\left[\frac{n+3}{2}\right] points et son minimum en [(n+2)/(2)]\left[\frac{n+2}{2}\right] points au plus ;[alpha];[\alpha] désignant le plus grand entier non supérieur à alpha\alpha.
II. Une fonction d'ordre n > 1n>1, définie et bornée dans un intervalle ouvert (a,b)(a, b), a une dérivée dans tout cet intervalle. Si la fonction est convexe d'ordre nn, cette dérivée est convexe d'ordre n-1n-1, et réciproquement. Dans tous les cas, elle est une fonction d'ordre n-1n-1. Il en résulte que la dérivée (n-1)^("lìme ")(n-1)^{\text {lìme }}ì existe.
La dérivée d'une fonction d'ordre donné est bornée dans tout intervalle complètement intérieur à ( a,ba, b ).
Si f^((n+1))(x)f^{(n+1)}(x) existe, la condition f^((n+1))(x) > 0f^{(n+1)}(x)>0 est suffisante pour que f(x)f(x) soit convexe d'ordre nn, la condition j^((n+1))(x) >= 0j^{(n+1)}(x) \geq 0 est nécessaire et suffisante pour que f(x)f(x) soit non concave d'ordre nn.
Si f(x)f(x) est d'ordre nn dans ( a,ba, b ) et
|f(x)| < A,quad" dans "(a,b),|f(x)|<\mathrm{A}, \quad \text { dans }(a, b),
pour les points xx situés dans l'intervalle {(a(cos((pi )/(n))+cos((pi)/(3n)))+b(1-cos((pi)/(2n))))/(1+cos((pi )/(n))),(b(cos((pi )/(n))+cos((pi)/(2n)))-:a(1-cos((pi)/(2n))))/(1+cos((pi )/(n)))}\left\{\frac{a\left(\cos \frac{\pi}{n}+\cos \frac{\pi}{3 n}\right)+b\left(1-\cos \frac{\pi}{2 n}\right)}{1+\cos \frac{\pi}{n}}, \frac{b\left(\cos \frac{\pi}{n}+\cos \frac{\pi}{2 n}\right) \div a\left(1-\cos \frac{\pi}{2 n}\right)}{1+\cos \frac{\pi}{n}}\right\}, c,c_(1)c, c_{1} étant deux constantes indépendantes de nn.
Pour les autres points de l'intervalle ( a,ba, b ), la dérivée a en général une
croissance dépendant de la fonction, comme le prouve l'exemple des polynomes (').
III. La fonction f(x)f(x), d'un caractère de convexité déterminé, se prolonge sur un ensemble E_(1)\mathrm{E}_{1} si l'on peut trouver une fonction de même nature définie sur E+E_(1)\mathrm{E}+\mathrm{E}_{1}, qui coïncide avec f(x)f(x) sur E .
Le prolongement de la fonction f(x)f(x) d'ordre n > 1n>1, définie et bornée sur un ensemble fini de points, est en général impossible. Au contraire, si l'ordre est o ou i, le prolongement est toujours possible. Une fonction convexe (ou concave) d'ordre o ou i définie sur un ensemble finise prolonge par un polynome de même nature. C'est une conséquence du fait qu'une fonction continue dans ( a,ba, b ) put é un polynome présed tes caractères de convexité de la fonction. Ces par nomes d'approximation sont, par exemple, les polynomes de M S. polytein :
IV. Prenons un nombre quelconque de points dans l'intervalle (a,b)(a, b)
a <= x_(1) < x_(2) < dots < x_(m) <= ba \leq x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m} \leq b
et une fonction f(x)f(x) définie dans ( a,ba, b ).
Si l'ensemble des quantités
est borné, nous pouvons dire que f(x)f(x) est une fonction it n^("ieme ")n^{\text {ieme }} variation bornée ( ^(2){ }^{2} ).
Si n > 0n>0, la fonction est continue. Si n > 1n>1, la fonction a une dérivée. Cette dérivée est à (n-1)^("ieme ")(n-1)^{\text {ieme }} variation bornée. On en déduit alors que toute fonction à n^("iémo ")n^{\text {iémo }}é variation bornée est la somme d'une fonction non concave et d'une fonction non convexe d'ordre nn.
( ^(1){ }^{1} ) Des polynomes convexes particuliers ont été déjá étudiés. Voir W. Bûnčka et J. Geronimus, Ueber die monotone Polynome welche die minimale Abweichung von Null haben (Math. Zeitschrift, 30, 1929, p. 35-). (^(2))\left(^{2}\right) Le cas n=0n=0 est classique. Le cas n=1n=1 áté étudié par M. A. Wintennitz, Ueber eine Klasse von linearen unktional-Ungleichungen und über Konvexe Funktionale [Berichte der Süchsischen ries. der Wissens. su Leipsig (math. phys. Klasse), 69, 1917, p. 346].
