SUR UN THEORÈME DE W. A. MARKOV

par
TIBERIU POPOVICIU

MATHEMATICA

VOLUMUL, 2 (25)
FASCICOLA 2

1960
${}^{\mathrm{C}}\mathrm{L}^{\mathrm{U}}\mathrm{U}\mathrm{J}$

SOCIETA’TEA DE ŞTIIN’PE MATEMATICE ŞI FIZICE DIN R. P. R. FILIALAA CI,UJ

MATHEMATICA

Vol. 2 (25), fasc. 2
1960

à Cluj
W. A markov dans son travail [2] sur la généralisation de la célèbre inégalité de A. A. Markov a donné, comme lemme préliminaire, le théorème suivant:

Si les racines de deux polynomes de degré $n$ , ayant loutes leurs racines réelles, se séparent, il en esl de même pour les racines des dérivées de ces polynomes.

Dans la seconde partie de ce travail nous donnerons une démonstration de ce théorème. Notre démonstration diffère un peu de celle de w. a. markov et aussi de celle de p. monteil [3] donnée, il y a près de 30 ans, dans cette même revue.

Ira démonstration que nous donnons est basée sur la continuité et la monotonie des racines de 1a dérivée d’un polynome ayant toutes ses racines réelles, par rapport aux racines du polynome. Dans 1a première partie de ce travail nous analiserons un peu cette propriété de monotonie.

Enfin, dans la troisième partie de ce travail, nous donnerons un nou. veaux théorème sur les polynomes ayant toutes leurs racines réelles, analogue à celui de W. A. Markov, cité plus haut.

Nous considérons seulement des polynomes d’une variable ayant leurs racines toutes réelles et par le degré d’un polynome nous entendons toujours son degré effectif, même si ces propriétés ne sont pas spécifiées expressément. Les accents désignent des dérivées. Nous pouvons considérer comme égaux deux polynomes qui diffèrent seulement par une constante multiplicative non nulle.

1.

Si un polynome a toutes ses racines réelles, sa dérivée a également ses racines toutes réelles. Il existe une importante propriété, bien connue, de séparation des racines de la dérivée par celles du polynome. Dans la suite nous utiliserons cette propriété.

Les racines d’un polynome dont le plus haut coefficient est égal à 1 (donc de la forme $x^{n}+$ polynome de degré $<n$ ) sont des fonctions continues par rapport aux coefficients du polynome et les coefficients sont des fonctions continues (des polynomes) par rapport aux racines du polynomes. Si nous tenons compte des relations qui existent entre les racines et les coefficients d’un polynome, nous en déduisons la continuité des racines de la dérivée par rapport aux racines du polynome.
2. La propriété de monotonie des racines de la dérivée par rapport aux racines du polynome peut être énoncée de la manière suivante:

Les racines de la dérivée sont des fonctions non-décroissantes des racines du polynome.

Cette propriété est bien connne et a été beancoup utilisée, par exemple par Laguerre dans ses recherches sur les polynomes ayant toutes leurs racines réelles.

Pour mieux mettre en lumière la propriété de monotonie, nous introduisons la relation $P\xrightarrow{c}Q$ entre deux polynomes, qui a lieu si et seulement si:
$1^{0}$ I es polynomes $P,Q$ sont du mêne đegré $n\geqq 1$ .
$2^{\circ}$ Les racines respectives

x_{1}\leqq x_{2}\leqq\ldots\leq x_{n},y_{1}\leq y_{2}\leq\ldots\leq y_{n}

(1)

de ces polynomes vérifient les inégalités

x_{i}\leqq y_{i},i=1,2,\ldots,n.

(2)

Cette relation est (reflexive et) transitive. Il est intutile de considérer 1e cas $n=0$ lorsque la relation précédente n’a pas de sens. Si $n=1$ il suffit de mentenir seulement l’inégalité (2) de définition et on voit que clans ce cas l’une au moins des relations $P\stackrel{{\scriptstyle\mathrm{c}}}Q,Q\stackrel{{\scriptstyle\mathrm{c}}}P$ est toujours vraie. Pour tout $n>1$ on peut construire des polynomes $P,Q$ tels qu’aucune des relations $P\xrightarrow{\mathrm{c}}Q,Q\xrightarrow{\mathrm{c}}P$ ne soit vraie.
$I_{1}a$ propriété de monotonie des racines de la dérivée par rapport à celles du polynome, s’exprime alors par le

THSOREME 1. Si $P$ , $Q$ sont deux polynomes de degré $n>1$ , de $P\xrightarrow{\mathrm{c}}Q$ il résulte que $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{c}}Q^{\prime}$ .

Nous introduisons également la relation $P\xrightarrow{cc}Q$ entre deux polynomes, qui a lieu si et seulement si :
$1^{\circ}$ Les polynomes $P,Q$ sont du même degré $n\geqq 1$ et ont tous les deux leurs racines toutes simples.
$2^{\circ}$ Les racines respectives
(1’)

x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n},y_{1}<y_{2}<\ldots<y_{n}

de ces polynomes vérificnt les inégalités

x_{i}<y_{i},\quad i=1,2,\ldots,n.

(

\prime

)

Cette relation, qui est aussi transitive, est un cas particulier de 1a relation précédente et s’obtient lorsque partout dans (1) et (2) le signe $\lesssim$ est remplacé par $<$ .

Ires deux relations considérées sont liées aussi par une sorte de transitivité mixte, analogue à la propriété correspondante des relations d’inégalité $<$ et $\leqq$ . Si $P\xrightarrow{\mathrm{cc}}R,R\xrightarrow{\mathrm{c}}Q$ et si $Q$ a toutes ses racines simples, nous avons $P\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q$ . De $P\xrightarrow{\mathrm{cc}}R,R\xrightarrow{\mathrm{c}}S,S\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q$ il résulte que $P\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q$ .

Si les racines de $P,Q$ sont des fonctions continues d’un paramètre $\lambda$ sur un intervalle qui contient le point $\lambda_{0}$ et si la relation $P\xrightarrow{cc}Q$ est vérifiée pour $\lambda\neq\lambda_{0}$ , nous avons $P\stackrel{{\scriptstyle c}}Q$ , mais non pas en général $P\xrightarrow{cc}Q$ , pour $\lambda=\lambda_{0}$ . Cette propriété est vraie aussi pour les couples de relations $\xrightarrow[\rightarrow]{s},\xrightarrow{ss};\xrightarrow{m};\xrightarrow{mn},\xrightarrow{mc}$ , que nous introduisons plus loin.

Nous avons 1e
THLOREME 2. Si $P$ , $Q$ sont deux polynomes de degré $n>1$ , de $P\rightarrow Q$ il résulte que $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{c}}Q^{\prime}$ .
3. Nous allons d’abord démontrer que le théorème 1 résulte du théorème 2 . En effet, soient $P\xrightarrow{c}Q$ , (1) les racines des polynomes $P,Q,n>1$ et

\xi_{1}\leqq\xi_{2}\leqq\cdots\leqq\xi_{n-1},\dot{\eta}_{1}\leqq\eta_{2}\leqq\cdots\leqq\eta_{n-1}

(3)

les racines respectives des polynomes $P^{\prime},Q^{\prime}$ . Considérons les polynomes $P_{\varepsilon},Q_{\varepsilon}$ de degré $n$ , ayant respectivement les racines $x_{i}+i\varepsilon,i=1,2,\ldots n$ , $y_{i}+(i+1)\varepsilon,i=1,2,\ldots,n$ où $\varepsilon$ est un nombre positif. Les polynomes
$P_{\varepsilon},Q_{\varepsilon}$ ont toutes leurs racines simples, nous avons $P_{\varepsilon}\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q_{e}$ et si

\xi_{1}^{(\mathrm{e})}<\xi_{2}^{(\mathrm{e})}<\ldots<\xi_{n-1}^{(\mathrm{e})},\quad\eta_{1}^{(\mathrm{e})}<\eta_{2}^{(\mathrm{e})}<\ldots<\eta_{n-1}^{(\mathrm{e})}

sont respectivement les racines des polynomes $P_{e}^{\prime},Q_{e}^{\prime}$ , nous avons

\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\xi_{i}^{(\varepsilon)}=\xi_{i},\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\eta_{i}^{(\varepsilon)}=\eta_{i},\quad i=1,2,\ldots,n-1.

(4)

Si nous supposons que le théorème 2 soit vrai, il résulte que $P_{\varepsilon}^{\prime}\xrightarrow{cc}Q_{\varepsilon}^{\prime}$ et de (4) on en déduit, en faisant $\varepsilon\rightarrow 0,P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{c}}Q^{\prime}$ . On a clonc démontré que le théorème 1 résuite du théorème 2.
4. Il reste à démontrer le théorème 2. Soient $P,Q$ deux polynomes de degré $n>1$ tels que $P\xrightarrow{cc}Q$ et soient $\left(1^{\prime}\right)$ les racines respectives de ces polynomes. Soit $P_{i}$ un polynome de degré $n$ ayant comme racines $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-i},y_{n-i+1},y_{n-i+2},\ldots,y_{n}$ , pour $i=1,2,\ldots,n$ . Le polynome $P_{0}$ est égal à $P$ et $P_{n}$ est égal à $Q$ . Tes polynomes $P_{i}$ ont toutes leurs racines simples, mais nous avons, en général, seulement $P_{i\rightarrow+}^{\mathrm{c}}P_{i+1},i=0,1$ , $\ldots.n-1$ . Si nous démontrons que

P_{i}^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{cc}}P_{i+1}^{\prime},\quad i=0,1,\ldots,n-1,

(5)

alors, par suite de la transitivité de la relation considérée, il résulte que $P^{\prime cc}\rightarrow Q^{\prime}$ et le théorème 2 est démontré.

Il reste à démontrer les relations (5). Ces relations résultent du
$I_{1}$ e m me 1. Les racines de la dérivée d’un polynome dont toutes les racines sont réelles et simples, sont des fonctions croissantes par rapport à chacune des racines du polynome.

Soit $g$ un polynome de degré $n(\geqq 1)$ ayant toutes ses racines $\alpha_{1}<\alpha_{2}<<\ldots<\alpha_{n}$ réelles et simples. Ira propriété du lemme 1 revient aut fait que chacune des racines de la dérivée du polynome $f_{a}=(x-\alpha)g$ est une fonction croissante de $\alpha$ . Ces racines $\beta_{1}<\beta_{2}<\ldots<\beta_{n}$ sont des fonctions continues de $\alpha$ et restent distinctes. Nous pouvons démontrer d’abord qu’elles sont des fonctions strictement monotones de $\alpha$ . Fin effet, si, par exemple, $\beta_{k}$ ne serait pas une fonction strictement monotone de $\alpha$ , nous pouvions trouver deux valeurs différentes $\alpha^{\prime},\alpha^{\prime\prime}$ de $\alpha$ pour lesquelles les polynomes

f_{a^{\prime}}^{\prime}=\left(x-\alpha^{\prime}\right)g^{\prime}+g,\quad f_{a^{\prime\prime}}^{\prime}=\left(x-\alpha^{\prime\prime}\right)g^{\prime}+g

(6)

aient une racine commune égale à $\beta_{k}$ . Ceci est impossible car toute racine commune des polynomes (6) devrait être une racine commune des polynomes $g,g^{\prime}$ ce qui contredit l’hypothèse que $g$ ait seulement des racines simples. La monotonie stricte des racines $\beta_{i}$ , fonctions de $\alpha$ , est ainsi démontrée. Il reste seulement à préciser le sens de cette monotonie. Si nous remarquons que les racines de la dérivée sont séparées par celles du polynome et si nous tenons compte de

\lim_{a\rightarrow a_{t}}\beta_{i}=\alpha_{i},\quad i=1,2,\ldots,n

nous trouvons bien que les $\beta_{i}$ sont des fonctions croissantes de $\alpha$ .
Le lemme 1 est donc démontré.
On peut donner d’autres démonstrations au lemme 1. On pent, en particulier, donner des démonstrations basées sur des considérations analogues à celles utilisées dans la seconde et la troisième parties de ce travail. Nous n’insistons pas sur ces démonstrations.

Remarque. Si

\alpha_{1}^{\prime}<\alpha_{2}^{\prime}<\ldots<\alpha_{n-1}^{\prime}

sont les racines du polynome $g^{\prime}$ , les racines $\beta_{i},i=1,2,\ldots,n$ , varient respectivement dans les intervalles $\left(-\infty,\alpha_{1}^{\prime}\right],\left[\alpha_{i-1}^{\prime},\alpha_{i}^{\prime}\right],i=2,3,\ldots,n-1,\left[\alpha_{n-1}^{\prime},\infty\right)$ , si $n>2$ . Si $n=1$ , la racine $\beta_{1}$ varie de $-\infty$ à $\infty$ et si $n=2$ , les racines $\beta_{1}$ , $\beta_{2}$ varient respectivement dans les intervalles $\left(-\infty,\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2}\right],\left[\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2},\infty\right)$ .

Ir

5.

Nous allons nous occuper cle la démonstration signalée du théorème de W. A. Markov.

Nous introduisons la relation $P\xrightarrow{s}Q$ entre deux polynomes, qui a lieu si et seulement si:
$1^{\circ}$ Les polynomes $P,Q$ ont le même degré $n\geqq 1$ .
$2^{\circ}$ Ies racines respectives (1) de ces polynomes vérifient les inégalités

x_{1}\leqq y_{1}\leqq x_{2}\leqq y_{2}\leqq\cdots\leqq x_{n}\leqq y_{n}

(7)

Si $P\xrightarrow{s}Q$ ou $Q\xrightarrow{s}P$ nous pouvons dire que les racines des polynomes $P,Q$ se séparent. En général, de $P\xrightarrow{s}Q$ il réstulte que $P\xrightarrow{c}Q$ et, pour $n=1$ , les relations $P\xrightarrow{s}Q,P\xrightarrow{\mathrm{c}}Q$ sont équivalentes. Compte tenant d’une remarque précédente, nous pouvons trouver, pour tout $n>1$ , deux polynomes $P,Q$ de degré $n$ tels qu’aucune des relations $P\xrightarrow{S}Q$ , $Q\xrightarrow{s}P$ ne soit pas vérifiée.

10. Le théorème de W. A. Markov peut s’énoncer de la manière suivante :
THÉORÈME 3. Si $P,Q$ sont deux polynômes de degré $n>1$ , de $P\xrightarrow{\mathrm{s}}Q$ il résulte que $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{s}}Q^{\prime}$ .

Si $n=2$ le théorème 3 résulte du théorème 1. En effet, dans ce cas, de $P\xrightarrow{\mathrm{s}}Q$ il résulte que $P\xrightarrow{\mathrm{c}}Q$ d’où, en vertu du théorème 1, il résulte que $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{c}}Q^{\prime}$ . Mais cette relation est équivalente à $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{s}}Q^{\prime}$ et la propriété est démontrée.

Nous introduisons également la relation $P\xrightarrow{ss}Q$ entre deux polynômes, qui a lieu si et seulement si :
$1^{\circ}$ Les polynômes $P,Q$ ont le même degré $n\geq 1$ et tous les deux ont leurs racines toutes simples.

$2^{\circ}$ Les racines respectives $\left(1^{\prime}\right)$ de ces polynomes vérifient les inégalités

x_{1}<y_{1}<x_{2}<y_{2}<\ldots<x_{n}<y_{n}

(

\prime

)

De $P\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q$ il résulte que $P\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q$ et pour $u=1$ ces relations sont équivalentes.

Nous avons le cas particulier suivant du théorème de W. A. Markov :
THÉORÈME 4. Si $P,Q$ sont deux polynômes de degré $n>1$ , de $P\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q$ il résulte que $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q^{\prime}$ .

On démontre, comme plus haut, que pour $n=2$ le théorème 4 résulte du théorème 2.

6. Il suffit de démontrer le théorème 4 car alors le théorème 3 en résulte. Pour le voir, nous procédons comme au nr. 3, où nous avons montré que le théorème 1 résulte du théorème 2.
Si nous avons $P\xrightarrow{\mathrm{s}}Q$ et si nous prenons maintenant les polynômes $P_{\varepsilon},Q_{\varepsilon}$ ayant respectivement comme racines $x_{i}+(2i-1)\varepsilon,i=1,2,\ldots,n$ , $y_{i}+2i\varepsilon,i=1,2,\ldots,n$ , où $\varepsilon$ est un nombre positif, nous avons $P_{\varepsilon}\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q_{\varepsilon}$ . Si nous supposons que le théorème 4 soit vrai, il en résulte que $P_{\varepsilon}^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q_{\varepsilon}^{\prime}$ . Si nous faisons $\varepsilon\rightarrow 0$ , les racines de $P_{\varepsilon}^{\prime},Q_{\varepsilon}^{\prime}$ tendent vers les racines respectives de $P^{\prime},Q^{\prime}$ et nous déduisons que $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{s}}Q^{\prime}$ . Le théorème 3 est donc démontré.

7. Nous pouvons démontrer le théorème 4, en nous basant sur le théorème 2, sur le lemme 1 et sur la continuité des racines de la dérivée.

Si $P\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q$ il résulte que $P\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q$ donc aussi $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q^{\prime}$ . Pour démontrer que nous avons de plus $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q^{\prime}$ il suffit de montrer que les dérivées des polynômes $P,Q$ (qui ont toutes leurs racines simples) ne peuvent avoir des racines communes. En effet, il est facile de voir qu’alors la relation $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q^{\prime}$ se maintient pendant que les racines de $P$ croissent vers les racines respectives de $Q$ .

Mais, si $(x_{i}^{\prime})$ sont les racines des polynômes $P,Q$ de degré $n$ , la relation $P\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q$ est équivalente à l’égalité

Q=P\left(a+\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}}{x-x_{i}}\right)

(1)

où $a$ est une constante différente de zéro et $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ des constantes différentes de zéro et du même signe. D’ailleurs, le produit $aa_{i}$ est de signe contraire avec le plus haut coefficient de $P$ , donc avec $P$ pour $x$ très grand.

Par dérivation de (8) il résulte que
(9)

Q^{\prime}=P^{\prime}\left(a+\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}}{x-x_{i}}\right)-P\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}}{(x-x_{i})^{2}}

On voit que si $P^{\prime},Q^{\prime}$ avaient une racine commune, cette racine devait annuler aussi le polynôme $P$ , ce qui est impossible puisque, par hypothèse, $P$ n’a que des racines simples.

8. Les relations $P\xrightarrow{\mathrm{s}}Q$ et $P\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q$ peuvent être étendues au cas où le polynôme $P$ est de degré $n$ et le polynôme $Q$ de degré $n-1$ . Si $n>1$ et si

x_{1}\leq x_{2}\leq\ldots\leq x_{n},\quad y_{1}\leq y_{2}\leq\ldots\leq y_{n-1}

(10)

sont respectivement les racines de $P$ et de $Q$ , la relation $P\xrightarrow{\mathrm{s}}Q$ a lieu si et seulement si

x_{i}\leq y_{i}\leq x_{i+1},\quad i=1,2,\ldots,n-1

(11)

On peut encore dire que les racines des polynômes $P,Q$ se séparent.
La relation $P\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q$ a lieu si et seulement si, de plus, les racines des polynômes $P,Q$ sont toutes simples et si au lieu de (11) nous avons les inégalités

x_{i}<y_{i}<x_{i+1},i=1,2,\ldots,n-1.

(

\prime

)

Nous avons alors la
Conséquence 1. Si $P$ est un polynome de degré $n$ et $Q$ un polynome de degré $n-1,n>1$ , de $P\xrightarrow{s}Q$ il résulte que $P^{\prime}\xrightarrow{s}Q^{\prime}$ .

Ia propriété résulte du théorème 3 par un passage à la limite. Pour le voir soient (10) les racines de $P$ et $Q$ qui vérifient la relation $P\xrightarrow{s}Q$ . Considérons le polynome $R=\left(x-y_{n}\right)Q$ de degré $n$ . Si $x_{n}\leqq y_{n}$ nons avons $P\xrightarrow{\mathrm{~s}}R$ , d’où, compte tenant du théorème $3,P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{s}}R^{\prime}$ . Si nous faisons $y_{11}\rightarrow\infty$ , l’une des racines de $R^{\prime}$ (la plus grande) tend vers $\infty$ et les autres vers les racines respectives de $Q^{\prime}$ . Compte tenant de la contimuité des racines de la dérivée par rapport aux racines du polynome tinuite des racines de la derive par rapport anx rannes poryo on voit que si nous faisons $y_{n}\rightarrow\infty$ , de $P^{\prime}\rightarrow R^{\prime}$ il résulte que $P^{\prime}\rightarrow Q^{\prime}$ .

Nous avons aussi la
Conséquence 2. Si $P$ est un polynome de degré $n$ et $Q$ un polynome de degré $n-1,n>1$ , de $P\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q$ il résulte que $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q^{\prime}$ .

Cette propriété résulte du théorème 4 de la même manière que la conséquence 1 du théorème 3 . Nous construisons, comme plus haut, le polynome $R$ . Si $P\xrightarrow{ss}Q$ et si $x_{n}<y_{n}$ , nous avons $P\xrightarrow{ss}R$ , donc par suite du théorème $4,P^{\prime}\xrightarrow{s}R^{\prime}$ . De là, si nous faisons $j^{\prime}n\rightarrow\infty$ il résulte que $P^{\prime}\rightarrow Q^{\prime}$ . Pour démontrer que nous avons même $P^{\prime}\rightarrow Q^{\prime}$ il suffit de démontrer que si $P\xrightarrow{ss}Q$ , les polynomes $P^{\prime},Q^{\prime}$ ne peuvent pas avoir des racines communes.

Si $P\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q$ nous avons la formule ( 8 ), où $a=0$ et $a_{i},i=1,2,\ldots,n$ sont $u$ constantes différentes de zéro et du même signe. La formule (9) nous montre que $P^{\prime},Q^{\prime}$ ne peuvent avoir des racines communes.
$L_{\text{a conséquence }}2$ est démontrée.
9. Comme une application, considérons une suite de polynomes orthogonaux

\Pi_{0},\Pi_{1},\ldots,\Pi_{n-1},\Pi_{n},\ldots

On sait que les racines de $\Pi_{n}$ sont toutes réelles, simples et que les racines de $\Pi_{n-1}$ sont séparées au sens strict par les racines de $\Pi_{n}$ . Nous avons donc $\Pi_{n}\xrightarrow{\mathrm{ss}}\Pi_{n-1}$ pour $n>1$ . De la conséquence 2 il résulte donc la

Conséquence 3. Si $\Pi_{n-1},\Pi_{n}$ sont deux termes consécutifs d’une suite de polynomes orthogonaux ( $n>1$ ), nous avons $\Pi_{n}^{\prime}\xrightarrow{ss}\Pi_{n-1}^{\prime}$ .

III

10.

Nous allons nous occuper d’un théorème analogue au théorème de W. A. Markov.

Nous introduisons la relation $P\xrightarrow{m}Q$ entre deux polynomes, qui a lieu si et seulement si :
$10^{\circ}$ Les polynomes $P,Q$ sont du même degré $n\geqq 1$ .
$2^{\circ}$ Les racines (1) de ces polynomes vérifient les inégalités
(12) $\quad x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{i}\leqq y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{i},\quad i=1,2,\ldots,n-1$
et l’égalité

x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}

(13)

Si $n=1$ , nous avons seulement l’égalité (13). Si $n=1$ la relation $P\xrightarrow{m}Q$ signifie que $P,Q$ ont la même racine, donc, d’après le sens adopté aut début de ce travail, qu’ils sont égaux. On voit facilement que pour tout $n>1$ nous pouvons trouver deux polynomes $P,Q$ de degré $n$ tels qu’aucune des relations $P\xrightarrow{\mathrm{~m}}Q,Q\xrightarrow{\mathrm{~m}}P$ ne soit pas vérifiée.

D’après g. h. hardy, J. E. LITTLEWOOD et G: PÓLYA [1], la relation $P\xrightarrow{\text{ ml }}Q$ est équivalente au fait que les racines de $Q$ se déduisent de celles de $P$ par une sorte de procédé de „médiation". Ceci signifie qu’il existe une matrice ( $a_{l,j}$ ) à $n$ lignes et $n$ colonnes, avec des éléments non-négatifs, la somme des éléments de chaque ligne et de chaque colonne étant égale à 1 ,

\sum_{v=1}^{n}a_{i,v}=\sum_{v=1}^{n}a_{v,j}=1,\quad i,j=1,2,\ldots,n

et telle que

y_{i}=\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j},i=1,2,\ldots,n

Dans la suite nous n’utiliserons pas directement cette propriété.
La relation considérée est (réflexive et) transitive et nous -avons le théorème suivant, analogue au théorème de W. A. Markov:

THÉORÈME 5. Si $P,Q$ sont deux polynômes de degré $n>1$ , de $P\xrightarrow{\mathrm{m}}Q$ il résulte que $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{m}}Q^{\prime}$ .

Nous introduisons également la relation $P\xrightarrow{\mathrm{mm}}Q$ entre deux polynômes, qui a lieu si et seulement si :
$1^{\circ}$ Les polynômes $P,Q$ sont du même degré $n\geq 1$ et ont toutes leurs racines simples.
$2^{\circ}$ Les racines respectives de ces polynômes vérifient les inégalités

x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{i}<y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{i},\quad i=1,2,\ldots,n-1

(12’)

et l’égalité (13).
Pour $n=1$ , nous gardons pour la définition seulement l’égalité (13) et alors la relation $P\xrightarrow{\mathrm{mm}}Q$ est équivalente à $P\xrightarrow{111}Q$ .

La relation $\xrightarrow{\mathrm{mm}}$ est transitive. Nous avons aussi des propriétés de transitivité mixtes entre les deux relations considérées. Si $P\xrightarrow{\mathrm{mm}}R$ , $R\xrightarrow{\mathrm{m}}Q$ et si $Q$ a toutes ses racines simples, nous avons $P\xrightarrow{1mn}Q$ . De $P\xrightarrow{1mn}R$ , $R\xrightarrow{\mathrm{m}}S$ , $S\xrightarrow{\mathrm{mm}}Q$ il résulte que $P\xrightarrow{\mathrm{mm}}Q$ .

Enfin, nous avons le :
THÉORÈME 6. Si $P,Q$ sont deux polynômes de degré $n>1$ , de $P\xrightarrow{\mathrm{m}111}Q$ il résulte que $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{m}111}Q^{\prime}$ .

La démonstration des théorèmes 5 et 6 est immédiate pour $n=2$ , puisque la racine de la dérivée d’un polynôme de degré 2 est égale à la demi-somme des racines du polynôme. Dans ce cas, les théorèmes 5 et 6 résultent de l’égalité (13).

Il existe deux cas où la démonstration du théorème 5 ne présente pas de difficultés. Ces cas ont lieu si l’un des polynômes $P,Q$ a toutes ses racines confondues.

Nous allons faire d’abord quelques remarques. Si

x_{1}\leq x_{2}\leq\ldots\leq x_{n}

(14)

Si $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ sont les racines du polynôme $P$ , nous avons

x_{1}\leq\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\leq\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}\leq\ldots\leq\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}.

(15)

Si $x_{i}$ et $y_{i}$ sont les racines des polynômes $P,Q$ et si $P\xrightarrow{\mathrm{m}}Q$ , nous avons $x_{1}\leq y_{1}$ , $y_{n}\leq x_{n}$ , donc aussi

x_{n}-x_{1}\geq y_{n}-y_{1}\geq 0.

(16)

Si $n>1$ et $P\xrightarrow{11111}Q$ , nous avons les inégalités plus précises

x_{n}-x_{1}>y_{n}-y_{1}>0.

Démontrons maintenant le théorème 5 dans les deux cas particuliers signalés :

Cas 1. Le polynôme $P$ a toutes ses racines confondues. De $P\xrightarrow{11}Q$ et (16), il résulte que $Q$ a également toutes ses racines confondues et notamment avec l’unique racine distincte de $P$ . Dans ce cas $P^{\prime}$ et $Q^{\prime}$ ont également toutes leurs racines confondues avec l’unique racine distincte de $P$ , et le théorème 5 en résulte.

Cas 2. Le polynôme $Q$ a toutes ses racines confondues. Soient $\xi_{i},\eta_{i}$ les racines des polynômes $P^{\prime},Q^{\prime}$ et tenons compte des inégalités (15) correspondantes à ces racines. Alors si $P\xrightarrow{111}Q$ , nous avons

\xi_{1}\leq\frac{\xi_{1}+\xi_{2}}{2}\leq\ldots\leq\frac{\xi_{1}+\xi_{2}+\ldots+\xi_{n-1}}{n-1}=\eta_{1}=\eta_{2}=\ldots=\eta_{n-1},

d’où il résulte que $P^{\prime}\xrightarrow{}Q^{\prime}$ et le théorème 5 est démontré.

Pour aller plus loin, nous introduisons deux opérations sur les racines d’un polynôme. Nous appellerons ces opérations : dilatation et contraction de deux racines. Ces opérations ont déjà été utilisées par G.H. Hardy, J.F. Littlewood et G. Pólya.

Une dilatation de deux des racines $x^{\prime}\leq x^{\prime\prime}$ d’un polynôme revient à la substitution de ces racines par $x^{\prime}-\rho$ , $x^{\prime\prime}+\rho$ respectivement, où $\rho>0$ , et les autres racines du polynôme restent inchangées.

Une contraction de deux des racines $x^{\prime}<x^{\prime\prime}$ d’un polynôme revient à la substitution de ces racines par $x^{\prime}+\rho$ , $x^{\prime\prime}-\rho$ respectivement, où $\rho>0$ , et les autres racines du polynôme restent inchangées.

Le nombre $\rho$ peut être appelé le coefficient de la dilatation respectivement de la contraction correspondant au couple des racines considérées.

Dans la suite, à moins que le contraire ne soit expressément spécifié, nous considérons seulement des dilatations et des contractions qui ne dérangent pas l’ordre des racines du polynôme. Ceci signifie que le coefficient est soumis à la restriction que, dans le cas de la dilatation, les intervalles $[x^{\prime}-\rho,x^{\prime})$ , $(x^{\prime\prime},x^{\prime\prime}+\rho]$ et dans le cas de la contraction, les intervalles $[x^{\prime},x^{\prime}+\rho]$ , $[x^{\prime\prime}-\rho,x^{\prime\prime}]$ ne contiennent aucune racine du polynôme initial ou du polynôme transformé. Si $x_{i}$ sont les racines du polynôme initial et si $n>1$ , avec la restriction précédente, l’opération de dilatation est applicable aux racines $x_{r},x_{s}$ , $r<s$ , seulement dans les cas suivants :

	$\displaystyle r=$	$\displaystyle 1,s=n,\text{ pour }0<\rho\text{ quelconque },$
	$\displaystyle r=$	$\displaystyle 1,s<n,\text{ si }x_{1}\leqq x_{s}<x_{s+1},\text{ pour }0<\rho<x_{s+1}-x_{s},$
	$\displaystyle r>$	$\displaystyle 1,s=n,\text{ si }x_{r-1}<x_{r}\leqq x_{n},\text{ pour }0<\rho<x_{r}-x_{r-1},$
	$\displaystyle r>$	$\displaystyle 1,s<n,\text{ si }x_{r-1}<x_{r}\leqq x_{s}<x_{s+1},\text{ pour }$
		$\displaystyle 0<\rho<\min\left(x_{r}-x_{r-1},x_{s+1}-x_{s}\right).$

De même, l’opération de la contraction est applicable seulement dans les cas suivants:

s-\gamma=1,\text{ si }x_{r}<x_{r+1},\text{ pour }0<\rho<\frac{x_{r+1}-x_{r}}{2},

$s-r>1$ , si $x_{r}<x_{r+1}\leqq x_{s-1}<x_{s}$ , pour $0<\rho<\min\left(x_{r+1}-x_{r},x_{s}-x_{s-1}\right)$ .
Les opérations de dilatation et de contraction étant ainsi précisées, on voit qu’une telle opération est parfaitement caractérisée par le couple de racines considérées et le coefficient $\rho$ correspondant. En particulier, si nous pouvons appliquer une opération de dilatation ou de contraction de coefficient $\rho$ , nous pouvons aussi appliquer aux mêmes racines, toute dilatation resp. contraction de coefficient $<\rho$ .

On en déduit que si nous appliquons aux racines $x_{r},x_{s},r<s$ du polynome, une dilatation ou une contraction, les racines du polynome deviennent des fonctions continues du coefficient $\rho$ . Il en est de même pour les sommes $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{i},i=1,2,\ldots,n$ . Ces sommes se transforment en $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{i}-\rho$ respectivement en $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{i}+\rho$ pour $\imath=r,r+1,\ldots,s-1$ , suivant qu’il s’agit d’une dilatation respectivement dune contraction de coefficient $\rho$ des racines $x_{r},x_{s},r<s$ . Les sommes $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{l}$ , pour les autres valeurs de $i$ restent invariables. Il faut retenir, en particulier, le fait que la somme de toutes les racines reste invariable par une dilatation ou une contraction de deux racines.

Si $P^{*}$ est un polynome qui se déduit du polynome $P$ par l’application d’une dilatation ou d’une contraction de coefficient $\rho$ , les racines de $P^{*}$ tendent, pour $\rho\rightarrow 0$ , vers les racines correspondantes de $P$ . En même temps les racines de $P^{*\prime}$ , qui sont également des fonctions continues de $P$ , tendent vers les racines correspondantes de $P^{\prime}$ .

Il est important d’étendre ces propriétés à la limite, au cas où $P^{*}$ se déduit de $P$ par l’application successive d’un nombre fini de dilatations ou de contractions relatives à divers comples de racines du polynome. Cette extension doit être faite avec certaines précautions car l’application successive de plusieurs opérations dépend de leur ordre. Les opérations
de dilatation et de contraction ne sont donc pas commutatives lorsqu’elles s’appliquent à des couples de racines différentes.

Exemple. Soient $n=3$ et $x_{1}=0,x_{2}=x_{3}=2$ . La première raciue est donc égale à 0 , la seconde et la troisième à 2 . Si nous appliquons d’abord aux racines $x_{1},x_{3}$ (à la première et à la troisième) une dilatation de coefficient 3 , les racines deviennent $-3,2,5$ . En appliquant ensuite une contraction de coefficient 1 aux racines $x_{2},x_{3}$ (à la seconde et à la troisième) nous obtenons les racines $-3,3,4$ . L’ordre des opérations ne peut être interverti car l’opération de contraction ne peut être appliquée aux racines $x_{2}=2,x_{3}=2$ , si nous tenons compte de le restriction imposée de ne pas déranger l’ordre des racines.

Toujours dans ce cas, supposons que nous appliquions d’abord aux racines $x_{2},x_{3}$ (à la seconde et à la troisième) une contraction de coefficient 1 . Les racines deviennent $0,1,3$ . Nous appliquons ensuite aux racines 0 , 1 (à la première et à la seconde) une dilatation de coefficient 3 . Nous retrouvous les racines $-3,3,4$ . Il est à remarquer que chaque fois nous avons dérangé l’ordre des racines.

De cet exemple on voit, d’une part, combien la restriction de ne pas déranger l’ordre des racines apporte des précisions sur les opérations de dilatation et de contraction. D’autre part, le même exemple nous montre comment il faut suivre les racines du polynome lorsqu’on applique successivement plusieurs dilatations ou contractions de deux racines.

Nous n’insisterons pas sur ce problème de permutabilité car les propriétés à la limite de plus haut seront appliquées dans la suite seulement dans des cas particuliers qui seront précisés lorsqu’ils interviendront effectivement.
13. Nous allons démontrer maintenat que le théorème 5 résulte du théorème 6 .

Si le polynome $P^{*}$ s’obtient du polynome $P$ par l’application d’une dilatation de deux racines, nous avons $P^{*}\xrightarrow{m}P$ . Cette relation est vraie aussi lorsque le polynome $P^{*}$ s’obtient de $P$ par l’application successive d’un nombre quelconque de dilatations.

Soient (14) les racines du polynome $P$ et soit $n>1$ . Désignons par $P_{e}$ un polynome ayant comme racines les nombres

x_{i}^{\prime}=x_{i}-(n-i)p,i=1,2,\ldots,n-1,x_{n}^{\prime}=x_{n}+\frac{n(n-1)}{2}\rho,

où $\rho$ est un nombre positif. Le polynôme $P_{\rho}$ s’obtient de $P$ en appliquant successivement les opérations de dilatation, de coefficient $(n-i)\rho$ aux racines $x_{i},x_{n}$ , pour $i=1,2,\ldots,n-1$ (dans cet ordre). Nous avons $P_{\mathrm{e}}\xrightarrow{11}P$ . Remarquons que $P_{\mathrm{e}}$ a toutes ses racines simples qui, pour $\rho\rightarrow 0$ , tendent vers les racines correspondantes de $P$ . En même temps les racines de $P_{e}^{\prime}$ tendent vers les racines correspondantes de $P^{\prime}$ .

Soient $P,Q$ deux polynomes de degré $n>1$ , (1) les racines de ces polynomes et supposons que $P\xrightarrow{m}Q$ . Soient

x_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{n}^{\prime},\quad y_{1}^{\prime}<y_{2}^{\prime}<\ldots<y_{n}^{\prime}

les racines des polynomes $P_{2\varrho},Q_{e}$ , où $\rho$ est un nombre positif et qui s’obtiennent de $P,Q$ de la même manière que plus haut le polynome $P_{Q}$ de $P$ . Nous avons alors

\begin{gathered}y_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime}+\ldots+y_{i}^{\prime}-\left(x_{1}^{\prime}+x_{2}^{\prime}+\ldots+x_{i}^{\prime}\right)=\\ =y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{i}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{i}\right)+\frac{i(2n-i-1)}{2}\rho>0,\\ i=1,2,\ldots,n-1,\\ x_{1}^{\prime}+x_{2}^{\prime}+\ldots+x_{n}^{\prime}=y_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime}+\ldots+y_{n}^{\prime}.\end{gathered}

Nous avons donc $P_{2\varrho}\xrightarrow{mm}Q_{e}$ . En supposant donc que le théorème 6 soit vrai, il en résulte que $P_{2_{\rho}}^{\prime}\xrightarrow{mm}Q_{\varrho}^{\prime}$ . Mais, si $\rho\rightarrow 0$ , les racines de $P_{2_{\rho}}^{\prime},Q_{\varrho}^{\prime}$ tendent vers les racines de $P^{\prime},Q^{\prime}$ respectivement. Fin faisant donc $p\rightarrow 0$ , nous déduisons que $P^{\prime}\xrightarrow{1m}Q^{\prime}$ .

Nous avons ainsi démontré que le théorème 5 résulte du théorème 6 .
Remarque. La relation $P^{*}\xrightarrow{111}P$ est vraie si $P^{*}$ s’obtient de $P$ par une dilatation de deux racines, sans la restriction de la conservation de l’ordre des racines. En effet, on le voit facilement, si nous appliquons une dilatation aux racines $x^{\prime}\leq x^{\prime\prime}$ et si nous supposons que le coefficient $\rho$ croit, on peut remplacet $x^{\prime}-\rho$ out $x^{\prime\prime}-\rho$ par une racine qu’il traverse. Convenons de dire qu’une dilatation des racines $x^{\prime}\leq x^{\prime\prime}$ ne dérange pas au sens large l’ordre des racines lorsque les intervalles ( $x^{\prime}-\rho,x^{\prime}$ ), ( $x^{\prime\prime},x^{\prime\prime}+\rho$ ) ne contiennent pas des racines du polynome. Alors la propriété précédente résulte du fait que toute dilatation, sans la restriction de l’ordre des racines, s’obtient par l’application successive d’un nombre fini de dilatations qui ne dérange pas au sens large l’odre des racines.

On voit aussi que la relation $P^{*}\xrightarrow{11}P$ est vraie lorsqu’on obtient $P^{*}$ de $P$ par 1’application successive d’un nombre quelconqué (fini ou non) de dilatations, avec ou sans la restriction de la conservation de l’ordre des racines.
14. Nous nous proposons maintenant de démontrer le théorème 6. Nous le déduirons d’une série de lemmes préliminaires.

Lorque le polynome $P^{*}$ s’obtient de $P$ par une contraction de deux racines, nous avons $P\rightarrow P^{*}$ . Cette relation reste vraie si $P^{*}$ s’obtient de
$P$ par une succession d’un nombre fini de contractions. Si le polynome $P$ . a toutes ses racines simples, il en est de même pour le polynome $P^{*}$ .

Lemme 2. Étant donnés un polynome $P$ de degré $n>1$ et un nombre positif a quelconque, on peut trouver un polynome de degré $n$ tel que: $1^{\circ}$ Ce polynome se déduise de $P$ par l’application successive d’un nombre fini de contractions de deux racines consecutives, $2^{\circ}$ Les racines de ce polynome soient toutes comprises dans un intervalle de longueur $<\varepsilon$ .

Il est clair que si $P$ a toutes ses racines confondues nous n’avons rien à démontrer. Ici nous considérons seulement le cas où $P$ a toutes ses racines simples, ce que nous supposerons plus loin. Il est d’ailleurs clair que le lemme reste vrai aussi sans cette restriction.

Dans l’énoncé on a précisé qu’il s’agit seulement de contractions appliquées à des racines consécutives; donc si (14) sont les racines du polynome seulement à des couples de racines de la forme $x_{i},x_{i+1}$ .

Nous démontrerons le lemme par induction complète.
Pour $n=2$ la propriété est vraie puisque si $x_{1}<x_{2}$ sont les racines de $P$ , il suffit de leur appliquer une contraction de coefficient $\rho$ qui vérifie les inégalités $\max\left(0,\frac{x_{2}-x_{1}-\varepsilon}{2}\right)<\rho<\frac{x_{2}-x_{1}}{2}$

Supposons maintenant que $n>2$ et que la propriété soit vraie pour les polynomes de degré $n-1$ . Démontrons que la propriété sera vraie aussi pour les polynomes de degré $n$ .

Nous allons d’abord démontrer que si $P$ est un polynome de degré $n$ ayant les racines (14) $\left(x_{1}<x_{n}\right)$ , en appliquant un nombre fini de contractions de racines consécutives, on peut en déduire un polynoine dont les racines soient comprises dans un intervalle de longueur $<\frac{x_{n}-x_{1}}{2}+\frac{\varepsilon}{4}$ .
En effet, par hypothèse, par l’application d’un nombre fini de contractions de racines consécutives, nous pouvons déduire de $P$ un polynome $P_{1}$ dont: les racines $x_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}<\ldots<x_{n}^{\prime}$ vérifient les relations $x_{1}^{\prime}=x_{1},x_{n}^{\prime}-x_{2}^{\prime}<\frac{8}{4}$ . Les contractions sont appliquées seulement à des couples de la forme $x_{i},x_{i+1}$ , où $i>1$ . Ensuite nous appliquons au polynome $P_{1}$ une contraction des racines $x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime}$ de coefficient $\rho$ , où max $\left(0,\frac{x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}}{2}-\frac{\varepsilon}{8}\right)<\rho<\frac{x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}}{2}$ . Les racines du polynome ainsi obtenu sont alors comprises dans un intervalle de longueur $<x_{n}^{\prime}-\left(x_{1}+\rho\right)<x_{n}^{\prime}-x_{1}^{\prime}-\frac{x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}}{2}+\frac{\varepsilon}{3}=\frac{x_{n}^{\prime}-x_{1}^{\prime}}{2}++\frac{x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}}{2}+\frac{\varepsilon}{8}<\frac{x_{n}-x_{1}}{2}+\frac{\varepsilon}{4}$ , justement ce qu’il fallait démontrer.

I1 en résulte que si un polynome de degré $n$ a toutes ses racines comprises dans un intervalle de longueur $<l$ , par l’application d’un nombre fini
de contractions de racines consécutives, on peut en déduire un polymome dont les racines soient comprises dans un intervalle de longueur $<\frac{l}{2}+\frac{\varepsilon}{4}$ . Ein répétant ce procédé, on voit que, pour tout nombre naturel $k$ on peut déduire, par l’application successive d’un nombre fini de contractions de deux racines consécutives, un polynome de degré $n$ dont les racines soient comprises dans un intervalle de longueur plus petite que

\frac{l}{2^{k}}+\varepsilon\left(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\ldots+\frac{1}{2^{k+1}}\right)<\frac{l}{2^{k}}+\frac{\varepsilon}{2}

Il suffit de choisir le nombre $k$ de manière que $\frac{l}{2^{k}}<\frac{\varepsilon}{2}$ et le lemme est, clémontré.

Remarque. On peut faire une remarque analogue à celle faite auno. 13. La relation $P\xrightarrow{m}P^{*}$ est vraie aussi lorsque $P^{*}$ s’obtient de $P$ par the contraction de deux tacines $x^{\prime}<x^{\prime\prime}$ , sans la restriction de la conservation de l’ordre des racines, mais avec la condition que le coefficient $\rho$ soit $<x^{\prime\prime}-x^{\prime}$ . La démonstration est analogue, en remplaçant $x^{\prime}+\rho$ ou $x^{\prime\prime}-\rho$ avec toute racine qu’il traverse et, en particulier, en permutant ces racines lorsqu’elles se traversent, pendant que $p$ croit. Ici encore on peut convenir de dire que les racines $x^{\prime}<x^{\prime\prime}$ ne dérangent pas au sens large 1’ordre des racines lorsque les intervalles ( $x^{\prime},x^{\prime}+\rho$ ), ( $x^{\prime\prime}-\rho,x^{\prime\prime}$ ) ne contiennent aucune racine du polynome transformé et lorsque $0<\rho<x^{\prime\prime}-x^{\prime}$ . Alors la propriété précédente résulte du fait que toute contraction de deux racines, avec la seule restriction que son coefficient $\rho$ vérifie les inégalités $0<\rho<x^{\prime\prime}-x^{\prime}$ , peut être obtenue par un nombre fini de contractions successives qui ne dérangent pas au sens large l’ordre des racines.

On voit aussi que la relation $P\xrightarrow{m}P^{*}$ est vraie lorsque $P^{*}$ s’obtient de $P$ par l’application successive d’un nombre quelconque (fini ou non) de contractions avec la conservation de l’ordre des racines out seulement avec la restriction imposée plus haut aux coefficients des contractions.
15. Du lemme précédent il résulte le
$\mathrm{I}_{1}$ emme 3. Si $P,Q$ sont deux polynomes de degré $n>2$ et si $P\xrightarrow{1111}Q$ , on peut trowver un polynome $R$ de degré n, qui s’obtient de $P$ par l’application successive d’un nombre fini de contractions de deux racines consécutives, tel que l’on ait $R\xrightarrow{\mathrm{~m}}Q$ , sans que la relation $R\xrightarrow{\mathrm{~mm}}Q$ soit vérifiée.

Soient ( $1^{\prime}$ ) les racines des polynomes $P,Q$ et $z_{1}<z_{2}<\ldots<z_{n}$ les racines de $R$ . Nous avons $P\xrightarrow{11}R$ et, en vertu des hypothèses vérifiées par $R$ , 11ous avons les inégalités
(17) $z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{i}\leqq y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{i},\quad i=1,2,\ldots,n-1$ ,
dans l’une au moins la relation d’égalité étant vraie. Bien entendu, nous avons aussi $z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{n}=y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{n}$ .

Pour démontrer le lemme prenons un nombre positif a tel que

\varepsilon<y_{n}-y_{1}

(18)

En vertu du lemme 2, nous pouvons trouver une suite finie de polynomes de degré $n$ ,

P_{0},P_{1},\ldots,P_{k}

tels que:
$1{}^{\circ}$ Chaque terme $P_{i}$ s’obtient du précédent $P_{i-1}$ par une contraction de deux racines consécutives.
$2^{\circ}$ Le premier terme $P_{0}$ est égal à $P$ et le dermicr $P_{k}$ a toutes ses racines comprises dans un intervalle de longueur $<\varepsilon$ .

Par hypothèse $P_{0}\xrightarrow{111m}Q$ . Il existe donc un plus grand indice $\gamma$ tel que $P_{r}\xrightarrow{\text{ mml }}Q$ . Nous ne pouvons pas avoir $r=k$ , car autrement l’inégalité (18) serait en contradiction avec les inégalités $\left(16^{\prime}\right)$ . Nous avons donc $\gamma<k$ , donc aussi $r+1\leqq k$ et le polynome $P_{r+1}$ ne vérific pas la relation $P_{r+1}\xrightarrow{mm}Q$ . Soit $\rho_{1}$ le coefficient de contraction par laquelle $P_{r+1}$ s’obtient de $P_{r}$ . Soit $P^{*}$ un polynome qui s’obtient de $P$ en appliquant au même couple de racines (consécutives) une contraction de coefficient $p\leqq p_{1}$ . Lorsque $\rho\rightarrow 0$ , les racines de $P^{*}$ tendent vers les racines correspondantes de $P$ r et lorsque $\rho\rightarrow\rho_{1}$ elles tendent vers les racines correspondantes de Pe $r_{r}$ homple $\rho\rightarrow\rho_{1}$ hes des $P_{r+1}$ . Fin vertu de la continuité par rapport à $\rho$ des racines, il existe 111 nombre positif $\rho\leqq\rho_{1}$ tel que l’on ait $P^{**}\xrightarrow{111}Q$ , sans que la relation $P^{*}\xrightarrow{mm}Q$ soit vérifiée. Ein prenant le polynome $R$ égal au polynome $P^{*}$ correspondant à ce $\rho$ , le lemme est démontré.
16. Nous avons aussi le
$\mathrm{I}_{1}$ e m me 4 . Si $P,Q$ sont deux polynomes de degré $n>1$ et si $l\xrightarrow{11111}Q$ , on peut trouver une suite finic de polynomes de degré $n$ ,

P_{0},P_{1},\ldots,P_{k}

(19)

tels que:
$1^{\circ}$ Chaque terme $P_{i}$ s’obtient du lerme précédent $P_{i-1}$ par une contraction de deux racines consécutives.
$2^{\circ}$ Le premier terme est égal à $P$ ct le dernier terme est égal à $Q$ .
Nous pouvons faire la dénonstration par induction complète.
de contractions de racines consécutives, on peut en déduire un polynome dont les racines soient comprises dans un intervalle de longueur $<\frac{l}{2}+\frac{\varepsilon}{4}$ . En répétant ce procédé, on voit que, pour tout nombre naturel $k$ on peut déduire, par l’application successive d’un nombre fini de contractions de deux racines consécutives, un polynome de degré $n$ dont les racines soient comprises dans un intervalle de longueur plus petite que

\frac{l}{2^{k}}+\varepsilon\left(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{k+1}}\right)<\frac{l}{2^{k}}+\frac{\varepsilon}{2}

Il suffit de choisir le nombre $k$ de manière que $\frac{l}{2^{k}}<\frac{\varepsilon}{2}$ et le lemme est . démontré.

Remarque. On peut faire une remarque analogue à celle faite au no. 13. La relation $P\xrightarrow{\boldsymbol{m}}P^{*}$ est vraie aussi lorsque $P^{*}$ s’obtient de $P$ par une contraction de deux racines $x^{\prime}<x^{\prime\prime}$ , sans la restriction de la conservation de l’ordre des racines, mais avec la condition que le coefficient $\rho$ soit $<x^{\prime\prime}-x^{\prime}$ . La démonstration est analogue, en remplaçant $x^{\prime}+\rho$ ou $x^{\prime\prime}-\rho$ avec toute racine qu’il traverse et, en particulier, en permutant ces racines lorsqu’elles se traversent, pendant que $\rho$ croît. Ici encore on peut convenir de dire que les racines $x^{\prime}<x^{\prime\prime}$ ne dérangent pas au sens large l’ordre des racines lorsque les intervalles $\left(x^{\prime},x^{\prime}+\rho\right),\left(x^{\prime\prime}-\rho,x^{\prime\prime}\right)$ ne contiennent ancune racine du plyome tar p, ( $\rho$ , . Alors la propriete precedente resulte du fait que toute contraction de deux racines, avec la seule restriction que son coefficient $\rho$ vérifie les inégalités $0<\rho<x^{\prime\prime}-x^{\prime}$ , peut être obtenue par un nombre fini de contractions successives qui ne dérangent pas au sens large l’ordre des racines.

On voit aussi que la relation $P^{m}P^{*k}$ est vraie lorsque $P^{*}$ s’obtient de $P$ par l’application successive d’un nombre quelconque (fini ou non) de contractions avec la conservation de l’ordre des racines out seulement avec la restriction imposée plus haut aux coefficients des contractions.
15. Du lemme précédent il résulte le
$\mathrm{I}_{1}$ e mme 3 . Si $P,Q$ sont deux polynomes de degré $n>2$ et si $P\xrightarrow{\text{ mm }}Q$ , on peut trouver un polynome $R$ de degrén, qui s’obtient de $P$ par l’application successive d’un nombre fini de contractions de deux racines conséutives, tel que l’on ait $R\xrightarrow{m}Q$ , sans que la relation $R\xrightarrow{mm}Q$ soit vérifiée.

Soient ( $1^{\prime}$ ) les racines des polynomes $P,Q$ et $z_{1}<z_{2}<\ldots<z_{n}$ les racines de $R$ . Nous avons $P\xrightarrow{1n}R$ et, en vertu des hypothèses vériliées par $R$ , nous avons les inégalités
(17) $z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{i}\leqq y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{i},\quad i=1,2,\ldots,n-1$ ,
dans l’une an moins la relation d’égalité étant vraie. Bien entendu, nous avons aussi $z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{n}=y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{n}$ .

Pour démontrer le lemme prenons un nombre positif $\varepsilon$ tel que

\varepsilon<y_{n}-y_{1}.

(18)

En vertu du lemme 2, nous pouvons trouver une suite finie de polynomes de degré $n$ ,

P_{0},P_{1},\ldots,P_{k}

tels que:
$1^{\circ}$ Chaque terme $P_{i}$ s’obtient du précédent $P_{i-1}$ par une contraction de deux racines consécutives.
$2^{\circ}$ Le premier terme $P_{0}$ est égal à $P$ et le deruier $P_{k}$ a toutes ses racines comprises dans un intervalle de longueur $<\varepsilon$ .

Par hypothèse $P_{0}\rightarrow Q$ . Il existe donc un plus grand indice $r$ tel que $P_{r}\xrightarrow{\text{ mmll }}Q$ . Nous ne pouvons pas avoir $r=k$ , car autrement l’inégalité (18) serait en contradiction avec les inégalités ( $16^{\prime}$ ). Nous avons donc $\gamma<k$ , donc aussi $r+1\leqq k$ et le polynome $P_{r+1}$ ne vérifie pas la relation $P_{r+1}\xrightarrow{mm}0$ . Soit $\rho_{1}$ le coefficient de contraction par laquelle $P_{r+1}$ s’obtient de $P_{r}$ . Soit $P^{*}$ un polynome qui s’obtient de $P$ en appliquant au même couple de racines (consécutives) une contraction de coefficient $\rho\leqq\rho_{1}$ . Lorsque $p\rightarrow 0$ , les racines de $P^{*}$ tendent vers les racines correspondantes de $P_{r}$ et lorsque $\rho\rightarrow\rho_{1}$ elles tendent vers les racines correspondantes de $P_{r+1}$ . En vertu de la continuité par rapport à $\rho$ des racines, il existe 111 nombre positif $\rho\leqq\rho_{1}$ tel que $l^{\prime}$ on ait $P^{*}\xrightarrow{m}Q$ , sans que la relation $P^{*}\xrightarrow{mm}Q$ soit vérifiée. En prenant le polynome $R$ égal au polynome $P^{*}$ correspondant à ce $\rho$ , le lemme est démontré.
16. Nous avons aussi le

I, e m me 4. Si $P,Q$ sont deux polynomes de degré $n>1$ et si $P\xrightarrow{\text{ silll }}Q$ , on peul trouver une suite finie de polynomes de degré $n$ ,

P_{0},P_{1},\ldots,P_{k}

(19)

tels que:
$1^{\circ}$ Chaque terme $P_{i}$ s’obtient du terme précédent $P_{i-1}$ par une conlruclion de deux racines conséculives.
$2^{\circ}$ Le prenier terme est égal à $P$ ot le dernicr terme est égal à $Q$ .
Nous pouvons faire la démonstration par induction complète.

Pour $n=2$ il suffit de prendre $k=1$ , donc $P_{0}=P,P_{1}=Q$ et 1 e lemme est démontré.

Prenons $n>2$ et supposons que la propriété soit vraie pour les polynomes de degré $2,3,\ldots,n-1$ . Démontrons qu’elle sera vraie aussi pour les polynomes de degré $n$ .

Considérons donc deux polynomes $P,Q$ de degré $n$ et supposons que $P\xrightarrow{mm}Q$ . En vertu du lemme 3 nous pouvons construite une suite finie de polynomes de degré $n$ ,

P_{0},P_{1},\ldots,P_{r},R

(20)

où $P_{0}$ est égal à $P$ et dont les termes vérifient la condition 1 du lemme 4 . De plus le dernier terme $R$ , déterminé par le lemme 3 , vérifie la relation $R\xrightarrow{\mathrm{~m}}Q$ mais non pas la relation $R\xrightarrow{\mathrm{~m}n1}Q$ . Nous continuerons de désigner par $z_{1}<z_{2}<\ldots<z_{n}$ les racines de $R$ .

Si $R$ est égal à $Q$ , la suite (20) vérifie toutes les conditions imposées à la suite (19) et le lemme 4 est démontré.

Dans le cas contraire, seulement $j$ , où $1\leqq j<n-1$ , des relations (17) se réduisent à des égalités. Soient $i_{1},i_{2},\ldots,i_{j}$ les valeurs de $i$ pour lesquelles nous avons l’égalité dans (17), pour les autres valeurs de $i$ l’inégalité au sens stricte (donc avec < ) étant valable. Nous pouvons supposer $0=i_{0}<i_{1}<i_{2}<\ldots<i_{j}<i_{j+1}=n$ . Considérons maintenant les couples d’indices consécutifs $i_{s},i_{s+1}$ . Ces couples sont de deux catégories:
$1^{\circ}\mathrm{Si}i_{s+1}-i_{s}=1$ les couples sont de la première catégorie et nous avo11s $z_{i_{s}+1}=y_{i_{s}+1}$ .
$2^{\circ}\mathrm{Si}i_{s+1}-i_{s}>1$ . les couples sont de 1a seconde catégorie et dans ce cas nous avons

\begin{gathered}z_{i_{s}+1}+z_{i_{s}+2}+\ldots+z_{i_{s}+v}<y_{i_{s}+1}+y_{i_{s}+2}+\ldots+y_{i_{s}+v}\\ v=1,2,\ldots,i_{s+1}-i_{s}-1\\ z_{i_{s}+1}+z_{i_{s}+2}+\therefore+z_{i_{s+1}}=y_{i_{s}+1}+y_{i_{s}+2}+\ldots+y_{i_{s+1}}\end{gathered}

Mais, nous avons $i_{s+1}-i_{s}<n$ et, en vertu des hypothèses faites le lemme 4 est vraie pour les polynomes de degré $<n$ . Il en résulte que nous pouvons appliquer succesivement à $R$ un nombre fini de contractions de deux racines consécutives $z_{i},z_{i+1}$ , où $i_{s}+1\leqq i\leqq i_{s+1}-1$ de manière que les racines $z_{i_{s}+1},z_{i_{s}+2},\ldots,z_{i_{s-1}}$ deviennent respectivement égales à $y_{i_{s}+1},y_{i_{s}+2},\ldots,y_{i_{s+1}}$ , laissant les autres racines inchangées. Il en résulte done que nous pouvons prolonger la suite (20) tel que

P_{0},P_{1},\ldots,P_{r},R,R_{1},\ldots,R_{r^{\prime}}

où les termes vérifient les mêmes conditions que ceux de la suite (20), sauf que le dernier terme $R_{r^{\prime}}$ , a un nombre d’une unité moindre de couples d’indices consécutifs de la seconde catégorie.

Puisque évidemment, seulement un nombre fini de couples d’indices consécutifs $i_{s},i_{s+1}$ de la seconde catégorie existent, on voit que, en répétant éventuellement un nombre fini de fois le procédé de plus haut, nous arrivons à construire une suite (19), en prolongeant convenablement la suite (20) et qui vérifie toutes les conditions du lemme 4.

Le lemme 4 est donc démontré.
17. Enfin, nous avons le
$\mathrm{I}_{1}$ emme 5. Si $P$ est un polynome de degré $n>1$ , ayant toutes ses racines simples et si le polynome $Q$ s’obtient de $P$ par une contraction de deux racines consécutives, on a $P^{\prime}\xrightarrow{mm}Q^{\prime}$ .

Avant de démontrer ce lemme nous allons montrer qu’alors le théorème 6 en résulte. En effet, soient $P,Q$ deux polynomes de degré $n>1$ et supposons que $P\xrightarrow{mm}Q$ . Nous appliquons le lemme 4 , en construisant 1 a suite (19) qui vérifie les propriétés $1^{\circ},2^{\circ}$ de ce lemme. En vertu du lemme 5, hous avons alors $P_{i-1}^{\prime}\xrightarrow{111m}P_{i}^{\prime},i=1,2,\ldots,k$ , d’où, compte tenant de la transitivité de la relation $\xrightarrow{mm}$ , nous déduisons $P_{0}^{\prime}\xrightarrow{mm}P_{k}^{\prime}$ , donc aussi $P^{\prime}\xrightarrow{mm}Q^{\prime}$ et le théorème (i) est démontré.
18. Il reste à démontrer le lemme 5 .

De ce qui précède il résulte qu’il suffit de faire la démonstration pour $n>2$ . On voit alors facilement que le lemme 5 est équivalent au

Lemme 6. Si $a<b,0<\rho<\frac{b-a}{2}$ et si $f=(x-a)(x-b)h,g==(x-a-\rho)(x-b+\rho)h$ , où $h$ est un polynome de degré $n>0$ ayant toutes ses racines réelles, simples et situées en dehors de l’intervalle fermé $[a,b]$ , nous avons $f^{\prime\prime}\xrightarrow{mm}g^{\prime}$ .

Le polynome $g$ résulte du polynome $f$ en appliquant une contraction aux racines $a$ et $b$ .

Désignons par

x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n},\quad y_{1}<y_{2}<\ldots<y_{n-1}

les racines de $h$ et $h^{\prime}$ (si $n>1$ ) et désignons par

z_{1}<z_{2}<\ldots<z_{n+1},z_{1}^{\prime}<z_{2}^{\prime}<\ldots<z_{n+1}^{\prime}

les racines des polynomes $f^{\prime},g^{\prime}$ . Soit $k$ l’indice déterminé tel que

x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{k-1}<a<b<x_{k}<x_{k+1}<\ldots<x_{n}

si $1<k<n+1$ et posons $k=1$ si toutes les racines $x_{i}$ sont à droite de $b$ et $k=n+1$ si toutes les racines $x_{i}$ sont à gauche de $a$ . Le nombre naturel $k$ est bien déterminé et prend les valeurs $1,2,\ldots,n+1$ . Alors $z_{k}$ est la racine de $t^{\prime}$ qui est comprise entre $a$ et $b$ et $z_{k}^{\prime}$ la racines de $g^{\prime}$ qui est comprise entre $a+\rho$ et $b-\rho$ . Les autres couples de racines $z_{i}$ , $z_{i}^{\prime}$ sont respectivement compris dans les intervalles ouverts:

		$\displaystyle\left(x_{i},x_{i+1}\right),\quad\text{ pour }i=1,2,\ldots,k-2,$
		$\displaystyle\left(x_{k-1},\frac{a+b}{2}\right),\text{ pour }i=k-1,$
		$\displaystyle\left(\frac{a+b}{2},x_{k}\right),\text{ pour }i=k+1,$
		$\displaystyle\left(x_{i-2},x_{i-1}\right),\text{ pour }i=k+2,k+3,\ldots,n+1.$

Dans ce tableau nous supprimons les deux premières lignes si $k=1$ , 1a première ligne si $k=2$ , la dernière ligne si $k=n$ et les deux dernières lighes si $k=n+1$ . Enfin, pour $n=1$ et $n=2$ nous gardons l’une ou les deux de la seconde et la troisième lignes.

Les formules

\left\{\begin{array}[]{l}f^{\prime}=(x-a)(x-b)h^{\prime}+(2x-a-b)h\\ g^{\prime}=(x-a-\rho)(x-b+\rho)h^{\prime}+(2x-a-b)h\end{array}\right.

nous montrent, puisque $h,h^{\prime}$ ne peuvent avoir des racines communes, que $f^{\prime},g^{\prime}$ ne peuvent avoir que $\frac{a+b}{2}$ comme racine commune et ceci si et setulement si $h^{\prime}$ s’annule pour $x=\frac{a+b}{2}$ . Alors $z_{k}=z_{k}^{\prime}=\frac{a+b}{2}$ . Si $i\neq k$ , nous avons $z_{i}\neq z_{i}^{\prime}$ et pour un tel $i,z_{i},z_{i}^{\prime}$ ne peuvent être des racines de $h^{\prime}$ . D’ailleurs nous avons la formule

f^{\prime}=g^{\prime}-\rho(b-a-\rho)h^{\prime},

(22)

qui résulte de (21).
Pour étudier encore les couples $z_{i},z_{i}^{\prime}$ pour $i\neq k$ , nous allons distinguer deux cas:

Cas 1. Supposons que $k>1$ et examinons les racines $z_{i},z_{i}^{\prime}$ pour $i<k$ . De la seconde formule (21) il résulte, pour un tel $i$ ,

h\left(z_{i}^{\prime}\right)h^{\prime}\left(z_{i}^{\prime}\right)>0

(23)

et de la première formule (21) et de la formule (22) il résulte que

\operatorname{sg}f^{\prime}\left(x_{i}\right)=\operatorname{sg}h^{\prime}\left(x_{i}\right),\operatorname{sg}f^{\prime}\left(z_{i}^{\prime}\right)=-\operatorname{sg}h^{\prime}\left(z_{l}^{\prime}\right),

(24)

en utilisant ici la fonction sg $x$ qui, par définition, est égale à $-1,0$ respectjvement 1 suivant que $x$ est $<$ , $=$ respectivement $>0$ .

De (23) il résulte que $z_{l}^{\prime}$ est dans le voisinage droit de $z_{i}$ , plus exactement dans l’intervalle ( $x_{i},y_{i}$ ). Nous avons alors.

h^{\prime}\left(x_{i}\right)h^{\prime}\left(z_{i}^{\prime}\right)>0

et de (24) il résulte que

\operatorname{sg}f^{\prime}\left(x_{i}\right)f^{\prime}\left(z_{i}^{\prime}\right)=-1

(26)

ce qui nous montre que $f^{\prime}$ a au moins une racine dans l’intervalle ( $x_{i},z_{i}^{\prime}$ ). Mais, nous ne pouvons avoir qu’une racine qui n’est autre que $z_{i}$ vérifiant cette propriété. Il résulte donc que nous avons

z_{i}<z_{i}^{\prime},i=1,2,\ldots,k-1

(27)

Si $k=u+1$ , comme $y_{n}$ nous pouvons prendre le point impropre $\infty$ dans les considérations précédentes.

Cas 2. Supposons que $k<n+1$ et examinons les tacines $z_{i},z_{i}^{\prime}$ pour $i>k$ . En procédant comme plus haut, nous voyons qu’au lieu de (23) nous avons, pour ces valeurs de $i$ ,

h\left(z_{i}\right)\cdot h^{\prime}\left(z_{i}^{\prime}\right)<0

(

\prime

)

qui nous montre que $z_{l}^{\prime}$ est dans le voisinage gauche du point $x_{l-1}$ , plus exactement qu’il est dans l’intervalle $\left(y_{i-2},x_{i-1}\right)$ . Au lieu de (24), (25) et (26) nous avons respectivement

\operatorname{sg}f^{\prime}\left(x_{i-1}\right)=\operatorname{sg}h^{\prime}\left(x_{i-1}\right),\operatorname{sg}f^{\prime}\left(z_{i}^{\prime}\right)=-\operatorname{sg}h^{\prime}\left(z_{i}^{\prime}\right),

(

\prime

)

h^{\prime}\left(x_{i-1}\right)h^{\prime}\left(z_{i}^{\prime}\right)>0

(

\prime

)

\operatorname{sg}f^{\prime}\left(x_{i-1}\right)f^{\prime}\left(z_{i}^{\prime}\right)=-1

(

\prime

)

et on déduit, comme plus haut, que $z_{i}$ est dans l’intervalle ( $z_{l}^{\prime},x_{i-1}$ ).

Nous avons donc,

z_{i}^{\prime}<z_{i},i=k+1,k+2,\ldots,n+1

(

\prime

)

Si $k=1$ , comme $y_{0}$ nous pouvons prendre le point impropre $-\infty$ dans nos considérations.

Les inégalités (27), (27’) et l’égalité

z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{n+1}=z_{1}^{\prime}+z_{2}^{\prime}+\ldots+z_{n+1}^{\prime}

démontrent le lemme 6. En effet, en vertu de cette égalité, les inégalités

z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{i}<z_{1}^{\prime}+z_{2}^{\prime}+\ldots+z_{i}^{\prime},i=1,2,\ldots,n,

sont équivalentes avec les inégalités

\left\{\begin{array}[]{l}z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{i}<z_{1}^{\prime}+z_{2}^{\prime}+\ldots+z_{i}^{\prime},i=1,2,\ldots,k-1,\\ z_{i+1}^{\prime}+z_{i+2}^{\prime}+\ldots+z_{n+1}^{\prime}<z_{i+1}+z_{i+2}+\ldots+z_{n+1},i=k,k+1,\ldots,n\end{array}\right.

Si $k=1$ on supprime les inégalités (27) et les premières inégalités (28) et si $k=n+1$ on supprime les inégalités (27’) et les dernières inégalités (28). Le raisonnement reste toujours valable.

Le théorème 6 est donc complètement démontré.
Remarque. La cas 2 peut être déduit du cas 1 si nous utilisons la propriété que lorsque les racines d’un polynome sont soumises à une transformation linéaire, les racines de la dérivée de ce polynome souffrent la même le 6 transformation des valeurs particulières quelconques de $a$ et de $b$ (par seulement pour des a exemple pour $a=0,b=1$ . ou bien pour $a=-1,b=1$ ).
19. Des résultats précédents nous pouvons déduire des conséquences pour le cas où nous avons (12) ou (12’), majs l’égalité (13) se transforme dans une inégalité.

La relation $P\xrightarrow{mc}Q$ signifie que les racines (1) des polynomes $P,Q$ de degré $n\geqq 1$ vérifient les inégalités

x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{i}\leqq y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{i},i=1,2,\ldots,n

et la relation $P\xrightarrow{\text{ memc }}Q$ signifie que les racines $\left(1^{\prime}\right)$ des polynomes $P,Q$ đe degré $n\geqq 1$ vérifient les inégalités

x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{i}<y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{i},i=1,2,\ldots,n.

La relation $\xrightarrow{mc}$ est (reflexive et) transitive et la relation $\xrightarrow{memc}$ est également transitive. De $P\xrightarrow{\mathrm{c}}Q$ respectivement $P\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q$ il résulte $P\xrightarrow{\mathrm{mc}}Q$ respectivement $P\xrightarrow{mcmc}Q$ et de $P\xrightarrow{m}Q$ il résulte que $P\xrightarrow{mc}Q$ , etc.

Nous avons alors la
Conséquence 4. Si $P,Q$ sont deux polynomes dé degré $n>1$ , de $P\xrightarrow{\mathrm{mc}}Q$ il résulte que $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{mc}}Q^{\prime}$ .

En effet, si $R$ est un polynome de degré $n$ ayant comme racines $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1},y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n-1}\right)$ , nous avons $P\xrightarrow{\mathrm{c}}R,R\xrightarrow{\mathrm{~m}}Q$ . Nous avons donc $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{c}}R^{\prime},R^{\prime}\rightarrow Q^{\prime}$ . Il en résulte que $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{mc}}R^{\prime}$ , $R^{\prime}\xrightarrow{mc}Q^{\prime}$ , d’où $P^{\prime}\xrightarrow{mc}Q^{\prime}$ , ce qui démontre la conséquence 4.

Nous avons aussi la
Conséquence 5. Si $P,Q$ sont deux polynomes de degré $n>1$ , de $P\xrightarrow{\text{ mcmc }}Q$ il résulte que $P^{\prime}\xrightarrow{\text{ mcmc }}Q^{\prime}$ .

Soit $R$ le polynome précédent. Nous avons, dans ce cas, $P^{\prime}\rightarrow R^{\prime}$ , sans que l’égalité (13) soit vérifiée, et $R^{\prime}\xrightarrow{mn}Q^{\prime}$ . On voit facilenent que la relation $P^{\prime}\xrightarrow{\text{ memc }}Q^{\prime}$ en résulte.

La conséquence 4 peut être déduite de la conséquence 5 . Désignons par (14) les racines du polynome $P$ de degré $n$ et soit $P_{Q}$ un polynome de degré $n$ ayant comme racines $x_{i}-(n-i)p$ , où $p$ est un nombre positif. Le polynome $P_{Q}$ a toutes ses racines simples et si $\rho\rightarrow 0$ les racines de $P_{Q}$ respectivement celles de $P_{\circ}^{\prime}$ tendent vers les racines de $P$ respectivement vers celles de $P^{\prime}$ . Un calcul. simple, analogue à celui du no. 13, nous montre que si $P\xrightarrow{mc}Q$ nous avons aussi $P_{2\varrho}\xrightarrow{mcmc}Q_{Q}$ . En supposant donc la conséquence 5 démontrée, nous avons $P_{2\varrho}^{\prime}\xrightarrow{\text{ mcmc }}Q_{\varrho}$ , d’où, en faisant $\rho\rightarrow 0$ , on déduit $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{mc}}Q^{\prime}$ , ce qui démontre la conséquence 4 .

Enfin, la conséquence 5 peut être démontrée aussi en tenant compte du lemme 1 , du théorème 6 et en faisant croître la dermière racine $x_{n}$ du polynome $P$ . Nous prions le lecteur de faire cette démonstration.

BIBLIOGRAPHIF

[1] Hardy G. H., Littlewood J. E., Pó1y a G., Inequalities, 1934.
[2] Markov W. A., Über Polynome die in einen gegebenen Intervalle mőglichst wenig von Null abweichen. Mathematische Annalen, 77, 213-258 (1916).
[3] Montel P., Sur les fractions rationnelles à termes entrelacés, Mathematica, 5, 110-129 (1931). Reçu le 11. VI. 1960.

9 - Mathematica

Sur un théorème de W.A. Markov

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SUR UN THEORÈME DE W. A. MARKOV

MATHEMATICA

SOCIETA’TEA DE ŞTIIN’PE MATEMATICE ŞI FIZICE DIN R. P. R. FILIALAA CI,UJ

MATHEMATICA

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BIBLIOGRAPHIF

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