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Traduction en anglais du titre
On a sufficient condition for a polynomial to be positive
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T. Popoviciu, Sur une condition suffisante pour qu’un polynôme soit positif, Mathematica, 11 (1935), pp. 247-256 (in French).
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Mathematica
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Publié par les Éditions de l’Académie roumaine
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SUR UNE CONDITION SUFFISANTE POUR QU'UN POLYNOME SOIT POSITIF
par
Reçu le 5 Mai 1935.
-
- Considérons un polynome de degré 2m2 m que nous allons écrire sous la forme suivante
f(x)=a_(0)c_(0)+a_(1)c_(1)x+,dots,+a_(k)c_(k)x^(k)+dots,+a_(2m)c_(2m)x^(2m)f(x)=a_{0} c_{0}+a_{1} c_{1} x+, \ldots,+a_{k} c_{k} x^{k}+\ldots,+a_{2 m} c_{2 m} x^{2 m}
où a_(0),a_(1),dots,a_(k),dots,a_(m)a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k}, \ldots, a_{m} sont des constantes positives et c_(l)c_{l} des coefficients réels.
Mettons ce polynome sous la forme
f(x)=sum_(i=0)^(m-1)[alpha_(i)c_(2i)x^(2i)(1+beta_(i)(c_(2i+1))/(c_(2i))x)^(2)+gamma_(i)((1)/(lambda^(2))c_(2i)c_(2i+2)-c_(2i+1)^(2))/(c_(2i))x^(2i+2)]+alpha_(m)c_(2m)x^(2m)f(x)=\sum_{i=0}^{m-1}\left[\alpha_{i} c_{2 i} x^{2 i}\left(1+\beta_{i} \frac{c_{2 i+1}}{c_{2 i}} x\right)^{2}+\gamma_{i} \frac{\frac{1}{\lambda^{2}} c_{2 i} c_{2 i+2}-c_{2 i+1}^{2}}{c_{2 i}} x^{2 i+2}\right]+\alpha_{m} c_{2 m} x^{2 m}
et déterminons les constantes alpha_(i),beta_(i),gamma_(i)\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i} par identification. Nous obtenons
f(x)=sum_(i=0)^(m-1)[alpha_(i)c_(2i)x^(2i)(1+beta_(i)(c_(2i+1))/(c_(2i))x)^(2)+gamma_(i)((1)/(lambda^(2))c_(2i)c_(2i+2)-c_(2i+1)^(2))/(c_(2i))x^(2i+2)]+alpha_(m)c_(2m)x^(2m)f(x)=\sum_{i=0}^{m-1}\left[\alpha_{i} c_{2 i} x^{2 i}\left(1+\beta_{i} \frac{c_{2 i+1}}{c_{2 i}} x\right)^{2}+\gamma_{i} \frac{\frac{1}{\lambda^{2}} c_{2 i} c_{2 i+2}-c_{2 i+1}^{2}}{c_{2 i}} x^{2 i+2}\right]+\alpha_{m} c_{2 m} x^{2 m}
et déterminons les constantes alpha_(i),beta_(i),gamma_(i)\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i} par identification. Nous obtenons
{:[alpha_(0)=a_(0)","quad2alpha_(i)beta_(i)=a_(2i+1)","quadbeta_(i)^(2)alpha_(i)=gamma_(i)","alpha_(i+1)+(gamma_(i))/(lambda^(2))=a_(2i+2)],[i=0","1","dots","m-1]:}\begin{gathered}
\alpha_{0}=a_{0}, \quad 2 \alpha_{i} \beta_{i}=a_{2 i+1}, \quad \beta_{i}^{2} \alpha_{i}=\gamma_{i}, \alpha_{i+1}+\frac{\gamma_{i}}{\lambda^{2}}=a_{2 i+2} \\
i=0,1, \ldots, m-1
\end{gathered}
Les constantes alpha_(i)\alpha_{i} sont donc déterminées par les relations de récurrence
alpha_(0)=a_(0),alpha_(i+1)+(a_(2i+1)^(2))/(4lambda^(2)alpha_(i))=a_(2i+2),quad i=0,1,dots,m-1.\alpha_{0}=a_{0}, \alpha_{i+1}+\frac{a_{2 i+1}^{2}}{4 \lambda^{2} \alpha_{i}}=a_{2 i+2}, \quad i=0,1, \ldots, m-1 .
Nous pouvons écrire
alpha_(i)=( hat(P)_(i+1)(lambda))/(lambdaP_(i)(lambda))\alpha_{i}=\frac{\hat{P}_{i+1}(\lambda)}{\lambda P_{i}(\lambda)}
et alors P_(k)(lambda)P_{k}(\lambda) est un polynome de degré kk en lambda\lambda.
Ces polynomes vérifient les relations de récurrence
Ces polynomes vérifient les relations de récurrence
P_(0)(lambda)=1,quadP_(1)(lambda)=a_(0)lambda,quadP_(i+2)(lambda)-lambdaa_(2i+2)P_(i+1)(lambda)+(a_(2i+1)^(2))/(4)P_(i)(lambda)=0\mathrm{P}_{0}(\lambda)=1, \quad \mathrm{P}_{1}(\lambda)=a_{0} \lambda, \quad \mathrm{P}_{i+2}(\lambda)-\lambda a_{2 i+2} \mathrm{P}_{i+1}(\lambda)+\frac{a_{2 i+1}^{2}}{4} \mathrm{P}_{i}(\lambda)=0
Posons
{:Q_(0)lambda)=P_(0)(lambda),quadQ_(i)(lambda)=(P_(i)(lambda))/(a_(0)a_(2),dots,a_(2i-2))\left.Q_{0} \lambda\right)=P_{0}(\lambda), \quad Q_{i}(\lambda)=\frac{P_{i}(\lambda)}{a_{0} a_{2}, \ldots, a_{2 i-2}}
nous avons alors
Q_(J)(lambda)=1,Q_(I)(lambda)=lambda,Q_(I+2)(lambda)-lambdaQ_(i+1)(lambda)+(a_(2i+1)^(2))/(4a_(2i)a_(2i+2))Q_(i)(lambda)=0Q_{J}(\lambda)=1, Q_{I}(\lambda)=\lambda, Q_{I+2}(\lambda)-\lambda Q_{i+1}(\lambda)+\frac{a_{2 i+1}^{2}}{4 a_{2 i} a_{2 i+2}} Q_{i}(\lambda)=0
Le polynome Q_(k)(lambda)Q_{k}(\lambda) a tous ses zéros réels et les zéros de Q_(k+1)(lambda)Q_{k+1}(\lambda) sont séparés par ceux de Q_(k)(lambda)Q_{k}(\lambda).
Pour que les constantes alpha_(i)\alpha_{i} soient toutes positives il faut que lambda\lambda soit plus grand que le plus grand zéro de Q_(m+1)(lambda)Q_{m+1}(\lambda). Dans ce cas les constantes beta_(i)\beta_{i} et gamma_(i)\gamma_{i} sont aussi toutes positives.
On voit done que si l'on a
{:[c_(0) > 0","quad(1)/(lambda^(2))c_(2i)r_(2i+2)-c_(2i+1)^(2) > 0],[(i=0","1","dots","m-1)]:}\begin{gathered}
c_{0}>0, \quad \frac{1}{\lambda^{2}} c_{2 i} r_{2 i+2}-c_{2 i+1}^{2}>0 \\
(i=0,1, \ldots, m-1)
\end{gathered}
où lambda\lambda est au moins égale à la plus grande racine lambda_(m+1)\lambda_{m+1} de l'équation Q_(m+1)(lambda)=0\mathrm{Q}_{m+1}(\lambda)=0, le polynome f(x)f(x) est positif.
2. - La limite trouvée lambda_(m+1)\lambda_{m+1} est la meilleure possible. Om peut le voir directement, ou bien de la manière suivante:
2. - La limite trouvée lambda_(m+1)\lambda_{m+1} est la meilleure possible. Om peut le voir directement, ou bien de la manière suivante:
Posons
{:[c_(2i)=x_(i)^(2)","quad(1)/(lambda^(2))c_(2i)c_(2i+2)-c_(2i+1)^(2)=0","quadc_(2i+1)=-(1)/(lambda)x_(i)x_(+1)],[i=0","1","dots","m quad(x_(i)!=0)quad i=0","1","dots","m-1]:}\begin{gathered}
c_{2 i}=x_{i}^{2}, \quad \frac{1}{\lambda^{2}} c_{2 i} c_{2 i+2}-c_{2 i+1}^{2}=0, \quad c_{2 i+1}=-\frac{1}{\lambda} x_{i} x_{+1} \\
i=0,1, \ldots, m \quad\left(x_{i} \neq 0\right) \quad i=0,1, \ldots, m-1
\end{gathered}
et déterminons lambda\lambda de la manière que l'équation f(x)=0f(x)=0 puise avoir aut moins une racine réelle. On voit immédiatement qu'il suffit d'examiner les cas où +1 est une racine de cette équation. Nous avons alors
a_(0)x_(0)^(2)+a_(2)x_(1)^(2)+,dots,+a_(2m)x_(m)^(2)=(1)/(lambda)(a_(1)x_(0)x_(1)+a_(3)x_(m)x_(2)+dots+a_(2m-1)x_(m-1)x_(m))a_{0} x_{0}^{2}+a_{2} x_{1}^{2}+, \ldots,+a_{2 m} x_{m}^{2}=\frac{1}{\lambda}\left(a_{1} x_{0} x_{1}+a_{3} x_{m} x_{2}+\ldots+a_{2 m-1} x_{m-1} x_{m}\right) ou
a_(0)x_(0)^(2)+a_(2)x_(1)^(2)+,dots,+a_(2m)x_(m)^(2)=(1)/(lambda)(a_(1)x_(0)x_(1)+a_(3)x_(m)x_(2)+dots+a_(2m-1)x_(m-1)x_(m))a_{0} x_{0}^{2}+a_{2} x_{1}^{2}+, \ldots,+a_{2 m} x_{m}^{2}=\frac{1}{\lambda}\left(a_{1} x_{0} x_{1}+a_{3} x_{m} x_{2}+\ldots+a_{2 m-1} x_{m-1} x_{m}\right) ou
lambda=(a_(1)x_(0)x_(1)+a_(3)x_(1)x_(2)+,dots+a_(2m-1)x_(m-1)x_(m))/(a_(0)x_(0)^(2)+a_(2)x_(1)^(2)+dots++a_(2m)x_(m)^(2))\lambda=\frac{a_{1} x_{0} x_{1}+a_{3} x_{1} x_{2}+, \ldots+a_{2 m-1} x_{m-1} x_{m}}{a_{0} x_{0}^{2}+a_{2} x_{1}^{2}+\ldots++a_{2 m} x_{m}^{2}}
lambda\lambda doit donc être compris entre le maximum et le minimam du second membre, autrement dit entre le maximum et le minimum de la forme quadraticue sum_(i=0)^(m-1)a_(2i+1)x_(i)x_(i+1)\sum_{i=0}^{m-1} a_{2 i+1} x_{i} x_{i+1} lorsque les variables sont liées par la re1ation sum_(i=0)^(m)a_(2i)x_(1)^(2)=1\sum_{i=0}^{m} a_{2 i} x_{1}^{2}=1.
Il en résulte que lambda\lambda est compris entre la plus petite et la plus grande racine de l'équation caractéristique
R_(n+1)(x)=|[-2xa_(0),a_(1),0,0,dots,dots,dots,0],[a_(1),-2xa_(2),a_(3),0,dots,dots,dots,0],[0,a_(3),-2xa_(4),a_(5),dots,dots,dots,dots],[cdots,dots,dots,dots,dots,dots,dots],[0,0,0,0,dots,dots,a_(2m-1),-2xa_(2m)]|=0\mathbb{R}_{n+1}(x)=\left|\begin{array}{cccccccc}-2 x a_{0} & a_{1} & 0 & 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \\ a_{1} & -2 x a_{2} & a_{3} & 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \\ 0 & a_{3} & -2 x a_{4} & a_{5} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \cdots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & \ldots & a_{2 m-1} & -2 x a_{2 m}\end{array}\right|=0.
On voit imédiatement que
R_(n+1)(x)=|[-2xa_(0),a_(1),0,0,dots,dots,dots,0],[a_(1),-2xa_(2),a_(3),0,dots,dots,dots,0],[0,a_(3),-2xa_(4),a_(5),dots,dots,dots,dots],[cdots,dots,dots,dots,dots,dots,dots],[0,0,0,0,dots,dots,a_(2m-1),-2xa_(2m)]|=0\mathbb{R}_{n+1}(x)=\left|\begin{array}{cccccccc}-2 x a_{0} & a_{1} & 0 & 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \\ a_{1} & -2 x a_{2} & a_{3} & 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \\ 0 & a_{3} & -2 x a_{4} & a_{5} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \cdots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & \ldots & a_{2 m-1} & -2 x a_{2 m}\end{array}\right|=0.
On voit imédiatement que
{:[R_(1)(x)=-2xa_(0)","quadR_(2)(x)=4a_(0)a_(2)(x^(2)-(a_(1)^(2))/(4a_(0)a_(2)))],[R_(i+2)(x)+2xa_(2i+2)R_(i+1)(x)+a_(2i+1)^(2)R_(i)(x)=0]:}\begin{gathered}
\mathrm{R}_{1}(x)=-2 x a_{0}, \quad \mathrm{R}_{2}(x)=4 a_{0} a_{2}\left(x^{2}-\frac{a_{1}^{2}}{4 a_{0} a_{2}}\right) \\
\mathrm{R}_{i+2}(x)+2 x a_{2 i+2} \mathrm{R}_{i+1}(x)+a_{2 i+1}^{2} \mathrm{R}_{i}(x)=0
\end{gathered}
Il en résulte que
R_(i)(x)=(-1)^(i)2^(i)a_(0)a_(2)dotsa_(2i-2)Q_(i)(x)\mathrm{R}_{i}(x)=(-1)^{i} 2^{i} a_{0} a_{2} \ldots a_{2 i-2} Q_{i}(x)
La propriété énoncée résulte de cette identité.
3. - Examinons quelques cas particuliers de ce problème.
3. - Examinons quelques cas particuliers de ce problème.
Supposons d'abord que
a_(:)=a_(1)=dots=a_(2m)=1a_{:}=a_{1}=\ldots=a_{2 m}=1
Le polynome Q^(')(x)Q^{\prime}(x) n'est autre que le polynome trigonométrique
Q_(i)(x)=(sin(i+1)arccos x)/(2^(')sqrt(1-x^(2)))Q_{i}(x)=\frac{\sin (i+1) \arccos x}{2^{\prime} \sqrt{1-x^{2}}}
et nous avons alors
lambda_(m+1)=cos((pi)/(m+2))\lambda_{m+1}=\cos \frac{\pi}{m+2}
Nous en déduisons done la propriété suivante:
Si les coefficients c_(0),c_(1),c_(2),dots,c_(2m)c_{0}, c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{2 m} du polynome
(1)
Si les coefficients c_(0),c_(1),c_(2),dots,c_(2m)c_{0}, c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{2 m} du polynome
(1)
c_(0)+c_(1)x+c_(2)x^(2)+dots+c_(2m)x^(2m)c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\ldots+c_{2 m} x^{2 m}
vérifient les inég clités
c_(0) > 0,quad muc_(2i)c_(2i+2)-c_(ii+1)^(2) > 0,quad1=0,1,dots,m-1c_{0}>0, \quad \mu c_{2 i} c_{2 i+2}-c_{i i+1}^{2}>0, \quad 1=0,1, \ldots, m-1
où mu <= (1)/(cos^(2)((pi)/(m+2)))\mu \leq \frac{1}{\cos ^{2} \frac{\pi}{m+2}}, ce polynome est positif.
Si mu > (1)/(cos^(2)((pi)/(m+2)))\mu>\frac{1}{\cos ^{2} \frac{\pi}{m+2}} la propriété n'est plus vraie. On peut d'ailleurs montrér que dans ce cas le polynome, tout en vérifiant les inégalités écrites, peut changer de signe.
En particulier, en prenant mu=1\mu=1, nous avons le théorème suivant, dú à M. E. B. Van Vleck ( ^(1){ }^{1} ).
Si les coefficients ci vérifient les inégalités
c_(0) > 0,quadc_(2l)c_(2l+2)-c_(2l+1)^(2) > 0,quad i=0,1,dots,m-1c_{0}>0, \quad c_{2 l} c_{2 l+2}-c_{2 l+1}^{2}>0, \quad i=0,1, \ldots, m-1
le polynome (1) est positif.
4. - En particularisant les valeurs de a_(0),a_(1),dots,a_(2m)a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{2 m} on trouve: divers énoncés.
4. - En particularisant les valeurs de a_(0),a_(1),dots,a_(2m)a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{2 m} on trouve: divers énoncés.
Si nous prenons
a_(0)=1,quada_(1)=a_(2)=dots=a_(2m)=2a_{0}=1, \quad a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{2 m}=2
le polynome Q_(I)(x)Q_{I}(x) devient le polynome trigonométrique
Q_(t)(x)=(cos i(arccos x))/(2^(i-1))Q_{t}(x)=\frac{\cos i(\arccos x)}{2^{i-1}}
et nous avons alors
lambda_(m+1)=cos((pi)/(2(m+1)))\lambda_{m+1}=\cos \frac{\pi}{2(m+1)}
qui nous donne l'énoncé suivant:
Si les coefficients c_(0),c_(1),dots,c_(2m)duc_{0}, c_{1}, \ldots, c_{2 m} d u polynome (1) vérifient les inégalités
c_(0) > 0,quad2muc_(0)c_(2)-c_(1)^(2) > 0,quad muc_(2i)c_(i+2)-c_(2i+1)^(2) > 0,quad i=1,2,dots,m-1c_{0}>0, \quad 2 \mu c_{0} c_{2}-c_{1}^{2}>0, \quad \mu c_{2 i} c_{i+2}-c_{2 i+1}^{2}>0, \quad i=1,2, \ldots, m-1 où mu <= (1)/(cos^(2)((pi)/(2(m+1))))\mu \leq \frac{1}{\cos ^{2} \frac{\pi}{2(m+1)}}, ce polynome est positif.
Si les coefficients c_(0),c_(1),dots,c_(2m)duc_{0}, c_{1}, \ldots, c_{2 m} d u polynome (1) vérifient les inégalités
c_(0) > 0,quad2muc_(0)c_(2)-c_(1)^(2) > 0,quad muc_(2i)c_(i+2)-c_(2i+1)^(2) > 0,quad i=1,2,dots,m-1c_{0}>0, \quad 2 \mu c_{0} c_{2}-c_{1}^{2}>0, \quad \mu c_{2 i} c_{i+2}-c_{2 i+1}^{2}>0, \quad i=1,2, \ldots, m-1 où mu <= (1)/(cos^(2)((pi)/(2(m+1))))\mu \leq \frac{1}{\cos ^{2} \frac{\pi}{2(m+1)}}, ce polynome est positif.
Il est à remarquer que ce critère est distinct du précédent. On a en effet
(1)/(cos^(2)((pi)/(m+2))) > (1)/(cos^(2)((pi)/(2(m+1)))),(1)/(cos^(2)((pi)/(m+2))) < (2)/(cos^(2)((pi)/(2(m+1))))(\frac{1}{\cos ^{2} \frac{\pi}{m+2}}>\frac{1}{\cos ^{2} \frac{\pi}{2(m+1)}}, \frac{1}{\cos ^{2} \frac{\pi}{m+2}}<\frac{2}{\cos ^{2} \frac{\pi}{2(m+1)}}( pour m > 1)m>1).
Signalons encore un cas. Si
(1)/(cos^(2)((pi)/(m+2))) > (1)/(cos^(2)((pi)/(2(m+1)))),(1)/(cos^(2)((pi)/(m+2))) < (2)/(cos^(2)((pi)/(2(m+1))))(\frac{1}{\cos ^{2} \frac{\pi}{m+2}}>\frac{1}{\cos ^{2} \frac{\pi}{2(m+1)}}, \frac{1}{\cos ^{2} \frac{\pi}{m+2}}<\frac{2}{\cos ^{2} \frac{\pi}{2(m+1)}}( pour m > 1)m>1).
Signalons encore un cas. Si
a_(i)=i+1,quad i=0,1,2,dots,2ma_{i}=i+1, \quad i=0,1,2, \ldots, 2 m
(1) E. B. Van Vleck "A suficient condition for the maximum number of imaginary roots of an equation of the nn-the degree" Annals of Math. (2), t. 4 (1902-03) p. 191.
Qi ( xx ) n'est autre (à un facteur constant près) que le polynome de Legendre de degré ii
Q_(i)(x)=((2i)!)/(i!)(d^(i))/(dx^(i))(x^(2)-1)^(i)Q_{i}(x)=\frac{(2 i)!}{i!} \frac{d^{i}}{d x^{i}}\left(x^{2}-1\right)^{i}
Nous trouvons donc une propriété qu'on peut énoncer sous la forme suivante:
Si les coefficients c_(0),c_(1),dots,c_(2m)c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{2 m} du polynome (1) vérifient les inégalités
c_(0) > 0,quad(1)/(lambda^(2))*(4(i+1)^(2))/((2i+1)(2i+3))c_(2i)c_(2i+2)-c_(2i+1)^(2) > 0,quad i=0,1,dots,m-1c_{0}>0, \quad \frac{1}{\lambda^{2}} \cdot \frac{4(i+1)^{2}}{(2 i+1)(2 i+3)} c_{2 i} c_{2 i+2}-c_{2 i+1}^{2}>0, \quad i=0,1, \ldots, m-1 où lambda\lambda est au moins égal au plus grand zéro du polynome de Legendre. de degré m+1m+1, ce polynome est positif.
5. - Considérons maintenant le cas où
c_(0) > 0,quad(1)/(lambda^(2))*(4(i+1)^(2))/((2i+1)(2i+3))c_(2i)c_(2i+2)-c_(2i+1)^(2) > 0,quad i=0,1,dots,m-1c_{0}>0, \quad \frac{1}{\lambda^{2}} \cdot \frac{4(i+1)^{2}}{(2 i+1)(2 i+3)} c_{2 i} c_{2 i+2}-c_{2 i+1}^{2}>0, \quad i=0,1, \ldots, m-1 où lambda\lambda est au moins égal au plus grand zéro du polynome de Legendre. de degré m+1m+1, ce polynome est positif.
5. - Considérons maintenant le cas où
a_(i)=((2m)/(i)),quad i=0,1,dots,2ma_{i}=\binom{2 m}{i}, \quad i=0,1, \ldots, 2 m
On sait que si l'équation f(x)=0f(x)=0 a toutes ses racines réelles. on a
c_(2i+1)^(2)-c_(2i)c_(2i+2) >= 0,quad i=0,1,dots,m-1c_{2 i+1}^{2}-c_{2 i} c_{2 i+2} \geq 0, \quad i=0,1, \ldots, m-1
Si on considère le polynome sous la forme (1) ces inégalités. s'écrivent sous la forme suivante:
(4(i+1)(m-i))/((2i+1)(2m-2ı-1))c_(2t)c_(2i+2)-c_(2i+1)^(2) <= 0,quad i=0,1,dots,m-1\frac{4(i+1)(m-i)}{(2 i+1)(2 m-2 \imath-1)} c_{2 t} c_{2 i+2}-c_{2 i+1}^{2} \leq 0, \quad i=0,1, \ldots, m-1
On obtient donc une propriété contraire en appliquant les résultats précédents. Dans ce cas lambda_(m+1)\lambda_{m+1} est la plus grand racine de l'équation
{:((b_(i)=(2i+1)(2m-2i+1))/(gamma_(i)=i(2i+1))):}\begin{aligned}
& \binom{b_{i}=(2 i+1)(2 m-2 i+1)}{\gamma_{i}=i(2 i+1)}
\end{aligned}
Nous avons donc la propriété suivanle:
Si les coefficients c_(0),c_(1),dots,c_(2n)c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{2 n} dıc polynome (1) rérifient les: inégalités
Si les coefficients c_(0),c_(1),dots,c_(2n)c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{2 n} dıc polynome (1) rérifient les: inégalités
c_(0) > 0,(1)/(lambda^(2))(4(i+1)(m-i))/((2i+1)(2m-2iota-1))c_(2i)c_(2i+2)-c_(2i+1)^(2) > 0,quad i=0,1,dots,m-1c_{0}>0, \frac{1}{\lambda^{2}} \frac{4(i+1)(m-i)}{(2 i+1)(2 m-2 \iota-1)} c_{2 i} c_{2 i+2}-c_{2 i+1}^{2}>0, \quad i=0,1, \ldots, m-1
où, lambda\lambda est au moins égal à la plus grande racine de l'équation S_(m+1)(x)=0\mathrm{S}_{m+1}(x)=0, ce polynome est positif.
6. - Examinons en particuliers les cas m=2,3,4m=2,3,4.
6. - Examinons en particuliers les cas m=2,3,4m=2,3,4.
Soit m=2m=2. Si l'équation
{:(2)c_(0)+c_(1)x+c_(2)x^(2)+c_(3)x^(3)+c_(4)x^(4)=0:}\begin{equation*}
c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+c_{3} x^{3}+c_{4} x^{4}=0 \tag{2}
\end{equation*}
a toutes ses racines réelles on a
8c_(0)c_(2)-3c_(1)^(2) <= 0,quad8c_(2)c_(4)-3c_(3)^(2) <= 08 c_{0} c_{2}-3 c_{1}^{2} \leq 0, \quad 8 c_{2} c_{4}-3 c_{3}^{2} \leq 0
Dans ce cas S_(3)(x)=-3(3x^(3)-4x)\mathrm{S}_{3}(x)=-3\left(3 x^{3}-4 x\right). L'équation (2) aura donc itoutes ses racines imaginaires si
c_(0) > 0,quad8muc_(0)c_(2)-3c_(1)^(2) > 0,quad8muc_(2)c_(4)-3c_(3)^(2) > 0c_{0}>0, \quad 8 \mu c_{0} c_{2}-3 c_{1}^{2}>0, \quad 8 \mu c_{2} c_{4}-3 c_{3}^{2}>0
où mu <= (3)/(4)=0,75\mu \leq \frac{3}{4}=0,75.
Soit m=3m=3. Si l'équation
(3) quadc_(0)+c_(1)x+c_(2)x^(2)+c_(3)x^(3)+c_(4)x^(4)+c_(5)x^(5)+c_(6)x^(6)=0\quad c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+c_{3} x^{3}+c_{4} x^{4}+c_{5} x^{5}+c_{6} x^{6}=0
a toutes ses racines réelles on a
Soit m=3m=3. Si l'équation
(3) quadc_(0)+c_(1)x+c_(2)x^(2)+c_(3)x^(3)+c_(4)x^(4)+c_(5)x^(5)+c_(6)x^(6)=0\quad c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+c_{3} x^{3}+c_{4} x^{4}+c_{5} x^{5}+c_{6} x^{6}=0
a toutes ses racines réelles on a
12c_(0)c_(2)-0^(ˇ)c_(1)^(2) <= 0,16 cc_(4)-9c_(3)^(2) <= 0,12c_(4)c_(6)-5c_(5)^(2) <= 012 c_{0} c_{2}-\check{0} c_{1}^{2} \leq 0,16 c c_{4}-9 c_{3}^{2} \leq 0,12 c_{4} c_{6}-5 c_{5}^{2} \leq 0
Dans ce cas S_(4)(x)=225x^(4)-370x^(2)+8L\mathrm{S}_{4}(x)=225 x^{4}-370 x^{2}+8 \mathrm{~L}. L'équation (3) a donc toutes ses racines imaginaires lorsque
c_(0) > 0,quad12 muc_(0)c_(2)-5c_(1)^(2) > 0,16 muc_(2)c_(4)-9c_(3)^(2) > 0,12 muc_(4)c_(6)-5c_(5)^(2) > 0c_{0}>0, \quad 12 \mu c_{0} c_{2}-5 c_{1}^{2}>0,16 \mu c_{2} c_{4}-9 c_{3}^{2}>0,12 \mu c_{4} c_{6}-5 c_{5}^{2}>0
où mu <= (5(37-8sqrt10))/(81)=0,7,23 dots\mu \leq \frac{5(37-8 \sqrt{10})}{81}=0,7,23 \ldots
Soit enfin m=4m=4. Si l'équation
(4) quadc_(0)+c_(4)x+c_(2)x^(2)+c_(3)x^(3)+c_(4)x^(4)+c_(5)x^(5)+c_(6)x^(6)+c_(7)x^(7)+c_(8)x^(8)=0\quad c_{0}+c_{4} x+c_{2} x^{2}+c_{3} x^{3}+c_{4} x^{4}+c_{5} x^{5}+c_{6} x^{6}+c_{7} x^{7}+c_{8} x^{8}=0
a toutes ses racines réelles on a
16c_(0)c_(2)-7c_(1)^(2) <= 0,quad8c_(2)c_(4)-5c_(3)^(2) <= 0,quad8c_(4)c_(6)-5c_(5)^(2) <= 0,quad16c_(6)c_(8)-7c_(7)^(2) <= 016 c_{0} c_{2}-7 c_{1}^{2} \leq 0, \quad 8 c_{2} c_{4}-5 c_{3}^{2} \leq 0, \quad 8 c_{4} c_{6}-5 c_{5}^{2} \leq 0, \quad 16 c_{6} c_{8}-7 c_{7}^{2} \leq 0.
Dans ce cas S_(5)(x)=45 x(7x^(2)-4)(69-35x^(2))\mathrm{S}_{5}(x)=45 x\left(7 x^{2}-4\right)\left(69-35 x^{2}\right). L'équation (4) a donc toutes ses racines imaginaires si
c_(0) > 0,quad12 muc_(0)c_(2)-5c_(1)^(2) > 0,16 muc_(2)c_(4)-9c_(3)^(2) > 0,12 muc_(4)c_(6)-5c_(5)^(2) > 0c_{0}>0, \quad 12 \mu c_{0} c_{2}-5 c_{1}^{2}>0,16 \mu c_{2} c_{4}-9 c_{3}^{2}>0,12 \mu c_{4} c_{6}-5 c_{5}^{2}>0
où mu <= (5(37-8sqrt10))/(81)=0,7,23 dots\mu \leq \frac{5(37-8 \sqrt{10})}{81}=0,7,23 \ldots
Soit enfin m=4m=4. Si l'équation
(4) quadc_(0)+c_(4)x+c_(2)x^(2)+c_(3)x^(3)+c_(4)x^(4)+c_(5)x^(5)+c_(6)x^(6)+c_(7)x^(7)+c_(8)x^(8)=0\quad c_{0}+c_{4} x+c_{2} x^{2}+c_{3} x^{3}+c_{4} x^{4}+c_{5} x^{5}+c_{6} x^{6}+c_{7} x^{7}+c_{8} x^{8}=0
a toutes ses racines réelles on a
16c_(0)c_(2)-7c_(1)^(2) <= 0,quad8c_(2)c_(4)-5c_(3)^(2) <= 0,quad8c_(4)c_(6)-5c_(5)^(2) <= 0,quad16c_(6)c_(8)-7c_(7)^(2) <= 016 c_{0} c_{2}-7 c_{1}^{2} \leq 0, \quad 8 c_{2} c_{4}-5 c_{3}^{2} \leq 0, \quad 8 c_{4} c_{6}-5 c_{5}^{2} \leq 0, \quad 16 c_{6} c_{8}-7 c_{7}^{2} \leq 0.
Dans ce cas S_(5)(x)=45 x(7x^(2)-4)(69-35x^(2))\mathrm{S}_{5}(x)=45 x\left(7 x^{2}-4\right)\left(69-35 x^{2}\right). L'équation (4) a donc toutes ses racines imaginaires si
{:[c_(0) > 0","16 muc_(0)c_(2)-7c_(1)^(2) > 0","8muc_(2)c_(4)-o^(ˇ)c_(3)^(2) > 0],[8muc_(4)c_(6)-5c_(5)^(2) > 0","quad16 muc_(6)c_(8)-7c_(7)^(2) > 0]:}\begin{gathered}
c_{0}>0,16 \mu c_{0} c_{2}-7 c_{1}^{2}>0,8 \mu c_{2} c_{4}-\check{o} c_{3}^{2}>0 \\
8 \mu c_{4} c_{6}-5 c_{5}^{2}>0, \quad 16 \mu c_{6} c_{8}-7 c_{7}^{2}>0
\end{gathered}
- où mu <= (35)/(69)=0,5072 dots\mu \leq \frac{35}{69}=0,5072 \ldots
-
- Considérons un polynome de degré 2m+12 m+1
F(x)=c_(0)+c_(1)x+dots+c_(2m+1)x^(2m+1)\mathrm{F}(x)=c_{0}+c_{1} x+\ldots+c_{2 m+1} x^{2 m+1}
Nous avons
x^(2m+1)F((1)/(x))=c_(0)x^(2m+1)+dots+c_(2m+1)x^{2 m+1} \mathrm{~F}\left(\frac{1}{x}\right)=c_{0} x^{2 m+1}+\ldots+c_{2 m+1}
Prenant la dérivée, nous voyons que si
{:(5)(2m+1)c_(0)+2mc_(1)x+dots+c_(2m)x^(2m):}\begin{equation*}
(2 m+1) c_{0}+2 m c_{1} x+\ldots+c_{2 m} x^{2 m} \tag{5}
\end{equation*}
est positif le polynome F(x)F(x) change au plus une fois de signe. Plus exactement il n'admet qu'un seul zéro réel.
Le polynome (5) étant positif, on peut appliquer le résultat du. No. 4 et nous avons la propriété suivante:
Si les coefficients c_(0),c_(1),dots,c_(2n)c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{2 n} de l'équation
{:(6)c_(0)+c_(1)x+dots+c_(2m+1)x^(2m+1)=0:}\begin{equation*}
c_{0}+c_{1} x+\ldots+c_{2 m+1} x^{2 m+1}=0 \tag{6}
\end{equation*}
vérifient les inégalités
c_(2m) > 0,(c_(0) > 0),(1)/(lambda^(2))c_(2i)c_(2i+2)-c_(2^(i+1)) > 0,quad i=0,1,dots,m-1c_{2 m}>0,\left(c_{0}>0\right), \frac{1}{\lambda^{2}} c_{2 i} c_{2 i+2}-c_{2^{i+1}}>0, \quad i=0,1, \ldots, m-1
où lambda\lambda est au moins égal au plus grad zéro du polynome de Legendre de degré m+1m+1, l'équation a au plus une racine réelle.
En particulier, nous en déduisons le second théorème de M. E. B. Van Vleck ( ^(2){ }^{2} ).
Si les coefficients c_(0),c_(1),dots,c_(2m)c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{2 m} de l'équation (6) vérifient les inégalités
c_(0) > 0,quadc_(2i)c_(2i+2)-c_(2i+1)^(2) > 0,quad i=0,1,dots,m-1c_{0}>0, \quad c_{2 i} c_{2 i+2}-c_{2 i+1}^{2}>0, \quad i=0,1, \ldots, m-1
cette équation a au plus une racine réelles.
8. - Considérons l'équation de degré n.
(7) quad g(x)=c_(0)+((n)/(1))c_(1)x+,dots,+((n)/(k))c_(k)x^(k)+dots,+c_(n)x^(n)=0\quad g(x)=c_{0}+\binom{n}{1} c_{1} x+, \ldots,+\binom{n}{k} c_{k} x^{k}+\ldots,+c_{n} x^{n}=0.
8. - Considérons l'équation de degré n.
(7) quad g(x)=c_(0)+((n)/(1))c_(1)x+,dots,+((n)/(k))c_(k)x^(k)+dots,+c_(n)x^(n)=0\quad g(x)=c_{0}+\binom{n}{1} c_{1} x+, \ldots,+\binom{n}{k} c_{k} x^{k}+\ldots,+c_{n} x^{n}=0.
Soient j,rj, r deux entiers positifs tels que j >= 0,j+2r <= nj \geq 0, j+2 r \leq n, et prenons la dérivée d'ordre jj de g(x)g(x)
g^((j))(x)=(n!)/((n-j)!)[c_(j)+((n-j)/(1))c_(j+i)x+,dots,+c_(n)x^(n-j)]g^{(j)}(x)=\frac{n!}{(n-j)!}\left[c_{j}+\binom{n-j}{1} c_{j+i} x+, \ldots,+c_{n} x^{n-j}\right]
Considérons la transsormée en (1)/(x)\frac{1}{x} (laissant de coté un facteur-
(^(2))\left({ }^{2}\right) loe cit (^(1))\left({ }^{1}\right).
constant)
(^(2))\left({ }^{2}\right) loe cit (^(1))\left({ }^{1}\right).
constant)
g_(1)(x)=c_(j)x^(n-1)+((n-j)/(1))c_(i+1)x^(n-1-1)+dots,+c_(n)g_{1}(x)=c_{j} x^{n-1}+\binom{n-j}{1} c_{i+1} x^{n-1-1}+\ldots,+c_{n}
et prenons la dérivée d'ordre n-j-2rn-j-2 r de ce polynome
g_(1)^((n-j-2r))(x)=((n-j)!)/((2r)!)[c_(j)x^(2r)+((2r)/(1))c_(j+1)x^(2r-1)+dots,+c_(j+2r)]g_{1}^{(n-j-2 r)}(x)=\frac{(n-j)!}{(2 r)!}\left[c_{j} x^{2 r}+\binom{2 r}{1} c_{j+1} x^{2 r-1}+\ldots,+c_{j+2 r}\right]
Soit enfin
g_(2)(x)=c_(j)+((2r)/(1))c_(j+1)x+,dots+((2r)/(k))c_(j+k)x^(k)+dots,+c_(j+2r)x^(2r)g_{2}(x)=c_{j}+\binom{2 r}{1} c_{j+1} x+, \ldots+\binom{2 r}{k} c_{j+k} x^{k}+\ldots,+c_{j+2 r} x^{2 r}
Supposons que l'équation (7) ait pp racines réelles. L'équation g^((1))(x)=0g^{(1)}(x)=0, donc aussi g_(1)(x)=0g_{1}(x)=0, a alors au moins p-jp-j racine réelles.
On en déduit que l'équation g_(2)(x)=0g_{2}(x)=0 a au moins p-n+2rp-n+2 r racines réelles. Il en résulte que si le polynome g_(2)(x)g_{2}(x) a toutes ses racines imaginaires l'équation (7) a au plus n-2rn-2 r racines réelles.
Les résultats du No. 5 permettent donc d'énoncer la propriété générale suivante:
Si j=0,j+2r <= nj=0, j+2 r \leq n et si les coefficients ci de l'équation (7) vérifient les inégalités
c_(j) > 0,(1)/(lambda2)c_(j+2i)c_(j+2i+2)-c_(j+2i+1)^(2) > 0,quad i=0,1,dots,r-1c_{j}>0, \frac{1}{\lambda 2} c_{j+2 i} c_{j+2 i+2}-c_{j+2 i+1}^{2}>0, \quad i=0,1, \ldots, r-1
où, lambda\lambda est au moins égal à la plus grande racine de l'équation S_(r+1)(x)=0\mathrm{S}_{r+1}(x)=0, cette équation (7) a au plus n-2rn-2 r racines réelles. On peut aussi dire que dans ce cas l'équation (7) a au moins rr couples de racines imaginaires conjuguées.
Pour r=1r=1 nous avons cette propriété, évidente à priori, que si l'on peut trouver un jj tel que
c_(j) > 0,quadc_(j)c_(j+2)-c_(j+1)^(2) > 0c_{j}>0, \quad c_{j} c_{j+2}-c_{\mathrm{j}+1}^{2}>0
d'équation (7) a au moins un couple de racines imaginaires conjuguées.
Pour r=2r=2, nous trouvons que si
Pour r=2r=2, nous trouvons que si
{:[c_(j) > 0","quad muc_(i+2i)c_(j+2i+2)-c_(j+2i+1)^(2) > 0","quad i=0","1],[mu <= (3)/(4)=0","75","quad(j >= 0","quad j+4 <= n)]:}\begin{gathered}
c_{j}>0, \quad \mu c_{i+2 i} c_{j+2 i+2}-c_{j+2 i+1}^{2}>0, \quad i=0,1 \\
\mu \leq \frac{3}{4}=0,75, \quad(j \geq 0, \quad j+4 \leq n)
\end{gathered}
d'équation (7) a au moins deux couples de racines imaginaires conjuguées.
Pour r=3,4r=3,4 nous trouvons de méme des conditions suffisantes analogues pour l'existence de trois ou quatre couples de racines ima-
ginaires conjuguées. Les valeurs des coefficients mu\mu qui entrent dans les inégalités respectives sont celles précisées dans le No. 6.
9. - Enfin si nous écrivons l'équation (7) sous la forme
ginaires conjuguées. Les valeurs des coefficients mu\mu qui entrent dans les inégalités respectives sont celles précisées dans le No. 6.
9. - Enfin si nous écrivons l'équation (7) sous la forme
c_(0)+c_(1)x+c_(2)x^(2)+cdots+c_(n)x^(n)=0c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\cdots+c_{n} x^{n}=0
He polynome g_(2)(x)g_{2}(x) s'écrira sous la forme
(1)/(((n)/(j)))c_(j)+(((2r)/(1)))/(((n)/(j+1)))c_(j+1)x+cdots+(((2r)/(k)))/(((n)/(j+k)))c_(j+k)x^(k)+cdots+(1)/(((n)/(j+2r)))c_(j+2r)x^(2r).\frac{1}{\binom{n}{j}} c_{j}+\frac{\binom{2 r}{1}}{\binom{n}{j+1}} c_{j+1} x+\cdots+\frac{\binom{2 r}{k}}{\binom{n}{j+k}} c_{j+k} x^{k}+\cdots+\frac{1}{\binom{n}{j+2 r}} c_{j+2 r} x^{2 r} .
Portons notre attention sur le cas où j=0j=0. Le polynome précédent peut alors s'écrire sous la forme suivante
(2r+1)(2r+2)dots nc_(j)+2r(2r+1)dots(n-1)c_(j+1)x+cdots+(2 r+1)(2 r+2) \ldots n c_{j}+2 r(2 r+1) \ldots(n-1) c_{j+1} x+\cdots+
cdots+(2r-k+1)(2r-k+2)dots(n-k)c_(j+k)x^(k)+cdots+1,2dots(n-2r)c_(j+2r)x^(2r)\cdots+(2 r-k+1)(2 r-k+2) \ldots(n-k) c_{j+k} x^{k}+\cdots+1,2 \ldots(n-2 r) c_{j+2 r} x^{2 r}.
Posant
m=r,a_(i)=(i+1)(i+2)dots(n-2r+i),quad i=0,1,dots,2rm=r, a_{i}=(i+1)(i+2) \ldots(n-2 r+i), \quad i=0,1, \ldots, 2 r
le polynome Q_(i)(lambda)Q_{i}(\lambda) correspondant est donné par les relations de récurrence (8) Q_(0)(lambda)=1,Q_(1)(lambda)=lambda,Q_(i+2)(lambda)-lambdaQ_(i+1)(lambda)+((i+1)(n-2r+2i+1))/(2(2i+1)(n-2r+2i+2))Q_(1)(lambda)=0Q_{0}(\lambda)=1, Q_{1}(\lambda)=\lambda, Q_{i+2}(\lambda)-\lambda Q_{i+1}(\lambda)+\frac{(i+1)(n-2 r+2 i+1)}{2(2 i+1)(n-2 r+2 i+2)} Q_{1}(\lambda)=0.
Nous avons donc la propriété suivante :
Si j >= 0,j+2r <= nj \geq 0, j+2 r \leq n et si les coefficients c_(i)c_{\mathrm{i}} de l'équation
Si j >= 0,j+2r <= nj \geq 0, j+2 r \leq n et si les coefficients c_(i)c_{\mathrm{i}} de l'équation
c_(0)+c_(1)x+dots+c_(n)x^(n)=0c_{0}+c_{1} x+\ldots+c_{n} x^{n}=0
vérifient les inégalités
c_(j) > 0,(1)/(lambda^(2))c_(j+2i)c_(j+2i+2)-c_(j+2i+i)^(2) > 0,quad i=0,1,dots,rc_{\mathrm{j}}>0, \frac{1}{\lambda^{2}} c_{\mathrm{j}+2 \mathrm{i}} c_{\mathrm{j}+2 \mathrm{i}+2}-c_{\mathrm{j}+2 \mathrm{i}+\mathrm{i}}^{2}>0, \quad i=0,1, \ldots, r
où, lambda\lambda est au moins égal au plus grand zéro du polynome Q_(r+1)(lambda)=0Q_{r+1}(\lambda)=0 défini par les relations (8), cetle équation a au plus nn-êr racines réelles.
La plus grande racine de l'équation Q_(r+1)(lambda)=0Q_{r+1}(\lambda)=0 no dépend pas de jj et est bornée supérieurement. Il en résulte on effet d'un théorème connu ^((3)){ }^{(3)} que les zéros de Q_(+1)(lambda)Q_{+1}(\lambda) sont en module au plus égaux à
max.(sqrt(b_(2))+sqrt(b_(3)),sqrt(b_(3))+sqrt(b_(4)),dots,sqrt(b_(r))+sqrt( bar(b_(r+1))))\operatorname{max.}\left(\sqrt{b_{2}}+\sqrt{b_{3}}, \sqrt{b_{3}}+\sqrt{b_{4}}, \ldots, \sqrt{b_{r}}+\sqrt{\overline{b_{r+1}}}\right)
(3) Voir par ex. Wolgang Hahn „Bericht über die Nullstellen der Laguerreschen und der Hermiteschen Polynome" Jahresbericht d. D. M. V. Bd. 44 p. 215-236, sp. p. 227.
où
où
b_(i+2)=((i+1)(2i+n-2r+1))/(2(2i+1)(2i+n-2r+2)),quad i=0,1,dots,r-1b_{\mathrm{i}+2}=\frac{(i+1)(2 i+n-2 r+1)}{2(2 i+1)(2 i+n-2 r+2)}, \quad i=0,1, \ldots, r-1
On voit immédiatement que ( n > 2rn>2 r )
b_(2) > b_(3) > dots > b_(r+1)b_{2}>b_{3}>\ldots>b_{r+1}
La plus grande racine de l'équation Q_(r+1)(lambda)=0Q_{r+1}(\lambda)=0 est donc au plus égale à
sqrt(b_(2))+sqrt(b_(3))=sqrt((alpha+1)/(2(alpha+2)))+sqrt((alpha+3)/(3(alpha+4))) < sqrt((1)/(2))+sqrt((1)/(3))=1,24 dots\sqrt{b_{2}}+\sqrt{b_{3}}=\sqrt{\frac{\alpha+1}{2(\alpha+2)}}+\sqrt{\frac{\alpha+3}{3(\alpha+4)}}<\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{3}}=1,24 \ldots
On peut d'ailleurs démontrer que la vraie limite supérieure en question est > 1>1. En effet, si nous faisons tendre nn vers oo\infty nous obtenons les polynomes
Q_(0)(lambda)=1,quadQ_(1)(lambda)=(lambda),quadQ_(i+2)(lambda)-lambdaQ_(i+1)(lambda)+(i+1)/(2(2i+1))Q_(i)(lambda)=0Q_{0}(\lambda)=1, \quad Q_{1}(\lambda)=(\lambda), \quad Q_{i+2}(\lambda)-\lambda Q_{i+1}(\lambda)+\frac{i+1}{2(2 i+1)} Q_{i}(\lambda)=0
et nous en déduisons
{:[Q_(0)(1)=1","quadQ_(1)(1)=1","quadQ_(2)(1)=(1)/(2)","quadQ_(3)(1)=(1)/(2)-(1)/(3)=(1)/(6)],[Q_(4)(1)=(1)/(6)-(3)/(10)*(1)/(2)=(1)/(60)","quadQ_(5)(1)=(1)/(60)-(2)/(7)*(1)/(6)=-(13)/(420) < 0]:}\begin{gathered}
Q_{0}(1)=1, \quad Q_{1}(1)=1, \quad Q_{2}(1)=\frac{1}{2}, \quad Q_{3}(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6} \\
Q_{4}(1)=\frac{1}{6}-\frac{3}{10} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{60}, \quad Q_{5}(1)=\frac{1}{60}-\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6}=-\frac{13}{420}<0
\end{gathered}
ce qui démontre notre affirmation.