Abstrait
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Auteurs
Tiberiu Popoviciu
(Institutul de Calcul)
Titre originale
Sur les fractions continues de J. Mikusinski
Traduction en anglais du titre
On the continued fractions of J. Mikusiński
Mots cle
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Citer cette travail
T. Popoviciu, Sur les fractions continues de J. Mikusinski, Rev. Roumaine Math. Pures Appl., 13, 1968, pp. 79-83 (in French).
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Journal
Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées
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MR, ZBL [MR0226243, Zbl 0172.06701]
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SUR LES FRACTIONS CONTINUES DE J. MIKUSINSKI
PAR
TIBERIU POPOVICIU
(Cluj)
On donne une nouvelle démonstration de la suffisance de la condition (3) du théorème 1 de J. Mikusinski [2]. On donne aussi quelques autres propriétés des fractions continues arithmétiques de la forme [a,b^(˙),2a][a, \dot{b}, 2 a].
- Soit cc un nombre naturel > 1>1, différent d'un carré, (r_(n))_(n=0)^(oo)\left(r_{n}\right)_{n=0}^{\infty} la suite des réduits du développement de sqrtc\sqrt{c} en fraction continue arithmétique et (x_(n))_(n=0)^(oo)\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty} la suite d'approximations de sqrtc\sqrt{c} donnée par la relation de récurrence
{:(1)x_(n+1)=(1)/(2)(x_(n)+(c)/(x_(n)))","n=0","1","dots","x_(0)=[V bar(c)]:}\begin{equation*}
x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{c}{x_{n}}\right), n=0,1, \ldots, x_{0}=[V \bar{c}] \tag{1}
\end{equation*}
J. Mikusinski a démontré [2] le théorème suivant
Théorème 1. Pour que l'on ait
(2)
(2)
x_(n)=r_(2^(n)-1),n=0,1,dotsx_{n}=r_{2^{n}-1}, n=0,1, \ldots
il faut et il suffit que le nombre c soit de la forme
{:(3)c=a^(2)+(2a)/(b):}\begin{equation*}
c=a^{2}+\frac{2 a}{b} \tag{3}
\end{equation*}
où a et bb sont des nombres naturels.
J. Mikusinski a démontré très simplement la nécessité de la condition et a aussi démontré la suffisance de la condition en remarquant qu'alors la fraction continue de sqrtc\sqrt{c} est de la forme [a,b^(˙),2^(˙)a][a, \dot{b}, \dot{2} a]. Dans la suite nous allons d'abord donner une démonstration un peu différente de la suffisance de la condition (3).
J. Mikusinski a démontré très simplement la nécessité de la condition et a aussi démontré la suffisance de la condition en remarquant qu'alors la fraction continue de sqrtc\sqrt{c} est de la forme [a,b^(˙),2^(˙)a][a, \dot{b}, \dot{2} a]. Dans la suite nous allons d'abord donner une démonstration un peu différente de la suffisance de la condition (3).
Les nombres naturels cc de la forme (3) sont caractérisés par la propriété que si a=[sqrtc]a=[\sqrt{c}], le nombre 2a2 a est divisible par c-a^(2)c-a^{2}.
REV. ROUM. MATH. PURES ET APPL., TOME XIII, NO 1, p. 79-83, BUCAREST, 1968
2. Désignons par r_(n)=(P_(n))/(Q_(n)),n=0,1,dotsr_{n}=\frac{P_{n}}{Q_{n}}, n=0,1, \ldots, les réduits de la fraction continue arithmétique périodique [a,b^(˙),2^(˙)a][a, \dot{b}, \dot{2} a]. Les suites (P_(n)),(Q_(n))\left(P_{n}\right),\left(Q_{n}\right) sont des solutions (u_(n))_(n=0)^(oo)\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty} du système d'équations récurrentes
2. Désignons par r_(n)=(P_(n))/(Q_(n)),n=0,1,dotsr_{n}=\frac{P_{n}}{Q_{n}}, n=0,1, \ldots, les réduits de la fraction continue arithmétique périodique [a,b^(˙),2^(˙)a][a, \dot{b}, \dot{2} a]. Les suites (P_(n)),(Q_(n))\left(P_{n}\right),\left(Q_{n}\right) sont des solutions (u_(n))_(n=0)^(oo)\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty} du système d'équations récurrentes
{:(4){[u_(2n)=2au_(2n-1)+u_(2n-2)],[u_(2n+1)=bu_(2n)+u_(2n-1)]quad n=1,2,dots:}:}\left\{\begin{array}{l}
u_{2 n}=2 a u_{2 n-1}+u_{2 n-2} \tag{4}\\
u_{2 n+1}=b u_{2 n}+u_{2 n-1}
\end{array} \quad n=1,2, \ldots\right.
avec respectivement les valeurs initiales P_(0)=a,P_(1)=ab+1;Q_(0)=1P_{0}=a, P_{1}=a b+1 ; Q_{0}=1, Q_(1)=bQ_{1}=b.
Mais si (u_(n))_(n=0)^(oo)\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty} est une solution du système (4), les suites partielles (u_(2n))_(n=0)^(oo),(u_(2n+1))_(n=0)^(oo)\left(u_{2 n}\right)_{n=0}^{\infty},\left(u_{2 n+1}\right)_{n=0}^{\infty} sont des solutions ( v_(n)v_{n} ) de l'équation de récurrence
{:(5)v_(n)=(2ab+2)v_(n-1)-v_(n-2)","n=2","3","dots:}\begin{equation*}
v_{n}=(2 a b+2) v_{n-1}-v_{n-2}, n=2,3, \ldots \tag{5}
\end{equation*}
D'après la théorie, bien connue, des équations de cette forme nous avons v_(n)=Ax^(n)+By^(n),n=0,1,dotsv_{n}=A x^{n}+B y^{n}, n=0,1, \ldots, où x,yx, y sont les racines de l'équation caractéristique z^(2)-(2ab+2)z+1=0z^{2}-(2 a b+2) z+1=0 et A,BA, B sont indépendants de nn.
Si nous tenons compte de (3) nous avons
x=ab+1+bsqrtc=(b)/(2a)xi^(2),y=ab+1-bsqrtc=(b)/(2a)eta^(2)x=a b+1+b \sqrt{c}=\frac{b}{2 a} \xi^{2}, y=a b+1-b \sqrt{c}=\frac{b}{2 a} \eta^{2}
où xi=a+sqrtc,eta=a-sqrtc\xi=a+\sqrt{c}, \eta=a-\sqrt{c}. Nous avons donc
{:(6)v_(n)=((b)/(2a))^(n)(Axi^(2n)+Beta^(2n))","n=0","1","dots:}\begin{equation*}
v_{n}=\left(\frac{b}{2 a}\right)^{n}\left(A \xi^{2 n}+B \eta^{2 n}\right), n=0,1, \ldots \tag{6}
\end{equation*}
Pour obtenir les suites (P_(n)),(Q_(n))\left(P_{n}\right),\left(Q_{n}\right) on détermine les suites partielles (P_(2n))_(n=0)^(oo),(P_(2n+1))_(n=0)^(oo),(Q_(2n))_(n=0)^(oo),(Q_(2n+1))_(n=0)^(oo)\left(P_{2 n}\right)_{n=0}^{\infty},\left(P_{2 n+1}\right)_{n=0}^{\infty},\left(Q_{2 n}\right)_{n=0}^{\infty},\left(Q_{2 n+1}\right)_{n=0}^{\infty}, à l'aide des formules (6), en tenant compte respectivement des valeurs initiales P_(0)=a,P_(2)=2a^(2)b+3aP_{0}=a, P_{2}=2 a^{2} b+3 a; P_(1)=ab+1,P_(3)=2a^(2)b^(2)+4ab+1;Q_(0)=1,Q_(2)=2ab+1;Q_(1)=bP_{1}=a b+1, P_{3}=2 a^{2} b^{2}+4 a b+1 ; Q_{0}=1, Q_{2}=2 a b+1 ; Q_{1}=b, Q_(3)=2ab^(2)+2bQ_{3}=2 a b^{2}+2 b. Dans chacun de ces cas ces valeurs initiales déterminent les coefficients A,BA, B correspondants.
En faisant les calculs, nous trouvons ainsi
{:(7){[P_(n)=(1)/(2)((b)/(2a))^([(n+1)/(2)])(xi^(n+1)+eta^(n+1))],[Q_(n)=(1)/(2sqrtc)((b)/(2a))^([(n+1)/(2)])(xi^(n+1)-eta^(n+1))]quad n=0,1,dots:}:}\left\{\begin{array}{l}
P_{n}=\frac{1}{2}\left(\frac{b}{2 a}\right)^{\left[\frac{n+1}{2}\right]}\left(\xi^{n+1}+\eta^{n+1}\right) \tag{7}\\
Q_{n}=\frac{1}{2 \sqrt{c}}\left(\frac{b}{2 a}\right)^{\left[\frac{n+1}{2}\right]}\left(\xi^{n+1}-\eta^{n+1}\right)
\end{array} \quad n=0,1, \ldots\right.
Il est clair que ces formules sont valables en général si a,b,ca, b, c sont des nombres non nuls tel que cb=a^(2)b+2ac b=a^{2} b+2 a.
La réduction d'un système de la forme (4) à une équation du type (5) a été faite par Th. Angheluță [1].
3. Revenant à notre problème, considérons la relation de récurrence (1). Nous avons
3. Revenant à notre problème, considérons la relation de récurrence (1). Nous avons
(x_(n)-sqrtc)/(x_(n)+sqrtc)=((x_(n-1)-sqrtc)/(x_(n-1)+sqrtc))^(2),n=1,2,dots,x_(0)=a\frac{x_{n}-\sqrt{c}}{x_{n}+\sqrt{c}}=\left(\frac{x_{n-1}-\sqrt{c}}{x_{n-1}+\sqrt{c}}\right)^{2}, n=1,2, \ldots, x_{0}=a
d'où il résulte que
{:(8)(x_(n)-sqrtc)/(x_(n)+sqrtc)=((eta )/(xi))^(2^(n))","n=0","1","dots:}\begin{equation*}
\frac{x_{n}-\sqrt{c}}{x_{n}+\sqrt{c}}=\left(\frac{\eta}{\xi}\right)^{2^{n}}, n=0,1, \ldots \tag{8}
\end{equation*}
où bien
{:(9)x_(n)=sqrtc(xi^(2^(n))+eta^(2^(n)))/(xi^(2^(n))-eta^(2^(n)))","n=0","1","dots:}\begin{equation*}
x_{n}=\sqrt{c} \frac{\xi^{2^{n}}+\eta^{2^{n}}}{\xi^{2^{n}}-\eta^{2^{n}}}, n=0,1, \ldots \tag{9}
\end{equation*}
Mais, de (7) il résulte que
r_(n)=sqrtc(xi^(n+1)+eta^(n+1))/(xi^(n+1)-eta^(n+1)),n=0,1,dotsr_{n}=\sqrt{c} \frac{\xi^{n+1}+\eta^{n+1}}{\xi^{n+1}-\eta^{n+1}}, n=0,1, \ldots
d'où l'égalité (2) s'ensuit immédiatement.
4. En remarquant que |eta| < xi|\eta|<\xi, la formule (8) nous montre que la suite ( x_(n)x_{n} ) converge vers sqrtc\sqrt{c}. Mais on peut approximer sqrtc\sqrt{c} par d'autres suites itératives. Une telle suite (y_(n))_(n=0)^(oo)\left(y_{n}\right)_{n=0}^{\infty} est déterminée par la relation de récurrence
4. En remarquant que |eta| < xi|\eta|<\xi, la formule (8) nous montre que la suite ( x_(n)x_{n} ) converge vers sqrtc\sqrt{c}. Mais on peut approximer sqrtc\sqrt{c} par d'autres suites itératives. Une telle suite (y_(n))_(n=0)^(oo)\left(y_{n}\right)_{n=0}^{\infty} est déterminée par la relation de récurrence
{:(10)y_(n+1)=(alphay_(n)+c)/(y_(n)+alpha)","n=0","1","dots:}\begin{equation*}
y_{n+1}=\frac{\alpha y_{n}+c}{y_{n}+\alpha}, n=0,1, \ldots \tag{10}
\end{equation*}
où nous supposons que y_(0) > 0y_{0}>0 et que alpha\alpha est un nombre rationnel positif. En nous limitant seulement à des approximations rationnelles de sqrtc\sqrt{c}, le cas de alpha\alpha positif et irrationnel ne présente pas d'intérêt.
Tous les termes de la suite ( y_(n)y_{n} ) sont positifs et nous avons
(y_(n+1)-sqrtc)/(y_(n+1)+sqrtc)=(alpha-sqrtc)/(alpha+sqrtc)*(y_(n)-sqrtc)/(y_(n)+sqrtc),n=0,1,dots\frac{y_{n+1}-\sqrt{c}}{y_{n+1}+\sqrt{c}}=\frac{\alpha-\sqrt{c}}{\alpha+\sqrt{c}} \cdot \frac{y_{n}-\sqrt{c}}{y_{n}+\sqrt{c}}, n=0,1, \ldots
d'où
{:(11)(y_(n)-sqrtc)/(y_(n)+sqrtc)=((alpha-sqrtc)/(alpha+sqrtc))^(n)*(y_(0)-sqrtc)/(y_(0)+sqrtc)","n=0","1","dots:}\begin{equation*}
\frac{y_{n}-\sqrt{c}}{y_{n}+\sqrt{c}}=\left(\frac{\alpha-\sqrt{c}}{\alpha+\sqrt{c}}\right)^{n} \cdot \frac{y_{0}-\sqrt{c}}{y_{0}+\sqrt{c}}, n=0,1, \ldots \tag{11}
\end{equation*}
et, puisque |(alpha-sqrtc)/(alpha+sqrtc)| < 1\left|\frac{\alpha-\sqrt{c}}{\alpha+\sqrt{c}}\right|<1, il résulte que la suite ( y_(n)y_{n} ) converge vers sqrtc\sqrt{c}.
La convergence de la suite ( x_(n)x_{n} ) vers sqrtc\sqrt{c} est d'ordre 2 tandis que celle de la suite (y_(n))\left(y_{n}\right) seulement d'ordre 1 .
La convergence de la suite ( x_(n)x_{n} ) vers sqrtc\sqrt{c} est d'ordre 2 tandis que celle de la suite (y_(n))\left(y_{n}\right) seulement d'ordre 1 .
Supposons que alpha=y_(0)=[sqrt() bar(o)]=a\alpha=y_{0}=[\sqrt{ } \bar{o}]=a, alors de (11) il résulte que
y_(n)=sqrtc(xi^(n+1)+eta^(n+1))/(xi^(n+1)-eta^(n+1)),n=0,1,dotsy_{n}=\sqrt{c} \frac{\xi^{n+1}+\eta^{n+1}}{\xi^{n+1}-\eta^{n+1}}, n=0,1, \ldots
en continuant de poser xi=a+sqrtc,eta=a-sqrtc\xi=a+\sqrt{c}, \eta=a-\sqrt{c}.
Cette formule nous montre que si le nombre cc est de la forme (3) et si alpha=y_(0)=a\alpha=y_{0}=a, nous avons
(12)
Cette formule nous montre que si le nombre cc est de la forme (3) et si alpha=y_(0)=a\alpha=y_{0}=a, nous avons
(12)
y_(n)=r_(n),n=0,1,dotsy_{n}=r_{n}, n=0,1, \ldots
donc que la relation de récurrence (10), avec la condition initiale y_(0)=[sqrtc]y_{0}=[\sqrt{c}], nous donne précisément la suite des réduits de la fraction continue arithmétique de sqrtc\sqrt{c}.
5. Proposons nous maintenant de déterminer le nombre naturel cc (non carré) et le nombre rationnel (positif) alpha\alpha de manière que la relation de récurrence (10) donne précisément la suite des réduits (r_(n))_(n=0)^(oo)\left(r_{n}\right)_{n=0}^{\infty} de la fraction continue arithmétique de V bar(c)V \bar{c}.
5. Proposons nous maintenant de déterminer le nombre naturel cc (non carré) et le nombre rationnel (positif) alpha\alpha de manière que la relation de récurrence (10) donne précisément la suite des réduits (r_(n))_(n=0)^(oo)\left(r_{n}\right)_{n=0}^{\infty} de la fraction continue arithmétique de V bar(c)V \bar{c}.
Pour cela désignons par a=[sqrtc]a=[\sqrt{c}] et posons c=a^(2)+kc=a^{2}+k. Si [a,b,d,e,dots][a, b, d, e, \ldots] est la fraction continue arithmétique de sqrtc\sqrt{c} et r_(0),r_(1),r_(2),r_(3),dotsr_{0}, r_{1}, r_{2}, r_{3}, \ldots, sont ses réduits successifs, de
r_(1)=(ab+1)/(b)=a+(1)/(b)=(alpha a+a^(2)+k)/(a+alpha)r_{1}=\frac{a b+1}{b}=a+\frac{1}{b}=\frac{\alpha a+a^{2}+k}{a+\alpha}
il résulte
(13)
(13)
b=(a+alpha)/(k)b=\frac{a+\alpha}{k}
De
r_(2)=(abd+a+d)/(bd+1)=a+(1)/(b+(1)/(d))=(alpha(ab+1)+b(a^(2)+k))/(ab+1+alpha b)r_{2}=\frac{a b d+a+d}{b d+1}=a+\frac{1}{b+\frac{1}{d}}=\frac{\alpha(a b+1)+b\left(a^{2}+k\right)}{a b+1+\alpha b}
il r'ésulte
(14)
(14)
d=(alpha-a+kb)/(2ab+1-kb^(2))d=\frac{\alpha-a+k b}{2 a b+1-k b^{2}}
En fin de
v_(3)=a+(1)/(b+(1)/(d+(1)/(e)))=(a(abd+a+d)+(bd+1)(a^(2)+k))/(abd+a+d+alpha(bd+1))v_{3}=a+\frac{1}{b+\frac{1}{d+\frac{1}{e}}}=\frac{a(a b d+a+d)+(b d+1)\left(a^{2}+k\right)}{a b d+a+d+\alpha(b d+1)}
compte tenant de (13) et (14), nous déduisons
{:(15)e=(2alpha)/(k):}\begin{equation*}
e=\frac{2 \alpha}{k} \tag{15}
\end{equation*}
Mais les nombres b,eb, e sont entiers (positifs), il en résulte donc que 2b-e=(2a)/(k)2 b-e=\frac{2 a}{k} est aussi entier. Il en résulte que 2a2 a est divisible par kk, done que le nombre cc est de la forme (3). Dans ce cas e=be=b, donc alpha=a\alpha=a.
Nous avons donc la propriété exprimée par le
Théorème 2. Pour que les y_(n),n=0,1,dotsy_{n}, n=0,1, \ldots, donnés par la relation de récurrence (10), où c est un nombre naturel (non carré) et a un nombre rationnel positif, soient les réduits successifs de la fraction continue arithmétique de sqrtc\sqrt{c}, il faut et il suffit que c soit de la forme (3) et que alpha=[sqrtc]=a\alpha=[\sqrt{c}]=a.
6. Remarquons que si cc est un nombre positif quelconque et si nous avons (1), avec x_(0) > 0x_{0}>0, il en résulte
Théorème 2. Pour que les y_(n),n=0,1,dotsy_{n}, n=0,1, \ldots, donnés par la relation de récurrence (10), où c est un nombre naturel (non carré) et a un nombre rationnel positif, soient les réduits successifs de la fraction continue arithmétique de sqrtc\sqrt{c}, il faut et il suffit que c soit de la forme (3) et que alpha=[sqrtc]=a\alpha=[\sqrt{c}]=a.
6. Remarquons que si cc est un nombre positif quelconque et si nous avons (1), avec x_(0) > 0x_{0}>0, il en résulte
(x_(n)-sqrtc)/(x_(n)+sqrtc)=((x_(0)-sqrtc)/(x_(0)+sqrtc))^(2^(n)),n=0,1,dots\frac{x_{n}-\sqrt{c}}{x_{n}+\sqrt{c}}=\left(\frac{x_{0}-\sqrt{c}}{x_{0}+\sqrt{c}}\right)^{2^{n}}, n=0,1, \ldots
En tenant compte aussi de la formule (11), on voit que nous pouvons énoncer le
Théorème 3. Si e et a sont des nombres positifs et si les suites (x_(n))_(n=0)^(oo)\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty}, (y_(n))_(n=0)^(oo)\left(y_{n}\right)_{n=0}^{\infty} sont données par les relations de récurrence (1), (10), avec les valeurs initiales x_(0)=y_(0)=alphax_{0}=y_{0}=\alpha :
1^(@)1^{\circ} Elles convergent vers sqrtc\sqrt{c}.
2^(@)2^{\circ} On a x_(n)=y_(2^(n)-1),n=0,1,dotsx_{n}=y_{2^{n}-1}, n=0,1, \ldots
Reçu le 3 mai 1967
Institut de Calcul
Académie de la République Socialiste de Roumanie, Filiale de Cluj
1^(@)1^{\circ} Elles convergent vers sqrtc\sqrt{c}.
2^(@)2^{\circ} On a x_(n)=y_(2^(n)-1),n=0,1,dotsx_{n}=y_{2^{n}-1}, n=0,1, \ldots
Reçu le 3 mai 1967
Institut de Calcul
Académie de la République Socialiste de Roumanie, Filiale de Cluj
BIBLIOGRAPHIE
- Angheluță, Th. Intégration d'une classe d'équations linéaires aux différences finies. Bulletin de la Soc. des Sciences de Cluj, T. III (1926), 94-104.
- Mikusinski, J. Sur la méthode d'approximation de Newton. Annales Polon. Math., I (1954), 184-194.