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Traduction en anglais du titre
On the indicators
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T. Popoviciu, Sur les indicateurs, Bull. Sc. de l’Ecole Polytechnique de Timişoara, 3 (1930) nos. 1-2, pp. 72-80 (in French).
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Bull. Sc. de l’Ecole Polytechnique de Timişoara
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- Le problème inverse du calcul de l'indicateur consiste dans la résolution de l'équation:
(1)
varphi(N)=A.\varphi(\mathrm{N})=\mathrm{A} .
Remarquons d'abord qu'il suffit de chercher les nombres pairs N , satisfaisant à (1). En effet de la propriété 30 résulte que:
varphi(N)=varphi(2N)\varphi(\mathrm{N})=\varphi(2 \mathrm{~N})
si NN est impair. Nous utiliserons constamment cette remarque dans la suite.
Mais avant d'aborder la résolution de l'équation (1) il faut examiner si elle est possible ou non. Il est évident que si A est impair différent de 1 l'équation est impossible, mais il est facile de voir qu'elle peut être impossible, même si A est pair. Par exemple la relation:
Mais avant d'aborder la résolution de l'équation (1) il faut examiner si elle est possible ou non. Il est évident que si A est impair différent de 1 l'équation est impossible, mais il est facile de voir qu'elle peut être impossible, même si A est pair. Par exemple la relation:
varphi(N)=14\varphi(\mathrm{N})=14
est impossible.
Plus généralement on pourrait se proposer la résolution de l'équation:
Plus généralement on pourrait se proposer la résolution de l'équation:
{:(2)varphi_(i)(N)=A:}\begin{equation*}
\varphi_{i}(\mathrm{~N})=\mathrm{A} \tag{2}
\end{equation*}
A étant donné. Il est évident que si l'équation (2) est possible pour i=mi=m, toutes les équations (2), où i=1,2,dots m-1i=1,2, \ldots m-1 seront possibles et si l'équation avec i=mi=m est impossible, toutes les équations avec i=m+1i=m+1, m+2,dotsm+2, \ldots seront impossibles.
Si, l'équation:
varphi_(i)(N)=A\varphi_{i}(\mathrm{~N})=\mathrm{A}
étant possible, la suivante:
varphi_(i+1)(N)=A\varphi_{i+1}(\mathrm{~N})=\mathrm{A}
est impossible nous dirons que, A peut être indicateur d'ordre i.
Si l'équation (2) est possible quelque soit ii, A peut être indicateur de n'importe quel ordre.
Si l'équation (2) est possible quelque soit ii, A peut être indicateur de n'importe quel ordre.
La formule:
(3)
(3)
varphi(2^(alpha+1))=2^(alpha)\varphi\left(2^{\alpha+1}\right)=2^{\alpha}
Prenons :
varphi_(1)(N)=varphi(N),quadvarphi_(2)(N)=varphi(varphi_(1)((N))),quadvarphi_(3)(N)=varphi(varphi_(2)((N))),quad" etc. "\varphi_{1}(\mathrm{~N})=\varphi(\mathrm{N}), \quad \varphi_{2}(\mathrm{~N})=\varphi\left(\varphi_{1}(\mathrm{~N})\right), \quad \varphi_{3}(\mathrm{~N})=\varphi\left(\varphi_{2}(\mathrm{~N})\right), \quad \text { etc. }
varphi_(i)(N)\varphi_{i}(\mathrm{~N}) sera l'indicateur itéré ou simplement l'indicateur d'ordre i de N .
De 1^(0)1^{0} et 2^(0)2^{0} résulte qu'il existe un nombre nn dépendant de N tel que:
De 1^(0)1^{0} et 2^(0)2^{0} résulte qu'il existe un nombre nn dépendant de N tel que:
varphi_(n)(N)=1^(1))\varphi_{n}(\mathrm{~N})=1^{1)}
varphi_(n)(N)\varphi_{n}(\mathrm{~N}) est alors le dernier indicateur de N .
nous montre que les puissances de 2 peuvent être indicateurs de n'importe quel ordre. De même l'égalité:
{:(4)varphi(2^(alpha)3^(beta-1-1))=2^(alpha)3^(beta):}\begin{equation*} \varphi\left(2^{\alpha} 3^{\beta-1-1}\right)=2^{\alpha} 3^{\beta} \tag{4} \end{equation*}
nous prouve que les nombres de la forme 2^(alpha)3^(beta)(a!=0)2^{\alpha} 3^{\beta}(a \neq 0) peuvent être indicateurs de n'importe quel ordre.
{:(4)varphi(2^(alpha)3^(beta-1-1))=2^(alpha)3^(beta):}\begin{equation*} \varphi\left(2^{\alpha} 3^{\beta-1-1}\right)=2^{\alpha} 3^{\beta} \tag{4} \end{equation*}
nous prouve que les nombres de la forme 2^(alpha)3^(beta)(a!=0)2^{\alpha} 3^{\beta}(a \neq 0) peuvent être indicateurs de n'importe quel ordre.
Nous nous proposons de démontrer que:
Les seuls nombres pouvant être indicateurs de n'importe quel ordre sont les nombres de la forme:
Les seuls nombres pouvant être indicateurs de n'importe quel ordre sont les nombres de la forme:
{:(5)2^(alpha)","quad" ou "2^(alpha)3^(beta)","quad" avec "quad a!=0:}\begin{equation*}
2^{\alpha}, \quad \text { ou } 2^{\alpha} 3^{\beta}, \quad \text { avec } \quad a \neq 0 \tag{5}
\end{equation*}
Il suffit d'examiner les nombres pairs qui ne sont pas de la forme (5). Avant de continuer remarquons que si:
varphi(N)=2^(alpha)A\varphi(\mathrm{N})=2^{\alpha} \mathrm{A}
A étant impair non puissance de 3 ( A=1=3^(0)\mathrm{A}=1=3^{0} est puissance de 3 ), le nombre N ne peut pas être de l'une des formes (5). Nous auront toujours en vue cette remarque.
3. Lemme. p étant un nombre entier positif, dans la suite:
3. Lemme. p étant un nombre entier positif, dans la suite:
p_(1)=2p+1,quadp_(2)=2p_(1)+1,quadp_(3)=2p_(2)+1,dotsp_{1}=2 p+1, \quad p_{2}=2 p_{1}+1, \quad p_{3}=2 p_{2}+1, \ldots
il yy a au moins un nombre non premier.
En effet:
1^(0)1^{0}. Si :
En effet:
1^(0)1^{0}. Si :
p-=0quad(mod3)p \equiv 0 \quad(\bmod 3)
on a:
{:[p_(1)-=1,(mod3)],[p_(2)-=0,(mod3)]:}\begin{array}{ll}
p_{1} \equiv 1 & (\bmod 3) \\
p_{2} \equiv 0 & (\bmod 3)
\end{array}
et il est evident que p_(2) > 3p_{2}>3.
2^(@)*Si:2^{\circ} \cdot \mathrm{Si}:
p-=1p \equiv 1
(mod. 3),
on a:
on a:
{:(mod.3)p_(1)-=0:}\begin{equation*}
p_{1} \equiv 0 \tag{mod.3}
\end{equation*}
à moins que pp ne soit pas égal à 1 . Dans ce cas p_(1)=3p_{1}=3 et:
p_(8)-=0quad(mod3)p_{8} \equiv 0 \quad(\bmod 3)
- Si :
{:(mod.3)p-=-1:}\begin{equation*}
p \equiv-1 \tag{mod.3}
\end{equation*}
nous pouvons poser :
p=3k-1p=3 k-1
et alors :
{:[p_(1)=2*3*k-1],[p_(2)=2^(2)*3*k-1],[p_(3)=2^(3)*3*k-1]:}\begin{aligned}
& p_{1}=2 \cdot 3 \cdot k-1 \\
& p_{2}=2^{2} \cdot 3 \cdot k-1 \\
& p_{3}=2^{3} \cdot 3 \cdot k-1
\end{aligned}
Posons:
3k-1=2^(m)*k_(1)3 k-1=2^{m} \cdot k_{1}
k_(1)k_{1} étant impair, alors de la congruence:
2^(varphi(k_(1)))-=12^{\varphi\left(k_{1}\right)} \equiv 1
nous déduisons :
{:(1)2^(varphi(k_(1)))3*h-=2^(m)k_(1)+1-=1:}\begin{equation*}
2^{\varphi\left(k_{1}\right)} 3 \cdot h \equiv 2^{m} k_{1}+1 \equiv 1 \tag{1}
\end{equation*}
donc p_(varphi(k_(1)))p_{\varphi\left(k_{1}\right)} est divisible par k_(1)k_{1} qui est certainement plus petit que lui. Le raisonnement est en défaut si k_(1)=1k_{1}=1. Dans ce cas:
3k-1=2^(m)=2^(2n+1)3 k-1=2^{m}=2^{2 n+1}
et on a :
{:[2^(2n)*3k-=1,(mod5),n" impair "],[2^(2n+5)*3k-=1,(mod5),n" pair "]:}\begin{array}{lll}
2^{2 n} \cdot 3 k \equiv 1 & (\bmod 5) & n \text { impair } \\
2^{2 n+5} \cdot 3 k \equiv 1 & (\bmod 5) & n \text { pair }
\end{array}
Le lemme est donc démontré.
4. Nous allons démontrer la propriété en vue d'abord pour le cas d'un nombre de la forme :
4. Nous allons démontrer la propriété en vue d'abord pour le cas d'un nombre de la forme :
2 A
(A impair !=3^(p)\neq 3^{p} ).
Nous divisons la démonstration en trois parties.
I. Un nombre de la forme:
Nous divisons la démonstration en trois parties.
I. Un nombre de la forme:
2p2 p
p étant premier > 3>3 ne peut pas être indicateur de n'importe quel ordre.
De l'équation:
De l'équation:
varphi(N)=2p\varphi(\mathrm{N})=2 p
on déduit:
N=2q^(m)\mathrm{N}=2 q^{m}
( qq premier)
d'où:
d'où:
varphi(2q^(m))=q^(m-1)(q-1)=2p\varphi\left(2 q^{m}\right)=q^{m-1}(q-1)=2 p
donc:
1^(0).quad m=2,quad q=p=3quad1^{0} . \quad m=2, \quad q=p=3 \quad impossible par hypothèse.
2^(@).quad m=1,quad q=2p+1=p_(1)2^{\circ} . \quad m=1, \quad q=2 p+1=p_{1}.
Si p_(1)p_{1} n'est pas premier, 2p2 p ne peut pas être indicateur. Dans le cas contraire :
1^(0).quad m=2,quad q=p=3quad1^{0} . \quad m=2, \quad q=p=3 \quad impossible par hypothèse.
2^(@).quad m=1,quad q=2p+1=p_(1)2^{\circ} . \quad m=1, \quad q=2 p+1=p_{1}.
Si p_(1)p_{1} n'est pas premier, 2p2 p ne peut pas être indicateur. Dans le cas contraire :
varphi(2p_(1))=2p\varphi\left(2 p_{1}\right)=2 p
Si p_(2)=2p_(1)+1p_{2}=2 p_{1}+1 n'est pas premier, 2p_(1)2 p_{1} ne peut pas être indicateur donc 2p2 p peut pas être indicateur d'ordre 2 . Dans le cas contraire.
varphi_(2)(2p_(2))=varphi_(1)(2p_(1))=2p\varphi_{2}\left(2 p_{2}\right)=\varphi_{1}\left(2 p_{1}\right)=2 p
On voit finalement que pour que 2p2 p soit un indicateur d'ordre ii et non pas d'ordre i+1i+1 il faut que les nombres:
p_(1)=2p+1,quadp_(2)=2p_(1)+1,dotsquadp_(i)=2p_(i-1)+1p_{1}=2 p+1, \quad p_{2}=2 p_{1}+1, \ldots \quad p_{i}=2 p_{i-1}+1
soient premiers et que 2p_(i)+12 p_{i}+1 ne soit pas premier. La propriété en vue résulte alors du lemme démontré.
II. Un nombre de la forme:
II. Un nombre de la forme:
{:(a>1)2p^(ℓ):}\begin{equation*}
2 p^{\ell} \tag{a>1}
\end{equation*}
pp étant premier > 3>3 ne peut pas être indicateur de n'importe quel ordre.
L'équation :
varphi(N)=2p^(alpha)\varphi(\mathrm{N})=2 p^{\alpha}
donne encore:
N=2q^(''')\mathrm{N}=2 q^{\prime \prime \prime}
(q premier)
et:
et:
q^(m-1)(q-1)=2p^(e)q^{m-1}(q-1)=2 p^{e}
donc.
1^(0)m=a+1,quad q=p=31^{0} m=a+1, \quad q=p=3 impossible par hypothèse.
2^(0)quad m=1,quad q=2p^('')+1=p_(1)2^{0} \quad m=1, \quad q=2 p^{\prime \prime}+1=p_{1}.
Si p_(1)p_{1} n'est pas premier, 2p^(alpha)2 p^{\alpha} ne peut être indicateur. Dans le cas contraire:
1^(0)m=a+1,quad q=p=31^{0} m=a+1, \quad q=p=3 impossible par hypothèse.
2^(0)quad m=1,quad q=2p^('')+1=p_(1)2^{0} \quad m=1, \quad q=2 p^{\prime \prime}+1=p_{1}.
Si p_(1)p_{1} n'est pas premier, 2p^(alpha)2 p^{\alpha} ne peut être indicateur. Dans le cas contraire:
f(2p_(1))=2p^(a)f\left(2 p_{1}\right)=2 p^{a}
et le nombre 2p_(1)2 p_{1} est d'une forme déjà étudiée. La propriété II résulte alors de la propriété I.
III Un nombre de la forme:
2p_(1)^(u_(1))-p_(2)^(u_(2))cdotsp_(v)^(u_(v))quad(p_(1) < p_(2) < dots < p_(v),v > 1)2 p_{1}^{u_{1}}-p_{2}^{u_{2}} \cdots p_{v}^{u_{v}} \quad\left(p_{1}<p_{2}<\ldots<p_{v}, v>1\right)
p_(1),p_(2),dotsp_(0)p_{1}, p_{2}, \ldots p_{0} étant premiers, ne peut pas être indicateur de n'importe quel ordre.
On doit avoir toujours :
N=2q^(m)\mathrm{N}=2 q^{m}
(car si N contenait plusieurs facteurs premiers impairs, varphi(N)\varphi(\mathrm{N}) serait divisible au moins pur 2^(2)2^{2} ).
On a donc:
q^(m-1)(q-1)=2p_(1)^(alpha_(1))p_(2)^(alpha_(2))dotsp_(v)^(alpha_(n))q^{m-1}(q-1)=2 p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \ldots p_{v}^{\alpha_{n}}
1^(0)1^{0}. il est evident qu'on ne peut jamais avoir q=p_(1),p_(2),dotsq=p_{1}, p_{2}, \ldots on p_(0-1)p_{0-1}.
2^(0)2^{0}.
2^(0)2^{0}.
m=a_(v)+1quad q=p_(v)=2p_(1)^(a_(1))p_(2)^(a_(2))dotsp_(v-1)^(a_(v)-1)+1m=a_{v}+1 \quad q=p_{v}=2 p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \ldots p_{v-1}^{a_{v}-1}+1
Alors ou bien cette égalité n'a pas lieu, on bien on a:
varphi(2p_(v)^(alpha_(v))+1)=2p_(1)^(alpha_(1))p_(2)^(alpha_(2))cdotsp_(v)^(alpha_(v))\varphi\left(2 p_{v}^{\alpha_{v}}+1\right)=2 p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{v}^{\alpha_{v}}
et le nombre 2p_(v)^(alpha_(v)+1)2 p_{v}^{\alpha_{v}+1} est d'une forme déjà étudiée. La propriété III résulte de la propriété II.
3^(0)3^{0}.
3^(0)3^{0}.
m=1,quad4=2p_(1)^(alpha_(1))p_(2)^(alpha_(2))dotsp_(v)^(alpha_(v))+1=p^(')m=1, \quad 4=2 p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \ldots p_{v}^{\alpha_{v}}+1=p^{\prime}
Si p^(')p^{\prime} n'est pas premier l'égalité est impossible. Dans le cas contraire:
varphi(2p^('))=2p_(1)^(alpha_(1))p_(2)^(alpha_(2))cdotsp_(v)^(alpha_(v))\varphi\left(2 p^{\prime}\right)=2 p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{v}^{\alpha_{v}}
et la propriété III résulte alors de la propriété 1.
Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
Un nombre de la forme:
A étant impair non puissance de 3, ne peut pas être indicateur de n'importe quel ordre.
5. Nous allons montrer maintenant que les nombres :
5. Nous allons montrer maintenant que les nombres :
2^(a)Aquad(" A impair "!=3^(3))2^{a} \mathrm{~A} \quad\left(\text { A impair } \neq 3^{3}\right)
jouissent de la même propriété. La proposition a été démontrée pour a=1a=1. il suffit donc de prouver qu'elle reste vraie pour a=ka=k en la suposant vraie pour u=1,2,dots k-1u=1,2, \ldots k-1. Nous décomposons la démonstration comme tout à l'heure pour le cas a=1a=1.
IV. Un nombre de la forme:
IV. Un nombre de la forme:
2^(k)p2^{k} p
(p premier >3)
ne peut pas être indicateur de n'importe quel ordre.
L'équation:
ne peut pas être indicateur de n'importe quel ordre.
L'équation:
varphi(N)=2^(k)p\varphi(\mathrm{N})=2^{k} p
nous donne:
(6)
(6)
N=2^(i)p^(j)q_(1)q_(2)dotsq_(1)\mathrm{N}=2^{i} p^{j} q_{1} q_{2} \ldots q_{1}
( q_(1),q_(2),dotsq_(r)q_{1}, q_{2}, \ldots q_{r} premiers !=p\neq p ) et distincts autre eux
d'oìu :
d'oìu :
{:[q(N)=2^(i-1)p^(j-1)(p-1)(q_(1)-1)(q_(2)-1)dots(q_(r)-1),j!=0],[p(N)=2^(i-1)(q_(1)-1)(q_(2)-1)dots(q_(r)-1),j=0]:}\begin{array}{ll}
q(\mathrm{~N})=2^{i-1} p^{j-1}(p-1)\left(q_{1}-1\right)\left(q_{2}-1\right) \ldots\left(q_{r}-1\right) & j \neq 0 \\
p(\mathrm{~N})=2^{i-1}\left(q_{1}-1\right)\left(q_{2}-1\right) \ldots\left(q_{r}-1\right) & j=0
\end{array}
et il faut que:
(8)
(8)
{:[p=2^(n)+1],[q_(1)=2^(n_(1))p^(n_(1)^('))+1],[q_(2)=2^(n_(2))p^(n_(2)^('))+1],[***],[q_(r)=2^(n*)p^(n_(1)^('))+1]:}\begin{aligned}
& p=2^{n}+1 \\
& q_{1}=2^{n_{1}} p^{n_{1}^{\prime}}+1 \\
& q_{2}=2^{n_{2}} p^{n_{2}^{\prime}}+1 \\
& \cdot \cdot \cdot \\
& q_{r}=2^{n \cdot} p^{n_{1}^{\prime}}+1
\end{aligned}
1^('')1^{\prime \prime}. Si j!=0j \neq 0 on a:
{:[i-1+n+n_(1)+n_(2)+dots+n_(r)=k],[j-1+n_(1)^(')+n_(2)^(')+dots+n_(r)^(')=1]:}\begin{aligned}
& i-1+n+n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{r}=k \\
& j-1+n_{1}^{\prime}+n_{2}^{\prime}+\ldots+n_{r}^{\prime}=1
\end{aligned}
On ne peut pas avoir i > ki>k. Si i < ki<k le nombre N obtenu entre dans le cas a < ka<k pour lequel la propriété est vraie par hypothèse. Si i < ki<k, on doit avoir:
n=1,quadn_(1)+n_(2)+dots+n_(r)=0quad(n_(1)=n_(2)=dots=n_(r)=0)n=1, \quad n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{r}=0 \quad\left(n_{1}=n_{2}=\ldots=n_{r}=0\right)
c'est-à-dire N=2^(k)p^(2)N=2^{k} p^{2} et p=3p=3 qui est exclu par hypothèse.
20. Si j=0j=0 on a:
20. Si j=0j=0 on a:
{:[i-1+n_(1)+n_(2)+dots+n_(r)=k],[n_(2)^(')+n_(2)^(')+dots+n_(r)^(')=1]:}\begin{gathered}
i-1+n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{r}=k \\
n_{2}^{\prime}+n_{2}^{\prime}+\ldots+n_{r}^{\prime}=1
\end{gathered}
et le seul cas qui doit être étudié, est i=ki=k, alors:
{:[n_(1)=1","quad hat(n_(2))+dots+n_(r)=0","quad r=1],[n_(1)^(')=1]:}\begin{gathered}
n_{1}=1, \quad \hat{n_{2}}+\ldots+n_{r}=0, \quad r=1 \\
n_{1}^{\prime}=1
\end{gathered}
et :
varphi(2^(h)(2p+1))=2^(h)p\varphi\left(2^{h}(2 p+1)\right)=2^{h} p
Si p_(1)=2p+1p_{1}=2 p+1 n'est pas premier l'égalité est impossible. Dans le cas contraire 2^(k)(2p+1)=2^(k)p_(1)2^{k}(2 p+1)=2^{k} p_{1} est de même forme que 2^(k)p2^{k} p. On voit facilement que tout revient à montrer que la suite:
p_(1)=2p-1,quadp_(2)=2p_(1)+1,quadp_(3)=2p_(2)+1,dotsp_{1}=2 p-1, \quad p_{2}=2 p_{1}+1, \quad p_{3}=2 p_{2}+1, \ldots
contient au moins un nombre non premier, ce qui résulte du lemme démontré.
V. Un nombre de la forme:
V. Un nombre de la forme:
2^(h)p^(beta)quad(p" premier " > 3,beta > 3)2^{h} p^{\beta} \quad(p \text { premier }>3, \beta>3)
ne peut pas être indicateur de n'inporte quel ordre.
Nous avons toujours la forme (6) de N avec j=0,1,2,dots beta+1j=0,1,2, \ldots \beta+1. Nous écrirons donc les rélations (7) et (8).
1^(@)1^{\circ}. Si j!=0j \neq 0, on a:
Nous avons toujours la forme (6) de N avec j=0,1,2,dots beta+1j=0,1,2, \ldots \beta+1. Nous écrirons donc les rélations (7) et (8).
1^(@)1^{\circ}. Si j!=0j \neq 0, on a:
{:[i-1+n+n_(1)+dots+n_(r)=k],[j-1+n_(1)^(')+n_(2)^(')+dots+n_(r)^(')=beta.]:}\begin{aligned}
& i-1+n+n_{1}+\ldots+n_{r}=k \\
& j-1+n_{1}^{\prime}+n_{2}^{\prime}+\ldots+n_{r}^{\prime}=\beta .
\end{aligned}
On voit encore que le cas i > ki>k est impossible et que i < ki<k se réduit a un cas supposé démontré. Il reste donc i=ki=k comme dernier cas possible. Mais dans ce cas n=1n=1 et p=3p=3, ce qui est par hypothèse impossible.
2^(0)2^{0}. Si j=0j=0. Le seul cas a considérer est i=ki=k, alors :
2^(0)2^{0}. Si j=0j=0. Le seul cas a considérer est i=ki=k, alors :
{:[n_(1)=1","quadn_(2)+n_(3)+dots+n_(r)=0","quad r=1],[n_(1)^(')=beta]:}\begin{gathered}
n_{1}=1, \quad n_{2}+n_{3}+\ldots+n_{r}=0, \quad r=1 \\
n_{1}^{\prime}=\beta
\end{gathered}
et:
N=2^(k)(2p^(alpha)+1)\mathrm{N}=2^{k}\left(2 p^{\alpha}+1\right)
en supposant bien entendu que 2p^(c)+12 p^{c}+1 est premier. Mais le nombre 2^(h)(2p^(c)+1)2^{h}\left(2 p^{c}+1\right) pris comme indicateur a été déjà étudié et la propriété V résulte de la propriété IV.
Enfin nous devons démontrer encore que:
VI. Un nombre de la forme:
VI. Un nombre de la forme:
2^(h)p_(1)^(alpha_(1))p_(2)^(alpha_(2))cdotsp_(v)^(alpha_(v))quad(p_(1),p_(2),dotsp_(v)" premiers, "v > 1)2^{h} p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{v}^{\alpha_{v}} \quad\left(p_{1}, p_{2}, \ldots p_{v} \text { premiers, } v>1\right)
ne peut pas être indicateur de n'importe quel ordre.
On doit avoir :
N=2^(i)p_(1)^(j_(1))p_(2)^(j_(2))dotsp_(v)^(j_(v))q_(1)q_(1)dotsq_(,)quad([q_(1)","q_(2)","dotsq_(,)"premiers distincts "],[" et distincts de "p_(1)","p_(2)","dotsp_(v)],[j_(2)=0","1","dotsa_(lambda)+1","lambda=1","2","dots v])\mathrm{N}=2^{i} p_{1}^{j_{1}} p_{2}^{j_{2}} \ldots p_{v}^{j_{v}} q_{1} q_{1} \ldots q_{,} \quad\left(\begin{array}{l}
q_{1}, q_{2}, \ldots q_{,} \text {premiers distincts } \\
\text { et distincts de } p_{1}, p_{2}, \ldots p_{v} \\
j_{2}=0,1, \ldots a_{\lambda}+1, \lambda=1,2, \ldots v
\end{array}\right)
et on obtient:
{:[p(N)=2^(i-1)p_(s)^(j_(s)-1)p_(s+1)^(j_(s+1)-1)dotsp_(v)^(j_(v)-1)(p_(s)-1)(p_(s+1)-1)dots(p_(v)-1)],[(q_(1)-1)(q_(2)-1)dots(q_(v)-1)],[(j_(1)=j_(2)=dots=j_(s-1)=0,j_(s)=j_(s+1),dots j!=0:}],[p(N)=2^(i-1)(q_(1)-1)(q_(2)-1)dots(q_(1)-1)quad(j_(1)=j_(2)=dots=j_(v)=0).]:}\begin{array}{r}
p(\mathrm{~N})=2^{i-1} p_{s}^{j_{s}-1} p_{s+1}^{j_{s+1}-1} \ldots p_{v}^{j_{v}-1}\left(p_{s}-1\right)\left(p_{s+1}-1\right) \ldots\left(p_{v}-1\right) \\
\left(q_{1}-1\right)\left(q_{2}-1\right) \ldots\left(q_{v}-1\right) \\
\left(j_{1}=j_{2}=\ldots=j_{s-1}=0, j_{s}=j_{s+1}, \ldots j \neq 0\right. \\
p(\mathrm{~N})=2^{i-1}\left(q_{1}-1\right)\left(q_{2}-1\right) \ldots\left(q_{1}-1\right) \quad\left(j_{1}=j_{2}=\ldots=j_{v}=0\right) .
\end{array}
Pour satisfaire à ces égalités il faut supposer que:
{:[p_(mu)=2^(m_(mu))B_(mu)+1],[q_(mu)=2^(n_(mu))B_(mu)^(')+1]:}\begin{aligned}
& p_{\mu}=2^{m_{\mu}} \mathrm{B}_{\mu}+1 \\
& q_{\mu}=2^{n_{\mu}} \mathrm{B}_{\mu}^{\prime}+1
\end{aligned}
pour tous les p_(mu)p_{\mu} qui interviennent dans N comme facteurs, et pour q_(mu),mu=1q_{\mu}, \mu=1, 2,dots r,B_(u),B_(u)^(')2, \ldots r, \mathrm{~B}_{u}, \mathrm{~B}_{u}^{\prime} sont des nombres de la forme:
p_(v_(1))^(n_(1)^('))p_(v_(2))^(n_(2)^('))dotsq_(v_(s))^(n_(s)^('))p_{v_{1}}^{n_{1}^{\prime}} p_{v_{2}}^{n_{2}^{\prime}} \ldots q_{v_{s}}^{n_{s}^{\prime}}
v_(1),v_(2),dotsv_(s)v_{1}, v_{2}, \ldots v_{s} étant ss nombres de la suite 1,2,dots nu1,2, \ldots \nu.
1^('')1^{\prime \prime}. Si j_(1)=j_(2)=dots=j_(s-1)=0,j_(s)!=0,j_(s+1)!=0,dotsj_(v)!=0j_{1}=j_{2}=\ldots=j_{s-1}=0, j_{s} \neq 0, j_{s+1} \neq 0, \ldots j_{v} \neq 0, nous avons :
1^('')1^{\prime \prime}. Si j_(1)=j_(2)=dots=j_(s-1)=0,j_(s)!=0,j_(s+1)!=0,dotsj_(v)!=0j_{1}=j_{2}=\ldots=j_{s-1}=0, j_{s} \neq 0, j_{s+1} \neq 0, \ldots j_{v} \neq 0, nous avons :
i-1+sum_(mu=s)^(v)m_(mu)+sum_(mu=1)^(y)n_(mu)=ki-1+\sum_{\mu=s}^{v} m_{\mu}+\sum_{\mu=1}^{y} n_{\mu}=k
et le seul cas qui demande une étude est i=ki=k. Alors on déduit:
s=v,quadm_(v)=1,quadn_(1)+n_(2)+dots+n_(r)=0s=v, \quad m_{v}=1, \quad n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{r}=0
et:
N=2^(k)P_(v)^(a_(v)+1)\mathrm{N}=2^{k} \mathrm{P}_{v}^{a_{v}+1}
avec:
p_(v)=2p_(1)^(alpha_(1))p_(2)^(alpha_(3))cdotsp_(v-1)^(alpha_(v-1))+1p_{v}=2 p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{3}} \cdots p_{v-1}^{\alpha_{v-1}}+1
Si une telle égalité est possible (en intervertissant au besoin l'ordre des facteurs dans 2^(k)p_(1)^(alpha_(1))p_(2)^(alpha_(2))dotsp_(v)^(alpha_(v))2^{k} p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \ldots p_{v}^{\alpha_{v}} ), le nombre N rentre dans une catégorie déjà étudiée et la propriété v_(1)v_{1} résulte de la propriété V :
2^(0)2^{0}. Si j_(1)=j_(2)=dots=j_(v)=0j_{1}=j_{2}=\ldots=j_{v}=0, nous avons :
2^(0)2^{0}. Si j_(1)=j_(2)=dots=j_(v)=0j_{1}=j_{2}=\ldots=j_{v}=0, nous avons :
i-1+sum_(mu=1)^(x)n_(mu)=ki-1+\sum_{\mu=1}^{x} n_{\mu}=k
done si i=k,r=1i=k, r=1 et n_(1)=1n_{1}=1. Le nombre N est de la forme :
2^(k)q2^{k} q
avec:
q=2p_(1)^(alpha_(1))p_(2)^(alpha_(2))dotsp_(v)^(alpha_(v))+1q=2 p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \ldots p_{v}^{\alpha_{v}}+1
et quand cette égalité est possible on est ramené à la propriété IV.
Nous pouvons donc énoncer :
Théoreme. Un nombre de la forme:
Théoreme. Un nombre de la forme:
{:((k!=0)")"2^(k)A:}\begin{equation*}
2^{k} \mathrm{~A} \tag{$k\neq0$}
\end{equation*}
A étant impair différent d'une puissance de 3 , ne peut pas être indicateur de n'importe quel ordre.
Il résulte que pour un tel nombre on peut déterminer un ii tel que l'équation :
varphi_(i)(N)=2^(k)A\varphi_{i}(\mathrm{~N})=2^{k} \mathrm{~A}
soit possible et la suivante:
varphi_(i+1)(N)=2^(k)A\varphi_{i+1}(\mathrm{~N})=2^{k} \mathrm{~A}
impossible.
La demonstration donnée pour le théoreme ćnoncé peut servir comme procédé de calcul pour le nombre ii.
La demonstration donnée pour le théoreme ćnoncé peut servir comme procédé de calcul pour le nombre ii.
- Nous avons étudié le nombre nn dans un petit travail qui paraîtra prochainement dans la „Gazeta Matematică".