INTRODUCTION.
CHAPITRE I. - Notations et quelques propriétés préliminaires.
CHAPITRE II. - Sur une classe d’équations fonctionnelles à une variable.
CHAPITRE III. - Sur les pseudo-polynomes de deux ou de plusieurs variables.
CHAPITRE IV. - Sur quelques équations fonctionnelles à plusieurs variables indépendantes.
CHAPITRE V. - Sur quelques propriétés fonctionnelles caractérisant les polynomes de deux variables.
BIBLIOGRAPHIE.

Le but de ce travail est de résoudre l’équation fonctionnelle
(l) $\Sigma a_{i_{1}i_{2}\ldots i_{m}}f\left(x_{1}+\alpha_{1i_{1}}h_{1},x_{2}+\alpha_{2i_{2}}h_{2},\ldots,x_{m}+\alpha_{mi_{m}}h_{m}\right)=0$,
où $f\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}\right)$ est la fonction inconnue à $m$ variables. On suppose que l’équation (I) est vérifiée, dans un certain domaine D, quels que soient $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m},h_{1},h_{2},\ldots,h_{m}$. Les $a_{i_{1}i_{2}\ldots i_{m}}$ et les $\alpha_{ii_{j}}$ sont des constantes données et la sommation est étendue aux valeurs $i_{j}=0,1,\ldots,n_{j},j=1,2,\ldots,m$.

Nous avons déjà étudié un cas particulier de l’équation (I), lorsqu’il y a deux variables indépendantes [11] (*).

Dans le cas d’une variable, l’équation peut s’écrire

et est une généralisation de l’équation aux différences, bien connue,

Dans le cas de $m$ variables, l’équation aux différences peut s’écrire

où $\Delta_{h_{j}}^{n_{j}}$ opère sur la variable $x_{j}$.
Remarquons que si la solution $f\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}\right)$, de l’équation (I), admet un nombre suftisant de dérivées partielles, elle doit vérifier un certain système d’équations aux dérivées partielles, homogènes et à coefficients constants. On obtient facilement ces équations en faisant tendre, après des modifications convenables, vers zéro les $h$ dans le premier membre de l’équation. (I).

La solution générale de ce système d’équations aux dérivées partielles est une somme de fonctions de la forme

où les $l$ sont des entiers non-négatifs et A est une fonction arbitraire de $m-r$ variables (on a $r\geq 1$ ).

Nous démontrons que la solution générale de l’équation (I) est de la méme forme, sous des hypothèses beaucoup plus générales. Il en est ainsi si on suppose la fonction mesurable par rapport à chacune des variables. En particulier, il en est ainsi si on suppose la fonction mesurable B.

Nous signalons aussi des équations pour lesquelles on a le même résultat sous la seule hypothèse que la fonction est bornée. En particulier, l’équation (IV) jouit de cette propriété, comme l’a démontré (pour $m=1,2$ ) M. A. Marchaud [8].

Nous avons divisé ce travail en cinq chapitre.
Dans le chap. I nous étudions, avec détails, les propriétés de l’opération exprimée par le premier membre de l’équation (I). Ces sont des propriétés algébriques qui permettent de réduire le problème à la résolution d’une équation de la même forme mais plus
simple [équation (52) du chap. IV]. On peut dire aussi que nous établissons des propriétés algébriques qui permettent de revenir toujours à des équations dans lesquelles les coefficients $a_{i_{1}i_{2}}\ldots i_{m}$ ont des valeurs plus simples (sont d’ailleurs égaux à $\pm 1$ ).

Au chap. II nous faisons une étude complète de l’équation (II), en complétant et en généralisant nos résultats antérieurs [11].

Le chap. III. est consacré à l’étude des pseudo-polynomes de deux ou de plusieurs variables indépendantes. Cette étude préliminaire est nécessaire pour pouvoir bien préciser la forme de la solution générale de l’équation (I).

Le problème de la résolution de l’équation (I) est traité au chap. IV. Nous déterminons complètement toutes les solutions de la forme (V). En particulier, nous établissons des conditions nécessaires et suffisantes pour que, sous les hypothèses signalées, la solution générale de l’équation soit un polynome.

Dans le chap. V nous faisons une application des résultats précédents. Nous démontrons que, sous des hypothèses très générales, toute fonction de deux variables, qui est un psendo-polynome par rapport à deux systèmes d’axes complètement distinctes, se réduit nécessairement à un polynome. Nous possédons également la généralisation de cette propriété pour le cas de $m$ variables, mais notre démonstration est basée sur la théorie des équations que nous appelons de première espèce. Nous avons seulement signalé ces équations, leur étude fera l’objet d’un autre travail et nous domerons alors aussi la généralisation des résultats du chap. V.

1. 1.

   Etant donnée une fonction $f(x)$, d’une variable $x$, nous définissons l’opération $\Delta_{h}^{\left(\alpha_{i}\right)}$ par la formule suivante:
   (1

   Report issue for preceding element

Une telle opération est donc caractérisée par deux suites de constantes: les coefficients (réels) $a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}$ et les pseudopériodes (réelles) $\alpha_{0},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$. Dans les problèmes, que nous exa-
minerons dans ce travail, chacune de ces suites a un caractéré homogèrie; seuls les rapports mutuels de leurs termes interviendent d’une taçón essentielle. Bien entendu, l’opération $\Delta_{h}^{\left(a_{i}\right)}$ n’a de sens que si les coefficients $a_{i}$ ne sont pas tous nuls. D’ailleurs nous supposerons, en général, que tous les $a_{i}$ sont différents de zéro et que les $\alpha_{i}$ sont distincts. Ceci étant, le produit de deux opérations $\Delta_{h}^{\left(\alpha_{i}\right)},\Delta_{h}^{\left(\beta_{i}\right)}$ est encore une opération de nême nature. Si les expressions $\Delta_{h}^{\left(a_{i}\right)}f(x)$ et $\Delta_{h}^{\left(\beta_{i}\right)}f(x)$ contieunent $n+1$ et $m+1$ termes respectivement, l’expression produit $\Delta_{h}^{\left(\beta_{i}\right)}\Delta_{h}^{\left(a_{i}\right)}f(x)$ contient $(n+1)(m+1)$ termes en général, mais ce nombre peut être aussi plus petit. Ce qui est essentiel est que:

Le produit de deux opérations a toujours un sens et cette multiplication est commutative.

Examinons quelques cas particuliers de l’opération (1). I’expression

est une différence d’ordre $n$ de la fonction $f(x)$. Posons $\phi(x)==\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)$ et supposons que $a_{i}=\frac{1}{\phi^{\prime}\left(x_{i}\right)}$; l’opération correspondante nous donne alors l’expression

C’est une généralisation de la différence (2). Cette expression a été étudiée, en particulier, par M. A. Denjoy [5]. Un autre cas particulier important est le cas où $\alpha_{i}=i,i=0,1,\ldots,n$. Nous obtenons l’expression

où il est inutile de faire la restriction $a_{i}\neq 0$ pour tous les $i$.
C’est le cas où les rapports mutuels des pseudo-périodes $\alpha_{i}$ sont rationnels. Enfin, nous considérons aussi des expressions de la forme

où la sommation est étendue à toutes les valeurs $i_{j}=0,1$, $j=1,2,\ldots,n$.

Avant d’aller plus loin, disons, une fois pour toute, que nous parlerons d’ordre, de polynome caractéristique, de réductibilité, … etc. indifféremment de l’opération $\Delta_{h}^{\left(\alpha_{i}\right)}$, de l’expression $\Delta_{h}^{\left(\alpha_{i}\right)}f(x)$, de l’équation $\Delta_{h}^{\left(a_{i}\right)}f(x)=0$,… etc. Le même langage commun sera employé dans le cas de plusieurs variables.
2. Définissons maintenant l’ordre de l’expression (1). Cet ordre est égal au nombre $k$ pour lequel

Si $\sum_{i=0}^{n}a_{i}\neq 0$ l’expression est d’ordre 0 . Si $k=n$ l’expression est d’ordre $n$ et est nécessairement de la forme (3).

Attachons à l’expression (1) le polynome caractéristique du premier type $\mathrm{F}^{*}(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{\alpha_{i}}$. En général ce n’est pas un polynome proprement dit, mais un polynome en $x^{\alpha_{i}}$. L’ordre $k$ est alors çaractérisé par les relations

Par exemple, l’expression (5) est d’ordre $n$.
Deux expressions ayant pour polynomes caractéristiques $\mathrm{F}^{*}(x)$ et $F^{*}\left(x^{p}\right)$, où $p$ est un entier positif, sont équivalentes. Dans le cas de l’expression (4) $\mathrm{F}^{*}(x)$ est effectivement un polynome. En particulier, pour (2) nous avons $\mathrm{F}^{*}(x)=(x-1)^{n}$.

Nous dirons qu’une expression de la forme (1) est une conséquente de (1) si son polynome caractéristique du premier type est de la forme $\phi_{1}(x)F^{*}\left(x^{p_{1}}\right)+\phi_{2}(x)F^{*}\left(x^{p_{2}}\right)+\ldots$ où $p_{1},p_{2},\ldots$ sont des entiers positifs $\phi_{1}(x),\phi_{2}(x),\ldots$ des polynomes en $x$ ou, plus généralement, des combinaisons linéaires de certaines puissances de $x$.

Nous introduisons aussi un polynome caractéristique du second type. Nous pouvons toujours supposer, sans restreindre la généra-
lité, qué dans (1) on a $z_{0}=0$. Appelons alors expressión assbecieè i (1) toute expression de la forme

où $b$ sont les coefficients et les $\beta_{i}$ sont de la forme $r_{1}\alpha_{1}+r_{2}\alpha_{2}+\ldots\ldots+r_{n}\alpha_{n}$, les $r_{i}$ étant des entiers positifs ou nuls. Nous dirons alors que le polynome à $n$ variables $\Sigma bx_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\ldots x_{n}^{r_{n}}$ est le polynome caractéristique, du second type, de l’expression (6). De cette façon, le polynome caractéristique du second type est défini pour toutes les expressions associées à (1). En particulier, l’expression (1) elle-même a pour polynome caractéristique $\mathrm{F}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)=a_{0}+a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n}$. Deux expressions ayant pour polynomes caractéristiques $\mathrm{F}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right),\mathrm{F}\left(x_{1}^{p},x_{2}^{p},\ldots,x_{n}^{p}\right)$ où $p$ est un entier positifs, sont équivalentes. Toute expression (6) dont le polynome caractéristique est de la forme

où $p_{1},p_{2},\ldots$ sont des entiers positifs et $\phi_{1},\phi_{2},\ldots$ des polynomes en $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$, est une conséquente de (1).

Dans l’expression (1) $x$ et $h$ jouent le rôle de variables. Il en résulte que les expressions dont le polynome caractéristique du premier type est de la forme $x^{\beta}F^{*}(x)$ ou celles dont le polynome caractéristique du second type est de la forme $x_{1}^{h}x_{2}^{l}\ldots x_{n}^{l}\mathrm{\penalty 10000\ F}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)$ sont équivalentes à (1).

Cette notion d’expression équivalente est bien claire. Deux expressions équivalentes à une troisième sont équivalentes entre elles. Toute expression équivalente à une conséquente de (1) est encore une conséquente de (1).

La considération des polynomes caractéristiques facilite considérablement notre étude.

Par exemple, l’expression (5), associée à (1), a pour polynome caractéristique $\left(1-x_{1}\right)\left(1-x_{2}\right)\ldots\left(1-x_{n}\right)$.
3. - Nous allons démontrer maintenant que:

T’oute expression (1) a une conséquente de la forme (5).
Posons $p=\left[\frac{n+1}{2}\right]$, en désignant, comme d’habitude, par
[ $\alpha$ ] le plus grand entier compris dans $\alpha$. Soit
$\mathrm{F}_{i}=\mathrm{F}\left(x_{1}^{i},x_{2}^{i},\ldots,x_{n}^{i}\right)-\left(a_{p+1}x_{p+1}+a_{p+2}x_{p+2}+\ldots+a_{n}x_{n}\right)$ si $n$ est pair,
$\mathrm{F}_{i}=\mathrm{F}\left(x_{1}^{i},x_{2}^{i},\ldots,x_{n}^{i}\right)-\left(\frac{a_{p}}{2}x_{p}+a_{p+1}x_{p+1}+\ldots+a_{n}x_{n}\right)$ si $n$ est impair.
On voit alors que l’expression dont le polynome caractéristique est

est une conséquente de (1). Ici C est une constante (non-nulle) égale à $a_{0}a_{1}\ldots a_{p}$ ou $a_{0}a_{1}\ldots a_{p-1}\frac{a_{p}}{2}$, suivant que $n$ est pair ou impair et $V\left(\theta_{1},\theta_{2},\ldots,\theta_{k}\right)$ est le déterminant de Vandermonde des nombres $\theta_{1},\theta_{2},\ldots\theta_{k}$. L’expression dont le polynome caractéristique est $\left[V\left(1,x_{1},x_{2},\ldots,x_{p}\right)\right]^{2}$ est équivalente à la précédente, donc est encore une conséquente de (1). Cette dernière expression est bien de la forme (5). Bien entendu, les $\%$ de ces deux expressions (1) et (5) correspondantes ne sont pas les mêmes. Les a de l’expression obtenue sont $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{p}$ et $\alpha_{i}-\alpha_{j},j=1,2,\ldots,i-1,i=1$, $2,\ldots,p$, chacun pris deux fois.
4. - Nous dirons que l’expression (1) est réductible si on peut trouver une conséquente de la forme (2) (ou une conséquente équivalente à (2)).

L’expression (1) est, en général, réductible. Soit toujours $\mathrm{F}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)$ le polynome caractéristique (du second type) de (1). On peut, en général, trouver $n$ polynomes $A_{i}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)$, $i=1,2,\ldots,n$ tels que l’on ait

$\Phi\left(x_{1}\right)$ étant un polynome ell $x_{1}$ seul. Ceci signifie qu’il existe une conséquente de la forme

qui eat aussi de la forme (4) et a pour polynome caractéristique
du premier type $\Phi\left(x_{1}\right)$. Il est évident qu’une expression est réductible si elle a une conséquente réductible. Au Nr. suivant nous démontrerons que les expressions (4) sont réductibles, notre propriété énoncée est donc démontrée.

On sait, de la théorie de l’élimination, qu’on peut trouver les polynomes $A_{i}$ tels que $\Phi\left(x_{1}\right)$ soit de degré $n!$. L’ordre de l’expression (7) est 0 en général, mais si l’expression (1) est d’ordre $>0$, (7) ext au moins d’ordre $n$, ce qui résulte immédiatement du fait que les coefficients $a_{i}^{\prime}$ ne dépendent pas des nombres $\alpha_{i}$. On peut d’ailleurs voir facilement que si l’expression (1) est d’ordre $>0$, le polynome $\Phi\left(x_{1}\right)$ est de la forme $\mathrm{C}(x-1)^{n!}$, C étant une constante, la réductibilité est donc démontrée. Dans des cas particuliers l’élimination peut donner un polynome $\Phi\left(x_{1}\right)$ de degré $<n$ !, toujours de la forme $\mathrm{C}(x-1)^{\mu}$ si (1) est d’ordre $>0$, mais ce polynome est au moins de degré $n$, à moins qu’il ne soit nul identiquement. Ces remarques ne s’appliquent pas aux expressions (1) d’ordre 0 .

Il y a des cas d’exceptions oú le raisonnement précédent ne s’applique plus. Il peut, en effet, arriver que le polynome $\boldsymbol{\Phi}\left(x_{1}\right)$ soit nul identiquement. Dans ce cas on est tenté de chercher, tout d’abord, d’autres valeurs pour les entiers positifs $p_{1},p_{2},\ldots,p_{n}$ tel que l’on ait une relation de la forme

mais il résulte de ce qui va suivre que cette égalité n’est pas possible si $\Phi\left(x_{1}\right)$ est nul identiquement.

On peut bien reconnaître si nous sommes dans ce cas exceptionnel par la propriété suivante:

La condition nécessaire et suffisante pour que le polynome $\Phi\left(x_{1}\right)$ soit nul identiquement est qu’on puisse trouver deux égalites de la forme

où $i\geqq 1,j\geqq 1$ et les $\mu_{1},\mu_{2},\ldots,\mu_{i},\nu_{1},\nu_{2},\ldots,\nu_{j}$ sont tous distincts et choisis parmi les nombres 2, 3, . . . , n.

On voit facilement que la condition est suffisante. Montrons qu’elle est aussi nécessaire. Nous allons démontrer cette propriété
par induction complète. Le fait que le polynome $\left.\Phi_{(}^{\prime}x_{1}\right)$ est nul identiquement signifie que le système

a une solution en $x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}$ pour toute valeur de $x_{1}$. Pour qu’il en soit ainsi il suffit évidemment que cette propriété soit vraie pour une infinité de valeurs de $x_{1}$. Remarquons encore qu’il existe alors certainement une solution finie en $x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}$ pour tout $x_{1}$, d’après la forme même des équations (10). Rappelons aussi que nous supposons toujours $\alpha_{i}\neq 0.i=0,1,\ldots,n$.

La propriété est vraie pour $n=2$ (et aussi pour $n=1$ ) puisque dans ce cas $\Phi\left(x_{1}\right)$ ne peut être nul identiquement. Supposons que la propriété soit vraie jusqu’à $n-1$ et démontrons-la pour $n$. Le système (algébrique) (10) nous montre qu’il existe certainement un intervalle $(c,d)$ et des fonctions $x_{2}=x_{2}\left(x_{1}\right),x_{3}=x_{3}\left(x_{1}\right),\ldots$ ..,,$x_{n}=x_{n}\left(x_{1}\right)$ de $x_{1}$, continues et dérivables lorsque $x_{1}$ est dans ( $c,d$ ) et qui vérifie le système pour $c<x<d$. Substituant ces valeurs dans le système (10) et dérivant par rapport à $x_{4}$, on trouve

Ce système doit être compatible en $x^{\prime}{}_{2},x^{\prime}{}_{3},\ldots,x^{\prime}{}_{n}$ et on en déduit que $V\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)=0$ pour $c<x_{1}<d$. Il faut donc que, pour une infinité de valeurs de $x_{1}$, deux au moins des variables $x_{4},x_{2},\ldots,x_{n}$ soient égales. On voit qu’ainsi notre problème est réduit au même problème où $n$ est plus petit. Si on arrive au cas $n=2$, donc $\mathrm{F}\left(x_{1},x_{2}\right)=a_{0}+a_{1}^{\prime}x_{1}+a_{2}^{\prime}x_{2}$ il faut que $a_{1}^{\prime}=0$, $a_{0}+a_{2}^{\prime}=0$ qui sont exactement les conditions (9) et (9’). Il faut toutefois remarquer que si $x_{1}$ est égal à l’une des variables $x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}$ une infinité de fois, il-se peut que le nouveau système (10) soit toujours de la forme (10) où cependant $\alpha_{1}=0$. On voit alors que l’égalité ( 9 ’) est déjà démontrée et il reste à établir l’égalité ( 9 ). Or, cette égalité peut être obtenu très simplement, et indépendamment des considérations précédentes, en remarquant que le système

a une solution en $x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}$. On trouve immédiatement que l’un au moins des nombres $x_{2},x_{3},\ldots.x_{n}$, constituant une solu-
tion, doit être égale à 1. On procède ensuite par induction. La propriété est complètement démontrée.

Si $\Phi\left(x_{1}\right)$ est nul identiquement on peut rechercher l’éliminant en l’une des autres variables $x_{2},x_{j},\ldots,x_{n}$. De plus, on peut prendre comme premier coefficient $a_{0}$ l’un quelconque des autres coefficients $a_{i}$. Il peut, bien entendu, arriver que tous les éliminants ainsi obtenus soient nuls identiquement. Enfin, dans certains cas particuliers, on peut démontrer la réductibilité de l’expression (1) en cherchant un éliminant en $2,3,\ldots,n-1$ variables. Nous n’insistons pas sur ces cas.

Pour $n=3$ l’expression (1) est toujours réductible, sauf si les coefficients sont proportionnels aux nombres $1,1,-1,-1$. Pour $n=4$ l’expression est réductible, sauf si ses coetficients sont proportionnels aux nombres 2, 1, -1, -1, -1. Pour $n=5$ le problème est déjà plus compliqué. Toute expression 1) est réductible dans ce cas, sauf si les coefficients sont proportionnels aux nombres de l’un des groupes suivants

$\lambda$ étant un nombre quelconque. On vérifie que, pour $n=3,4,5$, toute expression d’ordre $n$ est réductible. Donc, pour $n=3,4,5$, nous savons que l’expression (3) est réductible. Il en est ainsi, trés probablement, pour $n$ quelconque. Nous croyons d’ailleurs qu’il existe, pour tout $n$, un nombre $\mathrm{N}(n)<n$ tel que toute expression (1) d’ordre $>N(n)$ est sûrement réductible. La détermination de ce nombre $\mathrm{N}(n)$ est un problème algébrique dont la résolution paraît présenter certaines dificultés.
5. - Il reste à démontrer que l’expression (4) est réductible. Nous avons déjà démontré cette propriété dans notre travail antérieur [11]. Nous allons préciser ici nos résultats.

Démontrons d’abord le lemme suivant:
Si $\mathrm{F}^{*}(1)\neq 0$, il existe une infinité d’entiers positifs $p$ tel que $\mathrm{F}^{*}(x),\mathrm{F}^{*}\left(x^{p}\right)$ soient premiers entre eux.

Ici $\mathrm{F}^{*}(x)$ est le polynome caractéristique du premier type de l’expression (4). Ce polynome est de la forme $\mathrm{F}^{*}(x)=\prod_{i=1}^{n^{\prime}}\left(x-\sigma_{i}\right)^{\mu_{i}}$, où $\sigma_{1},\sigma_{2},\ldots,\sigma_{n^{\prime}}$ sont $n^{\prime}$ nombres distincts (réels ou complexes) et différents de 1 et $\sum_{i=1}^{n^{\prime}}\mu_{i}=n$. Supposons d’abord $\left|\sigma_{i}\right|=1,i=1$, $2,\ldots,n^{\prime}$ et soient $\theta_{1},\theta_{2},\ldots,\theta_{n}$ les arguments, compris entre 0 et $2\pi\left(0<\theta_{i}<2\pi\right)$, des nombres $o_{1},o_{2},\ldots,o_{n^{\prime}}$. Supposons, d’une manière générale, que $\sigma_{1},\sigma_{2},\ldots,\sigma_{j}$ soient des racines primitives de l’unité d’ordres $q_{1},q_{2},\ldots,q_{j}$ respectivement et que les autres $o_{i}$ ne soient pas des racines de l’unité. Si $o_{r}$ et $o_{s}$ ne sont pas tous les deux racines de l’unité on ne peut avoir $p\theta_{r}\equiv\theta_{s}(\bmod 2\pi)$ qu’au plus pour une valeur de $p(>1)$. Si $o_{r}$, os sont tous les deux des racines de l’unité on a $p9_{r}\equiv\theta_{s}(\bmod 2\pi)$ si $p$ est un multiple de $q_{1}q_{2}\ldots q_{j}$. Le lemme en résulte dans ce cas. Il reste à examiner le cas ou les $\sigma_{i}$ sont quelconque $\neq 1$. Ce cas résulte du précédent puisque si $\left|\sigma_{r}\right|,\left|\sigma_{s}\right|$ ne sont pas tous les deux égaux à 1 , on a sûrement $o_{r}^{p}\neq\sigma_{s}$ pour $p$ suffisamment grand.

Considérons maintenant le cas d’un ordre quelconque $k$. On peut écrire $F^{*}(x)=(x-1)^{k}F_{1}^{*}(x)$, où $F_{1}^{*}(1)\neq 0$. On peut donc trouver un entier $p$ tel que $\mathrm{F}_{1}^{*}(x),\mathrm{F}_{1}^{*}\left(x^{p}\right)$ soient premiers entre eux, donc aussi deux polynomes $\phi(x),\psi(x)$ tels que

Nous en déduisons immédiatement qu’il existe deux polynomes $\phi_{1}(x),\psi_{1}(x)$ tels que

et nous pouvons énoncer la propriété suivante:
Toute expression (4), d’ordre $k$, a une conséquente de la forme $\Delta_{h}^{k}f(x)$, d’ordre $k$ et de la forme (2).

La réduction précédente à la forme (5) nous montre que si parmi les nombres $\alpha_{i}$ il y a au moins $\left|\frac{n+1}{2}\right|$ quiont leurs rapports mutuels rationnels, l’expression (1) est réductible. Il en est toujours ainsi si $n=2$, donc toute expression 1) à trois termes est réductible.
6. - Nous pouvons étendre les résultats précédents au cas de plusieurs variables. Etant donnée une fonction $f\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}\right)$
de $m$ variables $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$, l’opération $\Delta_{h_{1},h_{2},\ldots,h_{m}}^{\left(a_{1},a_{2i},\ldots,a_{mi}\right)}$ a le sens suivant

oú la sommation $\Sigma^{*}$ est étendue aux valeurs $i_{1}=0,1,\ldots,n_{1}$, $i_{2}=0,1,\ldots,n_{2},\ldots,i_{m}=0,1,\ldots,n_{m}$. Pour abréger l’écriture, nous poserons souvent $f\left(\ldots,\xi_{j},\ldots\right)$ au lieu de $f\left(\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{m}\right)$. Une telle opération est caractérisée par la suite (multiple) des coefficients (réels) $a_{i_{1}i_{2}\ldots i_{m}}$ et par $m$ suites de pseudo-périodes (réelles) $\alpha_{j0},\alpha_{j1},\ldots,\alpha_{jn_{j}},j=1,2,\ldots,m$. Chacune de ces suites présente un caractere d’homogenéité. Les $x_{1},x_{2},\ldots,r_{m}$ et les $h_{1},h_{2},\ldots,h_{m}$ sont des variables, ce qui précise l’équivalence de deux opérations. Il est encore avantageux de considérer une opération comme ayant un sens seulement si les coefficients ne sont pas tous nuls. On a alors la propriété :

Le produit de deux opérations a toujours un sens, est encore une opération de la même nature et cette multiplication est commutative.

Cette propriété a d’ailleurs lieu non seulement pour les opérations qui opèrent sur toutes les variables mais aussi pour celles qui opèrent sur certaines de ces variables.

Quand nous considérons l’expression générale (11) nous pouvons supposer que $\alpha_{10}=\alpha_{20}=\ldots=\alpha_{m0}$ et que $\alpha_{jr}\neq\alpha_{js},r\neq s,j=1$, $2,\ldots,m$. En ce qui concerne les coefficients, nous pouvons supposer que l’on ait

Examinons quelques cas particuliers. L’expression

est une différence d’ordre ( $n_{1},n_{2},\ldots,n_{m}$ ) de la fonction $f\left(\ldots,x_{j},\ldots\right)$. On obtient un cas plus général en considérant des opérations de la forme $\Delta_{h_{1}}^{\left(a_{1i}\right)}\Delta_{h_{2}}^{\left(\alpha_{2i}\right)}\ldots\Delta_{h_{m}}^{\left(\alpha_{mi}\right)}$, où $\Delta_{h_{j}}^{\left(a_{ji}\right)}$ opère sur la variable $x_{j}$.

Posons $\phi_{j}(x)=\left(x-\alpha_{j0}\right)\left(x-x_{j1}\right)\ldots\left(x-x_{jn}\right)$, nous avons l’expression

qui est de cette forme. Une autre expression de cette forme, que nous utiliserons plus loin, est

où $\delta_{h_{j}}^{\left(a_{ji}\right)}$ est l’opération (5), opérant sur la variable $x_{j}\left(h=h_{j},n=n_{j}\right)$. Enfin, si $\alpha_{ji}=i,i=0,1,\ldots,n_{j},j=1,2,\ldots,m$, nous avons l’expression

où il est maintenant inutile de faire les restrictions (12).
7. - Définissons et précisons maintenant l’ordre d’une expression (11). Cet ordre est $\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{m}\right)$ où $k_{j}$ est le minimum des ordres des expressions

De cette façon, chaque variable $x_{j}$ contribue par un nombre $k_{j}$ à la définition de l’ordre. Nous dirons aussi que l’expression a l’ordre simple $\left[k_{j}-1\right]_{j}$ par rapport à $x_{j}$.

Séparons les variables $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ en deux groupes $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{r}};x_{j_{r+1}},\ldots,x_{j_{m}},j_{1}<j_{2}<\ldots<j_{r};j_{r+1}<j_{r+2}<\ldots<j_{m}$.
Nous employerons des séparations analogues dans la suite. Pour simplifier l’écriture posons $n_{s}^{\prime}$ pour $n_{j_{s}}$ et $i_{s}^{\prime}$ pour $i_{j_{s}}$. Introduisons alors les notations suivantes ( ¹ )
$\left.\gamma_{i_{1}^{\prime}i_{2}^{\prime}\ldots i_{r}^{\prime}}^{\left(v_{r+1},v_{r+2}\right.},\ldots,v_{m}\right)=\sum_{i^{\prime}{}_{r+1}=0}^{n_{r+1}^{\prime}}\sum_{i^{\prime}{}_{r+2}=0}^{n^{\prime}r+2}\sum_{i^{\prime}m=0}^{n^{\prime}m}a_{i_{1}i_{m}\ldots i_{m}}\alpha_{j_{r+1}i_{r+1}^{\prime}}^{v_{r+1}}\alpha_{j_{r+2}i_{r+2}}^{v_{r+2}}\ldots\alpha_{j_{m}i_{m}}^{v_{m}}$
(’) Pour $r=0$ nous avons les nombres $\gamma^{\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{m}\right)\text{. }}$

Le nombre $k_{1}$ de l’ordre est alors caractérisé par les relations

Ces relations définissent done l’ordre simple $\left[k_{1}-1\right]_{1}$. Nous allons maintenant introduire d’autres ordres, doubles, triples, . . . multiples qui caractérisent l’expression (11).

Nous dirons que $\left[k_{1}^{\prime},k_{2}^{\prime}\right]_{1,2}$ est un ordre double (relatif aux variables $x_{1},x_{2}$ ) de l’expression (11) si $k_{1}^{\prime}\geq k_{1},k_{2}^{\prime}\geq k_{2}$ et si
(17) $\gamma_{i_{3}i_{4}\ldots i_{m}}^{\left(v_{1},v_{2}\right)}=0,v_{1}=0,1,\ldots,k_{1}^{\prime},v_{2}=0,1,\ldots,k_{2}^{\prime},0\leqq i_{j}\leqq n_{j},j=3,4,\ldots,m$
$\sum_{i_{3}=0}^{n_{3}}\sum_{i_{4}=0}^{n_{4}}\ldots\sum_{i_{m}=0}^{n_{m}}\left|\gamma_{i_{3}}^{\left(k^{\prime}i_{4}+1,k^{\prime}{}_{2}\right)}\right|\neq 0,\sum_{i_{5}=0}^{n_{8}}\sum_{i_{4}=0}^{n_{4}}\ldots\sum_{i_{m}=0}^{n_{m}}\left|\gamma_{i_{3}i_{4},\ldots i_{m}}^{\left(k_{1}^{\prime},k^{\prime},i_{m}\right)}\right|\neq 0$.
Il est inutile de considérer le cas $k_{1}^{\prime}<k_{1}$ ou le cas $k_{2}^{\prime}<k_{2}$, puisque

et l’égalité (17) est alors une conséquence de la définition de l’ordre.

On détermine les ordres doubles de la maniére suivante. Soit $k_{1}^{\prime}\left(\geqq k_{1}\right)$ donné et considérons les expressions

en convenant de poser, ici et dans la suite, $\xi_{s}=x_{s}+\alpha_{si}h_{s}$. Chacune de ces expressions a un ordre simple, soit $\left[s^{\left(p_{1}\right)}\right]_{2}$, par rapport à $x_{2}$. Le minimum du nombre $s^{\left(v_{1}\right)}$ est le nombre $k_{2}^{\prime}$. On voit, en effet, que la définition du nombre $k_{2}^{\prime}$ est identique à la définition (17. On en déduit aussi la propriété suivante: