Sur une inegalité

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Requ le 27 avril 1948

Dans les „Nouvelles Annales de mathématiques" ${}^{(1)}$${}^{(1)}$^((1)){ }^{(1)}${}^{(1)}$ L. A. Le Cointe démontre que si $a_1^{\prime },a_2^{\prime },\dots ,a_{2m}^{\prime }$$a_1^{\prime },a_2^{\prime },\dots ,a_{2m}^{\prime }$a_(1)^('),a_(2)^('),dots,a_(2m)^(')a_{1}^{\prime}, a_{2}^{\prime}, \ldots, a_{2 m}^{\prime}$a_1^{\prime },a_2^{\prime },\dots ,a_{2m}^{\prime }$ sont les $2m$$2m$2m2 m$2m$ nombres positifs $a_1,a_2,\dots ,a_{2m}$$a_1,a_2,\dots ,a_{2m}$a_(1),a_(2),dots,a_(2m)a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 m}$a_1,a_2,\dots ,a_{2m}$ rangés en ordre non-décroissant (ou non-croissant), on a

Nous allons donner une généralisation de cette propriété en démontrant le

Théorème. - Soient $\phi (x),\psi (x)$$\phi (x),\psi (x)$varphi(x),psi(x)\varphi(x), \psi(x)$\phi (x),\psi (x)$ deux fonctions continues et croissantes dans l'intervalle. $(a,b)$$(a,b)$(a,b)(a, b)$(a,b)$ et ${\phi }^{-1},{\psi }^{-1}$${\phi }^{-1},{\psi }^{-1}$varphi^(-1),psi^(-1)\varphi^{-1}, \psi^{-1}${\phi }^{-1},{\psi }^{-1}$ leurs fonctions inverses. Posons

Soient encore $a_1,a_2,\dots ,a_{nm}nm$$a_1,a_2,\dots ,a_{nm}nm$a_(1),a_(2),dots,a_(nm)nma_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n m} n m$a_1,a_2,\dots ,a_{nm}nm$ nombres appartenant a l'intervalle $(a,b)$$(a,b)$(a,b)(a, b)$(a,b)$ et $a_1^{\prime },a_2^{\prime },\dots ,a_{nm}^{\prime }$$a_1^{\prime },a_2^{\prime },\dots ,a_{nm}^{\prime }$a_(1)^('),a_(2)^('),dots,a_(nm)^(')a_{1}^{\prime}, a_{2}^{\prime}, \ldots, a_{n m}^{\prime}$a_1^{\prime },a_2^{\prime },\dots ,a_{nm}^{\prime }$ ces mêmes nombres rangés dans l'ordre noncroissant (ou non-décroissant).

Alors nous avons l'inégalité
(1)

suivant que la fonction $\phi \left({\psi }^{-1}\right)$$\phi \left({\psi }^{-1}\right)$varphi(psi^(-1))\varphi\left(\psi^{-1}\right)$\phi \left({\psi }^{-1}\right)$ est non-concave resp. non-convexe.
( ${}^1$${}^1$^(1){ }^{1}${}^1$ ) Т. 2. 372-374 (1843).

Désignons par $f$$f$ff$f$ la fonction $\phi \left({\psi }^{-1}\right)$$\phi \left({\psi }^{-1}\right)$varphi(psi^(-1))\varphi\left(\psi^{-1}\right)$\phi \left({\psi }^{-1}\right)$ et supposons, pour fixer les idées, que cette fonction soit non-concave. Les fonctions ${\phi }^{-1},{\psi }^{-1}$${\phi }^{-1},{\psi }^{-1}$varphi^(-1),psi^(-1)\varphi^{-1}, \psi^{-1}${\phi }^{-1},{\psi }^{-1}$ étant aussi croissantes, l'inégalité à démontrer revient à

qui est une conséquence de la propriété suivante des MM. G. H. Hardy, J. E. Littlewood et G. Polya $\left({}^2\right)$$\left({}^2\right)$(^(2))\left({ }^{2}\right)$\left({}^2\right)$.

Si $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est une fonction non-concave et si $(x_i\ge x_{i+1},y_i\geqq y_{i+1},i=1,2,\dots ,n-1)$$\left(x_i\ge x_{i+1},y_i\geqq y_{i+1},i=\right.1,2,\dots ,n-1)$(x_(i) >= x_(i+1),y_(i) >= y_(i+1),i=:}1,2,dots,n-1)\left(x_{i} \geq x_{i+1}, y_{i} \geqq y_{i+1}, i=\right. 1,2, \ldots, n-1)$(x_i\ge x_{i+1},y_i\geqq y_{i+1},i=1,2,\dots ,n-1)$

on a l'inégalité

Dans le cas où la fonction $\phi \left({\psi }^{-1}\right)$$\phi \left({\psi }^{-1}\right)$varphi(psi^(-1))\varphi\left(\psi^{-1}\right)$\phi \left({\psi }^{-1}\right)$ est convexe (resp. concave) il est facil de trouver les cas où l'égalité est valable dans (1).

La propriété de Le Cointe correspond au cas où $n=2,\phi =x,\psi =\log x$$n=2,\phi =x,\psi =\log x$n=2,varphi=x,psi=log xn=2, \varphi=x, \psi=\log x$n=2,\phi =x,\psi =\log x$.
En particularisant les fonctions $\phi ,\psi$$\phi ,\psi$varphi,psi\varphi, \psi$\phi ,\psi$ on trouve divers énoncés particuliers.