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Traduction en anglais du titre
On the differences of functions of a real variable
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T. Popoviciu, Sur les diffèrences des fonctions d’une variable réelle, Comptes Rendus des séances de l’Académie des Sciences de Roumanie, 2 (1938) no. 2, pp. 112-114 (in Romanian).
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28. Sur LES DIFFERENCES DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
par TIBERIU POPOVICIU
Présentée par Miron Nicolesco, Mc. A. S. R.
(Séance du + juin 1937).
- Nous considérons des fonctions réelles, de la variable réelle xx, définies et uniformes dans un intervalle fini et fermé qu'on peut supposer être ( 0,1 ). Posons, comme d'habitude,
Delta_(h)^(n)f(x)=sum_(i=o)^(n)(-I)^(n-i)((i)/(i))//(x+ih),quad x+ih sub(O,I).\Delta_{h}^{n} f(x)=\sum_{i=o}^{n}(-\mathrm{I})^{n-i}\binom{i}{i} /(x+i h), \quad x+i h \subset(\mathrm{O}, \mathrm{I}) .
M. A. Marchaud a démontré ^(1){ }^{1} ) que si f(x)f(x) est bornée et si Delta_(h)^(n)f(x)\Delta_{h}^{n} f(x) tend uniformément vers zéro lorsque h rarr0h \rightarrow 0, la fonction f(x)f(x) est continue dans ( 0,1 ).
Nous avons la propriété plus précise :
Si f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x}) est bornée dans un sous-intervalle, si petit soit-il, et si Delta_(h)^(n)f(x)\Delta_{h}^{n} \mathrm{f}(\mathrm{x}) tend uniformément vers zéro pour hrarr0\mathrm{h} \rightarrow 0, la fonction f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x}) est continue dans ( 0,1 ).
Si f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x}) est bornée dans un sous-intervalle, si petit soit-il, et si Delta_(h)^(n)f(x)\Delta_{h}^{n} \mathrm{f}(\mathrm{x}) tend uniformément vers zéro pour hrarr0\mathrm{h} \rightarrow 0, la fonction f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x}) est continue dans ( 0,1 ).
Il suffit de démontrer que si f(x)f(x) est bornée dans ( c;Ic ; \mathrm{I} ) elle l'est aussi dans (0,1)(0,1). Soit |f(x)| < M,x sub(c,1)|f(x)|<M, x \subset(c, 1) et o < eta < (I-c)/(n-1)o<\eta<\frac{I-c}{n-1} tel que |Delta_(h)^(n)f(x)| < M\left|\Delta_{h}^{n} f(x)\right|<\mathrm{M} pour |h| < eta|h|<\eta. On a |f(x)| < 2^(n)M|f(x)|<2^{n} \mathrm{M} pour x >= c-etax \geqslant c-\eta, d'où on déduit que
|f(x)| < 2^(ns)M,quad x sub(0,1),quad s > (c)/( eta).|f(x)|<2^{n s} \mathrm{M}, \quad x \subset(0,1), \quad s>\frac{c}{\eta} .
Nous allons démontrer maintenant que le théorème de M. A. Marchaud s'étend aux fonctions mesurables :
Si f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x}) est mesurable dans (O,I)(\mathrm{O}, \mathrm{I}) et si Delta_(h)^(n)f(x)\Delta_{h}^{n} \mathrm{f}(\mathrm{x}) tend uniformément vers zéro pour hrarr0\mathrm{h} \rightarrow 0, la fonction f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x}) est continue dans (0,I)(0, \mathrm{I}).
En effet, si f(x)f(x) n'est pas bornée, elle ne l'est pas non plus dans l'intervalle (0,(I)/(2))\left(0, \frac{I}{2}\right). Soit 0 < eta < (I)/(2n)0<\eta<\frac{I}{2 n} tel que |Delta_(h)^(n)f(x)| < I\left|\Delta_{h}^{n} f(x)\right|<I pour |h| <= eta|h| \leqslant \eta. Étant donné un nombre A > 0\mathrm{A}>0, il existe un xi sub(0,(1)/(2))\xi \subset\left(0, \frac{1}{2}\right) tel que |f(xi)| > I+(2^(n)-I)|f(\xi)|>\mathrm{I}+\left(2^{n}-\mathrm{I}\right) A. Mais on a |Delta_(h)^(n)f(xi)| < I\left|\Delta_{h}^{n} f(\xi)\right|<\mathrm{I} pour (n-I)/(h)eta < h < eta\frac{n-\mathrm{I}}{h} \eta<h<\eta,
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donc |f(xi+ih)| >|f(\xi+i h)|>. A pour au moins un i,i <= i <= ni, i \leqslant i \leqslant n. On en déduit que 1'ensemble E ||f(x)| > A|||f(x)|>\mathrm{A}| est de mesure >= (eta )/(n)\geqslant \frac{\eta}{n}. Le nombre A étant quelconque, c'est en contradiction avec un théorème de M. E. B o r e 1 sur les fonctions mesurables. La propriété énoncée en résulte. Le cas de 1'équation Delta_(h)^(n)f(x)=O\Delta_{h}^{n} f(x)=\mathrm{O} a été étudié par M. W. Sierpinski {:(n=2)^(1))\left.(n=2)^{1}\right) et par nous-mêmes {:(n > 2)^(3))\left.(n>2)^{3}\right).
2. Considérons l'expression plus générale ^(3){ }^{3} ).
(1)
donc |f(xi+ih)| >|f(\xi+i h)|>. A pour au moins un i,i <= i <= ni, i \leqslant i \leqslant n. On en déduit que 1'ensemble E ||f(x)| > A|||f(x)|>\mathrm{A}| est de mesure >= (eta )/(n)\geqslant \frac{\eta}{n}. Le nombre A étant quelconque, c'est en contradiction avec un théorème de M. E. B o r e 1 sur les fonctions mesurables. La propriété énoncée en résulte. Le cas de 1'équation Delta_(h)^(n)f(x)=O\Delta_{h}^{n} f(x)=\mathrm{O} a été étudié par M. W. Sierpinski {:(n=2)^(1))\left.(n=2)^{1}\right) et par nous-mêmes {:(n > 2)^(3))\left.(n>2)^{3}\right).
2. Considérons l'expression plus générale ^(3){ }^{3} ).
(1)
Delta_(h)^((n))f(x)=sum_(i=o)^(n)a_(i)f(x+ih)\Delta_{h}^{(n)} f(x)=\sum_{i=o}^{n} a_{i} f(x+i h)
les a_(i)a_{i} étant des constantes données. Cette expression est d'ordre k si sum_(i=o)^(n)a_(i)i^(j)=0,j=0,I,dots,k-I,sum_(i=o)^(n)a_(i)i^(k)!=0\sum_{i=o}^{n} a_{i} i^{j}=0, j=0, \mathrm{I}, \ldots, k-\mathrm{I}, \sum_{i=o}^{n} a_{i} i^{k} \neq 0, donc si le polynôme F(x)=sum_(i=o)^(n)a_(i)x^(i)\mathrm{F}(x)=\sum_{i=o}^{n} a_{i} x^{i} a la racine I d'ordre kk de multiplicité. Dans ce cas on peut déterminer un entier positif pp et deux polynômes varphi(x),psi(x)\varphi(x), \psi(x), de manière que l'on ait ^(4){ }^{4} ) :
varphi(x)F(x)+psi(lambda)F(x^(P))-=(I-lambda^(P))^(k).\varphi(x) \mathrm{F}(x)+\psi(\lambda) \mathrm{F}\left(x^{\mathrm{P}}\right) \equiv\left(\mathrm{I}-\lambda^{\mathrm{P}}\right)^{k} .
I1 en résulte qu'on a une relation de la forme
{:(2)Delta_(ph)^(k)f(x)=sum_(i=o)^(pn-h-i)alpha_(i)Delta_(h)^((n))f(x+ih)+sum_(i=o)^(n-k-i)beta_(i)Delta_(ph)^((v))f(x+ih)",":}\begin{equation*}
\Delta_{p h}^{k} f(x)=\sum_{i=o}^{p n-h-i} \alpha_{i} \Delta_{h}^{(n)} f(x+i h)+\sum_{i=o}^{n-k-i} \beta_{i} \Delta_{p h}^{(v)} f(x+i h), \tag{2}
\end{equation*}
les alpha_(i),beta_(i)\alpha_{i}, \beta_{i} étant des constantes indépendantes de x,hx, h et de la fonction f(x)f(x).
On voit que les propriétés du Nr. I restent vraies pour 1'expression (1). En particulier, si sum_(i=o)^(n)a_(i)=0\sum_{i=o}^{n} a_{i}=0 et si (1) tend uniformément vers zéro, la fonction f(x)f(x) est nulle identiquement dans ( 0,I0, \mathrm{I} ). Si
- W. Sierpinski: Sur les fonctions convexes mesurables. Fund. Math. t. I (1920), p. 125-129). M. W. Sierpinski a démontré aussi ce théorème sans utiliser 1'axiome de Zermelo, voir: Sur l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y) id. p. 116-122.
- T. Popoviciu: Sur quelques propriétés des fonctions d'une ou de deux variables réelles. Mathematica t. VIII (1934) p. I— 85.
- T. Pcpoviciu: Sur certaines équations fonctionnelles définissant des polynômes". Mathematica t. X, (1934), p. 197-211.
- Nous donnerons la démonstration dans un travail qui paraîtra dans le t. XIV de la revue „Mathematica".
sum_(i=o)^(n)a_(i)=0,sum_(i=o)^(n)a_(i)i=0\sum_{i=o}^{n} a_{i}=0, \sum_{i=o}^{n} a_{i} i=0 et si (1) tend vers zéro pour tout xx, la fonction est continue dans (0,1)(0,1). - M. A. Marchaud a également démontré que si f(x)f(x) est bornée et si le rapport h^(-h)Delta_(h)^(h)f(x)h^{-h} \Delta_{h}^{h} f(x) tend uniformément vers une fonction déterminée g(x)g(x), la fonction f(x)f(x) a une dérivée k^(ème)k^{e ̀ m e} continue qui est (évidemment) égale à g(x)g(x). Démontrons que ce théorème est encore vrai pour les fonctions mesurables, donc
Si f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x}) est mesurable et si h^(-k)Delta_(h)^(k)f(x)\mathrm{h}^{-k} \Delta_{h}^{k} \mathrm{f}(\mathrm{x}) tend uniformément vers une fonction g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}), la dérivée k^("ème ")k^{\text {ème }}è de f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x}) existe, est continue et on a f^((k))(x)=g(x)\mathrm{f}^{(k)}(\mathrm{x})=\mathrm{g}(\mathrm{x}) dans (0,I)(0, \mathrm{I}).
En effet, pour tout h,h^(-k)Delta_(h)^(k)f(x)h, h^{-k} \Delta_{h}^{k} f(x) est une fonction mesurable, donc g(x)g(x) l'est aussi. Remarquons que Delta_(2h)^(h)f(x)=sum_(i=o)^(h)((k)/(i))Delta_(h)^(k)f(x+ih)\Delta_{2 h}^{h} f(x)=\sum_{i=o}^{h}\binom{k}{i} \Delta_{h}^{k} f(x+i h), donc
{:[|(I)/(2^(k))sum_(i=o)^(k)((k)/(i))g(x+ih)-g(x)| <= ],[ <= |(Delta_(2h)^(k)f(x))/((2h)^(k))-g(x)|+(I)/(2^(k))sum_(i=o)^(h)((k)/(i))|(Delta_(h)^(h)f(x+ih))/(h^(k))-g(x+ih)|]:}\begin{aligned}
& \left|\frac{\mathrm{I}}{2^{k}} \sum_{i=o}^{k}\binom{k}{i} g(x+i h)-g(x)\right| \leqslant \\
& \leqslant\left|\frac{\Delta_{2 h}^{k} f(x)}{(2 h)^{k}}-g(x)\right|+\frac{\mathrm{I}}{2^{k}} \sum_{i=o}^{h}\binom{k}{i}\left|\frac{\Delta_{h}^{h} f(x+i h)}{h^{k}}-g(x+i h)\right|
\end{aligned}
L'expression d'ordre II,
(I)/(2^(h))sum_(i=o)^(k)((k)/(i))g(x+ih)-g(x),\frac{\mathrm{I}}{2^{h}} \sum_{i=o}^{k}\binom{k}{i} g(x+i h)-g(x),
tend donc (d'ailleurs uniformément) vers zéro. Il en résulte que g(x)g(x) est continue et, par conséquent, bornée dans ( 0,I0, \mathrm{I} ). Alors, Delta_(h)^(h)f(x)\Delta_{h}^{h} f(x) tend uniformément vers zéro, donc f(x)f(x) est aussi continue. La propriété énoncée en résulte.
Si on pose f(x)=x^(h)f(x)=x^{h} dans (2), on trouve
(I)/(p^(k))sum_(i=o)^(pn-k-1)alpha_(i)+sum_(i=o)^(n-k-1)beta_(i)=(k!)/(sum_(i=o)^(k)a_(i)i^(k))\frac{\mathrm{I}}{p^{k}} \sum_{i=o}^{p n-k-1} \alpha_{i}+\sum_{i=o}^{n-k-1} \beta_{i}=\frac{k!}{\sum_{i=o}^{k} a_{i} i^{k}}
et nous déduisons la propriété suivante :
Si f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x}) est mesurable ou si f(x)\mathrm{f}(x) est bornée et si h^(-k)Delta_(h)^((n))f(x)\mathrm{h}^{-k} \Delta_{h}^{(n)} \mathrm{f}(\mathrm{x}) tend uniformément vers une fonction g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}), la fonction f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x}) a une dérivée k^("ème ")\mathrm{k}^{\text {ème }}è continue et on a
Si f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x}) est mesurable ou si f(x)\mathrm{f}(x) est bornée et si h^(-k)Delta_(h)^((n))f(x)\mathrm{h}^{-k} \Delta_{h}^{(n)} \mathrm{f}(\mathrm{x}) tend uniformément vers une fonction g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}), la fonction f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x}) a une dérivée k^("ème ")\mathrm{k}^{\text {ème }}è continue et on a
f^((k))(x)=(k!)/(sum_(i=o)^(n)a_(i)i^(k))g(x),quad x sub(0,I).f^{(k)}(x)=\frac{k!}{\sum_{i=o}^{n} a_{i} i^{k}} g(x), \quad x \subset(0, \mathrm{I}) .
- A. Marchaud: Sur les dérivées et sur les différences des fonctions de variables réelles. Journ, de Math. t. 6 (1927), p. 337-425.