SUR UNE CONDITION SUFFISANTE POUR QU'UN POLYNOME SOIT POSITIF
par
Reçu le 5 Mai 1935.
Considérons un polynome de degré
2
m
2
m
2m 2 m 2 m
f
(
x
)
=
a
0
c
0
+
a
1
c
1
x
+
,
…
,
+
a
k
c
k
x
k
+
…
,
+
a
2
m
c
2
m
x
2
m
f
(
x
)
=
a
0
c
0
+
a
1
c
1
x
+
,
…
,
+
a
k
c
k
x
k
+
…
,
+
a
2
m
c
2
m
x
2
m
f(x)=a_(0)c_(0)+a_(1)c_(1)x+,dots,+a_(k)c_(k)x^(k)+dots,+a_(2m)c_(2m)x^(2m) f(x)=a_{0} c_{0}+a_{1} c_{1} x+, \ldots,+a_{k} c_{k} x^{k}+\ldots,+a_{2 m} c_{2 m} x^{2 m} f ( x ) = a 0 c 0 + a 1 c 1 x + , … , + a k c k x k + … , + a 2 m c 2 m x 2 m où
a
0
,
a
1
,
…
,
a
k
,
…
,
a
m
a
0
,
a
1
,
…
,
a
k
,
…
,
a
m
a_(0),a_(1),dots,a_(k),dots,a_(m) a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k}, \ldots, a_{m} a 0 , a 1 , … , a k , … , a m sont des constantes positives et
c
l
c
l
c_(l) c_{l} c l des coefficients réels.
Mettons ce polynome sous la forme
f
(
x
)
=
∑
i
=
0
m
−
1
[
α
i
c
2
i
x
2
i
(
1
+
β
i
c
2
i
+
1
c
2
i
x
)
2
+
γ
i
1
λ
2
c
2
i
c
2
i
+
2
−
c
2
i
+
1
2
c
2
i
x
2
i
+
2
]
+
α
m
c
2
m
x
2
m
f
(
x
)
=
∑
i
=
0
m
−
1
α
i
c
2
i
x
2
i
1
+
β
i
c
2
i
+
1
c
2
i
x
2
+
γ
i
1
λ
2
c
2
i
c
2
i
+
2
−
c
2
i
+
1
2
c
2
i
x
2
i
+
2
+
α
m
c
2
m
x
2
m
f(x)=sum_(i=0)^(m-1)[alpha_(i)c_(2i)x^(2i)(1+beta_(i)(c_(2i+1))/(c_(2i))x)^(2)+gamma_(i)((1)/(lambda^(2))c_(2i)c_(2i+2)-c_(2i+1)^(2))/(c_(2i))x^(2i+2)]+alpha_(m)c_(2m)x^(2m) f(x)=\sum_{i=0}^{m-1}\left[\alpha_{i} c_{2 i} x^{2 i}\left(1+\beta_{i} \frac{c_{2 i+1}}{c_{2 i}} x\right)^{2}+\gamma_{i} \frac{\frac{1}{\lambda^{2}} c_{2 i} c_{2 i+2}-c_{2 i+1}^{2}}{c_{2 i}} x^{2 i+2}\right]+\alpha_{m} c_{2 m} x^{2 m} f ( x ) = ∑ i = 0 m − 1 [ α i c 2 i x 2 i ( 1 + β i c 2 i + 1 c 2 i x ) 2 + γ i 1 λ 2 c 2 i c 2 i + 2 − c 2 i + 1 2 c 2 i x 2 i + 2 ] + α m c 2 m x 2 m
et déterminons les constantes
α
i
,
β
i
,
γ
i
α
i
,
β
i
,
γ
i
alpha_(i),beta_(i),gamma_(i) \alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i} α i , β i , γ i par identification. Nous obtenons
α
0
=
a
0
,
2
α
i
β
i
=
a
2
i
+
1
,
β
i
2
α
i
=
γ
i
,
α
i
+
1
+
γ
i
λ
2
=
a
2
i
+
2
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
α
0
=
a
0
,
2
α
i
β
i
=
a
2
i
+
1
,
β
i
2
α
i
=
γ
i
,
α
i
+
1
+
γ
i
λ
2
=
a
2
i
+
2
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
{:[alpha_(0)=a_(0)","quad2alpha_(i)beta_(i)=a_(2i+1)","quadbeta_(i)^(2)alpha_(i)=gamma_(i)","alpha_(i+1)+(gamma_(i))/(lambda^(2))=a_(2i+2)],[i=0","1","dots","m-1]:} \begin{gathered}
\alpha_{0}=a_{0}, \quad 2 \alpha_{i} \beta_{i}=a_{2 i+1}, \quad \beta_{i}^{2} \alpha_{i}=\gamma_{i}, \alpha_{i+1}+\frac{\gamma_{i}}{\lambda^{2}}=a_{2 i+2} \\
i=0,1, \ldots, m-1
\end{gathered} α 0 = a 0 , 2 α i β i = a 2 i + 1 , β i 2 α i = γ i , α i + 1 + γ i λ 2 = a 2 i + 2 i = 0 , 1 , … , m − 1 Les constantes
α
i
α
i
alpha_(i) \alpha_{i} α i sont donc déterminées par les relations de récurrence
α
0
=
a
0
,
α
i
+
1
+
a
2
i
+
1
2
4
λ
2
α
i
=
a
2
i
+
2
,
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
.
α
0
=
a
0
,
α
i
+
1
+
a
2
i
+
1
2
4
λ
2
α
i
=
a
2
i
+
2
,
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
.
alpha_(0)=a_(0),alpha_(i+1)+(a_(2i+1)^(2))/(4lambda^(2)alpha_(i))=a_(2i+2),quad i=0,1,dots,m-1. \alpha_{0}=a_{0}, \alpha_{i+1}+\frac{a_{2 i+1}^{2}}{4 \lambda^{2} \alpha_{i}}=a_{2 i+2}, \quad i=0,1, \ldots, m-1 . α 0 = a 0 , α i + 1 + a 2 i + 1 2 4 λ 2 α i = a 2 i + 2 , i = 0 , 1 , … , m − 1 . Nous pouvons écrire
α
i
=
P
^
i
+
1
(
λ
)
λ
P
i
(
λ
)
α
i
=
P
^
i
+
1
(
λ
)
λ
P
i
(
λ
)
alpha_(i)=( hat(P)_(i+1)(lambda))/(lambdaP_(i)(lambda)) \alpha_{i}=\frac{\hat{P}_{i+1}(\lambda)}{\lambda P_{i}(\lambda)} α i = P ^ i + 1 ( λ ) λ P i ( λ ) et alors
P
k
(
λ
)
P
k
(
λ
)
P_(k)(lambda) P_{k}(\lambda) P k ( λ ) est un polynome de degré
k
k
k k k en
λ
λ
lambda \lambda λ .
Ces polynomes vérifient les relations de récurrence
P
0
(
λ
)
=
1
,
P
1
(
λ
)
=
a
0
λ
,
P
i
+
2
(
λ
)
−
λ
a
2
i
+
2
P
i
+
1
(
λ
)
+
a
2
i
+
1
2
4
P
i
(
λ
)
=
0
P
0
(
λ
)
=
1
,
P
1
(
λ
)
=
a
0
λ
,
P
i
+
2
(
λ
)
−
λ
a
2
i
+
2
P
i
+
1
(
λ
)
+
a
2
i
+
1
2
4
P
i
(
λ
)
=
0
P_(0)(lambda)=1,quadP_(1)(lambda)=a_(0)lambda,quadP_(i+2)(lambda)-lambdaa_(2i+2)P_(i+1)(lambda)+(a_(2i+1)^(2))/(4)P_(i)(lambda)=0 \mathrm{P}_{0}(\lambda)=1, \quad \mathrm{P}_{1}(\lambda)=a_{0} \lambda, \quad \mathrm{P}_{i+2}(\lambda)-\lambda a_{2 i+2} \mathrm{P}_{i+1}(\lambda)+\frac{a_{2 i+1}^{2}}{4} \mathrm{P}_{i}(\lambda)=0 P 0 ( λ ) = 1 , P 1 ( λ ) = a 0 λ , P i + 2 ( λ ) − λ a 2 i + 2 P i + 1 ( λ ) + a 2 i + 1 2 4 P i ( λ ) = 0 Posons
Q
0
λ
)
=
P
0
(
λ
)
,
Q
i
(
λ
)
=
P
i
(
λ
)
a
0
a
2
,
…
,
a
2
i
−
2
Q
0
λ
=
P
0
(
λ
)
,
Q
i
(
λ
)
=
P
i
(
λ
)
a
0
a
2
,
…
,
a
2
i
−
2
{:Q_(0)lambda)=P_(0)(lambda),quadQ_(i)(lambda)=(P_(i)(lambda))/(a_(0)a_(2),dots,a_(2i-2)) \left.Q_{0} \lambda\right)=P_{0}(\lambda), \quad Q_{i}(\lambda)=\frac{P_{i}(\lambda)}{a_{0} a_{2}, \ldots, a_{2 i-2}} Q 0 λ ) = P 0 ( λ ) , Q i ( λ ) = P i ( λ ) a 0 a 2 , … , a 2 i − 2 nous avons alors
Q
J
(
λ
)
=
1
,
Q
I
(
λ
)
=
λ
,
Q
I
+
2
(
λ
)
−
λ
Q
i
+
1
(
λ
)
+
a
2
i
+
1
2
4
a
2
i
a
2
i
+
2
Q
i
(
λ
)
=
0
Q
J
(
λ
)
=
1
,
Q
I
(
λ
)
=
λ
,
Q
I
+
2
(
λ
)
−
λ
Q
i
+
1
(
λ
)
+
a
2
i
+
1
2
4
a
2
i
a
2
i
+
2
Q
i
(
λ
)
=
0
Q_(J)(lambda)=1,Q_(I)(lambda)=lambda,Q_(I+2)(lambda)-lambdaQ_(i+1)(lambda)+(a_(2i+1)^(2))/(4a_(2i)a_(2i+2))Q_(i)(lambda)=0 Q_{J}(\lambda)=1, Q_{I}(\lambda)=\lambda, Q_{I+2}(\lambda)-\lambda Q_{i+1}(\lambda)+\frac{a_{2 i+1}^{2}}{4 a_{2 i} a_{2 i+2}} Q_{i}(\lambda)=0 Q J ( λ ) = 1 , Q I ( λ ) = λ , Q I + 2 ( λ ) − λ Q i + 1 ( λ ) + a 2 i + 1 2 4 a 2 i a 2 i + 2 Q i ( λ ) = 0 Le polynome
Q
k
(
λ
)
Q
k
(
λ
)
Q_(k)(lambda) Q_{k}(\lambda) Q k ( λ ) a tous ses zéros réels et les zéros de
Q
k
+
1
(
λ
)
Q
k
+
1
(
λ
)
Q_(k+1)(lambda) Q_{k+1}(\lambda) Q k + 1 ( λ ) sont séparés par ceux de
Q
k
(
λ
)
Q
k
(
λ
)
Q_(k)(lambda) Q_{k}(\lambda) Q k ( λ ) .
Pour que les constantes
α
i
α
i
alpha_(i) \alpha_{i} α i soient toutes positives il faut que
λ
λ
lambda \lambda λ soit plus grand que le plus grand zéro de
Q
m
+
1
(
λ
)
Q
m
+
1
(
λ
)
Q_(m+1)(lambda) Q_{m+1}(\lambda) Q m + 1 ( λ ) . Dans ce cas les constantes
β
i
β
i
beta_(i) \beta_{i} β i et
γ
i
γ
i
gamma_(i) \gamma_{i} γ i sont aussi toutes positives.
On voit done que si l'on a
c
0
>
0
,
1
λ
2
c
2
i
r
2
i
+
2
−
c
2
i
+
1
2
>
0
(
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
)
c
0
>
0
,
1
λ
2
c
2
i
r
2
i
+
2
−
c
2
i
+
1
2
>
0
(
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
)
{:[c_(0) > 0","quad(1)/(lambda^(2))c_(2i)r_(2i+2)-c_(2i+1)^(2) > 0],[(i=0","1","dots","m-1)]:} \begin{gathered}
c_{0}>0, \quad \frac{1}{\lambda^{2}} c_{2 i} r_{2 i+2}-c_{2 i+1}^{2}>0 \\
(i=0,1, \ldots, m-1)
\end{gathered} c 0 > 0 , 1 λ 2 c 2 i r 2 i + 2 − c 2 i + 1 2 > 0 ( i = 0 , 1 , … , m − 1 ) où
λ
λ
lambda \lambda λ est au moins égale à la plus grande racine
λ
m
+
1
λ
m
+
1
lambda_(m+1) \lambda_{m+1} λ m + 1 de l'équation
Q
m
+
1
(
λ
)
=
0
Q
m
+
1
(
λ
)
=
0
Q_(m+1)(lambda)=0 \mathrm{Q}_{m+1}(\lambda)=0 Q m + 1 ( λ ) = 0 , le polynome
f
(
x
)
f
(
x
)
f(x) f(x) f ( x ) est positif.
2. - La limite trouvée
λ
m
+
1
λ
m
+
1
lambda_(m+1) \lambda_{m+1} λ m + 1 est la meilleure possible. Om peut le voir directement, ou bien de la manière suivante:
Posons
c
2
i
=
x
i
2
,
1
λ
2
c
2
i
c
2
i
+
2
−
c
2
i
+
1
2
=
0
,
c
2
i
+
1
=
−
1
λ
x
i
x
+
1
i
=
0
,
1
,
…
,
m
(
x
i
≠
0
)
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
c
2
i
=
x
i
2
,
1
λ
2
c
2
i
c
2
i
+
2
−
c
2
i
+
1
2
=
0
,
c
2
i
+
1
=
−
1
λ
x
i
x
+
1
i
=
0
,
1
,
…
,
m
x
i
≠
0
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
{:[c_(2i)=x_(i)^(2)","quad(1)/(lambda^(2))c_(2i)c_(2i+2)-c_(2i+1)^(2)=0","quadc_(2i+1)=-(1)/(lambda)x_(i)x_(+1)],[i=0","1","dots","m quad(x_(i)!=0)quad i=0","1","dots","m-1]:} \begin{gathered}
c_{2 i}=x_{i}^{2}, \quad \frac{1}{\lambda^{2}} c_{2 i} c_{2 i+2}-c_{2 i+1}^{2}=0, \quad c_{2 i+1}=-\frac{1}{\lambda} x_{i} x_{+1} \\
i=0,1, \ldots, m \quad\left(x_{i} \neq 0\right) \quad i=0,1, \ldots, m-1
\end{gathered} c 2 i = x i 2 , 1 λ 2 c 2 i c 2 i + 2 − c 2 i + 1 2 = 0 , c 2 i + 1 = − 1 λ x i x + 1 i = 0 , 1 , … , m ( x i ≠ 0 ) i = 0 , 1 , … , m − 1 et déterminons
λ
λ
lambda \lambda λ de la manière que l'équation
f
(
x
)
=
0
f
(
x
)
=
0
f(x)=0 f(x)=0 f ( x ) = 0 puise avoir aut moins une racine réelle. On voit immédiatement qu'il suffit d'examiner les cas où +1 est une racine de cette équation. Nous avons alors
a
0
x
0
2
+
a
2
x
1
2
+
,
…
,
+
a
2
m
x
m
2
=
1
λ
(
a
1
x
0
x
1
+
a
3
x
m
x
2
+
…
+
a
2
m
−
1
x
m
−
1
x
m
)
a
0
x
0
2
+
a
2
x
1
2
+
,
…
,
+
a
2
m
x
m
2
=
1
λ
a
1
x
0
x
1
+
a
3
x
m
x
2
+
…
+
a
2
m
−
1
x
m
−
1
x
m
a_(0)x_(0)^(2)+a_(2)x_(1)^(2)+,dots,+a_(2m)x_(m)^(2)=(1)/(lambda)(a_(1)x_(0)x_(1)+a_(3)x_(m)x_(2)+dots+a_(2m-1)x_(m-1)x_(m)) a_{0} x_{0}^{2}+a_{2} x_{1}^{2}+, \ldots,+a_{2 m} x_{m}^{2}=\frac{1}{\lambda}\left(a_{1} x_{0} x_{1}+a_{3} x_{m} x_{2}+\ldots+a_{2 m-1} x_{m-1} x_{m}\right) a 0 x 0 2 + a 2 x 1 2 + , … , + a 2 m x m 2 = 1 λ ( a 1 x 0 x 1 + a 3 x m x 2 + … + a 2 m − 1 x m − 1 x m ) ou
λ
=
a
1
x
0
x
1
+
a
3
x
1
x
2
+
,
…
+
a
2
m
−
1
x
m
−
1
x
m
a
0
x
0
2
+
a
2
x
1
2
+
…
+
+
a
2
m
x
m
2
λ
=
a
1
x
0
x
1
+
a
3
x
1
x
2
+
,
…
+
a
2
m
−
1
x
m
−
1
x
m
a
0
x
0
2
+
a
2
x
1
2
+
…
+
+
a
2
m
x
m
2
lambda=(a_(1)x_(0)x_(1)+a_(3)x_(1)x_(2)+,dots+a_(2m-1)x_(m-1)x_(m))/(a_(0)x_(0)^(2)+a_(2)x_(1)^(2)+dots++a_(2m)x_(m)^(2)) \lambda=\frac{a_{1} x_{0} x_{1}+a_{3} x_{1} x_{2}+, \ldots+a_{2 m-1} x_{m-1} x_{m}}{a_{0} x_{0}^{2}+a_{2} x_{1}^{2}+\ldots++a_{2 m} x_{m}^{2}} λ = a 1 x 0 x 1 + a 3 x 1 x 2 + , … + a 2 m − 1 x m − 1 x m a 0 x 0 2 + a 2 x 1 2 + … + + a 2 m x m 2
λ
λ
lambda \lambda λ doit donc être compris entre le maximum et le minimam du second membre, autrement dit entre le maximum et le minimum de la forme quadraticue
∑
i
=
0
m
−
1
a
2
i
+
1
x
i
x
i
+
1
∑
i
=
0
m
−
1
a
2
i
+
1
x
i
x
i
+
1
sum_(i=0)^(m-1)a_(2i+1)x_(i)x_(i+1) \sum_{i=0}^{m-1} a_{2 i+1} x_{i} x_{i+1} ∑ i = 0 m − 1 a 2 i + 1 x i x i + 1 lorsque les variables sont liées par la re1ation
∑
i
=
0
m
a
2
i
x
1
2
=
1
∑
i
=
0
m
a
2
i
x
1
2
=
1
sum_(i=0)^(m)a_(2i)x_(1)^(2)=1 \sum_{i=0}^{m} a_{2 i} x_{1}^{2}=1 ∑ i = 0 m a 2 i x 1 2 = 1 .
Il en résulte que
λ
λ
lambda \lambda λ est compris entre la plus petite et la plus grande racine de l'équation caractéristique
R
n
+
1
(
x
)
=
|
−
2
x
a
0
a
1
0
0
…
…
…
0
a
1
−
2
x
a
2
a
3
0
…
…
…
0
0
a
3
−
2
x
a
4
a
5
…
…
…
…
⋯
…
…
…
…
…
…
0
0
0
0
…
…
a
2
m
−
1
−
2
x
a
2
m
|
=
0
R
n
+
1
(
x
)
=
−
2
x
a
0
a
1
0
0
…
…
…
0
a
1
−
2
x
a
2
a
3
0
…
…
…
0
0
a
3
−
2
x
a
4
a
5
…
…
…
…
⋯
…
…
…
…
…
…
0
0
0
0
…
…
a
2
m
−
1
−
2
x
a
2
m
=
0
R_(n+1)(x)=|[-2xa_(0),a_(1),0,0,dots,dots,dots,0],[a_(1),-2xa_(2),a_(3),0,dots,dots,dots,0],[0,a_(3),-2xa_(4),a_(5),dots,dots,dots,dots],[cdots,dots,dots,dots,dots,dots,dots],[0,0,0,0,dots,dots,a_(2m-1),-2xa_(2m)]|=0 \mathbb{R}_{n+1}(x)=\left|\begin{array}{cccccccc}-2 x a_{0} & a_{1} & 0 & 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \\ a_{1} & -2 x a_{2} & a_{3} & 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \\ 0 & a_{3} & -2 x a_{4} & a_{5} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \cdots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & \ldots & a_{2 m-1} & -2 x a_{2 m}\end{array}\right|=0 R n + 1 ( x ) = | − 2 x a 0 a 1 0 0 … … … 0 a 1 − 2 x a 2 a 3 0 … … … 0 0 a 3 − 2 x a 4 a 5 … … … … ⋯ … … … … … … 0 0 0 0 … … a 2 m − 1 − 2 x a 2 m | = 0 .
On voit imédiatement que
R
1
(
x
)
=
−
2
x
a
0
,
R
2
(
x
)
=
4
a
0
a
2
(
x
2
−
a
1
2
4
a
0
a
2
)
R
i
+
2
(
x
)
+
2
x
a
2
i
+
2
R
i
+
1
(
x
)
+
a
2
i
+
1
2
R
i
(
x
)
=
0
R
1
(
x
)
=
−
2
x
a
0
,
R
2
(
x
)
=
4
a
0
a
2
x
2
−
a
1
2
4
a
0
a
2
R
i
+
2
(
x
)
+
2
x
a
2
i
+
2
R
i
+
1
(
x
)
+
a
2
i
+
1
2
R
i
(
x
)
=
0
{:[R_(1)(x)=-2xa_(0)","quadR_(2)(x)=4a_(0)a_(2)(x^(2)-(a_(1)^(2))/(4a_(0)a_(2)))],[R_(i+2)(x)+2xa_(2i+2)R_(i+1)(x)+a_(2i+1)^(2)R_(i)(x)=0]:} \begin{gathered}
\mathrm{R}_{1}(x)=-2 x a_{0}, \quad \mathrm{R}_{2}(x)=4 a_{0} a_{2}\left(x^{2}-\frac{a_{1}^{2}}{4 a_{0} a_{2}}\right) \\
\mathrm{R}_{i+2}(x)+2 x a_{2 i+2} \mathrm{R}_{i+1}(x)+a_{2 i+1}^{2} \mathrm{R}_{i}(x)=0
\end{gathered} R 1 ( x ) = − 2 x a 0 , R 2 ( x ) = 4 a 0 a 2 ( x 2 − a 1 2 4 a 0 a 2 ) R i + 2 ( x ) + 2 x a 2 i + 2 R i + 1 ( x ) + a 2 i + 1 2 R i ( x ) = 0 Il en résulte que
R
i
(
x
)
=
(
−
1
)
i
2
i
a
0
a
2
…
a
2
i
−
2
Q
i
(
x
)
R
i
(
x
)
=
(
−
1
)
i
2
i
a
0
a
2
…
a
2
i
−
2
Q
i
(
x
)
R_(i)(x)=(-1)^(i)2^(i)a_(0)a_(2)dotsa_(2i-2)Q_(i)(x) \mathrm{R}_{i}(x)=(-1)^{i} 2^{i} a_{0} a_{2} \ldots a_{2 i-2} Q_{i}(x) R i ( x ) = ( − 1 ) i 2 i a 0 a 2 … a 2 i − 2 Q i ( x ) La propriété énoncée résulte de cette identité.
Supposons d'abord que
a
:
=
a
1
=
…
=
a
2
m
=
1
a
:
=
a
1
=
…
=
a
2
m
=
1
a_(:)=a_(1)=dots=a_(2m)=1 a_{:}=a_{1}=\ldots=a_{2 m}=1 a : = a 1 = … = a 2 m = 1 Le polynome
Q
′
(
x
)
Q
′
(
x
)
Q^(')(x) Q^{\prime}(x) Q ′ ( x ) n'est autre que le polynome trigonométrique
Q
i
(
x
)
=
sin
(
i
+
1
)
arccos
x
2
′
1
−
x
2
Q
i
(
x
)
=
sin
(
i
+
1
)
arccos
x
2
′
1
−
x
2
Q_(i)(x)=(sin(i+1)arccos x)/(2^(')sqrt(1-x^(2))) Q_{i}(x)=\frac{\sin (i+1) \arccos x}{2^{\prime} \sqrt{1-x^{2}}} Q i ( x ) = sin ( i + 1 ) arccos x 2 ′ 1 − x 2 et nous avons alors
λ
m
+
1
=
cos
π
m
+
2
λ
m
+
1
=
cos
π
m
+
2
lambda_(m+1)=cos((pi)/(m+2)) \lambda_{m+1}=\cos \frac{\pi}{m+2} λ m + 1 = cos π m + 2 Nous en déduisons done la propriété suivante:
Si les coefficients
c
0
,
c
1
,
c
2
,
…
,
c
2
m
c
0
,
c
1
,
c
2
,
…
,
c
2
m
c_(0),c_(1),c_(2),dots,c_(2m) c_{0}, c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{2 m} c 0 , c 1 , c 2 , … , c 2 m du polynome
(1)
c
0
+
c
1
x
+
c
2
x
2
+
…
+
c
2
m
x
2
m
c
0
+
c
1
x
+
c
2
x
2
+
…
+
c
2
m
x
2
m
c_(0)+c_(1)x+c_(2)x^(2)+dots+c_(2m)x^(2m) c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\ldots+c_{2 m} x^{2 m} c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + … + c 2 m x 2 m vérifient les inég clités
c
0
>
0
,
μ
c
2
i
c
2
i
+
2
−
c
i
i
+
1
2
>
0
,
1
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
c
0
>
0
,
μ
c
2
i
c
2
i
+
2
−
c
i
i
+
1
2
>
0
,
1
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
c_(0) > 0,quad muc_(2i)c_(2i+2)-c_(ii+1)^(2) > 0,quad1=0,1,dots,m-1 c_{0}>0, \quad \mu c_{2 i} c_{2 i+2}-c_{i i+1}^{2}>0, \quad 1=0,1, \ldots, m-1 c 0 > 0 , μ c 2 i c 2 i + 2 − c i i + 1 2 > 0 , 1 = 0 , 1 , … , m − 1 où
μ
≤
1
cos
2
π
m
+
2
μ
≤
1
cos
2
π
m
+
2
mu <= (1)/(cos^(2)((pi)/(m+2))) \mu \leq \frac{1}{\cos ^{2} \frac{\pi}{m+2}} μ ≤ 1 cos 2 π m + 2 , ce polynome est positif.
Si
μ
>
1
cos
2
π
m
+
2
μ
>
1
cos
2
π
m
+
2
mu > (1)/(cos^(2)((pi)/(m+2))) \mu>\frac{1}{\cos ^{2} \frac{\pi}{m+2}} μ > 1 cos 2 π m + 2 la propriété n'est plus vraie. On peut d'ailleurs montrér que dans ce cas le polynome, tout en vérifiant les inégalités écrites, peut changer de signe.
En particulier, en prenant
μ
=
1
μ
=
1
mu=1 \mu=1 μ = 1 , nous avons le théorème suivant, dú à M. E. B. Van Vleck (
1
1
^(1) { }^{1} 1 ).
Si les coefficients ci vérifient les inégalités
c
0
>
0
,
c
2
l
c
2
l
+
2
−
c
2
l
+
1
2
>
0
,
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
c
0
>
0
,
c
2
l
c
2
l
+
2
−
c
2
l
+
1
2
>
0
,
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
c_(0) > 0,quadc_(2l)c_(2l+2)-c_(2l+1)^(2) > 0,quad i=0,1,dots,m-1 c_{0}>0, \quad c_{2 l} c_{2 l+2}-c_{2 l+1}^{2}>0, \quad i=0,1, \ldots, m-1 c 0 > 0 , c 2 l c 2 l + 2 − c 2 l + 1 2 > 0 , i = 0 , 1 , … , m − 1 le polynome (1) est positif.
4. - En particularisant les valeurs de
a
0
,
a
1
,
…
,
a
2
m
a
0
,
a
1
,
…
,
a
2
m
a_(0),a_(1),dots,a_(2m) a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{2 m} a 0 , a 1 , … , a 2 m on trouve: divers énoncés.
Si nous prenons
a
0
=
1
,
a
1
=
a
2
=
…
=
a
2
m
=
2
a
0
=
1
,
a
1
=
a
2
=
…
=
a
2
m
=
2
a_(0)=1,quada_(1)=a_(2)=dots=a_(2m)=2 a_{0}=1, \quad a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{2 m}=2 a 0 = 1 , a 1 = a 2 = … = a 2 m = 2 le polynome
Q
I
(
x
)
Q
I
(
x
)
Q_(I)(x) Q_{I}(x) Q I ( x ) devient le polynome trigonométrique
Q
t
(
x
)
=
cos
i
(
arccos
x
)
2
i
−
1
Q
t
(
x
)
=
cos
i
(
arccos
x
)
2
i
−
1
Q_(t)(x)=(cos i(arccos x))/(2^(i-1)) Q_{t}(x)=\frac{\cos i(\arccos x)}{2^{i-1}} Q t ( x ) = cos i ( arccos x ) 2 i − 1 et nous avons alors
λ
m
+
1
=
cos
π
2
(
m
+
1
)
λ
m
+
1
=
cos
π
2
(
m
+
1
)
lambda_(m+1)=cos((pi)/(2(m+1))) \lambda_{m+1}=\cos \frac{\pi}{2(m+1)} λ m + 1 = cos π 2 ( m + 1 ) qui nous donne l'énoncé suivant:
Si les coefficients
c
0
,
c
1
,
…
,
c
2
m
d
u
c
0
,
c
1
,
…
,
c
2
m
d
u
c_(0),c_(1),dots,c_(2m)du c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{2 m} d u c 0 , c 1 , … , c 2 m d u polynome (1) vérifient les inégalités
c
0
>
0
,
2
μ
c
0
c
2
−
c
1
2
>
0
,
μ
c
2
i
c
i
+
2
−
c
2
i
+
1
2
>
0
,
i
=
1
,
2
,
…
,
m
−
1
c
0
>
0
,
2
μ
c
0
c
2
−
c
1
2
>
0
,
μ
c
2
i
c
i
+
2
−
c
2
i
+
1
2
>
0
,
i
=
1
,
2
,
…
,
m
−
1
c_(0) > 0,quad2muc_(0)c_(2)-c_(1)^(2) > 0,quad muc_(2i)c_(i+2)-c_(2i+1)^(2) > 0,quad i=1,2,dots,m-1 c_{0}>0, \quad 2 \mu c_{0} c_{2}-c_{1}^{2}>0, \quad \mu c_{2 i} c_{i+2}-c_{2 i+1}^{2}>0, \quad i=1,2, \ldots, m-1 c 0 > 0 , 2 μ c 0 c 2 − c 1 2 > 0 , μ c 2 i c i + 2 − c 2 i + 1 2 > 0 , i = 1 , 2 , … , m − 1 où
μ
≤
1
cos
2
π
2
(
m
+
1
)
μ
≤
1
cos
2
π
2
(
m
+
1
)
mu <= (1)/(cos^(2)((pi)/(2(m+1)))) \mu \leq \frac{1}{\cos ^{2} \frac{\pi}{2(m+1)}} μ ≤ 1 cos 2 π 2 ( m + 1 ) , ce polynome est positif.
Il est à remarquer que ce critère est distinct du précédent. On a en effet
1
cos
2
π
m
+
2
>
1
cos
2
π
2
(
m
+
1
)
,
1
cos
2
π
m
+
2
<
2
cos
2
π
2
(
m
+
1
)
(
1
cos
2
π
m
+
2
>
1
cos
2
π
2
(
m
+
1
)
,
1
cos
2
π
m
+
2
<
2
cos
2
π
2
(
m
+
1
)
(
(1)/(cos^(2)((pi)/(m+2))) > (1)/(cos^(2)((pi)/(2(m+1)))),(1)/(cos^(2)((pi)/(m+2))) < (2)/(cos^(2)((pi)/(2(m+1))))( \frac{1}{\cos ^{2} \frac{\pi}{m+2}}>\frac{1}{\cos ^{2} \frac{\pi}{2(m+1)}}, \frac{1}{\cos ^{2} \frac{\pi}{m+2}}<\frac{2}{\cos ^{2} \frac{\pi}{2(m+1)}}( 1 cos 2 π m + 2 > 1 cos 2 π 2 ( m + 1 ) , 1 cos 2 π m + 2 < 2 cos 2 π 2 ( m + 1 ) ( pour
m
>
1
)
m
>
1
)
m > 1) m>1) m > 1 ) .
Signalons encore un cas. Si
a
i
=
i
+
1
,
i
=
0
,
1
,
2
,
…
,
2
m
a
i
=
i
+
1
,
i
=
0
,
1
,
2
,
…
,
2
m
a_(i)=i+1,quad i=0,1,2,dots,2m a_{i}=i+1, \quad i=0,1,2, \ldots, 2 m a i = i + 1 , i = 0 , 1 , 2 , … , 2 m (1) E. B. Van Vleck "A suficient condition for the maximum number of imaginary roots of an equation of the
n
n
n n n -the degree" Annals of Math. (2), t. 4 (1902-03) p. 191.
Qi (
x
x
x x x ) n'est autre (à un facteur constant près) que le polynome de Legendre de degré
i
i
i i i
Q
i
(
x
)
=
(
2
i
)
!
i
!
d
i
d
x
i
(
x
2
−
1
)
i
Q
i
(
x
)
=
(
2
i
)
!
i
!
d
i
d
x
i
x
2
−
1
i
Q_(i)(x)=((2i)!)/(i!)(d^(i))/(dx^(i))(x^(2)-1)^(i) Q_{i}(x)=\frac{(2 i)!}{i!} \frac{d^{i}}{d x^{i}}\left(x^{2}-1\right)^{i} Q i ( x ) = ( 2 i ) ! i ! d i d x i ( x 2 − 1 ) i Nous trouvons donc une propriété qu'on peut énoncer sous la forme suivante:
Si les coefficients
c
0
,
c
1
,
…
,
c
2
m
c
0
,
c
1
,
…
,
c
2
m
c_(0),c_(1),dots,c_(2m) c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{2 m} c 0 , c 1 , … , c 2 m du polynome (1) vérifient les inégalités
c
0
>
0
,
1
λ
2
⋅
4
(
i
+
1
)
2
(
2
i
+
1
)
(
2
i
+
3
)
c
2
i
c
2
i
+
2
−
c
2
i
+
1
2
>
0
,
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
c
0
>
0
,
1
λ
2
⋅
4
(
i
+
1
)
2
(
2
i
+
1
)
(
2
i
+
3
)
c
2
i
c
2
i
+
2
−
c
2
i
+
1
2
>
0
,
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
c_(0) > 0,quad(1)/(lambda^(2))*(4(i+1)^(2))/((2i+1)(2i+3))c_(2i)c_(2i+2)-c_(2i+1)^(2) > 0,quad i=0,1,dots,m-1 c_{0}>0, \quad \frac{1}{\lambda^{2}} \cdot \frac{4(i+1)^{2}}{(2 i+1)(2 i+3)} c_{2 i} c_{2 i+2}-c_{2 i+1}^{2}>0, \quad i=0,1, \ldots, m-1 c 0 > 0 , 1 λ 2 ⋅ 4 ( i + 1 ) 2 ( 2 i + 1 ) ( 2 i + 3 ) c 2 i c 2 i + 2 − c 2 i + 1 2 > 0 , i = 0 , 1 , … , m − 1 où
λ
λ
lambda \lambda λ est au moins égal au plus grand zéro du polynome de Legendre. de degré
m
+
1
m
+
1
m+1 m+1 m + 1 , ce polynome est positif.
5. - Considérons maintenant le cas où
a
i
=
(
2
m
i
)
,
i
=
0
,
1
,
…
,
2
m
a
i
=
(
2
m
i
)
,
i
=
0
,
1
,
…
,
2
m
a_(i)=((2m)/(i)),quad i=0,1,dots,2m a_{i}=\binom{2 m}{i}, \quad i=0,1, \ldots, 2 m a i = ( 2 m i ) , i = 0 , 1 , … , 2 m On sait que si l'équation
f
(
x
)
=
0
f
(
x
)
=
0
f(x)=0 f(x)=0 f ( x ) = 0 a toutes ses racines réelles. on a
c
2
i
+
1
2
−
c
2
i
c
2
i
+
2
≥
0
,
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
c
2
i
+
1
2
−
c
2
i
c
2
i
+
2
≥
0
,
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
c_(2i+1)^(2)-c_(2i)c_(2i+2) >= 0,quad i=0,1,dots,m-1 c_{2 i+1}^{2}-c_{2 i} c_{2 i+2} \geq 0, \quad i=0,1, \ldots, m-1 c 2 i + 1 2 − c 2 i c 2 i + 2 ≥ 0 , i = 0 , 1 , … , m − 1 Si on considère le polynome sous la forme (1) ces inégalités. s'écrivent sous la forme suivante:
4
(
i
+
1
)
(
m
−
i
)
(
2
i
+
1
)
(
2
m
−
2
ı
−
1
)
c
2
t
c
2
i
+
2
−
c
2
i
+
1
2
≤
0
,
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
4
(
i
+
1
)
(
m
−
i
)
(
2
i
+
1
)
(
2
m
−
2
ı
−
1
)
c
2
t
c
2
i
+
2
−
c
2
i
+
1
2
≤
0
,
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
(4(i+1)(m-i))/((2i+1)(2m-2ı-1))c_(2t)c_(2i+2)-c_(2i+1)^(2) <= 0,quad i=0,1,dots,m-1 \frac{4(i+1)(m-i)}{(2 i+1)(2 m-2 \imath-1)} c_{2 t} c_{2 i+2}-c_{2 i+1}^{2} \leq 0, \quad i=0,1, \ldots, m-1 4 ( i + 1 ) ( m − i ) ( 2 i + 1 ) ( 2 m − 2 ı − 1 ) c 2 t c 2 i + 2 − c 2 i + 1 2 ≤ 0 , i = 0 , 1 , … , m − 1 On obtient donc une propriété contraire en appliquant les résultats précédents. Dans ce cas
λ
m
+
1
λ
m
+
1
lambda_(m+1) \lambda_{m+1} λ m + 1 est la plus grand racine de l'équation
(
b
i
=
(
2
i
+
1
)
(
2
m
−
2
i
+
1
)
γ
i
=
i
(
2
i
+
1
)
)
(
b
i
=
(
2
i
+
1
)
(
2
m
−
2
i
+
1
)
γ
i
=
i
(
2
i
+
1
)
)
{:((b_(i)=(2i+1)(2m-2i+1))/(gamma_(i)=i(2i+1))):} \begin{aligned}
& \binom{b_{i}=(2 i+1)(2 m-2 i+1)}{\gamma_{i}=i(2 i+1)}
\end{aligned} ( b i = ( 2 i + 1 ) ( 2 m − 2 i + 1 ) γ i = i ( 2 i + 1 ) ) Nous avons donc la propriété suivanle:
Si les coefficients
c
0
,
c
1
,
…
,
c
2
n
c
0
,
c
1
,
…
,
c
2
n
c_(0),c_(1),dots,c_(2n) c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{2 n} c 0 , c 1 , … , c 2 n dıc polynome (1) rérifient les: inégalités
c
0
>
0
,
1
λ
2
4
(
i
+
1
)
(
m
−
i
)
(
2
i
+
1
)
(
2
m
−
2
ι
−
1
)
c
2
i
c
2
i
+
2
−
c
2
i
+
1
2
>
0
,
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
c
0
>
0
,
1
λ
2
4
(
i
+
1
)
(
m
−
i
)
(
2
i
+
1
)
(
2
m
−
2
ι
−
1
)
c
2
i
c
2
i
+
2
−
c
2
i
+
1
2
>
0
,
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
c_(0) > 0,(1)/(lambda^(2))(4(i+1)(m-i))/((2i+1)(2m-2iota-1))c_(2i)c_(2i+2)-c_(2i+1)^(2) > 0,quad i=0,1,dots,m-1 c_{0}>0, \frac{1}{\lambda^{2}} \frac{4(i+1)(m-i)}{(2 i+1)(2 m-2 \iota-1)} c_{2 i} c_{2 i+2}-c_{2 i+1}^{2}>0, \quad i=0,1, \ldots, m-1 c 0 > 0 , 1 λ 2 4 ( i + 1 ) ( m − i ) ( 2 i + 1 ) ( 2 m − 2 ι − 1 ) c 2 i c 2 i + 2 − c 2 i + 1 2 > 0 , i = 0 , 1 , … , m − 1 où,
λ
λ
lambda \lambda λ est au moins égal à la plus grande racine de l'équation
S
m
+
1
(
x
)
=
0
S
m
+
1
(
x
)
=
0
S_(m+1)(x)=0 \mathrm{S}_{m+1}(x)=0 S m + 1 ( x ) = 0 , ce polynome est positif.
6. - Examinons en particuliers les cas
m
=
2
,
3
,
4
m
=
2
,
3
,
4
m=2,3,4 m=2,3,4 m = 2 , 3 , 4 .
Soit
m
=
2
m
=
2
m=2 m=2 m = 2 . Si l'équation
(2)
c
0
+
c
1
x
+
c
2
x
2
+
c
3
x
3
+
c
4
x
4
=
0
(2)
c
0
+
c
1
x
+
c
2
x
2
+
c
3
x
3
+
c
4
x
4
=
0
{:(2)c_(0)+c_(1)x+c_(2)x^(2)+c_(3)x^(3)+c_(4)x^(4)=0:} \begin{equation*}
c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+c_{3} x^{3}+c_{4} x^{4}=0 \tag{2}
\end{equation*} (2) c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 = 0 a toutes ses racines réelles on a
8
c
0
c
2
−
3
c
1
2
≤
0
,
8
c
2
c
4
−
3
c
3
2
≤
0
8
c
0
c
2
−
3
c
1
2
≤
0
,
8
c
2
c
4
−
3
c
3
2
≤
0
8c_(0)c_(2)-3c_(1)^(2) <= 0,quad8c_(2)c_(4)-3c_(3)^(2) <= 0 8 c_{0} c_{2}-3 c_{1}^{2} \leq 0, \quad 8 c_{2} c_{4}-3 c_{3}^{2} \leq 0 8 c 0 c 2 − 3 c 1 2 ≤ 0 , 8 c 2 c 4 − 3 c 3 2 ≤ 0 Dans ce cas
S
3
(
x
)
=
−
3
(
3
x
3
−
4
x
)
S
3
(
x
)
=
−
3
3
x
3
−
4
x
S_(3)(x)=-3(3x^(3)-4x) \mathrm{S}_{3}(x)=-3\left(3 x^{3}-4 x\right) S 3 ( x ) = − 3 ( 3 x 3 − 4 x ) . L'équation (2) aura donc itoutes ses racines imaginaires si
c
0
>
0
,
8
μ
c
0
c
2
−
3
c
1
2
>
0
,
8
μ
c
2
c
4
−
3
c
3
2
>
0
c
0
>
0
,
8
μ
c
0
c
2
−
3
c
1
2
>
0
,
8
μ
c
2
c
4
−
3
c
3
2
>
0
c_(0) > 0,quad8muc_(0)c_(2)-3c_(1)^(2) > 0,quad8muc_(2)c_(4)-3c_(3)^(2) > 0 c_{0}>0, \quad 8 \mu c_{0} c_{2}-3 c_{1}^{2}>0, \quad 8 \mu c_{2} c_{4}-3 c_{3}^{2}>0 c 0 > 0 , 8 μ c 0 c 2 − 3 c 1 2 > 0 , 8 μ c 2 c 4 − 3 c 3 2 > 0 où
μ
≤
3
4
=
0
,
75
μ
≤
3
4
=
0
,
75
mu <= (3)/(4)=0,75 \mu \leq \frac{3}{4}=0,75 μ ≤ 3 4 = 0 , 75 .
Soit
m
=
3
m
=
3
m=3 m=3 m = 3 . Si l'équation
(3)
c
0
+
c
1
x
+
c
2
x
2
+
c
3
x
3
+
c
4
x
4
+
c
5
x
5
+
c
6
x
6
=
0
c
0
+
c
1
x
+
c
2
x
2
+
c
3
x
3
+
c
4
x
4
+
c
5
x
5
+
c
6
x
6
=
0
quadc_(0)+c_(1)x+c_(2)x^(2)+c_(3)x^(3)+c_(4)x^(4)+c_(5)x^(5)+c_(6)x^(6)=0 \quad c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+c_{3} x^{3}+c_{4} x^{4}+c_{5} x^{5}+c_{6} x^{6}=0 c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 + c 6 x 6 = 0
a toutes ses racines réelles on a
12
c
0
c
2
−
0
ˇ
c
1
2
≤
0
,
16
c
c
4
−
9
c
3
2
≤
0
,
12
c
4
c
6
−
5
c
5
2
≤
0
12
c
0
c
2
−
0
ˇ
c
1
2
≤
0
,
16
c
c
4
−
9
c
3
2
≤
0
,
12
c
4
c
6
−
5
c
5
2
≤
0
12c_(0)c_(2)-0^(ˇ)c_(1)^(2) <= 0,16 cc_(4)-9c_(3)^(2) <= 0,12c_(4)c_(6)-5c_(5)^(2) <= 0 12 c_{0} c_{2}-\check{0} c_{1}^{2} \leq 0,16 c c_{4}-9 c_{3}^{2} \leq 0,12 c_{4} c_{6}-5 c_{5}^{2} \leq 0 12 c 0 c 2 − 0 ˇ c 1 2 ≤ 0 , 16 c c 4 − 9 c 3 2 ≤ 0 , 12 c 4 c 6 − 5 c 5 2 ≤ 0 Dans ce cas
S
4
(
x
)
=
225
x
4
−
370
x
2
+
8
L
S
4
(
x
)
=
225
x
4
−
370
x
2
+
8
L
S_(4)(x)=225x^(4)-370x^(2)+8L \mathrm{S}_{4}(x)=225 x^{4}-370 x^{2}+8 \mathrm{~L} S 4 ( x ) = 225 x 4 − 370 x 2 + 8 L . L'équation (3) a donc toutes ses racines imaginaires lorsque
c
0
>
0
,
12
μ
c
0
c
2
−
5
c
1
2
>
0
,
16
μ
c
2
c
4
−
9
c
3
2
>
0
,
12
μ
c
4
c
6
−
5
c
5
2
>
0
c
0
>
0
,
12
μ
c
0
c
2
−
5
c
1
2
>
0
,
16
μ
c
2
c
4
−
9
c
3
2
>
0
,
12
μ
c
4
c
6
−
5
c
5
2
>
0
c_(0) > 0,quad12 muc_(0)c_(2)-5c_(1)^(2) > 0,16 muc_(2)c_(4)-9c_(3)^(2) > 0,12 muc_(4)c_(6)-5c_(5)^(2) > 0 c_{0}>0, \quad 12 \mu c_{0} c_{2}-5 c_{1}^{2}>0,16 \mu c_{2} c_{4}-9 c_{3}^{2}>0,12 \mu c_{4} c_{6}-5 c_{5}^{2}>0 c 0 > 0 , 12 μ c 0 c 2 − 5 c 1 2 > 0 , 16 μ c 2 c 4 − 9 c 3 2 > 0 , 12 μ c 4 c 6 − 5 c 5 2 > 0
où
μ
≤
5
(
37
−
8
10
)
81
=
0
,
7
,
23
…
μ
≤
5
(
37
−
8
10
)
81
=
0
,
7
,
23
…
mu <= (5(37-8sqrt10))/(81)=0,7,23 dots \mu \leq \frac{5(37-8 \sqrt{10})}{81}=0,7,23 \ldots μ ≤ 5 ( 37 − 8 10 ) 81 = 0 , 7 , 23 …
Soit enfin
m
=
4
m
=
4
m=4 m=4 m = 4 . Si l'équation
(4)
c
0
+
c
4
x
+
c
2
x
2
+
c
3
x
3
+
c
4
x
4
+
c
5
x
5
+
c
6
x
6
+
c
7
x
7
+
c
8
x
8
=
0
c
0
+
c
4
x
+
c
2
x
2
+
c
3
x
3
+
c
4
x
4
+
c
5
x
5
+
c
6
x
6
+
c
7
x
7
+
c
8
x
8
=
0
quadc_(0)+c_(4)x+c_(2)x^(2)+c_(3)x^(3)+c_(4)x^(4)+c_(5)x^(5)+c_(6)x^(6)+c_(7)x^(7)+c_(8)x^(8)=0 \quad c_{0}+c_{4} x+c_{2} x^{2}+c_{3} x^{3}+c_{4} x^{4}+c_{5} x^{5}+c_{6} x^{6}+c_{7} x^{7}+c_{8} x^{8}=0 c 0 + c 4 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 + c 6 x 6 + c 7 x 7 + c 8 x 8 = 0
a toutes ses racines réelles on a
16
c
0
c
2
−
7
c
1
2
≤
0
,
8
c
2
c
4
−
5
c
3
2
≤
0
,
8
c
4
c
6
−
5
c
5
2
≤
0
,
16
c
6
c
8
−
7
c
7
2
≤
0
16
c
0
c
2
−
7
c
1
2
≤
0
,
8
c
2
c
4
−
5
c
3
2
≤
0
,
8
c
4
c
6
−
5
c
5
2
≤
0
,
16
c
6
c
8
−
7
c
7
2
≤
0
16c_(0)c_(2)-7c_(1)^(2) <= 0,quad8c_(2)c_(4)-5c_(3)^(2) <= 0,quad8c_(4)c_(6)-5c_(5)^(2) <= 0,quad16c_(6)c_(8)-7c_(7)^(2) <= 0 16 c_{0} c_{2}-7 c_{1}^{2} \leq 0, \quad 8 c_{2} c_{4}-5 c_{3}^{2} \leq 0, \quad 8 c_{4} c_{6}-5 c_{5}^{2} \leq 0, \quad 16 c_{6} c_{8}-7 c_{7}^{2} \leq 0 16 c 0 c 2 − 7 c 1 2 ≤ 0 , 8 c 2 c 4 − 5 c 3 2 ≤ 0 , 8 c 4 c 6 − 5 c 5 2 ≤ 0 , 16 c 6 c 8 − 7 c 7 2 ≤ 0 .
Dans ce cas
S
5
(
x
)
=
45
x
(
7
x
2
−
4
)
(
69
−
35
x
2
)
S
5
(
x
)
=
45
x
7
x
2
−
4
69
−
35
x
2
S_(5)(x)=45 x(7x^(2)-4)(69-35x^(2)) \mathrm{S}_{5}(x)=45 x\left(7 x^{2}-4\right)\left(69-35 x^{2}\right) S 5 ( x ) = 45 x ( 7 x 2 − 4 ) ( 69 − 35 x 2 ) . L'équation (4) a donc toutes ses racines imaginaires si
c
0
>
0
,
16
μ
c
0
c
2
−
7
c
1
2
>
0
,
8
μ
c
2
c
4
−
o
ˇ
c
3
2
>
0
8
μ
c
4
c
6
−
5
c
5
2
>
0
,
16
μ
c
6
c
8
−
7
c
7
2
>
0
c
0
>
0
,
16
μ
c
0
c
2
−
7
c
1
2
>
0
,
8
μ
c
2
c
4
−
o
ˇ
c
3
2
>
0
8
μ
c
4
c
6
−
5
c
5
2
>
0
,
16
μ
c
6
c
8
−
7
c
7
2
>
0
{:[c_(0) > 0","16 muc_(0)c_(2)-7c_(1)^(2) > 0","8muc_(2)c_(4)-o^(ˇ)c_(3)^(2) > 0],[8muc_(4)c_(6)-5c_(5)^(2) > 0","quad16 muc_(6)c_(8)-7c_(7)^(2) > 0]:} \begin{gathered}
c_{0}>0,16 \mu c_{0} c_{2}-7 c_{1}^{2}>0,8 \mu c_{2} c_{4}-\check{o} c_{3}^{2}>0 \\
8 \mu c_{4} c_{6}-5 c_{5}^{2}>0, \quad 16 \mu c_{6} c_{8}-7 c_{7}^{2}>0
\end{gathered} c 0 > 0 , 16 μ c 0 c 2 − 7 c 1 2 > 0 , 8 μ c 2 c 4 − o ˇ c 3 2 > 0 8 μ c 4 c 6 − 5 c 5 2 > 0 , 16 μ c 6 c 8 − 7 c 7 2 > 0
où
μ
≤
35
69
=
0
,
5072
…
μ
≤
35
69
=
0
,
5072
…
mu <= (35)/(69)=0,5072 dots \mu \leq \frac{35}{69}=0,5072 \ldots μ ≤ 35 69 = 0 , 5072 …
Considérons un polynome de degré
2
m
+
1
2
m
+
1
2m+1 2 m+1 2 m + 1
F
(
x
)
=
c
0
+
c
1
x
+
…
+
c
2
m
+
1
x
2
m
+
1
F
(
x
)
=
c
0
+
c
1
x
+
…
+
c
2
m
+
1
x
2
m
+
1
F(x)=c_(0)+c_(1)x+dots+c_(2m+1)x^(2m+1) \mathrm{F}(x)=c_{0}+c_{1} x+\ldots+c_{2 m+1} x^{2 m+1} F ( x ) = c 0 + c 1 x + … + c 2 m + 1 x 2 m + 1 Nous avons
x
2
m
+
1
F
(
1
x
)
=
c
0
x
2
m
+
1
+
…
+
c
2
m
+
1
x
2
m
+
1
F
1
x
=
c
0
x
2
m
+
1
+
…
+
c
2
m
+
1
x^(2m+1)F((1)/(x))=c_(0)x^(2m+1)+dots+c_(2m+1) x^{2 m+1} \mathrm{~F}\left(\frac{1}{x}\right)=c_{0} x^{2 m+1}+\ldots+c_{2 m+1} x 2 m + 1 F ( 1 x ) = c 0 x 2 m + 1 + … + c 2 m + 1 Prenant la dérivée, nous voyons que si
(5)
(
2
m
+
1
)
c
0
+
2
m
c
1
x
+
…
+
c
2
m
x
2
m
(5)
(
2
m
+
1
)
c
0
+
2
m
c
1
x
+
…
+
c
2
m
x
2
m
{:(5)(2m+1)c_(0)+2mc_(1)x+dots+c_(2m)x^(2m):} \begin{equation*}
(2 m+1) c_{0}+2 m c_{1} x+\ldots+c_{2 m} x^{2 m} \tag{5}
\end{equation*} (5) ( 2 m + 1 ) c 0 + 2 m c 1 x + … + c 2 m x 2 m est positif le polynome
F
(
x
)
F
(
x
)
F(x) F(x) F ( x ) change au plus une fois de signe. Plus exactement il n'admet qu'un seul zéro réel.
Le polynome (5) étant positif, on peut appliquer le résultat du. No. 4 et nous avons la propriété suivante:
Si les coefficients
c
0
,
c
1
,
…
,
c
2
n
c
0
,
c
1
,
…
,
c
2
n
c_(0),c_(1),dots,c_(2n) c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{2 n} c 0 , c 1 , … , c 2 n de l'équation
(6)
c
0
+
c
1
x
+
…
+
c
2
m
+
1
x
2
m
+
1
=
0
(6)
c
0
+
c
1
x
+
…
+
c
2
m
+
1
x
2
m
+
1
=
0
{:(6)c_(0)+c_(1)x+dots+c_(2m+1)x^(2m+1)=0:} \begin{equation*}
c_{0}+c_{1} x+\ldots+c_{2 m+1} x^{2 m+1}=0 \tag{6}
\end{equation*} (6) c 0 + c 1 x + … + c 2 m + 1 x 2 m + 1 = 0 vérifient les inégalités
c
2
m
>
0
,
(
c
0
>
0
)
,
1
λ
2
c
2
i
c
2
i
+
2
−
c
2
i
+
1
>
0
,
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
c
2
m
>
0
,
c
0
>
0
,
1
λ
2
c
2
i
c
2
i
+
2
−
c
2
i
+
1
>
0
,
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
c_(2m) > 0,(c_(0) > 0),(1)/(lambda^(2))c_(2i)c_(2i+2)-c_(2^(i+1)) > 0,quad i=0,1,dots,m-1 c_{2 m}>0,\left(c_{0}>0\right), \frac{1}{\lambda^{2}} c_{2 i} c_{2 i+2}-c_{2^{i+1}}>0, \quad i=0,1, \ldots, m-1 c 2 m > 0 , ( c 0 > 0 ) , 1 λ 2 c 2 i c 2 i + 2 − c 2 i + 1 > 0 , i = 0 , 1 , … , m − 1 où
λ
λ
lambda \lambda λ est au moins égal au plus grad zéro du polynome de Legendre de degré
m
+
1
m
+
1
m+1 m+1 m + 1 , l'équation a au plus une racine réelle.
En particulier, nous en déduisons le second théorème de M. E. B. Van Vleck (
2
2
^(2) { }^{2} 2 ).
Si les coefficients
c
0
,
c
1
,
…
,
c
2
m
c
0
,
c
1
,
…
,
c
2
m
c_(0),c_(1),dots,c_(2m) c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{2 m} c 0 , c 1 , … , c 2 m de l'équation (6) vérifient les inégalités
c
0
>
0
,
c
2
i
c
2
i
+
2
−
c
2
i
+
1
2
>
0
,
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
c
0
>
0
,
c
2
i
c
2
i
+
2
−
c
2
i
+
1
2
>
0
,
i
=
0
,
1
,
…
,
m
−
1
c_(0) > 0,quadc_(2i)c_(2i+2)-c_(2i+1)^(2) > 0,quad i=0,1,dots,m-1 c_{0}>0, \quad c_{2 i} c_{2 i+2}-c_{2 i+1}^{2}>0, \quad i=0,1, \ldots, m-1 c 0 > 0 , c 2 i c 2 i + 2 − c 2 i + 1 2 > 0 , i = 0 , 1 , … , m − 1 cette équation a au plus une racine réelles.
8. - Considérons l'équation de degré n.
(7)
g
(
x
)
=
c
0
+
(
n
1
)
c
1
x
+
,
…
,
+
(
n
k
)
c
k
x
k
+
…
,
+
c
n
x
n
=
0
g
(
x
)
=
c
0
+
(
n
1
)
c
1
x
+
,
…
,
+
(
n
k
)
c
k
x
k
+
…
,
+
c
n
x
n
=
0
quad g(x)=c_(0)+((n)/(1))c_(1)x+,dots,+((n)/(k))c_(k)x^(k)+dots,+c_(n)x^(n)=0 \quad g(x)=c_{0}+\binom{n}{1} c_{1} x+, \ldots,+\binom{n}{k} c_{k} x^{k}+\ldots,+c_{n} x^{n}=0 g ( x ) = c 0 + ( n 1 ) c 1 x + , … , + ( n k ) c k x k + … , + c n x n = 0 .
Soient
j
,
r
j
,
r
j,r j, r j , r deux entiers positifs tels que
j
≥
0
,
j
+
2
r
≤
n
j
≥
0
,
j
+
2
r
≤
n
j >= 0,j+2r <= n j \geq 0, j+2 r \leq n j ≥ 0 , j + 2 r ≤ n , et prenons la dérivée d'ordre
j
j
j j j de
g
(
x
)
g
(
x
)
g(x) g(x) g ( x )
g
(
j
)
(
x
)
=
n
!
(
n
−
j
)
!
[
c
j
+
(
n
−
j
1
)
c
j
+
i
x
+
,
…
,
+
c
n
x
n
−
j
]
g
(
j
)
(
x
)
=
n
!
(
n
−
j
)
!
c
j
+
(
n
−
j
1
)
c
j
+
i
x
+
,
…
,
+
c
n
x
n
−
j
g^((j))(x)=(n!)/((n-j)!)[c_(j)+((n-j)/(1))c_(j+i)x+,dots,+c_(n)x^(n-j)] g^{(j)}(x)=\frac{n!}{(n-j)!}\left[c_{j}+\binom{n-j}{1} c_{j+i} x+, \ldots,+c_{n} x^{n-j}\right] g ( j ) ( x ) = n ! ( n − j ) ! [ c j + ( n − j 1 ) c j + i x + , … , + c n x n − j ] Considérons la transsormée en
1
x
1
x
(1)/(x) \frac{1}{x} 1 x (laissant de coté un facteur-
(
2
)
2
(^(2)) \left({ }^{2}\right) ( 2 ) loe cit
(
1
)
1
(^(1)) \left({ }^{1}\right) ( 1 ) .
constant)
g
1
(
x
)
=
c
j
x
n
−
1
+
(
n
−
j
1
)
c
i
+
1
x
n
−
1
−
1
+
…
,
+
c
n
g
1
(
x
)
=
c
j
x
n
−
1
+
(
n
−
j
1
)
c
i
+
1
x
n
−
1
−
1
+
…
,
+
c
n
g_(1)(x)=c_(j)x^(n-1)+((n-j)/(1))c_(i+1)x^(n-1-1)+dots,+c_(n) g_{1}(x)=c_{j} x^{n-1}+\binom{n-j}{1} c_{i+1} x^{n-1-1}+\ldots,+c_{n} g 1 ( x ) = c j x n − 1 + ( n − j 1 ) c i + 1 x n − 1 − 1 + … , + c n et prenons la dérivée d'ordre
n
−
j
−
2
r
n
−
j
−
2
r
n-j-2r n-j-2 r n − j − 2 r de ce polynome
g
1
(
n
−
j
−
2
r
)
(
x
)
=
(
n
−
j
)
!
(
2
r
)
!
[
c
j
x
2
r
+
(
2
r
1
)
c
j
+
1
x
2
r
−
1
+
…
,
+
c
j
+
2
r
]
g
1
(
n
−
j
−
2
r
)
(
x
)
=
(
n
−
j
)
!
(
2
r
)
!
c
j
x
2
r
+
(
2
r
1
)
c
j
+
1
x
2
r
−
1
+
…
,
+
c
j
+
2
r
g_(1)^((n-j-2r))(x)=((n-j)!)/((2r)!)[c_(j)x^(2r)+((2r)/(1))c_(j+1)x^(2r-1)+dots,+c_(j+2r)] g_{1}^{(n-j-2 r)}(x)=\frac{(n-j)!}{(2 r)!}\left[c_{j} x^{2 r}+\binom{2 r}{1} c_{j+1} x^{2 r-1}+\ldots,+c_{j+2 r}\right] g 1 ( n − j − 2 r ) ( x ) = ( n − j ) ! ( 2 r ) ! [ c j x 2 r + ( 2 r 1 ) c j + 1 x 2 r − 1 + … , + c j + 2 r ] Soit enfin
g
2
(
x
)
=
c
j
+
(
2
r
1
)
c
j
+
1
x
+
,
…
+
(
2
r
k
)
c
j
+
k
x
k
+
…
,
+
c
j
+
2
r
x
2
r
g
2
(
x
)
=
c
j
+
(
2
r
1
)
c
j
+
1
x
+
,
…
+
(
2
r
k
)
c
j
+
k
x
k
+
…
,
+
c
j
+
2
r
x
2
r
g_(2)(x)=c_(j)+((2r)/(1))c_(j+1)x+,dots+((2r)/(k))c_(j+k)x^(k)+dots,+c_(j+2r)x^(2r) g_{2}(x)=c_{j}+\binom{2 r}{1} c_{j+1} x+, \ldots+\binom{2 r}{k} c_{j+k} x^{k}+\ldots,+c_{j+2 r} x^{2 r} g 2 ( x ) = c j + ( 2 r 1 ) c j + 1 x + , … + ( 2 r k ) c j + k x k + … , + c j + 2 r x 2 r Supposons que l'équation (7) ait
p
p
p p p racines réelles. L'équation
g
(
1
)
(
x
)
=
0
g
(
1
)
(
x
)
=
0
g^((1))(x)=0 g^{(1)}(x)=0 g ( 1 ) ( x ) = 0 , donc aussi
g
1
(
x
)
=
0
g
1
(
x
)
=
0
g_(1)(x)=0 g_{1}(x)=0 g 1 ( x ) = 0 , a alors au moins
p
−
j
p
−
j
p-j p-j p − j racine réelles.
On en déduit que l'équation
g
2
(
x
)
=
0
g
2
(
x
)
=
0
g_(2)(x)=0 g_{2}(x)=0 g 2 ( x ) = 0 a au moins
p
−
n
+
2
r
p
−
n
+
2
r
p-n+2r p-n+2 r p − n + 2 r racines réelles. Il en résulte que si le polynome
g
2
(
x
)
g
2
(
x
)
g_(2)(x) g_{2}(x) g 2 ( x ) a toutes ses racines imaginaires l'équation (7) a au plus
n
−
2
r
n
−
2
r
n-2r n-2 r n − 2 r racines réelles.
Les résultats du No. 5 permettent donc d'énoncer la propriété générale suivante:
Si
j
=
0
,
j
+
2
r
≤
n
j
=
0
,
j
+
2
r
≤
n
j=0,j+2r <= n j=0, j+2 r \leq n j = 0 , j + 2 r ≤ n et si les coefficients ci de l'équation (7) vérifient les inégalités
c
j
>
0
,
1
λ
2
c
j
+
2
i
c
j
+
2
i
+
2
−
c
j
+
2
i
+
1
2
>
0
,
i
=
0
,
1
,
…
,
r
−
1
c
j
>
0
,
1
λ
2
c
j
+
2
i
c
j
+
2
i
+
2
−
c
j
+
2
i
+
1
2
>
0
,
i
=
0
,
1
,
…
,
r
−
1
c_(j) > 0,(1)/(lambda2)c_(j+2i)c_(j+2i+2)-c_(j+2i+1)^(2) > 0,quad i=0,1,dots,r-1 c_{j}>0, \frac{1}{\lambda 2} c_{j+2 i} c_{j+2 i+2}-c_{j+2 i+1}^{2}>0, \quad i=0,1, \ldots, r-1 c j > 0 , 1 λ 2 c j + 2 i c j + 2 i + 2 − c j + 2 i + 1 2 > 0 , i = 0 , 1 , … , r − 1 où,
λ
λ
lambda \lambda λ est au moins égal à la plus grande racine de l'équation
S
r
+
1
(
x
)
=
0
S
r
+
1
(
x
)
=
0
S_(r+1)(x)=0 \mathrm{S}_{r+1}(x)=0 S r + 1 ( x ) = 0 , cette équation (7) a au plus
n
−
2
r
n
−
2
r
n-2r n-2 r n − 2 r racines réelles. On peut aussi dire que dans ce cas l'équation (7) a au moins
r
r
r r r couples de racines imaginaires conjuguées.
Pour
r
=
1
r
=
1
r=1 r=1 r = 1 nous avons cette propriété, évidente à priori, que si l'on peut trouver un
j
j
j j j tel que
c
j
>
0
,
c
j
c
j
+
2
−
c
j
+
1
2
>
0
c
j
>
0
,
c
j
c
j
+
2
−
c
j
+
1
2
>
0
c_(j) > 0,quadc_(j)c_(j+2)-c_(j+1)^(2) > 0 c_{j}>0, \quad c_{j} c_{j+2}-c_{\mathrm{j}+1}^{2}>0 c j > 0 , c j c j + 2 − c j + 1 2 > 0 d'équation (7) a au moins un couple de racines imaginaires conjuguées.
Pour
r
=
2
r
=
2
r=2 r=2 r = 2 , nous trouvons que si
c
j
>
0
,
μ
c
i
+
2
i
c
j
+
2
i
+
2
−
c
j
+
2
i
+
1
2
>
0
,
i
=
0
,
1
μ
≤
3
4
=
0
,
75
,
(
j
≥
0
,
j
+
4
≤
n
)
c
j
>
0
,
μ
c
i
+
2
i
c
j
+
2
i
+
2
−
c
j
+
2
i
+
1
2
>
0
,
i
=
0
,
1
μ
≤
3
4
=
0
,
75
,
(
j
≥
0
,
j
+
4
≤
n
)
{:[c_(j) > 0","quad muc_(i+2i)c_(j+2i+2)-c_(j+2i+1)^(2) > 0","quad i=0","1],[mu <= (3)/(4)=0","75","quad(j >= 0","quad j+4 <= n)]:} \begin{gathered}
c_{j}>0, \quad \mu c_{i+2 i} c_{j+2 i+2}-c_{j+2 i+1}^{2}>0, \quad i=0,1 \\
\mu \leq \frac{3}{4}=0,75, \quad(j \geq 0, \quad j+4 \leq n)
\end{gathered} c j > 0 , μ c i + 2 i c j + 2 i + 2 − c j + 2 i + 1 2 > 0 , i = 0 , 1 μ ≤ 3 4 = 0 , 75 , ( j ≥ 0 , j + 4 ≤ n ) d'équation (7) a au moins deux couples de racines imaginaires conjuguées.
Pour
r
=
3
,
4
r
=
3
,
4
r=3,4 r=3,4 r = 3 , 4 nous trouvons de méme des conditions suffisantes analogues pour l'existence de trois ou quatre couples de racines ima-
ginaires conjuguées. Les valeurs des coefficients
μ
μ
mu \mu μ qui entrent dans les inégalités respectives sont celles précisées dans le No. 6.
9. - Enfin si nous écrivons l'équation (7) sous la forme
c
0
+
c
1
x
+
c
2
x
2
+
⋯
+
c
n
x
n
=
0
c
0
+
c
1
x
+
c
2
x
2
+
⋯
+
c
n
x
n
=
0
c_(0)+c_(1)x+c_(2)x^(2)+cdots+c_(n)x^(n)=0 c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\cdots+c_{n} x^{n}=0 c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n = 0 He polynome
g
2
(
x
)
g
2
(
x
)
g_(2)(x) g_{2}(x) g 2 ( x ) s'écrira sous la forme
1
(
n
j
)
c
j
+
(
2
r
1
)
(
n
j
+
1
)
c
j
+
1
x
+
⋯
+
(
2
r
k
)
(
n
j
+
k
)
c
j
+
k
x
k
+
⋯
+
1
(
n
j
+
2
r
)
c
j
+
2
r
x
2
r
.
1
(
n
j
)
c
j
+
(
2
r
1
)
(
n
j
+
1
)
c
j
+
1
x
+
⋯
+
(
2
r
k
)
(
n
j
+
k
)
c
j
+
k
x
k
+
⋯
+
1
(
n
j
+
2
r
)
c
j
+
2
r
x
2
r
.
(1)/(((n)/(j)))c_(j)+(((2r)/(1)))/(((n)/(j+1)))c_(j+1)x+cdots+(((2r)/(k)))/(((n)/(j+k)))c_(j+k)x^(k)+cdots+(1)/(((n)/(j+2r)))c_(j+2r)x^(2r). \frac{1}{\binom{n}{j}} c_{j}+\frac{\binom{2 r}{1}}{\binom{n}{j+1}} c_{j+1} x+\cdots+\frac{\binom{2 r}{k}}{\binom{n}{j+k}} c_{j+k} x^{k}+\cdots+\frac{1}{\binom{n}{j+2 r}} c_{j+2 r} x^{2 r} . 1 ( n j ) c j + ( 2 r 1 ) ( n j + 1 ) c j + 1 x + ⋯ + ( 2 r k ) ( n j + k ) c j + k x k + ⋯ + 1 ( n j + 2 r ) c j + 2 r x 2 r . Portons notre attention sur le cas où
j
=
0
j
=
0
j=0 j=0 j = 0 . Le polynome précédent peut alors s'écrire sous la forme suivante
(
2
r
+
1
)
(
2
r
+
2
)
…
n
c
j
+
2
r
(
2
r
+
1
)
…
(
n
−
1
)
c
j
+
1
x
+
⋯
+
(
2
r
+
1
)
(
2
r
+
2
)
…
n
c
j
+
2
r
(
2
r
+
1
)
…
(
n
−
1
)
c
j
+
1
x
+
⋯
+
(2r+1)(2r+2)dots nc_(j)+2r(2r+1)dots(n-1)c_(j+1)x+cdots+ (2 r+1)(2 r+2) \ldots n c_{j}+2 r(2 r+1) \ldots(n-1) c_{j+1} x+\cdots+ ( 2 r + 1 ) ( 2 r + 2 ) … n c j + 2 r ( 2 r + 1 ) … ( n − 1 ) c j + 1 x + ⋯ +
⋯
+
(
2
r
−
k
+
1
)
(
2
r
−
k
+
2
)
…
(
n
−
k
)
c
j
+
k
x
k
+
⋯
+
1
,
2
…
(
n
−
2
r
)
c
j
+
2
r
x
2
r
⋯
+
(
2
r
−
k
+
1
)
(
2
r
−
k
+
2
)
…
(
n
−
k
)
c
j
+
k
x
k
+
⋯
+
1
,
2
…
(
n
−
2
r
)
c
j
+
2
r
x
2
r
cdots+(2r-k+1)(2r-k+2)dots(n-k)c_(j+k)x^(k)+cdots+1,2dots(n-2r)c_(j+2r)x^(2r) \cdots+(2 r-k+1)(2 r-k+2) \ldots(n-k) c_{j+k} x^{k}+\cdots+1,2 \ldots(n-2 r) c_{j+2 r} x^{2 r} ⋯ + ( 2 r − k + 1 ) ( 2 r − k + 2 ) … ( n − k ) c j + k x k + ⋯ + 1 , 2 … ( n − 2 r ) c j + 2 r x 2 r .
Posant
m
=
r
,
a
i
=
(
i
+
1
)
(
i
+
2
)
…
(
n
−
2
r
+
i
)
,
i
=
0
,
1
,
…
,
2
r
m
=
r
,
a
i
=
(
i
+
1
)
(
i
+
2
)
…
(
n
−
2
r
+
i
)
,
i
=
0
,
1
,
…
,
2
r
m=r,a_(i)=(i+1)(i+2)dots(n-2r+i),quad i=0,1,dots,2r m=r, a_{i}=(i+1)(i+2) \ldots(n-2 r+i), \quad i=0,1, \ldots, 2 r m = r , a i = ( i + 1 ) ( i + 2 ) … ( n − 2 r + i ) , i = 0 , 1 , … , 2 r le polynome
Q
i
(
λ
)
Q
i
(
λ
)
Q_(i)(lambda) Q_{i}(\lambda) Q i ( λ ) correspondant est donné par les relations de récurrence (8)
Q
0
(
λ
)
=
1
,
Q
1
(
λ
)
=
λ
,
Q
i
+
2
(
λ
)
−
λ
Q
i
+
1
(
λ
)
+
(
i
+
1
)
(
n
−
2
r
+
2
i
+
1
)
2
(
2
i
+
1
)
(
n
−
2
r
+
2
i
+
2
)
Q
1
(
λ
)
=
0
Q
0
(
λ
)
=
1
,
Q
1
(
λ
)
=
λ
,
Q
i
+
2
(
λ
)
−
λ
Q
i
+
1
(
λ
)
+
(
i
+
1
)
(
n
−
2
r
+
2
i
+
1
)
2
(
2
i
+
1
)
(
n
−
2
r
+
2
i
+
2
)
Q
1
(
λ
)
=
0
Q_(0)(lambda)=1,Q_(1)(lambda)=lambda,Q_(i+2)(lambda)-lambdaQ_(i+1)(lambda)+((i+1)(n-2r+2i+1))/(2(2i+1)(n-2r+2i+2))Q_(1)(lambda)=0 Q_{0}(\lambda)=1, Q_{1}(\lambda)=\lambda, Q_{i+2}(\lambda)-\lambda Q_{i+1}(\lambda)+\frac{(i+1)(n-2 r+2 i+1)}{2(2 i+1)(n-2 r+2 i+2)} Q_{1}(\lambda)=0 Q 0 ( λ ) = 1 , Q 1 ( λ ) = λ , Q i + 2 ( λ ) − λ Q i + 1 ( λ ) + ( i + 1 ) ( n − 2 r + 2 i + 1 ) 2 ( 2 i + 1 ) ( n − 2 r + 2 i + 2 ) Q 1 ( λ ) = 0 .
Nous avons donc la propriété suivante :
Si
j
≥
0
,
j
+
2
r
≤
n
j
≥
0
,
j
+
2
r
≤
n
j >= 0,j+2r <= n j \geq 0, j+2 r \leq n j ≥ 0 , j + 2 r ≤ n et si les coefficients
c
i
c
i
c_(i) c_{\mathrm{i}} c i de l'équation
c
0
+
c
1
x
+
…
+
c
n
x
n
=
0
c
0
+
c
1
x
+
…
+
c
n
x
n
=
0
c_(0)+c_(1)x+dots+c_(n)x^(n)=0 c_{0}+c_{1} x+\ldots+c_{n} x^{n}=0 c 0 + c 1 x + … + c n x n = 0 vérifient les inégalités
c
j
>
0
,
1
λ
2
c
j
+
2
i
c
j
+
2
i
+
2
−
c
j
+
2
i
+
i
2
>
0
,
i
=
0
,
1
,
…
,
r
c
j
>
0
,
1
λ
2
c
j
+
2
i
c
j
+
2
i
+
2
−
c
j
+
2
i
+
i
2
>
0
,
i
=
0
,
1
,
…
,
r
c_(j) > 0,(1)/(lambda^(2))c_(j+2i)c_(j+2i+2)-c_(j+2i+i)^(2) > 0,quad i=0,1,dots,r c_{\mathrm{j}}>0, \frac{1}{\lambda^{2}} c_{\mathrm{j}+2 \mathrm{i}} c_{\mathrm{j}+2 \mathrm{i}+2}-c_{\mathrm{j}+2 \mathrm{i}+\mathrm{i}}^{2}>0, \quad i=0,1, \ldots, r c j > 0 , 1 λ 2 c j + 2 i c j + 2 i + 2 − c j + 2 i + i 2 > 0 , i = 0 , 1 , … , r où,
λ
λ
lambda \lambda λ est au moins égal au plus grand zéro du polynome
Q
r
+
1
(
λ
)
=
0
Q
r
+
1
(
λ
)
=
0
Q_(r+1)(lambda)=0 Q_{r+1}(\lambda)=0 Q r + 1 ( λ ) = 0 défini par les relations (8), cetle équation a au plus
n
n
n n n -êr racines réelles.
La plus grande racine de l'équation
Q
r
+
1
(
λ
)
=
0
Q
r
+
1
(
λ
)
=
0
Q_(r+1)(lambda)=0 Q_{r+1}(\lambda)=0 Q r + 1 ( λ ) = 0 no dépend pas de
j
j
j j j et est bornée supérieurement. Il en résulte on effet d'un théorème connu
(
3
)
(
3
)
^((3)) { }^{(3)} ( 3 ) que les zéros de
Q
+
1
(
λ
)
Q
+
1
(
λ
)
Q_(+1)(lambda) Q_{+1}(\lambda) Q + 1 ( λ ) sont en module au plus égaux à
max
.
(
b
2
+
b
3
,
b
3
+
b
4
,
…
,
b
r
+
b
r
+
1
―
)
max
.
b
2
+
b
3
,
b
3
+
b
4
,
…
,
b
r
+
b
r
+
1
¯
max.(sqrt(b_(2))+sqrt(b_(3)),sqrt(b_(3))+sqrt(b_(4)),dots,sqrt(b_(r))+sqrt( bar(b_(r+1)))) \operatorname{max.}\left(\sqrt{b_{2}}+\sqrt{b_{3}}, \sqrt{b_{3}}+\sqrt{b_{4}}, \ldots, \sqrt{b_{r}}+\sqrt{\overline{b_{r+1}}}\right) max . ( b 2 + b 3 , b 3 + b 4 , … , b r + b r + 1 ― ) (3) Voir par ex. Wolgang Hahn „Bericht über die Nullstellen der Laguerreschen und der Hermiteschen Polynome" Jahresbericht d. D. M. V. Bd. 44 p. 215-236, sp. p. 227.
b
i
+
2
=
(
i
+
1
)
(
2
i
+
n
−
2
r
+
1
)
2
(
2
i
+
1
)
(
2
i
+
n
−
2
r
+
2
)
,
i
=
0
,
1
,
…
,
r
−
1
b
i
+
2
=
(
i
+
1
)
(
2
i
+
n
−
2
r
+
1
)
2
(
2
i
+
1
)
(
2
i
+
n
−
2
r
+
2
)
,
i
=
0
,
1
,
…
,
r
−
1
b_(i+2)=((i+1)(2i+n-2r+1))/(2(2i+1)(2i+n-2r+2)),quad i=0,1,dots,r-1 b_{\mathrm{i}+2}=\frac{(i+1)(2 i+n-2 r+1)}{2(2 i+1)(2 i+n-2 r+2)}, \quad i=0,1, \ldots, r-1 b i + 2 = ( i + 1 ) ( 2 i + n − 2 r + 1 ) 2 ( 2 i + 1 ) ( 2 i + n − 2 r + 2 ) , i = 0 , 1 , … , r − 1 On voit immédiatement que (
n
>
2
r
n
>
2
r
n > 2r n>2 r n > 2 r )
b
2
>
b
3
>
…
>
b
r
+
1
b
2
>
b
3
>
…
>
b
r
+
1
b_(2) > b_(3) > dots > b_(r+1) b_{2}>b_{3}>\ldots>b_{r+1} b 2 > b 3 > … > b r + 1 La plus grande racine de l'équation
Q
r
+
1
(
λ
)
=
0
Q
r
+
1
(
λ
)
=
0
Q_(r+1)(lambda)=0 Q_{r+1}(\lambda)=0 Q r + 1 ( λ ) = 0 est donc au plus égale à
b
2
+
b
3
=
α
+
1
2
(
α
+
2
)
+
α
+
3
3
(
α
+
4
)
<
1
2
+
1
3
=
1
,
24
…
b
2
+
b
3
=
α
+
1
2
(
α
+
2
)
+
α
+
3
3
(
α
+
4
)
<
1
2
+
1
3
=
1
,
24
…
sqrt(b_(2))+sqrt(b_(3))=sqrt((alpha+1)/(2(alpha+2)))+sqrt((alpha+3)/(3(alpha+4))) < sqrt((1)/(2))+sqrt((1)/(3))=1,24 dots \sqrt{b_{2}}+\sqrt{b_{3}}=\sqrt{\frac{\alpha+1}{2(\alpha+2)}}+\sqrt{\frac{\alpha+3}{3(\alpha+4)}}<\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{3}}=1,24 \ldots b 2 + b 3 = α + 1 2 ( α + 2 ) + α + 3 3 ( α + 4 ) < 1 2 + 1 3 = 1 , 24 … On peut d'ailleurs démontrer que la vraie limite supérieure en question est
>
1
>
1
> 1 >1 > 1 . En effet, si nous faisons tendre
n
n
n n n vers
∞
∞
oo \infty ∞ nous obtenons les polynomes
Q
0
(
λ
)
=
1
,
Q
1
(
λ
)
=
(
λ
)
,
Q
i
+
2
(
λ
)
−
λ
Q
i
+
1
(
λ
)
+
i
+
1
2
(
2
i
+
1
)
Q
i
(
λ
)
=
0
Q
0
(
λ
)
=
1
,
Q
1
(
λ
)
=
(
λ
)
,
Q
i
+
2
(
λ
)
−
λ
Q
i
+
1
(
λ
)
+
i
+
1
2
(
2
i
+
1
)
Q
i
(
λ
)
=
0
Q_(0)(lambda)=1,quadQ_(1)(lambda)=(lambda),quadQ_(i+2)(lambda)-lambdaQ_(i+1)(lambda)+(i+1)/(2(2i+1))Q_(i)(lambda)=0 Q_{0}(\lambda)=1, \quad Q_{1}(\lambda)=(\lambda), \quad Q_{i+2}(\lambda)-\lambda Q_{i+1}(\lambda)+\frac{i+1}{2(2 i+1)} Q_{i}(\lambda)=0 Q 0 ( λ ) = 1 , Q 1 ( λ ) = ( λ ) , Q i + 2 ( λ ) − λ Q i + 1 ( λ ) + i + 1 2 ( 2 i + 1 ) Q i ( λ ) = 0 et nous en déduisons
Q
0
(
1
)
=
1
,
Q
1
(
1
)
=
1
,
Q
2
(
1
)
=
1
2
,
Q
3
(
1
)
=
1
2
−
1
3
=
1
6
Q
4
(
1
)
=
1
6
−
3
10
⋅
1
2
=
1
60
,
Q
5
(
1
)
=
1
60
−
2
7
⋅
1
6
=
−
13
420
<
0
Q
0
(
1
)
=
1
,
Q
1
(
1
)
=
1
,
Q
2
(
1
)
=
1
2
,
Q
3
(
1
)
=
1
2
−
1
3
=
1
6
Q
4
(
1
)
=
1
6
−
3
10
⋅
1
2
=
1
60
,
Q
5
(
1
)
=
1
60
−
2
7
⋅
1
6
=
−
13
420
<
0
{:[Q_(0)(1)=1","quadQ_(1)(1)=1","quadQ_(2)(1)=(1)/(2)","quadQ_(3)(1)=(1)/(2)-(1)/(3)=(1)/(6)],[Q_(4)(1)=(1)/(6)-(3)/(10)*(1)/(2)=(1)/(60)","quadQ_(5)(1)=(1)/(60)-(2)/(7)*(1)/(6)=-(13)/(420) < 0]:} \begin{gathered}
Q_{0}(1)=1, \quad Q_{1}(1)=1, \quad Q_{2}(1)=\frac{1}{2}, \quad Q_{3}(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6} \\
Q_{4}(1)=\frac{1}{6}-\frac{3}{10} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{60}, \quad Q_{5}(1)=\frac{1}{60}-\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6}=-\frac{13}{420}<0
\end{gathered} Q 0 ( 1 ) = 1 , Q 1 ( 1 ) = 1 , Q 2 ( 1 ) = 1 2 , Q 3 ( 1 ) = 1 2 − 1 3 = 1 6 Q 4 ( 1 ) = 1 6 − 3 10 ⋅ 1 2 = 1 60 , Q 5 ( 1 ) = 1 60 − 2 7 ⋅ 1 6 = − 13 420 < 0 ce qui démontre notre affirmation.
